函数单调性奇偶性综合应用
单调性与奇偶性的综合
望：该函数恰恰具有奇偶性，于是我们怀着 函数单调性在解不等式中简化不等式的妙
激动又忐忑的心情去验证．验证如下： 定义域为 犚，关于原点对称，犳（－狓）＝
（－狓）３－２（－狓）＋ｅ－狓－ｅ１－狓 ＝－狓３＋２狓＋
一个简单的想法，化２为０，那么移项可 以 实 现 ，化 为 犳（狓２ －犪）－１＋犳（犪狓）－１＜ ０，整体化思想，［犳（狓２－犪）－１］＋［犳（犪狓）－ １］＜０，只 需 要 构 造 一 个 新 函 数，设 犵（狓）＝ 犳（狓）－１，不等式就可以转化为犵（狓２－犪）＋ 犵（犪狓）＜０（你可以尝试独自完成）．至此，与拓 展１雷同，类似于上述解答，难点化解，问题得
一般地：设 函 数 狔 ＝犳 （狓）的 定 义 域 为 犃，区间犐犃．如果对于区间犐 内的任意两 个值狓１，狓２，当狓１＜狓２ 时，都有犳（狓１）＜ 犳（狓２），那么就说狔＝犳（狓）在区间犐 上是单 调增函数，犐 称为狔＝犳（狓）的单调增区间…
（单调递减略）
定义中 展 示 的 是：当 函 数 犳（狓）满 足 一
－１≤犪≤１２． 由 此 可 见 ，对 于 一 个 函 数 ，形 如 犳（犕 ）±
犳（犖）＞０（＜０）的问题，可以综合运用函数 的２ 若奇，对则 偶任实拓性意展数和实２犪单 数的调已狓取知性都值函简有范数化犳围犳之（狓为（狓２．－ ）＝犪 ）－＋ 狓犳３ －（犪．狓狓＋）１＜，
鉴于前面的经验，我们更加倾向于用函 数的单调性简化问题，那么新的问题来了，不 等式右边的２如何处理？
微专题突破
单调性与奇偶性的综合
概 念 理 解 江苏省吴函 件．于是，如果已知函数的单调性，那么由自变
数的局部性质；而函数的奇偶性则是函数的 量的大小可以推出函数值的大小；反之，由函
整体性质；这两条性质是函数的基本性质．其 数值的大小也可以推出自变量的大小．于是，
高中数学例题：函数奇偶性的综合问题
高中数学例题：函数奇偶性的综合问题例1.已知()=是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，求函y f x数2(1)-的单调递增区间．f x【思路点拨】本题考查复合函数单调性的求法。
复合函数的单调性由内层函数和外层函数的单调性共同决定，即“同增异减”。
【答案】[0，1]和（―∞，―1]【解析】∵()f xf x是偶函数，且在[0，+∞）上是减函数，∴()在（－∞，0]上是增函数．设u=1―x2，则函数2-是函数()(1)f xf u与函数u=1―x2的复合函数．∵当0≤x≤1时，u是减函数，且u≥0，而u≥0时，()f u是减函数，根据复合函数的性质，可得2(1)-是增函数．f x∵当x≤－1时，u是增函数，且u≤0，而u≤0时，()f u是增函数，根据复合函数的性质，可得2(1)-是增函数．f x同理可得当－1≤x≤0或x≥1时，2-是减函数．(1)f x∴所求的递增区间为[0，1]和（―∞，―1]．【总结升华】（1）函数的奇偶性与单调性的综合问题主要有两类：一类是两个性质交融在一起（如本例），此时要充分利用奇偶函数的图象的对称性，从而得到其对称区间上的单调性；另一类是两个性质简单组合，此时只需分别利用函数的这两个性质解题．（2）确定复合函数的单调性比较困难，也比较容易出错．确定x 的取值范围时，必须考虑相应的u的取值范围．本例中，x≥1时，u 仍是减函数，但此时u≤0，不属于()f u的减区间，所以不能取x≥1，这是应当特别注意的．例2. 设a 为实数，函数f(x)=x 2+|x-a|+1，x ∈R ，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.【思路点拨】对a 进行讨论，把绝对值去掉，然后把f(x)转化成二次函数求最值问题。
【答案】当a=0时，函数为偶函数；当a ≠0时，函数为非奇非偶函数. 当min min 1313-()|-;()|;2424a f x a a f x a ≤=>=+时，时，2min 11-()|122a f x a <≤=+时，. 【解析】当a=0时，f(x)=x 2+|x|+1，此时函数为偶函数； 当a ≠0时，f(x)=x 2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x a ≥时，213()()-24f x x a =++ ①[)113()(-)-,224a f x a f a ≤-+∞=时，函数在，上的最小值为 且1f(-)f(a).2≤ ②[)1(),2a f x a >-+∞时，函数在上单调递增，[)(),f x a ∴+∞在上的最小值为f(a)=a 2+1. (2)当x a <时，2213()-1()24f x x x a x a =++=-++ ①(]1()-,2a f x a ≤∞时，函数在上单调递减，(]()-f x a ∴∞在，上的最小值为2()1f a a =+ ②(]1()-2a f x a >∞时，在，上的最小值为131()()().242f a f f a =+≤，且 综上：min min 1313-()|-;()|;2424a f x a a f x a ≤=>=+时，时，2min 11-()|122a f x a <≤=+时，.举一反三：【变式1】 判断()||||()f x x a x a a R =+--∈的奇偶性．【答案】当0a =时，函数()f x 既是奇函数，又是偶函数；当0a ≠时，函数()f x 是奇函数．【解析】对a 进行分类讨论．若0a =，则()||||0f x x x =-=．x R ∈，∴定义域R 关于原点对称，∴函数()f x 既是奇函数，又是偶函数．当0a ≠时，()||||||||()f x x a x a x a x a f x -=-+---=--+=-，∴()f x 是奇函数．综上，当0a =时，函数()f x 既是奇函数，又是偶函数；当0a ≠时，函数()f x 是奇函数．例3. 对于函数()f x ，若存在x 0∈R ，使00()f x x =成立，则称点（x 0，x 0）为函数()f x 的不动点．（1）已知函数2()()(0)f x ax bx b a =+-≠有不动点（1，1），（―3，―3），求a ，b 的值；（2）若对于任意的实数b ，函数2()()(0)f x ax bx b a =+-≠总有两个相异的不动点，求实数a 的取值范围；（3）若定义在实数集R 上的奇函数()g x 存在（有限）n 个不动点，求证：n 必为奇数．【答案】（1）a=1，b=3；（2）（0，1）；（3）略．【解析】 （1）由已知得x=1和x=―3是方程ax 2+bx ―b=x 的根，由违达定理1133b a ba -⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩⇒a=1，b=3． （2）由已知得：ax 2+bx ―b=x （a ≠0）有两个不相等的实数根， ∴Δ1=(b －1)2+4ab ＞0对于任意的实数b 恒成立．即b 2+(4a －2)b+1＞0对于任意的实数b 恒成立．也就是函数2()(42)1f b b a b =+-+的图象与横轴无交点．又二次函数()f b 的图象是开口向上的抛物线，从而Δ2=(4a ―2)2―4＜0，即|4a ―2|＜2，∴0＜a ＜1．∴满足题意的实数a 的取值范围为（0，1）．（3）∵()g x 是R 上的奇函数，∴()()g x g x -=-.令x=0，得(0)(0)g g =-，∴(0)0g =．∴（0，0）是()g x 的一个不动点．设（x 0，x 0）（x 0≠0）是()g x 的一个不动点，则00()g x x =．又000()()g x g x x -=-=-，∴（―x 0，―x 0）也是()g x 的一个不动点． 又∵x 0≠－x 0，∴()g x 的非零不动点是成对出现的．又（0，0）也是()g x 的一个不动点，∴若()g x 存在n 个不动点，则n 必为奇数．【总结升华】本例是一个信息迁移问题，解这类问题关键在于准确理解新定义，充分利用新定义分析解决问题．本例的“不动点”实质是关于x 的方程()f x x =的解的问题．本例（3）的解决主要是结合奇函数关于原点的对称性从而得到有关的结论．。
函数的单调性和奇偶性 例题和练习 高中数学 高考
函数的单调性和奇偶性经典例题透析类型一、函数的单调性的证明1.证明函数上的单调性.证明：在(0，+∞)上任取x1、x2(x1≠x2)，令△x=x2-x1＞0则∵x1＞0，x2＞0，∴∴上式＜0，∴△y=f(x2)-f(x1)＜0∴上递减.总结升华：[1]证明函数单调性要求使用定义；[2]如何比较两个量的大小？(作差)[3]如何判断一个式子的符号？(对差适当变形)举一反三：【变式1】用定义证明函数上是减函数.思路点拨：本题考查对单调性定义的理解，在现阶段，定义是证明单调性的唯一途径.证明：设x1，x2是区间上的任意实数，且x1＜x2，则∵0＜x1＜x2≤1 ∴x1-x2＜0，0＜x1x2＜1∵0＜x1x2＜1故，即f(x1)-f(x2)＞0∴x1＜x2时有f(x1)＞f(x2)上是减函数.总结升华：可以用同样的方法证明此函数在上是增函数；在今后的学习中经常会碰到这个函数，在此可以尝试利用函数的单调性大致给出函数的图象.类型二、求函数的单调区间2. 判断下列函数的单调区间；(1)y=x2-3|x|+2；(2)解：(1)由图象对称性，画出草图∴f(x)在上递减，在上递减，在上递增.(2)∴图象为∴f(x)在上递增.举一反三：【变式1】求下列函数的单调区间：(1)y=|x+1|；(2)(3).解：(1)画出函数图象，∴函数的减区间为，函数的增区间为(-1，+∞)；(2)定义域为，其中u=2x-1为增函数，在(-∞，0)与(0，+∞)为减函数，则上为减函数；(3)定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，单调增区间为：(-∞，0)，单调减区间为(0，+∞).总结升华：[1]数形结合利用图象判断函数单调区间；[2]关于二次函数单调区间问题，单调性变化的点与对称轴相关.[3]复合函数的单调性分析：先求函数的定义域；再将复合函数分解为内、外层函数；利用已知函数的单调性解决.关注：内外层函数同向变化复合函数为增函数；内外层函数反向变化复合函数为减函数.类型三、单调性的应用(比较函数值的大小，求函数值域，求函数的最大值或最小值)3. 已知函数f(x)在(0，+∞)上是减函数，比较f(a2-a+1)与的大小.解：又f(x)在(0，+∞)上是减函数，则.4. 求下列函数值域：(1)；1)x∈[5，10]；2)x∈(-3，-2)∪(-2，1)；(2)y=x2-2x+3；1)x∈[-1，1]；2)x∈[-2，2].思路点拨：(1)可应用函数的单调性；(2)数形结合.解：(1)2个单位，再上移2个单位得到，如图1)f(x)在[5，10]上单增，；2)；(2)画出草图1)y∈[f(1)，f(-1)]即[2，6]；2).举一反三：【变式1】已知函数.(1)判断函数f(x)的单调区间；(2)当x∈[1，3]时，求函数f(x)的值域.思路点拨：这个函数直接观察恐怕不容易看出它的单调区间，但对解析式稍作处理，即可得到我们相对熟悉的形式.，第二问即是利用单调性求函数值域.解：(1)上单调递增，在上单调递增；(2)故函数f(x)在[1，3]上单调递增∴x=1时f(x)有最小值，f(1)=-2x=3时f(x)有最大值∴x∈[1，3]时f(x)的值域为.5. 已知二次函数f(x)=x2-(a-1)x+5在区间上是增函数，求：(1)实数a的取值范围；(2)f(2)的取值范围.解：(1)∵对称轴是决定f(x)单调性的关键，联系图象可知只需；(2)∵f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又∵a≤2，∴-2a≥-4∴f(2)=-2a+11≥-4+11=7.类型四、判断函数的奇偶性6. 判断下列函数的奇偶性：(1)(2)(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6)(7)思路点拨：根据函数的奇偶性的定义进行判断.解：(1)∵f(x)的定义域为，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)∵x-1≥0，∴f(x)定义域不关于原点对称，∴f(x)为非奇非偶函数；(3)对任意x∈R，都有-x∈R，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x2-4|x|+3为偶函数；(4)∵x∈R，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(5)，∴f(x)为奇函数；(6)∵x∈R，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(7)，∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性：(1)；(2)f(x)=|x+1|-|x-1|；(3)f(x)=x2+x+1；(4).思路点拨：利用函数奇偶性的定义进行判断.解：(1)；(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) ∴f(x)为奇函数；(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1∴f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x) ∴f(x)为非奇非偶函数；(4)任取x＞0则-x＜0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x＜0，则-x＞0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.举一反三：【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.类型五、函数奇偶性的应用(求值，求解析式，与单调性结合)7.已知f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2).解：法一：∵f(-2)=(-2)5+(-2)3a-(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=10∴8a-2b=-50 ∴f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易证g(x)为奇函数∴g(-2)=-g(2) ∴f(-2)+8=-f(2)-8∴f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.8. f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f(x)=x2-x，求当x≥0时，f(x)的解析式，并画出函数图象.解：∵奇函数图象关于原点对称，∴x＞0时，-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0，，如图9. 设定义在[-3，3]上的偶函数f(x)在[0，3]上是单调递增，当f(a-1)＜f(a)时，求a 的取值范围.解：∵f(a-1)＜f(a) ∴f(|a-1|)＜f(|a|)而|a-1|，|a|∈[0，3].类型六、综合问题10.定义在R上的奇函数f(x)为增函数，偶函数g(x)在区间的图象与f(x)的图象重合，设a＞b＞0，给出下列不等式，其中成立的是_________.①f(b)-f(-a)＞g(a)-g(-b)；②f(b)-f(-a)＜g(a)-g(-b)；③f(a)-f(-b)＞g(b)-g(-a)；④f(a)-f(-b)＜g(b)-g(-a).答案：①③.11. 求下列函数的值域：(1)(2)(3)思路点拨：(1)中函数为二次函数开方，可先求出二次函数值域；(2)由单调性求值域，此题也可换元解决；(3)单调性无法确定，经换元后将之转化为熟悉二次函数情形，问题得到解决，需注意此时t范围.解：(1)；(2)经观察知，，；(3)令.12. 已知函数f(x)=x2-2ax+a2-1.(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a的取值范围；(2)当x∈[-1，1]时，求函数f(x)的最小值g(a)，并画出最小值函数y=g(a)的图象.解：(1)∵f(x)=(x-a)2-1 ∴a≤0或a≥2(2)1°当a＜-1时，如图1，g(a)=f(-1)=a2+2a2°当-1≤a≤1时，如图2，g(a)=f(a)=-13°当a＞1时，如图3，g(a)=f(1)=a2-2a，如图13. 已知函数f(x)在定义域(0，+∞)上为增函数，f(2)=1，且定义域上任意x、y都满足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)≤3.解：令x=2，y=2，∴f(2×2)=f(2)+f(2)=2 ∴f(4)=2再令x=4，y=2，∴f(4×2)=f(4)+f(2)=2+1=3 ∴f(8)=3∴f(x)+f(x-2)≤3可转化为：f[x(x-2)]≤f(8).14. 判断函数上的单调性，并证明.证明：任取0＜x1＜x2，∵0＜x1＜x2，∴x1-x2＜0，x1·x2＞0(1)当时0＜x1·x2＜1，∴x1·x2-1＜0∴f(x1)-f(x2)＞0即f(x1)＞f(x2)上是减函数.(2)当x1，x2∈(1，+∞)时，上是增函数.难点：x1·x2-1的符号的确定，如何分段.15. 设a为实数，函数f(x)=x2+|x-a|+1，x∈R，试讨论f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值.解：当a=0时，f(x)=x2+|x|+1，此时函数为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+|x-a|+1，为非奇非偶函数.(1)当x≥a时，[1]且[2]上单调递增，上的最小值为f(a)=a2+1.(2)当x＜a时，[1]上单调递减，上的最小值为f(a)=a2+1[2]上的最小值为综上：.学习成果测评基础达标一、选择题1．下面说法正确的选项( )A．函数的单调区间就是函数的定义域B．函数的多个单调增区间的并集也是其单调增区间C．具有奇偶性的函数的定义域定关于原点对称D．关于原点对称的图象一定是奇函数的图象2．在区间上为增函数的是( )A．B．C．D．3．已知函数为偶函数，则的值是( )A. B. C. D.4．若偶函数在上是增函数，则下列关系式中成立的是( )A．B．C．D．5．如果奇函数在区间上是增函数且最大值为，那么在区间上是( )A．增函数且最小值是B．增函数且最大值是C．减函数且最大值是D．减函数且最小值是6．设是定义在上的一个函数，则函数，在上一定是( )A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数.7．下列函数中，在区间上是增函数的是( )A．B．C．D．8．函数f(x)是定义在[-6，6]上的偶函数，且在[-6，0]上是减函数，则( )A. f(3)+f(4)＞0B. f(-3)-f(2)＜0C. f(-2)+f(-5)＜0D. f(4)-f(-1)＞0二、填空题1．设奇函数的定义域为，若当时，的图象如右图，则不等式的解是____________.2．函数的值域是____________.3．已知，则函数的值域是____________.4．若函数是偶函数，则的递减区间是____________.5．函数在R上为奇函数，且，则当，____________.三、解答题1．判断一次函数反比例函数，二次函数的单调性.2．已知函数的定义域为，且同时满足下列条件：(1)是奇函数；(2)在定义域上单调递减；(3)求的取值范围.3．利用函数的单调性求函数的值域；4．已知函数.①当时，求函数的最大值和最小值；②求实数的取值范围，使在区间上是单调函数.能力提升一、选择题1．下列判断正确的是( )A．函数是奇函数B．函数是偶函数C．函数是非奇非偶函数D．函数既是奇函数又是偶函数2．若函数在上是单调函数，则的取值范围是( )A．B．C．D．3．函数的值域为( )A．B．C．D．4．已知函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是( )A．B．C．D．5．下列四个命题：(1)函数在时是增函数，也是增函数，所以是增函数；(2)若函数与轴没有交点，则且；(3)的递增区间为；(4) 和表示相等函数.其中正确命题的个数是( )A．B．C．D．6．定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则( )A．B．C．D．二、填空题1．函数的单调递减区间是____________________.2．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，______.3．若函数在上是奇函数，则的解析式为________.4．奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为8，最小值为-1，则__________.5．若函数在上是减函数，则的取值范围为__________.三、解答题1．判断下列函数的奇偶性(1)(2)2．已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立，证明：(1)函数是上的减函数；(2)函数是奇函数.3．设函数与的定义域是且，是偶函数，是奇函数，且，求和的解析式.4．设为实数，函数，.(1)讨论的奇偶性；(2)求的最小值.综合探究1．已知函数，，则的奇偶性依次为( )A．偶函数，奇函数B．奇函数，偶函数C．偶函数，偶函数D．奇函数，奇函数2．若是偶函数，其定义域为，且在上是减函数，则的大小关系是( )A．＞B．＜C．D．3．已知，那么＝_____.4．若在区间上是增函数，则的取值范围是________.5．已知函数的定义域是，且满足，，如果对于，都有，(1)求；(2)解不等式.6．当时，求函数的最小值.7．已知在区间内有一最大值，求的值.8．已知函数的最大值不大于，又当，求的值.答案与解析基础达标一、选择题1.C.2.B.3.B. 奇次项系数为4.D.5.A. 奇函数关于原点对称，左右两边有相同的单调性6.A.7.A. 在上递减，在上递减，在上递减8.D.二、填空题1.. 奇函数关于原点对称，补足左边的图象2.. 是的增函数，当时，3.. 该函数为增函数，自变量最小时，函数值最小；自变量最大时，函数值最大4..5..三、解答题1．解：当，在是增函数，当，在是减函数；当，在是减函数，当，在是增函数；当，在是减函数，在是增函数，当，在是增函数，在是减函数.2．解：，则，3．解：，显然是的增函数，，4．解：对称轴∴(2)对称轴当或时，在上单调∴或.能力提升一、选择题1.C. 选项A中的而有意义，非关于原点对称，选项B中的而有意义，非关于原点对称，选项D中的函数仅为偶函数；2.C. 对称轴，则，或，得，或3.B. ，是的减函数，当4.A. 对称轴5.A. (1)反例；(2)不一定，开口向下也可；(3)画出图象可知，递增区间有和；(4)对应法则不同6.A.二、填空题1．. 画出图象2. . 设，则，，∵∴，3. .∵∴即4. . 在区间上也为递增函数，即5. . .三、解答题1．解：(1)定义域为，则，∵∴为奇函数.(2)∵且∴既是奇函数又是偶函数.2．证明：(1)设，则，而∴∴函数是上的减函数;(2)由得即，而∴，即函数是奇函数.3．解：∵是偶函数，是奇函数，∴，且而，得，即，∴，.4．解：(1)当时，为偶函数，当时，为非奇非偶函数；(2)当时，当时，，当时，不存在；当时，当时，，当时，.综合探究1.D. ，画出的图象可观察到它关于原点对称或当时，，则当时，，则2.C. ，3.. ，4.. 设则，而，则5.解：(1)令，则(2)，则.6.解：对称轴当，即时，是的递增区间，；当，即时，是的递减区间，；当，即时，.7．解：对称轴，当即时，是的递减区间，则，得或，而，即；当即时，是的递增区间，则，得或，而，即不存在；当即时，则，即；∴或. 8．解：，对称轴，当时，是的递减区间，而，即与矛盾，即不存在；当时，对称轴，而，且即，而，即∴.。
函数的单调性+奇偶性(含答案)
函数的单调性+奇偶性（含解析）一、单选题1．函数1()lg(21)f x x =-的定义域为（ ） A ．1|2x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭ B ．12x x ⎧≥⎨⎩且}1x ≠ C ．12x x ⎧⎨⎩且}1x ≠ D ．1|2x x ⎧⎫≥⎨⎬⎩⎭2．函数()f x = ） A ．1,3⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ B ．1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ C ．1,13⎡⎫-⎪⎢⎣⎭ D ．1,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭3．已知函数，若方程有两个实数根，则实数k 的取值范围是（ ） A ．(−1,−12] B ．[−12,0) C ．[−1,+∞) D ．[−12,+∞) 4．设函数()1,02,0x x x f x b x +≥⎧=⎨+<⎩是R 上的单调增函数，则实数b 的取值范围为（ ） A ．(),1-∞ B ．[)0,+∞ C ．(],0-∞ D ．(]1,1- 5．下列函数既是偶函数，又在(),0-∞上单调递减的是（）A ．12x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．23y x -=C ．1y x x =-D ．()2ln 1y x =+ 6．设 ()212,11,1x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨+>⎪⎩，则()()2f f =( ) A ．－2B ．2C ．5D ．267．集合{|,P x y =={|,Q y y ==U =R ，则()U P Q ⋂是（ ） A ．[)1,+∞B ．∅C ．[)0,1D ．[)1,1- 8．函数x x x f 431)(3-=的单调递减区间是（ ）A ．)2,(--∞B ．)2,2(-C ．),2(∞+D ．),2()2,(+∞⋃--∞9．已知集合214A x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭∣，集合{B y y ==∣，则A B =（ ） A ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B ．[1,1]- C ．[0,1] D ．1[0,]210．若函数()f x 满足()2f x x =+，则()32f x +的解析式是( )A ．()3298f x x +=+B ．()3232f x x +=+C ．()3234f x x +=--D ．()3234f x x +=+11．函数f （x ）是定义域为R 的奇函数，当x>0时，f （x ）=x+1，则当x<0时，f （x ）的 表达式为（ ）A ．1)(+-=x x fB ．1)(--=x x fC ．1)(+=x x fD ．1)(-=x x f12．已知函数21,0(),0x x f x x x +≥⎧=⎨<⎩， 则[(2)]f f -的值为（ ） A ．1B ．2C ．4D ．5二、多选题13．已知函数()f x 是一次函数，满足()()98ff x x =+，则()f x 的解析式可能为（ ） A ．()32f x x =+B ．()32f x x =-C ．()34f x x =-+D ．()34f x x =-- 14．已知函数2,[1,2)x y x ∈-=，下列说法正确的是（ ）A ．函数是偶函数B ．函数是非奇非偶函数C ．函数有最大值是4D ．函数的单调增区间是为(0，2)15．下列函数中，与y x =是同一个函数的是（ ） A ．3log 3x y = B．3log 3x y = C．y = D ．2y = 16．中国清朝数学家李善兰在1859年翻译《代数学》中首次将“function ”译做：“函数”，沿用至今，为什么这么翻译，书中解释说“凡此变数中函彼变数者，则此为彼之函数”.1930年美国人给出了我们课本中所学的集合论的函数定义，已知集合-{}1,1,2,4M =-，{}1,2,4,16N =，给出下列四个对应法则，请由函数定义判断，其中能构成从M 到N 的函数的是（ ）A ．2y x =B ．2y x =+C ．2x y =D ．2y x三、填空题17．函数()f x =_______．18．偶函数()f x 满足当0x >时，()34f x x =+，则()1f -=_____．19．已知定义在R 上的偶函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，则()f x 在(,0)-∞上的单调性是________.20．设,0()ln ,0x e x g x x x ⎧≤=⎨>⎩则1()2g g ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦____________.四、解答题21．已知()222f x x x =-+.（1）画出()f x 的图象.（2）根据图象写出()f x 的单调区间和值域.22．用函数的单调性的定义证明函数()4f x x x=+在()2,+∞上是增函数. 23．求解下列函数的定义域（1）（2） 24．求函数1,01(),12x f x x x x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩的最值25．已知函数1(),f x a x=-其中0a >。
幂函数的单调性、奇偶性及其应用-高中数学知识点讲解
幂函数的单调性、奇偶性及其应用
1．幂函数的单调性、奇偶性及其应用
【知识点归纳】
一、幂函数定义：
一般地，函数y＝x a（a∈R）叫做幂函数，其中x 是自变量，a 是常数．
（1）指数是常数；
（2）底数是自变量；
（3）函数式前的系数都是 1；
（4）形式都是y＝x a，其中a 是常数．
二、幂函数与指数函数的对比
式子名称
a x y
指数函数：y＝a x 底数指数幂值幂函数：y＝x a 指数底数幂值三、五个常用幂函数的图象和性质
1
（1）y＝x；（2）y＝x2；（3）y＝x3；（4）y =푥2；（5）y＝x﹣1
y＝x y＝x2 y＝x31
2y＝x
﹣1
y =푥
定义域R R R [0，+∞）{x|x≠0}
值域R [0，+∞）R [0，+∞）{y|y≠0}
奇偶性奇偶奇非奇非偶奇
单调性增x∈[0，+∞）增增x∈（0，+∞）
时，增时，减
x∈（﹣∞，0] x∈（﹣∞，
1/ 2
时，减0）时，减
公共点（1，1）（0，（1，1）（0，（1，1）（0，（1，1）（0，（1，1）0）0）0）0）
四、幂函数的性质
（1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图象都通过点（1，1）．
（2）如果a＞0，则幂函数的图象过点（0，0），（1，1），并在[0，+∞）上为增函数．（3）如果a＜0，则幂函数的图象过点（1，1），并在（0，+∞）上为减函数．
（4）当a 为奇数时，幂函数为奇函数，当a 为偶数时，幂函数为偶函数．
2/ 2。
高一数学必修一 函数的奇偶性与性质综合
函数的奇偶性与性质综合
一、函数的奇偶判定
1、奇函数
如果对于函数y=f(x)的定义域D内任意一个x，都有－x∈D，且f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。
图像是关于原点成中心对称
2、偶函数
如果对于函数y=f(x)的定义域D内任意一个x，都有－x∈D，且f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
图像是关于y轴成对称
3、
4
5
6
8、定义法判断函数奇偶性
9、抽象函数奇偶性判断
二、函数奇偶性综合应用
1、奇偶性之半区间求解析式
2、利用方程组法半区间求解析式
小结：
三、利用函数的性质解不等式或比较大小
1、函数单调性与奇偶性质综合应用（性质已知，比大小）
2、函数单调性与奇偶性质综合应用（性质已知，解不等式）
3、函数单调性与奇偶性质综合应用（判断单调性与奇偶性）
4、利用构造函数，求单调性与奇偶性
5、利用性质作图解不等式
跟踪练习。
《函数单调性与奇偶性的应用》教学课例
《函数单调性与奇偶性的应用》教学课例-中学数学论文《函数单调性与奇偶性的应用》教学课例浙江乐清柳市中学杨成蒙一、课题选定人教A版必修“1关于函数基本性质的学习”有两小节，“1.3.1单调性与最大（小）值”和“1.3.2奇偶性”。
二、课前分析（一）函数的单调性与奇偶性是函数的重要性质，在利用函数观点解决问题中起着十分重要的作用。
其重点是函数单调性与奇偶性定义的理解（从形到数，从文字语言到符号语言），其难点是判断和证明函数的单调性、奇偶性。
（二）学生对于函数的单调性与奇偶性的定义有初步的认识，对于借助图象运用数形结合来研究函数的方法应该记忆犹新。
三、教学设计和课堂实录（一）知识回顾在本节课的开始笔者设计了下列知识内容：函数的单调性：对于函数定义域内某个区间上任意两个数x1、x2，当x1＜x2时若有f（x1）＜f（x2）则函数是该区间上的增函数，对于函数定义域内某个区间上任意两个数，当时若有则函数是该区间上的减函数，如果函数在某个区间是增函数或是减函数，则称函数在这一区间具有单调性，这一区间叫单调区间。
函数的奇偶性：对于函数定义域内的任意一个x，定义域关于原点对称，若,则是偶函数，若，则是奇函数。
这一部分设计意图是让学生回顾所学知识，为本节课学习做预热。
其中划线部分为填空。
在实际上课时笔者给出以上内容后，学生统一回答，并对下划线填空，基本达到预期效果。
（二）双基自测这一部分笔者设计了下列3个小练习，1.下列函数中，在（—∞，0）上为增函数的是（）在实际教学中笔者选取了两位学生分别回答上述问题，其中第一位回答了1,2两小题，学生答题速度较快、思路清晰、结论正确。
第二位学生回答了第三小题，笔者引导学生回顾判断奇偶性的方法，结合分类讨论的思想，由学生回答各个步骤，笔者在黑板板演，最终得出结论。
对于第三小题第二个函数奇偶性的判断，学生解答较慢，在引导学生回答过程中笔者直接给出了解题思路，没能由学生得出，这一部分没能完成课前预设。
函数的奇偶性及其应用(答案版)
一、关于函数的奇偶性的定义：定义说明：对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ：（1）)()(x f x f =- ⇔)(x f 是偶函数；（2）)()(x f x f -=-⇔)(x f 奇函数；（3）判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式： ()()0f x f x ±-=，()1()f x f x =±- 二、函数的奇偶性的几个性质：（1）具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y 轴对称.（3）若奇函数的定义域包含数0，则f （0）=0.（4）奇函数对称区间上的单调性相同，偶函数对称区间上的单调性相反（5）奇函数+奇函数=奇函数 偶函数+偶函数=偶函数奇函数*奇函数=偶函数 偶函数*偶函数=偶函数 奇函数*偶函数=奇函数三、函数的奇偶性的判断利用奇、偶函数的定义，主要考查)(x f 是否与)(x f -、)(x f 相等，步骤如下：（1） 首先确定函数的定义域，并判其定义域是否关于原点对称；（2）确定f(－x)与f(x)的关系；（3）作出相应结论：1、判断下列函数的奇偶性（1）()(f x x =- （2）22(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+<⎪=⎨-+>⎪⎩(3)()f x =1122-⋅-x x (4)()f x = (5)f(x)＝2-x +x -2 解：（1）由101x x+≥-，得定义域为[1,1)-，关于原点不对称，∴()f x 为非奇非偶函数 （2）当0x <时，0x ->，则22()()()()f x x x x x f x -=---=-+=-，当0x >时，0x -<，则22()()()()f x x x x x f x -=--=--+=-，综上所述，对任意的(,)x ∈-∞+∞，都有()()f x f x -=-，∴()f x 为奇函数（3）∴f(x)是偶函数.事实上函数的定义域为{-1，1}，将=)(x f 1122-⋅-x x化简得f(x)=0.∴f(x)既是偶函数，又是奇函数.（4）奇函数 （5）此函数定义域为｛2｝，故f(x)是非奇非偶函数。
函数的奇偶性与单调性学案
函数的奇偶性与单调性的综合学案题型1：证明函数的奇偶性与单调性 例1：已知2()()1xf x x R x =∈+，讨论函数()f x 的性质，并作出图象.例2：函数()f x 的定义域是R ，对任意的实数x ，y 都有()()()f x f y f x y +=+，当0x >，()0f x >，判断函数的奇偶性与单调性。
题型2：函数的奇偶性与单调性的综合应用―――求值例3：若函数()f x 是定义在R 上的偶函数，求满足2(3)(2)f x f x -=的所有x 的值。
例4：已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x+2)=－f (x )，则f (6)的值为（ ）.A. －1B. 0C. 1D. 2 题型3：函数的奇偶性与单调性的综合应用―――判断增减性求最值例5：若奇函数()f x 在[3, 7]上是增函数，且最小值是1，则它在[7,3]--上是（ ）.A. 增函数且最小值是－1B. 增函数且最大值是－1C. 减函数且最大值是－1D. 减函数且最小值是－1例6：若函数2()(1)23f x m x mx =-++是定义在R 上的偶函数，则()f x 在（－5，－2）（ ） A.是增函数 B.是减函数 C.不具有单调性 D.单调性由m 来决定题型4：函数的奇偶性与单调性的综合应用―――解不等式例7：若奇函数()f x 的定义域是[]5,5-上的增函数，当[]0,5x ∈时，满足()f x 的图象如图所示，则(1)不等式()0f x <的解集是___________________;（2）不等式()0x f x ⋅<的解集是___________________()f x 且在区间(,0)-∞上是减函数，实数a 满足不等式22(33)(32)f a a f a a +-<-，求实数a 的取值范围.例9：若函数()f x 是定义在（-1，1）上的偶函数，且在（-1，0）]上是减函数，解不等式2(2)(4)0f x f x ---<例10:函数()f x 是定义在(0,)∞上的增函数，且满足()()(),(2)1f a b f a f b f ⋅=+=，解不等式：()(2)3f x f x -->。
奇偶性及应用13种常考题型总结(解析版)
奇偶性及应用13种常考题型总结题型1函数奇偶性的定义及判断题型2利用奇偶性求值题型3已知f （x ）=奇函数+M 题型4利用奇偶性求解析式题型5由函数的奇偶性求参数题型6利用函数的奇偶性求最值题型7应用函数的奇偶性画函数图象题型8利用函数的奇偶性识别图象题型9抽象函数的奇偶性问题题型10函数的单调性和奇偶性的综合应用题型11函数的奇偶性和周期性的综合应用题型12奇偶性与对称性的综合运用题型13基于奇偶(对称性)的凸凹反转1奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称注：①奇函数⇔图像关于原点对称⇔f (－x )＝－f (x )②偶函数⇔图像关于y 轴对称⇔f (－x )＝f (x )③对于含参函数中参数的求值问题，在填空题与选择题中，掌握以下两个结论，会给解题带来方便：(i)f (x)为偶函数⇔f (x)＝f (|x|)．(ii)若奇函数在x＝0处有意义，则f(0)＝0.④奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．(重要）⑤利用性质法来判断奇偶性（以函数的定义域关于原点对称为前提，所有奇偶函数都非零函数）：（1）奇函数±奇函数=奇函数；（2）偶函数±偶函数=偶函数；（3）偶函数±奇函数=非奇非偶函数记忆口诀：加减看自身（3）奇函数⨯奇函数=偶函数；（4）偶函数⨯偶函数=偶函数；（5）奇函数⨯偶函数=奇函数（6）==奇函数偶函数偶函数奇函数偶函数（7）==奇函数偶函数奇函数偶函数奇函数记忆口诀：乘除看正负（注：在记忆的时候可将偶函数看成“+”号，将奇函数看成“-”号）⑥奇(偶)函数倒数或相反数运算，奇偶性不变；⑦奇(偶)函数的绝对值运算，函数的奇偶性均为偶函数．⑧若函数()f x 的定义域关于原点对称，则函数()f x 能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式．记1()[()()]2g x f x f x =+-，1()[()()]2h x f x f x =--，则()()()f x g x h x =+．⑨复合函数[()]y f g x =的奇偶性原来：内偶则偶，两奇为奇．2、奇偶函数的图象特征（几何意义）①奇函数的图象特征：若一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形；反之，若一个函数的图象是以原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数.②偶函数的图象特征：若一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，若一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.③奇偶函数的结论：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数.注：奇、偶函数图象对称性的应用①若一个函数的图象关于原点对称，则这个函数是奇函数；②若一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数.3、函数奇偶性的判断（1）定义法：若函数的定义域不是关于原点对称，则立即可判断该函数既不是奇函数也不是偶函数；若函数的定义域是关于原点对称的，再判断()f x -与()f x ±之一是否相等．（2）验证法：在判断()f x -与()f x 的关系时，只需验证()()0f x f x -±=及()1()f x f x -=±是否成立即可．（3）图象法：奇（偶）函数等价于它的图象关于原点（y 轴）对称．（4）性质法：两个奇函数的和仍为奇函数；两个偶函数的和仍为偶函数；两个奇函数的积是偶函数；两个偶函数的积是偶函数；一个奇函数与一个偶函数的积是奇函数．（5）分段函数奇偶性的判断判断分段函数的奇偶性时，通常利用定义法判断．在函数定义域内，对自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫做分段函数．分段函数不是几个函数，而是一个函数．因此其判断方法也是先考查函数的定义域是否关于原点对称，然后判断()f x -与()f x 的关系．首先要特别注意x 与x -的范围，然后将它代入相应段的函数表达式中，()f x 与()f x -对应不同的表达式，而它们的结果按奇偶函数的定义进行比较．4、与函数奇偶性有关的常见问题及解题策略（1）已知函数的奇偶性求函数值利用奇偶性的定义求函数的值，这是奇偶性定义的逆用，注意利用常见函数（如一次函数、反比例函数、二次函数）具有奇偶性的条件求解．注：已知()f x =奇函数+M ，[,]x a a ∈-，则（1）()()2f x f x M -+=（2）max min ()()2f x f x M +=（2）已知函数的奇偶性求解析式利用奇偶性求函数的解析式，已知函数奇偶性及其在某区间上的解析式，求该函数在整个定义域上的解析式的方法是：首先设出未知区间上的自变量，利用奇、偶函数的定义域关于原点对称的特点，把它转化到已知的区间上，代入已知的解析式，然后再次利用函数的奇偶性求解即可．（3）已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值①若表示定义域的区间含有参数，则可利用对称性列出关于参数的方程.②一般化策略：对x 取定义域内的任一个值，利用f (-x )与f (x )的关系式恒成立来确定参数的值.（4）应用奇偶性画图象和判断函数单调性①如果一个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．如果一个函数是偶函数，则这个函数的图象是以y 轴为对称轴的轴对称图形；反之，如果一个函数的图象关于y 轴对称，则这个函数是偶函数．②根据奇、偶函数的图象特征，可以得到：奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性，偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性．上述结论可简记为“奇同偶异”．偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大（小）值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．（5）利用函数的奇偶性求最值①奇函数的性质：如果函数)(x f 是定义在区间],[b a 上的奇函数，则0)()(min max =+x f x f ②偶函数的性质：如果函数)(x f 是定义在区间],[b a 上的偶函数，则函数)(x f 是定义在区间],[b a 上的最值等于函数)(x f 在区间]0,[a （或],0[b ）上的最值。
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N0: 年 月 日
课题：函数单调性奇偶性综合应用
课时 1 课型 复习
知识与技能 利用函数单调性、奇偶性解决一些问题
过程与方法 通过具体实例，讲解解决问题方法，并归纳该类问题解决方法
情感态度价值观 通过师生互动，培养学生学习的积极性，激发学生的学习兴趣
重 点 对例题的剖析，讲解
难 点 对所学知识的灵活运用
关 键 对所学知识的熟练掌握
教学过程与内容 师生 互动 时间
分配
例1：若函数，在11322axaaxxf上是减函数，求
a的取值范围。
注意对a进行分类讨论。
a=0:
xxf
符合题意
a>0:不符合题意
a<0:还应满足对称轴
1213
aa
最终才可以确定a的取值范围
函数奇偶性、单调性的综合应用问题：
例2：（1）定义在（-1,1）上的奇函数xf为减函数，且
0211afaf
，求实数a的取值范围
（2）定义在R上的偶函数xg，当x≥0时，xg为减函数，若
mgmg1
成立，求m的取值范围
例3：已知二次函数012abxaxxf
（1）若01f且对任意实数x，均有0xf，求函数
xf
的表达式
（2）在（1）的条件下，当kxxfxgx时，2,2是
单调函数，求实数k的取值范围
例4：已知函数xf在（-1,1）上有定义，当且仅当0
试证明：（1）xf为奇函数
（2）xf在（-1,1）上单调递减
小结：函数单调性、奇偶性综合应用
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教学后记