2019-2020学年高中数学人教B版选修2-3学业分层测评 模块综合测评 Word版含答案
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修2-2)学业分层测评 第1章 导数及其应用 1.1.1、1.1.2 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．函数f(x)＝x2－1在区间[1，m]上的平均变化率为3，则实数m的值为( )A．3 B．2C．1 D．4【解析】由已知得：错误!＝3，∴m＋1＝3，∴m＝2.【答案】 B2．一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1,1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是( )A．－3 B．3C．6 D．－6【解析】由平均速度和瞬时速度的关系可知，v＝s′(1)＝limΔt→0(－3Δt－6)＝－6.【答案】 D3．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则Δy Δx＝( )A．4 B．4xC．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2【解析】因为Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－4－(2×12－4)＝4Δx＋2(Δx)2，所以ΔyΔx＝错误!＝4＋2Δx.【答案】 C4．设函数f(x)在点x0附近有定义，且有f(x0＋Δx)－f(x0)＝aΔx＋b(Δx)2(a，b为常数)，则( )A．f′(x)＝a B．f′(x)＝bC．f′(x0)＝a D．f′(x0)＝b【解析】∵f′(x0)＝limΔx→0错误!＝limΔx→0错误!＝错误!(a＋bΔx)＝a，∴f ′(x 0)＝a .【答案】 C5．设函数y ＝f (x )在x ＝x 0处可导，且lim Δx→0错误!＝1，则f ′(x 0)等于( ) A ．1B ．－1C ．－13D.13【解析】 ∵lim Δx→0错误! ＝lim Δx→0[错误!·(－3)] ＝－3f ′(x 0)＝1，∴f ′(x 0)＝－13.【答案】 C二、填空题6．若f ′(x 0)＝1，则lim k→0错误!＝__________. 【导学号：05410003】【解析】 lim k→0错误! ＝－12lim k→0错误!＝－错误!f ′(x 0)＝－错误!. 【答案】 －127．汽车行驶的路程s 和时间t 之间的函数图象如图1-1-1所示．在时间段[t 0，t 1]，[t 1，t 2]，[t 2，t 3]上的平均速度分别为v 1，v 2，v 3，其三者的大小关系是________．图1-1-1【解析】 ∵v 1＝错误!＝k MA ， v 2＝错误!＝k AB ， v 3＝错误!＝k BC ，由图象可知：k MA <k AB <k BC ，∴v3>v2>v1.【答案】v3>v2>v18．一物体位移s和时间t的关系是s＝2t－3t2，则物体的初速度是__________．【解析】物体的速度为v＝s′(t)，∴s′(t)＝limΔt→0错误!＝limΔt→0错误!＝lim Δt→02Δt－6tΔt－3Δt2Δt＝2－6t.即v＝2－6t，所以物体的初速度是v0＝2－6×0＝2.【答案】 2三、解答题9．已知某物体按照s(t)＝3t2＋t＋4(t的单位：s，s的单位：m)的规律做直线运动，求该物体在4 s附近的平均速度．【解】v＝ΔsΔt＝错误!＝错误!＝(25＋3Δt)m/s，即该物体在4 s附近的平均速度为(25＋3Δt)m/s.10．求函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数)的导数．【解】因为Δy＝[(x＋Δx)2＋a(x＋Δx)＋b]－(x2＋ax＋b)＝2x·Δx＋(Δx)2＋a·Δx＝(2x＋a)·Δx＋(Δx)2，故ΔyΔx＝错误!＝(2x＋a)＋Δx，lim Δx→0ΔyΔx＝limΔx→0(2x＋a＋Δx)＝2x＋a，所以y′＝2x＋a.[能力提升]1．若f(x)＝x3，f′(x0)＝3，则x0的值是( )A．1 B．－1C．±1 D．3 3【解析】∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝(x0＋Δx)3－x30＝3x20Δx＋3x0(Δx)2＋(Δx)3，∴ΔyΔx＝3x20＋3x0Δx＋(Δx)2，∴f′(x0)＝limΔx→0[3x20＋3x0Δx＋(Δx)2]＝3x20，由f′(x0)＝3，得3x20＝3，∴x0＝±1.【答案】 C2．如果函数y＝f(x)在x＝1处的导数为1，那么limx→0错误!＝( )A.12B．1C．2 D.1 4【解析】因为f′(1)＝1，所以limx→0错误!＝1，所以limx→0错误!＝错误!错误!错误!＝错误!.【答案】 A3．已知f′(x0)>0，若a＝limΔx→0错误!，b＝错误!错误!，c＝错误!错误!，d＝limΔx→0错误!，e＝错误!错误!，则a，b，c，d，e的大小关系为__________．【解析】a＝limΔx→0错误!＝f′(x0)，b＝limΔx→0错误!＝－limΔx→0错误!＝－f′(x0)，c＝limΔx→0错误!＝2limΔx→0错误!＝2f′(x0)，d＝limΔx→0错误!＝f′(x0)，e＝limx→x0错误!＝f′(x0)．即c>a＝d＝e>b.【答案】c>a＝d＝e>b4．某一运动物体，在x(s)时离开出发点的距离(单位：m)是f(x)＝23x3＋x2＋2x.(1)求在第1 s内的平均速度；(2)求在1 s末的瞬时速度；(3)经过多少时间该物体的运动速度达到14 m/s?【解】(1)物体在第1 s内的平均变化率(即平均速度)为错误!＝错误!m/s.(2)ΔyΔx＝错误!＝错误!＝6＋3Δx＋23(Δx)2.当Δx→0时，ΔyΔx→6，所以物体在1 s末的瞬时速度为6 m/s.(3)ΔyΔx＝错误!＝错误!＝2x2＋2x＋2＋23(Δx)2＋2x·Δx＋Δx.当Δx→0时，ΔyΔx→2x2＋2x＋2，令2x2＋2x＋2＝14，解得x＝2，即经过2 s该物体的运动速度达到14 m/s.。
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修2-1)：第三章 章末综合测评 Word版含答案
章末综合测评(三) 空间向量与立体几何(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．与向量a ＝(1，－3,2)平行的一个向量的坐标是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫13，1，1 B ．(－1，－3,2)C.⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，32，－1 D ．⎝⎛⎭⎫2，－3，－22【解析】 a ＝(1，－3,2)＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－12，32，－1.【答案】 C2．两平行平面α，β分别经过坐标原点O 和点A (2,1,1)，且两平面的一个法向量n ＝(－1,0,1)，则两平面间的距离是( )A.32B ．22C.3 D ．32【解析】 两平面间的距离d ＝|OA →·n||n|＝22.【答案】 B3．已知A (2，－4，－1)，B (－1,5,1)，C (3，－4,1)，D (0,0,0)，令a ＝CA →，b ＝CB →，则a ＋b为( )A ．(5，－9,2)B ．(－5,9，－2)C ．(5,9，－2)D ．(5，－9，－2)【解析】 a ＝CA →＝(－1,0，－2)，b ＝CB →＝(－4,9,0)，∴a ＋b ＝(－5,9，－2)．4．在平行六面体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若AC1→＝a AB →＋2b AD →＋3c A1A→，则abc 的值等于( ) 【导学号：15460084】A.16 B ．56C.76 D ．－16【解析】 ∵AC1→＝AB →＋AD →－A1A →＝a AB →＋2b AD →＋3c A1A →，∴a ＝1，b ＝12，c ＝－13，∴abc ＝－16.【答案】 D5．在棱长为1的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，下列结论不正确的是( ) A.AB→＝－C1D1→B ．AB →·BC →＝0C.AA1→·B1D1→＝0 D ．AC1→·A1C→＝0 【解析】 如图，AB→∥C1D1→，AB →⊥BC →，AA1→⊥B1D1→，故A ，B ，C 选项均正确．【答案】 D6．已知向量a ，b 是平面α内的两个不相等的非零向量，非零向量c 在直线l 上，则“c ·a ＝0，且c ·b ＝0”是l ⊥α的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】 若l ⊥α，则l 垂直于α内的所有直线，从而有c ·a ＝0，c ·b ＝0.反之，由于a ，b 是否共线没有确定，若共线，则结论不成立；若不共线，则结论成立．7．已知△ABC 的三个顶点为A (3,3,2)，B (4，－3,7)，C (0,5,1)，则BC 边上的中线长为( ) A ．2 B ．3 C ．4D ．5【解析】 设BC 的中点为D ，则D (2,1,4)， ∴AD→＝(－1，－2,2)， ∴|AD →|＝错误!＝3，即BC 边上的中线长为3. 【答案】 B8．若向量a ＝(x,4,5)，b ＝(1，－2,2)，且a 与b 的夹角的余弦值为26，则x ＝( )A ．3B ．－3C ．－11D ．3或－11【解析】 因为a·b ＝(x,4,5)·(1，－2,2)＝x －8＋10＝x ＋2，且a 与b 的夹角的余弦值为26，所以26＝x ＋2x2＋42＋52×1＋4＋4，解得x ＝3或－11(舍去)，故选A.【答案】 A9.如图1，在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，AA 1＝1，则BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为( )图1A.63B ．255C.155D ．105【解析】 以D 点为坐标原点，以DA ，DC ，DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴，建立空间直角坐标系(图略)，则A (2,0,0)，B (2,2,0)，C (0,2,0)，C 1(0,2,1)，∴BC1→＝(－2,0,1)，AC →＝(－2,2,0)，且AC →为平面BB 1D 1D 的一个法向量． ∴cos 〈BC1→，AC →〉＝BC1→·AC →|BC1→||AC →|＝45·8＝105.∴sin 〈BC →1，AC →〉＝|cos 〈BC →1，AC →〉|＝105，∴BC 1与平面BB 1D 1D 所成的角的正弦值为105.【答案】 D10．已知正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AA 1＝2AB ，则CD 与平面BDC 1所成角的正弦值等于( )A.23 B ．33C.23 D ．13【解析】 以D 为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，设AA 1＝2AB ＝2，则D (0,0,0)，C (0,1,0)，B (1,1,0)，C 1(0,1,2)，则DC →＝(0,1,0)，DB →＝(1,1,0)，DC1→＝(0,1,2)．设平面BDC 1的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则n ⊥DB →，n ⊥DC1→，所以有⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，y ＋2z ＝0，令y ＝－2，得平面BDC 1的一个法向量为n ＝(2，－2,1)．设CD 与平面BDC 1所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈n ，DC →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪n·DC →|n||DC →|＝23.【答案】 A11．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，若点F 是侧面CD 1的中心，且AF →＝AD →＋m AB →－n AA1→，则m ，n 的值分别为( ) A.12，－12 B ．－12，－12C ．－12，12D ．12，12【解析】 由于AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋12(DC →＋DD1→)＝AD →＋12AB →＋12AA1→，所以m ＝12，n ＝－12，故选A.【答案】 A12．在矩形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝4，P A ⊥平面ABCD ，P A ＝435，那么二面角A -BD -P 的大小为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°【解析】如图所示，建立空间直角坐标系， 则PB →＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫3，0，－453，BD→＝(－3,4,0)． 设n ＝(x ，y ，z )为平面PBD 的一个法向量，则 ⎩⎨⎧n·PB →＝0，n·BD→＝0，得错误!即⎩⎪⎨⎪⎧3x －453z ＝0，－3x ＋4y ＝0.令x ＝1，则n ＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫1，34，543. 又n 1＝⎝⎛⎭⎪⎪⎫0，0，453为平面ABCD 的一个法向量， ∴cos 〈n 1，n 〉＝n1·n|n1||n|＝32，∴所求二面角为30°.【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．若a ＝(2x,1,3)，b ＝(1，－2y,9)，且a 与b 为共线向量，则x ＝________，y ＝________.【导学号：15460085】【解析】 由题意得2x 1＝1－2y ＝39，∴x ＝16，y ＝－32.【答案】16－3214．△ABC 的三个顶点坐标分别为A (0,0，2)，B ⎝⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，2，C (－1,0, 2)，则角A 的大小为________．【解析】 AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫－32，12，0，AC →＝(－1,0,0)，则cos A ＝AB →·AC →|AB →||AC →|＝321×1＝32，故角A 的大小为30°.【答案】 30°15．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知A (1，－2,3)，B (2,1，－1)，若直线AB 交平面xOz 于点C ，则点C 的坐标为________．【解析】 设点C 的坐标为(x,0，z )，则AC→＝(x －1,2，z －3)，AB →＝(1,3，－4)，因为AC →与AB →共线，所以x －11＝23＝z －3－4，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝53，z ＝13，所以点C 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫53，0，13.【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫53，0，1316.如图2，在四棱锥S -ABCD 中，底面ABCD 是边长为1的正方形，S 到A ，B ，C ，D 的距离都等于2.图2给出以下结论：①SA→＋SB →＋SC →＋SD →＝0；②SA →＋SB →－SC →－SD →＝0；③SA →－SB →＋SC →－SD →＝0；④SA →·SB →＝SC →·SD →；⑤SA →·SC→＝0，其中正确结论的序号是________． 【解析】 容易推出：SA→－SB →＋SC →－SD →＝BA →＋DC →＝0，所以③正确；又因为底面ABCD是边长为1的正方形，SA ＝SB ＝SC ＝SD ＝2，所以SA →·SB →＝2×2cos ∠ASB ，SC →·SD →＝2×2cos∠CSD ，而∠ASB ＝∠CSD ，于是SA →·SB →＝SC →·SD→，因此④正确；其余三个都不正确，故正确结论的序号是③④.【答案】 ③④三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)如图3，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD∥QA ，QA ＝AB ＝12PD .图3(1)证明：平面PQC ⊥平面DCQ ； (2)证明：PC ∥平面BAQ .【证明】 如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系Dxyz .(1)依题意有Q (1,1,0)，C (0,0,1)，P (0,2,0)，则DQ →＝(1,1,0)，DC →＝(0,0,1)，PQ →＝(1，－1，0)，所以PQ →·DQ →＝0，PQ →·DC→＝0， 即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC 且DQ ∩DC ＝D . 故PQ ⊥平面DCQ .又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ .(2)根据题意，DA →＝(1,0,0)，AB →＝(0,0,1)，AQ →＝(0,1,0)，故有DA →·AB →＝0，DA →·AQ →＝0，所以DA→为平面BAQ 的一个法向量． 又因为PC →＝(0，－2,1)，且DA →·PC →＝0，即DA ⊥PC ，且PC ⊄平面BAQ ，故有PC ∥平面BAQ . 18.(本小题满分12分)如图4，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝1，AA 1＝2，求异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值．图4【解】 因为BA1→＝BA →＋AA1→＝BA→＋BB1→，AC →＝BC →－BA →， 且BA →·BC →＝BB1→·BA → ＝BB1→·BC→＝0， 所以BA1→·AC →＝(BA →＋BB1→)·(BC →－BA →) ＝BA →·BC →－BA →2＋BB1→·BC →－BB1→·BA → ＝－1. 又|AC →|＝2，|BA1→|＝1＋2＝3，所以cos 〈BA1→，AC →〉＝BA1→·AC →|BA1→||AC →|＝－16＝－66，则异面直线BA 1与AC 所成角的余弦值为66.19.(本小题满分12分)如图5，AB 是圆的直径，P A 垂直圆所在的平面，C 是圆上的点．图5(1)求证：平面PBC ⊥平面P AC ；(2)若AB ＝2，AC ＝1，P A ＝1，求二面角C -PB -A 的余弦值．【解】 (1)证明：由AB 是圆的直径，得AC ⊥BC ， 由P A ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，得P A ⊥BC . 又P A ∩AC ＝A ，P A ⊂平面P AC ，AC ⊂平面P AC ， 所以BC ⊥平面P AC . 因为BC ⊂平面PBC . 所以平面PBC ⊥平面P AC .(2)过C 作CM ∥AP ，则CM ⊥平面ABC .如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB ，CA ，CM 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系．在Rt △ABC 中，因为AB ＝2，AC ＝1，所以BC ＝3.又因为P A ＝1，所以A (0,1,0)，B (3，0,0)，P (0,1,1)．故CB→＝(3，0,0)，CP→＝(0,1,1)．设平面BCP 的法向量为n 1＝(x 1，y 1，z 1)， 则⎩⎨⎧CB →·n1＝0，CP→·n1＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧3x1＝0，y1＋z1＝0，不妨令y 1＝1，则n 1＝(0,1，－1)． 因为AP→＝(0,0,1)，AB →＝(3，－1,0)，设平面ABP 的法向量为n 2＝(x 2，y 2，z 2)， 则⎩⎨⎧AP →·n2＝0，AB→·n2＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧z2＝0，3x2－y2＝0，不妨令x 2＝1，则n 2＝(1,3，0)．于是cos 〈n 1，n 2〉＝322＝64.由图知二面角C -PB -A 为锐角，故二面角C -PB -A 的余弦值为64.20.(本小题满分12分)如图6，在四棱锥P -ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥AD ，AB ⊥P A ，BC ＝2AB ＝2AD ＝4BE ，平面P AB ⊥平面ABCD .图6(1)求证：平面PED ⊥平面P AC ；(2)若直线PE 与平面P AC 所成的角的正弦值为55，求二面角A -PC -D 的余弦值．【解】 (1)证明：∵平面P AB ⊥平面ABCD ， 平面P AB ∩平面ABCD ＝AB ，AB ⊥P A ， ∴P A ⊥平面ABCD ，又∵AB ⊥AD ，故可建立空间直角坐标系Oxyz 如图所示， 不妨设BC ＝4，AP ＝λ(λ>0)，则有D (0,2,0)，E (2,1,0)，C (2,4,0)，P (0,0，λ)， ∴AC→＝(2,4,0)，AP →＝(0,0，λ)，DE →＝(2，－1,0)， ∴DE →·AC →＝4－4＋0＝0，DE →·AP→＝0，∴DE ⊥AC ，DE ⊥AP 且AC ∩AP ＝A ， ∴DE ⊥平面P AC . 又DE ⊂平面PED ， ∴平面PED ⊥平面P AC .(2)由(1)知，平面P AC 的一个法向量是DE →＝(2，－1，0)，PE →＝(2,1，－λ)，设直线PE 与平面P AC 所成的角为θ， ∴sin θ＝|cos 〈PE →，DE →〉|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪4－155＋λ2＝55，解得λ＝±2.∵λ>0，∴λ＝2，即P (0,0,2)，设平面PCD 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )，DC →＝(2,2,0)，DP →＝(0，－2,2)，由n ⊥DC →，n ⊥DP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2y ＝0，－2y ＋2z ＝0，不妨令x ＝1，则n ＝(1，－1，－1)．∴cos 〈n ，DE →〉＝2＋13 5＝155，显然二面角A -PC -D 的平面角是锐角， ∴二面角A -PC -D 的余弦值为155.21.(本小题满分12分)如图7，四棱锥P -ABCD 的底面ABCD 为一直角梯形，其中BA ⊥AD ，CD ⊥AD ，CD ＝AD ＝2AB ，P A ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．图7(1)求证：BE ∥平面P AD ； (2)若BE ⊥平面PCD ，①求异面直线PD 与BC 所成角的余弦值； ②求二面角E -BD -C 的余弦值．【解】 设AB ＝a ，P A ＝b ，建立如图的空间直角坐标系，则A (0,0,0)，B (a,0,0)，P (0,0，b )，C (2a,2a,0)，D (0,2a,0)，E ⎝⎛⎭⎪⎪⎫a ，a ，b 2.(1)BE →＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫0，a ，b 2，AD →＝(0,2a,0)，AP →＝(0,0，b )，所以BE →＝12AD →＋12AP →，因为BE ⊄平面P AD ，所以BE ∥平面P AD . (2)因为BE ⊥平面PCD ，所以BE ⊥PC ， 即BE →·PC →＝0，PC →＝(2a,2a ，－b )，所以BE →·PC →＝2a 2－b22＝0，则b ＝2a .①PD→＝(0,2a ，－2a )，BC →＝(a,2a,0)，cos 〈PD →，BC →〉＝4a222a·5a＝105，所以异面直线PD 与BC 所成角的余弦值为105.②在平面BDE 和平面BDC 中，BE→＝(0，a ，a )，BD →＝(－a ，2a,0)，BC →＝(a,2a,0)，所以平面BDE 的一个法向量为n 1＝(2,1，－1)；平面BDC 的一个法向量为n 2＝(0,0,1)；cos 〈n 1，n 2〉＝－16，所以二面角E -BD -C 的余弦值为66.22．(本小题满分12分)如图8，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．图8(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由．【解】 以D 为原点，射线DA ，DC ，DD 1分别为x 轴，y 轴，z 轴的正半轴建立空间直角坐标系．由已知得B (2,2,0)，C 1(0,2,2)，E (2,1,0)，F (1,0,0)，P (0,0，λ)，BC1→＝(－2,0,2)，FP →＝(－1,0，λ)，FE→＝(1,1,0)． (1)当λ＝1时，FP →＝(－1,0,1)，因为BC1→＝(－2,0,2)． 所以BC1→＝2FP →，可知BC 1∥FP ， 而FP ⊂平面EFPQ ，且BC 1⊄平面EFPQ ，故直线BC 1∥平面EFPQ . (2)设平面EFPQ 的一个法向量为n ＝(x ，y ，z )， 由⎩⎨⎧FE →·n＝0，FP→·n＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝0，－x ＋λz＝0，于是可取n ＝(λ，－λ，1)，同理可得平面PQMN 的一个法向量为m ＝(λ－2,2－λ，1)，若存在λ，使得平面EFPQ 与平面PQMN 所在的二面角为直二面角，则m·n＝(λ－2,2－λ，1)·(λ，－λ，1)＝0，即λ(λ－2)－λ(2－λ)＋1＝0，解得λ＝1±2 2，故存在λ＝1±22，使平面EFPQ与平面PQMN所成的二面角为直二面角．。
高中数学人教B版选修2-2学业分层测评 第一章 导数及其应用 1.2.1、1.2.2 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：分钟)[学业达标]一、选择题．下列结论正确的是( )．若＝，则′＝．若＝，则′＝－．若＝，则′＝－．若＝，则′＝【解析】∵( )′＝－，∴不正确；∵( )′＝，∴不正确；∵()′＝，∴不正确．【答案】．(·济南高二检测)在曲线()＝上切线的倾斜角为π的点的坐标为( ) 【导学号：】．() ．(－，－)．(－) ．()或(－，－)【解析】切线的斜率＝π＝－，设切点为(，)，则′()＝－，又′()＝－，∴－＝－，∴＝或－，∴切点坐标为()或(－，－)．故选.【答案】．对任意的，有′()＝，()＝－，则此函数解析式为( )．()＝．()＝－．()＝＋．()＝－【解析】由′()＝知()中含有项，然后将＝代入选项中验证可得，选.【答案】．(·北京高二检测)已知曲线＝在点()处的切线方程为＝＋，则－＝( ) ．．－．．－【解析】∵′＝，∴点()处的切线斜率＝′()＝.∴切线方程为－＝(－)，即＝－，∴＝，＝－，∴－＝.【答案】．若()＝，′(α)＝，则下列α的值中满足条件的是( )π π【解析】∵()＝，∴′()＝.又∵′(α)＝α＝，∴α＝π±(∈)．当＝时，α＝.【答案】二、填空题．(·菏泽高二检测)已知()＝，()＝，若′()－′()＝，则＝.【解析】因为()＝，()＝，所以′()＝，′()＝且>，′()－′()＝－＝，即－－＝，解得＝或＝－(舍去)．故＝.【答案】．直线＝＋是曲线＝ (＞)的一条切线，则实数＝.【解析】设切点坐标为(，)，则＝.∵′＝( )′＝，由题意知＝，∴＝，＝.由＝×＋，得＝－.【答案】－．(·南京高二检测)已知函数＝()的图象在(，())处的切线方程是＝＋，则()＋′()＝. 【导学号：】。
【2019-2020年度】人教B版高中数学-选修2-3教学案 第二课时 组合的综合应用(Word)
【2019-2020年度】人教B版高中数学-选修2-3教学案第二课时组合的综合应用（Word）[例1] 3件检查．(1)恰有一件是次品的抽法有多少种？(2)至少有一件是次品的抽法有多少种？[思路点拨] 分清“恰有”“至少”的含义，正确地分类或分步．[精解详析] (1)从2件次品中任取1件，有C种抽法．从8件正品中取2件，有C种抽法．由分步乘法计数原理可知，不同的抽法共有C×C＝56种．(2)法一：含1件次品的抽法有C×C种，含2件次品的抽法有C×C种．由分类加法计数原理知，不同的抽法共有C×C＋C×C＝56＋8＝64种．法二：从10件产品中任取3件的抽法有C种，不含次品的抽法有C种，所以至少有1件次品的抽法为C－C＝64种．[一点通]解答有限制条件的组合问题的基本方法：(1)直接法：优先选取特殊元素，再选取其他元素．(2)间接法：正面情况分类较多时，从反面入手，正难则反．解题时要注意分清“恰有”“有且仅有”“至多”“至少”“全是”“都不是”“不都是”等词语的确切含义，准确把握分类标准．1．从6位同学中选出4位参加一个座谈会，要求张、王两同学中至多有一个人参加，则不同选法的种数为( )A．9 B．14C．12 D．15解析：法一：(直接法)分两类，第一类张、王两同学都不参加，有C种选法；第二类张、王两同学中只有1人参加，有CC种选法．故共有C＋CC＝9种选法．法二：(间接法)C－C＝9种．答案：A2．在7名学生中，有3名会下象棋但不会下围棋，有2名会下围棋但不会下象棋，有2名既会下象棋又会下围棋，现从这7人中选2人分别参加象棋比赛和围棋比赛，共有多少种不同的选法？解：分四类求解：①从3名只会下象棋的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6种选法；②从3名只会下象棋的的学生中选1名参加象棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，有3×2＝6种选法；③从2名只会下围棋的学生中选1名参加围棋比赛，同时从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，有2×2＝4种选法；④从2名既会下象棋又会下围棋的学生中选1名参加象棋比赛，剩下的1名参加围棋比赛，有2×1＝2种选法．根据分类加法计数原理，一共有6＋6＋4＋2＝18种不同的选法.[例2] 3点共线．以这些点为顶点，可构成多少个不同的三角形？[思路点拨] 解答本题可以从共线的4个点中选取2个、1个、0个作为分类标准，也可以从反面考虑，任意三点的取法种数减去共线三点的取法种数．[精解详析] 法一：以从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准．第一类：共线的4个点中有2个点为三角形的顶点，共有CC＝48个不同的三角形；第二类：共线的4个点中有1个点为三角形的顶点，共有CC＝112个不同的三角形；第三类：共线的4个点中没有点为三角形的顶点，共有C＝56个不同的三角形．由分类加法计数原理知，不同的三角形共有48＋112＋56＝216个．法二(间接法)：从12个点中任意取3个点，有C＝220种取法，而在共线的4个点中任意取3个均不能构成三角形，即不能构成三角形的情况有C＝4种．故这12个点构成三角形的个数为C－C＝216个．[一点通]1．解决几何图形中的组合问题，首先应注意运用处理组合问题的常规方法分析解决问题，其次要注意从不同类型的几何问题中抽象出组合问题，寻找一个组合的模型加以处理．2．图形多少的问题通常是组合问题，要注意共点、共线、共面、异面等情形，防止多算．常用直接法，也可采用排除法．3．以正方体的顶点为顶点的四面体的个数为________．解析：正方体的8个顶点可构成C个四点组，其中共面的四点组有正方体的6个表面和正方体相对棱分别所在6个平面的四个顶点，故可以确定的四面体有C－12＝58个．答案：584．正六边形的顶点和中心共7个点，可组成________个三角形．解析：不共线的三个点可组成一个三角形，7个点中共线的是过中心的3条对角线，即共有3种情况，故组成三角形的个数为C－3＝32.答案：32[例3] 3名男医生、2名女医生到5个不同的地区巡回医疗，但规定男医生甲不能到地区A，则共有多少种不同的分派方案？[思路点拨] 男医生甲是特殊元素，地区A是特殊位置，因此可分类解决．[精解详析] 分两类：第一类，甲被选中，共有CCCA种分派方案；第二类，甲不被选中，共有CCA种分派方案．根据分类加法计数原理，共有CCCA＋CCA＝5 760＋7 200＝12 960种分派方案．[一点通]本题是一道“既选又排”的排列、组合综合题，解决这类问题的方法是“先选后排”，同时要注意特殊元素、特殊位置优先安排的原则．5．从0,1,2,3,4,5这六个数中每次取三个不同的数字，把其中最大的数放在百位上排成三位数，这样的三位数有( ) A．40个 B．120个C．360个 D．720个解析：先选取3个不同的数，有C种方法；然后把其中最大的数放在百位上，另两个不同的数放在十位和个位上，有A种排法，故共有CA＝40个三位数．答案：A6．某班班会准备从甲、乙等7名学生中选派4名学生发言，要求甲、乙两人至少有一人参加．当甲、乙同时参加时，他们两人的发言不能相邻，那么不同的发言顺序的种数为( )A．360 B．520C．600 D．720解析：若甲、乙同时参加，可以先从剩余的5人中选出2人，先排此两人，再将甲、乙两人插入其中即可，则共有CAA种不同的发言顺序；若甲、乙两人只有一人参加，则共有CCA种不同的发言顺序．综上可得不同的发言顺序为CAA＋CCA＝600种．答案：C解有限制条件的排列组合应用题的基本方法：(1)直接法：用直接法求解时，应坚持“特殊元素优先选取”、“特殊位置优先安排”的原则．(2)间接法：选择间接法的原则是正难则反，也就是若正面问题的分类较多、较复杂或计算量较大时，不妨从反面问题入手，特别是涉及“至多”、“至少”等问题时更是如此．此时，正确理解“都不是”、“不都是”、“至多”、“至少”等词语的确切含义是解决这些问题的关键．1．在1,2,3,4,5这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各数位之和为偶数的共有( )A．36个B．24个C．18个D．6个解析：若各位数字之和为偶数，则只能两奇一偶，故有CCA＝36个．答案：A2．将2名教师、4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )A．12种 B．10种 C．9种 D．8种解析：先安排1名教师和2名学生到甲地，再将剩下的1名教师和2名学生安排到乙地，共有CC＝12种安排方案．答案：A3．甲组有5名男同学、3名女同学；乙组有6名男同学、2名女同学．若从甲、乙两组中各选出2名同学，则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有( )A．150种 B．180种 C．300种 D．345种解析：若这名女同学是甲组的，选法有CCC；若这名女同学是乙组的，则选法有CCC；故符合条件的选法共有CCC＋CCC＝345种．答案：D4．两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )A．10种 B．15种 C．20种 D．30种解析：分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局、输1局，第4局赢)，共有2C＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局、输2局，第5局赢)，共有2C＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种．答案：C5．直角坐标系xOy平面上，平行于x轴和平行于y轴的直线各有6条，则由这12条直线组成的图形中，矩形共有________个．解析：从6条水平直线和6条竖直直线中各取2条，每一种取法对应一个矩形，因此矩形共有CC＝225个．答案：2256．从4名男生和3名女生中选出4人担任奥运会志愿者，若选出的4人中既有男生又有女生，则不同的选法共有________种．解析：(间接法)共有C－C＝34种不同的选法．答案：347．有9本不同的课外书，分给甲、乙、丙三名同学，在下列条件下，各有多少种分法？(1)甲得4本，乙得3本，丙得2本；(2)一人得4本，一人得3本，一人得2本；(3)甲、乙、丙各得3本．解：(1)分三步完成：第一步，从9本不同的书中任取4本分给甲，有C种分法；第二步，从余下的5本书中任取3本给乙，有C种分法；第三步，把剩下的书给丙，有C种分法，所以共有不同的分法C·C·C＝1 260种．(2)分两步完成：第一步，按4本、3本、2本分成三组，有C·C·C种分法；第二步，将分成的三组书分给甲、乙、丙三个人，有A种分法，所以共有C·C·C·A＝7 560种分法．(3)用与(1)相同的方法求解，有C·C·C＝1 680种分法．8．从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数．试问：(1)能组成多少个没有重复数字的七位数？(2)上述七位数中三个偶数排在一起的有多少个？(3)(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有多少个？(4)(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有多少个？解：(1)分步完成：第一步在4个偶数中取3个，可有C种情况；第二步在5个奇数中取4个，可有C种情况；第三步3个偶数，4个奇数进行排列，可有A种情况，所以符合题意的七位数有C·C·A＝100 800个．(2)上述七位数中，三个偶数排在一起的有C·C·A·A＝14 400个．(3)(1)中的七位数中，3个偶数排在一起，4个奇数也排在一起的有C·C·A·A·A＝5 760个．(4)(1)中的七位数中，偶数都不相邻，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空档，共有C·C·A·A＝28 800个．。
高中数学(人教B版必修2)学业分层测评：第2章 2.2.1 直线方程的概念与直线的斜率 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)一、选择题1.下列说法正确的是( )A.一条直线和x 轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B.直线的倾斜角α的取值范围是锐角或钝角C.与x 轴平行的直线的倾斜角为180°D.每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率【解析】 选项A 成立的前提条件为直线和x 轴相交，故错误；选项B 中倾斜角α的范围是0°≤α<180°，故错误；选项C 中与x 轴平行的直线，它的倾斜角为0°，故错误；选项D 中每一条直线都存在倾斜角，但是直线与y 轴平行时，该直线的倾斜角为90°，斜率不存在，故正确.【答案】 D2.若A 、B 两点的横坐标相等，则直线AB 的倾斜角和斜率分别是( )A.45°，1B.135°，－1C.90°，不存在D.180°，不存在【解析】 由于A 、B 两点的横坐标相等，所以直线与x 轴垂直，倾斜角为90°，斜率不存在.故选C.【答案】 C3.若过两点A (4，y )，B (2，－3)的直线的倾斜角是135°，则y 等于( )A.1B.5C.－1D.－5【解析】 由斜率公式可得：y ＋34－2＝tan 135°， ∴y ＋32＝－1，∴y ＝－5.∴选D.【答案】 D4.若直线l 的向上方向与y 轴的正方向成60°角，则l 的倾斜角为( )A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°【解析】 直线l 可能有两种情形，如图所示，故直线l 的倾斜角为30°或150°.故选C.【答案】 C5.直线l 过点A (1,2)，且不过第四象限，则直线l 的斜率k 的最大值是( )A.0B.1C.12D.2【解析】 如图，k OA ＝2，k l ′＝0，只有当直线落在图中阴影部分才符合题意，故k ∈.故直线l 的斜率k 的最大值为2.【答案】 D二、填空题6.a ，b ，c 是两两不等的实数，则经过P (b ，b ＋c )，C (a ，c ＋a )两点直线的倾斜角为________.【解析】 由题意知，b ≠a ，所以k ＝c ＋a －b ＋c a －b＝1， 故倾斜角为45°.【答案】 45°7.已知三点A (－3，－1)，B (0,2)，C (m,4)在同一直线上，则实数m 的值为________.【解析】 ∵A 、B 、C 三点在同一直线上，∴k AB ＝k BC ，∴2－－0－－＝4－2m －0， ∴m ＝2.【答案】 28.在平面直角坐标系中，正△ABC 的边BC 所在直线的斜率是0，则AC ，AB 所在直线的斜率之和为________.【解析】 如图，易知k AB ＝3，k AC ＝－3，则k AB ＋k AC ＝0.【答案】 0三、解答题9.已知点A (1,2)，在坐标轴上求一点P 使直线PA 的倾斜角为60°.【解】 (1)当点P 在x 轴上时，设点P (a,0)，∵A (1,2)，∴k PA ＝0－2a －1＝－2a －1. 又∵直线PA 的倾斜角为60°，∴tan 60°＝－2a －1，解得a ＝1－233. ∴点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－233，0. (2)当点P 在y 轴上时，设点P (0，b ). 同理可得b ＝2－3， ∴点P 的坐标为(0,2－3).10.已知A (2,4)，B (3,3)，点P (a ，b )是线段AB (包括端点)上的动点，求b －1a －1的取值范围.【解析】 设k ＝b －1a －1，则k 可以看成点P (a ，b )与定点Q (1,1)连线的斜率.如图，当P 在线段AB 上由B 点运动到A 点时，PQ 的斜率由k BQ 增大到k AQ ，因为k BQ ＝3－13－1＝1，k AQ ＝4－12－1＝3， 所以1≤k ≤3，即b －1a －1的取值范围是.1.斜率为2的直线经过点A (3,5)，B (a,7)，C (－1，b )三点，则a ，b 的值分别为( )A.4,0B.－4，－3C.4，－3D.－4,3【解析】 由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ k AC ＝2，k AB ＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧ b －5－1－3＝2，7－5a －3＝2，解得a ＝4，b ＝－3.【答案】 C2.已知直线l 1的斜率为1，l 2的斜率为a ，其中a 为实数，当两直线的夹角在(0°，15°)内变动时，则a 的取值范围是( )A.(0,1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，3C.⎝ ⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)D.(1，3)【解析】 ∵l 1的倾斜角为45°，∴l 2的倾斜角的取值范围为(30°，45°)∪(45°，60°)，∴a 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫33，1∪(1，3)，故选C. 【答案】 C3.已知直线l 1的倾斜角α1＝15°，直线l 1与l 2的交点为A ，把直线l 2绕着点A 按逆时针方向旋转到和直线l 1重合时所转的最小正角为60°，则直线l 2的斜率的值为________. 【解析】 设直线l 2的倾斜角为α2，则由题意知：180°－α2＋15°＝60°，α2＝135°，k 2＝tan α2＝－tan 45°＝－1.【答案】 －14.点M (x ，y )在函数y ＝－2x ＋8的图象上，当x ∈时，求y ＋1x ＋1的取值范围.【解】 y ＋1x ＋1＝y －－x －－的几何意义是过M (x ，y )，N (－1，－1)两点的直线的斜率. ∵点M 在函数y ＝－2x ＋8的图象上，且x ∈，∴设该线段为AB 且A (2,4)，B (5，－2)，设直线NA ，NB 的斜率分别为k NA ，k NB .∵k NA ＝53，k NB ＝－16，∴－16≤y ＋1x ＋1≤53. ∴y ＋1x ＋1的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－16，53.。
2019-2020学年高中数学人教A版选修2-3模块综合测评2 Word版含解析
模块综合测评(二)(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法有( )A．24种B．18种C．12种D．6种【解析】种植黄瓜有3种不同的种法，其余两块地从余下的3种蔬菜中选一种种植有3×2＝6种不同种法．由分步乘法计数原理知共有3×6＝18种不同的种植方法．故选B.【答案】 B2．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10,0.6)，则E(Y)，D(Y)分别是( ) 【导学号：97270068】A．6和2.4 B．2和2.4C．2和5.6 D．6和5.6【解析】由已知随机变量X＋Y＝8，所以有Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，D(Y)＝(－1)2D(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.【答案】 B3．设随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，若P(ξ>c)＝P(ξ<c－2)，则c的值是( )A．1 B．2 C．3 D．4【解析】随机变量ξ服从正态分布N(2,9)，∴曲线关于x＝2对称，∵P(ξ>c)＝P(ξ<c－2)，∴c＋c－22＝2，∴c＝3.故选C.【答案】 C4．设A＝37＋C27·35＋C47·33＋C67·3，B＝C17·36＋C37·34＋C57·32＋1，则A－B的值为( ) A．128 B．129 C．47D．0【解析】A－B＝37－C17·36＋C27·35－C37·34＋C47·33－C57·32＋C67·3－1＝(3－1)7＝27＝128，故选A.【答案】 A5．若⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x n 展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为( )A ．10B ．20C ．30D ．120【解析】 ∵C 0n ＋C 1n ＋…＋C n ＝2n ＝64，∴n ＝6. T r ＋1＝C r 6x 6－r x －r ＝C r 6x 6－2r ，令6－2r ＝0，∴r ＝3， 常数项T 4＝C 36＝20，故选B. 【答案】 B6．已知某离散型随机变量X 服从的分布列如下，则随机变量X 的数学期望E (X )等于( )A.19 B.29C.13 D.23【解析】 由题意可知m ＋2m ＝1，所以m ＝13，所以E (X )＝0×13＋1×23＝23.【答案】 D7．12名同学合影，站成了前排4人后排8人，现摄影师要从后排8人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是( )A ．C 28A 23B ．C 28A 6 C ．C 28A 26D ．C 28A 25【解析】 从后排8人中选2人安排到前排6个位置中的任意两个位置即可，所以选法种数是C 28A 26，故选C.【答案】 C8．一个电路如图1所示，A ，B ，C ，D ，E ，F 为6个开关，其闭合的概率都是12，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )图1A.164 B.5564 C.18 D.116【解析】 开关C 断开的概率为12，开关D 断开的概率为12，开关A ，B 至少一个断开的概率为1－12×12＝34，开关E ，F 至少一个断开的概率为1－12×12＝34，故灯不亮的概率为12×12×34×34＝964，故灯亮的概率为1－964＝5564，故选B. 【答案】 B9．利用下列盈利表中的数据进行决策，应选择的方案是( )A.A 1 B ．A 234【解析】 利用方案A 1，期望为 50×0.25＋65×0.30＋26×0.45＝43.7； 利用方案A 2，期望为70×0.25＋26×0.30＋16×0.45＝32.5； 利用方案A 3，期望为－20×0.25＋52×0.30＋78×0.45＝45.7；利用方案A 4，期望为98×0.25＋82×0.30－10×0.45＝44.6； 因为A 3的期望最大，所以应选择的方案是A 3，故选C. 【答案】 C10．在4次独立重复试验中，随机事件A 恰好发生1次的概率不大于其恰好发生2次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率的取值范围是( )A．[0.4,1) B．(0,0.6]C．(0,0.4] D．[0.6,1)【解析】设事件A发生一次的概率为p，则事件A的概率可以构成二项分布，根据独立重复试验的概率公式可得C14p(1－p)3≤C24p2(1－p)2，即可得4(1－p)≤6p，p≥0.4.又0<p<1，故0.4≤p<1.【答案】 A11．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于( )A.715B.815C.1415D．1【解析】由题意，知X取0,1,2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，即P(X＝0)＝C27C210＝715，P(X＝1)＝C17·C13C210＝715，P(X＝2)＝C23C210＝115，于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝715＋715＝1415.【答案】 C12．已知0<a<1，方程a|x|＝|log a x|的实根个数为n，且(x＋1)n＋(x＋1)11＝a0＋a1(x＋2)＋a2(x ＋2)2＋…＋a10(x＋2)10＋a11(x＋2)11，则a1等于( )A．－10 B．9 C．11 D．－12【解析】作出y＝a|x|(0<a<1)与y＝|log a x|的大致图象如图所示，所以n＝2.故(x＋1)n＋(x＋1)11＝(x＋2－1)2＋(x＋2－1)11，所以a1＝－2＋C1011＝－2＋11＝9.故选B.【答案】 B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在题中的横线上)13．已知(1－x)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则(a0＋a2＋a4)·(a1＋a3＋a5)的值等于_ _______．【解析】令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0，①再令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＝25＝32，②①＋②得a 0＋a 2＋a 4＝16， ①－②得a 1＋a 3＋a 5＝－16，故(a 0＋a 2＋a 4)·(a 1＋a 3＋a 5)的值等于－256. 【答案】 －25614．从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别为a ，b ，共可得到lg a －lgb 的不同值的个数是________. 【导学号：97270069】【解析】 首先从1,3,5,7,9这五个数中任取两个不同的数排列，共A 25＝20种排法，因为31＝93，13＝39，所以从1,3,5,7,9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a ，b ，共可得到lg a －lg b 的不同值的个数是20－2＝18.【答案】 1815．某市工商局于2016年3月份，对全市流通领域的饮料进行了质量监督抽查，结果显示，某种刚进入市场的X 饮料的合格率为80%，现有甲、乙、丙3人聚会，选用6瓶X 饮料，并限定每人喝2瓶．则甲喝2瓶合格的X 饮料的概率是________．【解析】 “第一瓶X 饮料合格”为事件A 1，“第二瓶X 饮料合格”为事件A 2，P (A 1)＝P (A 2)＝0.8，A 1与A 2是相互独立事件，则“甲喝2瓶X 饮料”都合格就是事件A 1，A 2同时发生，根据相互独立事件的概率乘法公式得：P (A 1A 2)＝P (A 1)·P (A 2)＝0.8×0.8＝0.64. 【答案】 0.6416．某单位组织4个部门的职工旅游，规定每个部门只能在韶山、衡山、张家界3个景区中任选一个，假设各部门选择每个景区是等可能的．则3个景区都有部门选择的概率是________．【解析】 根据题意，每个部门都有3种情况可选，则4个部门选择3个景区有34＝81种不同的选法，记“3个景区都有部门选择”为事件A ，如果3个景区都有部门选择，则某一个景区必须有2个部门选择，其余2个景区各有1个部门选择，分2步分析：(1)从4个部门中任选2个作为1组，另外2个部门各作为1组，共3组，共有C 24＝6种分法；(2)每组选择不同的景区，共有A 3＝6种选法．所以3个景区都有部门选择可能出现的结果数为6×6＝36种．则P (A )＝3681＝49.【答案】49三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)(2016·河南周口)在二项式⎝⎛⎭⎪⎪⎫x ＋124x n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项和二项式系数最大的项．【解】 ∵二项展开式的前三项的系数分别是1，n2，18n (n －1)，∴2·n 2＝1＋18n (n －1)，解得n ＝8或n ＝1(不合题意，舍去)，∴T k ＋1＝C k 8x 8－k 2⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫124x k ＝C k 82－kx 4－34k ， 当4－34k ∈Z 时，T k ＋1为有理项．∵0≤k ≤8且k ∈Z ，∴k ＝0,4,8符合要求．故有理项有3项，分别是T 1＝x 4，T 5＝358x ，T 9＝1256x －2.∵n ＝8，∴展开式中共9项．中间一项即第5项的二项式系数最大，则为T 5＝358x .18．(本小题满分12分)某班从6名班干部中(其中男生4人，女生2人)，任选3人参加学校的义务劳动．(1)设所选3人中女生人数为ξ，求ξ的分布列； (2)求男生甲或女生乙被选中的概率；(3)设“男生甲被选中”为事件A ，“女生乙被选中”为事件B ，求P (B )和P (B |A )． 【解】 (1)ξ的所有可能取值为0,1,2，依题意，得 P (ξ＝0)＝C34C36＝15，P (ξ＝1)＝C24C12C36＝35，P (ξ＝2)＝C14C22C36＝15.∴ξ的分布列为(2)则P (C )＝C34C36＝420＝15，∴所求概率为P (C )＝1－P (C )＝1－15＝45.(3)P (B )＝C25C36＝1020＝12，P (A )＝C25C36＝12，P (AB )＝C14C36＝15，P (B |A )＝错误!＝错误!.19．(本小题满分12分)从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i 个家庭的月收入x i (单位：千元)与月储蓄y i (单位：千元)的数据资料，算得∑i ＝110x i＝80，∑i ＝110y i＝20，∑i ＝110x i y i＝184，∑i ＝110x 2i ＝720.(1)求家庭的月储蓄y 对月收入x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^；(2)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关；(3)若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．附：线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ＝∑i ＝1nxiyi －n xy∑i ＝1nx2i －n x 2，a^＝y －b ^ x ，其中x ，y 为样本平均值．【解】 (1)由题意知n ＝10，x ＝1n ∑i ＝1nx i ＝8010＝8，y ＝1n ∑i ＝1n y i ＝2010＝2，又l xx ＝∑i ＝1nx2i －n x 2＝720－10×82＝80，l xy ＝∑i ＝1n x i y i－n xy ＝184－10×8×2＝24，由此得b ^＝lxy lxx ＝2480＝0.3，a^＝y －b ^ x ＝2－0.3×8＝－0.4.故所求线性回归方程为y ＝0.3x －0.4.(2)由于变量y 的值随x 值的增加而增加(b ＝0.3>0)，故x 与y 之间是正相关． (3)将x ＝7代入回归方程可以预测该家庭的月储蓄为y ＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)． 20．(本小题满分12分)(2015·北京高考)A ，B 两组各有7位病人，他们服用某种药物后的康复时间(单位：天)记录如下：A 组：10,11,12,13,14,15,16；B 组：12,13,15,16,17,14，a .假设所有病人的康复时间相互独立，从A ，B 两组随机各选1人，A 组选出的人记为甲，B 组选出的人记为乙．(1)求甲的康复时间不少于14天的概率；(2)如果a＝25，求甲的康复时间比乙的康复时间长的概率；(3)当a为何值时，A，B两组病人康复时间的方差相等？(结论不要求证明) 【解】设事件A i为“甲是A组的第i个人”，事件B i为“乙是B组的第i个人”，i＝1,2， (7)由题意知P(A i)＝P(B i)＝17，i＝1,2， (7)(1)由题意知，事件“甲的康复时间不少于14天”等价于“甲是A组的第5人，或者第6人，或者第7人”，所以甲的康复时间不少于14天的概率是P(A5∪A6∪A7)＝P(A5)＋P(A6)＋P(A7)＝37.(2)设事件C为“甲的康复时间比乙的康复时间长”．由题意知C＝A4B1∪A5B1∪A6B1∪A7B1∪A5B2∪A6B2∪A7B2∪A7B3∪A6B6∪A7B6，因此P(C)＝P(A4B1)＋P(A5B1)＋P(A6B1)＋P(A7B1)＋P(A5B2)＋P(A6B2)＋P(A7B2)＋P(A7B3)＋P(A6B6)＋P(A7B6)＝10P(A4B1)＝10P(A4)P(B1)＝10 49.(3)a＝11或a＝18.21．(本小题满分12分)(2016·广州综合测试)甲、乙、丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是25，甲、丙两人同时不被聘用的概率是625，乙、丙两人同时被聘用的概率是310，且三人各自能否被聘用相互独立．(1)求乙、丙两人各自能被聘用的概率；(2)设ξ表示甲、乙、丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求ξ的分布列与均值(数学期望). 【导学号：97270070】【解】记甲、乙、丙各自能被聘用的事件分别为A1，A2，A3，由已知A1，A2，A3相互独立，且满足错误!解得P(A2)＝12，P(A3)＝35.所以乙、丙两人各自能被聘用的概率分别为12，35.(2)ξ的可能取值为1,3.因为P(ξ＝3)＝P(A1A2A3)＋P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2)P(A3)＋[1－P(A1)][1－P(A2)][1－P(A3)]＝25×12×35＋35×12×25＝625，所以P(ξ＝1)＝1－P(ξ＝3)＝1－625＝1925，所以ξ的分布列为E(ξ)＝1×1925＋3×625＝3725.22．(本小题满分12分)(2016·辽宁抚顺月考)有甲、乙两个班级进行数学考试，按照大于或等于85分为优秀，85分以下为非优秀统计成绩后，得到如下的2×2列联表．已知从全部210人中随机抽取1人为优秀的概率为2 7 .(1)请完成上面的2×2”；(2)从全部210人中有放回地抽取3次，每次抽取1人，记被抽取的3人中的优秀人数为ξ，若每次抽取的结果是相互独立的，求ξ的分布列及数学期望E(ξ)．附：K2＝错误!，【解】 (1)k ≈12.2，所以按照99% (2)ξ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3，27，且P (ξ＝k )＝C k 3⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫27k ·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫573－k(k ＝0,1,2,3)，ξ的分布列为E (ξ)＝0×125343＋1×150343＋2×60343＋3×8343＝67.。
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修2-3)教师用书：第3章-章末分层突破
章末分层突破[自我校对]①回归分析②相互独立事件的概率③χ2公式④判断两变量的线性相关回归分析问题建立回归模型的步骤(1)确定研究对象，明确变量x，y.(2)画出变量的散点图，观察它们之间的关系(如是否存在线性相关关系等).(3)由经验确定回归方程的类型(如我们观察到数据呈线性相关关系，则选用回归直线方程y^＝b ^x ＋a ^).(4)按一定规则估计回归方程中的参数(如最小二乘法). (5)得出回归方程.另外，回归直线方程只适用于我们所研究的样本的总体，而且一般都有时间性.样本的取值范围一般不能超过回归直线方程的适用范围，否则没有实用价值.假设一个人从出生到死亡，在每个生日那天都测量身高，并作出这些数据散点图，则这些点将不会落在一条直线上，但在一段时间内的增长数据有时可以用线性回归来分析.下表是一位母亲给儿子作的成长记录：(2)求出这些数据的线性回归方程；(3)对于这个例子，你如何解释回归系数的含义？ (4)解释一下回归系数与每年平均增长的身高之间的联系. 【精彩点拨】 (1)作出散点图，确定两个变量是否线性相关； (2)求出a ，b ，写出线性回归方程； (3)回归系数即b 的值，是一个单位变化量； (4)根据线性回归方程可找出其规律. 【规范解答】 (1)数据的散点图如下：(2)用y 表示身高，x 表示年龄， 因为x －＝114×(3＋4＋5＋…＋16)＝9.5， y －＝114×(90.8＋97.6＋…＋173.0)＝132，b ^＝∑i ＝114xiyi －14x －y －∑i ＝114x2i －14x －2≈18 993－14×9.5×1321 491－14×9.52≈6.316，a ^＝y －－b x －＝71.998，所以数据的线性回归方程为y ＝6.316x ＋71.998.(3)在该例中，回归系数6.316表示该人在一年中增加的高度. (4)回归系数与每年平均增长的身高之间近似相等. [再练一题]1.假定小麦基本苗数x 与成熟期有效穗Y 之间存在相关关系，今测得5组数据如下：(1)以x (2)求Y 与x 之间的回归方程，对于基本苗数56.7预报有效穗. 【解】 (1)散点图如下.(2)由图看出，样本点呈条状分布，有比较好的线性相关关系，因此可以用回归方程刻画它们之间的关系.设回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，x ＝30.36，y ＝43.5， ∑i ＝15x 2i ＝5 101.56，∑i ＝15y 2i ＝9 511.43. x y ＝1 320.66，y 2＝1 892.25，x 2＝921.729 6， ∑i ＝15x i y i ＝6 746.76.由b ^＝∑i ＝15xiyi －5xy∑i ＝15x 2i －5x 2≈0.29，a ^＝y －b ^x ＝43.5－0.29×30.36≈34.70. 故所求的线性回归方程为y ^＝34.70＋0.29x . 当x ＝56.7时，y ^＝34.70＋0.29×56.7＝51.143. 估计成熟期有效穗约为51.143.独立性检验独立性检验的基本思想类似于反证法，要确认两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设结论“两个分类变量没有关系”成立，在该假设下，我们构造的随机变量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到的χ2的观测值很大，则在一定程度上说明假设不合理，根据随机变量χ2的含义，可以通过P (χ2>6.635)≈0.01来评价假设不合理的程度，由实际计算出χ2>6.635说明假设不合理的程度约为99%，即两个分类变量有关系这一结论成立的可信程度为99%.独立性检验的一般步骤： (1)根据样本数据制成2×2列联表. (2)根据公式χ2＝错误!计算χ2的值.(3)比较χ2与临界值的大小关系并作统计推断.在某校高三年级一次全年级的大型考试中数学成绩优秀和非优秀的学生中，物理、化学、总分也为优秀的人数如下表所示，则数学成绩优秀与物理、化学、总分也优秀哪个关系较大？【精彩点拨】 分别列出数学与物理，数学与化学，数学与总分优秀的2×2列联表，求k 的值.由观测值分析，得出结论.【规范解答】 (1)列出数学与物理优秀的2×2列联表如下：n11＝228，n122122n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝371，n＋2＝869，n＝1 240.代入公式χ2＝错误!，得χ21＝错误!≈270.114 3.(2)列出数学与化学优秀的2×2列联表如下：n11＝225，n122122n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝381，n＋2＝859，n＝1 240.代入公式，得χ22＝错误!≈240.611 2.(3)列出数学与总分优秀的2×2列联表如下：n11＝267，n122122n1＋＝360，n2＋＝880，n＋1＝366，n＋2＝874，n＝1 240.代入公式，得χ23＝错误!≈486.122 5.由上面计算可知数学成绩优秀与物理、化学、总分优秀都有关系，由计算分别得到χ2的统计量都大于临界值6.635，由此说明有99%的把握认为数学优秀与物理、化学、总分优秀都有关系，但与总分优秀关系最大，与物理次之.[再练一题]2.某推销商为某保健药品做广告，在广告中宣传：“在服用该药品的105人中有100人未患A疾病”.经调查发现，在不服用该药品的418人中仅有18人患A疾病.请用所学知识分析该药品对预防A疾病是否有效.【解】将问题中的数据写成如下2×2列联表：错误!，故没有充分理由认为该保健药品对预防A 疾病有效.转化与化归思想在回归分析中的应用回归分析是对抽取的样本进行分析，确定两个变量的相关关系，并用一个变量的变化去推测另一个变量的变化.如果两个变量非线性相关，我们可以通过对变量进行变换，转化为线性相关问题.某商店各个时期的商品流通率Y (%)的商品零售额x (万元)资料如下：散点图显示出x 与Y 决定于商品的零售额x ，体现着经营规模效益，假定它们之间存在关系式：y ＝a ＋bx .试根据上表数据，求出a 与b 的估计值，并估计商品零售额为30万元的商品流通率.【规范解答】 设u ＝1x，则y ＝a ＋bu ，得下表数据：y ^＝－0.187 5＋56.25 u .所以所求的回归方程为y ^＝－0.187 5＋56.25x.当x ＝30时，y ＝1.687 5，即商品零售额为30万元时，商品流通率为1.687 5%.[再练一题]3.在某化学实验中，测得如下表所示的6对数据，其中x (单位：min)表示化学反应进行的时间，Y (单位：mg)表示未转化物质的质量.(1)设Y 与x ； (2)估计化学反应进行到10 min 时未转化物质的质量(精确到0.1).【解】 (1)在y ＝cd x 两边取自然对数，令ln y ＝z ，ln c ＝a ，ln d ＝b ，则z ＝a ＋bx .由已知数据，得由公式得a ≈3.905 5，b ≈－0.221 9，则线性回归方程为z ＝3.905 5－0.221 9x .而ln c ＝3.905 5，ln d ＝－0.221 9，故c ≈49.675，d ≈0.801，所以c ，d 的估计值分别为49.675,0.801. (2)当x ＝10时，由(1)所得公式可得y ≈5.4(mg).1.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ^＝y－b^x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A.11.4万元B.11.8万元C.12.0万元D.12.2万元【解析】 由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元). 【答案】 B2.某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是( )表1 表2A.成绩 C.智商D.阅读量【解析】 A 中，a ＝6，b ＝14，c ＝10，d ＝22，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52，χ2＝错误!＝错误!.B 中，a ＝4，b ＝16，c ＝12，d ＝20，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， χ2＝错误!＝错误!.C 中，a ＝8，b ＝12，c ＝8，d ＝24，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， χ2＝错误!＝错误!.D 中，a ＝14，b ＝6，c ＝2，d ＝30，a ＋b ＝20，c ＋d ＝32，a ＋c ＝16，b ＋d ＝36，n ＝52， χ2＝错误!＝错误!. ∵131 440<1310<637360<3 757160， ∴与性别有关联的可能性最大的变量是阅读量. 【答案】 D3.如图3-1是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图.图3-1(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量. 附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17，∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，7≈2.646.参考公式：相关系数r ＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17 (t i －t )2∑i ＝17(y i －y )2，回归方程y^＝a^＋b^t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i ＝1n(t i －t )(y i －y )∑i ＝1n(t i －t )2，a ^＝y －－b ^t .【解】 (1)由折线图中的数据和附注中的参考数据得t ＝4，∑i ＝17(t i －t )2＝28，∑i ＝17(y i －y )2＝0.55，∑i ＝17(t i －t )(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t ∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，∴r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当大，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系.(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)得 b ^＝∑i ＝17(t i －t )(y i －y )∑i ＝17(t i －t )2＝2.8928≈0.103. a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92. 所以y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t .将2016年对应的t ＝9代入回归方程得y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82. 所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨.4.某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为： b ^＝错误!，错误!＝错误!－错误!错误!.【解】 (1)由所给数据计算得t ＝17(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y －＝17(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑7i ＝1 (t i－t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28， ∑7i ＝1 (t i－t )(y i －y －)＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ^＝错误!＝错误!＝0.5，a ^＝y －－b ^t ＝4.3－0.5×4＝2.3，所求回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，b ^＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元.将2015年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得y ^＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元.。
2019-2020学年高中数学(人教B版 选修2-1)学业分层测评：第1章 常用逻辑术语 1.3.1 Word版含答案
学业分层测评(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的( )A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【解析】∵A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，A⊆B，∴a∈B且a≠1，∴a＝2或3，∴“a＝3”是“A⊆B”的充分不必要条件．【答案】 A2．已知命题甲：“a，b，c成等差数列”，命题乙：“ab＋cb＝2”，则命题甲是命题乙的( ) A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若ab＋cb＝2，则a＋c＝2b，由此可得a，b，c成等差数列；当a，b，c成等差数列时，可得a＋c＝2b，但不一定得出ab＋cb＝2，如a＝－1，b＝0，c＝1.所以命题甲是命题乙的必要不充分条件．【答案】 A3．设φ∈R，则“φ＝0”是“f(x)＝cos(x＋φ)(x∈R)为偶函数”的( )【导学号：15460014】A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】若φ＝0，则f(x)＝cos(x＋φ)＝cos x为偶函数，充分性成立；反之，若f(x)＝cos(x ＋φ)为偶函数，则φ＝kπ(k∈Z)，必要性不成立，故选A.【答案】 A4．“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【解析】当a＝－1时，函数f(x)＝ax2＋2x－1＝－x2＋2x－1只有一个零点1；但若函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点，则a＝－1或a＝0.所以“a＝－1”是“函数f(x)＝ax2＋2x－1只有一个零点”的充分不必要条件，故选B.【答案】 B5．已知函数f(x)＝x＋b cos x，其中b为常数，那么“b＝0”是“f(x)为奇函数”的( ) A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】当b＝0时，f(x)＝x为奇函数；当f(x)为奇函数时，f(－x)＝－f(x)，∴－x＋b cos x＝－x－b cos x，从而2b cos x＝0，b＝0.【答案】 C二、填空题6．“b2＝ac”是“a，b，c成等比数列”的________条件．【解析】“b2＝ac”“a，b，c成等比数列”，如b2＝ac＝0；而“a，b，c成等比数列”⇒“b2＝ac”．【答案】必要不充分7．“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行”的________条件．【解析】若直线l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a－1)y＋6＝0平行，则需满足1×2(a －1)－a×(3－a)＝0，化简整理得a2－a－2＝0，解得a＝－1或a＝2，经验证得当a＝－1时，两直线平行，当a＝2时，两直线重合，故“a＝－1”是“l1：x＋ay＋6＝0与l2：(3－a)x＋2(a －1)y＋6＝0平行”的充要条件．【答案】充要8．在下列各项中选择一项填空：①充分不必要条件；②必要不充分条件；③充要条件；④既不充分也不必要条件．(1)集合A ＝{－1，p,2}，B ＝{2,3}，则“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的________； (2)“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞上是增函数”的________．【解析】 (1)当p ＝3时，A ＝{－1,2,3}，此时A ∩B ＝B ；若A ∩B ＝B ，则必有p ＝3.因此“p ＝3”是“A ∩B ＝B ”的充要条件．(2)当a ＝1时，f (x )＝|2x －a |＝|2x －1|在⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞上是增函数；但由f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞上是增函数不能得到a ＝1，如当a ＝0时，函数f (x )＝|2x －a |＝|2x |在区间⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞上是增函数．因此“a ＝1”是“函数f (x )＝|2x －a |在区间⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫12，＋∞上是增函数”的充分不必要条件．【答案】 (1)③ (2)① 三、解答题9．下列各题中，p 是q 的什么条件，q 是p 的什么条件，并说明理由． (1)p ：|x |＝|y |，q ：x ＝y ；(2)在△ABC ，p ：sin A >12，q ：A >π6.【解】 (1)因为|x |＝|y |⇒x ＝y 或x ＝－y ，但x ＝y ⇒|x |＝|y |， 所以p 是q 的必要不充分条件，q 是p 的充分不必要条件．(2)因为A ∈(0，π)时，sin A ∈(0,1]，且A ∈⎝ ⎛⎦⎥⎥⎤0，π2时，y ＝sin A 单调递增，A ∈⎣⎢⎢⎡⎭⎪⎪⎫π2，π时，y＝sin A 单调递减，所以sin A >12⇒A >π6，但A >π6sin A >12.所以p 是q 的充分不必要条件，q 是p 的必要不充分条件． 10．设a ，b ，c 分别是△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的边，证明：“a 2＝b (b ＋c )”是“A ＝2B ”的充要条件．【证明】 充分性：由a 2＝b (b ＋c )＝b 2＋c 2－2bc cos A 可得1＋2cos A ＝cb ＝sin Csin B.即sin B＋2sin B cos A＝sin(A＋B)．化简得sin B＝sin(A－B)．由于sin B＞0且在三角形中，故B＝A－B，即A＝2B.必要性：若A＝2B，则A－B＝B，sin(A－B)＝sin B，sin(A＋B)＝sin A cos B＋cos A sin B，sin(A－B)＝sin A cos B－cos A sin B．∴sin(A＋B)＝sin B(1＋2cos A)．∵A，B，C为△ABC的内角，∴sin(A＋B)＝sin C，即sin C＝sin B(1＋2cos A)．∴sin Csin B＝1＋2cos A＝1＋b2＋c2－a2bc＝b2＋c2－a2＋bcbc，即cb＝b2＋c2＋bc－a2bc.化简得a2＝b(b＋c)．∴“a2＝b(b＋c)”是“A＝2B”的充要条件．[能力提升]1．如果A是B的必要不充分条件，B是C的充要条件，D是C的充分不必要条件，那么A是D 的( )A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解析】由条件，知D⇒C⇔B⇒A，即D⇒A，但A D，故选A.【答案】 A2．设有如下命题：甲：两相交直线l，m在平面α内，且都不在平面β内；乙：l，m中至少有一条与β相交；丙：α与β相交．那么当甲成立时( )A．乙是丙的充分不必要条件B．乙是丙的必要不充分条件C．乙是丙的充分必要条件D．乙既不是丙的充分条件，又不是丙的必要条件【解析】当l，m中至少有一条与β相交时，α与β有公共点，则α与β相交，即乙⇒丙，反之，当α与β相交时，l，m中也至少有一条与β相交，否则若l，m都不与β相交，又都不在β内，则l∥β，m∥β，从而α∥β，与已知α与β相交矛盾，即丙⇒乙，故选C.【答案】 C3．已知f(x)是R上的增函数，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，设P＝{x|f(x＋t)<2}，Q＝{x|f(x)<－4 }，若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，则实数t的取值范围是________.【导学号：15460015】【解析】因为f(x)是R上的增函数，f(－1)＝－4，f(x)<－4，f(2)＝2，f(x＋t)<2，所以x<－1，x＋t<2，x<2－t.又因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，所以2－t<－1，即t>3.【答案】(3，＋∞)4．已知数列{a n}的前n项和S n＝p n＋q(p≠0且p≠1)，求证：数列{a n}为等比数列的充要条件为q＝－1.【证明】充分性：因为q＝－1，所以a1＝S1＝p－1.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝p n－1(p－1)，显然，当n＝1时，也成立．因为p≠0，且p≠1，所以an＋1an＝错误!＝p，即数列{a n}为等比数列，必要性：当n＝1时，a1＝S1＝p＋q.当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝p n－1(p－1)．因为p≠0，且p≠1，所以an＋1an＝错误!＝p.因为{a n}为等比数列，所以a2a1＝an＋1an＝p，即p2－pp＋q＝p.所以－p＝pq，即q＝－1.所以数列{a n}为等比数列的充要条件为q＝－1.。
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模块综合测评
(时间：120分钟，满分：150分)
一、选择题
(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1.(2016·山西大学附中月考)某公共汽车上有10位乘客，沿途5个车站，乘客下车的可能方式有( )
A.510种 B.105种
C.50种 D.3 024种
【解析】 每位乘客都有5种不同的下车方式，根据分步乘法计数原理，共有510种可能的下车方式，
故选A.
【答案】 A
2.(1－x)6展开式中x的奇次项系数和为( )
A.32 B.－32
C.0 D.－64
【解析】 (1－x)6＝1－C16x＋C26x2－C36x3＋C46x4－C56x5＋C6x6，
所以x的奇次项系数和为－C16－C36－C56＝－32，故选B.
【答案】 B
3.一位母亲记录了儿子3～9岁的身高，数据如下表.由此建立的身高与年龄的回归模型为y＝7.19x＋7
3.93.用这个模型预测这个孩子10岁时的身高，则正确的叙述是( )
年龄/岁 3 4 5 6 7 8 9
身高/cm 94.8 104.2 108.7 117.8 124.3 130.8 139.0
A.身高一定是145.83 cm
B.身高在145.83 cm以上
C.身高在145.83 cm左右
D.身高在145.83 cm以下
【解析】 将x＝10代入得y＝145.83，但这种预测不一定准确，应该在这个值的左右.
【答案】 C
4.随机变量X的分布列如下表，则E(5X＋4)等于( )
X 0 2 4
P 0.3 0.2 0.5
A.16 B.11
C.2.2 D.2.3
【解析】 由表格可求E(X)＝0×0.3＋2×0.2＋4×0.5＝2.4，故E(5X＋4)＝5E(X)＋4＝5×2.4＋4＝16.
故选A.
【答案】 A
5.正态分布密度函数为f(x)＝122πe－错误!，x∈R，则其标准差为( )
A.1 B.2
C.4 D.8
【解析】 根据f(x)＝1σ2πe－错误!，对比f(x)＝错误!·e－错误!知σ＝2.
【答案】B
6.独立性检验中，假设H0：变量x与变量Y没有关系，则在H0成立的情况下，P(χ2≥6.635)＝0.010表示
的意义是( )
A.变量x与变量Y有关系的概率为1%
B.变量x与变量Y没有关系的概率为99.9%
C.变量x与变量Y没有关系的概率为99%
D.变量x与变量Y有关系的概率为99%
【解析】由题意知变量x与Y没有关系的概率为0.01，即认为变量x与Y有关系的概率为99%.
【答案】D
7.用数字1,2,3,4,6可以组成无重复数字的五位偶数有( ) 【导学号：62980072】
A.48个 B.64个
C.72个 D.90个
【解析】 满足条件的五位偶数有A13·A4＝72.故选C.
【答案】 C
8.(2016·全国卷
Ⅲ)定义“规范01数列”{an}如下：{an}共有2m项，其中m项为0，m项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…
，ak中0的个数不少于1的个数.若m＝4，则不同的“规范01数列”共有( )
A.18个 B.16个
C.14个 D.12个
【解析】由题意知：当m＝4时，“规范01数列”共含有8项，其中4项为0,4项为1，且必有a
1
＝0，a8＝1.不考虑限制条件“对任意k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数不少于1的个数”，则中间6个
数的情况共有C36＝20(种)，其中存在k≤2m，a1，a2，…，ak中0的个数少于1的个数的情况有：①若a
2
＝a3＝1，则有C14＝4(种)；②若a2＝1，a3＝0，则a4＝1，a5＝1，只有1种；③若a2＝0，则a3＝a4＝a
5
＝1，只有1种.综上，不同的“规范01数列”共有20－6＝14(种).
故共有14个.故选C.
【答案】C
9.李老师乘车到学校，途中有3个交通岗，假设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都
是0.5，则他上班途中遇见红灯次数的数学期望是( )
A.0.4 B.1.5
C.0.43 D.0.6
【解析】 遇到红灯的次数服从二项分布X～B(3，0.5)，∴E(X)＝3×0.5＝1.5.