2022-2023学年皖豫名校联盟高二上学期开学考数学试题(解析版)

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晥豫名校联盟2023届高三上学期第二次联考数学试题(解析版)

故答案为：； .
15.已知，若，则 __________．
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，利用和差角的正余弦公式、二倍角的余弦公式求解作答.
【详解】由知，，由得：
，
即，
有，，
所以 .
故答案为：
16.已知点是长方体的外接球球心，为球面上一点，，若与所成的角为，则四棱锥的体积的最大值为__________．
【详解】由已知可得，定义域为R，且，所以A、B项错误；
又，所以为偶函数.
又，所以D项错误，C项正确.
故选：C.
5.“ ”是“ 在上恒成立”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C 充要条件D.既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知可求出“ 在上恒成立”的等价条件.原式可转化为在上恒成立，令，，则只需即可.根据基本不等式，可求得，所以“ 在上恒成立”的等价条件时，即可得出结果.
A. 的最小正周期为
B.
C. 图像的一个对称中心为
D.
【答案】BC
【解析】
【分析】由单调性得函数的半个周期不小于区间的长度，从而确定的可能取值，然后代入检验的单调性从而确定的值，得函数解析式，可判断D，然后求出周期判断A，利用诱导公式变形判断B，代入检验确定对称中心判断C．
【详解】由题意的周期，所以，又，则，
连接，为的中点，因为为的中点，所以，平面，平面，所以平面，又平面，，平面，所以平面平面，平面平面，平面平面，所以，记的中点为，因为为的中点，所以，故点的轨迹为线段，，C错误；

2022-2023学年浙江省名校协作体高二上学期开学考试数学试题(解析版)

2022-2023学年浙江省名校协作体高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．向量()1,2a =，()2,b λ=，且a b ⊥，则实数λ的值为（） A ．3- B ．1- C ．3 D ．7【答案】B【分析】利用向量垂直的坐标表示可得出关于实数λ的等式，即可解得λ的值. 【详解】由已知可得220a b λ⋅=+=，解得1λ=-. 故选：B. 2．12i12i+=- A ．43i 55-- B ．43i 55-+C ．34i 55--D ．34i 55-+【答案】D【详解】分析：根据复数除法法则化简复数，即得结果. 详解：212(12)341255i i ii ++-+==∴-选D.点睛：本题考查复数除法法则，考查学生基本运算能力.3．一个水平放置的平面图形，用斜二测画法画出了它的直观图，如图所示，此直观图恰好是一个边长为2的正方形，则原平面图形的面积为（）A 2B ．42C ．8D ．82【答案】D【分析】根据斜二测画法的过程将直观图还原回原图形，找到直观图中正方形的四个顶点在原图形中对应的点，用直线段连结后得到原四边形，再计算平行四边形的面积即可．【详解】还原直观图为原图形如图所示，因为2O A ''=，所以22O B ''=，还原回原图形后，2OA O A =''=，242OB O B =''=；所以原图形的面积为24282⨯=．故选：D4．设m ，n 为不重合的两条直线，α，β为不重合的两个平面，下列命题错误．．的是（） A ．若m α⊥且n α⊥，则m n ∥ B ．若m α∥且m β⊥，则αβ⊥ C ．若m α∥且n α∥，则m n ∥ D ．若αβ∥且m α⊥，则m β⊥【答案】C【分析】根据线面平行、面面平行的判定和性质，线面垂直、面面垂直的判定分析判断即可.【详解】对于A ，当m α⊥且n α⊥时，m n ∥，所以A 正确，对于B ，当m α∥且m β⊥时，过m 作平面γ，交α于直线n ，则m ∥n ，因为m β⊥，所以n β⊥，因为n ⊂α，所以αβ⊥，所以B 正确，对于C ，当m α∥且n α∥时，m ，n 可能平行，可能异面，可能相交，故C 错误，对于D ，当αβ∥且m α⊥时，则m β⊥，所以D 正确，故选：C5．函数1()cos f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的部分大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】首先判断函数的奇偶性，再利用特殊值及排除法判断即可.【详解】函数()1cos f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭定义域为{}|0x x ≠，则()()()11cos cos f x x x x x f x x x ⎛⎫⎛⎫-=-+-=-+=- ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭，即()1cos f x x x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭为奇函数，函数图象关于原点对称，故排除A ；又()11ππcos ππ0ππf ⎛⎫=+=--< ⎪⎝⎭，故排除C ；ππ6π()()cos 066π6f =+>，故排除B;故选：D6．在ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3AB BC CA AB ⋅=⋅，则A B -的最大值为（） A ．6πB ．4π C ．3π D ．512π 【答案】A【分析】根据数量积可知三角形中AB BD ⊥，作出图形，由平面几何知识得出角的最值即可.【详解】由3AB BC CA AB ⋅=⋅得，(3)0AB BC CA ⋅-=，令3CD AC = 则上式等价于AB BD ⊥，取AD 中点E ，连接BE ，如图，而CBE A B ∠=-，故只需求∠CBE 的最大值，设CE x =，则2,BE x =固定CE , 由平面几何知识，π6A B -≤ 故选：A7．如图，各棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C -中，点M 为棱1AA 的中点，点N 为棱1CC 的三等分点（靠近1C ），点P 为棱1BB 上的动点，则下列说法正确的是（）A ．三棱锥1B MNP -体积为定值 B ．三棱锥11A NPB -体积为定值C ．当1B P PB =时，三棱柱被截面MNP 分成的上下两部分体积相等D ．当12B P PB =时，三棱柱被截面MNP 分成的上下两部分体积相等【答案】D【分析】根据正三棱柱的性质结合三棱锥体积公式可判断AB 选项，再由正三棱柱的对称性判断CD.【详解】A 项，M 到平面1B NP 距离为定值，但1B NP S △不为定值，故1B MNP V -,不为定值，故错误；B 项， 1A 到平面1NB P 距离为定值，但1B NP S △ 不为定值，故11A NB P V -不为定值，故错误；C 、D 项：由于12CN C N =，由对称性知当12B P PB =时，三棱柱被截面MNP 分成的上下两部分体积相等，故C 错误，D 正确. 故选：D8．已知函数()sin cos f x x a x =+在区间ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，则实数a 的取值范围为（）A ．21a >B ．1a ≥C ．12a >D ．1a ≥-【答案】B【分析】根据函数的单调性知导数小于等于0恒成立，分离参数后由正切函数单调性求解.【详解】由题意，()cos sin 0f x x a x '=-≤在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，即cos 1sin tan x a x x ≥=在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，因为tan y x =在ππ,42⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增，所以tan 1y x =>，所以在ππ,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，101tan x <<，所以1a ≥. 故选：B二、多选题9．在平面直角坐标系中，角α以x 正半轴为始边，终边与单位圆（原点为圆心）交于点1,2n ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则符合条件的角α可以是（） A ．π3- B ．2π3C ．4π3D ．7π3【答案】BC【分析】根据题意知角α的余弦为12-，据此求解即可.【详解】对A ，当π3α=-时，π11cos 322⎛⎫-=≠- ⎪⎝⎭，故错误；对B ，当2π3α=时，2π1cos 32=-，故正确；对C ，当4π3α=时，4ππ1cos cos 332=-=-，故正确；对D ，当7π3α=时，7ππ1cos cos(2π+)332==，故错误. 故选：BC10．已知非零实数a ，b ，c 满足a b c <<，0a b c ++>，则下列不等式一定成立的是（） A ．ac bc < B ．2b ac >C ．11a c<D ．()()220c b a c ++>【答案】AD【分析】根据题意知0c >故可判断A ，取特殊值判断BC ，由不等式的性质判断D. 【详解】A 选项，由于,0a b c a b c <<++>，故0c >，所以ac bc <，正确； B 选项，取10,2,1c b a === 知不成立，错误； C 选项，取10,2,1c b a ===知不成立，错误;D 选项，由于2c a b b >-->-得20c b +>，而20a c a b c +>++>，故(2)(2)0c b a c ++>，正确. 故选：AD11．已知0x >时，2log x x >，则关于函数()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，下列说法正确的是（）A ．方程()f x x =的解只有一个B ．方程()()1f f x =的解有五个C ．方程()()()01f f x t t =<<的解有五个D ．方程()()()1f f x t t =>的解有五个【答案】ACD【分析】作出函数()f x 的图象，换元后从外到内研究，先求y t =与()y f x =图象交点的个数，转化为内层函数()t x 或()u x 的取值范围，据此再结合()f x 的图象即可判断()()f f x t =的根的个数.【详解】作出()22,0log ,0x x f x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩图象，如图，A 项，因为2log x x >，显然y x =与()f x 有唯一交点，故正确；B 项，令()f x t =，则()10f t t =⇒=或12t =或2()0t f x =⇒=或1()2f x =或()26f x =⇒个解，故错误；C 项，令()u f x =，则123()(0,1)0,(0,1),(1,2)f u t u u u =∈⇒<∈∈ 12312()0,()(0,1),()(1,2),x f x f x x x f ⇒<∈∈⇒∈∅有3个解，3x 有2个解，共有5个解，故正确；D 项，令()u f x =，则12()(1,)(0,1),(2,)f u t u u =∈+∞⇒∈∈+∞121()(0,1),()(2,)x f x f x ⇒∈∈+∞⇒有3个解，2x 有2个解，共有5个解，故正确.故选择：ACD【点睛】方法点睛：结合函数的图象，利用换元法，分别由外到内分析()()f f x ，根据方程的根的个数可转化为两函数图象交点的个数求解即可.12．如图三棱锥A BCD -的所有棱长均相等，M 、N 为棱AD 、BC 上（包括端点）的动点，直线MN 与平面ABC 、平面BCD 所成的角分别为α、β，则下列判断正确的是（）A ．sin sin αβ-正负与点M 、点N 位置都有关B ．sin sin αβ-正负由点M 确定，与点N 位置无关C ．sin sin αβ+23D ．sin sin αβ+6【答案】BCD【分析】取BC 中点1O ，连接1AO 、1DO ，过点M 在平面1ADO 内分别作01MM AO ⊥、11MM DO ⊥，垂足分别为点0M 、1M ，利用线面角的定义可判断AB 选项；求出MN 的最大值和最小值，结合线面角的定义可判断CD 选项. 【详解】解：取BC 中点1O ，连接1AO 、1DO ，过点M 在平面1ADO 内分别作01MM AO ⊥、11MM DO ⊥，垂足分别为点0M 、1M ，如下图所示：在三棱锥A BCD -中，ABC 、BCD △均为等边三角形，因为1O 为BC 的中点，则1AO BC ⊥，1DO BC ⊥， 111AO DO O =，1AO 、1DO ⊂平面1ADO ，BC ∴⊥平面1ADO ，0MM ⊂平面1ADO ，0MM BC ∴⊥， 01MM AO ⊥，11AO BC O =，1AO 、BC ⊂平面ABC ，0MM ∴⊥平面ABC ，所以，直线MN 与平面ABC 所成角为0MNM ∠，即0MNM α=∠，同理1MNM β=∠，所以，0sin MM MN α=，1sin MM MN β=，所以，01sin sin MM MM MNαβ--=，所以，sin sin αβ-的正负只与点M 的位置有关，A 错B 对；设1AB =，则1132AO DO ==，且01sin sin MM MM MN αβ++=，在1ADO △中，222111113cos cos 23O D AD O A O AD O DA O D AD +-∠=∠==⋅，所以，21116sin sin 1cos 3O AD O DA O DA ∠=∠=-∠=，则()016633MM MM AM DM +=+=，所以，6sin sin 3MNαβ+=，将正四面体ABCD 补成正方体AEDF GBHC -，如下图所示：连接GH ，在线段GH 上取点P ，使得GP AM =，因为//AG DH 且AG DH =，故四边形ADHG 为平行四边形，AG ⊥平面GBHC ，GH ⊂平面GBHC ，AG GH ∴⊥，所以，四边形ADHG 为矩形，且//AD GH ，因为//AM GP 且AM GP =，故四边形AGPM 为矩形，则//PM AG且PM AG == PN ⊂平面GBHC ，则AG PN ⊥，故MP PN ⊥，设BC GH O =，因为四边形GBHC 为正方形，则BC GH ⊥，所以，222PN OP ON =+，且OP 、10,2ON ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故22210,2PN OP ON ⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦，故MN ⎤⎥⎣⎦，则()max sin sin αβ+=()min sin sin αβ+=CD 都对. 故选：BCD.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h ，从而不必作出线面角，则线面角θ满足sin hlθ=（l 为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a 为直线l 的方向向量，n 为平面的法向量，则线面角θ的正弦值为sin cos ,a n θ=<>.三、填空题13．已知圆锥的高为1，轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积为______．【分析】根据圆锥的高为1，圆锥的轴截面为等腰直角三角形可求得底面半径和母线长，即可求得答案.【详解】圆锥的高为1，轴截面是等腰直角三角形. 则圆锥的底面直径为2，故该圆锥的侧面积为rl π= ，14．函数()120,1xy aa a -=+>≠的图象恒过定点A ，若点A 在直线()100mx ny mn +-=>上，则11m n+的最小值为_________．【答案】423+【分析】由指数函数的性质，可得()1,3A ，再根据基本不等式“1”的用法，即可求出结果.【详解】∵函数1(01)2x y a a a -+=>≠，的图象恒过定点()1,3A ，则31m n +=，∴()1111113313442423n m n m m n m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫+=+⨯=+⨯+=++≥+⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当3m n =，即336n -=，312-=时取等号. 故答案为：423+. 15．已知3a b =，log a bb a=，则3a b +=_________．【答案】63【分析】根据对数性质判断0,0a b >>，由已知利用对数运算可求得a,b,即得答案. 【详解】由题意可知0,0a b >>，由3a b =，log a b b a =可得3log 3,3a b a b a a==∴=，则33,3a a a =∴=，则33b =，故363a b +=, 故答案为: 6316．如图，正ABC 的外接圆O 半径为59，点M 是劣弧AB 上的一动点，则MA MB MO MC MA MB ⎛⎫⎪--⋅ ⎪⎝⎭的最小值为_________．【答案】12-0.5- 【分析】由圆的性质可知MC 是AMB ∠的角平分线，故可知MA MB MAMB+与MC →同向共线，再由平方可得MA MBMAMB +的模为1，原式可化为换求21||||2MC MC →→-的最小值.【详解】由圆的性质可知，60,60AMC ABC BMC BAC ∠∠∠∠==︒==︒，2112cos1201MA MB MA MB ⎛⎫ ⎪+=++︒= ⎪⎝⎭，MA MB MA MB ∴+是与MC →同向的单位向量，设MA MBe MAMB→+=，原式可化为2211()||||||22MO e MC MC MC MC MC →→→→→→→-⋅=-=-,由外接圆半径59R =可知，2sin 60AC BC AB R ===︒=10||9MC →≤≤,∴当||1MC →=时，21||||2MC MC →→-有最小值12-，即MA MB MO MC MA MB ⎛⎫ ⎪--⋅ ⎪⎝⎭的最小值为12-. 故答案为：12-四、解答题17．设a 是实数，复数112z i =+，()()2i 1i z a =+-（i 是虚数单位）． (1)2z 在复平面内对应的点在第一象限，求a 的取值范围； (2)求12z z +的最小值．【答案】(1)11a -<< 【分析】（1）化简复数2z ，由已知列不等式组，解出a 的取值范围；（2）求出12z z +，利用二次函数的性质可得最小值．【详解】(1)()()()2i 1i 11i z a a a =+-=++-，则1010a a +>⎧⎨->⎩，解得11a -<<；(2)112z i =+，则112i z =-，()1221i a a z z =+-++，12z z ∴+=，当32a =-时，12z z +．18．已知集合{}24M x x =-<≤，集合{}44N x x m =-<-<．(1)若MN R，求实数m 的取值范围；(2)是否存在实数m ，使得x M ∈R 是x N ∈R 的必要不充分条件？若存在，求实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】(1){|6m m ≤-或8}m ≥； (2)存在，[]0,2m ∈.【分析】（1）化简集合N ，求出其补集，由M N R列出不等式组求解即可；（2）根据必要不充分条件转化为MN ，列出不等式组求解即可.【详解】(1)由题意，{}|44N x m x m =-<<+，所以{|4N x x m =≤-R或}4x m ≥+，因为MN R，所以42m +≤-或44m -≥，解得6m ≤-或8m ≥，所以实数m 的取值范围是{|6m m ≤-或8}m ≥.(2)假设存在实数m ，使得x M ∈R 是x N ∈R 的必要不充分条件，则NM RR，即M N ，则4244m m -≤-⎧⎨+≥⎩，解得02m ≤≤，故存在实数[]0,2,m ∈使得x M ∈R 是x N ∈R 的必要不充分条件.19．已知函数()sin 2263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．(1)求()f x 的单调递增区间；(2)若()f x 在(]0,t 上存在最小值，求实数t 的取值范围．【答案】(1),(Z)36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦；(2)3t π≥. 【分析】（1）先根据差角的正弦公式及辅助角公式化简得()2sin 26f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由222262k x k πππππ-+≤+≤+计算得解. （2）由题知2,2666x t πππ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，()f x 在(]0,t 上存在最小值，只需5266t ππ+≥，继而得解. 【详解】(1)()sin 23sin 263f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin 2cos cos 2sin3sincos 23cossin 26633x x x x ππππ=-++3133sin 2cos 2cos 2sin 22222x x x x =-++ 3sin 2cos2x x =+2sin 26x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由222262k x k πππππ-+≤+≤+，得,36(Z)k k x k ππππ-+≤≤+∈，所以()f x 的单调递增区间为：,(Z)36k k k ππππ⎡⎤-++∈⎢⎥⎣⎦.(2)当(]0,x t ∈时，2,2666x t πππ⎛⎤+∈+ ⎥⎝⎦，因为()f x 在(]0,t 上存在最小值，所以5266t ππ+≥，所以3t π≥. 20．已知梯形木板ABCD ，//AB CD ，2AD BC ==米，33AB CD ==米，现要把木板沿线段MN 锯成面积相等的两部分，其中点M 在线段AB 上，N 在另外的三条边上．(1)当N 在线段BC 上，设BM m =米，BN n =米，求mn 的值； (2)求锯痕MN 的最小值．【答案】(1)4mn = (2)3米【分析】（1）过点C 、D 分别作CE AB ⊥、DF AB ⊥，垂足分别为点E 、F ，计算出CE 的长，可求得梯形ABCD 的面积，再利用三角形的面积公式可求得mn 的值；（2）对点N 所在位置进行分类讨论，结合基本不等式以及梯形的几何性质可求得MN 在不同情况下的最小值，综合可得结果.【详解】(1)解：过点C 、D 分别作CE AB ⊥、DF AB ⊥，垂足分别为点E 、F ，因为//AB CD ，2AD BC ==，33AB CD ==，故四边形ABCD 为等腰梯形，所以，DAF CBE ∠=∠，又因为π2AFD BEC ∠=∠=，则Rt Rt ADF BCE △≌△， AF BE ∴=，因为CE AB ⊥、DF AB ⊥，则//CE DF ，且//CD EF ，所以，四边形CDFE 为平行四边形，则1EF CD ==，12AB EFAF BE -∴===，所以，12BE BC =，则π6BCE ∠=，故π3CBE ∠=，223CE BC BE =-=，故()232ABCD AB CD CE S +⋅==梯形，12BMN ABCD S S =△梯形，即1πsin 323mn =，故4mn =.(2)解：当点N 在BC 上时，(]0,2n ∈，22222π2cos42443MN m n mn m n mn =+-=+-≥-=，当且仅当2m n ==时，等号成立，即2MN ≥；当点N 在CD 上（不包括端点C ）时，四边形BCNM 为梯形，因为12BCNM ABCD S S =梯形梯形，当且仅当N 、M 分别为CD 、AB 的中点时，则min 3MN CE ==，当且仅当N 、M 分别为CD 、AB 的中点时取最小值；当点N 在AD 上时，由题意可知12AMN ABCDS S =△梯形，由对称性可知，min 2MN =. 综上所述，MN 长度的最小值为3米.21．用文具盒中的两块直角三角板（45︒直角三角形和30直角三角形）绕着公共斜边翻折成30的二面角，如图Rt ABC 和Rt DBC ，AB AC =，22BC BD ==，90A ∠=︒，90D ∠=︒，将Rt ABC 翻折到A BC '，使二面角A BC D '--成30，E 为边CD 上的点，且2CE ED =．(1)证明：BC A E '⊥；(2)求直线A D '与平面A BC '所成角的正弦值．【答案】(1)证明见解析； 6【分析】（1）取BC 中点F ，连接,A F EF '，可证明BC ⊥平面A EF '，再由线面垂直的性质即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求线面角即可. 【详解】(1)取BC 中点F ，连接,A F EF '，如图，由已知A B AC ''=知A F BC '⊥；又2BC =，则233,1CD CE CF ===， 22212cos303CE CF C F E CF E ︒∴=+-⋅=，22214133CF CE EF ∴+=+==，EF CF ∴⊥，即EF BC ⊥，又EFA F F '=，BC ∴⊥平面A EF '，A E '⊂平面A EF '，BC A E '∴⊥.(2)以F 为坐标原点建系如图，则()()3113,1,0,0,1,0,0,22A B C D ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ '⎪⎝⎭⎝⎭，故(2,0,0)BC =-，31(1,)2A B '=-，11(,0,)22A D '=-，设平面A BC '的法向量n (x,y,z)→=，则20031002x n BC n A B x y z -=⎧⎧⋅=⎪⇒⎨⎨⋅=-=⎩⎪'⎩令1y =，则0,3x z ==-(0,1,3)n →=-，设直线A D '与平面A BC '所成角为α，则362sin |cos ,|22n A D α→'=<>==⨯所以直线A D '与平面A BC '622．已知函数()(),R f x x x a bx a b =⋅-+∈．(1)0a b 时，①求不等式()4f x <的解集；②若对任意的0x ≥，()()20f x m m f x +-<，求实数m 取值范围；(2)若存在实数a ，对任意的[]0,x m ∈都有()()14f x b x ≤-+恒成立，求实数m 的取值范围．【答案】(1)①(,2)-∞，②(,1)-∞-，(2)(0,1【分析】（1）①分0x ≥和0x <两种情况求解即可，②先判断函数的单调性，然后分0m =，0m >和0m <三种情况求解，（2）当0x =时，04≤恒成立，所以当(0,]x m ∈时，41x a x -≤-恒成立，则410m-≥，得04m <≤，由41x a x -≤-，得4411x a x x x-+≤≤+-，然后分02m <≤和24m <≤求出max 41x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭和min 41x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，使max 41x x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭min 41x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭可求得结果.【详解】(1)当0a b 时，()f x x x =⋅， ①由()4f x <，得4x x ⋅<，当0x ≥时，24x <，解得02x ≤<，当0x <时，4x x ⋅<恒成立，得0x <，综上2x <，所以不等式()4f x <的解集为(,2)-∞，②因为()22,0,0x x f x x x x x ⎧≥=⋅=⎨-<⎩，所以()f x 在R 上为增函数，当0m =时，()0f x <不恒成立，当0m >时，由()()20f x m m f x +-<，得()()2()f x m m f x f mx +<=，所以x m mx +<，所以(1)0m x m -->恒成立，所以100m m ->⎧⎨->⎩，此时m 不存在，当0m <时，由()()20f x m m f x +-<，得()()2()f x m m f x f mx +<=-，所以x m mx +<-，所以(1)0m x m ++<恒成立，所以100m m +<⎧⎨<⎩，得1m <-，综上，1m <-，即实数m 取值范围为(,1)-∞-， (2)由()()14f x b x ≤-+，得4x x a x -≤-，当0x =时，04≤恒成立，当(0,]x m ∈时，41x a x -≤-恒成立，所以410x-≥，所以410m-≥，得04m <≤，由41x a x -≤-，得4411x a x x -≤-≤-，得4411x a x x x-+≤≤+-，当02m <≤时，max 4411x m x m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，min 4411x m x m ⎛⎫+-=+- ⎪⎝⎭，所以4411m a m m m-+≤≤+-，所以存在a 满足以上不等式，则4411m m m m -+≤+-，得4m ≤，此时02m <≤，当24m <≤时，max 4411x m x m ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭，min 4412132x x ⎛⎫+-=+-= ⎪⎝⎭，所以413m a m-+≤≤有解，所以413m m-+≤，解得21m <≤综上可得01m <≤m的取值范围为(0,1【点睛】关键点点睛：此题考查不等式恒成立问题，第（2）问解题的关键是将问题转化为当(0,]x m ∈时，41x a x -≤-恒成立，则4411x a x x x-+≤≤+-，然后转化为求max 41x x ⎛⎫-+≤ ⎪⎝⎭min 41x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.。

安徽省A10联盟2024-2025学年高二上学期9月初开学摸底考数学(B卷)试题[含答案]

sin
π 4
sin
m
cos
π 4
cos
sin
π 4
sin
，
即
2 cos 2
2 2
sin
m
2 cos 2
2 2
sin
，
cos sin mcos sin ，故 1 msin m 1cos ，
tan m 1
则
m 1，
tan 2 由于
2 tan 1 tan2
4 3 ，故 2 tan2
B．当
M
在直线
A1C1
上运动时，
BM
与
AC
所成角的取值范围为
π 4
,
π 2
3π 8 3 C．使得直线 MA 与平面 ABCD 所成的角为 60°的点 M 的轨迹长度为 3
D．若 N 为棱 A1B1 的中点，当 M 在底面 ABCD 内运动，且 MN / / 平面 B1CD1 时， MN 的最
小值 6
a cos C 3a sin C b c 0 ． (1)求 A； (2)若 a 2 ，求ABC 周长的取值范围． 17．如图 1，矩形 ABCD 中， AB 2 ， BC 1， E 为边 CD 上的一点．现将ADE 沿着 AE 折起，使点 D 到达点 P 的位置．
(1)如图 2，若 E 为边 CD 的中点，点 F 为线段 PB 的中点，求证： CF // 平面 PAE ；
P( A B) P( A) P(B) P( AB) 1 1 1 3 2 2 4 4 ，D 不正确.
故选：C
5．C
【分析】根据余弦和差公式化简得到
tan
m m
1
1 ，由正切二倍角公式和

2022-2023学年安徽省皖南十校高二上学期期末数学(文)试题(解析版)

2022-2023学年安徽省皖南十校高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．若“24x ＝ ”是“x m ＝ ”的必要条件，则m 的一个值可以是（） A ．0 B ．2 C ．4 D ．16【答案】B【分析】根据命题的必要性可知x m ＝可推出24x ＝,即可求出m 的一个值【详解】解:由“2x ＝”和“2x ＝- ”能得出“24x ＝”，所以2满足条件,选项B 正确. 故选:B【点睛】本题考查根据命题的必要条件求参数,是基础题. 2．下列求导运算正确的是（） A ．ππsin cos 33'⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．()e e x x --'=C ．()21log ln 2x x'= D ．1(ln )x x '=【答案】D【分析】利用基本函数求导法则和复合函数求导法则计算出答案【详解】πsin 03''⎛⎫== ⎪⎝⎭⎝⎭，A 错误； ()()e e exxxx ---''=⋅-=-，B 错误；()21log ln 2x x '=，C 错误； 1(ln )x x'=，D 正确. 故选：D3．设1234,23z i z i =-=-+，则12z z -在复平面内对应的点位于 A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【答案】D【详解】试题分析：()()12342357z z i i i -=---+=-,对应的点为()5,7-,在第四象限【解析】复数运算及其相关概念4．方程()()2326log 230x y x y --+-=⎡⎤⎣⎦表示的图形经过点(0,1)A -，()2,3B ，()2,0C ， 57,34D ⎛⎫- ⎪⎝⎭中的（） A ．0个 B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C【解析】本题先根据20x y +>，排除A ，D 两点，再将()2,3B ，()2,0C 两点代入满足方程，即可判断选项.【详解】由方程20x y +>，可知A ，D 两点不符合题意；对于点()2,3B ，3282x y +==，则有()2log 230x y +-=；对于点()2,0C ，3260x y --=．故选：C ．【点睛】本题考查方程的图象过点的问题，是基础题.5．已知命题p ：对任意x ∈R ，总有210x x -+≥；q ：若22a b <，则a b <.则下列命题为真命题的是（） A ．p q ⌝∧ B ．p q ∧⌝ C ．p q ⌝∧⌝ D ．p q ∧【答案】B【分析】先判断命题p ，命题q 的真假，在判断选项的真假【详解】由22131()024x x x -+=-+>所以命题p 为真命题令0,1a b ==-，则22a b <，但是a b > 所以命题q 为假命题故p q ∧⌝为真故选：B.6．已知函数()y xf x '=的图象如图所示（其中()f x '是函数()f x 的导函数），下列说法正确的个数为（）①函数()f x 在区间()1,+∞内是增加的；②函数()f x 在=1x -处取得极大值； ③函数()f x 在12x =-处取得极大值；④函数()f x 在1x =处取得极小值. A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】C【分析】分析导数的符号变化，利用导数与函数单调性的关系可判断①；利用导数与函数极值点的关系可判断②③④.【详解】对于①，当1x >时，()0xf x '>，则0f x，故函数()f x 在区间()1,+∞内是增加的，①对；对于②，当1x <-时，()0xf x '<，则0fx，当10x -<<时，()0xf x '>，则()0f x '<，所以，函数()f x 在(),1-∞-上单调递增，在()1,0-上单调递减，故函数()f x 在=1x -处取得大值，②对；对于③，由②可知，函数()f x 在()1,0-上单调递减，所以，函数()f x 不在12x =-处取得极大值，③错；对于④，当01x <<时，()0xf x '<，则()0f x '<，则()f x 在()0,1上单调递减，又因为函数()f x 在()1,+∞上单调递增，所以，函数()f x 在1x =处取得极小值，④对. 故选：C.7．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i - C ．1i - D ．1+i【答案】D【解析】根据复数运算法则求解即可. 【详解】()(2i 2i 1i 1i 1i 1i 1i )()z -===+++-．故选D ．【点睛】本题考查复数的商的运算，渗透了数学运算素养．采取运算法则法，利用方程思想解题． 8．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则 A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=【答案】C【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ．【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-22(1)1,z i x y -=+-=则22(1)1y x +-=．故选C ．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题．9．为了激发同学们学习数学的热情，某学校开展利用数学知识设计logo 的比赛，其中某位同学利用函数图象设计了如图的logo ，那么该同学所选的函数最有可能是（）A ．()sin cos f x x x x =-B ．()sin cos f x x x x =-C ．()22cos f x x x =+D ．()22sin f x x x =+【答案】A【分析】将图形置于直角坐标系中，结合奇偶性和单调性即可得结果. 【详解】将图形置于直角坐标系中，如图所示：由图易知该函数为偶函数，对于选项B ，满足()()sin cos f x x x x f x -=-+=-，即()f x 为奇函数，故可排除；对于选项D ，满足()22sin f x x x -=-+，即()f x 为非奇非偶函数，故可排除；对于选项C ， ()22sin f x x x '=-，令()()22sin g x f x x x '==-，所以()22cos 0g x x '=-≥在()0,∞+恒成立，所以()22sin f x x x '=-在()0,∞+单调递增，所以()()00f x f ''>=在()0,∞+恒成立，即()22cos f x x x =+在()0,∞+单调递增，故排除；故选：A.10．已知F 1、F 2为双曲线C ：x²-y²=2的左、右焦点，点P 在C 上，|PF 1|=|2PF 2|，则cos ∠F 1PF 2=A ．14B ．35C ．34D ．45【答案】C【详解】由x 2-y 2=2知,a 2=2,b 2=2,c 2=a 2+b 2=4, ∴2又∵|PF 1|-|PF 2|=2a,|PF 1|=2|PF 2|, ∴|PF 1222又∵|F 1F 2|=2c=4,∴由余弦定理得cos ∠F 1PF 22224222424222+-⨯⨯34. 故选C.11．已知点P 是抛物线22y x =上的一个动点，则点P 到点()0,2A 的距离与点P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值为（） A 17 B ．2 C 5D ．92【答案】A【分析】利用抛物线定义得到PA PF +即为点P 到点()0,2A 的距离与点P 到该抛物线的准线的距离之和，连接FA ，最小值为AF ，求出答案.【详解】设抛物线的焦点坐标为1,02F ⎛⎫⎪⎝⎭，则点P 到该抛物线的准线的距离等于PF 的长，PA PF +即为点P 到点()0,2A 的距离与点P 到该抛物线的准线的距离之和，连接FA 交抛物线于点P ，此点即为点P 到点()0,2A 的距离与点P 到该抛物线的准线的距离之和的最小值，故最小值为AF ，其中11744AF =+.故选：A12．已知函数()ln f x ax x =-，若()1f x >在区间()1,+∞内恒成立，则实数a 的取值范围是. A ．(),1-∞ B ．(],1-∞C ．()1,+∞D ．[)1,+∞【答案】D【详解】∵()ln f x ax x =-，()1f x >在1（，）+∞内恒成立，∴1ln xa x+>在1（，）+∞内恒成立，设()1ln x g x x +=，∴1x ∈+∞（，）时，()2ln 0xg x x'=-<，即g x （）在1（，）+∞上是单调递减的，∴()()11g x g <=，∴1a ≥，即a 的取值范围是[1+∞，），故选D.点睛：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，由0f x，得函数单调递增，()0f x '<得函数单调递减；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为()a h x >或()a h x <恒成立，即()max a h x >或()min a h x <即可，利用导数知识结合单调性求出()max h x 或()min h x 即得解.二、填空题13．中心在坐标原点，焦点在x 轴上且焦距是8，离心率等于45的椭圆的标准方程为__________.【答案】225x ＋29y ＝1【分析】先求出c ，再根据离心率求出a ,最后利用,,a b c 的关系求出b2，即可求出椭圆的标准方程. 【详解】由焦点在x 轴上且焦距是8，可得4c =，由离心率等于45可得45c a =，解得5a =，所以22225169b a c =-=-=，所以，椭圆的标准方程为225x ＋29y ＝1.故答案为：225x ＋29y ＝1.14．函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________. 【答案】1y e=-【详解】()()(1)x x y f x xe f x x e ==⇒=+'，令()01f x x =⇒=-'，此时1(1)f e -=-函数x y xe =在其极值点处的切线方程为1y e=-【解析】：导数的几何意义.15．已知某生产厂家的年利润y （单位：万元）与年产量x （单位：万件）的函数关系式为31812343y x x =-+-，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为__________万件．【答案】9【详解】由31812343y x x =-+-得281y x '=-+，由2810x -+=得19x =-（舍去），29x =，当()09x ∈，时，0y '>，函数31812343y x x =-+-为增函数，当()9x ∈+∞，时，0y '<，函数31812343y x x =-+-为减函数，所以当9x =时，函数有最大值为3198192342523-⨯+⨯-=（万元），∴使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件.故答案为：9.16．从椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上一点P 向x 轴作垂线，垂足恰为左焦点F 1，A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB ∥OP (O 是坐标原点)，则该椭圆的离心率是________．【详解】由已知，点P (－c ，y )在椭圆上，且在第二象限，代入椭圆方程，得2P c b a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，.∵AB ∥OP ，∴kAB ＝kOP ，即－b a ＝－2ac b ，则b ＝c ，∴a 2＝b 2＋c 2＝2c 2，则c a点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a ，b ，c 的方程或不等式，再根据a ，b ，c 的关系消掉b 得到a ，c 的关系式，建立关于a ，b ，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.三、解答题17．已知函数3()395f x x x =-+. (1)求函数()f x 的单调区间；(2)求函数()f x 在[]3,3-上的最大值和最小值.【答案】(1)递增区间为(),1-∞-，()1,+∞；递减区间为()1,1- (2)最大值为59，最小值为-49【分析】（1）求定义域，求导，解不等式，得到单调区间；（2）求出极值和端点值，比较后确定最值.【详解】（1）()f x 的定义域为R ，且()()2()99911f x x x x '=-=+-，令()0f x '>得11x x <->或，令()0f x '<得11x -<<，所以递增区间为(),1-∞-，()1,+∞，递减区间()1,1-；（2）所以函数()f x 在[]3,3-上的最大值为59，最小值为 -49.18．已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为13.（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知双曲线E 过点(，且双曲线E 的焦点与椭圆C 的焦点重合，求双曲线E 的标准方程.【答案】（1）2213632x y += （2）2213x y -=【分析】（1）根据椭圆的性质得出方程即可；（2）设出双曲线的方程，根据椭圆的焦点坐标得出22114a b +=，将点(代入双曲线方程，联立方程求解即可得出双曲线的标准方程. 【详解】解：（1）由题意知，212a =，13c a = 所以6a =，2c =，所以22232b a c =-=又因为椭圆C 的焦点在x 轴上，所以椭圆C 的方程为2213632x y +=（2）双曲线E 的标准方程为()2211221110,0x y a b a b -=>>由题可知双曲线E 的焦点坐标为()2,0，()2,0-，所以22114a b +=又双曲线E过点(，所以22111231a b -=，解得213a =，211b = 所以双曲线E 的标准方程为2213x y -=【点睛】本题主要考查了由,,a b c 求椭圆的方程以及双曲线的方程，属于中档题. 19．已知函数()()21ln 2x f x x -=-.(1)求该函数在点()()1,1f 处的切线方程； (2)证明：当1x >时，()1f x x <-. 【答案】(1)10x y --= (2)证明见解析【分析】（1）求出()1f 、()1f '的值，利用导数的几何意义可得出所求切线的方程；（2）令()211ln 22g x x x =-+，其中1x >，利用导数分析函数()g x 在区间()1,+∞上的单调性可证得结论成立.【详解】（1）解：因为()()21ln 2x f x x -=-，该函数的定义域为()0,∞+，则()()11f x x x'=--，所以，()10f =，()11f '=，因此，曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程为1y x =-，即10x y --=. （2）解：令()()()2111ln 22g x f x x x x =--=-+，则()211x g x x x x-'=-=，当1x >时，()0g x '<，则函数()g x 在()1,+∞上为减函数，故当1x >时，()()10g x g <=，则()1f x x <-.20．已知抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，点A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，点A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴于点B ，线段OB 的中点为M .(1)求此抛物线的方程；(2)已知0(3)K ，，以点M 为圆心，MB 为半径作圆M ，试判断直线AK 与圆M 的位置关系并说明理由.【答案】(1)24y x = (2)相离，理由见解析【分析】（1）利用抛物线的定义，求出p ，即可求得抛物线的方程；（2）先求出直线AK 的方程，结合圆心(0,2)M 到直线AK 的距离，判断出d r ，从而可知直线AK 与圆M 相离.【详解】（1）因为A 是抛物线上横坐标为 4 、且位于 x 轴上方的点, A 到抛物线准线的距离等于 5 , 所以 452p+=, 所以 2p =, 所以抛物线方程为: 24y x =.（2）由题意得,0(3)K ，，点A 的坐标为()4,4，点B 的坐标为()0,4,圆M 的圆心是点(0,2), 半径为2 . 所以直线AK 的方程为 4(3)y x =-,即为 4120x y --=，圆心 (0,2)M 到直线AK 的距离 141716117d r =>+,故直线AK 与圆M 相离;21．设12,F F 分别是椭圆22221(0)x ya b a b+=>>的左、右焦点，M ，N 分别为其短轴的两个端点，且四边形12MF NF 的周长为4，设过1F 的直线l 与E 相交于A ，B 两点，且43AB =.(1)求22AF BF ⋅的最大值； (2)若直线l 的倾斜角为45，求2ABF △的面积. 【答案】(1)169 (2)23 【分析】（1）由椭圆的定义、AB 求出22AF BF +，再由基本不等式可得答案；（2）设l 的方程为y x c =+，代入椭圆方程，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由韦达定理代入12423=-=AB x x ，可求出2b 、c 以及l 的方程，再利用点到直线的距离公式可得2F 到l 的距离，由三角形面积公式可得答案.【详解】（1）四边形12MF NF 为菱形，周长为4，由椭圆的定义可知121244MF MF NF NF a +++==，∴a =1，43=AB ，21214AF BF AF BF +++=， 2283∴+=AF BF ， 222221629⎛⎫+∴⋅≤= ⎪⎝⎭AF BF AF BF ，当且仅当2243==AF BF 时，等号成立，即22AF BF ⋅的最大值为169；（2）直线l 的倾斜角为45，可设l 的方程为y x c =+，其中21c b =-由（1）知椭圆E 的方程为2221y x b +=，直线方程代入椭圆方程，化简可得222(1)2120b x cx b +++-=，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则12221c x x b -+=+，2122121b x x b-=+，1243=-=AB x ， 222282124911--⎛⎫∴=-⨯ ⎪++⎝⎭c b b b ， 212b∴=，c ∴=，l 的方程为y x =2F ∴到l的距离1==d ，21142112233∴=⨯=⨯⨯=ABF S AB . 22．已知函数()21ln 2f x x x =+. (1)求证：在区间()1,+∞上函数()f x 的图象在函数()323g x x =图象的下方； (2)请你构造函数()h x ，使函数()()()F x f x h x =+在定义域()0,∞+上，存在两个极值点，并证明你的结论.【答案】(1)证明见解析(2)()4h x x =-，证明见解析(答案不唯一)【分析】（1）原命题等价于证明：对任意的1x >，()()f x g x <，然后令()()()p x g x f x =-，1x >，利用导数分析函数()p x 的单调性，结合函数()p x 在()1,+∞上的单调性可证得结论成立；（2）取()4h x x =-，求出函数()F x 的解析式，利用导数分析函数()F x 的单调性与极值点，可得出结论.【详解】（1）证明：由题意可知，即证：对任意的1x >，()()f x g x <，令()()()3221ln 32p x g x f x x x x =-=--，其中1x >，所以，()()()232212112120x x x x x p x x x x x x -++--'=--==>，所以，函数()p x 在()1,+∞上单调递增，当1x >时，()()2111ln10326p x p >=--=>，所以，对任意的1x >，()()f x g x <.因此，在区间()1,+∞上函数()f x 的图象在函数()323g x x =图象的下方. （2）解：令()4h x x =-（注：()h x mx =-，m>2即可），则()()()21ln 42F x f x h x x x x =+=+-，其中0x >， ()21414x x F x x x x-+'=+-=，令()0F x '=，得12x =22x =所以，函数()F x 存在两个极值点，且分别为12x =22x =。

2022-2023学年安徽省六安市舒城中学高二上学期开学考试数学试题(解析版)

2022-2023学年安徽省六安市舒城中学高二上学期开学考试数学试题一、单选题1．已知全集为,R 集合211,{|680}2xA xB x x x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤=-+≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，则RAB =（）A ．{}0x x ≤B ．{}24x x ≤≤C ．{02x x ≤<或}4x >D ．{02x x <≤或}4x ≥【答案】C【解析】根据指数不等式求解出121x⎛⎫⎪⎭≤⎝的解集为集合A ，再求解出一元二次不等式的解集为集合B ，结合补集、交集的概念求解出R A B ⋂. 【详解】因为121x⎛⎫⎪⎭≤⎝，所以0x ≥，所以{}0A x x =≥，又因为2680x x -+≤，所以24x ≤≤，所以{}24B x x =≤≤，所以{R 2B x x =<或}4x >，所以RA B ={02x x ≤<或}4x >，故选：C.2．设i 为虚数单位，复数z 满足(1)2z i i -=，则||(z = )A ．1BC ．2D ．【答案】B【分析】利用复数代数形式的乘除运算，再由复数的模的计算公式求解即可．【详解】由(1)2z i i -=，得22(1)2211(1)(1)2i i i i z i i i i +-====-+--+，||z ∴=B ．【点睛】本题主要考查复数代数形式的乘除运算以及复数的模的计算． 3．函数()21sin 1e xf x x ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭图象的大致形状为（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【分析】利用奇偶性定义判断()f x 的奇偶性，结合(2)f 的符号，应用排除法确定答案.【详解】由22()(1)sin()(1)sin ()1e 1e x x f x x x f x --=-⋅-=-⋅=++且定义域为R ，所以()f x 为偶函数，排除C 、D ；22(2)(1)sin 21e f =-⋅+，且22101e -<+，sin 20>，即(2)0f <，排除B. 故选：A4．正四面体ABCD 中，E ，F 分别是AB 和CD 的中点，则异面直线CE 和AF 所成角的余弦值为（） A 5B ．13C ．23D 3【答案】C【分析】连接BF ，取BF 的中点O ，连接EO ，则可得EO ∥AF ，所以可得OEC ∠异面有线CE 和AF 所成角，然后利用余弦定理求解即可【详解】连接BF ，取BF 的中点O ，连接EO ，因为E 为AB 的中点，所以EO ∥AF ，所以OEC ∠为异面有线CE 和AF 所成角或其补角，设正四面体的棱长为2，则2AB BC AC CD AD BD ======，3AF CE BF ===所以3OE OB OF ===223714OC CF OF =+=+所以在OCE △中，由余弦定理得222373244cos 233232OE CE OC OEC OE CE +-+-∠==⋅⨯⨯,所以异面有线CE 和AF 所成角的余弦值为23，故选：C5．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A ．12B ．512 C ．14D ．16【答案】B【详解】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A ，即仅第一个实习生加工一等品(A 1)与仅第二个实习生加工一等品(A 2)两种情况，则P (A )=P (A 1)+P (A 2)=2 3×14+13×34=512故选B.6．设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【分析】本题为选择压轴题，考查函数平移伸缩，恒成立问题，需准确求出函数每一段解析式，分析出临界点位置，精准运算得到解决．【详解】(0,1]x ∈时，()=(1)f x x x -，(+1)= ()f x 2f x ，()2(1)f x f x ∴=-，即()f x 右移1个单位，图像变为原来的2倍．如图所示：当23x <≤时，()=4(2)=4(2)(3)f x f x x x ---，令84(2)(3)9x x --=-，整理得：2945560x x -+=，1278(37)(38)0,,33x x x x ∴--=∴==（舍），(,]x m ∴∈-∞时，8()9f x ≥-成立，即73m ≤，7,3m ⎛⎤∴∈-∞ ⎥⎝⎦，故选B ．【点睛】易错警示：图像解析式求解过程容易求反，画错示意图，画成向左侧扩大到2倍，导致题目出错，需加深对抽象函数表达式的理解，平时应加强这方面练习，提高抽象概括、数学建模能力．7．在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，S 为ABC 的面积，且()222S a b c =--，则222b c bc+的取值范围为（）A ．4359,1515⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．4322,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．592,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．)22,⎡+∞⎣【答案】C【分析】根据余弦定理和ABC 的面积公式，结合题意求出sin A 、cos A 的值，再用C 表示B ，求出sin sin b B c C =的取值范围，即可求出222b c bc+的取值范围．【详解】解：在ABC 中，由余弦定理得2222cos a b c bc A =+-，且ABC 的面积1sin 2S bc A =，由222()S a b c =--，得sin 22cos bc A bc bc A =-，化简得sin 2cos 2A A +=，又(0,)2A π∈，22sin cos 1A A +=，联立得25sin 4sin 0A A -=，解得4sin 5A =或sin 0A =（舍去），所以sin sin()sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5b B A C A C A C cC C C C ++====+，因为ABC 为锐角三角形，所以02C <<π，2B AC ππ=--<，所以22A C ππ-<<，所以13tan tan 2tan 4C A A π⎛⎫>-==⎪⎝⎭，所以140,tan 3C ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以35,53b c ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，设b t c =，其中35,53t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以221212222b c b c t t bc c b t t ⎛⎫ ⎪+=+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，由对勾函数单调性知12y t t =+在325⎛ ⎝⎭上单调递减，在253⎫⎪⎪⎝⎭上单调递增，当2t =时，2y =35t =时，4315y =；当53t =时，5915y =；所以5922,15y ⎡⎫⎪⎢⎣⎭∈，即222b c bc+的取值范围是5922,15⎡⎫⎪⎢⎣⎭．故选：C.【点睛】关键点点睛：由2222b c b cbc c b+=+，所以本题的解题关键点是根据已知及sin sin()sin cos cos sin 43sin sin sin 5tan 5b B A C A C A C c C C C C ++====+求出b c的取值范围. 8．已知910,1011,89m m m a b ==-=-，则（） A ．0a b >> B ．0a b >> C ．0b a >> D ．0b a >>【答案】A【分析】根据指对互化以及对数函数的单调性即可知9log 101m =>，再利用基本不等式，换底公式可得lg11m >，8log 9m >，然后由指数函数的单调性即可解出．【详解】由910m =可得9lg10log 101lg 9m ==>，而()222lg9lg11lg99lg9lg111lg1022+⎛⎫⎛⎫<=<= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg10lg11lg 9lg10>，即lg11m >，所以lg11101110110m a =->-=．又()222lg8lg10lg80lg8lg10lg922+⎛⎫⎛⎫<=< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以lg9lg10lg8lg9>，即8log 9m >，所以8log 989890m b =-<-=．综上，0a b >>．故选：A.二、多选题9．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，则截面的图形可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC【分析】根据正方体截面过外接球球心，讨论截面是否过顶点及所过顶点个数、是否与侧面平行，即可判断截面图形的元素.【详解】当过球心的截面不平行于侧面且不过顶点时，截面图形为A ；当过球心的截面平行于一对侧面时，截面图形为C ；当过球心的截面过其中4个顶点，则截面图形为圆中含一个长方形，B 正确，D 错误. 故选：ABC10．计算下列各式的值，其结果为1的有（） A ．()cos 4013tan10+B ．1132cos80sin80⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭ C ．()sin1403tan190-D ．4sin18sin54︒︒⋅【答案】ACD【分析】由商数关系、诱导公式、和差角公式及倍角公式依次化简求值即可求解. 【详解】对于A ，()3sin10cos103sin10cos 4013tan10cos 401cos 40cos10cos10⎛⎫++=+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭()2sin 30102sin 40cos 40cos 40cos10cos10+=⋅=()sin 9010sin80cos101cos10cos10cos10-====，A 正确；对于B ，()()2sin 80601131sin803cos802sin 2022cos80sin802sin80cos80sin160sin 18020-⎛⎫--=⋅=== ⎪ ⎪-⎝⎭，B 错误；对于C ，()sin1903cos190sin190sin1403tan190sin1403sin140cos190cos190⎛⎫--=-=⋅⎪⎝⎭()()2cos 301902cos 3601402sin140cos140sin140sin140cos190cos190cos190+-=⋅=⋅=()sin 19090sin 280cos1901cos190cos190cos190+====，C 正确；对于D ，()()s 47si o n 890290364c s72co 361sin544sin sin ︒︒︒︒︒︒︒︒=--=⋅⋅⋅()sin 180364cos72cos36sin362cos72sin 72sin144sin361sin36sin36sin36sin36sin36︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒︒-⋅⋅⋅======，D 正确. 故选：ACD.11．四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数．根据四名同学的统计结果，可以判断可能出现点数为6的是（） A ．平均数为3，中位数为2 B ．中位数为3，众数为2 C ．平均数为2，方差为2.4 D ．中位数为3，方差为2.8【答案】ABD【分析】根据题意举例判断即可【详解】解：对于A ，当掷骰子出现的结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点6，所以A 正确；对于B ，当掷骰子出现的结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点6，所以B 正确；对于C ，若平均数为2，且出现点数6，则方差221(62) 3.2 2.45S >-=>，所以当平均数为2，方差为2.4时，一定不会出现点数6，所以C 错误；对于D ，当掷骰子出现的结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，则平均数为1(12336)35x =++++=，方差为2222221[(13)(23)(33)(33)(63)] 2.85S =-+-+-+-+-=，所以可以出现点6，所以D 正确，故选：ABD12．已知函数()()()sin 0,f x x ωϕωϕ=+>∈R 在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭有下列结论正确的有( ) A ．203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭B ．若()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π； C ．关于x 的方程()1f x =在区间[0,2)π上最多有4个不相等的实数解 D ．若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦ 【答案】ABD【分析】A ：()f x 在73,124ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，73212423πππ+=，故203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭； B ：求出区间75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭右端点56x π=关于23x π=的对称点2x π=，由题可知()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，据此可求出f (x )周期的范围，从而求出ω的范围.再根据()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭知512x π=是f (x )的对称轴，根据对称轴和对称中心距离为周期的()214k k +∈Z 倍即可求出ω，从而求出其周期； C ：根据ω的范围求出周期的范围，根据正弦型函数一个完整周期只有一个最高点即可求解；D ：由203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭知，23π是函数()f x 在区间23π⎡⎢⎣，136π⎫⎪⎭上的第1个零点，而()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则13252632T T ππ<-，据此即可求ω的范围. 【详解】A ，∵7375,,124126ππππ⎛⎫⎛⎫⊆ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴()f x 在73,124ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，又73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，73212423πππ+=，∴203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，故A 正确； B ，区间75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭右端点56x π=关于23x π=的对称点为2x π=，∵203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，f (x )在75,126ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调，∴根据正弦函数图像特征可知()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，∴512(62322T T ππππω-==⋅为()f x 的最小正周期)，即ω3，又0>ω，∴03ω<.若()56f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则()f x 的图象关于直线512x π=对称，结合203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭，得()252121312442k k T k ππππω++-===⋅∈Z ，即()42k k ω=+∈Z ，故k ＝0，2,T ωπ==，故B 正确. C ，由03ω<，得23Tπ，∴()f x 在区间[)0,2π上最多有3个完整的周期，而()1f x =在1个完整周期内只有1个解，故关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有3个不相等的实数解，故C 错误.D ，由203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭知，23π是函数()f x 在区间23π⎡⎢⎣，136π⎫⎪⎭上的第1个零点，而()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则13252632T T ππ<-，结合2T πω=，得81033ω<，又03ω<，∴ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦，故D 正确. 故选：ABD.【点睛】本题综合考察()()()sin 0f x x ωϕω=+>的周期、单调性、对称中心、对称轴等特性，解题的关键是熟练掌握正弦型函数对称轴，对称中心的位置特征，掌握正弦型函数单调性与周期的关系.常用结论：(1)单调区间的长度最长为半个周期；(2)一个完整周期内只有一个最值点；(3)对称轴和对称中心之间的距离为周期的()214k k +∈Z 倍.三、填空题13．已知向量a ，b ，其中3a =，2b =，且()a b a +⊥，则向量a 和b 的夹角是__________．【答案】56π 【分析】利用()a b a +⊥得()0a b a +⋅=，可求出3cos ,2a b =-，从而求出向量a 和b的夹角.【详解】∵()a b a +⊥，∴()2332cos ,0a b a a a b a b +⋅=+⋅=+⨯=，解得:3cos ,2a b =-， [],0,a b π∈所以夹角为56π．故答案为：56π 【点睛】本题主要考查了向量垂直数量积为0，向量数量积的定义，属于基础题.14．函数()πcos 36f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[]0π，的零点个数为________．【答案】3 【分析】求出36x π+的范围，再由函数值为零，得到36x π+的取值可得零点个数．【详解】详解：0x π≤≤193666x πππ∴≤+≤由题可知3336262x x ，ππππ+=+=，或5362x ππ+=解得4x ,99ππ=,或79π故有3个零点．【点睛】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题．15．在ABC 中，D 是AB 的中点，BC =AC =cos ACB ∠=，则CD =________【分析】由1()2CD CA CB =+，应用向量数量积的运算律求CD 的长度.【详解】由题意，1()2CD CA CB =+，则2221(2)4CD CA CA CB CB =+⋅+，所以21(102418)134CD =⨯++=，则||13CD =16．已知在三棱锥P ABC -中， 90,4,30BAC AB AC APC ︒︒∠===∠=，平面PAC ⊥平面ABC ，则三棱锥P ABC -外接球的表面积为__________．【答案】80π【分析】根据已知条件确定,ABC PAC 的外接圆圆心12,O O ，及三棱锥P ABC -的外接球球心O 、AC 边中点H 的位置关系--四边形12OO HO 为矩形，进而应用正弦定理、侧面外接圆半径与外接球半径、点面距之间的关系，求外接球半径，即可求球的表面积. 【详解】如图12,O O 分别为,ABC PAC 的外心.由90BAC ∠=︒，即1O 为BC 中点，取AC 的中点,H 则1O H AC ⊥，又面PAC ⊥面ABC ，面PAC 面ABC AC =，1O H ⊂面ABC ，即1O H ⊥面,PAC 设球心为O ，则2OO ⊥平面,PAC∴12//O H OO ，又2O H AC ⊥，2O H ⊂面PAC ，面PAC 面ABC AC =，面PAC ⊥面ABC ，∴2O H ⊥平面ABC ，又1OO ⊥平面ABC . ∴12//OO O H ，即四边形12OO HO 为矩形. 由正弦定理知：228sin ACO P APC==∠，即24O P =，∴若外接球半径为R ，则2222216420R O P OO =+=+=，∴2480S R ππ==. 故答案为：80π.【点睛】关键点点睛：利用面面垂直、等腰直角三角形的性质，应用三棱锥侧面外接圆半径、外接球半径、点面距之间的几何关系，结合正弦定理求外接球半径，进而求表面积.四、解答题17．已知函数()23cos sin 33f x x x x π⎛⎫=⋅+ ⎪⎝⎭x R ∈．（Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在,44ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值和最大值．【答案】（Ⅰ）π;（Ⅱ）最小值12-和最大值14．【详解】试题分析：（1）由已知利用两角和与差的三角函数公式及倍角公式将()f x 的解析式化为一个复合角的三角函数式，再利用正弦型函数()sin y A x B ωϕ=++的最小正周期计算公式2T πω=，即可求得函数()f x 的最小正周期；（2）由（1）得函数，分析它在闭区间上的单调性，可知函数()f x 在区间上是减函数，在区间上是增函数，由此即可求得函数()f x 在闭区间上的最大值和最小值．也可以利用整体思想求函数()f x 在闭区间上的最大值和最小值．由已知，有()f x 的最小正周期．（2）∵()f x 在区间上是减函数，在区间上是增函数，，，∴函数()f x 在闭区间上的最大值为，最小值为．【解析】1．两角和与差的正弦公式、二倍角的正弦与余弦公式；2．三角函数的周期性和单调性．18．某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有m 人，按年龄分成5组，其中第一组：[)20,25，第二组：[)25,30，第三组：[)30,35，第四组：[)35,40，第五组：[]40,45，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.（1）根据频率分布直方图，估计这m 人的平均年龄和第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者. （i ）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；（ii ）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和52，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这m 人中35~45岁所有人的年龄的方差.【答案】（1）32.25岁；37.5；（2）（i ）35；（ii ）10.【分析】(1) 根据频率分布直方图，利用组中值乘以相应的频率，即可的这m 人的平均年龄；设第80百分位数为a ，计算从左到右频率和为0.8或计算从右到左频率和为0.2，即可求出a ；(2)（i ）由题意可得，第四组应抽取4人，记为A ，B ，C ，甲，第五组抽取2人，记为D ，乙，根据古典概型计算方法求解即可；（ii ）根据方差的计算原理计算合并后方差即可. 【详解】解：（1）设这m 人的平均年龄为x ，则22.50.0527.50.3532.50.337.50.242.50.132.25x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=（岁）. 设第80百分位数为a ，方法一：由50.02(40)0.040.2a ⨯+-⨯=，解得37.5a =. 方法二：由0.050.350.3(35)0.040.8a +++-⨯=，解得37.5a =.（2）（i ）由题意得，第四组应抽取4人，记为A ，B ，C ，甲，第五组抽取2人，记为D ，乙，对应的样本空间为：{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),A B A C A A A D B C B B B D C C Ω=甲乙甲乙甲乙 (,),(,),(,),(,)}C D D D 甲乙甲乙，共15个样本点. 设事件M =“甲、乙两人至少一人被选上”，则{(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,),(,)}M A A B B C C D D =甲乙甲乙甲乙甲乙甲乙，共有9个样本点. 所以，()3()()5n M P M n ==Ω. （ii ）设第四组、第五组的宣传使者的年龄的平均数分别为4x ，5x ，方差分别为24s ，25s ，则437x =，543x =，2452s =，251s =，设第四组和第五组所有宣传使者的年龄平均数为z ，方差为2s . 则4542396x x z +==， ()(){}222224545142106s s x z s x z ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，因此，第四组和第五组所有宣传使者的年龄方差为10，据此，可估计这m 人中年龄在35~45岁的所有人的年龄方差约为10.19．如图，在正三棱柱111-ABC A B C 中，D 为AB 的中点，若2AB =，13AA =.（1）证明：1//BC 平面1A CD ；（2）求二面角11A BC C --的余弦值. 【答案】（1）证明见解析；（2）3【分析】(1) 连接1AC ，交1A C 于O ，连接OD ，结合三角形的中位线定理可证明1//OD BC ，由线面平行的判定定理可证1//BC 平面1A CD .(2) 取11B C 中点M ，过M 作1MN BC ⊥于N ，连接1NA ，通过线面、面面垂直的性质可得1A NM ∠为二面角111A BC B --的平面角，即可求出1tan A NM ∠，由同角三角函数的基本关系可求出1cos A NM ∠，即可求出二面角11A BC C --的余弦值. 【详解】解：（1）证明：连接1AC ，交1A C 于O ，连接OD ，因为四边形11A ACC 为矩形，所以O 为1A C 中点，又因为D 为AB 的中点，所以1//OD BC ，又因为OD ⊂平面1A CD ，1BC ⊄平面1A CD ，所以1//BC 平面1A CD .（2）解：取11B C 中点M ，过M 作1MN BC ⊥于N ，连接1NA ，因为111-ABC A B C 为正三棱柱，所以111A M B C ⊥，平面111A B C ⊥平面1A CD ，所以1A M ⊥平面11BB C C ，于是1A N 在平面11BB C C 内的射影为MN ，所以11BC A N ⊥，所以1A NM ∠为二面角111A BC B --的平面角，所以11222sin 6013tan 1233223A M A NM MN ⋅︒∠===⨯⨯+，12113cos 41tan A NM A NM∠==+∠，因为二面角11A BC C --与二面角111A BC B --互补，所以二面角11A BC C --的余弦值为34-.【点睛】关键点睛:本题第一问的关键是做辅助线，在平面1A CD 中构造与1BC 的线段；第二问的关键是找出二面角111A BC B --的平面角.20．已知ABC 中，A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，sin sin tan cos cos B CA B C+=+.（1）求角A ；（2）若a =2b c +的取值范围.【答案】（1）3A π=；（2）.【解析】（1）由切化弦思想结合两角差的正弦公式得出()()sin sin A B C A -=-，求出A B -和C A -的取值范围，可得出A B C A -=-或()()A B C A π-+-=±（不成立），结合三角形的内角和定理可得出角A 的值；（2）由正弦定理结合三角恒等变换思想得出()2b c B ϕ+=+，其中ϕ为锐角，且sinϕ=，cos ϕ求得角B 的取值范围，结合正弦函数的基本性质可求得2b c+的取值范围.【详解】（1）由sin sin tan cos cos B C A B C +=+得sin sin sin cos cos cos A B CA B C+=+，即sin cos sin cos cos sin cos sin A B A C A B A C +=+，即sin cos cos sin sin cos cos sin A B A B C A C A -=-，所以()()sin sin A B C A -=-，0A π<<，0B π<<，A B ππ∴-<-<，同理C A ππ-<-<，所以，A B C A -=-或()()A B C A π-+-=±（不成立），所以2B C A +=，又B C A π++=，则3A π=；（2）由正弦定理得2sin sin sin b c aB C A ===，所以2sin b B =，2sin c C =. 因为3A π=，所以23C B π=-，所以()()222sin 2sin 22sin 3b c B B B B B πϕ⎡⎤⎛⎫+=+-==+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，其中ϕ为锐角，且sinϕ=，cos ϕ因为203B π<<，所以23B πϕϕϕ<+<+，易知sin y x =在,2πϕ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在2,23ππϕ⎛⎫+ ⎪⎝⎭上单调递减，所以2B πϕ+=时，2b c +取得最大值又21sin sin sin 32πϕϕϕϕ⎛⎫+=-<= ⎪⎝⎭，所以()2b c B ϕ+=+>故2b c +的取值范围为.【点睛】本题考查三角形中角的计算，同时也考查了三角形中与边长相关的代数式的取值范围的计算，涉及正弦定理的应用，考查计算能力，属于中等题.21．已知函数2()21(0)g x ax ax b a =-++>在区间[2，3]上有最大值4和最小值1，设()()g x f x x=. （1）求a ，b 的值（2）若不等式()22log 2log 0f x k x -⋅≥在[]2,4x ∈上有解，求实数k 的取值范围；（3）若()2213021xx f k k -+⋅-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围. 【答案】（1）1,0a b ==；（2）1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦；（3）(0,)+∞．【分析】（1）判断函数在[2,3]上的单调性，得出最大值和最小值，由此可求得,a b ；（2）设2log [1,2]t x =∈，利用分离参数法，题中问题为22121211k t t t ⎛⎫≤+-=- ⎪⎝⎭在[1,2]t ∈上有解，求出2121t t+-的最大值即可得．（3）把方程化简，并设21x t =-，方程化为2(32)(21)0t k t k -+++=，结合21xt =-图象，方程2(32)(21)0t k t k -+++=有两个实数解12,t t ，则有101t <<，21t >，或101t <<，21t =，利用二次方程根的分布知识求得k 的范围．【详解】（1）由题意2()(1)1g x a x b a =-++-，又0a >，∴()g x 在[2,3]上单调递增，∴(2)4411(3)9614g a a b g a a b =-++=⎧⎨=-++=⎩，解得10a b =⎧⎨=⎩．（2）由（1）2()21g x x x =-+，()1()2g x f x x x x==+-， [2,4]x ∈时，2log [1,2]x ∈，令2log t x =，则()20f t kt -≥在[1,2]上有解，1()2220f t kt t kt t -=+--≥，∵[1,2]t ∈，∴22121211k t t t ⎛⎫≤+-=- ⎪⎝⎭， [1,2]t ∈，则11,12t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，∴211t ⎛⎫- ⎪⎝⎭的最大值为14， ∴124k ≤，即18k ≤．∴k 的取值范围是1,8⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦．（3）原方程化为221(32)21(31)0x x k k --+-++=，令21xt =-，则(0,)t ∈+∞，2(32)(31)0t k t k -+++=有两个实数解12,t t ，作出函数21xt =-的图象，如图原方程有三个不同的实数解，则101t <<，21t >，或101t <<，21t =，记2()(32)(31)0h t t k t k =-+++=，则210(1)0k h k +>⎧⎨=-<⎩，解得0k >，或210(1)032012k h k k ⎧⎪+>⎪=-=⎨⎪+⎪<<⎩，无解．综上k 的取值范围是(0,)+∞．【点睛】本题考查函数的单调性，考查不等式有解，考查根据函数零点求参数范围问题，解题关键是掌握利用零点存在定理构建不等式求解，分离参数后转化为函数函数的最值，涉及到几个零点时，还要老考虑函数图象与直线的交点个数，本题考查了分析问题与解决问题的能力，考查运算求解能力．22．如图，在四棱锥中P ABCD -，PA ⊥平面ABCD ，//AD BC ， AD CD ⊥，且22AD CD ==42BC =2PA =（1）求证：AB PC ⊥；（2）在线段PD 上，是否存在一点M ，使得二面角M AC D --的大小为45︒，如果存在，求BM 与平面MAC 所成的角的正弦值，如果不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）存在，269. 【分析】（1）根据ABC 是等腰直角三角形，可得AB AC ⊥，依据PA ⊥平面ABCD ，可得PA AB ⊥，最后根据线面垂直的判定定理可得AB ⊥平面P AC ，最后可得结果. （2）先找到二面角M AC D --的平面角，利用等体积法可求得点B 到平面MAC 的距离是h ，最后计算即可.【详解】（1）如图，由已知得四边形ABCD 是直角梯形，由已知22AD CD ==42BC =可得ABC 是等腰直角三角形，即AB AC ⊥，又PA ⊥平面ABCD ，则PA AB ⊥，又,,⊥=⊂PA AC A PA AC 平面P AC 所以AB ⊥平面P AC ，又PC ⊂平面P AC 所以AB PC ⊥．（2）如图假设存在符合条件的点M ，过点M 作MN AD ⊥于N ，则//MN PA ，MN ∴⊥平面ABCD ，MN AC ∴⊥．过点M 作MG AC ⊥于G ，连接NG ，则AC ⊥平面MNG ，AC NG ∴⊥，即MGN ∠是二面角M AC D --的平面角．若45︒∠=MGN ，则NG MN =，又22AN NG MN ==，设MN x = ，则2=AN x ，2tan 2∠==PA MDN AD 所以2tan 1222∠===⇒=-MN x MDN x ND x 1MN ∴=，即M 是线段PD 的中点．存在点M 使得二面角M AC D --的大小为45︒．在三棱锥M ABC -中，11184413323△-=⋅=⨯⨯⨯⨯=M ABC ABC V S MN ，设点B 到平面MAC 的距离是h ，则13B MAC MACV Sh -=⋅，22MG MN ==，11422222△∴=⋅=⨯⨯=MAC S AC MG ， 182233h ⨯=，解得22h = 在ABN 中，4AB =，2AN 135︒∠=BAN ，2162242262BN ∴=++⨯⨯⨯2233BM BN MN ∴=+BM ∴与平面MAC 所成角的正弦值为26h BM 【点睛】本题考查线面垂直的判定与性质，空间角与空间距离的计算，属中档题．。

A10联盟2024-2025学年高二上学期9月初开学摸底考数学(B卷)试题(原卷版)

A10联盟2023级高二上学期9月初开学摸底考数学（北师大版）试题命题单位：淮南二中数学教研组编审单位：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.请在答题卡上作答.第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的．1. 已知集合{}3,2,0,1,2A =−−，{}260B x xx =∈−−≥N ，则()NA B = （）A. {}3,2,0,1,2−−B. {}1,0,1,2− C {}0,1,2D. {}1,22. 设,a b ∈R ，则“10b a>>”是“1a b <”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件3. 已知某学校参加学科节数学竞赛决赛的8人的成绩（单位：分）为：72，78，80，81，83，86，88，90，则这组数据的第75百分位数是（） A. 86B. 87C. 88D. 904. 一个质地均匀的正四面体木块的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体木块两次，并记录每次正四面体木块朝下的面上的数字，记事件A 为“第一次向下的数字为2或3”，事件B 为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（） A. 1()4P A =B. 事件A 与事件B 互斥C. 事件A 与事件B 相互独立D. 1()2P A B ∪=5. 已知4tan 23θ=，π0,4θ∈ ，若ππcos cos 44m θθ −=+，则实数m 值为（） A. 3−B. 2−C. 3D. 26. 已知平面向量1e 和2e 满足2122e e == ，2e 在1e 上的投影向量为1e −，则1e 在2e 上的投影向量为（）.的A. 214e −B. 12−C. 212e −D. 2e −7. 已知函数()lg ,01016,102x x f x x x <≤= −+>，若a ，b ，c ，d 互不相等，且()()()()f a f b f c f d ===，则+++a b c d 的取值范围为（）A. [)26,+∞B. ()14,+∞C. 34126,10D. 22126,108. 在ABC 中，M 为BC 上一点且满足2BM MC =，120AMC ∠=°，2AM =，若3ABM S =△，则ABC 的外接圆半径为（）A.B.C. 1D. 3二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分．9. 瑞士数学家欧拉于1748年提出了著名的欧拉公式：i e cos isin x x x =+其中e 是自然对数的底数，i 是虚数单位，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论中占有非常重要的地位，被誉为“”．依据欧拉公式，下列选项正确的是（） A.πi 2e 的虚部为1B. 复数πi4e在复平面内对应的点位于第二象限C. i i e e sin 2ix xx −−=D. 若πi 31e z =，i 2e z θ=在复平面内分别对应点1Z ，2Z ，则12 OZ Z 面积的最大值为110. 把函数()()π14sin cos 0π6f x x x ωωω=+⋅+<<的图象向右平移π12个单位长度，得到的函数是一个奇函数，则下列说法正确的是（） A. ()f x 的最小正周期为2π B. ()π3f x f x−=C. 当π0,3x ∈时，()f x 的值域为[]1,2D. 若方程()1f x =在区间()π,m −上恰有六个不等实根，则实数m 的取值范围为7π2π,311. 如图，M 为棱长为2的正方体1111ABCD A B C D −表面上的一个动点，则（）A. 当M 在平面1111D C B A 内运动时，四棱锥M ABCD −的体积是定值B. 当M 在直线11A C 上运动时，BM 与AC 所成角取值范围为ππ,42C. 使得直线MA 与平面ABCD 所成的角为60°的点MD. 若N 为棱11A B 的中点，当M 在底面ABCD 内运动，且//MN 平面11B CD 时，MN共92分）三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分．12. 在ABC 中，D 为BC 边上的中点，E 是AD 上靠近A 的四等分点，若BE xAB y AC =+，则x y +=______．13. 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬．专家发现：两岁燕子的飞行速度可以表示为25log 10qv =（米/秒），若某只两岁的燕子耗氧量为1q 时的飞行速度为1v （米/秒），另一只两岁的燕子耗氧量为2q 时的飞行速度为2v （米/秒），两只燕子同时起飞，当124q q =时，一分钟后第一只燕子比第二只燕子多飞行的路程为______米14. 已知P A B C D ,,,,是球O 的球面上的五个点，四边形ABCD 为梯形，AD BC ∥，1AB DC AD ===，2BC PA ==，PD ⊥平面ABCD ，则球O 的表面积为______．四、解答题：本大题共5个小题，共77分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．的15. 2023年起我国旅游按下重启键，寒冬有尽，春日可期，先后出现了“淄博烧烤”，“哈尔滨与小土豆”，“天水麻辣烫”等现象级爆款，之后各地文旅各出奇招，六安文旅也在各大平台发布了六安的宣传片：六安瓜片、舒城小兰花、固镇大白鹅等等出现在大众视野现为进一步发展六安文旅，提升六安经济，在5月份对来六安旅游的部分游客发起满意度调查，从饮食、住宿，交通，服务等方面调查旅客满意度，满意度采用百分制，统计的综合满意度绘制成如下频率分布直方图，图中4b a =.（1）试估计游客满意度得分的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）和第60百分位数. （2）六安文旅6月份继续对来六安旅游的游客发起满意度调查现知6月1日-6月7日调查的4万份数据中其满意度的平均值为85，方差为74：6月8日-6月14日调查的6万份数据中满意度的平均值为95，方差为69.由这些数据计算6月1日—6月14日的总样本的平均数与方差.16. 已知锐角ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，且cos sin 0a C C b c +−−=．（1）求A ；（2）若2a =，求ABC 周长的取值范围．17. 如图1，矩形ABCD 中，2AB =，1BC =，E 为边CD 上一点．现将ADE 沿着AE 折起，使点D 到达点P 的位置．（1）如图2，若E 为边CD 的中点，点F 为线段PB 的中点，求证：//CF 平面PAE ；（2）如图3，设点P 在平面ABCE 内的射影K 落在线段AB 上． ①求证：CB ⊥平面PAB ； ②当14AK AB =时，求直线PC 与平面ABCE 所成的角的余弦值． 18. 设函数()e e 2x x f x −−=，()e e2xxg x −+=．的（1）判断函数()f x 的奇偶性，并讨论其单调性（不需证明单调性）；（2）求证：()()()()2f x y f x y f xg y ++−=；（3）若()()()22ln 42ln 2xx x h x f t f −+⋅在区间[]1,1−上的最小值为78−，求t 的值． 19. 对于集合{}12,,,n A θθθ= 和常数0θ，定义：σ=A 相对的0θ的“正弦标准差”．（1）若集合ππ,63A = ，0π4θ=，求A 相对0θ的“正弦标准差”；（2）若集合π,,4A αβ = ，是否存在3π,π4∈α，3π7π,24β ∈，使得相对任何常数0θ的“正弦标准差”是一个与0θ无关的定值？若存在，求出α，β的值；若不存在，请说明理由．的。

2022-2023学年河南省中原名校高二上学期第一次联考数学试题(解析版)

2022-2023学年河南省中原名校高二上学期第一次联考数学试题一、单选题1．直线3830x y +-=的倾斜角为( ) A ．6π B ．4π C ．23π D ．56π 【答案】D【分析】根据直线方程求出直线斜率，再根据斜率和倾斜角间的关系即可求出倾斜角．【详解】3830x y +-=可化为：383y x =-+， ∴直线的斜率为33-，设直线的倾斜角α，则3tan 3α=-，∵[)0,πα∈，∴5π6α=．故选：D ．2．如图，在空间四边形PABC 中，PB AB CA --=（）A ．PCB ．APC ．ABD ．AC【答案】A【分析】根据空间向量的加减法的运算法则，即可求得答案.【详解】根据向量的加法、减法法则得PB AB CA PB BA AC PC --=++=, 故选:A3．若空间向量,a b 不共线，且3(2)10ya x y b xa b -++=+，则23x y -=( ) A ．6 B ．12C ．18D ．24【答案】C【分析】根据空间向量的基本性质即可得到关于x 、y 的方程组，求出x 、y 即可计算结果．【详解】∵空间向量,a b 不共线，∴要使3(2)10ya x y b xa b -++=+，则3623182102y x x x y x y y -==⎧⎧⇒⇒-=⎨⎨+==-⎩⎩．故选：C ．4．若直线30x my ++=与直线460mx y ++=平行，则m =（） A ．12B ．12-C ．12或12-D ．不存在【答案】B【分析】根据两直线平行，列出方程，去掉两直线重合的情况，即可得到结果.【详解】由直线30x my ++=与直线460mx y ++=平行，可得:241126m m ⎧=⎨≠⎩，解得12m =-．故选:B.5．若向量()2,0,a λ=，()2,2,1b =-，且a 与b 的夹角的余弦值为13-，则实数λ等于（）A ．1B ．32C ．1或32D ．0或32【答案】B【分析】根据空间向量数量积的坐标计算方法即可计算. 【详解】由题知，241cos ,3||||4441a b a b a b λλ⋅-+〈〉===-+⋅++，解得32λ=．故选：B.6．如图，在三棱锥O ABC -中，设,,OA a OB b OC c ===，若,25AN NB BM MC ==，则MN =( )A ．112263a b c +-B ．112263a b c -+C ．1352147a b c +-D ．1532147a b c +-【答案】C【分析】利用空间向量线性运算方法，结合图形即可计算．【详解】连接,OM ON ，则MN ON OM =-1()()2OA OB OC CM =+-+ 12()27OA OB OC CB =+-- 12()()27OA OB OC OB OC =+--- 1352147OA OB OC =+- 1352147a b c =+-．故选：C ．7．已知()1,2,0A ，()3,1,2B ，()2,0,4C ，则点C 到直线AB 的距离为（） A ．2 B 5C ．23D ．5【答案】B【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算C 到直线AB 的距离．【详解】因为()2,1,2AB =-，()1,2,4AC =-，所以AC 在AB 方向上的投影数量为24||414AB AC AB ⋅==++．设点C 到直线AB 的距离为d ，则22||41416165d AC =-++- 故选：B.8．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是线段1D D 的中点，N 是线段11A B 的中点，则直线NO 与直线AM 所成的角是（）A ．π6B ．π4C ．π3D ．π2【答案】D【分析】建立空间直角坐标系，求得相关各点的坐标，求出向量,NO AM 的坐标，计算NO AM ⋅，根据其结果即可求得答案.【详解】以D 为坐标原点，1,,DA DC DD 的方向分别为,,x y z 轴的正方向建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为2，则(2,0,0),(0,0,1),(1,1,0),(2,1,2)A M O N ,∴(1,0,2),(2,0,1)NO AM =--=-，∴(1)(2)0(2)10NO AM ⋅=-⨯-++-⨯=，即,NO AM NO AM ⊥∴⊥， ∴直线NO 与直线AM 所成的角是π2,故选：D9．已知向量{},,a b c 是空间的一个基底，向量{,,}a b a b c -+是空间的另一个基底，一向量p 在基底{},,a b c 下的坐标为(2,1,1)-，则向量p 在基底{,,}a b a b c -+下的坐标为（）A ．13,,122⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．31,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,,122⎛⎫--- ⎪⎝⎭【答案】A【分析】根据空间向量的基本定理和坐标表示即得结果. 【详解】设p 在基底{,,}a b a b c -+下的坐标为(,,)x y z ，则()()()()2p x a b y a b zc x y a y x b zc a b c =-+++=++-+=+-，所以211x y y x z +=⎧⎪-=⎨⎪=-⎩，解得12x =，32y =，1z =-，故p 在基底{,,}a b a b c -+下的坐标为13,,122⎛⎫- ⎪⎝⎭．故选：A.10．已知两点(2,3),(2,4)A B ---，若直线20ax y +-=与线段AB 没有公共点，则实数a 的取值范围是（） A ．52⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭,B ．(3,)+∞C ．5,32⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．5,(3,)2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭【答案】C【分析】确定直线20ax y +-=恒过定点(0,2)P ，作出示意图，数形结合，确定直线l与线段AB 没有交点时，直线l 的斜率53,2a ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，即可求得答案.【详解】直线20ax y +-=恒过定点(0,2)P ，斜率为a -，直线PA 的斜率为23522PA k +==，直线PB 的斜率为2(4)302PB k --==--,结合图象可知，当直线l 与线段AB 没有交点时，直线l 的斜率53,2a ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，即5,32a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭,故选:C11．某直线l 过点(3,4)B -，且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的2倍，则该直线的斜率是（） A ．43-B ．12-C ．43或12-D ．43-或12-【答案】D【分析】讨论在x 轴和y 轴上的截距均为0或均不为0，设直线方程并由点在直线上求参数，即可得直线方程，进而写出其斜率. 【详解】当直线在x 轴和y 轴上的截距均为0时，设直线的方程为y kx =，代入点(3,4)B -，则43k =-，解得43k =-，当直线在x 轴和y 轴上的截距均不为0时，设直线的方程为12x ym m+=，代入点(3,4)B -，则3412m m -+=，解得52m =，所以所求直线的方程为1552x y+=，即250x y +-=，综上，该直线的斜率是43-或12-．故选：D12．如图，某圆锥SO 的轴截面SAC ，其中5SA AO =，点B 是底面圆周上的一点，且2cos 3BOC ∠=，点M 是线段SA 的中点，则异面直线SB 与CM 所成角的余弦值是( )A．23535B．66565C．1315D．35【答案】B【分析】利用圆锥曲线的性质，以点O为坐标原点，OC为y轴，OS为z轴建立空间直角坐标系，利用向量方法即可求两异面直线的夹角．【详解】由圆锥的性质可知SO⊥平面ABC，故可以点O为坐标原点，平面ABC内过点O且垂直于AC的直线为x轴，OC OS、分别为y、z轴建立空间直角坐标系，设1,5OA OB SA===2OS=，易知1 (0,1,0),(0,1,0),(0,0,2),0,,12A C S M⎛⎫--⎪⎝⎭，∵2cos3BOC∠=，∴2sin1c5osBOC BOC∠∠=-∴52,03B⎫⎪⎝⎭，∴52,233SB⎛⎫=-⎪⎝⎭，30,,12CM⎛⎫=-⎪⎝⎭，∴665 cos,||||54941994SB CMSB CMSB CM⋅〈〉===⋅++⋅+，因此，异面直线SB与CM665二、填空题13．经过(,2),(3,4)A x B-两点的直线的一个方向向量为(1,3)，则x=__________．【答案】5【分析】根据直线方向向量即可计算．【详解】由条件可知，4233x--=-，解得5x =．故答案为：5．14．已知(0,1,2),(2,1,0),(2,0,0)A B C ，点(,,1)P x y -，若PA ⊥平面ABC ，则点P 的坐标为__________．【答案】(3,1,1)--【分析】求出向量(2,0,2),(2,1,2),(,1,3)AB AC AP x y =-=--=--，根据PA ⊥平面ABC ，可得AB APAC AP ⎧⊥⎨⊥⎩，可得方程组，求得答案.【详解】因为(0,1,2),(2,1,0),(2,0,0)A B C ，所以(2,0,2),(2,1,2),(,1,3)AB AC AP x y =-=--=--，因为PA ⊥平面ABC ，所以26030,,,2701x x AB AP AB AP x y y AC AP AC AP ⎧⎧+==-⎧⎧⊥⋅=∴∴∴⎨⎨⎨⎨-+==⊥⋅⎩⎩⎩⎩，所以点P 的坐标为(3,1,1)--．故答案为：(3,1,1)--15．从点(4,1)A -出发的一束光线l ，经过直线1:30l x y -+=反射，反射光线恰好通过点(3,2)B -，则反射光线所在直线的一般式方程为__________．【答案】370x y ++=【分析】利用对称性求A 关于直线1l 的对称点，再应用点斜式写出直线方程. 【详解】设(4,1)A -关于直线1:30l x y -+=的对称点为()11,D x y ，所以11111114413022y x x y -⎧⋅=-⎪+⎪⎨-+⎪-+=⎪⎩，解得1121x y =-⎧⎨=-⎩，即(2,1)D --，依题意：D 在反射光线上，又(3,2)B -也在反射光线上， ∴21332BD k +==--+，故所求方程为13(2)y x +=-+，整理得：370x y ++=．故答案为：370x y ++=16．正方体1111ABCD A B C D -棱长为2，E 是棱AB 的中点，F 是四边形11AA D D 内一点（包含边界），且1FE FD ⋅=，当直线EF 与平面ABCD 所成的角最大时，三棱锥1F AEB -的体积为__________．【答案】213-123-+【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，设(0,,)F m n ，利用数量积的坐标运算表示出,m n 的关系，进而表示出直线EF 与平面ABCD 所成的角的正切值，求得其取最大值时m 的值，即可求得三棱锥1F AEB -的体积.【详解】如图，以A 为坐标原点，1,,AB AD AA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则(0,0,0),(1,0,0),(0,2,0)A E D ，设(0,,),[0,2],[0,2]F m n m n ∈∈，则22(1,,)(0,2,)21FD m n m n m m n FE ⋅=--⋅--=-+=，设EF 与平面ABCD 所成的角为θ，在平面11AA D D 内作FP AD ⊥,垂足为P , 由于正方体1111ABCD A B C D -中，平面11AA D D ⊥平面ABCD ，平面11AA D D ⋂平面ABCD AD =，FP ⊂平面11AA D D ,则FP ⊥平面ABCD ，连接EP ,则π,[0,)2FEP θθ∠=∈ ,2,1FP n EP m =+，所以2222221222tan 11111n m m m m m m m θ-++====-+++++ 令211,tan 12122222t t m t t t tθ=+∴=-+⨯=-+⨯-+-+ 由于22222t t-+≥，当且仅当2t 时取等号，即21m 时，112ta 2n 2t tθ-⨯-=++最大，此时EF 与平面ABCD 所成的角最大，此时三棱锥1F AEB -的体积为111121(21)12332AEB m S -⋅=⨯⨯⨯=△【点睛】本题考查了三棱锥体积的求解，涉及到空间向量的应用，以及线面角的求法，和均值不等式的应用，综合性较强，解答时要能熟练应用相关知识.三、解答题17．已知空间向量(2,3,1),(3,0,1),(,6,2)a b c x =-=-=-． (1)若a c ∥，求||c(2)若()(2)ka b a b +⊥-，求实数k 的值．【答案】(1)(2)2033【分析】（1）根据向量的共线，列出比例式，可得答案；（2）求出向量,2ka b a b +-的坐标，根据()(2)ka b a b +⊥-可得数量积为0，即得关于k 的方程，解得答案.【详解】(1)由题意知(2,3,1),(,6,2)a c x =-=-， ∵a c ∥，∴62231x -==-，解得：4x =-，故(4,6,2)c =--，故||1636c =+=． (2)因为(2,3,)(3,0,1)(23,3,1)ka b k k k k k k +=-+-=--+，2(4,6,2)(3,0,1)(7,6,1)a b -=---=-，由()(2)ka b a b +⊥-得()(2)0ka b a b +⋅-= 即7(23)1810k k k -+++=，解得2033k =． 18．在平行四边形ABCD 中，(1,2),(1,3),(3,1)A B C --，点E 是线段BC 的中点． (1)求直线AE 的方程；(2)求过点A 且与直线DE 垂直的直线．【答案】(1)350x y +-=； (2)350x y +-=．【分析】（1）根据中点坐标公式求出E 的坐标，根据直线方程的两点式或点斜式即可求AE 的方程；（2）设(,)D x y ，根据平行四边形对角线互相平分列方程组求出D 的坐标，根据两直线垂直，斜率之积为-1求出直线斜率，再根据直线方程的点斜式即可得到答案．【详解】(1)由中点坐标公式得()21E ，， ∴121213AE k -==-+， ∴直线AE 的方程为11(2)3y x -=--，即350x y +-=． (2)设点(,)D x y ，∵平行四边形ABCD 的对角线互相平分，即BD 中点和AC 中点重合， ∴1312221322x y -++⎧=⎪⎪⎨-+⎪=⎪⎩，解得12x y =⎧⎨=-⎩，即D (1，－2)， ∴12321DE k +==-，则过点A 且与直线DE 垂直的直线斜率为：13-，方程为：()1213y x -=-+，即350x y +-=． 19．如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，1AB AD AA ==，且1,,AB AD AA 的两两夹角都是60．(1)若1AB =，求线段1AC 的长度；(2)求直线1BD 与AC 所成角的余弦值．【答案】66【分析】（1）首先以AB ，AD ，1AA 为空间一组基底，用该组基底表示向量1AC ，然后结合向量数量积的定义和运算律可求得结果；（2）首先根据基底表示1BD 及AC ，并求出1BD 与AC ，然后由数量积的定义可求得夹角余弦值.【详解】(1)以1{,,}AB AD AA 为空间一组基底．11AC AB AD AA =++，()2211AC AB AD AA =++ ()2221112AB AD AA AB AD AD AA AB AA =+++⋅+⋅+⋅()1112311cos606=+++⨯⨯⨯︒=，所以16AC =(2)111BD AD AB AD AA AB =-=+-，()()222222111112BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-=+++⋅-⋅-⋅ ()111211cos6011cos6011cos602=+++⨯⨯⨯︒-⨯︒-⨯⨯︒⨯=，所以12BD =AC AB AD =+，2222()21211cos6013AC AB AD AB AB AD AD =+=+︒⋅+=+⨯⨯⨯+=，所以||3AC =．()11()BD AC AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+ 11AD AB AA AB AB AB AD AD AA AD AB AD =⋅+⋅-⋅+⋅+⋅-⋅211cos601=⨯⨯⨯︒=．设直线1BD 与直线AC 所成角为θ，则111cos cos ,2||BD ACBD AC BD AC θ⋅〈=⋅〉===． 20．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，π,22ABC AB BC ∠===，E 为线段BC 的中点．(1)证明：1A B ∥平面1AEC ；(2)若11AA =，求二面角1A C E C --的平面角的正弦值．【答案】(1)证明见解析 (2)223．【分析】（1）连接1A C 交1AC 于点O ，连接OE ，证明1OE A B ∥，根据线面平行的判定定理即可证明结论；（2）建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，求出平面1AEC 的法向量，根据向量的夹角公式求得二面角1A C E C --的平面角的余弦值，即可求得答案.【详解】(1)证明：连接1A C 交1AC 于点O ，连接OE ，在直三棱柱111ABC A B C -中，11ACC A 为矩形，所以O 为1A C 中点，又因为E 为BC 中点，所以1OE A B ∥，又由OE ⊂平面11,AEC A B ⊄平面1AEC ，所以1A B ∥平面1AEC ．(2)由题意知在直三棱柱111ABC A B C -中，π2ABC ∠=，故1,,BC BA BB 两两垂直，以B 点为坐标原点，1,,BC BA BB 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立如图所示空间直角坐标系，则1(0,2,0),(1,0,0),(2,0,1),(2,0,0)A E C C ，可得1(1,2,0),(2,2,1)AE AC =-=-，设平面1AEC 的法向量为(,,)m x y z =，则120220m AE x y m AC x y z ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1y =，则2,2x z ==-，所以平面1AEC 的一个法向量为(2,1,2)m =-，因为平面1CC E 的一个法向量可取为(0,1,0)n =，设二面角1A C E C --的平面角为θ，则||11|cos ||cos ,|||||3414m n m n m n θ⋅=〈〉===++，所以二面角1A C E C --212213⎛⎫- ⎪⎝⎭． 21．已知直线:230l kx y k -++=经过定点P ．(1)证明：无论k 取何值，直线l 始终过第二象限；(2)若直线l 交x 轴负半轴于点A ，交y 轴正半轴于点B ，当11||||23PA PB +取最小值时，求直线l 的方程．【答案】(1)证明见解析(2)50x y -+=．【分析】（1）将230kx y k -++=变形为(3)20k x y ++-=，解方程组3020x y +=⎧⎨-=⎩，即可证明结论；（2）设直线l 的倾斜角为α，可表示出23||,||sin cos PA PB αα==，即得11||||23PA PB +的表达式，利用换元法，结合三角函数性质，求出当11||||23PA PB +取最小值时参数的值，即可求得答案.【详解】(1)证明：由230kx y k -++=可得：(3)20k x y ++-=，由3020x y +=⎧⎨-=⎩ 可得32x y =-⎧⎨=⎩，所以l 经过定点(3,2)P -；即直线l 过定点(3,2)-,且定点在第二象限，所以无论k 取何值，直线l 始终经过第二象限．(2)设直线l 的倾斜角为α，则π02α<<，可得23||,||sin cos PA PB αα==，所以1111sin cos ||||23sin cos sin cos PA PB αααααα++=+=，令πsin cos 4t ααα⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，因为π02α<<，可得ππ3ππsin 14444αα⎛⎫<+<<+≤ ⎪⎝⎭，即π4t α⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭，将sin cos t αα=+两边平方可得：22(sin cos )12sin cos t αααα=+=+⋅，所以21sin cos 2t αα-=，所以2211sin cos 22||||1123sin cos 12t t PA PB t t t t αααα++====---，因为1y t t=-在上单调递增，所以10t t <-，故11y t t =≥-21t t ≥-t =时取等号，此时π4t α⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，可得π4α=，所以πtan tan 14k α===，所以直线的方程为50x y -+=．22．如图，在四棱锥A BCDE -中，AC ⊥平面BCDE ，底面BCDE 为矩形，26CD BC ==，G 为ABE △的重心，M 为线段CD 的中点，BM 与CE 交于点F ．(1)当3AC =时，证明：GF ⊥平面ABE ；(2)当平面GCE 与平面ADE 所成锐二面角为60︒时，求三棱锥D AGE -的体积．【答案】(1)证明见解析 (2)63【分析】（1）先利用三角形相似证明EF EG CF GN=得到GF NC ∥，再根据几何关系证明CN BE ⊥，CN AB ⊥，根据线面垂直的判定定理证明CN ⊥平面ABE ，从而得到GF ⊥平面ABE .（2）根据题意建立空间直角坐标系，设点G 到平面BCDE 的距离为(0)t t >，利用平面GCE 与平面ADE 的法向量夹角余弦值的绝对值为12，求出t 的值，再求出点G 到平面ADE 的距离，最后利用D AGE G ADE V V --=即可求出三棱锥体积. 【详解】(1)延长EG 交AB 于N ，连接NC ，因为G 为ABE △的重心，所以点N 为AB 的中点，且2EG GN=，因为//CM BE ，故CMF EBF ∽，所以2EF BE CF CM ==，故EF EG CF GN=，故GF NC ∥，因为AC ⊥平面BCDE ，所以AC BE ⊥，因为底面BCDE 为矩形，所以BC BE ⊥，又因为AC BC C =，所以BE ⊥平面ABC ，故CN BE ⊥，因为AC BC =，所以CN AB ⊥，又因为BE AB B =，所以CN ⊥平面ABE ，所以GF ⊥平面ABE .(2)以C 为原点，以,,CB CD CA 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，设点G 到平面BCDE 的距离为(0)t t >，则(0,0,3),(3,0,0),(3,6,0),(2,2,),(0,6,0)A t B E G t D ，故(2,2,),(3,6,0),(0,6,3),(3,0,0)CG t CE AD t DE ===-=，设平面GCE 的法向量为()111,,m x y z =，则00m CG m CE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即11111220360x y tz x y ++=⎧⎨+=⎩，取11y =，则112,2z x t ==-，即22,1,m t ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，设平面ADE 的法向量为()222,,n x y z =，则00n AD n DE ⎧⋅=⎨⋅=⎩,即22263030y tz x -=⎧⎨=⎩，取22z =，则2y t =，则(0,,2)n t =，所以224||1cos60||||2454t m n t m n t t +⋅︒===⋅+⨯+，解得212,3t t == 又(2,4,3)DG =-，故点G 到平面ADE 的距离为||433||4DG n d n ⋅=== 因为33AC t ==12AD =，所以1131236332D AGE G ADE V V --==⨯⨯⨯=。

河南省名校(创新发展联盟)2023-2024学年高二上学期第一次联考数学试题含解析

2023～2024年度上学年河南名校高二年级第一次联考数学（答案在最后）考生注意：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：人教A 版必修第二册至选择性必修第一册第一章．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系Oxyz 中，点()2,3,6A 在坐标平面Oxz 内的射影为点B ，则B 的坐标为（）．A.()0,3,6 B.()2,0,6 C.()2,3,0 D.()2,0,3【答案】B 【解析】【分析】利用空间直角坐标系定义即可求得点()2,3,6A 在坐标平面Oxz 内的射影点的坐标.【详解】在空间直角坐标系Oxyz 中，点()2,3,6A 在坐标平面Oxz 内的射影为点()2,0,6B 故选：B2.某工厂生产甲、乙、丙三种不同型号的产品，产量分别为200件、300件、400件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法，从以上所有的产品中抽取了45件进行检验，则抽取的甲、乙种型号产品的数量之和为（）．A.30B.15C.20D.25【答案】D 【解析】【分析】根据分层抽样的方法分别求出甲、乙种型号产品的数量.【详解】由题意得，根据分层抽样的方法抽取的甲型号产品的数量为2004510200300400⨯=++，乙种型号产品的数量为3004515200300400⨯=++，抽取的甲、乙种型号产品的数量之和为101525+=．故选：D 3.若3i1iz -=+，则z z +=（）．A.2-B.2i- C.2D.2i【答案】C 【解析】【分析】利用复数的除法运算求出复数z ，再结合共轭复数的意义及复数加法求解作答.【详解】依题意，(3i)(1i)24i 12i (1i)(1i)2z ---===-+-，12i z =+，所以2z z +=.故选：C4.抛掷一枚质地均匀的骰子1次，事件A 表示“掷出的点数大于2”，则与A 互斥且不对立的事件是（）．A.掷出的点数为偶数B.掷出的点数为奇数C.掷出的点数小于2D.掷出的点数小于3【答案】C 【解析】【分析】根据已知写出对应事件的基本事件，根据互斥、对立概念判断各项与事件A 的关系.【详解】由题意，{1,2,3,4,5,6}Ω=，而事件{3,4,5,6}A =，“掷出的点数为偶数”对应基本事件有{2,4,6}，与A 不互斥，“掷出的点数为奇数”对应基本事件有{1,3,5}，与A 不互斥，“掷出的点数小于2”对应基本事件有{1}，与A 互斥且不对立，“掷出的点数小于3”对应基本事件有{1,2}，与A 对立．故选：C5.已知圆锥的底面半径为4，其侧面展开图是一个圆心角为8π5的扇形，则该圆锥的体积为（）．A.48πB.45πC.16πD.15π【答案】C 【解析】【分析】由圆锥的轴截面、侧面展开图性质求体高，应用圆锥体积公式求体积即可.【详解】设该圆锥的母线长为l ，高为h ，由8π2π45l ⋅=⨯，得5l =，则3h ==，所以该圆锥的体积为21π4316π3⨯⨯=．故选：C6.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，2AB AC ==，13AA =，60BAC ∠=︒，11120A A AC A B =∠=∠︒，1B C 与1BC 的交点为M ，则AM =（）．A.12B.54C.32D.4【答案】C 【解析】【分析】根据空间向量的线性运算可得1111222AM AB AC AA =++，进而结合空间向量的数量积公式运算即可求解.【详解】由题意得()11111111112222222AM AC CM AC CB CC AC AB AC AA AB AC AA =+=++=+-+=++，所以AM ==32==.故选：C.7.在正三棱柱111ABC A B C -中，AB =，点D 在棱BC 上运动，若1AD DB +棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为（）A.8πB.16πC.20πD.32π【答案】A【解析】【分析】利用展开图结合余弦定理求得1BB ，取111,A A C C B B 的中心分别为M ，N ，则MN 的中点O 为三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心，利用正弦定理求出ABC 的外接圆的半径，进而利用勾股定理求得外接球的半径，进而可得答案.【详解】如图，将ABC 与矩形11BB C C 展开至同一平面，易知1150ABB ∠=︒.设1BB x =，由题意知1AD DB +的最小值为1AB ，即1AB =.由余弦定理可得22211112cos AB AB BB AB BB ABB =+-⋅∠，即2310x x +-=0，解得2x =或5x =-（舍去）.取111,A A C C B B 的中心分别为M ，N ，连接MN ，则MN 的中点O 为三棱柱111ABC A B C -的外接球的球心，设ABC 的外接圆的半径为r ，则22sin 60ABr ==︒，即1r =，设三棱柱111ABC A B C -的外接球的半径为R ，在OMA 中，1,1,12AA OA R OM AM ====,则222122AA R r ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭，故三棱柱111ABC A B C -的外接球的表面积为24π8πR =.故选：A.8.已知样本数据131x +，231x +，331x +，431x +，531x +，631x +的平均数为16，方差为9，则另一组数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，12的方差为（）．A.467B.477C.487D.7【答案】C 【解析】【分析】由均值、方差性质求数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的平均数、方差，应用平均数、方差公式求新数据方差.【详解】设数据1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x 的平均数为x ，方差为2s ，由3116x +=，299s =，得61156i i x x ===∑，2261(56)11i i x s ==-=∑，则1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，6x ，12的平均数为561267⨯+=，方差为()6221(6)1267ii x =-+-∑621(51)367ii x =--+=∑66211(5)2(5)16367ii i i x x ==---+⨯+=∑∑66211(5)21027ii i i x x ==--+=∑∑26261024877s x -⨯+==．故选：C二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知()1,2,5u =- 是直线l 的一个方向向量，()2,4,n a =-是平面α的一个法向量，则下列说法正确的是（）．A.若//l α，则2a =B.若//l α，则10a =-C.若l α⊥，则2a =D.若l α⊥，则10a =-【答案】AD 【解析】【分析】根据直线的方向向量与平面的法向量的关系逐一判断即可.【详解】若//l α，则u n ⊥，得2850a --+=，得2a =，A 正确，B 错误．若l α⊥，则u n//，得422521a -===--，得10a =-，C 错误，D 正确．故选：AD10.河南省地理条件优越，是我国的粮食主要产区之g ，素有“中原粮仓”之称．2018～2022年河南省粮食产量如图所示，则（）．2018～2022年河南省粮食产量图A.2018～2022年河南省粮食产量的极差为282万吨B.在2019～2022年这4年中，2022年河南省粮食产量的增长速度最大C.2018～2022年河南省粮食产量的30％分位数为6695万吨D.2018～2022年河南省粮食产量的60％分位数为6742万吨【答案】ABD 【解析】【分析】根据极差、百分位数的定义，结合粮食产量图逐一判断即可.【详解】A ：由图可知2018～2022年河南省粮食产量的极差为68266544282-=万吨，本选项正确；B ：由图可知2022年河南省粮食产量的增长速度最大，本选项正确；CD ：2018～2022年河南省粮食产量从小到大依次为6544万吨，6649万吨，6695万吨，6789万吨，6826万吨，因为50.3 1.5⨯=，50.63⨯=，所以2018～2022年河南省粮食产量的30％分位数为6649万吨，60％分位数为6695678967422+=万吨．选项C 不正确，选项D 正确，故选：ABD11.如图1，某同学在一张矩形卡片上绘制了函数()5πsin π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭的部分图象，A ，B 分别是()f x 图象的一个最高点和最低点，M 是()f x 图象与y 轴的交点，⊥BD OD ，现将该卡片沿x 轴折成如图2所示的直二面角A OD B --，在图2中，则（）．A.3AB =B.点D 到直线AB 的距离为33C.点D 到平面ABM 的距离为1414D.平面OBD 与平面ABM 夹角的余弦值为147【答案】ACD 【解析】【分析】根据给定条件，求出图1中点,,,A B D M 的坐标，建立空间直角坐标系，求出图2中点,,,A B D M 的坐标，再逐项判断作答.【详解】在图1中，由()5πsin π6f x x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，得1,13A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,13B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,2M ⎛⎫⎪⎝⎭，在图2中，建立如图所示的空间直角坐标系O xyz -，则10,,13A ⎛⎫- ⎪⎝⎭，21,,03B ⎛⎫ ⎪⎝⎭，10,0,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，20,,03D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1,1,1AB =-，得3AB = ，A 正确．取()1,0,0a DB == ，()33331,1,13333AB u AB ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则21a =，3a u ⋅=，所以点D 到直线AB3=，B 错误．设平面ABM 的法向量为(),,n x y z =r，110,,32AM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，则00n AB n AM ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即011032x y z y z +-=⎧⎪⎨-=⎪⎩，取3y =，则2z =，=1x -，所以平面ABM 的一个法向量()1,3,2n =-，所以点D 到平面ABM的距离为14DB n n ⋅==，C 正确．平面OBD 的一个法向量为()0,0,1m =，则平面OBD 与平面ABM夹角的余弦值为7m n m n ⋅== ，D 正确.故选：ACD12.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足AP AB AD λμ=+，[],0,1λμ∈，E ，F分别为1DD ，BC 的中点，则下列结论正确的是（）．A.当12λμ==时，过E ，F 且与直线1A P 平行的平面截该正方体所得的截面为五边形B.当12λμ==时，过E ，F 且与直线1A P 平行的平面截该正方体所得的截面面积为C.当1A P=PC 的最小值为1D.当1A P =PC 的【答案】BCD 【解析】【分析】取11111,,,A D A B D BB C 的中点，并与点,E F 顺次连接得正方体的截面，证明1A P 平行于此截面即可判断AB ；当1A P =P 的轨迹求解判断CD 作答.【详解】如图，连接AC ，BD ，11B D ，当12λμ==时，12AP AC = ，分别取11111,,,A D A B D BB C 的中点,,,G J I H ，连接,,,,,EG GF F HI H IJ JE ，过点,E F 的截面为六边形EGFHIJ ，正方体1111ABCD A B C D -对角面11BDD B 是矩形，则1111//,BD B D BD B D =，于是11//////IJ B D BD GF ，111122IJ B D BD GF ===，同理//EG HI ，//FH JE ，EG GF FH HI IJ JE =====，则六边形EGFHIJ 为正六边形，设AC 与GF 的交点为M ，设11A C 与IJ 的交点为N ，连接FN ，MN ，由1111//,=A C AC A C AC ，得1//A N PM ，1111144A N A C AC PM ===，则四边形1A NMP 为平行四边形，于是1//A P MN ，又MN ⊂平面FMN ，1A P ⊄平面FMN ，因此1//A P 平面FMN ，当12λμ==时，过E ，F 且与直线1A P 平行的截面为六边形EGFHIJ ，该截面面积为1622⨯=，A 错误，B 正确；由1A P =1AP ==，点P 在底面ABCD 上的轨迹是以A 为圆心、圆心角为π2、半径为1的圆弧，如图，当,,A P C 三点共线时，PC 取最小值1AC AP -=，显然PC =CD 正确.故选：BCD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知向量()1,2a = ，()1,1b =- ，()1,4c =- ，若()//a b c λ+，则λ=__________．【答案】2【解析】【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示公式，结合共线向量的坐标表示公式进行求解即可.【详解】由题意得()1,2a b λλλ+=-+，因为()//a b c λ+ ，所以()()1241214λλλλ-+=⇒-=-+-，得2λ=．故答案为：214.现有3张分别标有1、3、5的卡片，采取有放回的方式从中依次随机取出2张卡片，则抽到的2张卡片的数字之和不小于8的概率是__________．【答案】13【解析】【分析】列举出所有的基本事件，确定所求事件所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【详解】设事件A 为“抽到的2张卡片的数字之和不小于8”，则这个试验的样本空间可记为()()()()()()()()(){}1,1,1,3,1,5,3,1,3,3,3,5,5,1,5,3,5,5Ω=，共包含9个样本点，事件A 包含的样本点有：()3,5、()5,3、()5,5，包含3个样本点，所以()3193P A ==．故答案为：13.15.已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos 2Ba a c =+，则A =__________．【答案】π2【解析】【分析】根据正弦定理，结合降幂公式、两角和的正弦公式进行求解即可.【详解】由正弦定理得22sin cossin sin 2BA A C =+，则1cos 2sin sin sin 2B A AC +⋅=+，得sin sin cos sin sin A A B A C +=+，所以()sin cos sin sin sin cos cos sin A B C A B A B A B ==+=+，即cos sin 0=A B ．因为0πB <<所以sin 0B >，因此cos 0A =．又0πA <<，所以π2A =．故答案为：π216.在三棱锥-P ABC 中，底面ABC 为正三角形，PA ⊥平面ABC ，PA AB =，G 为PAC △的外心，D 为直线BC 上的一动点，设直线AD 与BG 所成的角为θ，则θ的取值范围为__________．【答案】ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦【解析】【分析】建立空间直角坐标系，设CD CB λ= ，则()2229cos 161λθλλ=-+，求出2cos θ的范围，从而得到θ的取值范围.【详解】不妨设2PA AB ==，以A 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则()0,0,0A，)B ，()0,2,0C ，()002P ,,，由题意得G 为PC 的中点，所以()0,1,1G ．设CD CB λ= ，R λ∈，得))1,0,,0CD λλ=-=- ，则()))0,2,0,,0,2,0AD AC CD λλ=+=+-=- ，因为()BG = ，所以()222229cos 161AD BG AD BG λθλλ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪=== ⎪-+⎝⎭ ．当0λ=时，cos 0θ=．当0λ≠时，2229993cos 31141131616116424θλλλ==≤=⎛⎫⎡⎤⎛⎫⨯-+ ⎪-+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦，得30cos 2θ<≤．综上，0cos 2θ≤≤，由π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦得ππ62θ≤≤．故答案为：ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知{},,a b c 是空间的一个单位正交基底，向量24p a b c =-- ，{},,a b a b c +- 是空间的另一个基底，用基底{},,a b a b c +- 表示向量p ．【答案】()()13422p a b a b c =-++-- 【解析】【分析】设()()p x a b y a b zc =++-+ ，又24p a b c =-- ，根据对应系数相等列方程组求解即可.【详解】设()()p x a b y a b zc =++-+ ，则()()24p x y a x y b zc a b c =++-+=-- ，所以124x y x y z +=⎧⎪-=-⎨⎪=-⎩，得12324x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩．故()()13422p a b a b c =-++-- ．故答案为：()()13422p a b a b c =-++-- 18.小晟统计了他6月份的手机通话明细清单，发现自己该月共通话100次，小晟将这100次通话的通话时间（单位：分钟）按照()0,4，[)4,8，[)8,12，[)12,16，[)16,20，[]20,24分成6组，画出的频率分布直方图如图所示．（1）求a 的值；（2）求通话时间在区间[)4,12内的通话次数；（3）试估计小晟这100次通话的平均时间（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）．【答案】（1）0.04a =（2）40（3）7.28分钟【解析】【分析】（1）根据频率之和为1列方程来求得a .（2）先求得通话时间在区间[)4,12内的频率，从而求得通话时间在区间[)4,12内的通话次数.（3）根据频率分布直方图求得平均数的求法求得正确答案.【小问1详解】由()0.10.060.020.020.0141a +++++⨯=，得0.04a =．【小问2详解】因为通话时间在区间[)4,12内的频率为()0.060.0440.4+⨯=，所以通话时间在区间[)4,12内的通话次数为1000.440⨯=．【小问3详解】这100次通话的平均时间的估计值为:()20.160.06100.04140.02180.02220.0147.28⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=分钟．19.如图，在ABC 中，135BAC ∠=︒，4AB =，2AC =.（1）求sin ABC ∠的值；（2）过点A 作AD AB ⊥，D 在边BC 上，记ABD △与ACD 的面积分别为1S ，2S ，求12S S 的值.【答案】（1）10（2）2【解析】【分析】（1）由余弦定理可得BC ，由正弦定理可得sin ABC ∠；（2）求出cos ABC ∠，由AD AB ⊥可求得cos AB BD ABC =∠，进而得CD ，由12S BD S CD =求得结果.【小问1详解】在ABC 中，由余弦定理可得2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-⋅∠，则216824402BC ⎛⎫=+-⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭，故BC =.由正弦定理可得sin sin BC AC BAC ABC =∠∠，则sin sin .10AC BAC ABC BC ⋅∠∠==【小问2详解】因为135BAC ∠=︒，所以090ABC ︒<∠<︒，因为10sin 10ABC ∠=，所以310cos 10ABC ∠=.因为AD AB ⊥，所以cos AB ABC BD ∠=，所以410cos 3AB BD ABC ==∠，则3CD BC BD =-=.设点A 到直线BC 的距离为d ，因为112S BD d =⋅，212S CD d =⋅，所以122S BD S CD ==.20.如图，在多面体ABCDE 中，AB ⊥平面BCD ，平面ECD ⊥平面BCD ，其中ECD 是边长为2的正三角形，BCD △是以BDC ∠为直角的等腰三角形，AB =.（1）证明：//AE 平面BCD .（2）求平面ACE 与平面BDE 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）21919【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再由线面垂直的性质得线线平行，利用线面平行判定定理求证即可；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【小问1详解】取CD 的中点F ，连接EF ，BF .因为ECD 是边长为2的正三角形，所以EF CD ⊥，且3E F 因为平面ECD ⊥平面BCD ，且平面ECD 平面BCD CD =，EF ⊂平面ECD ，所以EF ⊥平面BCD .因为AB ⊥平面BCD ，所以AB EF ∥.因为3AB EF ==ABFE 为平行四边形，所以AE BF ∥.因为AE ⊄平面BCD ，BF ⊂平面BCD ，所以AE ∥平面BCD .【小问2详解】过点B 作BP CD ∥，以B 为坐标原点，分别以BP ，BD ，BA的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则(003A ,,，()0,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，(1,3E ，故(2,2,3AC = ，(3CE =-uur ，()0,2,0= BD ，(1,3BE = .设平面ACE 的法向量为()111,,m x y z = ，则11111223030m AC x y z m CE x z ⎧⋅=+-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令123x =，得()3,3,2m = .设平面BDE 的法向量为()222,,x n y z = ，则222220230n BD y n BE x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=++=⎪⎩ ，令23x =，得)3,0,1n =- .设平面ACE 与平面BDE 的夹角为θ，则19cos cos ,192123419n m m n n m θ⋅===++ .21.A ，B ，C ，D 四人参加双淘汰赛制比赛．在第一轮的两场比赛中，A 对B ，C 对D ，这两场比赛的胜者进入优胜组，负者进入奋斗组．第二轮的两场比赛分别为优胜组和奋斗组的组内比赛，奋斗组中的胜者与优胜组中的负者均进入超越组，奋斗组中的负者直接被淘汰，优胜组中的胜者进入卓越组，第三轮比赛为超越组组内比赛，胜者进入卓越组，负者为季军．第四轮比赛为卓越组组内比赛，胜者为冠军，负者为亚军，每轮比赛都相互独立．（1）设A ，B ，C ，D 四人每轮比赛的获胜率均为12．①求A 和B 都进入卓越组的概率；②求D 参加了四轮比赛并获得冠军的概率．（2）若B 每轮比赛的获胜率为23，A ，C ，D 三人水平相当，求A ，C 进入卓越组且A ，C 之前赛过一场的概率．【答案】（1）①18；②18；（2）7108.【解析】【分析】（1）①分析A 和B 在第二轮、三轮的比赛结果，再利用相互独立事件的概率公式计算作答；②按照D 在第一轮的胜负分类，利用互斥事件、相互独立事件的概率公式计算作答.（2）由题意可得A ，C 在第一轮比赛中均获胜进入第二轮，按负者与B 、D 比赛并获胜分类求解作答.【小问1详解】①若A 和B 都进入卓越组，则胜者需要赢得优胜组组内比赛的胜利，负者需要赢得奋斗组组内比赛和超越组组内比赛的胜利，则A 和B 都进入卓越组的概率为11112228⨯⨯=．②D 参加了四轮比赛并获得冠军的情况有两种：第一种情况：D 在C ，D 组内比赛获胜，D 进入优胜组后进入超越组并获胜，再进入卓越组并获胜，其概率为11111222216⨯⨯⨯=；第二种情况：D 在C ，D 组内比赛后进入奋斗组并获胜，再进入超越组并获胜，最后进入卓越组并获胜，其概率为11111222216⨯⨯⨯=，所以D 参加了四轮比赛并获得冠军的概率为11116168+=．【小问2详解】A ，C 进入卓越组且A ，C 之前赛过一场的情况有两种：第一种情况：A ，C 在第一轮比赛中均获胜并进入优胜组，负者进入超越组与D 比赛并获胜，其概率为11111323236⨯⨯⨯=；第二种情况：A ，C 在第一轮比赛中均获胜并进入优胜组，负者进入超越组与B 比赛并获胜，其概率为11211323327⨯⨯⨯=，所以A ，C 进入卓越组且A ，C 之前赛过一场的概率为1173627108+=．22.如图，在四棱锥P ABCD -中，平面ABCD ⊥平面PAB ，π2ABC PAB BCD ∠=∠=∠=，22PA AB BC CD ====，点M ，N 分别在线段PB ，AC 上．（1）当M ，N 分别是PB ，AC 的中点时，证明：AB MN ⊥．（2）当MN 的长度最小时，求直线PB 与平面AMN 所成角的大小．【答案】（1）证明见解析（2）π3【解析】【分析】（1）取AB 的中点E ，连接EN ，EM ，证得AB EN ⊥，AB EM ⊥，利用线面垂直的判定定理，证得AB ⊥平面EMN ，进而证得AB MN ⊥；（2）证得PA ⊥平面ABCD ，以A 为原点，建立空间直角坐标系，设()0,2,2AN AC λλλ== ，()2,2,0PM PB μμμ==- ，根据MN 的长度最小时，列出方程求得12,33λμ==，进而求得平面AMN 的一个法向量()2,1,1n =--，结合向量的夹角公式，即可求解.【小问1详解】证明：如图所示，取AB 的中点E ，连接EN ，EM ，因为,M N 分别是,PA AC 的中点，所以//EN BC ，//EM AP ，又因为AB BC ⊥，AB AP ⊥，所以AB EN ⊥，AB EM ⊥，因为EN EM E = ，且,EN EM ⊂平面EMN ，所以AB ⊥平面EMN ，又因为MN ⊂平面EMN ，所以AB MN ⊥．【小问2详解】解：因为平面ABCD ⊥平面PAB ，平面ABCD ⋂平面PAB AB =，PA AB ⊥且PA ⊂平面ABP ，所以PA ⊥平面ABCD ，以A 为坐标原点，以,AP AB 所在的直线分别为x 和y 轴，以过点A 垂直与平面ABP 的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则()0,0,0A ，()0,2,0B ，()0,2,2C ，()2,0,0P ，所以()0,2,2AC = ，()2,0,0AP = ，()2,2,0PB =- ．设()0,2,2AN AC λλλ== ，()2,2,0PM PB μμμ==- ，[],0,1λμ∈，()22,22,2NM NA AP PM μμλλ=++=--- ．当MN 的长度最小时，即MN 是直线AC ，PB 的公垂线，则444044440NM AC NM PB μλλμμλ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩ ，解得12,33λμ==，此时24,,033AM AP PM ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭ ，220,,33AN ⎛⎫= ⎪⎝⎭，设平面AMN 的法向量为(),,n x y z =r ，则2403322033n AM x y n AN y z ⎧⋅=+=⎪⎪⎨⎪⋅=+=⎪⎩，取1y =，则2x =-，1z =-，可得平面AMN 的一个法向量()2,1,1n =--，设直线PB 与平面AMN 所成角为θ，则3sin cos ,2n PB n PB n PBθ⋅=== ，因为π(0,2θ∈，所以π3θ=，即直线PB 与平面AMN 所成的角为π3.。

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第 1 页共 15 页 2022-2023学年皖豫名校联盟高二上学期开学考数学试题一、单选题 1．设集合50Axxx，07Bxx，则AB（）

A．05xx B．57xx C．5xx D．07xx 【答案】B 【分析】化简集合A，进行交集运算即可. 【详解】50{0Axxxxx或5}x，则57ABxx.

故选：B 2．某学校有教职工x人，其中高一教师120人，高二教师120人，教学服务岗30人，

其余为高三教师，现召开教职工代表大会，需要按比例用分层随机抽样的方法从中抽取28人，其中抽取高三教师10人，则x（） A．420 B．450 C．480 D．510 【答案】A 【分析】根据分层抽样的抽样比即可求解. 【详解】由题意可得1028270xx，解得420x.

故选：A 3．已知函数22(21)log2fxxx.若()3ft，则t（） A．5 B．7 C．5或7 D．6 【答案】C 【分析】由赋值法求解【详解】令22log23xx，解得2x或4x，则215tx或7，故选：C 4．已知正数a，b满足lnlnln(4)abab，则11162ba（） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】D 【分析】利用指数和对数的运算性质求解即可. 第 2 页共 15 页

【详解】由已知得ln()ln(4)abab，所以4abab，所以4411ababab，所以114116222abab

故选：D 5．如图，将一个球放入一个倒立的圆锥形容器中，圆锥的高为3，底面半径为4，且圆锥的底面恰好经过球心，则该球的表面积为（）

A．16 B．47625 C．57625 D．64π 【答案】C 【分析】由题意可得球与圆锥的母线AB相切，则球心O到母线的距离AB等于球的半径，接着利用OBC的面积公式即可求得答案【详解】解：如图，设球的半径为R，则由题意可得球与圆锥的母线AB相切，

所以球心O到母线的距离AB等于球的半径，作OCAB，所以2211343422OBASR，得125R，所以球的表面积为14457642525，故选：C 6．甲、乙要从“政治”“地理”“化学”“生物”中选出2门作为自己的再选科目.已知甲同学确定选择政治，乙同学确定选择化学，他们另一门都随机选择，则他们恰有一门相同的概率为（） A．23 B．59 C．12 D．13 【答案】A 【分析】首先求出基本事件总数，再列出符合条件的基本事件，最后由古典概型的概率公式计算可得. 第 3 页共 15 页

【详解】解：按照他们选择另一门的情况，一共有339种不同的结果. 因为两人恰有一门相同，若甲选了地理，则乙可以选择政治或地理；若甲选了化学，则乙可以选地理或生物；若甲选了生物，则乙可以选政治或生物，所以满足条件的情况有6种. 所以他们恰有一门相同的概率6293P.

故选：A 7．在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若3cos5A，π4B，且

ABC

的外接圆面积为25π，则ABC的面积为（） A．24 B．25 C．27 D．28 【答案】D 【分析】根ABC的外接圆面积为25π可得ABC的外接圆半径5R，再根据sinsinCAB，结合正弦定理化简可得coscos72caBbA，再根据面积公式

求解即可.

【详解】易知ABC的外接圆半径5R.由3cos5A可得234sin155A，所以2sin8aRA，2sin52bRB，由sinsinsincossincosCABABBA，结

合正弦定理可得coscos72caBbA，所以112sin87228222ABCSacB△.

故选：D

8．已知函数e3,0ln,0xxfxxx，若函数210gxfxfxm有四个零点，则实

数m的取值范围为（） A．24,25 B．24,25 C．21,25 D．21,25 【答案】A 【分析】将问题转化为方程2100fxfxm有四个不等实根，令tfx，可知2100ttm有两个不等实根1212,tttt，结合fx与1yt和2yt有四个不同交点

可得124,4tt，由二次函数根的分布可构造不等式组求得结果. 【详解】gx有四个零点等价于方程2100fxfxm有四个不等实根；第 4 页共 15 页

作出fx图象如下图所示，令tfx，则2100ttm需有两个不等实根1212,tttt，即10040m，解得：25m；要使gx有四个零点，则需fx与1yt和2yt有四个不同交点，在图象中平移直线1yt和2yt，要使fx与1yt和2yt有四个不同交点，则需14t，24t，

241040m，解得：24m；

综上所述：实数m的取值范围为

24,25.

故选：A.

二、多选题 9．已知复数13i22z，则下列结论正确的是（） A．2z与z的模相等 B．2z与z的实部相等 C．z是方程210xx的一个复数根 D．zzz 【答案】ACD 【分析】对给定的复数进行平方运算，再求其模可判断A，B选项，代入C选项中方程可判断C选项，再求其共轭复数可判断D选项. 【详解】2213313iii44222z，所以21zz，故A正确，B错误；因为213i22z，所以21zz，故C正确； 13i22z，又因为213i22z，所以2zz，故D正确.

故选：ACD. 10．已知一组不完全相同的数据的平均数为x，方差为2s，中位数为m，在这组数据中

加入一个数x后得到一组新数据，其平均数为x，方差为2s，中位数为m，则下列判第 5 页共 15 页

断一定正确的为（） A．xx B．22ss C．22ss D．mm 【答案】AC 【分析】根据平均数公式即可判断A；利用方差公式判断B、C；根据中位数定义，以及加入的数x在数据中位置情况判断D. 【详解】记这组数据为12,,,nxxx，新数据为12,,,,nxxxx，显然它们平均数相同，A正确； 2222

121nsxxxxxxn

，

22222

1211nsxxxxxxxxn



，

所以22ss，故B错误，C正确；由于原数据的中位数与平均数的大小关系不确定，所以不能比较新数据与原数据的中位数的大小，故D错误. 故选：AC 11．函数22()41sin()fxaxaxxaR在区间[2,2]上的大致图象可能为（）

A． B． C． D．【答案】ABD 【分析】根据函数图象的对称性可得函数的奇偶性，从而确定参数a的值，再判断即可. 【详解】解：对于A，B中函数图象关于原点对称，则对应的fx为奇函数，令2241gxaxax，则gx为偶函数，即gxgx，即22224141axaxaxax，所以2410a，解得12a，当12a时，21()sin2fxxx，符合A项，当12a时，21()sin2fxxx，符合B项. 第 6 页共 15 页

对于C，D中函数图象关于y轴对称，则对应的fx为偶函数，令2241hxaxax，则hx为奇函数，即hxhx，即22224141axaxaxax，

所以0a，此时()sinfxxx，当0,x时，0fx，故D正确，故C错误；故选：ABD. 12．已知正方体1111ABCDABCD，的棱长为2，E为1AA的中点，平面过B，1C，E三点，则（） A．CD与平面平行 B．平面11ABCD与平面垂直 C．平面截正方体所得截面面积为92 D．正方体的顶点到平面的距离最大值32 【答案】BC 【分析】根据CDAB∥即可判断A,由线面垂直可判断B,根据截面为等腰梯形可判断C,根据空间坐标利用向量求解点面距离可判断D. 【详解】如图所示，AB与平面相交，因为CDAB∥，所以CD与平面不可能平行，A错误；因为在正方体中，CD平面11BCCB,1BC平面11BCCB,故1CDBC ,又11

BCBC ,

1BCCDC,1,BCCD平面11ABCD,因此1BC平面11ABCD，而1BC平面，故平

面11ABCD与平面垂直，B正确；平面截正方体所得截面为等腰梯形1EFCB，其中F是11AD的中点，2EF，

122BC，在矩形11ABCD中计算得梯形的高22232222GH，所以梯形

1EFCB的面积为1329(222)222，C正确；

以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，12,0,1,2,2,0,0,2,2,(0,0,0)EBCD,

10,2,1,2,0,2BEBC,2,2,0DB

设平面1BEC的法向量为,,mxyz，则