人教版高中数学【必修四】[知识点整理及重点题型梳理]_正弦函数、余弦函数的性质_基础
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人教版高中数学必修四
知识点梳理
重点题型（常考知识点）巩固练习
正弦函数、余弦函数的性质
【学习目标】
1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义；
2.理解正弦函数、余弦函数在区间]2,0[π上的性质(如单调性、周期性、最大值和最小值以及与x 轴的交点等)．
【要点梳理】
要点一：周期函数的定义
函数)(x f y =，定义域为I ，当I x ∈时，都有)()(x f T x f =+，其中T 是一个非零的常数，则)(x f y =是周期函数，T 是它的一个周期. 要点诠释：
1.定义是对I 中的每一个x 值来说的，只有个别的x 值满足)()(x f T x f =+或只差个别的x 值不满足
)()(x f T x f =+都不能说T 是)(x f y =的一个周期.
2.对于周期函数来说，如果所有的周期中存在一个最小的正数，就称它为最小正周期，三角函数中的周期一般都指最小正周期.
要点诠释：
（1）正弦函数、余弦函数的值域为[]1,1-，是指整个正弦函数、余弦函数或一个周期内的正弦曲线、余弦曲线，如果定义域不是全体实数，那么正弦函数、余弦函数的值域就可能不是[]1,1-，因而求正弦函数、余弦函数的值域时，要特别注意其定义域．
（2）求正弦函数的单调区间时，易错点有二：一是单调区间容易求反，要注意增减区间的求法，如求sin()y x =-的单调递增区间时，
应先将sin()y x =-变换为sin y x =-再求解，相当于求sin y x =的单调递减区间；二是根据单调性的定义，所求的单调区间必须在函数的定义域内，因此求单调区间时，必须先
求定义域．
要点三：正弦型函数sin()y A x ω?=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ω?ω=+>的性质． 函数sin()y A x ω?=+与函数cos()y A x ω?=+可看作是由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =复合而成的复合函数，因此它们的性质可由正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =类似地得到： （1）定义域：R （2）值域：[],A A -
（3）单调区间：求形如sin()y A x ω?=+与函数cos()(,0)y A x A ω?ω=+>的函数的单调区间可以通过解不等式的方法去解答，即把x ω?+视为一个“整体”，分别与正弦函数sin y x =，余弦函数cos y x =的单调递增（减）区间对应解出x ，即为所求的单调递增（减）区间．比如：由
)(222
2Z k k x k ∈+
≤+≤-
π
π?ωπ
π解出x 的范围所得区间即为增区间，由
)(2
3222Z k k x k ∈+≤+≤+ππ?ωππ解出x 的范围，所得区间即为减区间．
（4）奇偶性：正弦型函数sin()y A x ω?=+和余弦型函数cos()(,0)y A x A ω?ω=+>不一定具备奇偶性．对于函数sin()y A x ω?=+，当()k k z ?π=∈时为奇函数，当()2
k k z π
?π=±∈时为偶函数；
对于函数cos()y A x ω?=+，当()k k z ?π=∈时为偶函数，当()2
k k z π
?π=±∈时为奇函数．
要点诠释：
判断函数sin()y A x ω?=+，cos()y A x ω?=+的奇偶性除利用定义和有关结论外，也可以通过图象直观判断，但不能忽视“定义域关于原点对称”这一前提条件．
（5）周期：函数sin()y A x ω?=+及函数cos()y A x ω?=+的周期与解析式中自变量x 的系数有关，其周期为2T π
ω
=
．
（6）对称轴和对称中心
与正弦函数sin y x =比较可知，当()2
x k k z π
ω?π+=±
∈时，
函数sin()y A x ω?=+取得最大值（或最小值），因此函数sin()y A x ω?=+的对称轴由()2
x k k z π
ω?π+=±
∈解出，其对称中心的横坐标
()x k k z ω?π+=∈，即对称中心为,0()k k z π?ω-??
∈
???
．同理，cos()y A x ω?=+的对称轴由()x k k z ω?π+=∈解出，对称中心的横坐标由()2
x k k z π
ω?π+=±
∈解出．
要点诠释：
若x R ?，则函数sin()y A x ω?=+和函数cos()y A x ω?=+不一定有对称轴和对称中心． 【典型例题】
类型一：正弦函数、余弦函数的定义域与值域
例1．求函数y = 【答案】2222,33x k x k k Z ππππ??-
≤≤+∈???
?
【解析】 为使函数有意义，需满足2sin 2x+cos x －1≥0，即2cos 2x ―cos x ―1≤0，解得1
cos 12
x -≤≤．
画出余弦函数的图象或单位圆，如下图所示．
∴定义域为2222,33x k x k k Z ππππ??-
≤≤+∈???
?
． 【总结升华】求三角函数的定义域要注意三角函数本身的符号及单调性，在进行三角函数的变形时，
要注意三角函数的每一步都保持恒等，即不能改变原函数的自变量的取值范围．
举一反三：
【变式1】求函数lg(2sin 1)y x =-的定义域 【解析】依题意得2sin x －1＞0，即1sin 2x >，∴5
2266
k x k ππππ+<<+（k ∈Z ）， ∴函数的定义域为522,66x k x k k Z π
πππ?
?
+<<+∈???
?
． 例2．求下列函数的值域： （1）y=3―2sin x
（2）2sin 23y x π??
=+ ??
?
，,66x ππ??
∈-
???
?； （3）cos 2
cos 1
x y x -=
-．
【答案】（1）[1，5]（2）[0，2]（3）3,2
??+∞????
【解析】 （1）∵－1≤sin x ≤1，∴－2≤2sin x ≤2，∴－2≤－2sin x ≤2，∴1≤3－2sin x ≤5，∴函数的值域为[1，5]．
（2）∵6
6
x π
π
-
≤≤
，∴2023
3
x π
π≤+
≤
． ∴0sin 213x π??
≤+
≤ ??
?．∴02sin 223x π?
?≤+≤ ???
， ∴0≤y ≤2．∴函数的值域为[0，2]．
（3）∵cos 2cos 111
1cos 1cos 11cos x x y x x x
---=
==+
---， 当cos x=－1时，min 13
122
y =+=，
∴函数的值域为3
,2??+∞????
．
【总结升华】 一般函数的值域求法有：观察法、配方法、判别式法、反比例函数法等，而三角函数是函数的特殊形式，其一般方法也适用，只不过要结合三角函数本身的性质．
举一反三：
【变式1】 求y=cos 2x+4sin x ―2的值域． 【解析】y=cos 2x+4sin x ―2
=―sin 2x+4sin x ―1 =―(sin x ―2)2+3． ∵－1≤sin x ≤1，
∴当sin x=―1时，y min =―6；当sin x=1时，y max =2． ∴函数的值域为[－6，2]．
类型二：正弦函数、余弦函数的单调性
例3．（2016 浙江温州期末）设函数()sin(2)3
f x a x b π
=++
（1）若a ＞0，求f （x ）的单调递增区间； （2）当[0,
]4
x π
∈时，f （x ）的值域为[1，3]，求a ，b 的值．
【思路点拨】（1）由复合函数的单调性，解不等式2222
3
2
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
可得答案；
（2）由[0,]4x π∈，可得1sin(2)123x π
≤+≤，结合题意可得03112a a b a b ??>?+=???+=?或011
32
a a
b a b ?
?
可得．
【答案】（1）5[,]()1212k k k Z ππ
ππ-
+∈；（2）41a b =??=-?或45
a b =-??
=? 【解析】（1）∵a ＞0，由222232
k x k π
π
π
ππ-
≤+
≤+
可得51212
k x k ππ
ππ-
≤≤+， ∴f （x ）的单调递增区间为5[,]()1212
k k k Z ππ
ππ-+∈；
（2）当[0,]4x π∈时，52336
x πππ
≤+≤，
∴1sin(2)123
x π
≤+≤， ∵f （x ）的值域为[1，3]，
∴03112a a b a b ??>?+=???+=?，或01132
a a
b a b ?
?
+=???+=?， 分别可解得41a b =??=-?或4
5a b =-??=?
举一反三：
【变式1】（2015春 河南期中）已知函数1
sin(
)32
y x π
=- （1）求该函数的周期，并求函数在区间[0，π]上的值域； （2）求该函数在[－2π，2π]上的单调增区间． 【答案】（1）T=4π
，1[2-
；（2）单调递增区间为：[2,]3ππ--和5[,2]3
π
π． 【解析】（1）由题意函数的周期2412
T π
π=
=， ∵x ∈[0，π]，∴
1[,]3263
x π
ππ-∈-，
∴11sin(
)[3
22x π
-
∈-， 即函数在区间[0，π]
上的值域为1[,22
-
； （2）原函数可化为1sin()23y x π
=--
，
原函数的增区间即为1sin()23
y x π
=-的减区间，
令13222232k x k π
ππ
ππ+
≤
-≤+
， 解得5114433k x k ππ
ππ+≤≤+
，k ∈Z ， 令k =0，可得51133x ππ
≤≤
， 令k =－1，可得733
x ππ
-≤≤-，
∵x ∈[－2π，2π]，
∴函数的单调递增区间为：[2,]3
π
π--和5[
,2]3
π
π． 类型三：正弦函数、余弦函数的奇偶性
例4．判断下列函数的奇偶性：
（1）5
())2f x x π=+；
（2）()f x =
；
【思路点拨】（1）先利用诱导公式化简为()f x x =，再按步骤去判断．（2）先求函数的定义域，
然后判断．
【解析】（1）函数定义域为R ，且5()sin 2sin 2cos 222f x x x x ππ?
??
?=
+=
+=
? ?????
，显然有
()()f x f x -=恒成立．
∴函数5()22f x x π?
?=
+ ??
?为偶函数．
（2）由2sin x －1＞0，即1sin 2x >
，得函数定义域为52,266k k ππππ?
?++ ??
?（k ∈Z ），此定义域在x 轴
上表示的区间不关于原点对称．
∴该函数不具有奇偶性，为非奇非偶函数．
【总结升华】 判断函数奇偶数时，必须先检查定义域是否是关于原点的对称区间．如果是，再验证
()f x -是否等于()f x -或()f x ，进而判断函数的奇偶性；如果不是，则该函数必为非奇非偶函数．
举一反三：
【变式】关于x 的函数)(x f =sin(x+?)有以下命题： ①对任意的?，)(x f 都是非奇非偶函数； ②不存在?，使)(x f 既是奇函数，又是偶函数； ③存在?，使)(x f 是奇函数； ④对任意的?，)(x f 都不是偶函数.
其中一个假命题的序号是_____.因为当?=_____时，该命题的结论不成立. 【思路点拨】
当?=2k π，k ∈Z 时，)(x f =sinx 是奇函数. 当?=2(k+1)π，k ∈Z 时x x f sin )(-=仍是奇函数. 当?=2k π+
2π，k ∈Z 时，)(x f =cosx ，
当?=2k π-
2
π，k ∈Z 时，)(x f =-cosx ，)(x f 都是偶函数.
所以②和③都是正确的.无论?为何值都不能使)(x f 恒等于零.所以)(x f 不能既是奇函数又是偶函数.①和④都是假命题.
【解析】①，k π(k ∈Z )；或者①，2
π
+k π(k ∈Z )；或者④，
2
π+k π(k ∈Z )
类型四：正弦函数、余弦函数的对称性
例5．（2015春 湖南益阳月考）已知函数()2sin(2)4
f x x π
=-
．
（1）求函数的最值及相应的x 值集合； （2）求函数的单调区间；
（3）求函数f （x ）的图象的对称轴与对称中心． 【思路点拨】（1）根据正弦函数的最值性质即可求函数的最值及相应的x 值集合； （2）根据三角函数的单调性即可求函数的单调区间；
（3）根据三角函数的对称性即可求函数f （x ）的图象的对称轴与对称中心． 【解析】（1）当sin(2)14
x π
-=，即224
2
x k π
π
π-
=+
，k ∈Z ，
即38
x k π
π=+
，k ∈Z ，此时函数取得最大值为2； 故f （x ）的最大值为2，使函数取得最大值的x 的集合为3{|,}8
x x k k Z π
π=+∈； （2）由2222
4
2
k x k π
π
π
ππ-
+≤-
≤
+，得38
8
k x k π
π
ππ-
+≤≤
+，k ∈Z ． ∴函数f （x ）的单调递增区间为3[,
]88
k k π
π
ππ-
++，k ∈Z ．
由3222242k x k πππππ+≤-≤
+，得3788
k x k ππ
ππ+≤≤+，k ∈Z ． ∴函数f （x ）的单调递减区间为37[,]88
k k ππππ++，k ∈Z ． （3）由242x k πππ-=+，得31
82
x k ππ=
+，k ∈Z ． 即函数f （x ）的图象的对称轴为31
82
x k ππ=
+，k ∈Z ．
由24
x k π
π-
=，得182x k π
π=
+，k ∈Z ，即对称中心为1
(,0)82
k ππ+，k ∈Z ． 【总结升华】（1）正弦曲线、余弦曲线的对称轴一定分别过正弦曲线、余弦曲线的最高点或最低点，
即此时的正弦值、余弦值取最大值或最小值．
（2）正弦曲线、余弦曲线的对称中心一定分别过正弦曲线、余弦曲线与x 轴的交点，即此时的正弦值、余弦值都为0．
举一反三：
【正弦函数、余弦函数的性质394836 例1】 【变式1】指出下列函数的对称轴与对称中心 （1）sin()4y x =+
π
；（2）cos(2)3
y x =-π
. 【解析】（1）令4
t x π
=+
，则s i n s i n
4y x t π?
?
=+
= ??
?的对称轴方程是2
t k π
π=+（k ∈Z ），即4
2
x k π
π
π+
=+
（k ∈Z ），解得4
x k π
π=+
（k ∈Z ）．
∴函数sin 4y x π?
?
=+
??
?
的对称轴方程是4
x k π
π=+
（k ∈Z ）．
同理，对称中心的横坐标为4
x k π
π+
=，4
x k π
π∴=-
，即对称中心为,04k π
π?
?-
??
?
． （2）令23
t x π
=-
，则c o s 2c o s 3y x t π?
?
=-
= ??
?
的对称轴方程是t k π=（k ∈Z ），即23
x k π
π-
=（k ∈Z ）
，解得26
k x ππ
=
+（k ∈Z ）
． ∴函数cos 23y x π??
=-
??
?
的对称轴方程是26
k x ππ
=
+（k ∈Z ）
． 同理，对称中心的横坐标为23
2
x k π
π
π-
=+
，5212k x ππ∴=
+
，即对称中心为5,0212k ππ??
+ ???
（k ∈Z ）．
类型五：正弦函数、余弦函数的周期 例6．求下列函数的周期： （1）sin 3y x π??
=+
??
?
；
（2）cos 2y x =；（3）3sin 23x y π??
=+ ???
； （4）11
2sin cos 232
6y x x ππ????=+--
? ?????
【解析】（1）①令3
z x π
=+
，而sin(2)sin z z π+=，即(2)()f z f z π+=．
(2)33f x f x πππ???
?++=+ ??????
?．∴T=2π．
②令z=2x ，则()cos 2cos cos(2)cos(22)cos[2()]f x x z z x x πππ===+=+=+， 即()()f x f x π+=，∴T=π． ③
令
23
x z π
=
+，则
4()3
s i n
23
2
x x f x z z f x πππ
πππ+??
??
==+=
++=+=+ ?
???
??
， ∴T=4π ④
∵
原
式
111
2
s i n 22
6x x x
ππ
π??
???????
?
??=+-
--
=---
=-
? ? ? ? ??????
????
??
?
?
?， ∴2412
T π
π=
=． 举一反三：
【正弦函数、余弦函数的性质394836 例2】
【变式1】判断下列函数是否是周期函数.若是周期函数，求其最小正周期. （1）|sin |y x =； （2）sin ||y x =； （3）sin(2)3
y x =-
π
.
【答案】（1）是 T π= （2）不是 （3）22
T π
π== 类型六：正弦函数、余弦函数性质的综合应用 例7．已知函数12
()log |sin |f x x =．
（1）求其定义域和值域； （2）判断奇偶性；
（3）判断周期性，若是周期函数，求周期； （4）写出单调区间．
【思路点拨】在（3）中，可画出图象求周期，除了用周期函数的定义求周期外，作图也是一种基本的方法．在（4）中，可以将12
()log |sin |f x x =看成是由12
log y u =，u=|t|，t=sin x 复合而成．
【解析】（1）由|sin |0x >，得sin 0x ≠，∴x ≠k π，k ∈Z ．
∴函数的定义域为{x|x ≠k π，k ∈Z}． ∵0|sin |1x <≤，∴12
log |sin |0x ≥，
∴函数的值域为{y|y ≥0}．
（2）∵112
2
()log |sin()|log |sin |()f x x x f x -=-==，
∴函数()f x 是偶函数．
（3）∵112
2
()log |sin()|log |sin |()f x x x f x ππ+=+==，
∴函数()f x 是周期函数，且周期是π．（可结合图象验证） （4）设t=|sin x|， 当,2x k k πππ?
?
∈+
??
?
时，sin x ＞0，t=|sin x|为增函数； 当,2x k k π
ππ?
?
∈-
???
?
时，sin x ＜0，t=|sin x|为减函数． 又∵函数12
log y t =为减函数，
∴函数()f x 的单调增区间为,2k k π
ππ?
?-???
?，k ∈Z ；单调减区间为,2k k πππ?
?+ ??
?，k ∈Z ． 举一反三： 【变式】已知函数11
cos |cos |22
y x x =
+． （1）画出函数的简图；
（2）这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期； （3）指出这个函数的单调增区间．
【解析】 （1）11
cos |cos |22
y x x =
+ cos , 2,2()2230, 2,2()
22x x k k k Z x k k k Z ππππππππ??
?∈-+∈??????=????∈++∈??????
． 函数图象如右图所示．
（2）由图象知函数的周期是2π． （3）由图象知函数的单调区间为2,22k k π
ππ??
-
???
?
（k ∈Z ） 【总结升华】本题易犯的错误是求得周期为π，实际上通过图象可知，在一个区间长为2π的区间内
函数值才发生周期性变化．
高中数学函数知识点总结
高中数学函数知识点总结 （1）高中函数公式的变量：因变量，自变量。 在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点表示因变量。 （2）一次函数：①若两个变量 ,间的关系式可以表示成（为常数，不等于0）的形式，则称是的一次函数。②当 =0时，称是的正比例函数。（3）高中函数的一次函数的图象及性质 ①把一个函数的自变量与对应的因变量的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。 ②正比例函数 =的图象是经过原点的一条直线。 ③在一次函数中，当 0， O，则经2、3、4象限；当 0， 0时，则经1、 2、4象限；当 0， 0时，则经1、 3、4象限；当 0， 0时，则经1、2、3象限。 ④当 0时，的值随值的增大而增大，当 0时，的值随值的增大而减少。（4）高中函数的二次函数： ①一般式： ( )，对称轴是 顶点是； ②顶点式： ( )，对称轴是顶点是； ③交点式： ( )，其中（），（）是抛物线与x轴的交点 （5）高中函数的二次函数的性质 ①函数的图象关于直线对称。 ②时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而减少；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而增大。当时，取得最小值
③时，在对称轴（）左侧，值随值的增大而增大；在对称轴（）右侧；的值随值的增大而减少。当时，取得最大值 9 高中函数的图形的对称 （1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。 （2）中心对称图形：①在平面内，一个图形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点叫做他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中心平分。
关于正弦函数和余弦函数的计算公式
同角三角函数的基本关系式 倒数关系: 商的关系：平方关系： tanα·cotα＝1 sinα·cscα＝1 cosα·secα＝1 sinα/cosα＝tanα＝secα/cscαcosα/sinα＝cotα＝cscα/secα sin2α＋cos2α＝1 1＋tan2α＝sec2α 1＋cot2α＝csc2α 诱导公式 sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosα tan（－α）＝－tanα cot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα
cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinαcos（π＋α）＝－cosαtan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosαcos（3π/2－α）＝－sinαtan（3π/2－α）＝cotαcot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosαcos（3π/2＋α）＝sinαtan（3π/2＋α）＝－cotαcot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinαcos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanαcot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinαcos（2kπ＋α）＝cosαtan（2kπ＋α）＝tanαcot（2kπ＋α）＝cotα(其中k∈Z)
正余弦转换公式
诱导公式（口诀:奇变偶不变，符号看象限。）sin（－α）＝－sinα cos（－α）＝cosαtan（－α）＝－tanαcot（－α）＝－cotα sin（π/2－α）＝cosα cos（π/2－α）＝sinα tan（π/2－α）＝cotα cot（π/2－α）＝tanα sin（π/2＋α）＝cosα cos（π/2＋α）＝－sinα tan（π/2＋α）＝－cotα cot（π/2＋α）＝－tanα sin（π－α）＝sinα cos（π－α）＝－cosα tan（π－α）＝－tanα cot（π－α）＝－cotα sin（π＋α）＝－sinα cos（π＋α）＝－cosα tan（π＋α）＝tanα cot（π＋α）＝cotα sin（3π/2－α）＝－cosα cos（3π/2－α）＝－sinα tan（3π/2－α）＝cotα cot（3π/2－α）＝tanα sin（3π/2＋α）＝－cosα cos（3π/2＋α）＝sinα tan（3π/2＋α）＝－cotα cot（3π/2＋α）＝－tanα sin（2π－α）＝－sinα cos（2π－α）＝cosα tan（2π－α）＝－tanα cot（2π－α）＝－cotα sin（2kπ＋α）＝sinα
cos（2kπ＋α）＝cosα tan（2kπ＋α）＝tanα cot（2kπ＋α）＝cotα (其中k∈Z) 两角和与差的三角函数公式万能公式 sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ sin（α－β）＝sinαcosβ－cosαsinβ cos（α＋β）＝cosαcosβ－sinαsinβ cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ tan（α＋β）＝(tanα＋tanβ)/(1－tanα·tanβ) tanα－tanβ tan（α－β）＝—————— 1＋tanα·tanβ 2tan(α/2) sinα＝—————— 1＋tan2(α/2) 1－tan^2(α/2) cosα＝—————— 1＋tan^2(α/2) 2tan(α/2) tanα＝—————— 1－tan^2(α/2) 半角的正弦、余弦和正切公式三角函数的降幂公式 二倍角的正弦、余弦和正切公式三倍角的正弦、余弦和正切公式sin2α＝2sinαcosα cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α 2tanα tan2α＝————— 1－tan^2α sin3α＝3sinα－4sin^3α