第二章 第八节 函数模型及其应用

第八节 函数模型及其应用 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征． 2.结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义． 3.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用． 突破点一 基本初等函数模型

[基本知识] 1．几类常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)

反比例函数模型 f(x)＝kx＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 2.三种基本初等函数模型的性质 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0)

在(0，＋∞)上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳

图象的变化 随x的增大，逐渐表现为与y轴平行 随x的增大，逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax[基本能力] 1．某物体一天内的温度T是时间t的函数T(t)＝t3－3t＋60，时间单位是h，温度单位为℃，t＝0时表示中午12：00，则上午8：00时的温度为________℃. 答案：8 2．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v米/秒和燃料的质量M千克、火箭(除

燃料外)的质量m千克的函数关系式是v＝2 000·ln1＋Mm.当燃料质量是火箭质量的________倍时，火箭的最大速度可达12千米/秒． 解析：当v＝12 000时，2 000·ln

1＋

M

m＝12 000，

∴ln1＋Mm＝6，∴Mm＝e6－1. 答案：e6－1 3．某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为________元/瓶．

解析：设销售价每瓶定为x元，利润为y元，则y＝(x－3)·



400＋4－x0.5×40＝80(x－3)(9

－x)＝－80(x－6)2＋720(x≥3)，所以x＝6时，y取得最大值． 答案：6 4．(2019·枣阳高级中学期中)拟定甲、乙两地通话m分钟的电话费(单位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)给出，其中m>0，[m]是不超过m的最大整数(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，则甲、乙两地通话6.5分钟的电话费为________元． 解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，则f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24. 答案：4.24

[全析考法] 考法一 二次函数模型 [例1] (2019·商丘二中检测) 如图，已知边长为8米的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE＝4米，CD＝6米．为了合理利用这块钢板，在五边形ABCDE内截取一个矩形BNPM，使点P在边DE上． (1)设MP＝x米，PN＝y米，将y表示成x的函数，并求该函数的解析式及定义域； (2)求矩形BNPM面积的最大值． [解] (1)如图，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4， 在△EDF中，EQPQ＝EFFD，所以x－48－y＝42，所以y＝－12x＋10，定义域为{x|4≤x≤8}．

(2)设矩形BNPM的面积为S，则S(x)＝xy＝x( 10－x2 )＝－12(x－10)2＋50， 所以S(x)是关于x的二次函数，且其图象开口向下，对称轴为直线x＝10， 所以当x∈[4,8]时，S(x)单调递增， 所以当x＝8时，矩形BNPM的面积取得最大值，最大值为48平方米． [方法技巧] 在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解．解决函数应用问题时，最后还要还原到实际问题． 考法二 指数函数、对数函数模型 [例2] (1)(2019·贵阳摸底)20世纪30年代，为了防范地震带来的灾害，里克特(C.F.Richter)制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M，其计算公式为M＝lg A－lg A0，其中A是被测地震的最大震幅，A0是“标准地震”的振幅，若“标准地震”的振幅为0.001，测震仪测得某地地震的震级为4级，则该地震的最大振幅为( ) A．6 B．8 C．10 D．12 (2)(2019·唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元． [解析] (1)由题意知，lg A－lg 0.001＝4，所以lg A＝1，即A＝10.故选C. (2)设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.化简得x－6×0.9x＝0.令f(x)＝x－6×0.9x， 易得f(x)为单调递增函数，又f(3)＝－1.374<0，f(4)＝0.063 4>0，所以函数f(x)在(3,4)上有一个零点． 故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元． [答案] (1)C (2)4 [方法技巧] 两种函数模型的应用技巧 (1)与指数函数、对数函数两类函数模型有关的实际问题，在求解时，要先学会合理选择模型，在两类模型中，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数函数模型． (2)在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般需要先通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数的图象求解最值问题，必要时可借助导数． [集训冲关] 1.[考法一]某商场销售A型商品．已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如下表所示： 销售单价/元 4 5 6 7 8 9 10

日均销售量/件 400 360 320 280 240 200 160

请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为( ) A．4 B．5.5 C．8.5 D．10 解析： 选C 设定价为x元/件时，日均销售利润为y元，则y＝(x－3)·[400－(x－4)·40]

＝－40x－1722＋1 210，故当x＝172＝8.5时，该商品的日均销售利润最大，故选C. 2.[考法二]在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[H＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位mol/L，记作[OH－])的乘积等于常数10－14.已知pH值的定义为pH＝－lg[H＋]，健康人体血液的pH值保持在7.35～7.45之间，那么健

康人体血液中的[H＋][OH－]可以为(参考数据：lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)( ) A.12 B.13 C.16 D.110 解析：选C ∵[H＋]·[OH－]＝10－14，∴[H＋][OH－]＝[H＋]2×1014，∵7.35<－lg[H＋]<7.45，∴

10－7.45<[H＋]<10－7.35，∴10－0.9<[H＋][OH－]＝1014·[H＋]2<10－0.7,10－0.9＝1100.9>110，lg(100.7)＝0.7>lg 3>lg 2，∴100.7>3>2,10－0.7<13<12，∴110<[H＋][OH－]<13.故选C. 突破点二 两类特殊函数的模型 [全析考法]

考法一 y＝x＋ax(a>0)型函数模型

[例1] (2019·盐城中学期末)某校为丰富师生课余活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S(平方米)的AMPN矩形健身场地．如图，点M在AC上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB＝60°，|AC|＝30米，|AM|＝x米，x∈[10,20]．设矩形AMPN健身场地

每平方米的造价为37kS元，再把矩形AMPN以外(阴影部分)铺上草坪，每平

方米的造价为12kS元(k为正常数)． (1)试用x表示S，并求S的取值范围； (2)求总造价T关于面积S的函数T＝f(S)； (3)如何选取|AM|，使总造价T最低(不要求求出最低造价)? [解] (1)在Rt△PMC中，显然|MC|＝30－x，∠PCM＝60°，|PM|＝|MC|·tan∠PCM＝3(30－x)， ∴矩形AMPN的面积S＝|PM|·|AM|＝3x(30－x)，x∈[10,20]，

由x(30－x)≤x＋30－x22＝225， 可知当x＝15时，S取得最大值为2253， 当x＝10或20时，S取得最小值为2003， ∴2003≤S≤2253. (2)矩形AMPN健身场地造价T1＝37kS， 又∵△ABC的面积为4503，

∴草坪造价T2＝12kS(4503－S)．

∴总造价T＝T1＋T2＝25kS＋2163S，2003≤S≤2253.