高考数学二轮复习专题七鸭系列第1讲坐标系与参数方程课件理
(全国通用)2020版高考数学二轮复习第二层提升篇专题七选考系列第1讲坐标系与参数方程讲义
第1讲 坐标系与参数方程[全国卷3年考情分析](1)坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用.(2)全国课标卷对此部分内容的考查以解答题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用.[例1] (2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A(4，0)且与OM 垂直，垂足为P .(1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. [解] (1)因为M(ρ0，θ0)在曲线C 上， 当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 外的任意一点.连接OQ ， 在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝|OP|＝2. 经检验，点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π3在曲线ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2上，所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝2.(2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，所以θ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2.所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2. [解题方略]1.直角坐标与极坐标方程的互化(1)直角坐标方程化极坐标方程时，可以直接将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入即可. (2)极坐标方程化直角坐标方程时，一般需要构造ρ2，ρsin θ，ρcos θ，常用的技巧有式子两边同乘以ρ，两角和与差的正弦、余弦展开等.2.求解与极坐标有关的问题的主要方法(1)直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想结合使用.(2)转化为直角坐标系，用直角坐标求解.若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为极坐标.[跟踪训练](2019·安徽省考试试题)在直角坐标系xOy 中，直线l 1：x ＝0，圆C ：(x －1)2＋(y －1－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求直线l 1和圆C 的极坐标方程；(2)若直线l 2的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设l 1，l 2与圆C 的公共点分别为A ，B ，求△OAB 的面积.解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴直线l 1的极坐标方程为ρcos θ＝0，即θ＝π2(ρ∈R )，圆C 的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2()1＋2ρsin θ＋3＋22＝0.(2)设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，ρ1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，ρ2，将θ＝π2代入ρ2－2ρcos θ－2()1＋2ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2()1＋2ρ＋3＋22＝0，解得ρ1＝1＋ 2.将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－2()1＋2ρsin θ＋3＋22＝0，得ρ2－2()1＋2ρ＋3＋22＝0，解得ρ2＝1＋ 2.故△OAB 的面积为12×()1＋22×sin π4＝1＋324.[例2] (2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t2，y ＝4t1＋t2(t为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值. [解] (1)因为－1<1－t21＋t2≤1，且x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2（1＋t 2）2＝1， 所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1)，l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π<α<π).C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋11取得最小值7，故C 上的点到l 距离的最小值为7. [解题方略]参数方程化为普通方程消去参数的方法(1)代入消参法：将参数解出来代入另一个方程消去参数，直线的参数方程通常用代入消参法.(2)三角恒等式法：利用sin 2α＋cos 2α＝1消去参数，圆的参数方程和椭圆的参数方程都是运用三角恒等式法.(3)常见消参数的关系式：①t ·1t＝1；②⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋1t 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －1t 2＝4；③⎝ ⎛⎭⎪⎫2t 1＋t 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＝1.[跟踪训练](2019·南昌市第一次模拟测试)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝3＋2sin α(α为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.(1)求C 的极坐标方程；(2)设点M (2，1)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|MA |·|MB |的值.解：(1)由参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos α，y ＝3＋2sin α得普通方程(x －4)2＋(y －3)2＝4，所以曲线C 的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－6ρsin θ＋21＝0.(2)设点A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，将⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)代入(x －4)2＋(y －3)2＝4，得t 2－()3＋1t ＋1＝0，所以t 1t 2＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝1＋3t(t 为参数)，可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋12（2t ），y ＝1＋32（2t ），所以|MA |·|MB |＝|2t 1||2t 2|＝4|t 1t 2|＝4.[例3] (2019·福建省质量检查)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t (t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＝21＋sin 2θ，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π4. (1)求C 的直角坐标方程和P 的直角坐标；(2)设l 与C 交于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，求|PM |.[解] (1)由ρ2＝21＋sin 2θ得ρ2＋ρ2sin 2θ＝2 ①，将ρ2＝x 2＋y 2，y ＝ρsin θ代入①并整理得，曲线C 的直角坐标方程为x 22＋y 2＝1.设点P 的直角坐标为(x ，y )，因为点P 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4， 所以x ＝ρcos θ＝2cos π4＝1，y ＝ρsin θ＝2sin π4＝1.所以点P 的直角坐标为(1，1).(2)法一：将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t代入x22＋y 2＝1，并整理得41t 2＋110t ＋25＝0，Δ＝1102－4×41×25＝8000＞0，故可设方程的两根分别为t 1，t 2，则t 1，t 2为A ，B 对应的参数，且t 1＋t 2＝－11041.依题意，点M 对应的参数为t 1＋t 22，所以|PM |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝5541.法二：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x 0，y 0)，则x 0＝x 1＋x 22，y 0＝y 1＋y 22.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋35t ，y ＝1＋45t消去t ，得y ＝43x －13.将y ＝43x －13代入x 22＋y 2＝1，并整理得41x 2－16x －16＝0，因为Δ＝(－16)2－4×41×(－16)＝2880＞0，所以x 1＋x 2＝1641，x 1x 2＝－1641.所以x 0＝841，y 0＝43x 0－13＝43×841－13＝－341，即M ⎝ ⎛⎭⎪⎫841，－341.所以|PM |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫841－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－341－12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－33412＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－44412＝5541.[解题方略]极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略(1)求交点坐标、距离、线段长.可先求出直角坐标方程，然后求解. (2)判断位置关系.先转化为平面直角坐标方程，然后再作出判断.(3)求参数方程与极坐标方程综合的问题.一般是先将方程化为直角坐标方程，利用直角坐标方程来研究问题.[跟踪训练]1.(2019·东北四市联合体模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 1的倾斜角为30°，且经过点A (2，1).以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 2：ρcosθ＝3.从坐标原点O 作射线交l 2于点M ，点N 为射线OM 上的点，满足|OM |·|ON |＝12，记点N 的轨迹为曲线C .(1)写出直线l 1的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)设直线l 1与曲线C 交于P ，Q 两点，求|AP |·|AQ |的值.解：(1)直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos30°，y ＝1＋t sin30°(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋32t ，y ＝1＋12t (t 为参数).设N (ρ，θ)，M (ρ1，θ1)(ρ＞0，ρ1＞0)， 则⎩⎪⎨⎪⎧ρρ1＝12，θ＝θ1，又ρ1cos θ1＝3，所以ρ·3cos θ＝12，即ρ＝4cos θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2－4x ＋y 2＝0(x ≠0).(2)设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，将直线l 1的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程中，得⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32t 2－4⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋32t ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12t 2＝0，即t 2＋t －3＝0，Δ＝13＞0，t 1，t 2为方程的两个根，所以t 1t 2＝－3，所以|AP |·|AQ |＝|t 1t 2|＝|－3|＝3.2.(2019·贵阳市第一学期监测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42(t 是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)判断直线l 与曲线C 的位置关系；(2)设M (x ，y )为曲线C 上任意一点，求x ＋y 的取值范围. 解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22t ，y ＝22t ＋42消去t 得y ＝x ＋42， 由ρ＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4得ρ＝2cos θ－2sin θ，由x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，ρ2＝x 2＋y 2得⎝ ⎛⎭⎪⎫x －222＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋222＝1，即C 是以⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22为圆心，1为半径的圆，圆心⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22到直线y ＝x ＋42的距离d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪22＋22＋422＝5＞1，所以直线l 与曲线C 相离.(2)圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22＋cos θ，y ＝－22＋sin θ(θ为参数)，则x ＋y ＝sin θ＋cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，又由θ∈R 可得－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，则－2≤x ＋y ≤2，所以x ＋y 的取值范围为[－2，2]. [专题过关检测]大题专攻强化练1.在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2.(1)求半圆C 的参数方程；(2)若半圆C 与圆D ：(x －5)2＋(y －3)2＝m (m 是常数，m ＞0)相切，试求切点的直角坐标.解：(1)半圆C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝4(0≤y ≤2)，则半圆C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos t ，y ＝2sin t (t 为参数，0≤t ≤π).(2)C ，D 的圆心坐标分别为(2，0)，(5，3)， 于是直线CD 的斜率k ＝3－05－2＝33. 由于切点必在两个圆心的连线上， 故切点对应的参数t 满足tan t ＝33，t ＝π6， 所以切点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋2cos π6，2sin π6， 即(2＋3，1).2.(2019·全国卷Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2，0)，B ⎝⎛⎭⎪⎫2，π4，C ⎝⎛⎭⎪⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的圆心分别是(1，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ︵，曲线M 2是弧BC ︵，曲线M 3是弧CD ︵.(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标.解：(1)由题设可得，弧AB ︵，BC ︵，CD ︵所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sinθ，ρ＝－2cos θ.所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎪⎫0≤θ≤π4，M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4≤θ≤3π4，M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6；若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫3，π6或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，2π3或⎝ ⎛⎭⎪⎫3，5π6.3.(2019·福州市第一学期抽测)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数，α为l 的倾斜角)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线E 的极坐标方程为ρ＝4sin θ，直线θ＝β，θ＝β＋π3，θ＝β－π3(ρ∈R )与曲线E 分别交于不同于极点O 的三点A ，B ，C .(1)若π3＜β＜2π3，求证：|OB |＋|OC |＝|OA |；(2)当β＝5π6时，直线l 过B ，C 两点，求y 0与α的值.解：(1)证明：依题意，|OA |＝|4sin β|，|OB |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3，|OC |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3， ∵π3＜β＜2π3， ∴|OB |＋|OC |＝4sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β＋π3＋4sin ⎝⎛⎭⎪⎫β－π3＝4sin β＝|OA |.(2)当β＝5π6时，直线θ＝β＋π3与曲线E 的交点B 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，π6，直线θ＝β－π3与曲线E 的交点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，从而，B ，C 两点的直角坐标分别为B (3，1)，C (0，4)， ∴直线l 的方程为y ＝－3x ＋4， ∴y 0＝1，α＝2π3.4.(2019·江西八所重点中学联考)在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线M 的极坐标方程为ρ＝2cos θ，若极坐标系内异于O 的三点A (ρ1，φ)，B ⎝⎛⎭⎪⎫ρ2，φ＋π6，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫ρ3，φ－π6(ρ1，ρ2，ρ3＞0)都在曲线M 上.(1)求证：3ρ1＝ρ2＋ρ3；(2)若过B ，C 两点的直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝12t (t 为参数)，求四边形OBAC 的面积.解：(1)证明：由题意得ρ1＝2cos φ，ρ2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6，ρ3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ－π6，则ρ2＋ρ3＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫φ＋π6＋2cos ⎝⎛⎭⎪⎫φ－π6＝23cos φ＝3ρ1.(2)由曲线M 的极坐标方程得曲线M 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，将直线BC 的参数方程代入曲线M 的直角坐标方程得t 2－3t ＝0，解得t 1＝0，t 2＝3，∴在平面直角坐标中，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，C (2，0)，则ρ2＝1，ρ3＝2，φ＝π6，∴ρ1＝ 3.∴四边形OBAC 的面积S ＝S △AOB ＋S △AOC ＝12ρ1ρ2·sin π6＋12ρ1ρ3sin π6＝334.5.在平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M (－2，－4).以原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，且在两坐标系中长度单位相同，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA |·|MB |＝40，求倾斜角α的值. 解：(1)因为倾斜角为α的直线过点M (－2，－4)，所以直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋t cos α，y ＝－4＋t sin α(t 是参数).因为曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝2cos θ，所以ρ2sin 2θ＝2ρcos θ，所以曲线C 的直角坐标方程是y 2＝2x .(2)把直线的参数方程代入y 2＝2x ，得t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0，由题意知，Δ＞0，设t 1，t 2为方程t 2sin 2α－(2cos α＋8sin α)t ＋20＝0的两根，则t 1＋t 2＝2cos α＋8sin αsin 2α，t 1t 2＝20sin 2α，根据直线参数方程的几何意义知|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝20sin 2α＝40，故α＝π4或α＝3π4，又Δ＝(2cos α＋8sin α)2－80sin 2α＞0，所以α＝π4.6.(2019·湖南省五市十校联考)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝t ＋2(t是参数)，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4.(1)求圆C 的直角坐标方程；(2)过直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值. 解：(1)由ρ＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4，得ρ2＝ρcos θ－ρsin θ，∴x 2＋y 2－x ＋y ＝0，即圆C 的直角坐标方程为⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋122＝12.(2)设l 上任意一点P (t ，t ＋2)，过P 向圆C 引切线，切点为Q ，连接PC ，CQ ， ∵圆C 的圆心为C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12，半径r ＝22，∴|PQ |＝|PC |2－|CQ |2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋2＋122－⎝ ⎛⎭⎪⎫222＝2（t ＋1）2＋4≥2， 即切线长的最小值为2.7.(2019·石家庄市模拟(一))在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos α＋2，y ＝r sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l 的极坐标方程为θ＝π3. (1)求曲线C 的极坐标方程；(2)当0＜r ＜2时，若曲线C 与射线l 交于A ，B 两点，求1|OA |＋1|OB |的取值范围. 解：(1)由题意知曲线C 的普通方程为(x －2)2＋y 2＝r 2， 令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 化简得ρ2－4ρcos θ＋4－r 2＝0.(2)法一：把θ＝π3代入曲线C 的极坐标方程中，得ρ2－2ρ＋4－r 2＝0.令Δ＝4－4(4－r 2)＞0，结合0＜r ＜2，得3＜r 2＜4.方程的解ρ1，ρ2分别为点A ，B 的极径，ρ1＋ρ2＝2，ρ1ρ2＝4－r 2＞0， ∴1|OA |＋1|OB |＝1ρ1＋1ρ2＝ρ1＋ρ2ρ1ρ2＝24－r 2. ∵3＜r 2＜4，∴0＜4－r 2＜1， ∴1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞). 法二：射线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12t ，y ＝32t (t 为参数，t ≥0)，将其代入曲线C 的方程(x －2)2＋y 2＝r 2中得，t 2－2t ＋4－r 2＝0，令Δ＝4－4(4－r 2)＞0结合0＜r ＜2，得3＜r 2＜4，方程的解t 1，t 2分别为点A ，B 对应的参数，t 1＋t 2＝2，t 1t 2＝4－r 2，t 1＞0，t 2＞0， ∴1|OA |＋1|OB |＝1t 1＋1t 2＝t 1＋t 2t 1t 2＝24－r 2. ∵3＜r 2＜4，∴0＜4－r 2＜1， ∴1|OA |＋1|OB |∈(2，＋∞). 8.(2019·洛阳市统考)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝－2＋t(t 是参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝41＋3sin 2θ. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程； (2)设曲线C 2经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y得到曲线C 3，M (x ，y )是曲线C 3上任意一点，求点M 到曲线C 1的距离的最大值.解：(1)根据⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋2t ，y ＝－2＋t 消参可得曲线C 1的普通方程为x －2y －5＝0，∵ρ2＝41＋3sin 2θ，∴ρ2＋3ρ2sin 2θ＝4， 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，x 2＋y 2＝ρ2代入可得：x 2＋4y 2＝4.故曲线C 2的直角坐标方程为x 24＋y 2＝1.(2)曲线C 2：x 24＋y 2＝1，经过伸缩变换⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x ，y ′＝y 得到曲线C 3的方程为x ′216＋y ′2＝1，∴曲线C 3的方程为x 216＋y 2＝1.设M (4cos α，sin α)，根据点到直线的距离公式可得 点M 到曲线C 1的距离d ＝|4cos α－2sin α－5|12＋（－2）2＝|2sin α－4cos α＋5|5＝|25sin （α－φ）＋5|5≤25＋55＝2＋5(其中tan φ＝2)，∴点M 到曲线C 1的距离的最大值为2＋ 5.。
高三数学二轮复习 坐标系与参数方程 课件(全国通用)
(θ 为参数)．
π (1)当 α＝3时，求 C1 与 C2 的交点坐标； (2)过坐标原点 O 作 C1 的垂线，垂足为 A，P 为 OA 的中点，当 α 变化时，求 P 点 轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．
• 突破点拨 • (1)先参化普，然后联立直线与圆的方程求交 点； • (2)以角为参数，利用已知条件求出 P点的横 π 解析：(1)当 α＝3时，C1 的普通方程为 y＝ 3(x－1)，C2 的普通方程为 x2＋y2＝1， 纵坐标，x＝φ(α)，y＝g(α)．
2．已知圆 C 的极坐标方程为 ρ ＋2
2
π 2ρ sinθ－4－4＝0，求圆 C 的半径．
突破点拨 将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程，进而利用圆方程的特征配方求半径．
解析：以极坐标系的极点为平面直角坐标的原点 O，极轴为 x 轴的正半轴，建立 直角坐标系 xOy. 圆 C 的极坐标方程为 ρ ＋2
第一部分
核心专题突破
专题八 选考部分
高频考点
• 1．坐标系与参数方程部分： • 坐标系与参数方程是高考选考内容之一，高 考对本讲内容的考查主要是：(1)直线与圆的 极坐标方程以及极坐标与直角坐标的互化； (2)直线、圆与圆锥曲线的参数方程以及参数 方程与普通方程的互化．
• 2．不等式选讲部分： • 本部分主要考查绝对值不等式的解法，求含 绝对值的函数的值域及求含参数的绝对值不 等式中参数的取值范围，不等式的证明等， 结合集合的运算、函数的图象和性质、恒成 立问题及基本不等式、绝对值不等式的应用 成为命题的热点，主要考查学生的基本运算 能力与推理论证能力以及数形结合思想、分 类讨论思想等．
题型二 曲线的参数方程的有关问题
高考中常从以下角度设计考题： 命题 (1)化参数方程为普通方程． 规律 (2)以参数方程为背景的直线与圆的位置关系问题． 一般为解答题，难度中等． (1)将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消 参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数 方法 方程进行变形，为消去参数创造条件． 点拨 (2)在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的 解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相 关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.
2020届高考数学大二轮复习层级二专题七系列4鸭第1讲坐标系与参数方程教学案选修4-4
两个公共点，或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点．
|－k＋2|
当 l1 与 C2 只有一个公共点时，A 到 l1
所在直线的距离为 2，所以 k2＋1 ＝2，故 k＝－
4
4
3或 k＝0.经检验，当 k＝0 时，l1 与 C2 没有公共点；当 k＝－3时，l1 与 C2 只有一个公共点，l2 与 C2 有
2，
1
1
( )π
1＋3sin2 θ＋
1 1 1＋3sin2θ
2 2＋3sin2θ＋3cos2θ 5
所以|OA|2＋|OB|2＝ρ21＋ρ2＝ 4 ＋
4
O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 2ρcos θ＋ 3ρsin θ＋11＝0.
(1)求 C 和 l 的直角坐标方程；
(2)求 C 上的点到 l 距离的最小值．
解：(1)曲线 C 参数方程为Error!
( )②
由①2＋ 2 2 得
( )y
1－t2
x2＋ 2 2＝1，又∵－1＜1＋t2≤1，
1
1
(2)利用椭圆 C 的极坐标方程证明|OA|2＋|OB|2为定值，并求△AOB 面积的最大值．
[审题指导] (1)利用参数法求出轨迹 E 的参数方程，再化为普通方程即可；(2)求出椭圆 C 的极坐
1
1
标方程，由题设条件设出 A，B 两点的极坐标，代入椭圆 C 的极坐标方程即可证明|OA|2＋|OB|2为定值，
( )π
r， (3)当圆心位于 M 2 ，半径为 r：ρ＝2rsin θ.
4．直线的参数方程 经过点 P0(x0，y0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为Error!(t 为参数)．
高三数学二轮复习 坐标系与参数方程 课件(全国通用)
坐标系与参数方程
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高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换， 直线和圆的极 坐标方程，参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及 参数方程的简单应用．以极坐标、参数方程与普通方程的互化为 主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识．
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[考题回访] 1．(2016· 全国新课标卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的
π Mb，2且平行于极轴：ρsin
θ＝b.
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3．圆的极坐标方程 圆心为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆的方程为
2 ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ2 0－r ＝0.
几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； (2)当圆心位于 M(r,0)，半径为 r：ρ＝2rcos θ； (3)当圆心位于
A，B 两点，|AB|＝ 10，求 l 的斜率．
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解：(1)由 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，可得 圆 C 的极坐标方程为 ρ2＋12ρcos θ＋11＝0. (2)在(1)中建立的极坐标系中， 直线 l 的极坐标方程为 θ＝α(ρ∈R)． 设 A，B 所对应的极径分别为 ρ1，ρ2，将 l 的极坐标方程代入 C 的极坐标方程得 ρ2＋12ρcos α＋11＝0. 于是 ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11. |AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ρ1＋ρ22－4ρ1ρ2＝ 144cos2α－44.
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2．(2016· 全国新课标卷Ⅱ)在直角坐标系 xOy 中，圆 C 的方 程为(x＋6)2＋y2＝25. (1)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求 C 的极坐标方程； (2)直线 l
x＝tcos α， 的参数方程是 y＝tsin α
高三理科数学二轮复习讲义：模块二 专题七 第一讲 坐标系与参数方程(选修4-4) Word版含解析
专题七 选修4系列第一讲 坐标系与参数方程(选修4－4)高考导航1．考查极坐标与直角坐标、参数方程与普通方程的互化． 2．借助极坐标方程、参数方程考查直线与圆、直线与椭圆的位置关系.1．(2016·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．以坐标原点为极点，以x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝2 2.(1)写出C 1的普通方程和C 2的直角坐标方程；(2)设点P 在C 1上，点Q 在C 2上，求|PQ |的最小值及此时P 的直角坐标．[解](1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α消去α，得C 1的普通方程为x 23＋y 2＝1.由ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22，得ρsin θ＋ρcos θ－4＝0，把x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入上式，得C 2的直角坐标方程为x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点P 的直角坐标为(3cos α，sin α)．因为C 2是直线，所以|PQ |的最小值即为P 到C 2的距离d (α)的最小值，d (α)＝|3cos α＋sin α－4|2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3－2. 当且仅当α＝2k π＋π6(k ∈Z )时，d (α)取得最小值，最小值为2，此时P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.2．(2017·全国卷Ⅲ)在直角坐标系xOy 中，直线l 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t ，y ＝kt (t 为参数)，直线l 2的参数方程为⎩⎨⎧x ＝－2＋m ，y ＝m k(m 为参数)．设l 1与l 2的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C .(1)写出C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l 3：ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0，M 为l 3与C 的交点，求M 的极径．[解](1)消去参数t 得l 1的普通方程l 1：y ＝k (x －2)；消去参数m 得l 2的普通方程l 2：y ＝1k (x ＋2)．设P (x ，y )，由题设得⎩⎨⎧y ＝k (x －2)，y ＝1k (x ＋2).消去k 得x 2－y 2＝4(y ≠0)．所以C 的普通方程为x 2－y 2＝4(y ≠0)．(2)C 的极坐标方程为ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4(0<θ<2π，θ≠π)．联立⎩⎪⎨⎪⎧ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4，ρ(cos θ＋sin θ)－2＝0得cos θ－sin θ＝2(cos θ＋sin θ)．故tan θ＝－13，从而cos 2θ＝910，sin 2θ＝110.代入ρ2(cos 2θ－sin 2θ)＝4得ρ2＝5，所以交点M 的极径为 5.考点一 极坐标方程及其应用1．直角坐标与极坐标的互化公式把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎨⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx (x ≠0).2．几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为r ：ρ＝r . (2)当圆心位于M (a,0)，半径为a ：ρ＝2a cos θ. (3)当圆心位于M ⎝⎛⎭⎪⎫a ，π2，半径为a ：ρ＝2a sin θ.3．几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点：θ＝θ0和θ＝π＋θ0.(2)直线过点M (a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a .(3)直线过M ⎝ ⎛⎭⎪⎫b ，π2且平行于极轴：ρsin θ＝b .[解] (1)设P 的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M 的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．由题设知|OP |＝ρ，|OM |＝ρ1＝4cos θ.由|OM |·|OP |＝16得C 2的极坐标方程 ρ＝4cos θ(ρ>0)．因此C 2的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x ≠0)． (2)设点B 的极坐标为(ρB ，α)(ρB >0)．由题设知|OA |＝2，ρB ＝4cos α，于是△OAB 面积 S ＝12|OA |·ρA ·sin ∠AOB ＝4cos α·⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3 ＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3－32≤2＋ 3.当α＝－π12时，S 取得最大值2＋ 3. 所以△OAB 面积的最大值为2＋ 3.解决极坐标问题应关注的两点(1)用极坐标系解决问题时要注意已知的几何关系，如果几何关系不容易通过极坐标表示时，可以先化为直角坐标，将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来解决．(2)在极坐标与直角坐标互化的过程中，需要注意当条件涉及“角度”和“距离”时，利用极坐标将会给问题的解决带来很大的便利．[对点训练](2017·太原模拟)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1，M ，N分别为C 与x 轴，y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M ，N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． [解](1)由ρcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝1， 得ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos θ＋32sin θ＝1.因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1， 即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)．当θ＝π2时，ρ＝233，所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π2. (2)由(1)可知M 点的直角坐标为(2,0)，N 点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，233.所以P 点的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，33，则P 点的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫233，π6，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6，ρ∈(－∞，＋∞)．考点二 参数方程及其应用1．圆的参数方程以O ′(a ，b )为圆心，r 为半径的圆的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋r cos α，y ＝b ＋r sin α，其中α是参数．2．椭圆的参数方程椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ，其中φ是参数．3．直线的参数方程经过点P 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α，其中t 是参数． 角度1：参数方程与普通方程的互化[解] (1)曲线C 的普通方程为x 29＋y 2＝1. 当a ＝－1时，直线l 的普通方程为x ＋4y －3＝0.由⎩⎨⎧x ＋4y －3＝0，x 29＋y 2＝1解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2125，y ＝2425.从而C 与l 的交点坐标为(3,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫－2125，2425.(2)直线l 的普通方程为x ＋4y －a －4＝0，故C 上的点(3cos θ，sin θ)到l 的距离d ＝|3cos θ＋4sin θ－a －4|17.当a ≥－4时，d 的最大值为a ＋917.由题设得a ＋917＝17，所以a＝8；当a <－4时，d 的最大值为－a ＋117.由题设得－a ＋117＝17，所以a ＝－16.综上，a ＝8或a ＝－16.角度2：直线参数方程中参数几何意义的应用【例2－2】 (2017·湖南省五市十校高三联考)在直角坐标系xOy中，设倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，直线l 与曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)相交于不同的两点A ，B .(1)若α＝π3，求线段AB 的中点的直角坐标；(2)若直线l 的斜率为2，且过已知点P (3,0)，求|P A |·|PB |的值． [思维流程][解](1)由曲线C ：⎩⎨⎧x ＝1cos θ，y ＝tan θ(θ为参数)，可得曲线C 的普通方程是x 2－y 2＝1.当α＝π3时，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t(t 为参数)，代入曲线C 的普通方程，得t 2－6t －16＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝6，所以线段AB 的中点对应的t ＝t 1＋t 22＝3，故线段AB 的中点的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫92，332. (2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的普通方程，化简得 (cos 2α－sin 2α)t 2＋6t cos α＋8＝0，则|P A |·|PB |＝|t 1t 2|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8cos 2α－sin 2α＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪8(1＋tan 2α)1－tan 2α， 由已知得tan α＝2，故|P A |·|PB |＝403.解决参数方程问题的3个要点(1)把参数方程化为普通方程，需要根据其结构特征，选取适当的消参方法．(2)把普通方程化为参数方程的关键是选准参数，注意参数的几何意义及变化范围．(3)直线参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(α为倾斜角，t 为参数)，其中|t |＝|PM |，P (x ，y )为动点，M (x 0，y 0)为定点，在解决与点P 有关的弦长和距离的乘积问题时广泛应用．[对点训练]1．[角度1](2017·湖南岳阳一模)已知曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3cos θ，y ＝3＋3sin θ(θ为参数)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋at ，y ＝1＋t(t 为参数)．(1)求曲线C 和直线l 的普通方程；(2)直线l 与曲线C 交于B ，D 两点，当|BD |取到最小值时，求a 的值．[解](1)曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝3＋3sin θ(θ为参数)，消去参数θ，得曲线C 的普通方程为：x 2＋(y －3)2＝9，其圆心C (0,3)，半径r ＝3.直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋at ，y ＝1＋t (t 为参数)，消去参数t 可得：x －ay ＋a ＋1＝0.(2)由直线l 经过定点P (－1,1)，此点在圆的内部， 因此当CP ⊥l 时，|BD |取到最小值， 则k CP ·k l ＝1－3－1－0×k l ＝－1，解得k l ＝－12.∴1a ＝－12，解得a ＝－2.2．[角度2]已知曲线C 的极坐标方程是ρ＝4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的非负半轴，建立平面直角坐标系，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 是参数)．(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝13，求直线的倾斜角α的值．[解](1)由ρ＝4cos θ，得ρ2＝4ρcos θ.因为x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ，所以x 2＋y 2＝4x ，即曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4.(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α代入圆的方程(x －2)2＋y 2＝4，得(t cos α－1)2＋(t sin α)2＝4，化简得t 2－2t cos α－3＝0.设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧t 1＋t 2＝2cos α，t 1t 2＝－3，所以|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2＝4cos 2α＋12＝13， 故4cos 2α＝1，解得cos α＝±12.因为直线的倾斜角α∈[0，π)，所以α＝π3或2π3.考点三 极坐标方程与参数方程的综合应用1．对于参数方程或极坐标方程应用不够熟练的情况下，我们可以先化成直角坐标的普通方程，这样思路可能更加清晰．2．对于一些运算比较复杂的问题，用参数方程或极坐标方程计算会比较简捷．[思维流程] (1)消去参数β得曲线C 的普通方程→化直线l 的极坐标方程为直角坐标方程―→借助直线和圆的位置关系求解(2)由正弦定理求出|AB |―→由余弦定理表示|OA |与|OB |的关系―→结合重要不等式求|OA |·|OB |的最大值―→得△OAB 面积的最大值[解] (1)由题意知，曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆， 直线l 的直角坐标方程为x ＋3y －3＝0.由直线l 与圆C 只有一个公共点，可得|a －3|2＝a ， 解得a ＝1，a ＝－3(舍)． 所以a ＝1.(2)曲线C 是以(a,0)为圆心，以a 为半径的圆，且∠AOB ＝π3，由正弦定理得|AB |sin π3＝2a ，所以|AB |＝3a .又|AB |2＝3a 2＝|OA |2＋|OB |2－2|OA |·|OB |·cos π3≥|OA |·|OB |，所以S △OAB ＝12|OA |·|OB |sin π3≤12×3a 2×32＝33a 24， 所以△OAB 面积的最大值为33a 24.解决极坐标与参数方程问题的关键(1)会转化——把直线与圆的参数方程转化为普通方程时，要关注参数的取值范围的限定，还需掌握极坐标与直角坐标的互化公式．(2)懂技巧——利用参数及其几何意义，结合关系式寻找关于参数的方程或函数．[对点训练]在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t －1，y ＝t ＋2，(t 为参数)．在以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝31＋2cos 2θ. (1)直接写出直线l 的普通方程、曲线C 的直角坐标方程； (2)设曲线C 上的点到直线l 的距离为d ，求d 的取值范围． [解](1)直线l 的普通方程为x －y ＋3＝0. 曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3. (2)∵曲线C 的直角坐标方程为3x 2＋y 2＝3， 即x 2＋y 23＝1，∴曲线C 上的点的坐标可表示为(cos α，3sin α)． ∴d ＝|cos α－3sin α＋3|2＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋32＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫π6－α＋32.∵2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＋3≥1>0， ∴d 的最小值为12＝22，d 的最大值为52＝522.∴22≤d ≤522，即d 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤22，522.。
2020高考数学二轮总复习第1部分层级2专题7选修系列第1讲极坐标与参数方程课件理
明考情 坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考考查的重点主要有两个方面：一是 简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用，本部分内容在 备考中应注意转化思想的应用，抓住知识，少做难题．
考点一 曲线的极坐标方程 |析典例|
【例】 (2019·贵州贵阳适应性考试)过极点 O 作圆 C：ρ＝8cos θ 的弦 ON. (1)求弦 ON 的中点 M 的轨迹 E 的极坐标方程； (2)若 P，Q 分别是曲线 C 和 E 上两点，且 OP⊥OQ，证明：|O6P4|2＋|O1Q6|2是定值．
3．(2017·全国卷Ⅱ )在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴 建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标方程为 ρcos θ＝4.
(1)M 为曲线 C1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且满足 |OM|·|OP|＝16，求点 P 的轨 迹 C2 的直角坐标方程；
(2)设点 A 的极坐标为 ???2，π3???，点 B 在曲线 C2 上，求△ OAB 面积的最大值．
2．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的方程为 y＝k|x|＋2.以坐标原点 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ2＋2ρcos θ－3＝ 0.
(1)求 C2 的直角坐标方程； (2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点，求 C1 的方程．
经检验，当 k＝0 时，l1 与 C2 没有公共点； 当 k＝－43时，l1 与 C2 只有一个公共点， l2 与 C2 有两个公共点． 当 l2 与 C2 只有一个公共点时，点 A 到 l2 所在直线的距离为 2，所以 |kk＋2＋2|1＝2，故 k＝0 或 k＝43. 经检验，当 k＝0 时，l1，与 C2 没有公共点； 当 k＝43时，l1，l2 与 C2 均没有公共点． 综上，所求 C1 的方程为 y＝－43|x|＋2.
高三数学二轮专题复习第1讲 坐标系与参数方程
上的任意一点，则点
P
到直线
l
2 10 的距离的最大值为___5___.
解析 答案
热点三 极坐标、参数方程的综合应用
解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程 与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点 有关的问题，如最值、范围等.
例 3 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为xy＝ ＝22c＋os2sαi，n α (α 为参数). M 是 C1 上的动点，P 点满足O→P＝2O→M，点 P 的轨迹为曲线 C2. (1)C2的参数方程为__yx_＝＝__44_＋c_o_s4_sα_i，n__α__(_α__为__参__数__) _；
解析 答案
2.在直角坐标系中，参数方程为yx＝＝221t＋
23t， (t
为参数)的直线
l
被以原
点为极点、x轴的正半轴为极轴、极坐标方程为ρ＝2cos θ的曲线C所截，
则所截得的弦长是__3_.
解析 答案
押题预测
1.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标
系，若极坐标方程为ρcos B两点，则|AB|＝_1_6__.
解析 答案
思维升华
(1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极 角的范围，否则点的极坐标将不唯一. (2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转 化的等价性.
跟踪演练 1
(1)已知曲线 C 的参数方程为yx＝＝
2cos t 2sin t
(t 为参数)，C 在点
(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，
过定点
M(x0，y0)，倾斜角为
2019年高考数学(文科)二轮复习专题7 第1讲 坐标系与参数方程
(2)设点 A 的极坐标为 2， ⎪，点 B 在曲线 C 2 上，求△OAB 面积的最大值. S ＝ |OA|·ρ B ·sin∠AOB＝4cos α ·sin α － ⎪⎪当 α ＝－ 时，S 取得最大值 2＋ 3.＝2⎪sin 2α － － ⎪≤2＋ 3. ⎪3 ⎭ 2 ⎪ ⎩ ⎩第 1 讲 坐标系与参数方程高考定位 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用 .以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识.真 题 感 悟1.(2017·全国Ⅱ卷)在直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 1的极坐标方程为 ρ cos θ ＝4.(1)设点 M 为曲线 C 1 上的动点，点 P 在线段 OM 上，且|OM|·|OP|＝16，求点 P 的轨迹 C 2 的直角坐标方程；⎛ π ⎫ ⎝ 3 ⎭解 (1)设 P 的极坐标为(ρ ，θ )(ρ >0)，M 的极坐标为(ρ 1，θ )(ρ 1>0).4由题设知|OP|＝ρ ，|OM|＝ρ 1＝cos θ .由|OM|·|OP|＝16 得 C 2 的极坐标方程为 ρ ＝4cos θ (ρ >0). 因此 C 2 的直角坐标方程为(x －2)2＋y 2＝4(x≠0). (2)设点 B 的极坐标为(ρ B ，α )(ρ B >0).由题设知|OA|＝2，ρ B ＝4cos α ，于是△OAB 的面积1 ⎪ ⎛ π ⎫⎪2 ⎪ ⎝3 ⎭⎪⎪ ⎛ π ⎫3⎪ ⎪ ⎝π12所以△OAB 面积的最大值为 2＋ 3.⎧⎪x ＝3cos θ ，2.(2017·全国Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为⎨ (θ 为参数)，直线 l 的参⎪y ＝sin θ⎧⎪x ＝a ＋4t ，数方程为⎨ (t 为参数).⎪y ＝1－t(1)若 a ＝－1，求 C 与 l 的交点坐标；(2)若 C 上的点到 l 距离的最大值为 17，求 a.9 ⎧24⎪⎩y ＝.2＋y ＝1，⎪⎩ 9⎛ 21 24⎫⎝ 25 25⎭ 其中 tan φ ＝ .⎪y ＝ρ sin θ ， tan θ ＝（x≠0）.⎪x(3)直线过 M b ， ⎪且平行于极轴：ρ sin θ ＝b.x ＝－， ⎪ 解得⎨或⎨ ⎧⎪x ＝ρ cos θ ，⎪⎪ ⎩ 解 (1)a ＝－1 时，直线 l 的普通方程为 x ＋4y －3＝0.x 2曲线 C 的标准方程是 ＋y 2＝1，21 ⎧x ＋4y －3＝0， 联立方程⎨x 2 ⎪y ＝0 25则 C 与 l 交点坐标是(3，0)和 － ， ⎪.(2)直线 l 的普通方程是 x ＋4y －4－a ＝0.设曲线 C 上点 P(3cos θ ，sin θ ).|3cos θ ＋4sin θ －4－a| |5sin （θ ＋φ ）－4－a|则 P 到 l 距离 d ＝ ＝ ，17 1734又点 C 到直线 l 距离的最大值为 17.∴|5sin(θ ＋φ )－4－a|的最大值为 17.若 a≥0，则－5－4－a ＝－17，∴a＝8.若 a<0，则 5－4－a ＝17，∴a＝－16.综上，实数 a 的值为 a ＝－16 或 a ＝8.考 点 整 合1.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设 M 是平面内的⎧ρ 2＝x 2＋y 2， 任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x ，y)和(ρ ，θ )，则⎨ ⎨ y⎩2.直线的极坐标方程若直线过点 M(ρ 0，θ 0)，且极轴到此直线的角为 α ，则它的方程为 ρ sin(θ －α )＝ρ 0sin(θ 0－α ). 几个特殊位置的直线的极坐标方程：(1)直线过极点：θ ＝α ；(2)直线过点 M(a ，0)(a>0)且垂直于极轴：ρ cos θ ＝a ；⎛π ⎫ ⎝ 2 ⎭(3)当圆心位于 M r ， ⎪，半径为 r ：ρ ＝2rsin θ .2(2)将 θ ＝代入 ρ －2ρ cos θ －4ρ sin θ ＋4＝0， θ ＝ ，⎪4⎩ 经过点 P 0(x 0，y 0)，倾斜角为 α 的直线的参数方程为⎨ (t 为参数). (1)圆心在点 M(x 0，y 0)，半径为 r 的圆的参数方程为⎨ (θ 为参数，0≤θ ≤2π ). (2)椭圆 2＋ 2＝1的参数方程为⎨ (θ 为参数).a b解 联立方程⎨ 解之得 θ ＝ 且 ρ ＝－2 2.π ⎪⎩ ⎩ ⎪ ⎩ 3.圆的极坐标方程几个特殊位置的圆的极坐标方程：(1)当圆心位于极点，半径为 r ：ρ ＝r ；(2)当圆心位于 M(r ，0)，半径为 r ：ρ ＝2rcos θ ；⎛π ⎫ ⎝ 2 ⎭4.直线的参数方程⎧x ＝x 0＋tcos α ， ⎪y ＝y 0＋tsin α→设 P 是直线上的任一点，则 t 表示有向线段 P0P 的数量.5.圆、椭圆的参数方程⎧⎪x ＝x 0＋rcos θ ，⎪y ＝y 0＋rsin θx 2 y 2⎧x ＝acos θ ， ⎪y ＝bsin θ热点一 曲线的极坐标方程【例 1】 (2015·全国Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 C 1：x ＝－2，圆 C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐 标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求 C 1，C 2 的极坐标方程；π(2)若直线 C 3 的极坐标方程为 θ ＝ 4 (ρ ∈R)，设 C 2 与 C 3 的交点为 M ，△N ，求 C 2MN 的面积.解 (1)因为 x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ，所以 C 1 的极坐标方程为 ρ cos θ ＝－2，C 2 的极坐标方程为 ρ 2－2ρ cos θ －4ρ sin θ ＋4＝0.π 4得 ρ 2－3 2ρ ＋4＝0，解得 ρ 1＝2 2，ρ 2＝ 2.故 ρ 1－ρ 2＝ 2，即|MN|＝ 2.1由于 C 2 的半径为 △1，所以 C 2MN 的面积为2.【迁移探究 1】 本例条件不变，求直线 C 1 与曲线 C 3 交点的极坐标.⎧⎪ρ cos θ ＝－2， π4所以直线 C 1 与曲线 C 3 交点的极坐标为 －2 2， ⎪.222ρ ＝x ＋y ，tan θ ＝ (x≠0)，要注意 ρ ，θ 的取值范围及其影响，灵活运用代入法和平方法等技巧.4 9 ⎪y ＝2－2t ⎩d ＝ 5|4cos θ ＋3sin θ －6|.⎩⎛ π ⎫ ⎝4 ⎭【迁移探究 2】 本例条件不变，求圆 C 2 关于极点的对称圆的方程.解 ∵点(ρ ，θ )与点(－ρ ，θ )关于极点对称，设点(ρ ，θ )为对称圆上任意一点，则(－ρ ，θ )在圆 C 2 上，∴(－ρ )2＋2ρ cos θ ＋4ρ sin θ ＋4＝0，故所求圆 C 2 关于极点的对称圆方程为 ρ 2＋2ρ cos θ ＋4ρ sin θ ＋4＝0.探究提高 1.进行极坐标方程与直角坐标方程互化的关键是抓住互化公式：x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ ， yx2.由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解.【训练 1】 (2017·北京东城区调研)在极坐标系中，已知极坐标方程 C 1：ρ cos θ － 3ρ sin θ －1＝0， C 2：ρ ＝2cos θ .(1)求曲线 C 1，C 2 的直角坐标方程，并判断两曲线的形状； (2)若曲线 C 1，C 2 交于 A ，B 两点，求两点间的距离.解 (1)由 C 1：ρ cos θ － 3ρ sin θ －1＝0， ∴x－ 3y －1＝0，表示一条直线.由 C 2：ρ ＝2cos θ ，得 ρ 2＝2ρ cos θ . ∴x 2＋y 2＝2x ，则(x －1)2＋y 2＝1， ∴C 2 是圆心为(1，0)，半径 r ＝1 的圆.(2)由(1)知，点(1，0)在直线 x － 3y －1＝0 上，因此直线 C 1 过圆 C 2 的圆心. ∴两交点 A ，B 的连线段是圆 C 2 的直径，因此两交点 A ，B 间的距离|AB|＝2r ＝2.热点二 参数方程及其应用x 2 y 2 ⎧⎪x ＝2＋t ，【例 2】 (2014·全国Ⅰ卷)已知曲线 C ： ＋ ＝1，直线 l ：⎨ (t 为参数). (1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；(2)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A ，求|PA|的最大值与最小值.⎧⎪x ＝2cos θ ，解(1)曲线 C 的参数方程为⎨ (θ 为参数).⎪y ＝3sin θ直线 l 的普通方程为 2x ＋y －6＝0.(2)曲线 C 上任意一点 P(2cos θ ，3sin θ )到 l 的距离为5则|PA|＝ ＝ |5sin(θ ＋α )－6|，其中 α 为锐角，且 tan α ＝ .当 sin(θ ＋α )＝－1 时，|PA|取得最大值，最大值为 ；当 sin(θ ＋α )＝1 时，|PA|取得最小值，最小值为 .⎩ ⎧⎪x ＝1－ 2t ， 数)，直线 l 的参数方程为⎨ ⎪⎩y ＝ 2t⎧⎪x ＝1－ 2t ， 解 (1)直线 l 的参数方程为⎨ ⎪⎩y ＝ 2t 【例 3】 (2016·全国Ⅲ卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为⎨ (α 为参数)，⎪ ⎩d 2 5 4sin 30° 5 322 552 55探究提高 1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，常用的消参方法有代入消参、加减消参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件.2.在与直线、圆、椭圆有关的题目中，参数方程的使用会使问题的解决事半功倍，尤其是求取值范围和最值问题，可将参数方程代入相关曲线的普通方程中，根据参数的取值条件求解.⎧⎪x ＝2cos θ ，【训练 2】(2017·郴州三模)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为⎨ (θ 为参⎪y ＝2＋2sin θ2 2(t 为参数).以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.(1)写出直线 l 的普通方程以及曲线 C 的极坐标方程；(2)若直线 l 与曲线 C 的两个交点分别为 M ，N ，直线 l 与 x 轴的交点为 P ，求|PM|·|PN|的值.2(t 为参数)，2消去参数 t ，得 x ＋y －1＝0.⎧x ＝2cos θ ，曲线 C 的参数方程为⎨ (θ 为参数)，⎪y ＝2＋2sin θ利用平方关系，得 x 2＋(y －2)2＝4，则 x 2＋y 2－4y ＝0.令 ρ 2＝x 2＋y 2，y ＝ρ sin θ ，代入得 C 的极坐标方程为 ρ ＝4sin θ .(2)在直线 x ＋y －1＝0 中，令 y ＝0，得点 P(1，0).把直线 l 的参数方程代入圆 C 的方程得 t 2－3 2t ＋1＝0，∴t 1＋t 2＝3 2，t 1t 2＝1.由直线参数方程的几何意义，|PM|·|PN|＝|t 1·t 2|＝1.热点三 极坐标与参数方程的综合应用⎧x ＝ 3cos α ， ⎩y ＝sin α以坐标原点为极点，以 x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C 2 的极坐标方程为 ρ sin θ ＋ ⎪＝2 2. ⎛3 1⎫⎝2 2⎭ 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为 ρ sin θ ＋ ⎪＝4.(2)依题意，A ，B 两点的极坐标分别为 2， ⎪， 4， ⎪，11π ⎫11π ⎛又 d(α )＝＝ 2⎪sin α ＋ ⎪－2⎪，当且仅当 α ＝2k π ＋ (k∈Z)时，d(α )取 (2)若射线 θ ＝ 与曲线 C 交于 O ，A 两点，与直线 l 交于 B 点，射线 θ ＝与曲线 C 交于 O ，P 两点，π ⎫3 1⎛ 因为直线 l 的极坐标方程为 ρ sin θ ＋ ⎪＝4，即 ρ sin θ ＋ ρ cos θ ＝4，⎛π ⎫ ⎛ π ⎫3 ⎭ ⎝ 3 ⎭联立射线 θ ＝ 与曲线 C 的极坐标方程得 P 点极坐标为 2 3， ⎪， ⎩ ⎪ ⎩⎛ π ⎫ ⎝ 4 ⎭(1)写出 C 1 的普通方程和 C 2 的直角坐标方程；(2)设点 P 在 C 1 上，点 Q 在 C 2 上，求|PQ|的最小值及此时 P 的直角坐标.x 2 解 (1)C 1 的普通方程为 3 ＋y 2＝1，曲线 C 2 的直角坐标方程为 x ＋y －4＝0.(2)由题意，可设点 P 的直角坐标为( 3cos α ，sin α ).因为 C 2 是直线，所以|PQ|的最小值即为 P 到 C 2 的距离 d(α )的最小值.| 3cos α ＋sin α －4| ⎪ ⎛π ⎫ ⎪ π 2⎪ ⎝ 3 ⎭ ⎪ 6得最小值，最小值为 2，此时点 P 的直角坐标为 ， ⎪.探究提高 1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解.当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程.2.数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用 ρ 和 θ 的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的.⎧⎪x ＝2＋2cos θ ，【训练 3】(2017·哈尔滨模拟)已知曲线 C 的参数方程为⎨ (θ 为参数)，以坐标原点 O⎪y ＝2sin θ⎛π ⎫ ⎝6 ⎭(1)写出曲线 C 的极坐标方程和直线 l 的普通方程；π11π 3 6求△PAB 的面积.⎧x ＝2＋2cos θ ，解(1)由⎨ (θ 为参数)，消去 θ .⎪y ＝2sin θ普通方程为(x －2)2＋y 2＝4.从而曲线 C 的极坐标方程为 ρ 2－4ρ cos θ ＝0，即 ρ ＝4cos θ ，⎝ 6 ⎭ 2 2∴直线 l 的直角坐标方程为 x ＋ 3y －8＝0.⎝6 ⎝ 6 ⎭5∴SPAB △＝ ×2×2 3sin ＋ ⎪＝2 3.2⎝ 3 6 ⎭ 3.过定点 P 0(x 0，y 0)，倾斜角为 α 的直线参数方程的标准形式为⎨ (t 为参数)，t 的几何 ⎪⎩2 ⎪⎩2 ∴当 s ＝ 2时，d 有最小值 4 标方程为 ρ ＝.⎩∴|AB|＝2，1 ⎛π π ⎫1.在已知极坐标方程求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，或用极坐标解决较麻烦，可将极坐标方程转化为直角坐标方程解决.2.要熟悉常见曲线的参数方程、极坐标方程，如：圆、椭圆、及过一点的直线，在研究直线与它们的位置关系时常用的技巧是转化为普通方程解答.⎧⎪x ＝x 0＋tcos α ，⎪y ＝y 0＋tsin α→意义是 P0P 的数量，即|t|表示 P 0 到 P 的距离，t 有正负之分.使用该式时直线上任意两点 P 1，P 2 对应的参1数分别为 t 1，t 2，则|P 1P 2|＝|t 1－t 2|，P 1P 2 的中点对应的参数为2(t 1＋t 2).⎧⎪x ＝－8＋t ，1.(2017·江苏卷)在平面坐标系 xOy 中，已知直线 l 的参数方程为⎨ t(t 为参数)，曲线 C 的参y ＝⎧x ＝2s 2，数方程为⎨ (s 为参数).设 P 为曲线 C 上的动点，求点 P 到直线 l 的距离的最小值.⎩y ＝2 2s⎧⎪x ＝－8＋t ，解 由⎨ t消去 t.y ＝得 l 的普通方程为 x －2y ＋8＝0，因为点 P 在曲线 C 上，设点 P(2s 2，2 2s).|2s 2－4 2s ＋8| 2（s － 2）2＋4则点 P 到直线 l 的距离 d ＝ ＝ ，5 54 5＝ .52.(2017·贵阳调研)以直角坐标系中的原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，已知曲线的极坐21－sin θ(1)将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)过极点 O 作直线 l 交曲线于点 P ，Q ，若|OP|＝3|OQ|，求直线 l 的极坐标方程.解 (1)∵ρ ＝ x 2＋y 2，ρ sin θ ＝y ，∴ρ ＝ 21－sin θ 01－sin （θ 0＋π ） 或 θ 0＝ 直线 l 的极坐标方程θ ＝ (ρ ∈R)或 θ ＝ (ρ ∈R).3.(2017·全国Ⅲ卷)在直角坐标系 xOy 中，直线 l 1 的参数方程为⎨ (t 为参数)，直线 l 2 的参数方⎪⎩y ＝k解 (1)由 l 1：⎨ (t 为参数)消去 t ，y ＝kt⎧⎪x ＝3 2，⎧x ＋y ＝ 2， ⎨⎪⎩y ＝－ 2，∴ρ 2＝x 2＋y 2＝ ＋ ＝5，∴与 C 的交点 M 的极径为 5.⎩ ⎩ 1－sin θ 化为ρ －ρ sin θ ＝2，∴曲线的直角坐标方程为 x 2＝4y ＋4.(2)设直线 l 的极坐标方程为 θ ＝θ 0(ρ ∈R)，2 2根据题意，不妨设 P(θ 0，ρ 0)，则 Q(θ ＋π ，ρ 1)，且 ρ 0＝3ρ 1，即 ＝3· ，π 5π 解得 θ 0＝ 6 6，π5π 6 6⎧⎪x ＝2＋t ， ⎪y ＝kt⎧⎪x ＝－2＋m ，程为⎨ m(m 为参数).设 l 1 与 l 2 的交点为 P ，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线 C.(1)写出 C 的普通方程；(2)以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l 3：ρ (cos θ ＋sin θ )－ 2＝0，M 为与 C的交点，求 M 的极径.⎧⎪x ＝2＋t ， ⎪化为 l 1 的普通方程 y ＝k(x －2)，①同理得直线 l 2 的普通方程为 x ＋2＝ky ，②联立①，②消去 k ，得 x 2－y 2＝4(y≠0).所以 C 的普通方程为 x 2－y 2＝4(y≠0).(2)将直线 l 3 化为普通方程为 x ＋y ＝ 2，2联立⎨得⎩x 2－y 2＝4218 24 44.(2017·新乡三模)以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 ρ ＝4cos θ ，曲线 M 的直角坐标方程为 x －2y ＋2＝0(x>0).(1)以曲线 M 上的点与点 O 连线的斜率 k 为参数，写出曲线 M 的参数方程；(2)设曲线 C 与曲线 M 的两个交点为 A ，B ，求直线 OA 与直线 OB 的斜率之和.⎨2k －1 ⎪⎩y ＝ 2k .故曲线 M 的参数方程为⎨2k －1 ⎛k 为参数，且k>1⎫.⎪⎩y ＝ 2k⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎩y ＝ 2k5.(2016·全国Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 1 的参数方程为⎨ (t 为参数，a>0).在以坐标 y ＝1＋asin t 2 ⎩ ⎩ ⎩x⎧x ＝2，⎧x －2y ＋2＝0（x>0）， 解(1)由⎨得⎪y ＝kx2k －1⎧⎪x ＝ 2，⎝2⎭2k －1(2)由 ρ ＝4cos θ ，得 ρ 2＝4ρ cos θ ，∴x 2＋y 2＝4x.将 ⎧⎪x ＝ 2， ⎨2k －1代入 x 2＋y 2＝4x 整理得 k 2－4k ＋3＝0，2k －1∴k 1＋k 2＝4.故直线 OA 与直线 OB 的斜率之和为 4.⎧⎪x ＝acos t ， ⎪原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 2：ρ ＝4cos θ . (1)说明 C 1 是哪一种曲线，并将 C 1 的方程化为极坐标方程；(2)直线 C 3 的极坐标方程为 θ ＝α 0，其中 α 0 满足 tan α 0＝2，若曲线 C 1 与 C 2 的公共点都在 C 3 上，求 a. 解 (1)消去参数 t 得到 C 1 的普通方程 x 2＋(y －1)2＝a 2，C 1 是以(0，1)为圆心，a 为半径的圆. 将 x ＝ρ cos θ ，y ＝ρ sin θ 代入 C 1 的普通方程中， 得到 C 1 的极坐标方程为 ρ 2－2ρ sin θ ＋1－a 2＝0. (2)曲线 C 1，C 2 的公共点的极坐标满足方程组⎧⎪ρ 2－2ρ sin θ ＋1－a 2＝0， ⎨ ⎪ρ ＝4cos θ .若 ρ ≠0，由方程组得 16cos 2θ －8sin θ cos θ ＋1－a 2＝0，由已知 tan θ ＝2，可得 16cos 2θ －8sin θ cos θ ＝0，从而 1－a 2＝0，解得 a ＝－1(舍去)，a ＝1.a ＝1 时，极点也为 C 1，C 2 的公共点，在 C 3 上. 所以 a ＝1.⎧⎪x ＝1＋tcos θ ， 6.(2017·乐山二模 )在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 ⎨ (t 为参数，⎪y ＝tsin θ0≤θ <π )，以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ ＝－4cos α ，3圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 .(1)求 θ 的值；由题意：d ＝ ，即 3sin θ ＝ ，则 sin θ ＝ ，(2)已知 P(1，0)，若直线 l 与圆 C 交于 A ，B 两点，求 ＋ 的值.∴θ ＝ 或 θ ＝.⎩ ⎩ 1 ＝ 1 ＋ 1 ＝1 1|PA| |PB|⎧⎪x ＝1＋tcos θ ，解(1)由直线 l 的参数方程为⎨ (t 为参数，0≤θ <π )，消去参数 t ，得 xsin θ －ycos θ⎪y ＝tsin θ－sin θ ＝0.圆 C 的极坐标方程为 ρ ＝－4cos α ，即 ρ 2＝－4ρ cos α .可得圆 C 的普通坐标方程为 x 2＋y 2＋4x ＝0，|－2sin θ －sin θ |可知圆心为(－2，0)，圆 C 的圆心到直线 l 的距离为 d ＝ ＝3sin θ .sin 2θ ＋cos 2θ3 3 12 2 2∵0≤θ <π ，π5π 6 6⎧⎪x ＝1＋tcos θ ，(2)已知 P(1，0)，点 P 在直线 l 上，直线 l 与圆 C 交于 A ，B 两点，将⎨ 代入圆 C 的普通⎪y ＝tsin θ坐标方程 x 2＋y 2＋4x ＝0，得(1＋tcos θ )2＋(tsin θ )2＋4(1＋tcos θ )＝0，∴t 2＋6tcos θ ＋5＝0.设 A ，B 对应参数为 t 1，t 2，则 t 1＋t 2＝－6cos θ ，t 1·t 2＝5，∵t 1·t 2>0，t 1，t 2 是同号.∴ 1 ＋ |t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2|＝3 3.|PA| |PB| |t 1| |t 2| |t 1t 2| |t 1t 2| 5。
高中数学二轮复习 坐标系与参数方程 课件(全国通用)
[微题型 2]
曲线的极坐标方程的应用
【例 1－2】 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
x＝2cos ， (α y＝2＋2sin
为参数)，M 是 C1 上的动点，P 点满足OP＝
→
2OM，点 P 的轨迹为曲线 C2. (1)求 C2 的方程； (2)在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线 θ π ＝ 3 与 C1 的异于极点的交点为 A，与 C2 的异于极点的交点为 B，求 AB.
→
解 (1)设 P(x，y)，则由条件知
x y M2，2，由于
M点
x 2＝2cos α， x＝4cos α， 即 在 C1 上，所以 y＝4＋4sin α. y ＝2＋2sin α， 2 从而
x＝4cos α， (α C2 的参数方程为 y＝4＋4sin α
为参数).
(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ρ＝4sin θ，曲线 C2 的极 π 坐标方程为ρ＝8sin θ.射线 θ＝ 与 C1 的交点 A 的 3 π π 极径为 ρ1＝4sin 3 ＝2 3，射线 θ＝ 3 与 C2 的交点 B π 的极径为 ρ2＝8sin 3 ＝4 3.所以 AB＝|ρ2－ρ1|＝2 3.
1 8 3 ∴A(1，0)，B－ ，－ .故 AB＝ 7 7 12 8 32 16 1＋ ＋0＋ ＝ . 7 7 7
2.(2015· 江苏卷)已知圆 C 的极坐标方程为 ρ ＋2 －4＝0，求圆 C 的半径.
2
π 2ρsinθ－ 4
x＝x0＋rcos θ， (θ y＝y0＋rsin θ
为参数，0≤θ≤2π).
6.圆锥曲线的参数方程
x＝acos θ， x2 y 2 (1)椭圆a2＋b2＝1 的参数方程为 (θ 为参数). y＝bsin θ x＝asec θ， x2 y2 (2)双曲线 2－ 2＝1 的参数方程为 (θ 为参数). a b y ＝ b tan θ
2020高考数学(理)二轮专题复习讲义《七 第1讲 坐标系与参数方程(大题)》
第1讲坐标系与参数方程(大题)热点一极坐标与简单曲线的极坐标方程1.直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴的正半轴作为极轴，且在两种坐标系中取相同的长度单位.如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(ρ，θ)，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x (x ≠0).2.在与曲线的直角坐标方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性. 例1 (2019·全国Ⅱ)在极坐标系中，O 为极点，点M (ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C ：ρ＝4sin θ上，直线l 过点A (4,0)且与OM 垂直，垂足为P . (1)当θ0＝π3时，求ρ0及l 的极坐标方程；(2)当M 在C 上运动且P 在线段OM 上时，求P 点轨迹的极坐标方程. 解 (1)因为M (ρ0，θ0)在C 上，当θ0＝π3时，ρ0＝4sin π3＝2 3.由已知得|OP |＝|OA |cos π3＝2.设Q (ρ，θ)为l 上除P 的任意一点，连接OQ ，在Rt △OPQ 中，ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝|OP |＝2. 经检验，点P ⎝⎛⎭⎫2，π3在曲线ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2上. 所以，l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝2. (2)设P (ρ，θ)，在Rt △OAP 中，|OP |＝|OA |cos θ＝4cos θ，即ρ＝4cos θ. 因为P 在线段OM 上，且AP ⊥OM ，故θ的取值范围是⎣⎡⎦⎤π4，π2. 所以，P 点轨迹的极坐标方程为ρ＝4cos θ，θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2.跟踪演练1 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l ：x ＋3y ＝53，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C 的极坐标方程为ρ＝4sin θ. (1)求直线l 的极坐标方程和圆C 的直角坐标方程；(2)射线OP ：θ＝π6(ρ≥0)与圆C 的交点为O ，A ，与直线l 的交点为B ，求线段AB 的长.解 (1)在x ＋3y ＝53中， 令x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 得ρcos θ＋3ρsin θ＝53， 化简得2ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝53， 即为直线l 的极坐标方程. 由ρ＝4sin θ得ρ2＝4ρsin θ， 又ρ2＝x 2＋y 2，ρsin θ＝y ， 所以x 2＋y 2＝4y ， 即x 2＋(y －2)2＝4， 即为圆C 的直角坐标方程. (2)由题意知ρA ＝4sin π6＝2，ρB ＝532sin ⎝⎛⎭⎫π6＋π6＝5，所以|AB |＝|ρA －ρB |＝3. 热点二 简单曲线的参数方程 1.直线的参数方程过定点M (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α(t 为参数).2.圆的参数方程圆心为点M (x 0，y 0)，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ(θ为参数).3.圆锥曲线的参数方程(1)椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数).(2)抛物线y 2＝2px (p >0)的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2pt 2，y ＝2pt(t 为参数).4.(1)参数方程的实质是将曲线上每一点的横、纵坐标分别用同一个参数表示出来，所以有时处理曲线上与点的坐标有关的问题时，用参数方程求解非常方便；(2)充分利用直线、圆、椭圆等参数方程中参数的几何意义，在解题时能够事半功倍.例2 (2019·聊城模拟)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，倾斜角为α的直线l 经过点P (0，2). (1)求曲线C 的普通方程和直线l 的参数方程；(2)若直线l 与曲线C 有两个不同的交点M ，N ，求|PM |＋|PN |的最大值.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)消去θ得x 24＋y 2＝1，所以曲线C 的普通方程为x 24＋y 2＝1，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数).(2)将直线l 的参数方程⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数)代入到x 24＋y 2＝1中并整理得，⎝⎛⎭⎫cos 2α4＋sin 2αt 2＋22t sin α＋1＝0， 设M ，N 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－22sin αcos 2α4＋sin 2α，t 1t 2＝1cos 2α4＋sin 2α>0，∴t 1，t 2同号，∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2| ＝22sin αcos 2α4＋sin 2α＝2214sin α＋3sin α4≤22214sin α·3sin α4＝463，⎝⎛⎭⎫当且仅当sin α＝33时取等号，∴|PM |＋|PN |的最大值为463.跟踪演练2 (2018·全国Ⅲ)在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点. (1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程. 解 (1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝1.当α＝π2时，l 与⊙O 交于两点.当α≠π2时，记tan α＝k ，则l 的方程为y ＝kx － 2. l 与⊙O 交于两点当且仅当|2|1＋k 2<1， 解得k <－1或k >1， 即α∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4或α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. 综上，α的取值范围是⎝⎛⎭⎫π4，3π4. (2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝t cos α，y ＝－2＋t sin α⎝⎛⎭⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ， 则t P ＝t A ＋t B2，且t A ，t B 满足t 2－22t sin α＋1＝0. 于是t A ＋t B ＝22sin α，t P ＝2sin α.又点P 的坐标(x ，y )满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎨⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎫α为参数，π4<α<3π4.热点三 极坐标方程与参数方程的综合应用解决与圆、圆锥曲线的参数方程有关的综合问题时，要注意普通方程与参数方程的互化公式，主要是通过互化解决与圆、圆锥曲线上动点有关的问题，如最值、范围等.例3 (2019·衡阳调研)在直角坐标系xOy 中，设P 为⊙O ：x 2＋y 2＝9上的动点，点D 为P 在x 轴上的投影，动点M 满足2DM →＝MP →，点M 的轨迹为曲线C .以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝23，点A (ρ1,0)，B ⎝⎛⎭⎫ρ2，π2为直线l 上两点.(1)求曲线C 的参数方程；(2)是否存在M ，使得△MAB 的面积为8？若存在，有几个这样的点？若不存在，请说明理由. 解 (1)设P (3cos α，3sin α)，M (x ，y )，则D (3cos α，0).由2DM →＝MP →，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α.即曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos α，y ＝sin α.(2)依题意，直线l ：x ＋3y －43＝0， 设点M (3cos α，sin α)， 设点M 到直线l 的距离为d ， d ＝|3cos α＋3sin α－43|2＝⎪⎪⎪⎪3sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3－23≥ 3. 将θ＝0，π2代入ρsin ⎝⎛⎭⎫θ＋π6＝23， 得ρ1＝43，ρ2＝4，|AB |＝ρ21＋ρ22＝8. S △MAB ＝12|AB |d ≥43，∵8>43，故存在符合题意的点M ，且存在两个这样的点.跟踪演练3 (2019·烟台模拟)在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1－32t ，y ＝－3＋12t (t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝222－cos 2θ.(1)求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)设点P (1，－3)，直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求1|P A |＋1|PB |的值.解 (1)直线l 的普通方程为x ＋3y ＋2＝0； 因为ρ2＝82－cos 2θ，所以2ρ2－ρ2cos 2θ＝8，将x ＝ρcos θ，ρ2＝x 2＋y 2，代入上式， 可得x 2＋2y 2＝8，即x 28＋y 24＝1. (2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程， 可得5t 2－123t －4＝0，设A ，B 两点所对应的参数分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝1235，t 1t 2＝－45.于是1|P A |＋1|PB |＝|P A |＋|PB ||P A |·|PB |＝|t 1－t 2||t 1t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2|t 1t 2|＝4 2.真题体验(2019·全国Ⅰ，理，22)在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－t 21＋t 2，y ＝4t1＋t2(t 为参数).以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为2ρcos θ＋3ρsin θ＋11＝0.(1)求C 和l 的直角坐标方程； (2)求C 上的点到l 距离的最小值.解 (1)因为－1<1－t 21＋t 2≤1，且x 2＋⎝⎛⎭⎫y 22＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－t 21＋t 22＋4t 2(1＋t 2)2＝1，所以C 的直角坐标方程为x 2＋y 24＝1(x ≠－1). l 的直角坐标方程为2x ＋3y ＋11＝0.(2)由(1)可设C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝2sin α(α为参数，－π<α<π).C 上的点到l 的距离为|2cos α＋23sin α＋11|7＝4cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋117.当α＝－2π3时，4cos ⎝⎛⎭⎫α－π3＋11取得最小值7， 故C 上的点到l 距离的最小值为7.押题预测在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ－2ρsin θ＋1＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos α，y ＝3sin α(α为参数).(1)求曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值；(2)直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，已知点M (1,1)，求|MA |·|MB |的值. 解 (1)设曲线C 上任意一点N (2cos α，3sin α)， 直线l ：x －2y ＋1＝0，则点N 到直线l 的距离d ＝|2cos α－23sin α＋1|5＝⎪⎪⎪⎪4cos ⎝⎛⎭⎫α＋π3＋15≤5，∴曲线C 上的点到直线l 的距离的最大值为 5.(2)设直线l 的倾斜角为θ， 则由(1)知tan θ＝12，∴cos θ＝255，sin θ＝55.∴直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋255t ，y ＝1＋55t (t 为参数)，曲线C ：x 24＋y 23＝1，联立方程组，消元得165t 2＋45t －5＝0，设方程两根为t 1，t 2，则t 1t 2＝－2516，由t 的几何意义，得|MA |·|MB |＝－t 1t 2＝2516.A 组 专题通关1.(2019·贵州普通高等学校招生考试)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≥0)，在以O 为原点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2，C 3的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－45＝0，ρ(cos θ＋sin θ)＝75.(1)判断C 2，C 3的位置关系，并说明理由；(2)若tan α＝34(0≤α≤π)，C 1分别与C 2，C 3交于M ，N 两点，求|MN |.解 (1)由C 2：ρ2－2ρcos θ－45＝0，可得x 2＋y 2－2x －45＝0，即C 2是圆心为(1,0)，半径为355的圆； 又C 3：ρ(cos θ＋sin θ)＝75，可得x ＋y －75＝0，即C 3是一条直线，因为圆心(1,0)到直线C 3的距离d ＝⎪⎪⎪⎪1＋0－752＝25<355，即d <r ， 所以圆C 2与直线C 3相交.(2)由tan α＝34(0≤α≤π)， 得sin α＝35，cos α＝45， 由⎩⎪⎨⎪⎧ θ＝α(ρ≥0)，ρ2－2ρcos θ－45＝0，得ρ2－85ρ－45＝0， 解得ρ1＝2，ρ2＝－25(舍去)， 由⎩⎪⎨⎪⎧θ＝α(ρ≥0)，ρ3(cos θ＋sin θ)＝75， 得ρ3⎝⎛⎭⎫45＋35＝75，解得ρ3＝1，故|MN |＝|ρ1－ρ3|＝1. 2.(2019·全国Ⅲ)如图，在极坐标系Ox 中，A (2,0)，B ⎝⎛⎭⎫2，π4，C ⎝⎛⎭⎫2，3π4，D (2，π)，弧AB C BC D ，，所在圆的圆心分别是(1,0)，⎝⎛⎭⎫1，π2，(1，π)，曲线M 1是弧AB ，曲线M 2是弧BC ，曲线M 3是弧.CD(1)分别写出M 1，M 2，M 3的极坐标方程；(2)曲线M 由M 1，M 2，M 3构成，若点P 在M 上，且|OP |＝3，求P 的极坐标.解 (1)由题设可得，弧AB C BC D ，，所在圆的极坐标方程分别为ρ＝2cos θ，ρ＝2sin θ， ρ＝－2cos θ，所以M 1的极坐标方程为ρ＝2cos θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π4， M 2的极坐标方程为ρ＝2sin θ⎝⎛⎭⎫π4≤θ≤3π4， M 3的极坐标方程为ρ＝－2cos θ⎝⎛⎭⎫3π4≤θ≤π.(2)设P (ρ，θ)，由题设及(1)知若0≤θ≤π4，则2cos θ＝3，解得θ＝π6； 若π4≤θ≤3π4，则2sin θ＝3，解得θ＝π3或θ＝2π3； 若3π4≤θ≤π，则－2cos θ＝3，解得θ＝5π6. 综上，P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫3，π6或⎝⎛⎭⎫3，π3或⎝⎛⎭⎫3，2π3或⎝⎛⎭⎫3，5π6. 3.(2019·陕西八校联考)已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θsin 2θ，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π). (1)把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状；(2)若直线l 经过点(1,0)，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长.解 (1)将曲线C 的极坐标方程ρ＝4cos θsin 2θ化为 ρ2sin 2θ＝4ρcos θ，得到曲线C 的直角坐标方程为y 2＝4x ，故曲线C 是顶点为O (0,0)，焦点为F (1,0)的抛物线.(2)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝1＋t sin α(t 为参数，0≤α<π). 故l 经过点(0,1)；若直线l 经过点(1,0)，则α＝3π4， ∴直线l 的参数方程为⎩⎨⎧ x ＝t cos 3π4＝－22t ，y ＝1＋t sin 3π4＝1＋22t (t 为参数).代入y 2＝4x ，得t 2＋62t ＋2＝0，Δ＝(62)2－2×4＝64>0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝－62，t 1t 2＝2.|AB |＝|t 1－t 2|＝(t 1＋t 2)2－4t 1t 2 ＝(－62)2－4×2＝8.B 组 能力提高4.(2019·六安模拟)已知曲线E 的极坐标方程为ρ＝4tan θcos θ，倾斜角为α的直线l 过点P (2,2). (1)求曲线E 的直角坐标方程和直线l 的参数方程；(2)设l 1，l 2是过点P 且关于直线x ＝2对称的两条直线，l 1与E 交于A ，B 两点，l 2与E 交于C ，D 两点.求证：|P A |∶|PD |＝|PC |∶|PB |.(1)解 由题意知，曲线E 的直角坐标方程为x 2＝4y (x ≠0)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos α，y ＝2＋t sin α(t 为参数). (2)证明 因为l 1，l 2关于直线x ＝2对称，所以l 1，l 2的倾斜角互补，设l 1的倾斜角为β，则l 2的倾斜角为π－β，把直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos β，y ＝2＋t sin β(t 为参数)代入x 2＝4y ， 整理得t 2cos 2β＋4(cos β－sin β)t －4＝0，设A ，B 两点对应的参数分别为t 1，t 2，根据根与系数的关系得t 1t 2＝－4cos 2β， 即|P A |·|PB |＝4cos 2β， 同理得|PC |·|PD |＝4cos 2(π－β)＝4cos 2β， 所以|P A |·|PB |＝|PC |·|PD |，即|P A |∶|PD |＝|PC |∶|PB |.5.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数，α∈[0，π]).以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρ2＝61－sin 2θ＋3cos 2θ. (1)求曲线C 1的极坐标方程；(2)设C 1与C 2的交点为M ，N ，求∠MON .解 (1)由⎩⎨⎧ x ＝3cos α，y ＝3sin α得x 2＋y 2＝3. 又α∈[0，π]，所以曲线C 1是以O 为圆心，3为半径的圆的上半部分. 所以曲线C 1的极坐标方程为ρ＝3(θ∈[0，π]).(2)将ρ＝3代入ρ2＝61－sin 2θ＋3cos 2θ中， 得1－sin 2θ＋3cos 2θ＝2，即－sin 2θ＋3cos 2θ＝1.所以2⎝⎛⎭⎫－12sin 2θ＋32cos 2θ＝1，即cos ⎝⎛⎭⎫2θ＋π6＝12. 又2θ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，13π6， 所以2θ＋π6＝π3，或2θ＋π6＝2π－π3，即θ＝π12，或θ＝3π4. 所以∠MON ＝3π4－π12＝2π3.。
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若 ρ≠0， 由方程组得 16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知 tan θ＝2，可得 16cos2θ－8sin θcos θ＝0，从而 1－a2＝0，解得 a＝ －1(舍去)，a＝1.
a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，在C3上. 所以a＝1.
解
(1)消去参数 t 得到 C1 的普通方程 x2＋(y－1)2＝a2， C1 是以(0，
1)为圆心，a 为半径的圆.将 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ 代入 C1 的普通 方程中，得到 C1 的极坐标方程为 ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0. (2)曲线 C1，C2 的公共点的极坐标满足方程
π ρcosθ－3＝1，M，
(1)写出曲线C的直角坐标方程，并求点M，N的极坐标；
(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程.
解 (1)∵ρcos
π θ－ ＝1，∴ρcos 3
π π θcos 3＋ρsin θsin 3＝1.
x＝ρcos θ， 1 又 ∴2x＋ y ＝ ρ sin θ ，
5.圆的参数方程
圆 心 在 点 M(x0 ， y0) ， 半 径 为 r 的 圆 的 参 数 方 程 为
x＝x0＋rcos θ， (θ y＝y0＋rsin θ
为参数，0≤θ≤2π).
6.圆锥曲线的参数方程
x＝acos θ， x2 y2 (1)椭圆a2＋b2＝1(a＞b＞0)的参数方程为 y＝bsin θ
x＝acos t， (t y ＝ 1 ＋ a sin t
为参数， a>0).在以坐标原点为极点， x 轴正半轴为
极轴的极坐标系中，曲线 C2：ρ＝4cos θ.
(1)说明 C1 是哪一种曲线，并将 C1 的方程化为极坐标方程； (2)直线 C3 的极坐标方程为 θ＝α0，其中 α0 满足 tan α0＝2，若曲 线 C1 与 C2 的公共点都在 C3 上，求 a.
【例1】 (2015· 全国Ⅰ卷)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－
2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的 正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求 C1，C2 的极坐标方程； π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝4(ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交 点为 M，N，求△C2MN 的面积.
3 ， 直线 OP 的极角为 θ 3
3 2 y＝1，
即曲线 C 的直角坐标方程为 x＋ 3y－2＝0.
2 3 2 3 ， 令 y＝0，则 x＝2，令 x＝0，则 y＝ ，∴M(2，0)，N0， 3 3
∴M 的极坐标为(2，0)，N (2)MN 连线的中点 P
2 3 π 的极坐标为 ， . 2 3
的直角坐标为1，
2.直线的极坐标方程
几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝α； (2)直线过点 M(a，0)(a>0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a； (3)直线过
π Mb，2且平行于极轴：ρsin
θ＝b.
3.圆的极坐标方程
几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点，半径为 r：ρ＝r； (2)当圆心位于 M(r，0)，半径为 r：ρ＝2rcos θ； (3)当圆心位于
第1讲 坐标系与参数方程(选修4－4)
高考定位 高考主要考查平面直角坐标系中的伸缩变换、
直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常
见曲线的参数方程及参数方程的简单应用 .以极坐标、参数
方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与 曲线位置关系等解析几何知识.
真题感悟
(2016· 全国Ⅰ卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为
π Mr，2，半径为
r：ρ＝2rsin θ.
4.直线的参数方程
经 过 点 P 0 ( x0 ， y0 ) ， 倾 斜 角 为 α 的 直 线 的 参 数 方 程 为
x＝x0＋tcos α， (t y ＝ y ＋ t sin α 0
为参数).
→ 设 P 是直线上的任一点，则 t 表示有向线段P 0P的数量.
探究提高
解决这类问题一般有两种思路，一是将极坐标方
程化为直角坐标方程，求出交点的直角坐标，再将其化为极 坐标；二是将曲线的极坐标方程联立，根据限制条件求出极 坐标.要注意题目所给的限制条件及隐含条件.
【训练 1】 在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极 轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 N 分别为曲线 C 与 x 轴，y 轴的交点.
ห้องสมุดไป่ตู้(θ 为参数). a x＝cos θ， x y (2)双曲线 2－ 2＝1(a＞0，b＞0)的参数方程为 a b y＝btan θ
2 2
(θ 为参数).
(3)抛物线
2 x ＝ 2 pt ， 2 y ＝2px(p>0)的参数方程为 (t y＝2pt
为参数).
热点一
极坐标与直角坐标的互化及极坐标的应用
解
(1)因为 x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以 C1 的极坐标方程为
ρcos θ＝－2，C2 的极坐标方程为 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0. π (2)将 θ＝ 代入 ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－3 2ρ＋4＝ 4 0，解得 ρ1＝2 2，ρ2＝ 2.故 ρ1－ρ2＝ 2，即|MN|＝ 2. 由于 C2 的半径为 1，所以△C2MN 为等腰直角三角形， 1 所以△C2MN 的面积为 . 2
考 点 整 合 1.直角坐标与极坐标的互化
把直角坐标系的原点作为极点，x 轴正半轴作为极 轴，且在两坐标系中取相同的长度单位.设 M 是平 面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为
2 2 2 ρ ＝ x ＋ y ， x＝ρcos θ， (x，y)和(ρ，θ)，则 y y ＝ ρ sin θ ， tan θ＝x（x≠0）.