中考数学常见辅助线的作法

中考几何常见辅助线介绍

一.过角平分线上一点向角两边作垂线段，利用角平分线上的点到角两边距离相等去作题．

1．如图在四边形ABCD 中，BC>BA ，AD=DC ，BD 平分∠ABC ．求证：?=∠+∠180C A .

2．已知：如图，在?ABC 中，∠A=90°，AB=AC ，∠1=∠2，求证：BC=AB+AD ．

3．如图，□ABCD 中，E 是DC 上一点，F 是AD 上一点，AE 交CF 于点O ，且AE=CF. 求证：OB 平分AOC ∠.

二．有和角平分线垂直的线段时，把它延长可得到中点或相等的线段，从而与三角形中位线或三角形全等建立起联系．

4．已知：如图，∠1=∠2，AB ﹥AC ，CD ⊥AD 于D ，H 是BC 中点，求证：DH=2

（AB －AC ）．

5．已知：如图，AB=AC ，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE ⊥BE ，求证：BD=2CE ．

三.有角平分线时，常作平行线，构造等腰三角形。（角平分线+平行线?等腰三角形.） 6．已知：如图，)(AC AB ABC ≠?中，D 、E 在BC 上，且DE=EC ，过D 作DF ∥AB,交AE 于点F ，DF=AC.求证：AE 平分BAC ∠.

????全等三角形平行四边形

中线加倍

四、有中线时可延长中线，构造全等三角形或平行四边形：

7．已知：如图，AD 为ABC ?中线，求证：AD AC AB 2>+.

8. 已知：如图，?=∠=∠90CAD BAE ，AD=AC ，AB=AE ，M 为BC 中点，AM 的延长线交DE 于N ．求证：DE AN ⊥．

9．已知：如图，ABC ?的边BC 的中点为N ，过A 的任一直线BD AD ⊥于D ，AD CE ⊥于E.求证：NE=ND.

A B

五、作斜边中线，利用斜边中线性质解题

10.如图，在ABC Rt ?中，AB=AC ，?=∠90BAC ，O 为BC 的中点. ①写出点O 到ABC ?的三个顶点A 、B 、C 的距离的关系（不变证明）

②如果点N 、M 分别在线段AB 、AC 上移动，在移动中保证AN=BM ，请判断OMN 的形状，并证明你的结论.

六、有中点，造中位线

11.如图，在ABC ?中，AD 是BC 边上的高，B C ∠=∠2

，点E 为BC 的中点，求证：AB=2DE.

12.已知：如图，E 、F 分别为四边形ABCD 的对角线中点，AB>CD.求证：

()CD AB EF ->2

D F

七、有底中点，连中线，利用等腰三角形三线合一性质证题

13.已知：如图，矩形ABCD ，E 为CB 延长线上一点，且AC=CE ，F 为AE 中点，

求证：FD BF ⊥.

九、有中点、造中垂

14.已知：如图，在矩形ABCD 中，点M 是AD 中点，点N 是BC 中点，P 是CD 延长线上一点，PM 交AC 于Q ，MN 交AC 于O.求证：MNP QNM ∠=∠.

九、与梯形中点有关的辅助线：①有腰中点时，常见以下三种引辅助线法

15.已知：如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC AB >，M 为AD 中点，且

CM BM ⊥. 求证：（1）BM 平分ABC ∠

，CM 平分DCB ∠

.（2）BC CD AB =+.

16. 已知：如图，BC 为圆O 的直径，A 为CB 延长线上一点．且AB=BO ，过A 作圆O 的割线ADE ，且CD 平分AE CF ACE ⊥∠,

的延长线于F ，CE=18．求EF ．

（1） B （2） G

（3）

2017中考全等三角形专题(8种辅助线的作法)

全等三角形问题中常见得辅助线得作法【三角形辅助线做法】图中有角平分线,可向两边作垂线。也可将图对折瞧,对称以后关系现。角平分线平行线,等腰三角形来添。角平分线加垂线,三线合一试试瞧。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半,延长缩短可试验。三角形中两中点,连接则成中位线。三角形中有中线,延长中线等中线。 1、等腰三角形“三线合一”法:遇到等腰三角形,可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题 2、倍长中线:倍长中线，使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形 3、角平分线在三种添辅助线 4、垂直平分线联结线段两端５、用“截长法”或“补短法”: 遇到有二条线段长之与等于第三条线段得长, 6、图形补全法:有一个角为6０度或１２0度得把该角添线后构成等边三角形 7、角度数为30、6０度得作垂线法：遇到三角形中得一个角为３0度或6０度,可以从角一边上一点向角得另一边作垂线,目得就是构成３0-6０-9０得特殊直角三角形,然后计算边得长度与角得度数,这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角。从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。 8、计算数值法:遇到等腰直角三角形,正方形时,或3０-60-９0得特殊直角三角形,或40－6０-80得特殊直角三角形,常计算边得长度与角得度数，这样可以得到在数值上相等得二条边或二个角,从而为证明全等三角形创造边、角之间得相等条件。常见辅助线得作法有以下几种:最主要得就是构造全等三角形,构造二条边之间得相等,二个角之间得相等。 1)遇到等腰三角形，可作底边上得高,利用“三线合一”得性质解题,思维模式就是全等变换中得“对折”法构造全等三角形. 2)遇到三角形得中线,倍长中线，使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用得思维模式就是全等变换中得“旋转”法构造全等三角形. 3)遇到角平分线在三种添辅助线得方法，（１)可以自角平分线上得某一点向角得两边作垂

常见辅助线作法

正确熟练地掌握辅助线的作法和规律，也是迅速解题的关键，如何准确地作出需要的辅助线，简单介绍几种方法：方法一：从已知出发作出辅助线：例1．已知：在△ABC 中，AD 是BC 边的中线，E 是AD 的中点，F 是BE 延长线与 AC 的交点，求证：AF=FC 2 1 分析：题设中含有D 是BC 中点，E 是AD 中点，由此可以联想到三角形中与边中点有密切联系的中位线，所以，可有如下2种辅助线作法：（1）过D 点作DN ∥CA ，交BF 于N ，可得N 为BF 中点，由中位线定理得 DN=FC 21，再证△AEF ≌△DEN ，则有AF=DN ，进而有AF=FC 2 1 （2）过D 点作DM ∥BF ，交AC 于M ，可得FM=CM ，FM=AF ，则有AF=FC 2 1 方法二：分析结论，作出辅助线例2：如图，AD 是△ABC 的高，AE 是△ABC 的外接圆直径，求证：AB ·AC=AE ·AD 分析：要证AB ·AC=AE ·AD ，需证 AC AE AD AB = （或AC AD AE AB =），需证△ABE ∽△ADC （或△ABD ∽△AEC ），这就需要连结BE （或CE ），形成所需要的三角形，同时得 ∠ABE=∠ADC=900 (或∠ADB=∠ACE=900 )又∠E=∠C （或∠B=∠E 因而得证。方法三：“两头凑”（即同时分析已知和结论）作出辅助线例3：过△ABC 的顶点C 任作一直线，与边AB 及中线AD 分别交于点F 和E ；求证：AE ∶ED=2AF ∶FB 分析：已知D 是BC 中点，那么在三角形中可过中点作平行线得中位线；若要出现结论中的AE ∶ED ，则应有一条与EF D 点作DM ∥EF 交AB 于M ，可得 FM AF FM AF ED AE 22==证BF=2FM

三角形中的常用辅助线方法总结(1)

典型例题人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。全等三角形辅助线找全等三角形的方法：（1）可以从结论出发，寻找要证明的相等的两条线段（或两个角）分别在哪两个可能全等的三角形中；（2）可以从已知条件出发，看已知条件可以确定哪两个三角形全等；（3）可从条件和结论综合考虑，看它们能确定哪两个三角形全等；（4）若上述方法均不可行，可考虑添加辅助线，构造全等三角形。三角形中常见辅助线的作法： ①延长中线构造全等三角形； ②利用翻折，构造全等三角形； ③引平行线构造全等三角形； ④作连线构造等腰三角形。常见辅助线的作法有以下几种：（1）遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。例1：如图，ΔABC是等腰直角三角形，∠BAC=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，CE垂直于BD，交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE。思路分析： 1）题意分析：本题考查等腰三角形的三线合一定理的应用 2）解题思路：要求证BD=2CE，可用加倍法，延长短边，又因为有BD平分∠ABC的条件，可以和等腰三角形的三线合一定理结合起来。解答过程：证明：延长BA，CE交于点F，在ΔBEF和ΔBEC中， ∵∠1=∠2，BE=BE，∠BEF=∠BEC=90°， ∴ΔBEF≌ΔBEC，∴EF=EC，从而CF=2CE。又∠1+∠F=∠3+∠F=90°，故∠1=∠3。在ΔABD和ΔACF中，∵∠1=∠3，AB=AC，∠BAD=∠CAF=90°， ∴ΔABD≌ΔACF，∴BD=CF，∴BD=2CE。解题后的思考：等腰三角形“三线合一”性质的逆命题在添加辅助线中的应用不但可以提高解题的能力，而且还加强了相关知识点和不同知识领域的联系，为同学们开拓了一个广阔的探索空间；并且在添加辅助线的过程中也蕴含着化归的数学思想，它是解决问题的关键。（2）若遇到三角形的中线，可倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。

初中几何常见辅助线作法口诀及习题大全

人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添?把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。

作辅助线的方法一：中点、中位线，延线，平行线。如遇条件中有中点，中线、中位线等，那么过中点，延长中线或中位线作辅助线，使延长的某一段等于中线或中位线；另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线，以达到应用某个定理或造成全等的目的。二：垂线、分角线，翻转全等连。如遇条件中，有垂线或角的平分线，可以把图形按轴对称的方法，并借助其他条件，而旋转180度，得到全等形，，这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴往往是垂线或角的平分线。三：边边若相等，旋转做实验。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，有时边角互相配合，然后把图形旋转一定的角度，就可以得到全等形，这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心，因题而异，有时没有中心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。四:造角、平、相似，和、差、积、商见。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等，欲证线段或角的和差积商，往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时，一般地，有两种方法：第一，造一个辅助角等于已知角；第二，是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀：“造角、平、相似，和差积商见。”托列米定理和梅叶劳定理的证明辅助线分别是造角和平移的代表）五：两圆若相交，连心公共弦。如果条件中出现两圆相交，那么辅助线往往是连心线或公共弦。六：两圆相切、离，连心，公切线。如条件中出现两圆相切（外切，切），或相离（含、外离），那么，辅助线往往是连心线或外公切线。七：切线连直径，直角与半圆。如果条件中出现圆的切线，那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角；相反，条件中是圆的直径，半径，那么辅助线是过直径（或半径）端点的切线。即切线与直径互为辅助线。如果条件中有直角三角形，那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆，或半圆；相反，条件中有半圆，那么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。八：弧、弦、弦心距；平行、等距、弦。如遇弧，则弧上的弦是辅助线；如遇弦，则弦心距为辅助线。如遇平行线，则平行线间的距离相等，距离为辅助线；反之，亦成立。如遇平行弦，则平行线间的距离相等，所夹的弦亦相等，距离和所夹的弦都可视为辅助线，反之，亦成立。有时，圆周角，弦切角，圆心角，圆角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。九：面积找底高，多边变三边。如遇求面积，（在条件和结论中出现线段的平方、乘积，仍可视为求面积），往往作底或高为辅助线，而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形，想法割补成三角形；反之，亦成立。另外，我国明清数学家用面积证明勾股定理，其辅助线的做法，即“割补”有二百多种，大多数为“面积找底高，多边变三边”。

三角形常见的辅助线

全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种： 1. 遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折” 2. 遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转” 3. 遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折” ，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理. 4. 过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5. 截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明?这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答. 一、倍长中线（线段）造全等应用：1、（09崇文二模）以ABC 的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰Rt^ABD 和等腰Rt^ACE , ? BAD = ? CAE = 90 （1）如图① 当 ABC 为直角三角形时，AM 与 DE 的位置关系是线段AM 与DE 的数量关系是（2）将图①中的等腰Rt'ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转二（0＜二＜90）后，如图②所示，（1 ）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由. 连接DE ，M 、N 分别是 BC 、DE 的中点?探究: AM 与DE 的位置关系及数量关系. 例1、已知, 例2、如图, 例3、如图,

三角形辅助线的作法总结

三角形辅助线的作法总结集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]

三角形---作辅助线知识点一：利用转化倍角，构造等腰三角形当一个三角形中出现一个角是另一个角的2倍时，我们就可以通过转化倍角寻找到等腰三角形. 如图①中，若∠ABC＝2∠C，如果作BD平分∠ABC，则△DBC是等腰三角形；如图②中，若∠ABC＝2∠C，如果延长线CB到D，使BD＝BA，连结AD，则△ADC是等腰三角形；如图③中，若∠B＝2∠ACB，如果以C为角的顶点，CA为角的一边，在形外作∠ACD＝∠ACB，交BA的延长线于点D，则△DBC是等腰三角形. 1、如图，△ABC中，AB＝AC，BD⊥AC交AC于D. 求证：∠DBC＝ 1 2 ∠BAC. 2、如图，△ABC中，∠ACB＝2∠B，BC＝2AC. 求证：∠A＝90°. 知识点二：利用角平分线+平行线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形. 如图①中，若AD平分∠BAC，AD∥EC，则△ACE是等腰三角形；如图②中，AD平分∠BAC，DE∥AC，则△ADE是等腰三角形；如图③中，AD平分∠BAC，CE∥AB，则△ACE是等腰三角形；如图④中，AD平分∠BAC，EF∥AD，则△AGE 3AB EF⊥ 线于点. 4AD F AC. 求证：EF∥AB. 知识点三：利用角平分线+垂线，构造等腰三角形中，若AD平分∠BAC，AD⊥DC，则△AEC是等腰三角形. 5、如图2，已知等腰Rt△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，BF BD交BF的延长线于D。求证： BF＝2CD. 知识点四：截长补短法 6、如图，已知：正方形ABCD中，∠BAC的平分线交BC于E，求证：AB+BE=AC．知识点五：倍长中线法中在一个三角形内。 7、如图（7）AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且求证：AC=BF D C B A B ① D B ② C B D B C B A B C B C D A ①② B C D A ③ B C D A

初中几何常见辅助线作法口诀

初中几何常见辅助线作法口诀人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。

作辅助线的常用方法

在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如直接证不出来，可连接两点或廷长某边构成三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再运用三角形三边的不等关系证明，如：例1、已知如图1-1：D 、E 为△ABC 内两点, 求证:AB+AC>BD+DE+CE. 证明：（法一）将DE 两边延长分别交AB 、AC 于M 、N ，在△AMN 中，AM+AN > MD+DE+NE;（1）在△BDM 中，MB+MD>BD ；（2）在△CEN 中，CN+NE>CE ；（3）由（1）+（2）+（3）得： AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE ∴AB+AC>BD+DE+EC （法二：图1-2）延长BD 交 AC 于F ，廷长CE 交BF 于G ，在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有： AB+AF> BD+DG+GF （三角形两边之和大于第三边）…（1） GF+FC>GE+CE （同上）………………………………..（2） DG+GE>DE （同上）…………………………………….（3）由（1）+（2）+（3）得： AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE ∴AB+AC>BD+DE+EC 。一、在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角时如直接证不出来时，可连接两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形的外角的位置上，小角处于这个三角形的内角位置上，再利用外角定理：例如：如图2-1：已知D 为△ABC 内的任一点，求证：∠BDC>∠BAC 。因为∠BDC 与∠BAC 不在同个三角形中，没有直接的联系，可适当添加辅助线构造新的三角形，使∠BDC 处于在外角的位置，∠BAC 处于在内角的位置；证法一：延长BD 交AC 于点E ，这时∠BDC 是△EDC 的外角， A B C D E N M 1 1-图A B C D E F G 2 1-图A B C D E F G 1 2-图

(完整版)相似三角形中几种常见的辅助线作法(有辅助线)

相似三角形中几种常见的辅助线作法在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能够构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段或出等角，等边，从而为证明三角形相似或进行相关的计算找到等量关系。主要的辅助线有以下几种：一、添加平行线构造“A ”“X ”型例1：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点，求：BE ：EF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，则 ∴PE=EF BP=2PF=4EF 所以BE=5EF ∴BE ：EF=5：1. 解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ， ∴BE ：EF=5：1. 解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ，解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ， ∵BD=2DC ∴ ∴BE ：EF=5：1. 变式：如图，D 是△ABC 的BC 边上的点，BD ：DC=2：1，E 是AD 的中点, 连结BE 并延长交AC 于F, 求AF ：CF 的值. 解法一：过点D 作CA 的平行线交BF 于点P ，解法二：过点D 作BF 的平行线交AC 于点Q ，解法三：过点E 作BC 的平行线交AC 于点S ，解法四：过点E 作AC 的平行线交BC 于点T ，， 1==AE DE FE PE ,2==DC BD PF BP ，则2==EA DA EF DQ ,3==DC BC DQ BF ， EF EF EF EF DQ EF BF BE 563=-=-=-=，则DC CT DT 2 1 ==；TC BT EF BE =， DC BT 2 5=

例2：如图，在△ABC的AB边和AC边上各取一点D和E，且使AD＝AE， DE延长线与BC延长线相交于F ，求证：（证明：过点C作CG//FD交AB于G）例3：如图，△ABC中，AB

相似三角形常用辅助线

相似三角形之常用辅助线在与相似有关的几何证明、计算的过程中，常常需要通过相似三角形，研究两条线段之间的比例关系，或者转移线段或角。而有些时候，这样的相似三角形在问题中，并不是十分明显。因此，我们需要通过添加辅助线，构造相似三角形，进而证明所需的结论。专题一、添加平行线构造“A ”“X ”型定理：平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．定理的基本图形：例1、平行四边形ABCD 中，E 为AB 中点，AF ：FD ＝1：2，求AG ：GC 变式练习：已知在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线．求证：．（本题有多种解法，多想想） G F E D C B A G F E D C B A CD BD AC AB

例2、如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若 DC BD ＝FA FC =2,求BE:EA 的比值. 变式练习：如图，直线交△ABC 的BC,AB 两边于D,E,与CA 延长线交于F,若BD DC ＝ FE ED =2,求BE:EA 的比值. 例3、BE ＝AD ，求证：EF ·BC ＝AC ·DF 变式1、如图，△ABC 中，AB

例4、已知：如图，在△ABC 中，AD 为中线，E 在AB 上，AE=AC ，CE 交AD 于F ，EF ∶FC=3∶5，EB=8cm, 求AB 、AC 的长. 变式：如图，21==DE AE CD BD ，求BF AF 。（试用多种方法解）说明：此题充分展示了添加辅助线，构造相似形的方法和技巧．在解题中方法要灵活，思路要开阔．总结：（1）遇燕尾，作平行，构造字一般行。（2）引平行线应注意以下几点： 1）选点：一般选已知（或求证）中线段的比的前项或后项，在同一直线的线段的端点作为引平行线的点。 2）引平行线时尽量使较多已知线段、求证线段成比例。

全等三角形常用辅助线做法

五种辅助线助你证全等姚全刚在证明三角形全等时有时需添加辅助线，对学习几何证明不久的学生而言往往是难点．下面介绍证明全等时常见的五种辅助线，供同学们学习时参考．一、截长补短一般地，当所证结论为线段的和、差关系，且这两条线段不在同一直线上时，通常可以考虑用截长补短的办法：或在长线段上截取一部分使之与短线段相等；或将短线段延长使其与长线段相等．例1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD．分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD．证明：在AC上截取AF=AE，连接OF． ∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60° ∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°．显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60° 在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC ∴△DOC≌△FOC，CF=CD ∴AC=AF+CF=AE+CD．截长法与补短法，具体作法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。

例2：如图甲，AD∥BC，点E在线段AB上，∠ADE=∠CDE，∠DCE=∠ECB。求证：CD=AD+BC。思路分析： 1）题意分析：本题考查全等三角形常见辅助线的知识：截长法或补短法。 2）解题思路：结论是CD=AD+BC，可考虑用“截长补短法”中的“截长”，即在CD上截取CF=CB，只要再证DF=DA即可，这就转化为证明两线段相等的问题，从而达到简化问题的目的。解答过程：证明：在CD上截取CF=BC，如图乙 ∴△FCE≌△BCE（SAS）， ∴∠2=∠1。又∵AD∥BC，

初中数学常见辅助线做法

初中数学常用辅助线一．添辅助线有二种情况： 1按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们,相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。 2按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。（4）直角三角形斜边上中线基本图形出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。

（5）三角形中位线基本图形几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。当几何问题中出现一组或两组相等线段位于一组对顶角两边且成一直线时可添加中心对称形全等三角形加以证明，添加方法是将四个端点两两连结或过二端点添平行线 *（7）相似三角形：相似三角形有平行线型（带平行线的相似三角形），相交线型，旋转型；当出现相比线段重叠在一直线上时（中点可看成比为1）可添加平行线得平行线型相似三角形。若平行线过端点添则可以分点或另一端点的线段为平行方向，这类题目中往往有多种浅线方法。（8）特殊角直角三角形当出现30，45，60，135，150度特殊角时可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三边比为1：1：√2；30度角直角三角形三边比为1：2：√3进行证明（9）半圆上的圆周角

三角形中位线中的常见辅助线

三角形中位线中的常见辅助线知识梳理知识点一中点一、与中点有关的概念三角形中线的定义：三角形顶点和对边中点的连线等腰三角形底边的中线三线合一(底边的中线、顶角的角平分线、底边的高重合)三角形中位线定义：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边并且等于它的一半．中位线判定定理：经过三角形一边中点且平行于另一边的直线必平分第三边．直角三角形斜边中线：直角三角形斜边中线等于斜边一半斜边中线判定：若三角性一边上的中线等于该边的一半，则这个三角形是直角三角形二、与中点有关的辅助线方法一：倍长中线解读：凡是出现中线或类似中线的线段，都可以考虑倍长中线，倍长中线的目的可以旋转等长度的线段，从而达到将条件进行转化的目的。方法二：构造中位线解读：凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取另一边中点，或延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。

方法三：构造三线合一解读：只要出现等腰三角形，或共顶点等线段，就需要考虑构造三线合一，从而找到突破口其他位置的也要能看出方法四：构造斜边中线解读：只要出现直角三角形，或直角，则考虑连接斜边中线段，第一可以出现三条等线段，第二可以出现两个等腰三角形，从而转化线段关系。其他位置的也要能看出

C E D B A 常见考点构造三角形中位线考点说明：①凡是出现中点，或多个中点，都可以考虑取四边形对角线中点、等腰三角形底边中点、直角三角形斜边中点或其他线段中点; ②延长三角形一边，从而达到构造三角形中位线的目的。 “题中有中点，莫忘中位线”．与此很相近的几何思想是“题中有中线，莫忘加倍延”，这两个是常用几何思想，但注意倍长中线的主要目的是通过构造三角形全等将分散的条件集中起来．平移也有类似作用．典型例题【例1】已知：AD 是ABC △的中线，AE 是ABD △的中线，且AB BD =，求证：2AC AE =．举一反三 1. 如右下图，在ABC ?中，若2B C ∠=∠，AD BC ⊥，E 为BC 边的中点．求证：2AB DE =．

三角形常见的辅助线Word版

D C B A E D F C B A 全等三角形问题中常见的辅助线的作法常见辅助线的作法有以下几种： 1.遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”． 2.遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”． 3.遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理． 4.过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠” 5.截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明．这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目．特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答．一、倍长中线（线段）造全等例1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，则中线AD的取值范围是_________. 例2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小. 例3、如图，△ABC中，BD=DC=AC，E是DC的中点，求证：AD平分∠BAE. A

应用：1、（09崇文二模）以 ABC ?的两边AB、AC为腰分别向外作等腰Rt ABD ?和等腰Rt ACE ?，90, BAD CAE ∠=∠=? 连接DE，M、N分别是BC、DE的中点．探究：AM与DE的位置关系及数量关系．（1）如图①当 ABC ?为直角三角形时，AM与DE的位置关系是，线段AM与DE的数量关系是；（2）将图①中的等腰Rt ABD ?绕点A沿逆时针方向旋转?θ(0<θ<90)后，如图②所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由．二、截长补短 1、如图，ABC ?中，AB=2AC，AD平分BAC ∠，且AD=BD，求证：CD⊥AC C D B A

全等三角形辅助线经典做法习题 (1)

全等三角形证明方法中辅助线做法一、截长补短通过添加辅助线利用截长补短，从而达到改变线段之间的长短，达到构造全等三角形的条件 1．如图1，在△ABC中，∠ABC=60°，AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB．求证：AC=AE+CD．分析：要证AC=AE+CD，AE、CD不在同一直线上．故在AC上截取AF=AE，则只要证明CF=CD．证明：在AC上截取AF=AE，连接OF． ∵AD、CE分别平分∠BAC、∠ACB，∠ABC=60° ∴∠1+∠2=60°，∴∠4=∠6=∠1+∠2=60°．显然，△AEO≌△AFO，∴∠5=∠4=60°，∴∠7=180°－（∠4+∠5）=60° 在△DOC与△FOC中，∠6=∠7=60°，∠2=∠3，OC=OC ∴△DOC≌△FOC，CF=CD ∴AC=AF+CF=AE+CD． 2.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,∠C=2∠B,试判断AB，AC，CD三者之间的数量关系,并说明理由.

3.如图,在△ABC 中,∠A=60°,BD ，CE 分别平分∠ABC 和∠ACB,BD ，CE 交于点O,试判断BE,CD,BC 的数量关系,并加以证明. 4.如图,AD ∥BC,DC ⊥AD,AE 平分∠BAD,E 是DC 的中点.问：AD,BC,AB 之间有何关系？并说明理由. 5.(德州中考)问题背景：如图1：在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠BAD=120°，∠B=∠ADC=90°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点.且∠EAF=60°.探究图中线段BE ，EF ，FD 之间的数量关系. (1)小王同学探究此问题的方法是，延长FD 到点G.使DG=BE.连接AG ，先证明△ABE ≌△ADG ，再证明△AEF ≌△AGF ，可得出结论，他的结论应是； (2)如图2，若在四边形ABCD 中，AB=AD ，∠B+∠D=180°.E ，F 分别是BC ，CD 上的点，且∠EAF=2 1 ∠BAD ，上述结论是否仍然成立，并说明理由.

初中数学证明题常见辅助线作法规律

初中数学证明题常见辅助线作法规律初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀；及几何规律汇编；人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，；初中几何常见辅助线作法歌诀；人说几何很困难，难点就在辅助线；辅助线，如何添？把握定理和概念；还要刻苦加钻研，找出规律凭经验；三角形；图中有角平分线，可向两边作垂线；也可将图对折看，对称以后关系现；角平分线平行线，等腰三角形来添；角平分线加垂线，三线合一试试初中数学证明题常见辅助线作法记忆歌诀及几何规律汇编人们从来就是用自己的聪明才智创造条件解决问题的，当问题的条件不够时，添加辅助线构成新图形，形成新关系，使分散的条件集中，建立已知与未知的桥梁，把问题转化为自己能解决的问题，这是解决问题常用的策略。初中几何常见辅助线作法歌诀人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，如何添？把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。三角形

图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。四边形平行四边形出现，对称中心等分点。梯形里面作高线，平移一腰试试看。平行移动对角线，补成三角形常见。证相似，比线段，添线平行成习惯。等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。斜边上面作高线，比例中项一大片。圆

半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆。如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。基本作图很关键，平时掌握要熟练。

三角形辅助线的作法总结

3、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，在AC 上取点P ，过点P 作EF ⊥BC ，交BA 的延长线于点E ，垂足为点F .求证：.AE ＝AP . 4、如图，△ABC 中，AD 平分∠BAC ，E 、F 分别在BD 、AD 上，且DE ＝CD ，EF ＝AC . 求证：EF ∥AB . 知识点三：利用角平分线+垂线，构造等腰三角形当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形.如图1中，若AD 平分∠BAC ，AD ⊥DC ，则△AEC 是等腰三角形. 5、如图2，已知等腰Rt △ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，BF 平分∠ABC ，CD ⊥BD 交BF 的延长线于D 。求证： BF ＝2CD . 知识点四：截长补短法 6、如图，已知：正方形ABCD 中，∠BAC 的平分线交BC 于E ，求证：AB+BE=AC ． F C D E B A F B A C P E E 图1 A B C D 图2 B F D C A D

三角形中做辅助线的技巧及典型例题

三角形中做辅助线的技巧口诀：三角形图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。一、由角平分线想到的辅助线口诀：图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a 、对称性；b 、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 ①从角平分线上一点向两边作垂线； ②利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线（一）、截取构全等如图1-1，∠AOC=∠BOC ，如取OE=OF ，并连接DE 、DF ，则有△OED ≌△OFD ，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例1．如图1-2，AB//CD ，BE 平分∠BCD ，CE 平分 ∠BCD ，点E 在AD 上，求证：BC=AB+CD 。例2．已知：如图1-3，AB=2AC ，∠BAD=∠C AD ，D A=DB ，求证DC ⊥AC 例3．已知：如图1-4，在△ABC 中，∠C=2∠B,AD 平分∠BAC ，求证：AB-AC=CD 图1-2 D B C

辅助线做法勾股定理

全等三角形》问题中常见的辅助线的作法（含答案）【三角形辅助线做法】图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。例3、如图，ABC ?中，AC DC BD ==，E 是DC 的中点，求证：AD 平分BAE ∠. 证例2、如图，BD AC //，EA ，EB 分别平分CAB ∠，DBA ∠， CD 过点E ，求证：BD AC AB += 证明：在AB 上截取AC AF =，连接EF ∴ ∴ E C A B D F E A B C

初中几何常见辅助线作法50种

初中常见辅助线作法任何几何题目都需分析题目条件和结论找到解题思路，本讲从常见的条件和结论出发说明50种辅助线作法，分三角形部分、四边形部分、解直角三角形部分、圆。每种辅助线作法均配备了例题和练习。三角形部分 1．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题. 例：如图，已知D 、E 为△ABC 内两点，求证：AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE . 证法（一）：将DE 向两边延长，分别交AB 、AC 于M 、N 在△AMN 中， AM ＋ AN ＞MD ＋DE ＋NE ① 在△BDM 中，MB ＋MD ＞BD ② 在△CEN 中，CN ＋NE ＞CE ③ ①＋②＋③得 AM ＋AN ＋MB ＋MD ＋CN ＋NE ＞MD ＋DE ＋NE ＋BD ＋CE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE 证法（二）延长BD 交AC 于F ，延长CE 交BF 于G , 在△ABF 和△GFC 和△GDE 中有， ①AB ＋AF ＞BD ＋DG ＋GF ②GF ＋FC ＞GE ＋CE ③DG ＋GE ＞DE ∴①＋②＋③有 AB ＋AF ＋GF ＋FC ＋DG ＋GE ＞BD ＋DG ＋GF ＋GE ＋CE ＋DE ∴AB ＋AC ＞BD ＋DE ＋CE 注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移到同一个或几个三角形中去然后再证题. 练习：已知：如图P 为△ABC 内任一点，求证： 1 2 (AB ＋BC ＋AC )＜P A ＋PB ＋PC ＜AB ＋BC ＋AC 2.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题. 例：已知D 为△ABC 内任一点，求证：∠BDC ＞∠BAC 证法（一）：延长BD 交AC 于E ， F G N M E D C B A