圆的第三定义
北师大版九年级数学下册教案第三章：3.1圆
（四）学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“圆在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
2.引导与启发：在讨论过程中，我将作为一个引导者，帮助学生发现问题、分析问题并解决问题。我会提出一些开放性的问题来启发他们的思考，如圆的性质如何应用于建筑设计。
3.重点难点解析：在讲授过程中，我会特别强调圆的基本性质和弧、弦、圆心角的关系这两个重点。对于难点部分，如圆内接四边形的性质，我会通过举例和比较来帮助大家理解。
（三）实践活动（用时10分钟）
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与圆相关的实际问题，如圆的对称性在实际中的应用。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作，如制作圆形图案，演示圆的对称性和勾股定理在圆中的应用。
其次，在新课讲授中，我特别强调了圆的对称性和弧、弦、圆心角的关系。这部分内容对于学生来说有一定的难度，但在小组讨论和实验操作中，他们表现出了很高的兴趣。我发现，通过分组讨论和实验操作，学生能够更直观地理解这些概念。不过，也有部分学生在讨论过程中显得有些迷茫，可能是因为他们对这些概念的理解还不够深入。针对这个问题，我打算在下一节课中增加一些实例分析，帮助学生进一步理解这些难点。
在教学过程中，教师应针对这些重点和难点内容，通过生动的例子、直观的演示和反复的练习，帮助学生透彻理解并掌握这些核心知识点。
四、教学流程
（一）导入新课（用时5分钟）
同学们，今天我们将要学习的是《圆》这一章节。在开始之前，我想先问大家一个问题：“你们在日常生活中是否遇到过圆形物体？”（如硬币、圆桌等）这个问题与我们将要学习的内容密切相关。通过这个问题，我希望能够引起大家的兴趣和好奇心，让我们一同探索圆的奥秘。
2012.11.2第三章 直线与方程、第四章圆的知识点及典型例题
第三章 直线与方程知识点及典型例题1. 直线的倾斜角定义：x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。
特别地，当直线与x 轴平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度。
因此，倾斜角的取值范围是0°≤α＜180° 2. 直线的斜率①定义：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。
直线的斜率常用k 表示。
即k=tan α。
斜率反映直线与轴的倾斜程度。
当直线l 与x 轴平行或重合时, α=0°, k = tan0°=0; 当直线l 与x 轴垂直时, α= 90°, k 不存在.当[)οο90,0∈α时，0≥k ； 当()οο180,90∈α时，0<k ； 当ο90=α时，k 不存在。
例.如右图，直线l 1的倾斜角α=30°，直线l 1⊥l 2，求直线l 1和l解：k 1=tan30°=33∵l 1⊥l 2 ∴ k 1·k 2 =—1 ∴k 2 =—3例：直线053=-+y x 的倾斜角是( )A.120°B.150°C.60° ②过两点P 1 (x 1，y 1)、P 1(x 1，y 1) 的直线的斜率公式：)(211212x x x x y y k ≠--=注意下面四点：(1)当21x x =时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为90°； (2)k 与P 1、P 2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。
例.设直线 l 1经过点A(m ，1)、B(—3，4)，直线 l 2经过点C(1，m )、D(—1，m +1)， 当(1) l 1/ / l 2 (2) l 1⊥l 1时分别求出m 的值※三点共线的条件：如果所给三点中任意两点的斜率都有斜率且都相等，那么这三点共线。
第1课时 圆的有关概念和点与圆的位置关系
学习目标：1．记住圆的定义及其他相关概念．2.熟悉点与圆的三种位置关系及如何确定点与圆的这三种位置关系．3．经历探索点与圆的位置关系的过程，会运用点到圆心的距离与圆的半径之间的数量关系判断点与圆的位置关系．学习重点：圆的定义．预设难点：点与圆的位置关系．☆预习导航☆一、链接1．射击用的靶子为什么做成圆形？2．行驶过程中的车轮不停地滚动，为什么车上的人不觉得车子上下起伏？二、导读阅读教材内容，回答问题．1．点与圆的位置关系(1)在平面内，点与圆有哪几种位置关系？________、________、________．(2)如图24－2－9，如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么点P在圆内⇔________；点P在圆上⇔________；点P在圆外⇔________．图24－2－92．圆的相关概念圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，用符号“ ︵”表示．如图24－2－10，以A ，B 为端点的弧记作AB ︵，读作“弧AB ”．连接圆上任意两点的线段(图24－2－10中的AB ，CD)叫做弦，经过圆心的弦(图24－2－10中的CD)叫做直径． 图24－2－10同圆中所有的半径相等．圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆．大于半圆的弧(图24－2－10中的ACB ︵，一般用三个字母表示)叫做优弧；小于半圆的弧(图24－2－10中的AB ︵，AC ︵或BD ︵)叫做劣弧．由弦及其所对的弧组成的图形叫做弓形(图24－2－10中弦AB 分别与AB ︵及ACB ︵组成两个不同的弓形)．能够重合的两个圆叫做等圆，等圆的半径相等． 在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫做等弧． ☆ 合作探究 ☆1．矩形ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝3 3 cm ，以点A 为圆心、AB 为半径作圆，则B ，C ，D 三点分别与⊙A 有怎样的位置关系？AC 的中点M 与⊙A 有怎样的位置关系？2．(1)矩形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，点A ，B ，C ，D 是否在以点O 为圆心的同一个圆上？为什么？(2)如果E ，F ，G ，H 分别为OA ，OB ，OC ，OD 的中点，点E ，F ，G ，H 在同一个圆上吗？为什么？☆ 归纳反思 ☆等弧是指同圆或等圆中的弧，只有两条弧互相重合才叫做等弧，这里包含两层意思：弧的________相等以及弧的________相等．☆ 达标检测 ☆1．已知：如图24－2－11，AB ，CD 为⊙O 的直径．求证：AD ∥CB.图24－2－112．已知⊙O 的半径为3 cm ，A 为线段OP 的中点，当OP 满足下列条件时，分别指出点A 与⊙O 的位置关系：(1)OP ＝4 cm ；(2)OP ＝6 cm ；(3)OP ＝8 cm.。
第三节 圆的方程
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1.圆心坐标为(1,1)且过原点的圆的方程是 ( D )
A.(x-1)2+(y-1)2=1
C.(x+1)2+(y+1)2=2
B.(x+1)2+(y+1)2=1
D.(x-1)2+(y-1)2=2
2 ,故该圆的方程为(x-1)2+(y-1)2=2,故 答案 D 由题意得圆的半径为
选D.
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2.确定一个圆最基本的要素是④ 圆心 和⑤
半径 .
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3.圆的标准方程
(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其中⑥ (a,b) 为圆心,⑦ r 为半径.
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4.圆的一般方程
x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是⑧ D2+E2-4F>0 ,其中圆心为
考点突破
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1-1 若不同的四点A(5,0)、B(-1,0)、C(-3,3)、D(a,3)共圆,则a的值为
7
. 7
答案
解析 设过A、B、C三点的圆的方程为 x2+y2+Dx+Ey+F=0,
分别代入A、B、C三点坐标,得
25 5D F 0, 1 D F 0, 9 9 3D 3E F 0, D 4, 25 解得 E , 3 F 5.
2 2 ( x -1) +( y +1) =2 C的方程为
.
答案 (x-1)2+(y+1)2=2 解析
| 4 | x-y=0和x-y-4=0之间的距离为 =2 2 ,所以圆的半径为 2 .又因 2
第三章圆1-10(1)
第三章圆第1课时教学内容圆的有关概念．圆的对称性教学目标知识与技能：了解圆的有关概念，理解并掌握圆的对称性质，过程与方法：从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，通过实际操作，理解圆的对称性。
情感与态度：通过实际操作体会，使学生感受圆形的美，感受知识来源于实际生活又应用于生活。
重难点：探索圆的对称性，了解圆的相关概念。
教学准备：圆形，细绳。
课型：新授教法学法：自主学习、操作实验、讲练结合教学过程一、复习引入（学生活动）请同学口答下面两个问题（提问一、两个同学）1．举出生活中的圆三、四个．2．你能讲出形成圆的方法有多少种？老师点评（口答）：（1）如车轮、杯口、时针等．（2）圆规：固定一个定点，固定一个长度，绕定点拉紧运动就形成一个圆．二、探索新知1、圆的定义从以上圆的形成过程，我们可以得出：定义1：在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，•另一个端点所形成的图形叫做圆．固定的端点O叫做圆心，线段OA叫做半径．以点O为圆心的圆，记作“⊙O”，读作“圆O”．定义2：学生四人一组讨论下面的两个问题：问题1：圆上各点到定点（圆心O）的距离有什么规律？问题2：到定点的距离等于定长的点又有什么特点？老师提问几名学生并点评总结．（1）圆上各点到定点（圆心O）的距离都等于定长（半径r）；（2）到定点的距离等于定长的点都在同一个圆上．圆的新定义：平面内到定点的距离等于定长的点所有点组成的图形，这个定点就是圆心，定长就是圆的半径。
2、概念，我们又把连接圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；问：你能作出圆中最长的弦吗？这个最长的弦是什么？板书：经过圆心的弦叫做直径，如图线段AB；一个圆有多少条直径？试一试：分别作出两个半径为5cm的圆，剪下来试试它们能否完全重合，说明了这两个圆有什么关系？能够重合的两个圆叫做相等的圆（等圆）或半径相等的圆叫做等圆。
3、圆的对称性实际操作（学生活动）请同学们回答下面两个问题．（1．把一个圆旋转任意角度后，能否与自身重合？由此你想到圆有什么性质？（2．把一个圆沿直径对折后，你有什么发现？由此你又有什么结论？同学们把你的结论写下来：结论：三、课堂小结学生归纳后，老师点评，系统总结，四、巩固知识熟记圆的有关概念和性质五、作业1、你有几种方法可以画出一个圆？2、画圆时要确定什么？3、在我们学习的几何图形中，请总结一下它们的对称性，并加以比较。
初中数学知识点(圆,相似,三角函数)
2.全等 判定方法：SSS,SAS,ASA,HL,AAS
弦切角定理 弦切角的度数等于它所加的弧的圆心角度数的一半，等于它所加弧所对的圆
周角度数
圆幂定理： 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两
条线段长的比例中项。 割线定理：从圆外一点 P引两条割线与圆分别交于 A、B；C、D，则有 PA·PB=PC·PD
这两个集合有包含关系，称为集合 A为集合 B的子集。 用平面上闭合曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn图 如果集合 A为集合 B的子集，且集合 B为集合 A的子集，此时集合 A与
集合 B中的元素是一样的，因此集合 A与集合 B相等，记作 A=B，如果集合 A 包含于集合 B如果集合 A的任何一个元素都是集合 B的元素,我们就说 A ⊆ B(读作 A包含于 B),或 B ⊇ A(读作 B包含 A),称集合 A是集合 B的子集.如果 A
A={x∈I|p}，其中 x叫做代表元素，I是代表元素 x的取值范围，p是个元 素的共同特征。 开区间：{x|1<x<2}等价于 x∈（1,2） 左闭右开区间：{x|1《x<2}等价于 x∈[1,2） 闭区间：{x|1《x《2}等价于 x∈[1,2] {x|x>1}等价于 x∈（1，+∞） {x|x《2}等价于 x∈（-∞，2）
第8章 第3节 圆的方程-2023届高三一轮复习数学精品备课(新高考人教A版2019)
5．已知圆 C 经过点 A(1，3)，B(4，2)，与直线 2x＋y－10＝0 相切，则圆 C 的标准方程为________．
(x－2)2＋(y－1)2＝5 解析 由题意，设圆 C 的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 因为点 B(4，2)在直线 2x＋y－10＝0 上， 所以点 B(4，2)是圆与直线 2x＋y－10＝0 的切点， 连接圆心 C 和切点的直线和与切线 2x＋y－10＝0 垂直， 则 kBC＝12，则 BC 的方程为 y－2＝12(x－4)， 整理得 x－2y＝0，
(√)
(4)若点 M(x0，y0)在圆 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 外，则 x20
＋y20＋Dx0＋Ey0＋F>0.
(√)
◇教材改编
2．圆 x2＋y2－4x＋6y＝0 的圆心坐标和半径分别是
( D) A．(2，3)，3
B．(－2，3)， 3
C．(－2，－3)，13
D．(2，－3)， 13
解析 圆的方程可化为(x－2)2＋(y＋3)2＝13， 所以圆心坐标是(2，－3)，半径 r＝ 13.
(2)可知yx－＋32表示直线 MQ 的斜率 k. 设直线 MQ 的方程为 y－3＝k(x＋2)， 即 kx－y＋2k＋3＝0. 由直线 MQ 与圆 C 有交点， ∴|2k－71＋＋2kk2＋3|≤2 2， 可得 2－ 3≤k≤2＋ 3， ∴yx－＋32的最大值为 2＋ 3，最小值为 2－ 3.
(3)设 y－x＝b，则 x－y＋b＝0. 当直线 y＝x＋b 与圆 C 相切时，截距 b 取到最值， ∴ 1|22＋－（7＋－b1|）2＝2 2，∴b＝9 或 b＝1. ∴y－x 的最大值为 9，最小值为 1.
►考向三 与圆有关的轨迹问题[师生共研] [例 3] 已知圆 x2＋y2＝4 上一定点 A(2，0)，B(1，1)为 圆内一点，P，Q 为圆上的动点． (1)求线段 AP 中点的轨迹方程； (2)若∠PBQ＝90°，求线段 PQ 中点的轨迹方程． [自主解答] (1)设 AP 的中点为 M(x，y)， 由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x－2，2y)． 因为 P 点在圆 x2＋y2＝4 上， 所以(2x－2)2＋(2y)2＝4. 故线段 AP 中点的轨迹方程为(x－1)2＋y2＝1.
六年级下册第三单元的圆的公式汉字
六年级下册第三单元的圆的公式汉字1．圆的定义：平面上的一种曲线图形。
2．将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。
圆心一般用字母O表示。
它到圆上任意一点的距离都相等．3．半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。
半径一般用字母r表示。
把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。
4．圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。
5．直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。
直径一般用字母d表示。
6．在同一个圆里，所有的半径都相等，所有的直径都相等。
7．在同一个圆里，有无数条半径，有无数条直径。
8．在同一个圆内，直径的长度是半径的2倍，半径的长度是直径的一半。
用字母表示为：d＝２r r ＝d用文字表示为：直径=半径×2 半径=直径÷29．圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。
10．圆的周长总是直径的3倍多一些，圆的周长除以直径的商是一个固定的数，我们它叫做圆周率，用字母表示。
圆周率是一个无限不循环小数。
在计算时，取3.14。
世界上第一个把圆周率算出来的人是我国的数学家祖冲之。
11．圆的周长公式：1.知道直径d：圆周长=×直径：C=d2.知道半径r ：圆周长=2××半径：C=2r12.知道圆的周长C求直径：d=C知道圆的周长C求半径：r= C213、圆的面积：圆所占面积的大小叫圆的面积。
14．求圆面积的公式：1.已知r时：2.已知d时：3.已知C时：先求出半径（r= C2），然后用第一条公式或者直接用公式：15．在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。
（?）16．在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。
（?）17．一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r （?）它的面积是或S=(R2-r2)18．半圆的周长等于圆的周长的一半加直径。
半圆的周长与圆周长的一半的区别在于，半圆有直径，而圆周长的一半没有直径。
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圆的第三定义
摘要：
1.圆的第三定义的概念
2.圆的第三定义的含义
3.圆的第三定义的数学表达式
4.圆的第三定义的应用
5.圆的第三定义的理解和掌握方法
正文：
【圆的第三定义的概念】
圆的第三定义，也称为圆的极坐标定义，是指在平面直角坐标系中，以原点为极点，以x 轴正半轴为极轴，半径为r 的圆的极坐标方程。
【圆的第三定义的含义】
圆的第三定义的含义是，在平面直角坐标系中，所有到某一固定点的距离等于定长r 的点的集合。
这个固定点称为圆心，定长r 称为半径。
【圆的第三定义的数学表达式】
圆的第三定义的数学表达式是：r = |x - a| + |y - b|，其中(a, b) 是圆心的坐标，r 是半径。
【圆的第三定义的应用】
圆的第三定义在数学中有广泛的应用，例如在解析几何中，它是求解圆和直线、圆和圆的位置关系的重要工具。
【圆的第三定义的理解和掌握方法】
要理解和掌握圆的第三定义，首先要理解极坐标系的概念，然后通过具体
的数学运算，理解并熟练使用圆的第三定义的数学表达式。