高一数学必修4平面向量的实际背景及基本概念学案

平面向量知识?巧学一、向量1.数学中，我们把既有大小又有方向的量叫做向量，而把那些只有大小，没有方向的量叫做标量.

2.具有大小和方向的量称为向量.更具体一些，我们先把向量理解为“一个位移”或“一点相对于另一点位置”的量.这是因为有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点.例如，力就是这样的量.显然，若用同样大小的力作用于一弹簧上，作用点不同，效果是不同的.有些向量是只有大小和方向，而无特定的位置，例如，位移、速度等.通常把后一类向量叫做自由向量.本章，我们所接触的向量，若无特别说明，都认为是自由向量.也就是说，本章所学的向量只有大小和方向两个要素. 学法一得数学中的向量是由大小和方向唯一确定的，是与起点无关的向量.也就是说，只要不改变它的大小和方向，是可以任意平行移动的. 辨析比较①数量只有大小，是一个代数量，而向量不仅有大小，还有方向(两重性)；②数量能比较大小，而向量不能比较大小.例如，a>b没有意义，而|a|>|b|是有意义的；③数量可以进行代数运算，如数的加、减、乘、除运算，而向量只能按向量加法、减法的平行四边形法则和三角形法则或向量数乘的运算律去运算. 二、有向线段在物理学中，表示位移的最简单方法是用一条带箭头的线段，箭头的方向表示位移的方向，线段的长度表示位移的大小.速度和力也是用这种方法表示的，箭头的方向分别表示速度和力的方向，线段的长度分别表示速度和力的大小. 1.定义：一般地，在线段AB的两个端点中，规定一个顺序，假设A为起点，B为终点，我们说线段AB具有方向，具有方向的线段叫做有向线段.显然，它的方向由A指向B.

2.表示方法：以A为起点，以B为终点的有向线段记作AB.应注意始点一定要写在终点的前面.如图2-1-3.

图2-1-3 3.有向线段的三要素：已知AB，线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，记作|AB|.有向线段包含三个要素：起点、方向、长度.显然有向线段的终点由它的起点、方向和长度唯一确定. 辨析比较由向量与有向线段的组成要素可知，向量和有向线段是有区别的.但是当我们约定有向线段的起点也是任意的时候，它们就是相同的了.我们就可以说“向量就是有向线段，有向线段就是向量”．三、向量的表示法1.用有向线段表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向.

向量AB的长度(或称模)，记作|AB|.如图2-1-4所示. 图2-1-4 规定了合适的比例尺后，平面上的向量就可以用有向线段来表示了.

2.用字母表示向量.向量印刷时可用黑体小写字母如a、b、c来表示，书写用a、b、c来表示，还可用表示向量的有向线段起点和终点的字母表示. 四、两个特殊的向量1.零向量：长度(模)为0的向量，记作0.零向量的方向是不确定的. 误区警示注意0与0的区别：0是一个向量，具有方向，而0是数量，没有方向. 2.单位向量：长度(模)为1个单位的向量叫做单位向量.显然，单位向量有无数个；单位向量的大小相等；单位向量不一定相等. 五、平行向量1.定义：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.如图2-1-5,a，b，c是平行向量.

图2-1-5 通常记作a∥b∥c. 2.规定零向量与任一向量平行，即对于任意向量a，都有0∥a. 六、相等向量长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.如图2-1-6，用有向线段表示的向量a与b相等，记作a=b.

图2-1-6 对于相等向量的理解要注意以下几个问题：(1)零向量与零向量相等，即0=0. (2)任意两个相等的非零向量，都可以用一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无关. (3)由相等向量的定义可知，对一个向量，只要不改变它的大小和方向，可任意平移(自由向

量的起点可任意选定).如图2-1-7，容易看出：332211BABABA.

由以上分析，一个平面向量的直观形象是平面上“同向且等长的有向线段的集合”．图2-1-7 学法一得判断两个向量相等的唯一依据就是它的定义，即只需比较两个向量的模(有向线段的长度)是否相等、方向是否相同，与它们所在的直线是否共线无关. 七、共线向量由于任一组平行向量都可移到同一条直线上，所以平行向量也叫共线向量. 如图2-1-8，a、b、c是一组平行向量，任作一条与a所在直线平行的直线l，在l上任

取一点O，则可在l上分别作出OA=a，OB=b，OC=c.

图2-1-8 学法一得任一向量都与它自身是平行向量，因为零向量的方向不确定，所以规定零向量与任一向量都是平行向量.由于平行向量的基线互相平行或重合，所以其方向相同或相反，向量平行与直线平行不同，向量平行包括基线重合的情况，而直线平行一般不包含重合的情形. 典题?热题知识点一向量例1 指出下列概念是不是向量：(1)作用于物体上的大小为10 N，方向是南偏西30°的力；(2)温度表中表示零上、零下的温度；(3)物体M沿东北方向移动了8 m的位移. 思路分析：根据向量定义可以判别. 解：(1)是向量.因为力是既有大小又有方向的量；(2)不是.因为温度表可以用带正负号的实数来表示；(3)是向量.因为位移是既有大小又有方向的量. 知识点二向量的表示法例2 如图2-1-9，在平行四边形ABCD中，用有向线段表示图中向量，正确的是( )

图2-1-9 A.AD,AB,BC,DCB.DA,BA,BC,DC

C.DA,AB,BC,DCD.DA,AB,CB,DC思路分析：向量可用有向线段来表示，箭头的指向是从向量的起点指向终点的方向. 答案：C 知识点三两个特殊的向量例3 把平面上一切单位向量的起点归结到同一点，那么这些向量的终点所构成的图形是( ) A.一条线段B.一段弧C.一个圆D.圆上一群孤立的点思路分析：因为单位向量的模是1，所以它的终点到公共点的距离都是1，符合圆的定义，故选C. 答案：C 知识点四平行向量例4 命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”( )A.总成立B.当a≠0时成立C.当b≠0时成立D.当c≠0时成立思路分析：这里要作出正确选择，就要探求题中命题成立的条件. ∵零向量与其他任何非零向量都平行，∴当两非零向量a、c不平行而b=0时，有a∥b，b∥c，但这时命题不成立，故不能选择A，也不能选择B与D，只能选择C. 答案：C 方法归纳本例说明向量平行的传递性要成立，就需“过渡”b向量不为零向量.事实上，在b≠0的情况下：①a≠0，c≠0时，∵a∥b，∴a与b同向或反向. 又∵b∥c，∴b与c同向或反向. ∴a与c同向或反向. ∴a∥c. ②若a与c中有一个为零向量，则另一个无论为零向量还是不为零向量，均有a∥c. 由以上①②可以确定C是正确的.

例5 如图2-1-10，D、E、F分别是△ABC的三边AB、BC、AC的中点，写出与DF平行的向量.

图2-1-10 思路分析：线段DF是△ABC的中位线，凡是与DF平行的有向线段都是与DF平行的向量.结合三角形中位线的性质可以得出结论.

解：与DF平行的向量有DF、EC. 知识点五相等向量例6 (1)如图2-1-11，D、E、F依次是等边△ABC的边AB、BC、AC的中点，在以A、B、

C、D、E、F为起点或终点的向量中，找出与向量DE相等的向量. 图2-1-11 图2-1-12 (2)如图2-1-12，设点O为正八边形ABCDEFGH的中心，分别写出与OA、OB、OC、OD相等的向量. 思路分析：寻找相等向量，应写出给定向量的相等向量，应结合图形的几何性质，如三角形中位线平行于底边且等于底边的一半等.先确定方向，再确定长度.

解：(1)与DE相等的向量有AF，FC；

(2)与OA相等的向量是EO与OB相等的向量是DO；与OC相等的向量是GO；与OD相等的向量是HO. 方法归纳在研究相等向量时，要充分利用平面图形的几何性质，如平行四边形的对边平行且相等，对角线互相平分；三角形的中位线平行且等于底边的一半；梯形的中位线平行于两底且它的长等于两底长的和的一半等. 知识点六共线向量与相等向量例7 判断下列命题的真假. (1)直角坐标系中坐标轴的非负半轴是向量；(2)若两个向量相等，则两个向量平行；

(3)向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一条直线上；(4)向量的模是一个正实数；(5)若|a|=|b|，则a=b. 思路分析：判断上述命题的真假性，需细心辨别才能识其真面目. 解：(1)直角坐标系中坐标轴的非负半轴，虽有方向之别，但无大小之分，故命题是错误的. (2)由于两个向量相等，必知这两个向量的方向与长度均一致，故这两个向量一定平行，所以，此命题正确.

(3)不正确.由AB与CD共线，可以推知AB与CD平行或共线，故不一定能断定A、B、C、D在同一条直线上. ∴此命题不正确. (4)不正确.因为零向量的模是零. (5)不正确.当a与b的方向不同时，a与b一定不相等. 例8 试讨论以下几个问题：(1)平面向量是否一定方向相同？(2)共线向量是否一定相等？(3)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是不是相等的向量？(4)不相等的向量，一定不平行. (5)相等的非零向量，若起点不同，终点一定不相同. (6)非零向量的单位向量唯一. 解：(1)否，还可以方向相反. (2)否，共线向量的方向相同或相反，大小不一定相等. (3)是，因为向量与起点的位置无关. (4)否，例如模不等的共线向量.