反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法在初中数学解题中的应用探讨
反证法在初中数学解题中的应用探讨作者：马多贵来源：《学周刊》2020年第12期摘要：在初中数学的教学和学习过程中，反证法是一种非常常见的解题方法，它可以有效简化数学问题，提高解题速度与解题正确率，锻炼学生的逻辑思维能力。
在初中数学解题过程中，反证法的应用十分广泛。
尤其是针对一些无处着手的数学问题，反证法的解题技巧可以帮助学生迅速获得解题答案。
基于此，本文概述了反证法的理论和分类等，重点针对反证法在初中数学解题中的应用进行了详细的分析，以供参考。
关键词：反证法;初中数学;解题;应用中图分类号：G63; ; ; ; ; 文献标识码：A; ; ; ; ; 文章编号：1673-9132（2020）12-0096-02DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2020.12.047反证法的应用思路是先将结论否定，然后依次为基础展开论证，并根据已知命题和推理原则得出与已知题设相矛盾的结论，进而确定论题的真实性。
由此可见，反证法的应用并不需要直接证明结论，而是通过否定与结论相反的一面来证明事物的真实性。
这是一种间接的、让步的证明方法。
巧妙地应用反证法可以让人有一种茅塞顿开的感觉，并且解题过程简洁、明快，被誉为“数学家最精良的武器之一”。
而且在初中数学解题中，巧妙应用反证法可以有效培养学生的逆向思维，提高学生的数学问题解决能力。
一、反证法的概述反证法在初中数学解题中属于较为特别的解题方法，尤其对于一些无从下手的难题往往有较好的解题效果，但要想正确有效地运用需要准确细致地了解反证法的相关理念，下面进行具体论述。
（一）反证法的基本理念先对原命题进行否定，然后再找出必要的矛盾，就可以对原命题进行论证。
也就是说，在证明一个命题的时候，可以先假设命题结论的对立面是正确的，再由已知条件得出两个相互矛盾的结论，或者与数学定理、公理、已知条件等相矛盾的结果，就可以说假设不成立。
而在说明假设不成立的同时，也就代表着原命题的成立。
漫谈初中数学解题中的“反证法”
61学子 ２０１７．０５数学教学漫谈初中数学解题中的“反证法”王玉琴一、“反证法”解题方法在解题中，反证法一般分为三步：1.提出假设：做出与所要求证的结论相反的假定。
2.推理求证：由“假设”出发进行推理，得出与定义、定理、公理或与题设相矛盾的结论。
3.得出结论：根据“矛盾”得出假设不成立，原求证结论正确。
反证法的步骤好理解和掌握，关键是要反设正确，在结论的方面呈多种情况或比较隐晦时，在反设时就比较困难，现将其中常用的互为否定形式词语总结如下：其中，在至少有一个、至多有n 个、至多有一个等证明结论的反设上，需要更为细心的琢磨，让学生明白一个也没有、至多有二个、至多有n 个的深刻含义，从而顺利进行证明。
反证法的使用，使得一些数学试题的解决简单便捷。
二、“反证法”例题展示１．定理性命题的证明在数学的基本定理中，利用“反证法”来证明，更便捷、具有说服力。
案例１：勾股定理的证明如图所示，在直角三角形△ABC 中，∠C=90°，三个边长分别为a、b、c，求证：c2=a2+b2.证明：过C 点作斜边AB 上的垂线于D，假设a 2+b 2 ≠ c 2，即AC 2+BC 2≠AB 2，根据三角形的中垂线定理可得：AB 2=AB•AB=AB（AD+BD）=AB•AD+AB•BD 根据假设又知：AC2≠AB•AD，BC2≠AB•BD 即AD：AC ≠AC：AB，或者BD：BC ≠BC：AB，在△ADC 和△ACB 中，因为∠A=∠A，则当AD：AC ≠AC：AB 时，∠ADC ≠∠ACB；在△CDB 和△ACB 中，因为∠B=∠B，则当BD：BC ≠BC：AB 时，∠CDB ≠∠ACB，又因为∠ACB=90°，所以∠ADC ≠90°，∠CDB ≠90°，这与CD ⊥AB 是矛盾的，所以AC 2+BC 2≠AB 2不成立，则有：AC 2+BC 2=AB 2，即c 2=a 2+b 2２．无限性命题的证明“无限”、“无穷”等概念，往往出现在求证命题中，正面证明缺乏一定的头绪，而“反证法”使得解题变得非常简单。
八年级数学下册《反证法》优秀教学案例
1.培养学生对数学的热爱，激发他们学习数学的兴趣和积极性；
2.培养学生的逆向思维，让他们明白事物具有多面性，学会从不同角度看待问题；
3.培养学生勇于探索、敢于创新的精神，增强他们面对困难时的自信心；
4.培养学生的批判性思维，使他们学会质疑、善于思考，形成独立见解。
三、教学策略
（一）情景创设
3.教师简要介绍反证法的概念，让学生对反证法有一个初步的认识。
（二）讲授新知
1.教师详细讲解反证法的定义、原理和应用步骤，结合具体例题进行分析，使学生明白反证法的思路和关键点。
2.通过多媒体展示反证法的思维过程，让学生更加直观地理解反证法的特点。
3.引导学生总结反证法的关键步骤：假设结论不成立，推出矛盾，从而证明原结论成立。
八年级数学下册《反证法》优秀教学案例
一、案例背景
在我国初中数学教育中，八年级的学生已经具备了一定的逻辑推理能力。在此基础上，本教学案例以人教版八年级数学下册《反证法》为主题，旨在引导学生运用反证法解决数学问题，提高他们的逻辑思维能力和解决问题的策略。反证法作为数学证明的重要方法，对于培养学生的逆向思维、拓展解题思路具有重要意义。本案例通过设计丰富多样的教学活动，让学生在实践中掌握反证法的要领，激发他们的学习兴趣，使他们在探索与实践中不断提高自身的数学素养。在教学过程中，教师将以学生为主体，关注个体差异，充分调动学生的积极性与主动性，营造一个充满活力、富有挑战的课堂氛围。
（四）反思与评价
1.教学过程中，教师及时对学生的学习情况进行反馈，帮助学生发现自身在反证法学习中的不足，指导他们进行有针对性的改进；
2.鼓励学生进行自我反思，总结自己在解决问题过程中成功和失败的经验，形成自己的学习策略；
反证法(初中课件)
∴a2=(2n+1)2=4n2+4n+1=2(2n2+2n)+1
∴a2是奇数，则2不能整除a2 ，这与已 知矛盾。∴假设不成立，故2能整除a。
1.命题”三角形中最多有一个内角是直角“的结论 的否定是（ C ） A、有两个内角是直角 B、有三个内角是直角 C、至少有两个内角是直角 D、没有一个内角是直角 2.否定“自然数a、b、c中恰有一个偶数”时，正 确的反设为（ ） D A.a、b、c都是奇数 B. a、b、c都是偶数 C. a、b、c中至少有两个偶数 D. a、b、c中都是奇数或至少有两个偶数
我来告诉你（经验之谈）
探究4：
1.存在性问题 2.否定性问题 3.唯一性问题 4.至多、至少类问题 5.一些基本命题、基本定理
哪些问题适宜用反证法
总之，直接证明比较困难的命题
反思与收获
你能谈谈举反例与反证法 的联系和区别吗？
同学们，学了这节课， 你们有何体会？ ---德国数学家希尔伯特说， 禁止数学家使用反证法， 就象禁止拳击家使用拳头。
C
2.已知：如图，直线l1,l2,l3在同一平面内,且l1∥l2,l3 ∥l1， 求证： l3∥l2
l1
P
证明： l2 假设l3∥l2，即l3与l2相交，记交点为Pl3
而l1∥l2,l3 ∥l1
这与“经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线 平行”相矛盾， 所以假设不成立， 即l3∥l2
例1：已知：a是整数，2能整除a2 求证：2能整除a。 证明：假设命题的结论不成立，即“2不能整 除a”,因为a是整数，故a是奇数 不妨设a=2n+1(n是整数)
道 旁 苦 李
王戎七岁时，爱和小朋友结伴玩耍。一 天，他们发现路边的一棵树上结满了李子， 小朋友一哄而上去摘李子，独有王戎没动。 等到小朋友们摘了李子一尝，原来是苦的！ 他们都问王戎：“你怎么知道李子是苦的
反证法在初中数学解题中的应用
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是解题时可有可无的部分。解题者只需要全面掌握假设 4.3 反证法在无穷性命题中的应用
内容，将解题步骤更好地推理出来，自然而然地就能找出
将反证法运用在无穷性命题的解题中，能快速高效
将反证法引入命题解题，主要由反设、归谬以及结论 三部分组成，它们在解题过程中是一个整体，且互相联 系、缺一不可。首先，反设。采用反证法进行解题时，反设
是最基础的内容，也是最关键的一个环节。反设的正确 性直接影响解题过程和结果。在此过程中，解题者一定 要充分了解题目给出的已知条件，借用所有条件对问题进 行假设，最后再设出与求证内容相反的假设，以此进行下 一步的求证。其次，归谬。归谬是运用反证法解题最关键 的内容及重点所在。归谬主要指引入反设中的问题，使反 设内容有一个明确的推理方向。最后，结论。结论主要是 将反证法引入，通过这种方式得到最终结果。将反谬推 理出的结果与反设假设的内容对比，若其产生矛盾，那么 假设内容就会被推翻，这样来证明原来命题的结论，此 时在得出结论后，整个命题已完成求证[2]。
反证法即在将原命题否定后，找出题目中问题的立 足点，再反过来证实原命题。具体求证一个命题时，可以 先假设两个相对的命题，如果已经有条件证明两个命题 是有矛盾的，或者得出的结果矛盾，那么就可以证实假设做反证法。 1.2 反证法的理论依据
反证法的理论依据主要由排中律和矛盾律这两大内 容组成，两者在定义上有所差异。矛盾律主要指的是:证 明命题时，如果有两个完全对立的结论，那么其中有一个 结论是不成立的。排中律指的是：针对一个命题，其要么 是真命题，要么是假命题，不会有第三种可能出现。排中 律要求解题者在思维上必须是清晰和明确的，解题者要 能最大限度地将排中律和矛盾律贯彻到数学应用中。此 外，排中律还有一个独特的特征，解题者在命题的证明 过程中，不仅要有独立的思维，还要确定自己的立场，以 此更好地证实命题。
《初中数学反证法》课件
本PPT课件详细介绍了初中数学中的反证法。内容包括反证法的定义和原理， 反证法在数学中的应用，反证法的基本步骤，以及使用反证法解决数学问题 的示例。
反证法例题解析
数学概念和定理
使用反证法解决常见的数学概念和定理问题。
步骤示例
演示如何运用反证法来解决具体问题。
深入探索
探讨反证法在不同数学领域中的应用。
3
学习建议
分享一些学习反证法的有效方法和技巧。
练习题和答案解析
1 提供练习
给出一些练习题，让学生巩固对反证法的理解。
2 答案解析
提供详细的答案解析，帮助学生检查和纠正错误。
3 挑战题目
提供一些有挑战性的题目，激发学生的思考和探索欲望。
解题技巧
分享一些解题技巧和经验。
反证法的优势和限制
数学推理的优势
反证法在数学推理中的重要作 用。
限制和注意事项
使用反证何促进思维的创 新。
常见误解和常见问题
1
常见错误和误解
学生在学习反证法时可能容易犯的常见错误和误解。
2
问题解答
解答学生常见问题和困惑，帮助他们更好地理解和应用反证法。
初中数学反证法
初中数学反证法在初中数学的学习中，我们会接触到各种各样的解题方法，其中反证法是一种独特而富有魅力的方法。
它就像是数学世界中的“逆向思维魔法”，常常能帮助我们在看似无解的困境中找到出路。
反证法，顾名思义，就是先假设命题的结论不成立，然后通过一系列的推理，得出与已知条件、定理、公理等相互矛盾的结果，从而证明原命题的结论是正确的。
这种方法听起来似乎有点绕，但其实只要我们深入理解，就能发现它的巧妙之处。
为了更好地理解反证法，让我们来看一个简单的例子。
假设要证明“在一个三角形中，最多只能有一个直角”。
我们先假设在一个三角形中可以有两个或三个直角。
如果有两个直角，那么三角形的内角和就会超过 180 度，这与三角形内角和是 180 度这个定理相矛盾。
同样，如果有三个直角，内角和更是远远超过 180 度，这显然是不可能的。
所以，我们的假设是错误的，从而得出在一个三角形中最多只能有一个直角的结论。
再比如，证明“根号 2 是无理数”。
如果假设根号 2 是有理数，那么它可以表示为一个既约分数 p/q（p、q 为整数，且互质），即根号 2 ＝p/q，两边平方得到 2 ＝ p^2/q^2，即 p^2 ＝ 2q^2。
由此可知 p^2 是偶数，因为只有偶数的平方才是偶数，所以 p 也是偶数。
不妨设 p ＝ 2m，代入上式得到 4m^2 ＝ 2q^2，即 2m^2 ＝ q^2，这又说明 q 也是偶数。
但是 p、q 都是偶数，这与 p、q 互质矛盾。
所以，假设不成立，根号 2 是无理数。
反证法的应用范围非常广泛。
在几何证明中，当直接证明某个结论比较困难时，反证法常常能发挥意想不到的作用。
比如在证明“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”时，就可以使用反证法。
假设过直线外一点有两条直线与已知直线平行，然后通过一系列的推理，会得出与平行公理相矛盾的结论，从而证明原命题的正确性。
在代数中，反证法也有很多用武之地。
例如，证明方程 x^5 ＋ x 1＝0 只有一个正实数根。
初中数学初二数学下册《反证法》优秀教学案例
（三）小组合作
小组合作是一种有效的教学策略，可以培养学生的团队协作能力和沟通能力。在本章节的教学中，我将把学生分成若干小组，每组学生在探究反证法的过程中，相互讨论、交流、分享。具体做法如下：
1.分组讨论：让学生在小组内讨论反证法的概念、步骤和应用。
2.分工合作：每个小组选择一道题目，运用反证法进行证明，并派代表进行汇报。
（Hale Waihona Puke ）作业小结1.布置作业：设计不同难度的题目，让学生巩固反证法的应用。
a.基础题目：运用反证法证明简单数学命题。
b.提高题目：运用反证法解决实际问题，如几何图形中的反证法证明。
c.拓展题目：研究反证法在其他数学领域的应用，如数列、函数等。
2.要求学生在完成作业时，注意书写规范，保持解答过程的简洁。
2.在探究反证法的过程中，引导学生独立思考，培养学生的逻辑思维和逆向思维。
3.引导学生通过观察、分析、归纳等思维方法，发现数学问题中的规律，提高学生解决问题的能力。
4.注重学法指导，让学生在自主学习、合作学习、探究学习的过程中，形成适合自己的学习方法。
（三）情感态度与价值观
1.激发学生对数学学科的兴趣，培养学生的探究精神。
3.教师在批改作业时，关注学生的解答过程，及时给予反馈，指导学生提高。
五、案例亮点
1.创设生活化的教学情境
本案例以贴近学生生活的实例为背景，创设教学情境，让学生在具体情境中感受反证法的意义和价值。这种做法有助于激发学生的学习兴趣，提高学生对数学知识的认同感，使学生在轻松愉快的氛围中掌握反证法。
2.以问题为导向，注重学生逻辑思维能力的培养
（二）问题导向
以问题为导向的教学策略，能够引导学生主动思考，培养其逻辑推理能力。在本章节的教学中，我将设计一系列由浅入深的问题，引导学生逐步掌握反证法的步骤和应用。例如，在讲解反证法证明数学命题时，可以提出以下问题：
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反证法在初中数学解题中的运用分析
反证法是一种基本的数学证明方法，在初中数学解题中也被广泛应用。
它是一种通过
假设引出矛盾来证明某个命题的方法，通常用于证明一些不能直接得到结论的命题。
一、基本思想
反证法的基本思想是：如果要证明一个命题P成立，可以假设它不成立，然后推出一
个矛盾的结果，从而证明原命题成立。
这样的证明方式可以帮助我们避免直接证明带来的
困难，使证明过程更为简单。
二、实例分析
1. 证明“根号3是无理数”
假设根号3是有理数，则可以写成根号3=a/b（a、b互质），其中a、b都是整数。
平方两边得3=a^2/b^2，从而得到a^2=3b^2。
这说明a的平方是3的倍数，因此a也是3的
倍数，即a=3c（c∈Z）。
将其代入a^2=3b^2中得到9c^2=3b^2，即3c^2=b^2，由此可知b 也是3的倍数。
但是a、b是互质的，矛盾！因此假设不成立，根号3是无理数。
2. 证明“在一个无限的等差数列中，任意两个正整数的差都不能是1”
假设该等差数列中存在正整数a、b，使得a-b=1。
令等差数列的第一项为c，公差为d，则有a=c+kd，b=c+(k-1)d，其中k是正整数。
带入a-b=1得到d=1，因此等差数列的公差
为1。
若d=1，则对于任意正整数，其后面必然至少有一个正整数与之差为1，矛盾！因此假设不成立，证明了该命题。
三、注意事项
反证法虽然在初中数学中被广泛应用，但它也存在一些需要注意的细节问题。
1. 假设的前提需要清晰明确。
在运用反证法时，我们需要明确假设的前提是什么，
以免出现“抓住了一根草而错过了一个森林”的情况。
2. 矛盾的产生必须严密。
在假设的基础上，我们需要通过一些推理或运算，得到一
个相互矛盾的结果，才能证明该命题。
3. 反证法不一定适用于所有问题。
有些问题需要直接证明，反证法并不一定能够得
出正确的结果。
4. 其他证明方法的选择需要根据问题的实际情况来决定。
在做题时需要灵活运用不
同的证明方法，如归纳法、直接证明等。