2016届甘肃省兰州市高三实战考试数学(文)试题

2016届甘肃省兰州市高三实战考试数学（文）试题第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合U R =，集合{|2}A x x =<，{|lg(1)0}B x x =->，则()U A C B = （ ） A ．{|12}x x << B ．{|12}x x ≤< C ．{|2}x x < D ．{|1}x x ≤2.在复平面内，复数121iz i+=-（i 是虚数单位）对应的点在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限4.采用系统抽样方法从1000人抽取50人做问卷调查，将他们随机编号1,2，…，1000. 适当分组后在第一组采用简单随机抽样的方法抽到的号码为8. 若抽到的50人中，编号落入区间[1,400]的人做问卷A ，编号落入区间[401,750]的人做问卷B ，其余的人做问卷C ，则抽到的人中，做问卷C 的人数为（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．155.已知MOD 函数是一个求余函数，其格式为(,)MOD n m ，其结果为n 除以m 的余数，例如：(8,3)2MOD =，如图所示是一个算法的程序框图，若输出的结果为4，则输入n 的值为（ ）A ．10B ．12C ．14D ．166.在ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别是,,a b c ，若2,2b ac c a ==，则cos C =（ ）A B ． C ．34 D ．34- 7.一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个等腰直角三角形，则该几何体外接球的体积为（ ）A B C ．3π D ．38.已知直线10ax y +-=与圆22:(1)()1C x y a -++=相交于,A B ，且ABC ∆为等腰直角三角形，则实数a 的值为（ ） A ．17或-1 B ．-1 C ．1或-1 D ．19. 24sin 225α=，02πα<<)4πα-的值为（ ） A ．15- B ．15 C ．75- D ．7510.已知命题：①函数2(11)x y x =-≤≤的值域是1[,2]2； ②为了得到函数sin(2)3y x π=-的图象，只需把函数sin 2y x =图象上的所有点向右平移3π个单位长度；③当0n =或1n =时，幂函数n y x =的图象都是一条直线； ④已知函数2()|log |f x x =，若a b ≠，且()()f a f b =，则1ab =. 其中正确的命题是（ ）A ．①③B ．①④C ．①③④D ．①②③④11.双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>22(0)y px p =>的准线与双曲线C 的渐近线交于,A B 两点，OAB ∆（O为坐标原点）的面积为 ） A ．28y x = B ．24y x = C ．22y x = D．2y =12.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为''(),(0)0f x f >，对于任意的实数x 都有()0f x ≥，则'(1)(0)f f 的取值范围是（ ） A ．3[,)2+∞ B ．[2,)+∞ C ．5[,)2+∞ D ．[3,)+∞第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.已知m R ∈，向量(,1)a m = ，(2,6)b =- ，且a b ⊥ ，则||a b -=.14.已知变量,x y 满足：202300x y x y x -≤⎧⎪-+≥⎨⎪≥⎩，则2z x y =+的最大值为 .15.已知函数()cos()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕπ=+>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆（点G 在图象的最高点）是边长为2的等边三角形，则(1)f = .16. ,αβ是两平面，,AB CD 是两条线段，已知EF αβ= ，AB α⊥于B ，CD α⊥于D ，若增加一个条件，就能得出BD EF ⊥，现有下列条件：①AC β⊥；②AC 与,αβ所成的角相等；③AC 与CD 在β内的射影在同一条直线上；④//AC EF .其中能成为增加条件的序号是 .三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）在等差数列{}n a 中，273823,29a a a a +=-+=-. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列，求{}n b 的前n 项和n S . 18. （本小题满分12分）根据我国发布的《环境空气质量只收（AQI ）技术规定》：空气质量指数划分为0～50、51～100、101～150、151～200、201～300和大于300共六级，分别对应空气质量指数的六个级别，指数越大，级别越高，说明污染越严重，对人体健康的影响也越明显. 专家建议：当空气质量指数小于150时，可以户外运动；空气质量指数151及以上，不适合进行旅游等户外活动.以下是某市2015年12月中旬的空气质量指数情况：（1）求12月中旬市民不适合进行户外活动的概率；（2）一外地游客在12月中旬来此城市旅游，(ˇˍˇ) 想～连续游玩两天，求适合旅游的概率. 19. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形，PA PB =，O 为AB 的中点，OD PC ⊥. （1）求证：OC PD ⊥；（2）若PD 与平面PAB 所成的角为030，2AB =，求四棱锥的P ABCD -的体积.20. （本小题满分12分）已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，且经过点3(1,)2P ，过它的两个焦点分别为12,F F 分别作直线1l 与2l ，1l 交椭圆于,A B 两点，2l 交椭圆于,C D 两点，且12l l ⊥. （1）求椭圆的标准方程；（2）求四边形ACBD 的面积S 的取值范围. 21. （本小题满分12分） 已知函数1()ln 1,af x x ax a R x-=-+-∈. （1）当102a <<时，讨论()f x 的单调性； （2）设2()24g x x bx =-+，当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在2[1,2]x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，AB 切圆O 于点B ，直线AO 交圆O 于,D E 两点，BC DE ⊥，垂足为C . （1）证明：CBD DBA ∠=∠；（2）若3,AD DC BC ==O 的直径.23. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为3x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）. 在以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标中，圆C的方程为ρθ=. （1）写出直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）若点P的坐标为，圆C 与直线l 交于,A B 两点，求||||PA PB +的值. 24. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()|1||1|,f x x x a R =-+-∈.（1）当4a =时，求不等式()5f x ≥的解集；（2）若()4f x ≥对a R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.2016年兰州市高三实战考试 文科数学试题答案及评分参考一、选择题∴24b ac ≤，∴0c >∴(1)112(0)f a b c a c f b b +++==+≥+≥' 二、填空题13. 14. 4 15. 16. ①或③ 三、解答题17. 解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差是d ． ∵()382726a a a a d +-+==-， ∴d =－3．∴2712723a a a d +=+=-，解得11a =-．∴数列{}n a 的通项公式为 32n a n =-+． ……………6分 （Ⅱ）∵数列{}n n a b +是首项为1，公比为q 的等比数列， ∴1n n n a b q -+=，即132n n n b q --++=， ∴132n n b n q -=-+．所以21[147(32)](1)n n S n q q q -=++++-+++++ (31)21(1)2n n n q q q --=++++⋯+ 故当1q =时，()231322n n n n nS n -+=+=； ……………11分 当1q ≠时，()31121nn n n q S q--=+-． ……………12分 18. 解：（Ⅰ）12月中旬市民到户外的时间可能是11日、12日、13日、14日、15日、16日、17日、18日、19日、20日，共10种情况；12月中旬市民不适合进行户外活动的时间有13日、14日、19日、20日，共4种情况.设“12月中旬市民不适合进行户外活动”为事件A ，则42()105P A == 所以12月中旬市民不适合进行户外活动的概率为25…………6分 （Ⅱ）该游客在12月中旬来此城市旅游，想连续游玩两天，到此城市的时间可能为：{11,12}、{12,13}、{13,14}、{14,15}、{15,16}、{16,17}、{17,18}、{18,19}、{19,20}，共9种情况，连续两天都适合旅游的时间为：{11,12}、{15,16}、{16,17}、{17,18}，共4种情况. 设“适合旅游的时间”为事件B ，则4()9P B =所以游客在12月中旬来此城市旅游，想连续游玩两天，适合旅游的概率为49…12分 19. 解：（Ⅰ）证明：连结OP ,因PA PB =,O 为AB 的中点 故OP AB ⊥.∵侧面PAB ⊥底面ABCD ∴OP 平面ABCD∴OP OD ⊥，OP OC ⊥∵OD PC ⊥，∴OD ⊥平面OPC ，∴OD OC ⊥， …………4分 又∵OP OC ⊥，故OC ⊥平面OPD所以OC PD ⊥． …………6分 （Ⅱ）在矩形ABCD 中，由（Ⅰ）得OD OC ⊥，所以2AB AD =，故1AD =． ∵侧面PAB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为矩形∴DA ⊥平面PAB CB ⊥平面PAB DPA ∆≌CPB ∆ ∴DPA ∠为直线PD 与平面PAB 所成的角∴DPA ∠=30 ，CPB ∠=30 ，PA PB ==连接PO ，则PO ⊥AB ，所以PO ⊥平面ABCD ∴PO 为四棱锥的-P ABCD 的高在PAB ∆中，2AB =，PA PB ==∴PO =∴111233P ABCD ABCD V PO S -=⋅=⨯=………………12分 20. 解：（Ⅰ）由122c a c a =⇒=，所以22224,3a c b c ==， 将点3(1,)2P 的坐标代入椭圆方程得21c =，故所求椭圆方程为22143x y += ………………5分（Ⅱ）当1l 与2l 中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积为6S =， 若1l 与2l 的斜率都存在，设1l 的斜率为k ，则2l 的斜率为1k-． ∴直线1l 的方程为(+1y k x =），设11(,)A x y ，22(,)B x y ，联立22(1)143y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 整理得，2222(43)84120k x k x k +++-=4222=644(34)(412)1441440k k k k ∆-+-=+> ∴2122843k x x k +=-+， 212241243k x x k -⋅=+，∴12||x x -=∴212212(1)||||43k AB x x k +=-=+ ………………8分 同理可得得 2212(1)||34k CD k +=+， ∴2222172(1)||||2(43)(34)k S AB CD k k +=⋅=+⋅+，令2(0,)k t =∈+∞， ∴22272(1)6(122512)6(43)(34)122512t t t t S t t t t +++-==+⋅+++， 66288661249491225t t=-≥-=++ ∴288[,6)49S ∈ 综上可知，四边形ABCD 面积的取值范围是288[,6]49.………………12分21. 解：(I)因为11ln )(--+-=xaax x x f 所以222111)(x ax ax x a a x x f -+--=-+-=' ),0(+∞∈x令111,0)('-=ax f ，可得两根分别为因为2.10<<a ，所以0111>>-a, 当)1,0(∈x 时,此时()0<'x f ,函数)(x f 单调递减；)11,1(-∈a x 时,此时()0>'x f ,函数)(x f 单调递增；),11(+∞-∈ax 时,此时0)(<'x f ,函数)(x f 单调递减 ……………… 5分(II)因为)21,0(41∈=a ,由(I)知，,)2,0(311∉=-a ,当)1,0(∈x 时，,0)('<x f 函数)(x f 单调递减;当)2,1(∈x 时，0)(>'x f ,函数)(x f 单调递增,所以)(x f 在)2,0(上的最小值为21)1(-=f 由于“对任意)2,0(1∈x ,存在]2,1[2∈x ,使)()(21x g x f ≥等价于()x g 在]2,1[上的最小值不大于)(x f 在)2,0(上的最小值21-” (*) ………………8分又]2,1[,4)()(22∈-+-=x b b x x g ，所以① 当1<b 时，因为025)1()]([min >-==b g x g 此时与(*)矛盾 ②当21≤≤b 时，因为04)]([2min ≥-=b x g 同样与(*)矛盾③当2>b 时，因为b g x g 48)2()]([min -==，且当2>b 时，048<-b ,解不等式2148-≤-b ，可得817≥b 所以实数b 取值范围),817[+∞ ………………12分 22. 解： (I)因为DE 是圆O 的直径， 所以2BED EDB π∠+∠=又BC DE ⊥，所以2CBD EDB π∠+∠=AB 切圆O 于点B ， 得DBA BED ∠=∠所以CBD DBA ∠=∠ ………………5分 (II)由(I)知BD 平分CBA ∠， 则3BA ADBC CD==，又BC =AB =， 所以4AC ==， 所以3AD =，由切割线定理得2AB AD AE =⋅ ，所以26AB AE AD==故3DE AE AD =-=第页 11 即圆O 的直径为3. ………………10分.23. 解：（Ⅰ）由3x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩得直线l的普通方程为30x y +--=又由ρθ=得圆C的直角坐标方程为220x y +-=即22(5x y +-=. ………………5分 (II)把直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22(3))5-+=，即240t -+=由于(24420∆=-⨯=>，故可设12,t t 是上述方程的两实数根，所以12t t +=124t t ⋅=又直线l过点P ，A 、B 两点对应的参数分别为1t 、2t所以1212PA PB t t t t +=+=+= ………………10分24. 解：（I ）当4a =时，|1|||5x x a -+-≥等价为1255x x <⎧⎨-+≥⎩或1435x ≤<⎧⎨≥⎩或4255x x >⎧⎨-≥⎩ 解得0x ≤或5x ≥所以不等式()5f x ≥的解集为{|x 0x ≤或5x ≥} ………………5分 （II ）因为()|1||||(1)()||1|f x x x a x x a a =-+-≥---=-所以min ()|1|f x a =-要使()4f x ≥对a R ∈恒成立，则须|1|4a -≥即可所以3a ≤-或5a ≥即实数a 的取值范围是{|a 3a ≤-或5a ≥} ………………10分。