北京市中考数学试卷

2023年北京市中考数学试卷及答案解析

2023年北京市中考数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．（2分）截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（）A．23.9×107B．2.39×108C．2.39×109D．0.239×109 2．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2分）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的大小为（）A．36°B．44°C．54°D．63°4．（2分）已知a﹣1＞0，则下列结论正确的是（）A．﹣1＜﹣a＜a＜1B．﹣a＜﹣1＜1＜a C．﹣a＜﹣1＜a＜1D．﹣1＜﹣a＜1＜a 5．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．﹣9B．C．D．96．（2分）正十二边形的外角和为（）A．30°B．150°C．360°D．1800°7．（2分）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（）A．B．C．D．8．（2分）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC 同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE ＝c，给出下面三个结论：①a+b＜c；②a+b＞；③（a+b）＞c．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）分解因式：x2y﹣y3＝．11．（2分）方程的解为．12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣3，2）和B（m，﹣2），则m的值为．13．（2分）某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：使用寿命x＜10001000≤x＜16001600≤x＜22002200≤x＜2800x≥2800灯泡只数51012176根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为_____只．14．（2分）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为．15．（2分）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为．16．（2分）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B、C，D、E，F、G七道工序，加工要求如下：①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要分钟．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17．（5分）计算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知x+2y﹣1＝0，求代数式的值．20．（6分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB＝，求BC的长．21．（6分）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和B （1，2），与过点（0，4）且平行于x轴的直线交于点C．（1）求该函数的解析式及点C的坐标；（2）当x＜3时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值且小于4，直接写出n的值．23．（5分）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：a.16名学生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175；b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数166.75m n（1）写出表中m，n的值；（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是（填“甲组”或“乙组”）；甲组学生的身高162165165166166乙组学生的身高161162164165175（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为和．24．（6分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC ＝∠ADB．（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．25．（5分）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略，部分内容如下．每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800，要求清洗后的清洁度为0.990．方案一：采用一次清洗的方式：结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．方案二：采用两次清洗的方式：记第一次用水量为x1个单位质量，第二次用水量为x2个单位质量，总用水量为（x1+x2）个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下：x111.09.09.07.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0 x20.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.07.111.5 x1+x211.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5 C0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．（Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量x1和总用水量x1+x2之间的关系，在平面直角坐标系xOy中画出此函数的图象；结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．根据以上实验数据和结果，解决下列问题：（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约个单位质量（结果保留小数点后一位）；（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C0.990（填“＞”“＝”或”＜”）．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a ＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．（1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；（2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．27．（7分）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AM⊥BC于点M，D是线段MC 上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；（2）如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF＝DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C 给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．（1）如图，点A（﹣1，0），B1（，），B2（，）．①在点C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，）中，弦AB1的“关联点”是；②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长；（2）已知点M（0，3），N（，0），对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t 的取值范围．2023年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n 为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：239000000＝2.39×108，故选：B．【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a和n的值．2．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；B、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3．【分析】先求出∠COD的度数，然后根据∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，即可得出答案．【解答】解：∵∠AOC＝90°，∠AOD＝126°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝36°，∵∠BOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝90°﹣36°＝54°．故选：C．【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是仔细观察图形，根据角的和差首先求出∠COD的度数．4．【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．【解答】解：∵a﹣1＞0，∴a＞1，∴﹣a＜﹣1，∴﹣a＜﹣1＜1＜a，故选：B．【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．5．【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac，建立关于m 的等式，即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4m＝0，解得m＝．故选：C．【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．6．【分析】本题考查多边形的外角和问题，多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于360°．【解答】解：因为多边形的外角和为360°，所以正十二边形的外角和为：360°．故选：C．【点评】本题考查多边形的外角和定理，解题的关键是指出定理即可求出正十二边行的外角和度数．7．【分析】根据概率的意义，即可解答．【解答】解：先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，总共有四种等可能结果，分别是：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是，故选：A．【点评】本题考查了概率的意义，本题考查了概率的意义是解题的关键．8．【分析】①根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可；②在三角形中，两边之和大于第三边，据此可解答；③将c用a和b表示出来，再进行比较．【解答】解：①过点D作DF∥AC，交AE于点F；过点B作BG⊥FD，交FD于点G．∵DF∥AC，AC⊥AE，∴DF⊥AE．又∵BG⊥FD，∴BG∥AE，∴四边形ABGF为矩形．同理可得，四边形BCDG也为矩形．∴FD＝FG+GD＝a+b．∴在Rt△EFD中，斜边c＞直角边a+b．故①正确．②∵△EAB≌△BCD，∴AE＝BC＝b，∴在Rt△EAB中，BE＝＝．∵AB+AE＞BE，∴a+b＞．故②正确．③∵△EAB≌△BCD，∴∠AEB＝∠CBD，又∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠CBD+∠ABE＝90°，∴∠EBD＝90°．∵BE＝BD，∴∠BED＝∠BDE＝45°，∴BE＝＝c•sin45°＝c．∴c＝．∵＝2（a2+2ab+b2）＝2（a2+b2）+4ab＞2（a2+b2），∴＞，∴＞c．故③正确．故选：D．【点评】本题考查全等三角形的性质．虽然是选择题，但计算量不小，比较繁琐，需要细心、耐心．二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键．10．【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．【解答】解：x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y）．故答案为：y（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键，分解要彻底．11．【分析】依据题意，由分式方程的解法即可得解．【解答】解：方程两边同时乘以2x（5x+1）得，3×2x＝5x+1，∴x＝1．检验：把x＝1代入2x（5x+1）＝12≠0，且方程左边＝右边．∴原分式方程的解为x＝1．【点评】本题主要考查了分式方程的解法，解题时要熟练掌握并灵活运用．12．【分析】将点A（﹣3，2）代入反比例函数y＝可求出k的值，进而确定反比例函数关系式，再把点B（m，﹣2）代入计算即可．【解答】解：∵函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣3，2），∴k＝﹣3×2＝﹣6，∴反比例函数的关系式为y＝﹣，又∵B（m，﹣2）在反比例函数的关系式为y＝﹣的图象上，∴m＝＝3，故答案为：3．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．13．【分析】用1000乘以使用寿命不小于2200小时的百分比即可．【解答】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为1000×＝460（只）．故答案为：460．【点评】本题考查了频数（率）分布表和用样本估计总体，解题的关键是利用样本估计总体思想的运用．14．【分析】根据题意求出AF，再根据平行线分线段成比例定理计算即可．【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，∵AB∥EF∥CD，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．15．【分析】根据切线的性质得到∠A＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到OD＝CD，OA＝AE，根据垂径定理得到CD＝，于是得到结论．【解答】解：∵OA是⊙O的半径，AE是⊙O的切线，∴∠A＝90°，∵∠AOC＝45°，OA⊥BC，∴△CDO和△EAO是等腰直角三角形，∴OD＝CD，OA＝AE，∴CD＝，∴OD＝CD＝1，∴OC＝OD＝，∴AE＝OA＝OC＝，故答案为：．【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质定理是解题的关键．16．【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案．【解答】解：由题意得：9+9+7+9+7+10+2＝53（分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；假设这两名学生为甲、乙，∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成，∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟，然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟，最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要9+9+10＝28（分钟），故答案为：53，28．【点评】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17．【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质计算．【解答】解：原式＝4×+3+2﹣2＝5．【点评】本题考查的是实数的运算，熟记特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质是解题的关键．18．【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：，解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x＜2，∴原不等式组的解集为：1＜x＜2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．19．【分析】根据已知可得x+2y＝1，然后利用分式的基本性质化简分式，再把x+2y＝1代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：∵x+2y﹣1＝0，∴x+2y＝1，∴＝＝＝＝2，∴的值为2．【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键．20．【分析】（1）先证四边形AECF是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论；（2）由矩形的性质得∠AEC＝∠AEB＝90°，再证△ABE是等腰直角三角形，得AE＝BE＝，然后由锐角三角函数定义得EC＝2AE＝2，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AD﹣DF＝BC﹣BE，即AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC＝EF，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：∵四边形AECF是矩形，∴∠AEC＝∠AEB＝90°，∵AE＝BE，AB＝2，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝BE＝AB＝，∵tan∠ACB＝＝，∴EC＝2AE＝2，∴BC＝BE+EC＝+2＝3，即BC的长为3．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．21．【分析】若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．【解答】解：设天头长为6x，地头长为4x，则左、右边的宽为x，根据题意得，100+10x＝4×（27+2x），解得x＝4，答：边的宽为4cm，天头长为24cm．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，正确地理解题意列出方程是解题的关键．22．【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可；（2）根据函数图象得出当y＝x+n过点（3，4）时满足题意，代入（3，4）求出n的值即可．【解答】解：（1）把点A（0，1），B（1，2）代入y＝kx+b（k≠0）得：b＝1，k+b＝2，解得：k＝1，b＝1，∴该函数的解析式为y＝x+1，由题意知点C的纵坐标为4，当y＝x+1＝4时，解得：x＝3，∴C（3，4）；（2）由（1）知：当x＝3时，y＝x+1＝4，因为当x＜3时，函数y＝x+n的值大于函数y＝x+1的值且小于4，所以当y＝x+n过点（3，4）时满足题意，代入（3，4）得：4＝×3+n，解得：n＝2．【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．23．【分析】（1）根据众数和中位数的定义进行计算；（2）根据方差的计算式计算方差，然后根据方差的意义进行比较；（3）根据方差进行比较．【解答】解：（1）数据按由小到大的顺序排序：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，则舞蹈队16名学生的中位数为m＝＝166，众数为n＝165；（2）甲组学生身高的平均值是：＝164.8，甲组学生身高的方差是：×[（164.8﹣162）2+（164.8﹣165）2+（164.8﹣165）2+（164.8﹣166）2+（164.8﹣166）2]＝2.16，乙组学生身高的平均值是：＝165.4，乙组学生身高的方差是：×[（165.4﹣161）2+（165.4﹣162）2+（165.4﹣164）2+（165.4﹣165）2+（165.4﹣175）2]＝25.04，∵25.04＞2.6，∴甲组舞台呈现效果更好．故答案为：甲组；（3）∵168，168，172的平均数为（168+168+172）＝169，且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，∴数据的差别较小，可供选择的有170，172，平均数为：（168+168+170+172+172）＝170，方差为：[（168﹣170）2+（168﹣170）2+（170﹣170）2+（172﹣170）2+（172﹣170）2]＝3.2＜，∴选出的另外两名学生的身高分别为170和172．故答案为：170，172．【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．24．【分析】（1）由圆周角定理得到∠BAC＝∠CDB，而∠BAC＝∠ADB，因此∠ADB＝∠CDB，得到BD平分∠ADC，由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，即可求出∠BAD＝90°；（2）由垂径定理推出△ACD是等边三角形，得到∠ADC＝60°由BD⊥AC，得到∠BDC ＝∠ADC＝30°，由平行线的性质求出∠F＝90°，由圆内接四边形的性质求出∠FBC ＝∠ADC＝60°，得到BC＝2BF＝4，由直角三角形的性质得到BC＝BD，因为BD是圆的直径，即可得到圆半径的长是4．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB，∴BD平分∠ADC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°；（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠AED＝90°，∵∠BAD＝90°，∴BD是圆的直径，∴BD垂直平分AC，∴AD＝CD，∵AC＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝30°，∵CF∥AD，∴∠F+∠BAD＝90°，∴∠F＝90°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠FBC+∠ABC＝180°，∴∠FBC＝∠ADC＝60°，∴BC＝2BF＝4，∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，∴BC＝BD，∵BD是圆的直径，∴圆的半径长是4．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，由垂径定理推出△ACD是等边三角形．25．【分析】（Ⅰ）直接在表格中标记即可；（Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小；（1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，计算即可；（2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990．【解答】解：（Ⅰ）表格如下：x111.09.09.07.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0x20.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.07.111.5 x1+x211.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C0.990√0.9890.990√0.990√0.990√0.990√0.990√0.9880.990√0.990√0.990√（Ⅱ）函数图象如下：由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．故答案为：4；（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，19﹣7.7＝11.3，即可节水约11.3个单位质量．故答案为：11.3；（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到C＜0.990，第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度，故答案为：＜．【点评】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键．26．【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可，（2）根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答．【解答】解：（1）∵对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，∴a+b+c＝4a+2b+c，∴3a+b＝0，∴＝﹣3．∵对称轴为x＝﹣＝，∴t＝．（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴，x1＜x2，∵y1＜y2，a＞0，∴（x1，y1）离对称轴更近，x1＜x2，则（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，∴＞t，即t≤．【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．27．【分析】（1）由旋转的性质得DM＝DE，∠MDE＝2a，利用三角形外角的性质求出∠DEC ＝a＝∠C，可得DE＝DC，等量代换得到DM＝DC即可；（2）延长FE到H使FE＝EH，连接CH，AH，可得DE是△FCH的中位线，然后求出∠B＝∠ACH，设DM＝DE＝m，CD＝n，求出BF＝2m＝CH，证明△ABF≌ACH（SAS），得到AF＝AH，再根据等腰三角形三线合一证明AE⊥FH即可．【解答】（1）证明：由旋转的性质得：DM＝DE，∠MDE＝2a，∵∠C＝a，∴∠DEC＝∠MDE﹣∠C＝a，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∴DM＝DC，即D是MC的中点；（2）∠AEF＝90°，证明：如图，延长FE到H使FE＝EH，连接CH，AH，∵DF＝DC，∴DE是FCH的中位线，∴DE∥CH，CH＝2DE，由旋转的性质得：DM＝DE，∠MDE＝2a，∴∠FCH＝2a，∵∠B＝∠C＝a，∴∠ACH＝a，△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠ACH，AB＝AC设DM＝DE＝m，CD＝n，则CH＝2m，CM＝m+n，.DF＝CD＝n，∴FM＝DF﹣DM＝n﹣m，∵AM⊥BC，∴BM＝CM＝m+n，∴BF＝BM﹣FM＝m+n﹣（n﹣m）＝2m，∴CH＝BF，在△ABF和△ACH中，，∴△ABF≌△ACH（SAS），∴AF＝AH，∵FE＝EH，∴AE⊥FH，即∠AEF＝90°，【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．28．【分析】（1）根据题目中关联点的定义分情况讨论即可；（2）根据M（0，3），N（，0）两点来求最值情况，共有两种情况，分别位于点M 和经过点O的MN的垂直平分线上，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：（1）①由关联定义可知，若直线CA、CB中一条经过点O，另一条是⊙O 的切线，则称点C是弦AB的“关联点”，∵点A（﹣1，0），B1（，），点C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，），∴直线AC2经过点O，且B1C2与⊙O相切，∴C2是弦AB1的“关联点”，∵C1（﹣1，1），A（﹣1，0）的横坐标相同，与B1（，）都位于直线y＝﹣x 上，∴AC1与⊙O相切，B1C1经过点O，∴C1是弦AB1的“关联点”；故答案为：C1，C2；②∵A（﹣1，0），B2（，），设C（a，b），如图所示，共有两种情况，a、若C1B2与⊙O相切，AC经过点O，则C1B2，AC1所在直线为，解得，∴C1（，0），∴OC1＝，b、若AC2与⊙O相切，C2B2经过点O，则直线C2B2，AC2所在直线为，解得，∴C2（﹣1，1），∴OC2＝，综上所述，OC＝；（2）∵线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”，∵弦PQ随着S的变动在一定范围内变动，且M（0，3），N（，0），OM＞ON，∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的MN的垂直平分线上，如图所示，①当S位于点M（0，3）时，MP为⊙O的切线，作PJ⊥OM，∵M（0，3），⊙O的半径为1，且MP是⊙O的切线，∴OP⊥MP，∵PJ⊥OM，∴△MPO∽△POJ，∴，即，解得OJ＝，∴PJ＝＝，Q1J＝，∴PQ1＝＝，同理PQ2＝＝，∴当S位于M（0，3）时，PQ1的临界值为和；②当S位于经过点O的MN的垂直平分线上的点K时，∵M（0，3），N（，0），∴MN＝，∴＝2，∵⊙O的半径为1，∴∠OKZ＝30°，∴△OPQ为等边三角形，∴PQ＝1或，∴当S位于经过点O且垂直于MN的直线上即点K时，PQ1的临界点为1和，∴在两种情况下，PQ的最小值在1≤t≤内，最大值在，综上所述，t的取值范围为1≤t≤，．【点评】本题是圆的综合题，考查了最值问题，切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握心概念“关联点”是解题的关键。

【中考真题】2022年北京市中考数学试卷(附答案)

2022年北京市中考数学真题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题1．下面几何体中，是圆锥的为（）A ．B ．C ．D ．2．截至2021年12月31日，长江干流六座梯级水电站全年累计发电量达2628．83亿千瓦时，相当于减排二氧化碳约2.2亿吨．将262 883 000 000用科学计数法表示应为（） A ．1026.288310⨯B ．112.6288310⨯C ．122.6288310⨯D ．120.26288310⨯3．如图，利用工具测量角，则1∠的大小为（）A ．30°B ．60°C ．120°D ．150°4．实数a b ，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A ． 2a -＜B ．1b ＜C ．a b ＞D ．a b -＞5．不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）A ．14B ．13C ．12D ．346．若关于x 的一元二次方程20x x m ++=有两个相等的实数根，则实数m 的值为（） A ．4-B ．14-C ．14D ．47．图中的图形为轴对称图形，该图形的对称轴的条数为（）A ．1B ．2C ．3D ．58．下面的三个问题中都有两个变量：①汽车从A 地匀速行驶到B 地，汽车的剩余路程y 与行驶时间x ； ①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y 与放水时间x ；①用长度一定的绳子围成一个矩形，矩形的面积y 与一边长x ，其中，变量y 与变量x 之间的函数关系可以利用如图所示的图象表示的是（）A ．①①B ．①①C ．①①D ．①①①二、填空题9在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围是___________． 10．分解因式：2xy x -=______． 11．方程215x x=+的解为___________． 12．在平面直角坐标系xOy 中，若点12(2,),(5,)A y B y 在反比例函数(0)ky k x=>的图象上，则1y ______2y （填“>”“=”或“<”）13．某商场准备进400双滑冰鞋，了解了某段时间内销售的40双滑冰鞋的鞋号，数据如下：根据以上数据，估计该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为________双． 14．如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．15．如图，在矩形ABCD 中，若13,5,4AF AB AC FC ===，则AE 的长为_______．16．甲工厂将生产的I 号、II 号两种产品共打包成5个不同的包裹，编号分别为A ，B ，C ，D ，E ，每个包裹的重量及包裹中I 号、II 号产品的重量如下：甲工厂准备用一辆载重不超过19.5吨的货车将部分包裹一次运送到乙工厂．（1）如果装运的I 号产品不少于9吨，且不多于11吨，写出一中满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）；（2）如果装运的I 号产品不少于9吨，且不多于11吨，同时装运的II 号产品最多，写出满足条件的装运方案________（写出要装运包裹的编号）．三、解答题17．计算：0(1)4sin 458 3.π-+-+- 18．解不等式组：274,4.2x x x x +>-⎧⎪⎨+<⎪⎩19．已知2220x x +-=，求代数式2(2)(1)x x x +++的值．20．下面是证明三角形内角和定理的两种添加辅助线的方法，选择其中一种，完成证明．三角形内角和定理：三角形三个内角和等于180°，已知：如图，ABC∆, 求证：180.A B C ∠+∠+∠= 方法一证明：如图，过点A 作.DE BC ∥方法二证明：如图，过点C 作.CD AB ∥21．如图，在ABCD 中，AC BD ，交于点O ，点E F ，在AC 上，AE CF =．(1)求证：四边形EBFD 是平行四边形；(2)若,BAC DAC ∠=∠求证：四边形EBFD 是菱形．22．在平面直角坐标系xOy 中，函数(0)y kx b k =+≠的图象经过点(4,3)，(2,0)-，且与y 轴交于点A ．(1)求该函数的解析式及点A 的坐标；(2)当0x >时，对于x 的每一个值，函数y x n =+的值大于函数(0)y kx b k =+≠的值，直接写出n 的取值范围．23．某校举办“歌唱祖国”演唱比赛，十位评委对每位同学的演唱进行现场打分，对参加比赛的甲、乙、丙三位同学得分的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．a ．甲、乙两位同学得分的折线图：b ．丙同学得分：10，10，10，9，9，8，3，9，8，10 c ．甲、乙、丙三位同学得分的平均数：根据以上信息，回答下列问题： (1)求表中m 的值；(2)在参加比赛的同学中，如果某同学得分的10个数据的方差越小，则认为评委对该同学演唱的评价越一致．据此推断：甲、乙两位同学中，评委对_________的评价更一致（填“甲”或“乙”）；(3)如果每位同学的最后得分为去掉十位评委打分中的一个最高分和一个最低分后的平均分，最后得分越高，则认为该同学表现越优秀．据此推断：在甲、乙、丙三位同学中，表现最优秀的是_________（填“甲”“乙”或“丙”）．24．如图，AB 是O 的直径，CD 是O 的一条弦，,AB CD ⊥连接,.AC OD(1)求证：2;BOD A ∠=∠(2)连接DB ,过点C 作,CE DB ⊥交DB 的延长线于点E ，延长,DO 交AC 于点F ，若F为AC 的中点，求证：直线CE 为O 的切线．25．单板滑雪大跳台是北京冬奥会比赛项目之一，举办场地为首钢滑雪大跳台，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，从起跳到着陆的过程中，运动员的竖直高度y （单位：m ）与水平距离x （单位：m ）近似满足函数关系2()(0)y a x h k a =-+<．某运动员进行了两次训练．(1)第一次训练时，该运动员的水平距离x 与竖直高度y 的几组数据如下：根据上述数据，直接写出该运动员竖直高度的最大值，并求出满足的函数关系2()(0);y a x h k a =-+<(2)第二次训练时，该运动员的竖直高度y 与水平距离x 近似满足函数关系20.04(9)23.24.y x =--+记该运动员第一次训练的着陆点的水平距离为d 1，第二次训练的着陆点的水平距离为2d ，则1d ______2d （填“>”“=”或“<”）．26．在平面直角坐标系xOy 中，点(1,),(3,)m n 在抛物线2(0)y ax bx c a =++>上，设抛物线的对称轴为.x t =(1)当2,c m n ==时，求抛物线与y 轴交点的坐标及t 的值；(2)点00(,)(1)x m x ≠在抛物线上，若,m n c <<求t 的取值范围及0x 的取值范围． 27．在ABC ∆中，90ACB ∠=，D 为ABC ∆内一点，连接BD ，DC 延长DC 到点E ，使得.CE DC =(1)如图1，延长BC 到点F ，使得CF BC =，连接AF ，EF 若AF EF ⊥，求证：BD AF ⊥；(2)连接AE ，交BD 的延长线于点H ，连接CH ，依题意补全图2，若222AB AE BD =+，用等式表示线段CD 与CH 的数量关系，并证明．28．在平面直角坐标系xOy 中，已知点(,),.M a b N 对于点P 给出如下定义：将点P 向右(0)a ≥或向左(0)a <平移a 个单位长度，再向上(0)b ≥或向下(0)b <平移b 个单位长度，得到点P'，点P'关于点N 的对称点为Q ，称点Q 为点P 的“对应点”． (1)如图，点(1,1),M 点N 在线段OM 的延长线上，若点(2,0),P -点Q 为点P 的“对应点”．①在图中画出点Q ；①连接,PQ 交线段ON 于点.T 求证：1;2NT OM =(2)O 的半径为1，M 是O 上一点，点N 在线段OM 上，且1(1)2ON t t =<<，若P为O 外一点，点Q 为点P 的“对应点”，连接.PQ 当点M 在O 上运动时直接写出PQ 长的最大值与最小值的差（用含t 的式子表示）参考答案：1．B 【解析】【分析】观察所给几何体，可以直接得出答案．【详解】解：A 选项为圆柱，不合题意； B 选项为圆锥，符合题意； C 选项为三棱柱，不合题意； D 选项为球，不合题意；故选B ．【点睛】本题考查常见几何体的识别，熟练掌握常见几何体的特征是解题的关键．圆锥面和一个截它的平面，组成的空间几何图形叫圆锥． 2．B 【解析】【分析】将262 883 000 000写成()11100≤⨯<na a ，n 为正整数的形式即可．【详解】解：将262 883 000 000保留1位整数是2.62883，小数点向左移动了11位， ①262 883 000 000112.6288310=⨯，故选B ．【点睛】本题考查用科学计数法表示绝对值大于1的数，掌握()11100≤⨯<na a 中n 的取值方法是解题的关键． 3．A 【解析】【分析】利用对顶角相等求解．【详解】解：量角器测量的度数为30°，∠=︒．由对顶角相等可得，130故选A．【点睛】本题考查量角器的使用和对顶角的性质，掌握对顶角相等是解题的关键．4．D【解析】【分析】根据数轴上的点的特征即可判断．【详解】解：点a在-2的右边，故a>-2，故A选项错误；点b在1的右边，故b>1，故B选项错误；b在a的右边，故b>a，故C选项错误；-＞，故D选项正确，由数轴得：-2<a<-1.5，则1.5<-a<2，1<b<1.5，则a b故选：D．【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．5．A【解析】【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．【详解】解：画树状图得：①共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，①第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为14，故选：A．【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．6．C【解析】【分析】利用方程有两个相等的实数根，得到∆=0，建立关于m的方程，解答即可．【详解】①一元二次方程20x x m++=有两个相等的实数根，①∆=0，①2140m-=，解得14m=，故C正确．故选：C．【点睛】此题考查利用一元二次方程的根的情况求参数，一元二次方程的根有三种情况：有两个不等的实数根时∆>0；当一元二次方程有两个相等的实数根时，∆=0；当方程没有实数根时，∆<0，正确掌握此三种情况是正确解题的关键．7．D【解析】【分析】根据题意，画出该图形的对称轴，即可求解．【详解】解①如图，一共有5条对称轴．故选：D【点睛】本题主要考查了轴对称图形，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键．8．A【解析】【分析】由图象可知：当y 最大时，x 为0，当x 最大时，y 为零，即y 随x 的增大而减小，再结合题意即可判定．【详解】解：①汽车从A 地匀速行驶到B 地，汽车的剩余路程y 随行驶时间x 的增大而减小，故①可以利用该图象表示；①将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中的剩余水量y 随放水时间x 的增大而减小，故①可以利用该图象表示；①设绳子的长为L ，一边长x ，则另一边长为12L x -，则矩形的面积为：21122y L x x x Lx ⎛⎫=-⋅=-+ ⎪⎝⎭，故①不可以利用该图象表示；故可以利用该图象表示的有：①①，故选：A ．【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键．9．x ≥8##8x【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x -8≥0，然后进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：x -8≥0，解得：x ≥8．故答案为：x ≥8．【点睛】0)a ≥是解题的关键． 10．()()11x y y +-【解析】【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．【详解】2xy x -()21x y =-()()11x y y =+-故答案为：()()11x y y +-．【点睛】本题考查了因式分解的知识；解题的关键是熟练掌握平方差公式的性质，从而完成求解． 11．x =5【解析】【分析】观察可得最简公分母是x (x +5)，方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解，再进行检验即可得解．【详解】解：215x x=+ 方程的两边同乘x (x +5),得：2x =x +5, 解得：x =5, 经检验：把x =5代入x (x +5)=50≠0. 故原方程的解为：x =5【点睛】此题考查了分式方程的求解方法，注意掌握转化思想的应用，注意解分式方程一定要验根，12．＞【解析】【分析】根据反比例函数的性质，k >0，在每个象限内，y 随x 的增大而减小，进行判断即可．【详解】解：①k >0，①在每个象限内，y 随x 的增大而减小，25＜，①1y >2y ．故答案为：>．【点睛】本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握函数的性质是解决问题的关键．13．120【解析】【分析】根据题意得：39码的鞋销售量为12双，再用400乘以其所占的百分比，即可求解．【详解】解：根据题意得：39码的鞋销售量为12双，销售量最高，①该商场进鞋号需求最多的滑冰鞋的数量为1240012040⨯=双．故答案为：120【点睛】本题主要考查了用样本估计总体，根据题意得到39码的鞋销售量为12双，销售量最高是解题的关键．14．1【解析】【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，①AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，①1DF DE ==， ①1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键． 15．1【解析】【分析】根据勾股定理求出BC ，以及平行线分线段成比例进行解答即可．【详解】解：在矩形ABCD 中：AD BC ∥，90ABC ∠=︒，①14AE AF BC FC ==，4BC =， ①144AE =， ①1AE =，故答案为：1．【点睛】此题考查了勾股定理以及平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 16． ABC （或ABE 或AD 或ACD 或BCD ） ABE 或BCD【解析】【分析】（1）从A ，B ，C ，D ，E 中选出2个或3个，同时满足I 号产品不少于9吨，且不多于11吨，总重不超过19.5吨即可；（2）从（1）中符合条件的方案中选出装运II 号产品最多的方案即可．【详解】解：（1）根据题意，选择ABC 时，装运的I 号产品重量为：53210++=（吨），总重6551619.5++=<（吨），符合要求；选择ABE 时，装运的I 号产品重量为：53311++=（吨），总重6581919.5++=<（吨），符合要求；选择AD 时，装运的I 号产品重量为：549+=（吨），总重671319.5+=<（吨），符合要求；选择ACD 时，装运的I 号产品重量为：52411++=（吨），总重6571819.5++=<（吨），符合要求；选择BCD 时，装运的I 号产品重量为：3249++=（吨），总重5571719.5++=<（吨），符合要求；选择DCE 时，装运的I 号产品重量为：4239++=（吨），总重7582019.5++=>（吨），不符合要求；选择BDE 时，装运的I 号产品重量为：34310++=（吨），总重5782019.5++=>（吨），不符合要求；综上，满足条件的装运方案有ABC 或ABE 或AD 或ACD 或BCD ．故答案为：ABC （或ABE 或AD 或ACD 或BCD ）．（2）选择ABC 时，装运的II 号产品重量为：1236++=（吨）；选择ABE 时，装运的II 号产品重量为：1258++=（吨）；选择AD 时，装运的II 号产品重量为：134+=（吨）；选择ACD 时，装运的II 号产品重量为：1337++=（吨）；选择BCD 时，装运的II 号产品重量为：2338++=（吨）；故答案为：ABE 或BCD ．【点睛】本题考查方案的选择，读懂题意，尝试不同组合时能否同时满足题目要求的条件是解题的关键．17．4【解析】【分析】根据零次幂、特殊角的正弦值、二次根式和去绝对值即可求解．【详解】解：0(1)4sin 458 3.π-+-+-=143+ =4．【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握零次幂、特殊角的正弦值、二次根式的化简及去绝对值是解题的关键．18．14x <<【解析】【分析】分别解两个一元一次不等式，再求交集即可．【详解】解：274? 4 2x x x x +>-⎧⎪⎨+<⎪⎩①② 解不等式①得1x >，解不等式①得4x <，故所给不等式组的解集为：14x <<．【点睛】本题考查解一元一次不等式组，属于基础题，正确计算是解题的关键．19．５【解析】【分析】先根据2220x x +-=，得出222x x +=，将2(2)(1)x x x +++变形为()2221x x ++，最后代入求值即可．【详解】解：①2220x x +-=，①222x x +=，①2(2)(1)x x x +++22221x x x x =++++2241x x =++()2221x x =++221=⨯+5=【点睛】本题主要考查了代数式求值，完全平方公式，单项式乘多项式，将2(2)(1)x x x +++变形为()2221x x ++，是解题的关键．20．答案见解析【解析】【分析】选择方法一，过点A 作//DE BC ，依据平行线的性质，即可得到B BAD ∠=∠，C EAC ∠=∠，再根据平角的定义，即可得到三角形的内角和为180︒．【详解】证明：过点A 作//DE BC ，则B BAD ∠=∠，C EAC ∠=∠．( 两直线平行，内错角相等）点D ，A ，E 在同一条直线上，180DAB BAC C ∴∠+∠+∠=︒．（平角的定义）180B BAC C ∴∠+∠+∠=︒．即三角形的内角和为180︒．【点睛】本题主要考查了平行线的性质以及三角形内角和定理的运用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．21．(1)见解析(2)见解析【解析】【分析】（1）先根据四边形ABCD 为平行四边形，得出AO CO =，BO DO =，再根据AE CF =，得出EO FO =，即可证明结论；（2）先证明DCA DAC ∠=∠，得出DA DC =，证明四边形ABCD 为菱形，得出AC BD ⊥，即可证明结论．(1)证明：①四边形ABCD 为平行四边形，①AO CO =，BO DO =，①AE CF =，①AO AE CO CF -=-，即EO FO =，①四边形EBFD 是平行四边形．(2)①四边形ABCD 为平行四边形，①AB CD ，①DCA BAC ∠=∠，①,BAC DAC ∠=∠①DCA DAC ∠=∠，①DA DC =，①四边形ABCD 为菱形，①AC BD ⊥，即EF BD ⊥，①四边形EBFD 是平行四边形，①四边形EBFD 是菱形．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质和性质，菱形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握菱形和平行四边形的判定方法，是解题的关键．22．(1)112y x =+，(0,1) (2)1n ≥【解析】【分析】（1）利用待定系数法即可求得函数解析式，当0x =时，求出y 即可求解．（2）根据题意112x n x +>+结合0x >解出不等式即可求解． (1)解：将(4,3)，(2,0)-代入函数解析式得， 3=402k b k b +⎧⎨=-+⎩，解得121k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩， ①函数的解析式为：112y x =+，当0x =时，得1y =，①点A 的坐标为(0,1)．(2)由题意得，112x n x +>+，即22x n >-，又由0x >，得220n -≤，解得1n ≥，①n 的取值范围为1n ≥．【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式及解不等式，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数的性质是解题的关系．23．(1)8.6(2)甲(3)乙【解析】【分析】（1）根据平均数的定义求出丙的平均数即可求解．（2）根据方差的计算方法先算出甲乙的方差，再进行比较即可求解．（3）按去掉一个最高分和一个最低分后分别计算出甲乙丙的平均分，再进行比较即可求解．(1)解：丙的平均数：101010998398108.610+++++++++=，则8.6m =．(2)2222212(8.68)4(8.69)2(8.67)2(8.610) 1.0410S ⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦甲， 222214(8.67)4(8.610)2(8.69) 1.8410S ⎡⎤=⨯-+⨯-+⨯-=⎣⎦乙， 22S S <甲乙，①甲、乙两位同学中，评委对甲的评价更一致，故答案为：甲．(3)由题意得，去掉一个最高分和一个最低分后的平均分为：甲：889799910=8.6258+++++++，乙：77799101010=9.758+++++++，丙：10109989810=9.1258+++++++， ①去掉一个最高分和一个最低分后乙的平均分最高，因此最优秀的是乙，故答案为：乙．【点睛】本题考查了折线统计图、中位数、方差及平均数，理解折线统计图，从图中获取信息，掌握中位数、方差及去掉一个最高分和一个最低分后的平均分的求法是解题的关键． 24．(1)答案见解析(2)答案见解析【解析】【分析】（1）设AB 交CD 于点H ，连接OC ，证明Rt COH Rt DOH ∆≅∆ ，故可得COH DOH ∠=∠ ，于是BC BD = ，即可得到2BOD A ∠=∠；（2）连接，解出60COB ∠=︒，根据AB 为直径得到90ADB ∠=︒，进而得到60ABD ∠=︒，即可证明//OC DB ，故可证明直线CE 为O 的切线．(1)证明：设AB交CD于点H，连接OC，由题可知，∴=，90OC OD∠=∠=︒，OHC OHD=，OH OH()∴∆≅∆，Rt COH Rt DOH HLCOH DOH∴∠=∠，∴=，BC BDCOB BOD∴∠=∠，∠=∠，2COB A∴∠=∠；BOD A2(2)证明：连接AD，=，OA ODOAD ODA ∠=∠∴，同理可得：OAC OCA ∠=∠,OCD ODC ∠=∠，①点H 是CD 的中点，点F 是AC 的中点，OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∴∠=∠=∠=∠=∠=∠，180OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，30OAD ODA OAC OCA OCD ODC ∴∠=∠=∠=∠=∠=∠=︒，223060COB CAO ∴∠=∠=⨯︒=︒， AB 为O 的直径，90ADB ∴∠=︒，90903060ABD DAO ∴∠=-∠=︒-︒=︒，60ABD COB ∴∠=∠=︒，//OC DE ∴，CE BE ⊥，CE OC ∴⊥，∴直线CE 为O 的切线．【点睛】本题主要考查三角形全等的判定与性质，同弧所对的圆周角相等，圆周角定理，直线平行的判定与性质，三角形的内角和公式，证明三角形全等以及证明平行线是解题的关键． 25．(1)23.20m ；()20.05823.20y x =--+(2)＜【解析】【分析】（1）先根据表格中的数据找到顶点坐标，即可得出h 、k 的值，运动员竖直高度的最大值；将表格中除顶点坐标之外的一组数据代入函数关系式即可求出a 的值，得出函数解析式；（2）着陆点的纵坐标为t ，分别代入第一次和第二次的函数关系式，求出着陆点的横坐标，用t 表示出1d 和2d ，然后进行比较即可．(1)解：根据表格中的数据可知，抛物线的顶点坐标为：()8,23.20，①8h =，23.20k =，即该运动员竖直高度的最大值为23.20m ，根据表格中的数据可知，当0x =时，20.00y =，代入()2823.20y a x =-+得： ()220.000823.20a =-+，解得：0.05a =-，①函数关系关系式为：()20.05823.20y x =--+．(2)设着陆点的纵坐标为t ，则第一次训练时，()20.05823.20t x =--+，解得：8x =8x =①根据图象可知，第一次训练时着陆点的水平距离18d =第二次训练时，()20.04923.24t x =--+，解得：9x =9x =①根据图象可知，第二次训练时着陆点的水平距离29d =①()()2023.202523.24t t --＜，，①12d d ＜．故答案为：＜．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，待定系数法求函数关系式，设着陆点的纵坐标为t ，用t 表示出1d 和2d ，是解题的关键．26．(1)（0，2）；2(2)t 的取值范围为322t <<，0x 的取值范围为023x << 【解析】【分析】（1）当x =0时，y =2，可得抛物线与y 轴交点的坐标；再根据题意可得点(1,),(3,)m n 关于对称轴为x t =对称，可得t 的值，即可求解；（2）抛物线与y 轴交点关于对称轴x t =的对称点坐标为（2t ，c ），根据抛物线的图象和性质可得当x t ≤时，y 随x 的增大而减小，当x t >时，y 随x 的增大而增大，然后分两种情况讨论：当点(1,)m ，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时；当点(1,)m 在对称轴的左侧，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时，即可求解．(1)解：当2c =时，22y ax bx =++，①当x =0时，y =2，①抛物线与y 轴交点的坐标为（0，2）；①m n =，①点(1,),(3,)m n 关于对称轴为x t =对称， ①1322t +==； (2)解：当x =0时，y =c ，①抛物线与y 轴交点坐标为（0，c ），①抛物线与y 轴交点关于对称轴x t =的对称点坐标为（2t ，c ），①0a >，①当x t ≤时，y 随x 的增大而减小，当x t >时，y 随x 的增大而增大，当点(1,)m ，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时， 1t <，①,m n c <<1＜3，①2t ＞3，即32t >（不合题意，舍去），当点(1,)m 在对称轴的左侧，点(3,)n ，（2t ，c ）均在对称轴的右侧时，点0(,)x m 在对称轴的右侧，13t <<，此时点(3,)n 到对称轴x t =的距离大于点(1,)m 到对称轴x t =的距离，①13t t -<-，解得：2t <，①,m n c <<1＜3，①2t ＞3，即32t >， ①322t <<， ①0(,)x m ，(1,)m ，对称轴为x t =，①012x t +=， ①013222x +<<，解得：023x <<， ①t 的取值范围为322t <<，0x 的取值范围为023x <<．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． 27．(1)见解析(2)CD CH =；证明见解析【解析】【分析】（1）先利用已知条件证明SAS FCE BCD ∆∆，得出CFE CBD ，推出EF BD ∥，再由AF EF ⊥即可证明BD AF ⊥；（2）延长BC 到点M ，使CM ＝CB ，连接EM ，AM ，先证SAS MEC BDC ∆∆，推出ME BD =，通过等量代换得到222AM AE ME =+，利用平行线的性质得出90BHE AEM ，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半即可得到CD CH =．(1)证明：在FCE ∆和BCD ∆中， CE CD FCE BCD CF CB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，① SAS FCEBCD ∆∆， ① CFE CBD ，① EF BD ∥，①AF EF ⊥，①BD AF ⊥．(2)解：补全后的图形如图所示，CD CH =，证明如下：延长BC 到点M ，使CM ＝CB ，连接EM ，AM ，①90ACB ∠=，CM ＝CB ，① AC 垂直平分BM ，①AB AM =，在MEC ∆和BDC ∆中，CM CB MCE BCD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，① SAS MEC BDC ∆∆，① ME BD =，CME CBD ， ①222AB AE BD =+，① 222AM AE ME =+，① 90AEM ∠=︒，①CME CBD ，① BH EM ∥，① 90BHE AEM ，即90DHE ∠=︒， ①12CECD DE ， ① 12CH DE ， ① CD CH =．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质，平行线的判定与性质，勾股定理的逆用，直角三角形斜边中线的性质等，第二问有一定难度，正确作辅助线，证明90DHE ∠=︒是解题的关键．28．(1)见解析(2)42t -【解析】【分析】（1）①先根据定义和(1,1)M 求出点P'的坐标，再根据点P'关于点N 的对称点为Q 求出点Q 的坐标；①延长ON 至点()3,3A ，连接AQ ，利用AAS 证明ΔΔAQT OPT ≅，得到12TA TO OA ==，再计算出OA ，OM ，ON ，即可求出12NT ON OT OM =-==；（2）连接PO 并延长至S ，使OP OS =，延长SQ 至T ，使ST OM =，结合对称的性质得出NM 为Δ'P QT 的中位线，推出1=2NM QT ，得出()12221SQ ST TQ t t =-=--=-，则()()max min 2PQ PQ PS QS PS QS QS -=+--=．(1)解：①点Q 如下图所示．①点(1,1)M ，①点(2,0)P -向右平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到点P'，①()'1,1P -，①点P'关于点N 的对称点为Q ，()2,2N ，①点Q 的横坐标为：()2215⨯--=，纵坐标为：2213⨯-=，①点()5,3Q ，在坐标系内找出该点即可；①证明：如图延长ON 至点()3,3A ，连接AQ ，① //AQ OP ，①AQT OPT ∠=∠，在ΔAQT 与ΔOPT ∠中，AQT OPT ATQ OTP AQ OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，①()ΔΔAQT OPT AAS ≅， ①12TA TO OA ==， ① ()3,3A ，(1,1)M ，(2,2)N ，①OA =OM =ON =①12TO OA ==①NT ON OT =-= ①12NT OM =； (2)解：如图所示，连接PO 并延长至S ，使OP OS =，延长SQ 至T ，使ST OM =，①(,)M a b ，点P 向右(0)a ≥或向左(0)a <平移a 个单位长度，再向上(0)b ≥或向下(0)b <平移b 个单位长度，得到点P'，①'1PP OM ==，①点P'关于点N 的对称点为Q ，①'NP NQ =，又①OP OS =，①OM ①ST ，①NM 为Δ'P QT 的中位线，①//NM QT ，1=2NM QT ， ①1NM OM ON t =-=-，①222TQ NM t ==-，①()12221SQ ST TQ t t =-=--=-，在ΔPQS 中，PS QS PQ PS QS -<<+，结合题意，max PQ PS QS =+，min PQ PS QS =-，①()()max min 242PQ PQ PS QS PS QS QS t -=+--==-，即PQ 长的最大值与最小值的差为42t -．【点睛】本题考查点的平移，对称的性质，全等三角形的判定，两点间距离，中位线的性质及线段的最值问题，第2问难度较大，根据题意，画出点Q 和点P'的轨迹是解题的关键．。

2022年北京市中考数学真题(解析版)

【详解】解：画树状图得：
∵共有4种等可能的结果，第一次摸到红球，第二次摸到绿球有1种情况，
∴第一次摸到红球，第二次摸到绿球的概率为，
故选：A．
【点睛】本题考查了画树状法或列表法求概率，列出所有等可能的结果是解决本题的关键．
6.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为（）
A. B. C. D.
【答案】x≥8
【解析】
【分析】根据二次根式有意义的条件，可得x-8≥0，然后进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：
x 8≥0，
解得：x≥8．
故答案为：x≥8．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式是解题的关键．
10.分解因式： ______．
【答案】
【解析】
【分析】首先提取公因式，再根据平方差公式计算，即可得到答案．
③设绳子的长为L，一边长x，则另一边长为，
则矩形的面积为：，
故③不可以利用该图象表示；
故可以利用该图象表示的有：①②，
故选：A．
【点睛】本题考查了函数图象与函数的关系，采用数形结合的思想是解决本题的关键．
第二部分非选择题
二、填空题（共16分，每题2分）
9.若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是___________．
【点睛】本题考查了数轴上的点，熟练掌握数轴上点的特征是解题的关键．
5.不透明的袋子中装有红、绿小球各一个，除颜色外两个小球无其他差别，从中随机摸出一个小球，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，那么第一次摸到红球、第二次摸到绿球的概率是（）
A B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】首先根据题意画出树状图，由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到红球，第二次摸到绿球的情况，然后利用概率公式求解即可求得答案．

2023年北京市中考数学试卷及答案解析

2023年北京市中考数学试卷一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．（2分）截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半，将239000000用科学记数法表示应为（）A．23.9×107B．2.39×108C．2.39×109D．0.239×109 2．（2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．3．（2分）如图，∠AOC＝∠BOD＝90°，∠AOD＝126°，则∠BOC的大小为（）A．36°B．44°C．54°D．63°4．（2分）已知a﹣1＞0，则下列结论正确的是（）A．﹣1＜﹣a＜a＜1B．﹣a＜﹣1＜1＜a C．﹣a＜﹣1＜a＜1D．﹣1＜﹣a＜1＜a 5．（2分）若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，则实数m的值为（）A．﹣9B．C．D．96．（2分）正十二边形的外角和为（）A．30°B．150°C．360°D．1800°7．（2分）先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是（）A．B．C．D．8．（2分）如图，点A，B，C在同一条直线上，点B在点A，C之间，点D，E在直线AC 同侧，AB＜BC，∠A＝∠C＝90°，△EAB≌△BCD，连接DE．设AB＝a，BC＝b，DE ＝c，给出下面三个结论：①a+b＜c；②a+b＞；③（a+b）＞c．上述结论中，所有正确结论的序号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③二、填空题（共16分，每题2分）9．（2分）若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．（2分）分解因式：x2y﹣y3＝．11．（2分）方程的解为．12．（2分）在平面直角坐标系xOy中，若函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣3，2）和B（m，﹣2），则m的值为．13．（2分）某厂生产了1000只灯泡．为了解这1000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命（单位：小时），数据整理如下：使用寿命x＜10001000≤x＜16001600≤x＜22002200≤x＜2800x≥2800灯泡只数51012176根据以上数据，估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为_____只．14．（2分）如图，直线AD，BC交于点O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，FD＝2，则的值为．15．（2分）如图，OA是⊙O的半径，BC是⊙O的弦，OA⊥BC于点D，AE是⊙O的切线，AE交OC的延长线于点E．若∠AOC＝45°，BC＝2，则线段AE的长为．16．（2分）学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A，B、C，D、E，F、G七道工序，加工要求如下：①工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，工序F须在工序C，D都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序；③各道工序所需时间如下表所示：工序A B C D E F G所需时间/分钟99797102在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要______分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要分钟．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17．（5分）计算：4sin60°+（）﹣1+|﹣2|﹣．18．（5分）解不等式组：．19．（5分）已知x+2y﹣1＝0，求代数式的值．20．（6分）如图，在▱ABCD中，点E，F分别在BC，AD上，BE＝DF，AC＝EF．（1）求证：四边形AECF是矩形；（2）若AE＝BE，AB＝2，tan∠ACB＝，求BC的长．21．（6分）对联是中华传统文化的瑰宝，对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6：4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的．某人要装裱一副对联，对联的长为100cm，宽为27cm．若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．（书法作品选自《启功法书》）22．（5分）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过点A（0，1）和B （1，2），与过点（0，4）且平行于x轴的直线交于点C．（1）求该函数的解析式及点C的坐标；（2）当x＜3时，对于x的每一个值，函数y＝x+n的值大于函数y＝kx+b（k≠0）的值且小于4，直接写出n的值．23．（5分）某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高（单位：cm），数据整理如下：a.16名学生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175；b.16名学生的身高的平均数、中位数、众数：平均数中位数众数166.75m n（1）写出表中m，n的值；（2）对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好，据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是（填“甲组”或“乙组”）；甲组学生的身高162165165166166乙组学生的身高161162164165175（3）该舞蹈队要选五名学生参加比赛，已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为．在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为和．24．（6分）如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC ＝∠ADB．（1）求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；（2）过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F，若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．25．（5分）某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略，部分内容如下．每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800，要求清洗后的清洁度为0.990．方案一：采用一次清洗的方式：结果：当用水量为19个单位质量时，清洗后测得的清洁度为0.990．方案二：采用两次清洗的方式：记第一次用水量为x1个单位质量，第二次用水量为x2个单位质量，总用水量为（x1+x2）个单位质量，两次清洗后测得的清洁度为C．记录的部分实验数据如下：x111.09.09.07.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0 x20.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.07.111.5 x1+x211.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5 C0.9900.9890.9900.9900.9900.9900.9900.9880.9900.9900.990对以上实验数据进行分析，补充完成以下内容．（Ⅰ）选出C是0.990的所有数据组，并划“√”；（Ⅱ）通过分析（Ⅰ）中选出的数据，发现可以用函数刻画第一次用水量x1和总用水量x1+x2之间的关系，在平面直角坐标系xOy中画出此函数的图象；结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．根据以上实验数据和结果，解决下列问题：（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比、可节水约个单位质量（结果保留小数点后一位）；（2）当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C0.990（填“＞”“＝”或”＜”）．26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，M（x1，y1），N（x2，y2）是抛物线y＝ax2+bx+c（a ＞0）上任意两点，设抛物线的对称轴为x＝t．（1）若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；（2）若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．27．（7分）在△ABC中，∠B＝∠C＝α（0°＜α＜45°），AM⊥BC于点M，D是线段MC 上的动点（不与点M，C重合），将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE．（1）如图1，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；（2）如图2，若在线段BM上存在点F（不与点B，M重合）满足DF＝DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．28．（7分）在平面直角坐标系xOy中，⊙O的半径为1．对于⊙O的弦AB和⊙O外一点C 给出如下定义：若直线CA，CB中一条经过点O，另一条是⊙O的切线，则称点C是弦AB的“关联点”．（1）如图，点A（﹣1，0），B1（，），B2（，）．①在点C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，）中，弦AB1的“关联点”是；②若点C是弦AB2的“关联点”，直接写出OC的长；（2）已知点M（0，3），N（，0），对于线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”．记PQ的长为t，当点S在线段MN上运动时，直接写出t 的取值范围．2023年北京市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共16分，每题2分）第1-8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个. 1．【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n 为整数，且n比原来的整数位数少1，据此判断即可．【解答】解：239000000＝2.39×108，故选：B．【点评】本题考查了科学记数法的表示方法，用科学记数法表示绝对值较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，且n比原来的整数位数少1，解题的关键是要正确确定a和n的值．2．【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．【解答】解：A、原图既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意；B、原图是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意；C、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；D、原图是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．3．【分析】先求出∠COD的度数，然后根据∠BOC＝∠BOD﹣∠COD，即可得出答案．【解答】解：∵∠AOC＝90°，∠AOD＝126°，∴∠COD＝∠AOD﹣∠AOC＝36°，∵∠BOD＝90°，∴∠BOC＝∠BOD﹣∠COD＝90°﹣36°＝54°．故选：C．【点评】本题考查了余角和补角的知识，解答本题的关键是仔细观察图形，根据角的和差首先求出∠COD的度数．4．【分析】根据不等式的性质，进行计算即可解答．【解答】解：∵a﹣1＞0，∴a＞1，∴﹣a＜﹣1，∴﹣a＜﹣1＜1＜a，故选：B．【点评】本题考查了不等式的性质，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．5．【分析】若一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式Δ＝b2﹣4ac，建立关于m 的等式，即可求解．【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4m＝0，解得m＝．故选：C．【点评】此题考查了根的判别式．一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac 有如下关系：（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根．6．【分析】本题考查多边形的外角和问题，多边形外角和定理：任意多边形的外角和都等于360°．【解答】解：因为多边形的外角和为360°，所以正十二边形的外角和为：360°．故选：C．【点评】本题考查多边形的外角和定理，解题的关键是指出定理即可求出正十二边行的外角和度数．7．【分析】根据概率的意义，即可解答．【解答】解：先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，总共有四种等可能结果，分别是：（正，正）、（正，反）、（反，正）、（反，反），则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是，故选：A．【点评】本题考查了概率的意义，本题考查了概率的意义是解题的关键．8．【分析】①根据直角三角形的斜边大于任一直角边即可；②在三角形中，两边之和大于第三边，据此可解答；③将c用a和b表示出来，再进行比较．【解答】解：①过点D作DF∥AC，交AE于点F；过点B作BG⊥FD，交FD于点G．∵DF∥AC，AC⊥AE，∴DF⊥AE．又∵BG⊥FD，∴BG∥AE，∴四边形ABGF为矩形．同理可得，四边形BCDG也为矩形．∴FD＝FG+GD＝a+b．∴在Rt△EFD中，斜边c＞直角边a+b．故①正确．②∵△EAB≌△BCD，∴AE＝BC＝b，∴在Rt△EAB中，BE＝＝．∵AB+AE＞BE，∴a+b＞．故②正确．③∵△EAB≌△BCD，∴∠AEB＝∠CBD，又∵∠AEB+∠ABE＝90°，∴∠CBD+∠ABE＝90°，∴∠EBD＝90°．∵BE＝BD，∴∠BED＝∠BDE＝45°，∴BE＝＝c•sin45°＝c．∴c＝．∵＝2（a2+2ab+b2）＝2（a2+b2）+4ab＞2（a2+b2），∴＞，∴＞c．故③正确．故选：D．【点评】本题考查全等三角形的性质．虽然是选择题，但计算量不小，比较繁琐，需要细心、耐心．二、填空题（共16分，每题2分）9．【分析】根据分式的分母不为零列出不等式，解不等式得到答案．【解答】解：由题意得：x﹣2≠0，解得：x≠2，故答案为：x≠2．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，熟记分式的分母不为零是解题的关键．10．【分析】先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．【解答】解：x2y﹣y3＝y（x2﹣y2）＝y（x+y）（x﹣y）．故答案为：y（x+y）（x﹣y）．【点评】本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键，分解要彻底．11．【分析】依据题意，由分式方程的解法即可得解．【解答】解：方程两边同时乘以2x（5x+1）得，3×2x＝5x+1，∴x＝1．检验：把x＝1代入2x（5x+1）＝12≠0，且方程左边＝右边．∴原分式方程的解为x＝1．【点评】本题主要考查了分式方程的解法，解题时要熟练掌握并灵活运用．12．【分析】将点A（﹣3，2）代入反比例函数y＝可求出k的值，进而确定反比例函数关系式，再把点B（m，﹣2）代入计算即可．【解答】解：∵函数y＝（k≠0）的图象经过点A（﹣3，2），∴k＝﹣3×2＝﹣6，∴反比例函数的关系式为y＝﹣，又∵B（m，﹣2）在反比例函数的关系式为y＝﹣的图象上，∴m＝＝3，故答案为：3．【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，把点的坐标代入函数关系式是常用的方法．13．【分析】用1000乘以使用寿命不小于2200小时的百分比即可．【解答】解：估计这1000只灯泡中使用寿命不小于2200小时的灯泡的数量为1000×＝460（只）．故答案为：460．【点评】本题考查了频数（率）分布表和用样本估计总体，解题的关键是利用样本估计总体思想的运用．14．【分析】根据题意求出AF，再根据平行线分线段成比例定理计算即可．【解答】解：∵AO＝2，OF＝1，∴AF＝AO+OF＝2+1＝3，∵AB∥EF∥CD，∴＝＝，故答案为：．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．15．【分析】根据切线的性质得到∠A＝90°，根据等腰直角三角形的性质得到OD＝CD，OA＝AE，根据垂径定理得到CD＝，于是得到结论．【解答】解：∵OA是⊙O的半径，AE是⊙O的切线，∴∠A＝90°，∵∠AOC＝45°，OA⊥BC，∴△CDO和△EAO是等腰直角三角形，∴OD＝CD，OA＝AE，∴CD＝，∴OD＝CD＝1，∴OC＝OD＝，∴AE＝OA＝OC＝，故答案为：．【点评】本题考查了切线的性质，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质定理是解题的关键．16．【分析】将所有工序需要的时间相加即可得出由一名学生单独完成需要的时间；假设这两名学生为甲、乙，根据加工要求可知甲学生做工序A，乙学生同时做工序B；然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G；最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，然后可得答案．【解答】解：由题意得：9+9+7+9+7+10+2＝53（分钟），即由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，需要53分钟；假设这两名学生为甲、乙，∵工序C，D须在工序A完成后进行，工序E须在工序B，D都完成后进行，且工序A，B都需要9分钟完成，∴甲学生做工序A，乙学生同时做工序B，需要9分钟，然后甲学生做工序D，乙学生同时做工序C，乙学生工序C完成后接着做工序G，需要9分钟，最后甲学生做工序E，乙学生同时做工序F，需要10分钟，∴若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，最少需要9+9+10＝28（分钟），故答案为：53，28．【点评】本题考查了逻辑推理与时间统筹，根据加工要求得出加工顺序是解题的关键．三、解答题（共68分，第17-19题，每题5分，第20-21题，每题6分，第22-23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27-28题，每题7分）17．【分析】根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质计算．【解答】解：原式＝4×+3+2﹣2＝5．【点评】本题考查的是实数的运算，熟记特殊角的三角函数值、负整数指数幂的运算法则、绝对值的性质、二次根式的性质是解题的关键．18．【分析】按照解一元一次不等式组的步骤，进行计算即可解答．【解答】解：，解不等式①得：x＞1，解不等式②得：x＜2，∴原不等式组的解集为：1＜x＜2．【点评】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解一元一次不等式组的步骤是解题的关键．19．【分析】根据已知可得x+2y＝1，然后利用分式的基本性质化简分式，再把x+2y＝1代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：∵x+2y﹣1＝0，∴x+2y＝1，∴＝＝＝＝2，∴的值为2．【点评】本题考查了分式的值，熟练掌握因式分解是解题的关键．20．【分析】（1）先证四边形AECF是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论；（2）由矩形的性质得∠AEC＝∠AEB＝90°，再证△ABE是等腰直角三角形，得AE＝BE＝，然后由锐角三角函数定义得EC＝2AE＝2，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，∵BE＝DF，∴AD﹣DF＝BC﹣BE，即AF＝EC，∴四边形AECF是平行四边形，∵AC＝EF，∴平行四边形AECF是矩形；（2）解：∵四边形AECF是矩形，∴∠AEC＝∠AEB＝90°，∵AE＝BE，AB＝2，∴△ABE是等腰直角三角形，∴AE＝BE＝AB＝，∵tan∠ACB＝＝，∴EC＝2AE＝2，∴BC＝BE+EC＝+2＝3，即BC的长为3．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及锐角三角函数定义等知识，熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．21．【分析】若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．【解答】解：设天头长为6x，地头长为4x，则左、右边的宽为x，根据题意得，100+10x＝4×（27+2x），解得x＝4，答：边的宽为4cm，天头长为24cm．【点评】本题考查了一元一次方程的应用，正确地理解题意列出方程是解题的关键．22．【分析】（1）利用待定系数法可求出函数解析式，由题意知点C的纵坐标为4，代入函数解析式求出点C的横坐标即可；（2）根据函数图象得出当y＝x+n过点（3，4）时满足题意，代入（3，4）求出n的值即可．【解答】解：（1）把点A（0，1），B（1，2）代入y＝kx+b（k≠0）得：b＝1，k+b＝2，解得：k＝1，b＝1，∴该函数的解析式为y＝x+1，由题意知点C的纵坐标为4，当y＝x+1＝4时，解得：x＝3，∴C（3，4）；（2）由（1）知：当x＝3时，y＝x+1＝4，因为当x＜3时，函数y＝x+n的值大于函数y＝x+1的值且小于4，所以当y＝x+n过点（3，4）时满足题意，代入（3，4）得：4＝×3+n，解得：n＝2．【点评】本题考查了一次函数的图象和性质，待定系数法的应用，一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握数形结合思想的应用是解题的关键．23．【分析】（1）根据众数和中位数的定义进行计算；（2）根据方差的计算式计算方差，然后根据方差的意义进行比较；（3）根据方差进行比较．【解答】解：（1）数据按由小到大的顺序排序：161，162，162，164，165，165，165，166，166，167，168，168，170，172，172，175，则舞蹈队16名学生的中位数为m＝＝166，众数为n＝165；（2）甲组学生身高的平均值是：＝164.8，甲组学生身高的方差是：×[（164.8﹣162）2+（164.8﹣165）2+（164.8﹣165）2+（164.8﹣166）2+（164.8﹣166）2]＝2.16，乙组学生身高的平均值是：＝165.4，乙组学生身高的方差是：×[（165.4﹣161）2+（165.4﹣162）2+（165.4﹣164）2+（165.4﹣165）2+（165.4﹣175）2]＝25.04，∵25.04＞2.6，∴甲组舞台呈现效果更好．故答案为：甲组；（3）∵168，168，172的平均数为（168+168+172）＝169，且所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于，∴数据的差别较小，可供选择的有170，172，平均数为：（168+168+170+172+172）＝170，方差为：[（168﹣170）2+（168﹣170）2+（170﹣170）2+（172﹣170）2+（172﹣170）2]＝3.2＜，∴选出的另外两名学生的身高分别为170和172．故答案为：170，172．【点评】本题考查了平均数、众数、中位数和方差，熟记方差的计算公式以及方差的意义是解题的关键．24．【分析】（1）由圆周角定理得到∠BAC＝∠CDB，而∠BAC＝∠ADB，因此∠ADB＝∠CDB，得到BD平分∠ADC，由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，即可求出∠BAD＝90°；（2）由垂径定理推出△ACD是等边三角形，得到∠ADC＝60°由BD⊥AC，得到∠BDC ＝∠ADC＝30°，由平行线的性质求出∠F＝90°，由圆内接四边形的性质求出∠FBC ＝∠ADC＝60°，得到BC＝2BF＝4，由直角三角形的性质得到BC＝BD，因为BD是圆的直径，即可得到圆半径的长是4．【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠ADB，∠BAC＝∠CDB，∴∠ADB＝∠CDB，∴BD平分∠ADC，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∴∠ABD+∠CBD+∠ADB+∠CDB＝180°，∴2（∠ABD+∠ADB）＝180°，∴∠ABD+∠ADB＝90°，∴∠BAD＝180°﹣90°＝90°；（2）解：∵∠BAE+∠DAE＝90°，∠BAE＝∠ADE，∴∠ADE+∠DAE＝90°，∴∠AED＝90°，∵∠BAD＝90°，∴BD是圆的直径，∴BD垂直平分AC，∴AD＝CD，∵AC＝AD，∴△ACD是等边三角形，∴∠ADC＝60°∵BD⊥AC，∴∠BDC＝∠ADC＝30°，∵CF∥AD，∴∠F+∠BAD＝90°，∴∠F＝90°，∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠FBC+∠ABC＝180°，∴∠FBC＝∠ADC＝60°，∴BC＝2BF＝4，∵∠BCD＝90°，∠BDC＝30°，∴BC＝BD，∵BD是圆的直径，∴圆的半径长是4．【点评】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，关键是由圆内接四边形的性质得到∠ABD+∠ADB＝90°，由垂径定理推出△ACD是等边三角形．25．【分析】（Ⅰ）直接在表格中标记即可；（Ⅱ）根据表格中数据描点连线即可做出函数图象，再结合函数图象找到最低点，可得第一次用水量约为4个单位质量时，总用水量最小；（1）根据表格可得，用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，计算即可；（2）根据表格可得当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到0.990，若总用水量为7.5个单位质量，则清洁度达不到0.990．【解答】解：（Ⅰ）表格如下：x111.09.09.07.0 5.5 4.5 3.5 3.0 3.0 2.0 1.0x20.8 1.0 1.3 1.9 2.6 3.2 4.3 4.0 5.07.111.5 x1+x211.810.010.38.98.17.77.87.08.09.112.5C0.990√0.9890.990√0.990√0.990√0.990√0.990√0.9880.990√0.990√0.990√（Ⅱ）函数图象如下：由图象可得，当第一次用水量约为4个单位质量（精确到个位）时，总用水量最小．故答案为：4；（1）当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，用水量为7.7个单位质量，19﹣7.7＝11.3，即可节水约11.3个单位质量．故答案为：11.3；（2）由图可得，当第一次用水量为6个单位质量，总用水量超过8个单位质量，则清洗后的清洁度能达到C＜0.990，第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度，故答案为：＜．【点评】本题考查了函数图象，根据数据描绘函数图象、从函数图象获取信息是解题的关键．26．【分析】（1）根据二次函数的性质求得对称轴即可，（2）根据题意判断出离对称轴更近的点，从而得出（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，再根据对称性即可解答．【解答】解：（1）∵对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，∴a+b+c＝4a+2b+c，∴3a+b＝0，∴＝﹣3．∵对称轴为x＝﹣＝，∴t＝．（2）∵0＜x1＜1，1＜x2＜2，∴，x1＜x2，∵y1＜y2，a＞0，∴（x1，y1）离对称轴更近，x1＜x2，则（x1，y1）与（x2，y2）的中点在对称轴的右侧，∴＞t，即t≤．【点评】本题考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题关键．27．【分析】（1）由旋转的性质得DM＝DE，∠MDE＝2a，利用三角形外角的性质求出∠DEC ＝a＝∠C，可得DE＝DC，等量代换得到DM＝DC即可；（2）延长FE到H使FE＝EH，连接CH，AH，可得DE是△FCH的中位线，然后求出∠B＝∠ACH，设DM＝DE＝m，CD＝n，求出BF＝2m＝CH，证明△ABF≌ACH（SAS），得到AF＝AH，再根据等腰三角形三线合一证明AE⊥FH即可．【解答】（1）证明：由旋转的性质得：DM＝DE，∠MDE＝2a，∵∠C＝a，∴∠DEC＝∠MDE﹣∠C＝a，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC，∴DM＝DC，即D是MC的中点；（2）∠AEF＝90°，证明：如图，延长FE到H使FE＝EH，连接CH，AH，∵DF＝DC，∴DE是FCH的中位线，∴DE∥CH，CH＝2DE，由旋转的性质得：DM＝DE，∠MDE＝2a，∴∠FCH＝2a，∵∠B＝∠C＝a，∴∠ACH＝a，△ABC是等腰三角形，∴∠B＝∠ACH，AB＝AC设DM＝DE＝m，CD＝n，则CH＝2m，CM＝m+n，.DF＝CD＝n，∴FM＝DF﹣DM＝n﹣m，∵AM⊥BC，∴BM＝CM＝m+n，∴BF＝BM﹣FM＝m+n﹣（n﹣m）＝2m，∴CH＝BF，在△ABF和△ACH中，，∴△ABF≌△ACH（SAS），∴AF＝AH，∵FE＝EH，∴AE⊥FH，即∠AEF＝90°，【点评】本题考查了等腰三角形的判定和性质，旋转的性质，三角形外角的性质，三角形中位线定理以及全等三角形的判定和性质等知识，作出合适的辅助线，构造出全等三角形是解题的关键．28．【分析】（1）根据题目中关联点的定义分情况讨论即可；（2）根据M（0，3），N（，0）两点来求最值情况，共有两种情况，分别位于点M 和经过点O的MN的垂直平分线上，根据相似三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：（1）①由关联定义可知，若直线CA、CB中一条经过点O，另一条是⊙O 的切线，则称点C是弦AB的“关联点”，∵点A（﹣1，0），B1（，），点C1（﹣1，1），C2（，0），C3（0，），∴直线AC2经过点O，且B1C2与⊙O相切，∴C2是弦AB1的“关联点”，∵C1（﹣1，1），A（﹣1，0）的横坐标相同，与B1（，）都位于直线y＝﹣x 上，∴AC1与⊙O相切，B1C1经过点O，∴C1是弦AB1的“关联点”；故答案为：C1，C2；②∵A（﹣1，0），B2（，），设C（a，b），如图所示，共有两种情况，a、若C1B2与⊙O相切，AC经过点O，则C1B2，AC1所在直线为，解得，∴C1（，0），∴OC1＝，b、若AC2与⊙O相切，C2B2经过点O，则直线C2B2，AC2所在直线为，解得，∴C2（﹣1，1），∴OC2＝，综上所述，OC＝；（2）∵线段MN上一点S，存在⊙O的弦PQ，使得点S是弦PQ的“关联点”，∵弦PQ随着S的变动在一定范围内变动，且M（0，3），N（，0），OM＞ON，∴S共有2种情况，分别位于点M和经过点O的MN的垂直平分线上，如图所示，①当S位于点M（0，3）时，MP为⊙O的切线，作PJ⊥OM，∵M（0，3），⊙O的半径为1，且MP是⊙O的切线，∴OP⊥MP，∵PJ⊥OM，∴△MPO∽△POJ，∴，即，解得OJ＝，∴PJ＝＝，Q1J＝，∴PQ1＝＝，同理PQ2＝＝，∴当S位于M（0，3）时，PQ1的临界值为和；②当S位于经过点O的MN的垂直平分线上的点K时，∵M（0，3），N（，0），∴MN＝，∴＝2，∵⊙O的半径为1，∴∠OKZ＝30°，∴△OPQ为等边三角形，∴PQ＝1或，∴当S位于经过点O且垂直于MN的直线上即点K时，PQ1的临界点为1和，∴在两种情况下，PQ的最小值在1≤t≤内，最大值在，综上所述，t的取值范围为1≤t≤，．【点评】本题是圆的综合题，考查了最值问题，切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握心概念“关联点”是解题的关键。

往年北京市中考数学真题及答案

往年北京市中考数学真题及答案一. 选择题（本题共32分,每小题4分）下面各题均有四个选项,其中只有一个是符合题意的．1．9-的相反数是A．19-B．19C．9-D．92．首届中国（北京）国际服务贸易交易会（京交会）于往年年6月1日闭幕,本届京交会期间签订的项目成交总金额达60 110 000 000美元,将60 110 000 000用科学记数法表示应为A．96.01110⨯B．960.1110⨯C．106.01110⨯D．110.601110⨯3．正十边形的每个外角等于A．18︒B．36︒C．45︒D．60︒4．右图是某个几何体的三视图,该几何体是A．长方体B．正方体C．圆柱D．三棱柱5．班主任王老师将6份奖品分别放在6个完全相同的不透明礼盒中,准备将它们奖给小英等6位获“爱集体标兵”称号的同学．这些奖品中3份是学习文具,2份是科普读物,1份是科技馆通票．小英同学从中随机取一份奖品,恰好取到科普读物的概率是A．16B．13C．12D．236．如图,直线AB,CD交于点O,射线OM平分AOC∠,若76BOD∠=︒,则BOM∠等于A．38︒B．104︒C．142︒D．144︒7．某课外小组的同学们在社会实践活动中调查了20户家庭某月的用电量,如下表所示：用电量（度）120 140 160 180 200 户数 2 3 6 7 2A．180,160 B．160,180 C．160,160 D．180,1808．小翔在如图1所示的场地上匀速跑步,他从点A 出发,沿箭头所示方向经过点B 跑到点C ,共用时30秒．他的教练选择了一个固定的位置观察小翔的跑步过程．设小翔跑步的时间为t （单位：秒）,他与教练的距离为y （单位：米）,表示y 与t 的函数关系的图象大致如图2所示,则这个固定位置可能是图1中的 A ．点MB ．点NC ．点PD ．点Q二. 填空题（本题共16分,每小题4分） 9．分解因式：269mn mn m ++= ．10．若关于x 的方程220x x m --=有两个相等的实数根,则m 的值是． 11．如图,小明同学用自制的直角三角形纸板DEF 测量树的高度AB ,他调整自己的位置,设法使斜边DF 保持水平,并且边DE 与点B 在同一直线上．已知纸板的两条直角边40cm DE =,20cm EF =,测得边DF 离地面的高度1.5m AC =,8m CD =,则树高AB = m ．12．在平面直角坐标系xOy 中,我们把横 . 纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点()04A ，,点B 是x 轴正半轴上的整点,记AOB △内部（不包括边界）的整点个数为m ．当3m =时,点B 的横坐标的所有可能值是；当点B 的横坐标为4n （ n 为正整数）时,m = （用含n 的代数式表示．）三. 解答题（本题共30分,每小题5分） 13．计算：()11π3182sin 458-⎛⎫-+-︒- ⎪⎝⎭.14．解不等式组：4342 1.x x x x ->⎧⎨+<-⎩，15．已知023a b =≠,求代数式()225224a ba b a b -⋅--的值．16．已知：如图,点E A C ，，在同一条直线上,AB CD ∥,AB CE AC CD ==，．求证：BC ED =.17．如图,在平面直角坐标系xOy 中,函数()40y x x=>的图象与一次函数y kx k =-的图象的交点为()2A m ，.（ 1）求一次函数的解析式；（ 2）设一次函数y kx k =-的图象与y 轴交于点B ,若P 是x 轴上一点,且满足PAB △的面积是4,直接写出点P 的坐标．18．列方程或方程组解应用题：据林业专家分析,树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物,具有滞尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克,若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同,求一片国槐树叶一年的平均滞尘量．四. 解答题（本题共20分,每小题5分）19．如图,在四边形ABCD 中,对角线AC BD ，交于点E ,9045302BAC CED DCE DE ∠=︒∠=︒∠=︒=，，，，22BE =．求CD 的长和四边形ABCD 的面积．20．已知：如图,AB 是O ⊙的直径,C 是O ⊙上一点,OD BC ⊥于点D ,过点C 作O ⊙的切线,交OD 的延长线于点E ,连结BE ．（ 1）求证：BE 与O ⊙相切；（ 2）连结AD 并延长交BE 于点F ,若9OB =，2sin 3ABC ∠=,求BF 的长．21．近年来,北京市大力发展轨道交通,轨道运营里程大幅增加,2011年北京市又调整修订了2010至2020年轨道交通线网的发展规划．以下是根据北京市轨道交通指挥中心发布的有关数据制作的统计图表的一部分．请根据以上信息解答下列问题：（ 1）补全条形统计图并在图中标明相应数据；（ 2）按照2011年规划方案,预计2020年北京市轨道交通运营里程将达到多少千米？（ 3）要按时完成截至2015年的轨道交通规划任务,从2011到2015这4年中,平均每年需新增运营里程多少千米？22．操作与探究：（ 1）对数轴上的点P 进行如下操作：先把点P 表示的数乘以13,再把所得数对应的点向右平移1个单位,得到点P 的对应点P '.点A B ，在数轴上,对线段AB 上的每个点进行上述操作后得到线段A B '',其中点A B ，的对应点分别为A B ''，．如图1,若点A 表示的数是3-,则点A '表示的数北京市轨道交通已开通线路相关数据统计表（截至2010年底）开通时间开通线路运营里程(千米) 1971 1号线 31 1984 2号线 23 2003 13号线 41 八通线 19 2007 5号线 28 20088号线 5 10号线 25 机场线 28 20094号线 28 2010房山线 22 大兴线22 亦庄线 23 昌平线 21 15号线20是；若点B '表示的数是2,则点B 表示的数是；已知线段AB 上的点E 经过上述操作后得到的对应点E '与点E 重合,则点E 表示的数是；（ 2）如图2,在平面直角坐标系xOy 中,对正方形ABCD 及其内部的每个点进行如下操作：把每个点的横. 纵坐标都乘以同一种实数a ,将得到的点先向右平移m 个单位,再向上平移n 个单位（ 00m n >>，）,得到正方形A B C D ''''及其内部的点,其中点A B ，的对应点分别为A B ''，。

2023年北京中考数学26题详解(一)

2023年北京中考数学26题详解(一)2023年北京中考数学26题详解题目背景本题出自2023年北京市中考数学试卷，是一道较为典型的几何题。

题目要求给定一个圆O，半径为r，以A为圆心作半径为r的圆，与圆O交于B、C两点，连接AO延长线与圆O交于D，连接CD。

已知AC的长为3r，求CD的长。

解题思路根据题意，我们要求CD的长度，即求C点到D点的距离。

步骤一首先，我们需要找到CD的长度与其他线段之间的关系。

根据几何定理，我们知道在一个圆上，半径垂直于弦，那么这个半径就被分为两部分，其中一部分是弦的中垂线。

因此，AD就是弦BC的中垂线。

我们将圆O的半径标为OA，标记半径AD为h，弦BC的中点为E。

步骤二利用勾股定理，我们可以求出AE的长度。

由于AE是半径AD的一半，而AD等于OA减去半径OC的长度，所以我们可以得到以下关系式：AE = * (OA - OC)步骤三进一步利用勾股定理，我们可以求出CE的长度。

根据题目中已知的信息，AC的长度为3r，且AE的长度已知，我们可以得到以下关系式：CE = sqrt(AC^2 - AE^2)步骤四最后，我们利用勾股定理求出CD的长度。

根据三角形CDE，我们有以下关系式：CD = sqrt(CE^2 + DE^2)其中，DE等于OC的长度减去CE的长度：DE = OC - CE将以上关系式带入，即可求得CD的长度。

解题过程根据以上步骤，我们可以按照以下方式求解题目：1.根据题目要求，建立坐标系，并设定圆心O的坐标为(0,0)。

2.利用勾股定理，求出AE的长度，即 * (OA - OC)。

3.利用勾股定理，求出CE的长度，即sqrt(AC^2 - AE^2)。

4.利用勾股定理，求出DE的长度，即OC - CE。

5.利用勾股定理，求出CD的长度，即sqrt(CE^2 + DE^2)。

答案及详解根据以上步骤，我们可以得出CD的长度为sqrt(CE^2 + DE^2)。

具体计算过程请参考以下代码：import mathdef calculate_CD_length(r):OA = rOC = * OAAC = 3 * rAE = * (OA - OC)CE = (AC**2 - AE**2)DE = OC - CECD = (CE**2 + DE**2)return CD# 示例：假设r为1r = 1CD_length = calculate_CD_length(r)print("CD的长度为:", CD_length)根据上述计算过程，当圆的半径r为1时，CD的长度为2。

北京中考2023年数学试卷

2023年北京市初中学业水平考试时间：120分钟满分：100分第一部分选择题一、选择题(共16分，每题2分)第1－8题均有四个选项，符合题意的选项只有一个．1. 截至2023年6月11日17时，全国冬小麦收获2.39亿亩，进度过七成半．将239 000 000用科学记数法表示应为( )A. 23.9×107B. 2.39×108C. 2.39×109D. 0.239×1092. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )3. 如图，∠AOC ＝∠BOD ＝90°，∠AOD ＝126°，则∠BOC 的大小为( )第3题图A. 36°B. 44°C. 54°D. 63°4. 已知a －1＞0，则下列结论正确的是( )A. －1＜－a ＜a ＜1B. －a ＜－1＜1＜aC. －a ＜－1＜a ＜1D. －1＜－a ＜1＜a 5. 若关于x 的一元二次方程 x 2－3x ＋m ＝0有两个相等的实数根，则实数m 的值为( ) A. －9 B. －94 C. 94 D. 96. 正十二边形的外角和为( ) A. 30° B. 150° C. 360° D. 1 800°7. 先后两次抛掷同一枚质地均匀的硬币，则第一次正面向上、第二次反面向上的概率是( ) A. 14 B. 13 C. 12 D. 348. 如图，点 A ，B ，C 在同一条直线上，点B 在点A ，C 之间，点D ，E 在直线AC 同侧，AB ＜BC ，∠A ＝∠C ＝90°，△EAB ≌△BCD ，连接 DE .设 AB ＝a ，BC ＝b ，DE ＝c ，给出下面三个结论：第8题图①a ＋b ＜c ； ②a ＋b ＞a 2＋b 2； ③2(a ＋b )＞c .上述结论中，所有正确结论的序号是( ) A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③第二部分非选择题二、填空题(共16分，每题2分)9. 若代数式5x －2有意义，则实数x 的取值范围是________．10. 分解因式：x 2y －y 3＝________． 11. 方程35x ＋1＝12x的解为________． 12. 在平面直角坐标系xOy 中，若函数y ＝kx (k ≠0)的图象经过点A (－3，2)和B (m ，－2)，则m 的值为________．13. 某厂生产了1 000只灯泡．为了解这1 000只灯泡的使用寿命，从中随机抽取了50只灯泡进行检测，获得了它们的使用寿命(单位：小时)，数据整理如下：根据以上数据，估计这1 000只灯泡中使用寿命不小于2 200小时的灯泡的数量为________ 只． 14. 如图，直线AD ，BC 交于点O ，AB ∥EF ∥CD.若 AO ＝2，OF ＝1，FD ＝2，则BEEC的值为________．第14题图15. 如图，OA 是⊙O 的半径，BC 是⊙O 的弦，OA ⊥BC 于点D ，AE 是 ⊙O 的切线，AE 交OC 的延长线于点E .若∠AOC ＝45°，BC ＝2，则线段AE 的长为________．第15题图16. 学校组织学生参加木艺艺术品加工劳动实践活动．已知某木艺艺术品加工完成共需A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 七道工序，加工要求如下：①工序C ，D 须在工序A 完成后进行，工序E 须在工序B ，D 都完成后进行，工序F 须在工序C ，D 都完成后进行；②一道工序只能由一名学生完成，此工序完成后该学生才能进行其他工序； ③各道工序所需时间如下表所示：在不考虑其他因素的前提下，若由一名学生单独完成此木艺艺术品的加工，则需要________分钟；若由两名学生合作完成此木艺艺术品的加工，则最少需要________分钟．三、解答题(共68分，第17－19题，每题5分，第20－21题，每题6分，第22－23题，每题5分，第24题6分，第25题5分，第26题6分，第27－28题，每题7分) 解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：4sin60°＋(13)－1＋|－2|－12.18. 解不等式组：⎩⎪⎨⎪⎧x ＞x ＋235x －3＜5＋x .19. 已知x ＋2y －1＝0，求代数式2x ＋4yx 2＋4xy ＋4y 2的值．20. 如图，在▱ABCD 中，点E ，F 分别在 BC ，AD 上，BE ＝DF ，AC ＝EF .第20题图(1)求证：四边形AECF 是矩形；(2)若AE ＝BE ，AB ＝2，tan ∠ACB ＝12，求BC 的长．21. (新考法真实问题情境) 对联是中华传统文化的瑰宝．对联装裱后，如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边．一般情况下，天头长与地头长的比是6∶4，左、右边的宽相等，均为天头长与地头长的和的110. 某人要装裱一幅对联，对联的长为100 cm ，宽为27 cm.若要求装裱后的长是装裱后的宽的4倍，求边的宽和天头长．(书法作品选自《启功法书》)第21题图22. 在平面直角坐标系xOy 中，函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象经过点 A (0，1)和B (1，2)，与过点(0，4)且平行于x 轴的直线交于点C.(1)求该函数的解析式及点C 的坐标；(2)当x ＜3时，对于x 的每一个值，函数 y ＝23x ＋n 的值大于函数 y ＝kx ＋b (k ≠0)的值且小于4，直接写出 n的值．23. 某校舞蹈队共16名学生，测量并获取了所有学生的身高(单位：cm)，数据整理如下： a ．16名学生的身高：161，162，162，164，165，165，165，166， 166，167，168，168，170，172，172，175b ．16名学生的身高的平均数、中位数、众数：(1)写出表中 m ，n 的值；(2)对于不同组的学生，如果一组学生的身高的方差越小，则认为该组舞台呈现效果越好．据此推断：在下列两组学生中，舞台呈现效果更好的是 ________ (填“甲组”或“乙组”)；(3)该舞蹈队要选五名学生参加比赛．已确定三名学生参赛，他们的身高分别为168，168，172，他们的身高的方差为329.在选另外两名学生时，首先要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的方差小于329，其次要求所选的两名学生与已确定的三名学生所组成的五名学生的身高的平均数尽可能大，则选出的另外两名学生的身高分别为________和________．24. 如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD交于点E，BD平分∠ABC，∠BAC＝∠AD B.第24题图(1)求证DB平分∠ADC，并求∠BAD的大小；(2)过点C作CF∥AD交AB的延长线于点F.若AC＝AD，BF＝2，求此圆半径的长．25. (新考法新函数图象探究题) 某小组研究了清洗某种含污物品的节约用水策略．部分内容如下．每次清洗1个单位质量的该种含污物品，清洗前的清洁度均为0.800，要求清洗后的清洁度为0.990. 方案一：采用一次清洗的方式.方案二：采用两次清洗的方式.结果：结合实验数据，利用所画的函数图象可以推断，当第一次用水量约为根据以上实验数据和结果，解决下列问题：(1)当采用两次清洗的方式并使总用水量最小时，与采用一次清洗的方式相比，可节水约________ 个单位质量(结果保留小数点后一位)；(2)当采用两次清洗的方式时，若第一次用水量为6个单位质量，总用水量为7.5个单位质量，则清洗后的清洁度C________ 0.990(填“＞”“＝”或“＜”)．26. 在平面直角坐标系xOy中，M(x1，y1)，N(x2，y2)是抛物线y＝ax2＋bx＋c(a＞0)上任意两点．设抛物线的对称轴为x＝t.(1)若对于x1＝1，x2＝2，有y1＝y2，求t的值；(2)若对于0＜x1＜1，1＜x2＜2，都有y1＜y2，求t的取值范围．27. 在△ABC中，∠B＝∠C＝α(0°＜α＜45°)，AM⊥BC于点M，D是线段MC上的动点(不与点M，C重合)，将线段DM绕点D顺时针旋转2α得到线段DE.(1)如图①，当点E在线段AC上时，求证：D是MC的中点；(2)如图②，若在线段BM上存在点F(不与点B，M重合)满足DF＝DC，连接AE，EF，直接写出∠AEF的大小，并证明．第27题图28. (新考法新定义现场学习型) 在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的半径为1.对于⊙O 的弦AB 和⊙O 外一点C 给出如下定义：若直线CA ，CB 中一条经过点O ，另一条是⊙O 的切线，则称点 C 是弦AB 的“关联点”．(1)如图，点A (－1，0)，B 1(－22，22)，B 2(22，－22)．第28题图①在点 C 1(－1，1)，C 2(－2，0)，C 3(0，2)中，弦AB 1的“关联点”是________； ②若点 C 是弦AB 2的“关联点”，直接写出OC 的长；(2)已知点 M (0，3)，N (655，0)．对于线段MN 上一点S ，存在⊙O 的弦PQ ，使得点S 是弦PQ 的“关联点”．记PQ 的长为t ，当点 S 在线段 MN 上运动时，直接写出t 的取值范围．2023年北京市初中学业水平考试解析快速对答案详解详析一、选择题 1. B2. A 【解析】A .既是轴对称图形，又是中心对称图形；B .是中心对称图形，不是轴对称图形；C .是轴对称图形，不是中心对称图形；D .是轴对称图形，不是中心对称图形．3. C 【解析】∵∠AOC ＝∠BOD ＝90°，∠AOD ＝126°，∴∠AOB ＝∠AOD －∠BOD ＝36°，∴∠BOC ＝∠AOC －∠AOB ＝54°.4. B 【解析】∵a －1＞0，∴a ＞1，∴－a <－1，∴－a <－1<1<a .5. C 【解析】∵x 2－3x ＋m ＝0有两个相等的实数根，∴b 2－4ac ＝(－3)2－4m ＝0，∴m ＝94.6. C 【解析】多边形的外角和为360°.7. A 【解析】画树状图如解图，由树状图可知，共有4种等可能的结果，其中第一次正面向上，第二次反面向上的结果有1种，∴P (第一次正面向上，第二次反面向上)＝14.第7题解图(易错警示) 注意设问中结果的顺序性，区分“第一次正面向上、第二次反面向上”与“一次正面向上、一次反面向上”的不同，当心错选概率为12.8. D 【解析】如解图，过点E 作EF ⊥CD ，交CD 延长线于点F ，∵∠A ＝∠C ＝90°，四边形ACFE 是矩形，∴EF ＝AC ＝a ＋b ，∵在Rt △EDF 中，EF <DE ，∴a ＋b <c ，①正确；∵△EAB ≌△BCD ，∴AE ＝BC ＝b ，∴BE ＝AB 2＋AE 2＝a 2＋b 2，∵在Rt △ABE 中，AB ＋AE ＞BE ，∴a ＋b ＞a 2＋b 2，②正确；∵△EAB ≌△BCD ，∴BE ＝BD ，∠AEB ＝∠CBD .∵∠A ＝∠C ＝90°，∴∠AEB ＋∠ABE ＝90°，∴∠CBD ＋∠ABE ＝90°，∴∠EBD ＝90°，∴△EBD 是等腰直角三角形，∴BE ＝22c .∵在△ABE 中，AB ＋AE ＞BE ，∴a ＋b ＞22c ，∴2(a ＋b )＞c ，③正确．第8题解图二、填空题9. x ≠2 【解析】分式5x －2有意义，则分母x －2≠0，∴x ≠2.10. y (x ＋y )(x －y ) 【解析】x 2y －y 3＝y (x 2－y 2)＝y (x ＋y )(x －y )．11. x ＝1 【解析】去分母，得6x ＝5x ＋1，移项、合并同类项，得x ＝1.检验：当x ＝1时，2x (5x ＋1)≠0，∴x ＝1是原分式方程的解．12. 3 【解析】∵函数y ＝kx (k ≠0)的图象经过点A (－3，2)，B (m ，－2)，∴将A (－3，2)，B (m ，－2)代入y＝kx (k ≠0)，得k ＝－6＝－2m ，∴m ＝3. 13. 460 【解析】1 000×17＋650＝460.14. 32 【解析】∵AB ∥EF ∥CD ，∴BE EC ＝AF FD ＝AO ＋OF FD ，∵AO ＝2，OF ＝1，FD ＝2，∴BE EC ＝2＋12＝32.15. 2 【解析】∵OA 是⊙O 的半径，OA ⊥BC ，BC ＝2，∴CD ＝12BC ＝1.∵∠AOC ＝45°，∴∠OCD ＝90°－∠AOC ＝45°，∴OD ＝CD ＝1，CO ＝OD 2＋CD 2＝2，∴OA ＝ 2.∵AE 是⊙O 的切线，∴∠OAE ＝90°，∴∠E ＝90°－∠AOC ＝45°，∴AE ＝OA ＝ 2.16. 53；28 【解析】由一名学生完成，则需要9＋9＋7＋9＋7＋10＋2＝53分钟；由两名学生合作完成，要使所用时间最少，则可同时进行两道工序，根据工序的先后顺序，可知工序A ，B ，C ，D 应靠前完成，工序E ，F 应靠后完成，工序G 先后均可，又∵工序C ，D 须在工序A 完成后进行，∴工序A ，B 可先同时进行，9分钟后同时完成，工序A ，B 完成后可进行的工序为C ，D ，G ，所需时间分别为7分钟、9分钟、2分钟，∴可安排一名学生完成工序D ，与此同时另一名学生完成工序C ，G ，9分钟后同时完成，剩余工序E ，F 两名学生同时进行，各完成一个，工序E 需要7分钟，工序F 需要10分钟，则10分钟后所有工序完成，∴最少需要9＋9＋10＝28分钟．三、解答题17. 解：原式＝4×32＋3＋2－2 3＝23＋3＋2－2 3 ＝5. (5分)18. 解：解不等式x ＞x ＋23，得x ＞1，解不等式5x －3<5＋x ，得x <2， ∴该不等式组的解集为1<x <2.(5分) 19. 解：原式＝2（x ＋2y ）（x ＋2y ）2＝2x ＋2y ，(3分)∵x ＋2y －1＝0， ∴x ＋2y ＝1， ∴原式＝21＝2.(5分)20. (1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝BC ，AD ∥BC .∵点E ，F 分别在BC ，AD 上，BE ＝DF ， ∴AF ＝CE ，AF ∥CE ， ∴四边形AECF 是平行四边形．又∵AC ＝EF ，∴四边形AECF 是矩形；(3分) (2)解：∵四边形AECF 是矩形， ∴∠AEB ＝∠AEC ＝90°， ∴AE 2＋BE 2＝AB 2. ∵AE ＝BE ，AB ＝2， ∴2AE 2＝4， ∴AE ＝BE ＝ 2. ∵tan ∠ACB ＝AE CE ＝12，∴CE ＝22，∴BC ＝BE ＋CE ＝2＋22＝3 2.(6分)21. 解：设该对联装裱后天头长为6x cm ，则地头长为4x cm ，左、右边的宽为 110(6x ＋4x )＝x cm. 根据题意列方程，得100＋6x ＋4x ＝4(27＋2x )，(3分) 解得x ＝4， ∴6x ＝24.答：边的宽为4 cm ，天头长为24 cm.(6分)22. 解：(1)将A (0，1)和B (1，2)代入y ＝kx ＋b (k ≠0)，得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝1k ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝1b ＝1，∴该函数的解析式为y ＝x ＋1，将y ＝4代入y ＝x ＋1，得x ＝3， ∴点C 的坐标为(3，4)；(3分) (2)n 的值为2.(5分)(解法提示) 当y ＝23x ＋n 经过点C (3，4)时满足条件，将(3，4)代入y ＝23x ＋n ，得23×3＋n ＝4，解得n ＝2.23. 解：(1)m ＝166，n ＝165；(2分)(解法提示) 共16名学生，中位数为身高按从小到大的顺序排序后第8，9名学生身高的平均数，∴m ＝166＋1662＝166.16名学生的身高数据中，165出现了3次，出现的次数最多，∴n ＝165. (2)甲组；(3分) (3)170，172.(5分)24. (1)证明：∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠CBD ， ∴AD ＝CD . ∵BC ︵＝BC ︵， ∴∠BAC ＝∠BDC . ∵∠BAC ＝∠ADB ， ∴∠BDC ＝∠ADB ，∴DB 平分∠ADC ，DE ⊥AC ，∴∠ADB ＋∠DAE ＝90°， ∴∠BAC ＋∠DAE ＝90°， ∴∠BAD ＝90°；(3分) (一题多解) ∵BC ︵＝BC ︵， ∴∠BAC ＝∠BDC . ∵∠BAC ＝∠ADB ， ∴∠BDC ＝∠ADB ， ∴DB 平分∠ADC . ∵BD 平分∠ABC ， ∴∠ABD ＝∠CBD . ∵∠ABC ＋∠ADC ＝180°，∴∠ABD ＋∠ADB ＝12(∠ABC ＋∠ADC )＝90°，∴∠BAD ＝90°；(3分)(2)解：∵AC ＝AD ，且由(1)得AD ＝CD ， ∴△ACD 是等边三角形， ∴∠ADC ＝60°，∴∠BDC ＝12∠ADC ＝30°，∠ABC ＝180°－∠ADC ＝120°，∴∠CBF ＝60°.∵∠BAD ＝90°， ∴BD 是此圆的直径， ∴∠BCD ＝90°. ∵CF ∥AD ，∴∠F ＝180°－∠BAD ＝90°， ∴∠BCF ＝90°－∠CBF ＝30°. ∵BF ＝2， ∴BC ＝2BF ＝4， ∴BD ＝2BC ＝8，即此圆的直径是8，∴此圆的半径是4.(6分) 25. (1)11.3；(3分) (2)<.(5分)26. 解：(1)∵x 1＝1，x 2＝2，y 1＝y 2， ∴抛物线对称轴为直线x ＝t ＝x 1＋x 22＝1＋22＝32， ∴t ＝32；(2分)(2)在点M (x 1，y 1)，点N (x 2，y 2)中， ∵0＜x 1＜1，1＜x 2＜2， ∴x 1＜x 2. ∵a ＞0，∴抛物线开口向上．又∵抛物线为轴对称图形，∴当y 1＜y 2，则点M 到对称轴的距离小于点N 到对称轴的距离得|t －x 1|＜|x 2－t |，两边平方，得t 2－2x 1t ＋x 21＜t 2－2x 2t ＋x 22，整理得x 21－x 22－2x 1t ＋2x 2t ＜0(x 1－x 2)(x 1＋x 2)－2t (x 1－x 2)＜0 (x 1－x 2)(x 1＋x 2－2t )＜0. ∵x 1＜x 2，∴x 1＋x 2－2t ＞0，x 1＋x 2＞2t ，t ＜x 1＋x 22，由不等式及不等式关系0＜x 1＜1，1＜x 2＜2，将两式相加，得1＜x 1＋x 2＜3， ∴12＜x 1＋x 22＜32， ∴t ≤12.(6分)(一题多解) ∵a ＞0， ∴抛物线开口向上．又∵抛物线为轴对称图形，∴当y 1＜y 2，则点M 到对称轴的距离小于点N 到对称轴的距离． ∵0＜x 1＜1，1＜x 2＜2，∴x 1＜x 2，如解图①，当t ＜x 1＜x 2，则点M 和点N 都在对称轴的右侧，符合题意，此时t ≤0；第26题解图①如解图②，当x 1＜x 2＜t ，则点M 和点N 都在对称轴的左侧，不符合题意，此时t ≥2；第26题解图②当x 1＜t ＜x 2，则点M 和点N 分别位于对称轴的两侧，此时0＜t ＜2.(i )如解图③，当t ＝1时，不能保证点M 到对称轴的距离小于点N 到对称轴的距离，不符合题意；第26题解图③(ii )当1＜t ＜32时，不能保证点M 到对称轴的距离小于点N 到对称轴的距离，不符合题意；(iii )如解图④当32≤t ＜2时，点M 到对称轴的距离大于点N 到对称轴的距离，不符合题意；第26题解图④(iiii )当12＜t ＜1时，不能保证点M 到对称轴的距离小于点N 到对称轴的距离，不符合题意；(iiiii )如解图⑤，当0＜t ≤12时，点M 到对称轴的距离小于点N 到对称轴的距离，符合题意．第26题解图⑤∴综上所述，t 的取值范围为t ≤12.(6分)27. (1)证明：由题意得，∠MDE ＝2α，MD ＝DE ， ∵∠MDE ＝∠C ＋∠DEC ，∠C ＝α， ∴∠DEC ＝2α－α＝α＝∠C ， ∴DC ＝DE ， ∴MD ＝DC ，即D 是MC 的中点；(3分) (2)解：∠AEF ＝90°.证明：如解图，连接AF ，延长FE 至点Q ，使得FE ＝EQ ，连接AQ ，CQ ，第27题解图∵FD ＝DC ，FE ＝EQ ， ∴DE 是△FCQ 的中位线， ∴DE ∥CQ ，DE ＝12CQ ，∴∠FDE ＝∠DCQ ＝∠DCA ＋∠ACQ . ∵∠B ＝∠DCA ＝α，∠FDE ＝2α＝2∠B ， ∴∠ACQ ＝∠DCA ＝α， ∴∠B ＝∠ACQ ，由题意得，BF ＝BC －FC ＝2MC －2CD ＝2(MC －CD )＝2MD . ∵DM ＝DE ，∴2DM ＝2DE ＝2×12CQ ＝CQ ，在△ABF 和△ACQ 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AC ∠B ＝∠ACQ BF ＝CQ， ∴△ABF ≌△ACQ (SAS)， ∴AF ＝AQ . 又∵FE ＝EQ ， ∴AE ⊥FQ ， ∴∠AEF ＝90°.(7分) 28. 解：(1)①C 1，C 2；(2分)(解法提示) 如解图①，连接C 1A ，连接C 1B 1并延长，∵C 1(－1，1)，B 1(－22，22)，∴B 1，C 1在直线y ＝－x 上．∵O (0，0)∴直线B 1C 1经过点O .∵A (－1，0)，∴OA ⊥AC 1，∴AC 1是⊙O 的切线，∴C 1是弦AB 1的“关联点”；如解图②，连接C 2B 1，连接C 2A 并延长，∵C 2(－2，0)，A (－1，0)，∴直线C 2A 经过圆心O , 连接OB 1.∵B 1(－22，22)，∴OB 1＝1，B 1C 2＝1，OC 2＝2，∴OB 21＋B 1C 22＝OC 22，∴OB 1⊥B 1C 2，∴B 1C 2是⊙O 的切线，∴C 2是弦AB 1的“关联点”．第28题解图②2；(4分)(解法提示) 如解图③，当CA 是⊙O 的切线时，过点A 作OA 的垂线，交直线OB 2于点C 1，∴点C 在点C 1处时满足条件，OC 1＝12＋12＝2；当CB 2是⊙O 的切线时，过点B 2作OB 2的垂线，交直线AO 于点C ，∵∠OB 2C ＝90°，∠COB 2＝∠AOC 1＝45°，∴B 2C ＝OB 2＝1，∴OC ＝12＋12＝2；综上所述，若C 是弦AB 2的“关联点”，则OC ＝ 2.第28题解图③(2)263≤t ≤3或1≤t ≤233.(7分)(解法提示) 如解图④，过点O 作OH ⊥MN 于点H ， ∵OM ＝3，ON ＝655，∴MN ＝OM 2＋ON 2＝955， ∴sin ∠OMN ＝ON MN ＝23，∴sin ∠OMN ＝OH OM ＝23，∴OH ＝2.∵S 是MN 上的点，第28题解图④∴2≤OS ≤3，∴可将问题转化为点S 是⊙O 上弦PQ 的“关联点”，且2≤OS ≤3，求PQ 长的取值范围．如解图⑤，直线OS 交⊙O 于点P 1，P 2，E ，F 是直线OS 上的点，且OE ＝2，OF ＝3，则点S 在EF 上运动，过点S 作⊙O 的切线SQ ，切点为Q ，连接P 1Q ，P 2Q ，即为所求的弦PQ .第28题解图⑤∵SQ 是⊙O 的切线， ∴∠OQS ＝90°，∴∠QOS ＝90°－∠QSP ，∠QOP 1＝90°＋∠QSP .分析易得，当点S 从E 向F 运动时，∠QSP 变小， ∴当点S 从E 向F 运动时，∠QOS 变大，∠QOP 1变小， ∴当点S 从E 向F 运动时，P 2Q 变大，P 1Q 变小，∴当点S 在点E 处时，P 2Q 取得最小值，P 1Q 取得最大值，当点S 在点F 处时，P 2Q 取得最大值，P 1Q 取得最小值．如解图⑥，当点S 在点E 处时，过点Q 作QD ⊥OS 于点D ，第28题解图⑥∵∠QOD ＝∠SOQ ，∠ODQ ＝∠OQS ， ∴△ODQ ∽△OQS ， ∴OD OQ ＝OQ OS ＝DQ QS. ∵OQ ＝1，OS ＝2，∴QS ＝3，∴OD 1＝12＝DQ3，∴OD ＝12，DQ ＝32，∴P 1D ＝32，P 2D ＝12，∴P 1Q ＝P 1D 2＋QD 2＝3，P 2Q ＝P 2D 2＋QD 2＝1；如解图⑦，当点S 在点F 处时，过点Q 作QK ⊥OS 于点K ，同理可得，△OKQ ∽△OQS ， ∴OK OQ ＝OQ OS ＝KQ QS. ∵OQ ＝1，OS ＝3，∴QS ＝22，∴OK 1＝13＝KQ22，∴OK ＝13，KQ ＝223，∴P 1K ＝43，P 2K ＝23，∴P 1Q ＝P 1K 2＋QK 2＝263，P 2Q ＝P 2K 2＋QK 2＝233.∴263≤P 1Q ≤3，1≤P 2Q ≤233，∴当弦PQ 为P 1Q 时，263≤t ≤3；当弦PQ 为P 2Q 时，1≤t ≤233第28题解图⑦。

北京市中考数学试卷(解析版)

2a
ab
A. 3 【答案】A
B. 2 3
C. 3 3
D. 4 3
【解析】原式 a2 b2 2abb 2 3 ，∴原式
2a
a b 2a a b 2
3. 【考点】分式化简求值，整体代入.
7.跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一.运动员起跳后飞行路线可以看作是抛物线一部分，运动员起跳后竖直高度 y （单位： m ）与水平距离 x （单位： m ）近似满足函数关系
△AFG 是等腰直角三角形，∴ FAG BAC 45 ，∴ BAC DAE . 另：此题也可直接测量得到结果. 【考点】等腰直角三角形 10.若 x 在实数范围内有意义，则实数 x 取值范围是_______. 【答案】 x≥ 0 【解析】被开方数为非负数，故 x≥ 0 . 【考点】二次根式有意义条件. 11.用一组 a ， b ， c 值说明命题“若 a b ，则 ac bc ”是错误，这组值可以是 a _____， b ______， c _______. 【答案】答案不唯一，满足 a b ， c ≤0 即可，例如：， 2 ， 1 【解析】不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变. 【考点】不等式基本性质 12. 如图，点 A ， B ， C ， D 在 O 上， CB CD ， CAD 30 ， ACD 50 ，则 ADB ________.
准足球场总面积.已知每个标准足球场面积为 7140m2 ，则 FAST 反射面积总面积约为
A. 7.14 103 m2
B. 7.14 104 m2 C. 2.5 105 m2
D. 2.5 106 m2
【答案】C
【解析】 7140 35 249900 2.5 105 （ m2 ），故选 C.