2019秋 金版学案 数学·选修2-2(人教A版)练习：第一章1.1-1.1.3导数的几何意义 Word版含解析

第一章 导数及其应用
1.1 变化率与导数
1.1.3 导数的几何意义

A级　基础巩固
一、选择题
1．已知曲线y＝f(x)在x＝5处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)
与f′(5)分别为( )
A．3，3 B．3，－1 C．－1，3 D．－1，－1
解析：由题意得f(5)＝－5＋8＝3，f′(5)＝－1.
答案：B
2．若曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线方程为3x－y＋1＝0，则
( )
A．f′(x0)＜0 B．f′(x0)＞0
C．f′(x0)＝3 D．f′(x0)不存在
解析：由导数的几何意义可知曲线在(x0，f(x
0
))处的导数等于曲线

在该点处的切线的斜率，所以f′(x
0
)＝3.

答案：C
3.已知函数f(x)的图象如图所示，f′(x)是f(x)的导函数，则下列结
论正确的是( )
A．0B．0C．0D．0解析：从题图可以看出函数f(x)的图象在x＝2处的切线的斜率比
在x＝3处的切线的斜率大，且均为正数，所以有0

两点的割线的斜率比函数f(x)的图象在x＝2处的切线
f（3）－f（2
）
3－2
的斜率小，比函数f(x)的图象在x＝3处的切线的斜率大，所以
0答案：B
4．若曲线f(x)＝x
2
的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的

方程为( )
A．4x－y－4＝0 B．x＋4y－5＝0
C．4x－y＋3＝0 D．x＋4y＋3＝0
解析：设切点为(x0，y
0
)，

因为f′(x)＝ ＝ (2x＋Δx)＝2x.
（x＋Δx）2－
x

2

Δ
x

由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，
所以x0＝2.所以切点坐标为(2，4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0，故选A.
答案：A
5．若曲线y＝x
2
＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，

则( )
A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1
C．a＝1，b＝－1 D．a＝－1，b＝－1
解析：因为点(0，b)在直线x－y＋1＝0上，所以b＝1.
又y′＝ ＝2x＋a，
（x＋Δx）2＋a（x＋Δx）＋1－x2－ax－
1

Δ
x

所以过点(0，b)的切线的斜率为y′|x＝0＝a＝1.
答案：A
二、填空题
6．曲线y＝x
2
－2x＋3在点A(－1，6)处的切线方程是______．

解析：因为y＝x2－2x＋3，切点为点A(－1，6)，所以斜率k＝y′|
x＝－1

＝
（－1＋Δx）2－2（－1＋Δx）＋3－（1＋2＋3）
Δ
x

＝ (Δx－4)＝－4，
所以切线方程为y－6＝－4(x＋1)，即4x＋y－2＝0.
答案：4x＋y－2＝0
7.如图所示，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐

标分别为(0，4)，(2，0)，(6，4)，则 ＝______．
f（1＋Δx
）－f（1）

Δ
x

解析：由导数的概念和几何意义知， ＝f′(1)
f（1＋Δx
）－f（1）

Δ
x

＝kAB＝＝－2.
0
－
4

2－0

答案：－2
8.若抛物线y＝x
2
－x＋c上一点P的横坐标是－2，点P处的切线

恰好过坐标原点，则实数c的值为________．
解析：根据题意可知在点P处切线的斜率为y′|x＝－2＝－5.因为点P
的横坐标是－2，所以点P的纵坐标是6＋c，故切线OP的斜率为－，根
6＋c
2

据题意有－＝－5，解得c＝4.
6＋c
2
答案：4
三、解答题
9．已知抛物线y＝f(x)＝x
2
＋3与直线y＝2x＋2相交，求它们交点

处抛物线的切线方程．

解：由方程组得x2－2x＋1＝0，
{
y
＝x2＋
3
，

y
＝2x＋
2
，

)

解得x＝1，y＝4，所以交点坐标为(1，4)，
又＝Δx＋2.
（Δx＋1）2＋3－（12＋3）
Δ
x

当Δx趋于0时Δx＋2趋于2，所以在点(1，4)处的切线斜率k＝2，
所以切线方程为y－4＝2(x－1)，即y＝2x＋2.

10．求曲线y＝在点的切线方程．
1x(1
2
，
2

)

解：因为y′＝Δx→0 ＝ ＝
Δy
Δx1x＋Δx－1xΔx

＝－，
－
1

x2＋x·Δx1x
2

所以曲线在点的切线斜率为k＝y′|x＝＝－4.
(12，2)
1
2

故所求切线方程为y－2＝－4，即4x＋y－4＝0.
(x－12)

B级　能力提升
1．已知函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象如图所示，那么y＝
f(x)，y＝g(x)的图象可能是( )
解析：从导函数的图象可知两个函数在x0处斜率相同，可以排除B、
C.再者导函数的函数值反映的是原函数的斜率大小，可明显看出y＝
f(x)的导函数的值在减小，所以原函数的斜率慢慢变小，排除A.
答案：D
2．设P为曲线C：y＝x
2
＋2x＋3上一点，且曲线C在点P处的

切线的倾斜角的取值范围为，则点P的横坐标的取值范围为
[0，π4]

________．
解析：可设点P的横坐标为x0，则

＝＝
Δy
Δx（x0＋Δx）2＋2（x0＋Δx）＋3－x－2x0－3Δx

＝Δx＋2x0＋2， ＝2x0＋2.所以曲
2x0·Δx＋2·Δx＋（Δx
）
2

ΔxΔyΔx
线C在点P处的切线的斜率为2x0＋2.由题意，得0≤2x0＋2≤1，所以

－1≤x0≤－，所以点P的横坐标的取值范围为.
12[－1，－1
2
]

答案：
[－1，－12]
3．已知直线l
1为曲线y＝x2＋x－2在点(1，0)处的切线，l2
为该曲

线的另一条切线，且l1⊥l
2
.
(1)求直线l
2
的方程；

(2)求由直线l
1，l2
和x轴所围成的三角形的面积．

解：(1)因为y′＝
Δ
y

Δ
x

＝
（x＋Δx）2＋（x＋Δx）－2－（x2＋x－2）
Δ
x

＝2x＋1，
所以y′|x＝1＝3，所以直线l1的方程为y＝3(x－1)，即y＝3x－3，
设直线l2过曲线y＝x2＋x－2上的点P(x0，x＋x0－2)，
20

则直线l2的方程为y－(x＋x0－2)＝(2x0＋1)(x－x
0
)．

20

因为l1⊥l2，所以3(2x0＋1)＝－1，所以x0＝－，
2
3

所以直线l2的方程为y＝－x－.
1322
9

(2)解方程组得
{y＝3x－3，y＝－13x－229，)
{x＝16，y＝－52.)

又直线l1，l2与x轴交点坐标分别为(1，0)，，
(－223，0)
所以所求三角形面积S＝××＝.
12|－52|(1＋223)125
12