第3章 动态规划
运筹学基最短路松弛互补
2x1 +3x2 -x3 18
x1 -x2 +x3 3
x1, x2, x3 0
min z’= -2x1 -3x2 -x3
st
x1 +3x2 +x3 +x4
=15
2x1 +3x2 -x3
+x5
=18
x1 -x2 +x3
+x6 =3
x1, x2, x3, x4, x5, x6 0
x1 +3x2 +x3 +x4
z z1
0
XB …
xj
… RHS
0T
… CBTB-1aj-cj … CBTB-1b
I
…
B-1aj
… B-1b
z XB …
xj
z 1 0T …
zj-cj
XB 0
I…
Yj
… RHS … z0 …b
第二章 对偶线性规划
对偶的定义
对偶问题的性质 原始对偶关系
DUAL
目标函数值之间的关系
最优解之间的关系—互补松弛关系 最优解的Kuhn-Tucher条件
z’ x1 x2 x3 x4 z’ 1 0 0 2 0
x5 x6 RHS -1 0 -18
x2 0 0 1 1 2/3 -1/3 0 x1 0 1 0 -2 -1 1 0 x6 0 0 0 [4] 5/3 -4/3 1
4 4/1 3 -4 4/4
z’ x1 x2 x3 x4 x5 x6 RHS z’ 1 0 0 2 0 -1 0 -18 x2 0 0 1 1 2/3 -1/3 0 4 4/1 x1 0 1 0 -2 -1 1 0 3 -x6 0 0 0 [4] 5/3 -4/3 1 4 4/4 x3 进基，x6 离基
[五年级数学]第4章 动态规划
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Opt[i, j] - 每产生一个f(i, j)，将f(i, j)的值 放入opt中，以后再次调用到 f(i, j)的时候，直 记忆化的功效 接从opt[i, j]来取就可以了。 于是动态规划的状态转移方程被直观地表示出 来了，这样节省了思维的难度，减少了编程的 技巧，而运行时间只是相差常数的复杂度，而 且在相当多的情况下，递归算法能更好地避免 浪费
常用算法与程序设计 3
算法总体思想
动态规划算法与分治法类似，其基本思想也是 将待求解问题分解成若干个子问题
T(n)
=
n
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
4
算法总体思想
但是经分解得到的子问题往往不是互相独立的。不同子问 题的数目常常只有多项式量级。在用分治法求解时，有些 子问题被重复计算了许多次。 如果能够保存已解决的子问题的答案，而在需要时再找出 已求得的答案，就可以避免大量重复计算，从而得到多项 式时间算法。
1
理解动态规划算法的概念。 掌握动态规划算法的基本要素 （1）最优子结构性质 （2）重叠子问题性质 掌握设计动态规划算法的步骤。
2
动态规划简介
动态规划是运筹学的一个分支，是求解决策过程最 优化的数学方法。 20世纪50年代美国数学家贝尔曼（R.Bellman）等 人在研究多阶段决策过程的优化问题时，提出了著名 的最优性原理，创立了解决多阶段过程优化问题的新 方法——动态规划。 动态规划问世以来，在经济管理、生产调度、工程 技术和最优控制等方面得到了广泛的应用。 在“动态规划”（dynamic programming）一词中， programming与“计算机编程”（computer programming）中的programming并无关联，而是来自 “数学规划”（mathematical programming），也称优化。 因此，规划是指对生成活动的优化策略。
运筹学第五版习题答案
运筹学第五版习题答案运筹学是一门研究如何优化决策的学科，它涉及到数学、统计学和计算机科学等多个领域。
运筹学的应用范围非常广泛，包括生产调度、物流管理、供应链优化等等。
而《运筹学第五版》是一本经典的教材，它提供了大量的习题供学生练习和巩固所学知识。
本文将为大家提供《运筹学第五版》习题的答案，希望对学习者有所帮助。
第一章：引论1. 运筹学的定义是什么？运筹学是一门研究如何优化决策的学科，它利用数学和统计学的方法来解决实际问题。
2. 运筹学的应用领域有哪些？运筹学的应用领域包括生产调度、物流管理、供应链优化、金融风险管理等。
3. 运筹学方法的基本步骤是什么？运筹学方法的基本步骤包括问题建模、模型求解、解的验证和实施。
第二章：线性规划模型1. 什么是线性规划模型？线性规划模型是一种数学模型，它描述了一种目标函数和一组线性约束条件下的最优化问题。
2. 如何确定线性规划模型的最优解？线性规划模型的最优解可以通过线性规划算法来求解，如单纯形法、内点法等。
3. 什么是对偶问题？对偶问题是与原始线性规划模型相对应的另一个线性规划模型，它可以用来计算原始问题的下界。
第三章：网络优化模型1. 什么是网络优化模型？网络优化模型是一种描述网络结构的数学模型，它可以用来解决最短路径、最小生成树、最大流等问题。
2. 最短路径问题如何求解？最短路径问题可以通过迪杰斯特拉算法或弗洛伊德算法来求解。
3. 最大流问题如何求解？最大流问题可以通过Ford-Fulkerson算法或Edmonds-Karp算法来求解。
第四章：整数规划模型1. 什么是整数规划模型？整数规划模型是一种线性规划模型的扩展，它要求决策变量取整数值。
2. 整数规划问题如何求解？整数规划问题可以通过分支定界法或割平面法来求解。
3. 什么是混合整数规划模型？混合整数规划模型是一种整数规划模型的扩展，它要求部分决策变量取整数值，部分决策变量取连续值。
第五章：动态规划模型1. 什么是动态规划模型？动态规划模型是一种描述决策过程的数学模型，它将问题划分为一系列的阶段，并通过递推关系求解最优解。
5#第三章管理决策模型与方法(第3讲-线性规划)
这是一个下料问题，是在生产任务确定的条件下，合理的组织生产，
使所消耗的资源数最少的数学规划问题。 满足一组约束条件的同时，寻求变量x1至x8的值,使目标函数取得最 小值。
线性规划的一般数学模型
线性规划模型的特征： （1）用一组决策变量x1，x2，…xn表示某一方案，且在一般情况下， 变量的取值是非负的。 （2）有一个目标函数，这个目标函数可表示为这组变量的线性函数。 （3）存在若干个约束条件，约束条件用决策变量的线性等式或线
通常称
x1 ,x 2 , , x n为决策变量， c1,c2 , ,cn 为价值系数， a11 ,a12 , ,a mn为消耗系数, b1 ,b2 , , bm为资源限制系数。
如何求解？
maxZ 12 x1 10 x2 2x1 x2 160 1 3 x 1 3 x 40 1 2 3 x1 2 x2 260 x1 0, x2 0
原料 化学成分 化学成分含量（%） 产品中化学成分的最低含量 （%）
甲 12 2 3
乙 3 3 15
A B C
4 2 5
已知甲、乙两种原料的成本分别是每公斤 3 元和 2 元，厂方希 望总成本达到最小，问如何配置该产品？
原料
化学成分
化学成分含量（%）
甲 12 乙 3
产品中化学成分的最低含量 （ %）
运筹学概述
２，护航舰队的编队问题：英美等国需要对本国的商船队配备护航 舰队，以防止德国潜艇的攻击，这里有一个如何合理编队才能使商船 队一旦遭受德国潜艇攻击时损失最少的问题。 为了应付上述各种复杂问题，英美等国逐批召集不同专业背景的 科学家，在三军组织了各种研究小组，研究的问题都是军事性质的， 在英国称为“Operational Research”，其他英语国家称为 “Operations Research”，意思是军事行动研究。这些研究小组运用 系统优化的思想，应用数学技术分析军事问题，取得了非常理想的效 果。
《信息学奥赛一本通》提高篇TZOJ题单
《信息学奥赛⼀本通》提⾼篇TZOJ题单第⼀部分 基础算法
第 1 章 贪⼼算法
第 2 章 ⼆分与三分
第 3 章 深搜的剪枝技巧
第 4 章 ⼴搜的优化技巧
第⼆部分 字符串算法
第 1 章 哈希和哈希表第 2 章 KMP 算法
第 3 章 Trie 字典树第 4 章 AC ⾃动机
第三部分 图论第 1 章 最⼩⽣成树
第 2 章 最短路
第 3 章 SPFA 算法的优化第 4 章 差分约束系统
第 5 章 强连通分量
第 6 章 割点和桥
第 7 章 欧拉回路
第四部分 数据结构第 1 章 树状数组
第 2 章 RMQ 问题
第 3 章 线段树
第 4 章 倍增求 LCA
第 5 章 树链剖分
第 6 章 平衡树 Treap
第五部分 动态规划
第 1 章 区间类动态规划
第 2 章 树型动态规划
第 3 章 数位动态规划
第 4 章 状态压缩类动态规划第 5 章 单调队列优化动态规划第 6 章 斜率优化动态规划
第六部分 数学基础第 1 章 快速幂
第 2 章 质数
第 3 章 约数
第 4 章 同余问题
第 5 章 矩阵乘法
第 6 章 组合数学第 7 章 博弈论。
运筹学线性规划
4
例1.1：（计划安排问题） I 设备A(h) 0 设备B(h) 4 原材料(公斤) 2 利润(万元） 2 II 资源总量 3x2 15 3 15 0 12 s.t. 4x1 12 2 14 2x1+2x2 14 3 x1，x2 0 I,II生产多少, 可获最大利润?
s.t. x1 -x2 +x4 -x5 -x7 =2
x1 , x2 , x4 ,
…
, x7 0
12
第二节 线性规划问题的图解法及几何意义
一、线性规划问题的解的概念
0 3 1 0 0 15 4 0 0 1 0 X= 12 2 2 0 0 1 14
5
max Z= 2x1 +3x2
解:设 计划期内生产产品I、II的数量x1、x2 则该问题的数学模型为：
例1.2 成本问题
某炼油厂根据每季度需供应给合同单位汽油15万吨、煤油 12万吨、重油12万吨。该厂计划从A，B两处运回原油 提炼，已知两处的原油成分含量见表1－2；又已知从A 处采购的原油价格为每吨（包括运费）200元，B处采购 的原油价格为每吨（包括运费）290元, 问：该炼油厂该 如何从A，B两处采购原油，在满足供应合同的条件下， 使购买成本最小。 油品来源 A B min S 200x1 290x 2
解：(1) 确定可行域 x1 0 x1 =0 (横)
30
x2 0 x2=0 (纵) x1+2x2 30 x1+2x2 =30
运筹学第三版课后习题答案 (2)
运筹学第三版课后习题答案第一章：引论1.1 课后习题习题1a)运筹学是一门应用数学的学科，旨在解决实际问题中的决策和优化问题。
它包括数学模型的建立、问题求解方法的设计等方面。
b)运筹学可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、流程优化等。
它可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
c)运筹学主要包括线性规划、整数规划、指派问题等方法。
习题2运筹学的应用可以帮助组织提高效率、降低成本、优化资源分配等。
它可以帮助制定最佳的生产计划，优化供应链管理，提高运输效率等。
运筹学方法的应用还可以帮助解决紧急情况下的应急调度问题，优化医疗资源分配等。
1.2 课后习题习题1运筹学方法可以应用于各个领域，如物流管理、生产计划、供应链管理、流程优化等。
在物流管理中，可以使用运筹学方法优化仓储和运输的布局，提高货物的运输效率。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化产品的生产数量和生产周期，降低生产成本。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化订单配送和库存管理，提高供应链的效率。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程，提高整体效率。
习题2在物流管理中，可以使用运筹学方法优化车辆的调度和路线规划，以提高运输效率和降低成本。
在生产计划中，可以使用运筹学方法优化生产线的安排和产品的生产量，以降低生产成本和提高产能利用率。
在供应链管理中，可以使用运筹学方法优化供应链各个环节的协调和调度，以提高整体效率和减少库存成本。
在流程优化中，可以使用运筹学方法优化业务流程的排布和资源的分配，以提高流程效率和客户满意度。
第二章：线性规划基础2.1 课后习题习题1线性规划是一种数学优化方法，用于解决包含线性约束和线性目标函数的优化问题。
其一般形式为：max c^T*xs.t. Ax <= bx >= 0其中，c是目标函数的系数向量，x是决策变量向量，A是约束矩阵，b是约束向量。
习题2使用线性规划方法可以解决许多实际问题，如生产计划、供应链管理、资源分配等。
第 3 章 记表备查
5．算法的运行时间
• 过程KNAPSACK中，第2～3行的for循环耗 时Θ(n)，第4～10行的两个嵌套的for循环， 外层重复n次，里层重复C次，循环体内消 耗常数时间，所以该过程的时间复杂度是 Θ(nC)，而过程BUILD-SOLUTION的时间 复杂度显然是Θ(n)。
3.4 带权有向图中任意两点间的 最短路径
5．算法的运行时间
• 过程LCS-LENGTH的主体是第7～8行两重 嵌套的for循环，容易看出其时间复杂度为 T(m, n)= Θ(mn)，其中m，n分别为X和Y的 长度。而过程PRINT-LCS的时间复杂度为 T(m, n)= Θ(m+n)。
3.3 0-1背包问题
• 1．问题的理解与描述 • 设有n种物品，第i种物品的重量为wi，价值为vi，i=1, 2, …, n。给定一个背包，最多能装重为C的物品。第i种物 品或放入包中，或留在包外。问将哪些物品放到包内能使 得包中所装物品总价值最大？其中，wi、vi都是正整数， i=1, 2, …, n。C也是正整数。如果我们用一个向量x=(x1, x2, …, xn)来表示此问题的解，其中 ，则0-1背包问题可形 式化地描述为： • 输入：集合W={w1, w2, …, wn}，V={v1, v2, …, vn}，数值C。 • 输出：向量x=(x1, x2, …, xn)，xi{0,1}，1 n，使得 i xiwi C，且 xivi最大。
2．最优子结构
• 定理3-3 • 设G=<V, E>的两个不同的顶点i，jV={1, 2, …, n}，p是 从i到j其间仅经过{1, 2, …, k}的最短路径。 • （1）若p不经过顶点k，则p也是从i到达j其间仅经过{1, 2, …, k-1}的最短路径。 • （2）若p经过顶点k，即p：ikj。我们把前半段i k记 为p1，后半段kj 记为p2（如图3-8所示）。则p1是从i 到k 其间仅经过{1, 2, …, k-1}的最短路径，p2是k到j其间仅经 过{1, 2, …, k-1}的最短路径。
运筹学教程 胡运权 第5版
运筹学教程胡运权第5版1. 简介《运筹学教程》是一本经典的运筹学教材，由胡运权教授编写，已经出版了第5版。
本教程旨在介绍运筹学的基本概念、方法和应用，帮助读者掌握运筹学的基本原理和技巧。
2. 内容概述本教程分为十个章节，涵盖了运筹学的主要内容。
第一章：运筹学概述本章介绍了运筹学的基本概念和发展历程，阐述了运筹学在现代管理决策中的重要作用。
第二章：线性规划本章介绍线性规划的基本概念、模型和求解方法，包括单纯形法和对偶理论等内容。
第三章：整数规划本章介绍整数规划的基本概念和求解方法，包括分枝定界法和割平面法等内容。
第四章：非线性规划本章介绍非线性规划的基本概念和求解方法，包括梯度法和牛顿法等内容。
第五章：动态规划本章介绍动态规划的基本概念和求解方法，包括最优子结构和状态转移方程等内容。
第六章：网络优化本章介绍网络优化的基本概念和求解方法，包括最小生成树和最短路问题等内容。
第七章：多目标规划本章介绍多目标规划的基本概念和求解方法，包括帕累托最优解和权衡法等内容。
第八章：排队论本章介绍排队论的基本概念和模型，包括利用泊松分布和指数分布建模等内容。
第九章：库存管理本章介绍库存管理的基本概念和模型，包括经济订货量和安全库存等内容。
第十章：决策分析本章介绍决策分析的基本概念和方法，包括决策树和期望值法等内容。
3. 学习目标通过学习本教程，读者可以掌握以下技能：•理解运筹学的基本概念和方法；•掌握线性规划、整数规划、非线性规划等方法的应用；•学会运用动态规划、网络优化、多目标规划等方法解决实际问题；•掌握排队论、库存管理、决策分析等方法的应用。
4. 使用说明读者可以将本教程作为自学资料，按照章节顺序逐步学习。
每个章节都包括基本概念的讲解、求解方法的介绍和案例分析。
在阅读本教程时，读者可以使用Markdown文本格式进行标注和整理笔记。
Markdown具有简单易学、格式清晰的特点，适合用于文档编写和批注。
5. 结语《运筹学教程》是一本经典的运筹学教材，适合作为运筹学的入门教材或者参考资料。
运筹学第6版参考答案
运筹学第6版参考答案运筹学是一门研究如何有效地利用有限资源来解决实际问题的学科。
它涵盖了数学、统计学、经济学等多个学科的知识，旨在通过建立数学模型和运筹方法来优化决策和规划。
本文将为读者提供《运筹学第6版》的参考答案，帮助他们更好地理解和应用这门学科。
第一章：引论本章主要介绍了运筹学的概念、发展历程以及应用领域。
运筹学的核心思想是通过数学模型和运筹方法来解决实际问题。
它广泛应用于生产、物流、供应链管理、金融等领域，可以帮助企业提高效益、降低成本。
第二章：线性规划线性规划是运筹学中最基础、最常用的方法之一。
它的目标是在给定的约束条件下，最大化或最小化一个线性目标函数。
本章介绍了线性规划的基本概念、模型建立方法以及常用的解法算法，如单纯形法、对偶理论等。
第三章：整数规划整数规划是线性规划的一种扩展形式，它要求决策变量取整数值。
由于整数规划的求解难度较大，本章介绍了常用的整数规划求解方法，如分支定界法、割平面法等，并给出了一些实际问题的案例分析。
第四章：网络优化网络优化是运筹学中的一个重要分支，它研究的是在网络结构中如何选择最优路径、分配资源等问题。
本章介绍了最小生成树、最短路径、最大流等基本概念和算法，并通过实例分析展示了网络优化在交通、通信等领域的应用。
第五章：动态规划动态规划是一种通过递推关系来求解最优化问题的方法。
本章介绍了动态规划的基本思想、模型建立方法以及常见的解法算法，如背包问题、最长公共子序列等。
通过实例分析，读者可以更好地理解动态规划的应用。
第六章：排队论排队论是运筹学中研究排队系统的理论和方法。
本章介绍了排队论的基本概念、模型建立方法以及常用的解法算法，如排队模型、排队规则等。
通过实例分析，读者可以了解如何通过排队论来优化服务质量、提高效率。
第七章：模拟模拟是一种通过构建系统模型进行实验和仿真的方法。
本章介绍了模拟的基本思想、模型建立方法以及常见的模拟技术，如蒙特卡洛方法、离散事件模拟等。