求曲线方程的常用方法

求曲线方程的常用方法

曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点．求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题．下面对其求法进行探究．

1．定义法

求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫做定义法． 例1 如图，点A 为圆形纸片内不同于圆心C 的定点，动点M 在圆

周上，将纸片折起，使点M 与点A 重合，设折痕m 交线段CM 于点

N .现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy 中，设圆C ：(x ＋1)2＋y 2＝

4a 2 (a >1)，A (1,0)，记点N 的轨迹为曲线E .

(1)证明曲线E 是椭圆，并写出当a ＝2时该椭圆的标准方程；

(2)设直线l 过点C 和椭圆E 的上顶点B ，点A 关于直线l 的对称点为点Q ，若椭圆E 的离

心率e ∈⎣⎡⎦

⎤12，32，求点Q 的纵坐标的取值范围． 解 (1)依题意，直线m 为线段AM 的垂直平分线，

∴|NA |＝|NM |.

∴|NC |＋|NA |＝|NC |＋|NM |＝|CM |＝2a >2，

∴N 的轨迹是以C 、A 为焦点，长轴长为2a ，焦距为2的椭圆．

当a ＝2时，长轴长为2a ＝4，焦距为2c ＝2，

∴b 2＝a 2－c 2＝3. ∴椭圆的标准方程为x 24＋y 23

＝1. (2)设椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1 (a >b >0)． 由(1)知：a 2－b 2＝1.又C (－1,0)，B (0，b )，

∴直线l 的方程为x －1＋y b

＝1，即bx －y ＋b ＝0. 设Q (x ，y )，∵点Q 与点A (1,0)关于直线l 对称，

∴⎩⎪⎨⎪⎧ y x －1·b ＝－1，b ·x ＋12－y 2＋b ＝0， 消去x 得y ＝4b b 2＋1

.

∵离心率e ∈⎣⎡⎦

⎤12，32，∴14≤e 2≤34， 即14≤1a 2≤34.∴43

≤a 2≤4. ∴43≤b 2＋1≤4，即33

≤b ≤3， ∵y ＝4b b 2＋1＝4b ＋1

b

≤2，当且仅当b ＝1时取等号． 又当b ＝3时，y ＝3；当b ＝33

时，y ＝ 3.∴3≤y ≤2. ∴点Q 的纵坐标的取值范围是[3，2]．

2．直接法

若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法．

例2 已知直线l 1：2x －3y ＋2＝0，l 2：3x －2y ＋3＝0.有一动圆M (圆心和半径都在变动)与l 1，l 2都相交，并且l 1，l 2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24.求圆心M 的轨迹方程． 解 如图，设M (x ，y )，圆半径为r ，M 到l 1，l 2的距离分别是d 1，d 2，

则d 21＋132＝r 2，d 22＋122＝r 2，

∴d 22－d 21＝25，

即⎝

⎛⎭⎪⎫3x －2y ＋3132－⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3y ＋2132＝25，化简得圆心M 的轨迹方程是(x ＋1)2－y 2＝65. 点评 若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直接转化成含有动点坐标x ，y 的方程即可．

3．待定系数法

若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹)的方程时，可由待定系数法求解．

例3 已知椭圆的对称轴为坐标轴，O 为坐标原点，F 是一个焦点，A 是一个顶点，若椭圆

的长轴长是6，且cos ∠OF A ＝23

，求椭圆的方程． 解 椭圆的长轴长为6，cos ∠OF A ＝23

， 所以点A 不是长轴的顶点，是短轴的顶点，

所以|OF |＝c ，|AF |＝|OA |2＋|OF |2＝b 2＋c 2

＝a ＝3，c 3＝23

，所以c ＝2，b 2＝32－22＝5， 故椭圆的方程为x 29＋y 25＝1或x 25＋y 29

＝1. 4．相关点法(或代入法)

如果点P 的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P 与点Q 的坐标之间可以建立某种关系，借助于点P 的运动轨迹便可得到点Q 的运动轨迹．

例4 如图所示，从双曲线x 2－y 2＝1上一点Q 引直线l ：x ＋y ＝2的垂线，

垂足为N ，求线段QN 的中点P 的轨迹方程．

分析 设P (x ，y )，因为P 是QN 的中点，为此需用P 点的坐标表示Q 点

的坐标，然后代入双曲线方程即可．

解 设P 点坐标为(x ，y )，双曲线上点Q 的坐标为(x 0，y 0)，

∵点P 是线段QN 的中点，

∴N 点的坐标为(2x －x 0,2y －y 0)．

又点N 在直线x ＋y ＝2上，∴2x －x 0＋2y －y 0＝2，

即x 0＋y 0＝2x ＋2y －2.①

又QN ⊥l ，∴k QN ＝2y －2y 02x －2x 0

＝1， 即x 0－y 0＝x －y .②

由①②，得x 0＝12(3x ＋y －2)，y 0＝12

(x ＋3y －2)． 又∵点Q 在双曲线上，

∴14(3x ＋y －2)2－14

(x ＋3y －2)2＝1. 化简，得⎝⎛⎭⎫x －122－⎝⎛⎭⎫y －122＝12

. ∴线段QN 的中点P 的轨迹方程为

⎝⎛⎭⎫x －122－⎝⎛⎭⎫y －122＝12

. 点评 本题中动点P 与点Q 相关，而Q 点的轨迹确定，所以解决这类问题的关键是找出P 、Q 两点坐标间的关系，用相关点法求解．

5．参数法