2015年-高考试卷及答案解析-数学-理科-陕西(精校版)

2015年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）理科一、选择题1.设集合{}2|M x x x==, {}|lg 0N x x =≤，则M N = ( )A.[]0,1B.(0,1]C. [0,1)D.(,1]-∞ 2.某中学初中部共有110名教师，高中部共有150名教师，其性别比例如图所示，则该校女教师的人数是( )A.93B.123C.137D.1673.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数3sin()6y x k πϕ=++，据此函数可知，这段时间水深（单位：m ）的最大值为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．104.二项式(1)()n x n N ++∈的展开式中2x 的系数为15，则n =( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．75.一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( ) A ．3π B ．4π C ．24π+ D ．34π+6.“sin cos αα=”是“cos 20α=”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要7.对任意向量,a b，下列关系式中不恒成立的是( ) A ．||||||a b a b ∙≤ B ．||||||||a b a b -≤-C.22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=-8.根据右边框图，当输入x 为2005时，输出的y =( )A28 B10 C.4 D.29.设()ln ,0f x x a b =<<，若p f =，()2a b q f +=，1(()())2r f a f b =+，则下列关系式中正确的是( )A ．q r p =<B ．q r p =>C ．p r q =<D ．p r q =>10.某企业生产甲乙两种产品均需用A ，B 两种原料，已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为( )A ．12万元B ．16万元C ．17万元D ．18万元11.设复数(1)z x yi =-+(,)x y R ∈，若||1z ≤，则y x ≥的概率( ) A ．3142π+ B ．1142π- C ．112π- D ．112π+ 12.对二次函数2()f x ax bx c =++（a 为非零整数．．），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是( ) A.-1是()f x 的零点 B.1是()f x 的极值点 C.3是()f x 的极值 D.点(2,8)在曲线()y f x =上二、填空（本大题共4小题，每小题5分）13.中位数1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为 14.若抛物线22(0)y px p =>的准线经过双曲线221x y -=的一个焦点，则p = 15.设曲线x y e =在点（0,1）处的切线与曲线1(0)y x x=>上点P 处的切线垂直，则P 的坐标为16.如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）17.ABC ∆的内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 向量()m a = 与(cos ,sin )n A B =平行.(1)求A ；(2)若2,a b ==求ABC ∆的面积.18.（本小题满分12分）如图1，在直角梯形ABCD 中，//,,12AD BC BAD AB BC π∠===,2AD =,E 是AD 的中点，O 是AC 与BE 的交点，将ABE ∆沿BE 折起到图2中1A BE ∆的位置，如图2. (1)证明：CD ⊥平面1AOC ； (2)当平面1A BE ⊥平面BCDE 时，求平面1A BC 与平面1ACD 夹角的余弦值..19.（本小题满分12分）设某校新、老校区之间开车单程所需时间为T ，T 只与道路畅通状况有关，对其容量为100的样本进行统计，结果如下：(2)刘教授驾车从老校区出发，前往新校区做一个50分钟的讲座，结束后立即返回老校区，求刘教授从离开老校区到返回老校区共用时间不超过120分钟的概率．20.（本小题满分12分）已知椭圆:E 22221x y a b +=（0a b >>）的半焦距为c ，原点O 到经过两点(),0c ，()0,b 的直线的距离为12c ．(1)求椭圆E 的离心率；(2)如图，AB 是圆:M ()()225212x y ++-=的一条直径，若椭圆E 经过,A B 两点，求椭圆E 的方程．21.（本小题满分12分）设()n f x 是等比数列1，x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的各项和，其中0x >，n ∈N ，2n ≥．(1)证明：函数()()2n n F x f x =-在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内有且仅有一个零点（记为n x ），且11122n n n x x +=+； (2)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为()n g x ，比较()n f x 与()n g x 的大小，并加以证明．请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切O 于点B ，直线AO 交O 于,D E 两点，BC DE ⊥，垂足为C ． (1)证明：CBD DBA ∠=∠；(2)若3AD DC =， BC =O 的直径．23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为132x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为ρθ=． (1)写出C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标．24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知关于x 的不等式x a b +<的解集为{}24x x <<． (1)求实数a ，b 的值； (2)求的最大值．参考答案 1.答案：A 解析：2{|}{0,1},{|lg 0}{|01}M x x x N x x x x ====≤=<≤ ,{|01}M N x x ∴=≤≤ ，2.答案：C解析：由扇形统计图可得，该校女教师人数为11070%(160%)137.⨯+-= 3答案：C解析：由图可知32,5,3sin()56k k y πϕ-+===++,max 358y ∴=+=4.答案：B解析：由122(1)(1)1n n n n n n n x x C x C x C x +=+=+++⋅⋅⋅+,知215,65n C n n ===-解得或(舍去) 5.答案：D解析：由所给三视图可知，该几何体是圆柱从底面圆直径处垂直切了一半，故该几何体的表面积为21121221223 4.22πππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+ 6.答案：A解析：sin cos tan 1,4k k Z πααααπ=⇒=⇒=+∈ ,又cos 20222k πααπ=⇒=+或332()()244k k Z k k k Z ππππαππ+∈⇒=++∈或,sin cos αα∴=能保证c o s 2α=成立,但cos 20α=成立不一定能保证sin cos αα∴=成立，s i n c o sc o s 2ααα∴==是的充分不必要条件.7.答案：B解析：对于B 选项，当向量,a b 返向时，||||||||a b a b -≥-,所以B 选项错误.8.答案：C解析：由题意可得，x 依次为2006,2004,2002，……0，-2执行(2)3110,y --=+=故输出的10.y = 9.答案：B解析：因为0a b <<，所以2a b+>,又()ln f x x =在(0,)+∞上单调递增，故()2a b f f +<,故q p >,因为()11()()(ln ln )22r f a f b a b p =+=+==,所以.p r q =<10.答案：D解析：根据题意，设每天生产甲x 吨，乙y 吨，则00321228x y x y x y ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩,目标函数34z x y =+，作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，作出直线340x y +=并平移，易知当直线经过点()2,3A 时，z 取得最大值且max 324318z =⨯+⨯=，故该企业每天可获得最大利润为18万元. 11.答案：D解析：复数1z ≤对应的区域是以(1,1)-为圆心，以1为半径的圆及其内部，所以满足y x≥的区域面积为1111114242ππ-⨯⨯=-,故满足y x ≥的概率为2111142142πππ-=-⨯ 12.答案：A解析：由A 知0a b c -+=，由B 知，20a b +=.由C 知，2434ac b a-=.由D 知428a b c ++=.假设A 错误，则2020434428a b c a b ac b a a b c -+≠⎧⎪+=⎪⎪⎨-=⎪⎪++=⎪⎩，5108a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩,满足题意，故A 错误.13.答案：5解析：根据等差数列性质可得11201521010,5a a +=⨯∴=14.答案： 解析：22y px =的准线方程为2p x =-,又0p >,所以2p x =-必经过221x y -=的左焦点()，所以2pp -== 15.答案：（1,1）解析：'x y e =,所以1k =切，所以1y x=在p 处切线斜率为1-,所以21a -=,所以1a =,又(,)P a b 在1y x=上，所以1,(1,1)b P =故 16.答案：1.2解析：建立直角坐标系，设抛物线方程为22(0)x py p =>,所以(5,2)在抛物线上，所以254p =,所以当前最大流量对应截面面积为5202402(2)253x dx -=⎰,原始最大流量对应的截面面积为2(610)162⨯+=,所以原始最大流量与当前最大流量比值为161.2403=. 三．解答题17. （满分12分）解: (1)因为//m n，所以sin cos 0a B A -=，由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A = 又sin 0B ≠，从而tan A 由于0A π<<，所以3A π=(2)由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-而2,a b ==3A π=得2742c c =+-，即2230c c --= 因为0c >，所以3c =. 故ABC ∆的面积为1sin 2bc A =18.（本小题满分12分） (1)在图1中，因为1,2,AB BC AD E ===是AD 的中点， 2BAD π∠=，所以BE AC ⊥即在图2中，BE ⊥ 1OA ,BE ⊥ OC ，从而BE ⊥平面1AOC 又//CD BE ，所以CD ⊥平面1AOC.(2)由已知，平面1A BE ⊥平面BCDE ，又由（1）知，BE ⊥ 1OA ,BE ⊥ OC 所以1AOC ∠为二面角1--C A BE 的平面角，所以1OC 2A π∠=.如图，以O 为原点，建立空间直角坐标系， 因为11A E BC ED ===, //BC ED所以1(((0,0,),(0,2222B E AC -得(BC1AC，(CD BE == . 设平面1A BC 的法向量1111(,,)n x y z = ，平面1ACD 的法向量2222(,,)n x y z =，平面1A BC 与平面1ACD 夹角为θ， 则1110n BC n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得111100x y y z -+=⎧⎨-=⎩，取1(1,1,1)n = ，2210n CD n A C ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，得22200x y z =⎧⎨-=⎩，取2(0,1,1)n = ，从而12cos |cos ,|n n θ=〈〉==即平面1A BC 与平面1ACD夹角的余弦值为319.（本小题满分12分）.3350.4400⨯+⨯=（分钟）(2)设12,T T 分别表示往、返所需时间，12,T T 的取值相互独立，且与T 的分布列相同.设事件A 表示“刘教授共用时间不超过120分钟”，由于讲座时间为50分钟，所以事件A 对应于“刘教授在途中的时间不超过70分钟”.121212(A)(70)(25,45)(30,40)P P T T P T T P T T =+≤==≤+=≤1212(35,35)(40,30)P T T P T T +=≤+=≤10.210.30.90.40.50.10.91=⨯+⨯+⨯+⨯=. .20.（本小题满分12分）解：（1）过点(0),(0,)c b ，的直线方程为0bx cy bc +-=， 则原点O 到直线的距离bcd a==，由12d c =，得2a b ==c a .(2)由(1)知，椭圆E 的方程为22244x y b +=. (1)依题意，圆心M (-2,1)是线段AB 的中点，且||AB =.易知，AB 不与x 轴垂直，设其直线方程为(2)1y k x =++，代入(1)得2222(14)8(21)4(21)40k x k k x k b +++++-=设1122(,y ),(,y ),A x B x 则221212228(21)4(21)4,.1414k k k b x x x x k k ++-+=-=-++ 由124x x +=-，得28(21)4,14k k k +-=-+解得12k =.从而21282x x b =-.于是12|||AB x x =-=由||AB23b =.故椭圆E 的方程为221123x y +=.21.（本小题满分12分）解：(1)2()()212,n n n F x f x x x x =-=+++- 则(1)10,n F n =->1211111112()1220,12222212n nn nF +⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++-=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭- 所以()n F x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内至少存在一个零点n x .又1()120n n F x x nx-'=++> ，故在1,12⎛⎫⎪⎝⎭内单调递增，所以()n F x 在1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭内有且仅有一个零点n x .因为n x 是()n F x 的零点，所以()=0n n F x ，即11201n n nx x +--=-，故111=+22n n n x x +.(2)解法一：由题设，()()11().2nnn x g x ++=设()()211()()()1,0.2nnn n n x h x f x g x x x x x ++=-=+++->当1x =时, ()()n n f x g x = 当1x ≠时, ()111()12.2n n n n x h x x nx --+'=++-若01x <<,()11111()22n n n n n n h x x x nx x ----+'>++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 若1x >,()11111()22n n n n n n h x xx nx x ----+'<++-()()11110.22n n n n n n x x --++=-= 所以()h x 在(0,1)上递增，在(1,)+∞上递减，所以()(1)0h x h <=，即()()n n f x g x <.综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x < 解法二 由题设，()()211()1,(),0.2nnn nn x f x x x x g x x ++=+++=>当1x =时, ()()n n f x g x =当1x ≠时, 用数学归纳法可以证明()()n n f x g x <. 当2n =时, 2221()()(1)0,2f xg x x -=--<所以22()()f x g x <成立. 假设(2)n k k =≥时，不等式成立，即()()k k f x g x <. 那么，当+1n k =时，()()111k+1k 11()()()2kk k k k k x f x f x xg x xx+++++=+<+=+()12112k k x k x k +++++=.又()()11k+121111()22k k k k x k x k kx k x g x ++++++-++-=令()1()11(x 0)k k k h x kx k x +=-++>，则()()11()(k 1)11(x 1)k k k k h x k x k k x k k x --'=+-+=+-所以当01x <<,()0kh x '<,()k h x 在(0,1)上递减； 当1x >,()0kh x '>,()k h x 在(1,)+∞上递增. 所以()(1)0k k h x h >=，从而()1k+1211()2k k x k x k g x +++++>故11()()k k f x g x ++<.即+1n k =，不等式也成立. 所以，对于一切2n ≥的整数，都有()()n n f x g x <.解法三:由已知，记等差数列为{}k a ,等比数列为{}k b ,k 1,2,, 1.n =+ 则111a b ==，11n n n a b x ++==，所以()11+1(2n)n k x a k k n-=-⋅≤≤,1(2),k k b x k n -=≤≤令()()111(x)1,0(2).n k k k k k x m a b x x k n n---=-=+->≤≤当1x =时, =k k a b ,所以()()n n f x g x =.当1x ≠时, ()()12211()(k 1)11n k k n k k k m x nx x k x x n----+-'=--=-- 而2k n ≤≤，所以10k ->，11n k -+≥.若01x <<, 11n k x -+<,()0k m x '<,当1x >,11n k x-+>,()0km x '>, 从而()k m x 在(0,1)上递减,()k m x 在(1,)+∞上递增.所以()(1)0k k m x m >=， 所以当01(2),k k x x a b k n >≠>≤≤且时,又11a b =,11n n a b ++=，故()()n n f x g x < 综上所述，当1x =时, ()()n n f x g x =；当1x ≠时()()n n f x g x <请在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目的题号后的方框涂黑． 22.（本小题满分10分）解：（I ）因为DE 为圆O 的直径，则BED EDB ∠+∠=90 ，又BC DE ⊥，所以CBD EDB ∠+∠ =90°，从而CBD BED ∠=∠ 又AB 切圆O 于点B ，得DAB BED ∠=∠，所以CBD DBA ∠=∠.（II ）由（I ）知BD 平分∠CBA ，则=3BA AD BC CD =,又BC AB =所以4AC =，所以=3AD .由切割线定理得2AB AD AE =⋅，即2=AB AE AD=6，故3DE AE AD ===，即圆O 的直径为3.23. （本小题满分10分）解：（1）由2,sin ρθρθ==得，从而有(2222+,+3x y x y ==所以.(2)设1(32P +又,则||PC == 故当0t =时，||PC 取最小值，此时P 点的直角坐标为(3,0)24. （本小题满分10分）解：（1）由||x a b +<，得b a x b a --<<-则2,4,b a b a --=⎧⎨-=⎩解得3a =-,1b =（2=≤4==1=，即1t =时等号成立，故max4=.。