平面向量的坐标表示与运算
平面向量加、减运算的坐标表示讲解
平面向量加、减运算的坐标表示讲解
平面向量的加法和减法运算可以通过坐标表示进行讲解。
首先，让我们考虑两个平面向量a和b，它们分别可以表示为(a1, a2)和
(b1, b2)，其中a1、a2、b1和b2分别表示向量a和b在x轴和y
轴上的分量。
对于向量的加法，我们可以将两个向量a和b相加得到一个新
的向量c，表示为c = a + b。
这个新向量c的坐标表示为(c1, c2)，其中c1等于a1加上b1，c2等于a2加上b2。
换句话说，c1和c2
分别表示了向量a和b在x轴和y轴上的分量之和，从而得到了向
量c的坐标表示。
对于向量的减法，我们可以将两个向量a和b相减得到一个新
的向量d，表示为d = a b。
这个新向量d的坐标表示为(d1, d2)，
其中d1等于a1减去b1，d2等于a2减去b2。
同样地，d1和d2分
别表示了向量a和b在x轴和y轴上的分量之差，从而得到了向量
d的坐标表示。
总结起来，平面向量的加法和减法运算的坐标表示可以通过对
应分量的加法和减法来实现，这样可以更直观地理解向量之间的关系。
希望这样的讲解能够帮助你更好地理解平面向量的加减运算。
平面向量的基本定理及坐标表示平面向量的坐标运算公式推导用已知向量表示未知向量
一、共面向量基本定理1.如果两个向量a、b不共线，那么向量p与向量a、b共面的充要条件是：存在唯一实数对x、y，使p=xa+yb。
（x，y不全为零）2.平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基础，它说明同一平面内的任一向量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合。
3.在解具体问题时适当地选取基底，使其它向量能够用基底来表示，选择两个不共线的向量，平面内的任何一个向量都可以唯一表示，这样几何问题就可以转化为代数问题。
4.平面向量可以在任意给定的两个方向上分解，任意两个向量都可以合成一个给定的向量，即向量的合成和分解。
5.当两个方向相互垂直时，它们实际上是在直角坐标系中分解的，（x，y）称为矢量的坐标。
（矢量的起点是原点）所以这个定理为矢量的坐标表示提供了理论基础。
二、平面向量的坐标运算AB+BC=AC；ABAC=CB；(λμ)a=λ(μa)；(λ+μ)a= λa+μa；a·a=|a|²；a·b=b·a等。
在平面内建立直角坐标系，以与x轴、y轴方向相同的两个单位向量为基底，则平面内的任一向量可表示为，称（x，y）为向量的坐标，=（x，y）叫做向量的坐标表示。
三、向量的数量积的性质(1)a·a=∣a∣²≥0(2)a·b=b·a(3)k(ab)=(ka)b=a(kb)(4)a·(b+c)=a·b+a·c(5)a·b=0<=>a⊥b(6)a=kb<=>a//b(7)e1·e2=|e1||e2|cosθ=cosθ四、基底在向量中的应用：(l)用基底表示出相关向量来解决向量问题是常用的方法之一．(2)在平面中选择基底主要有以下几个特点：①不共线；②有公共起点；③其长度及两两夹角已知．(3)用基底表示向量，就是利用向量的加法和减法对有关向量进行分解。
五、用已知向量表示未知向量：用已知向量表示未知向量，一定要结合图像，可从以下角度如手：（1）要用基向量意识，把有关向量尽量统一到基向量上来；（2）把要表示的向量标在封闭的图形中，表示为其它向量的和或差的形式，进而寻找这些向量与基向量的关系；（3）用基向量表示一个向量时，如果此向量的起点是从基底的公共点出发的，一般考虑用加法，否则用减法，如果此向量与一个易求向量共线，可用数乘。
平面向量坐标表示及运算导学案
aa§4 平面向量坐标的表示及运算学习目标1.掌握平面向量正交分解及其坐标表示.2.会用坐标表示平面向量的加、减及数乘运算.3.理解平面向量运算坐标表示重点和难点重点：平面向量的坐标表示及加、减、数乘运算 难点：平面向量运算坐标表示的理解学习方法分小组合作、 自主探究情境设置问题：1. 平面向量基本定理的内容是什么？2. 在平面向量基本定理中，基底的选取有什么要求？3. 如果取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 →→j i , 作为基底，平面内任意向量a应如何表示？平面向量的坐标表示：在直角坐标系中分别取与x 轴，y 轴同方向的两个单位向量→→ji ,为基底，则平面内任一向量a（如图1）由平面向量基本定理，有且只有一对实数，x,y 使得→→+=j y i x a①我们也把①式记为),(ay x =→②①式叫做向量→AB 的代数式；②式叫做向量→AB 的坐标式图（1）y xOi jBO A x y 思考1：坐标平面上的点与有序数对之间有什么关系？思考2：相等向量的坐标有什么关系？平面向量线性运算的坐标表示：若),(),,(2211y x b y x a ==→→则向量?=+→→b a ?=-→→b a结论1：向量和与差的坐标分别等于各向量________坐标的_________若),(),,(2211y x b y x a ==→→?=→a λ结论2：实数与向量积的坐标分别等于实数与向量的相应坐标的______向量坐标与向量始点、终点之间的关系已知)y ,B(x , )y A(x 2211, 求AB 的坐标结论3（自我归纳总结）：________________________________________________________________________例题探究例1 在平面内以点O 的正东方向为x 轴正向，正北方向为y 轴的正向建立直角坐标系，质点在平面内做直线运动，分别求下列位移向量的坐标(如图). （1）向量a表示沿东北方向移动了2个长度单位（2）向量b 表示沿西偏北060方向移动了3个长度单位（3）向量c 表示沿东偏南o30方向移动了4个长度单位例2 已知)4,1(),4,3(-==→→b a 求→→+b a ，→→-b a ，→→b a 3-2。
平面向量数乘运算的坐标表示(优秀经典公开课课件)
[规律方法] 向量共线的判定方法
(1)利用向量共线定理，由 a＝λb(b≠0)推出 a∥b. (2)利用向量共线的坐标表达式 x1y2－x2y1＝0 直接求解．
[触类旁通] 2．已知 a＝(1,2)，b＝(－3,2)，当实数 k 为何值时，ka＋b 与 a－3b 平行？平 行时它们是同向还是反向？
解析 (1)2a＋3b＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7)． (2)a－3b＝(－1,2)－3(2,1)＝(－1,2)－(6,3) ＝(－7，－1)． (3)12a－31b＝12(－1,2)－31(2,1) ＝－12，1－23，13＝－76，23.
题型二 向量共线的判定
答案 D
3．已知 a＝(－6,2)，b＝(m，－3)，且 a∥b，则 m＝( )
A．－9
B．9
C．3
D．ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ3
答案 B
4．已知 P(2,6)，Q(－4,0)，则 PQ 的中点坐标为____________． 解析 根据中点坐标公式可得，PQ 的中点坐标为(－1,3)． 答案 (－1,3)
02
课堂案 题型探究
题型三 向量共线的综合应用(一题多变) [例 3] 已知点 A(3，－4)与点 B(－1,2)，点 P 在直线 AB 上，且|A→P|＝2|P→B|， 求点 P 的坐标．
[解析] 设 P 点坐标为(x，y)，|A→P|＝2|P→B|. 当 P 在线段 AB 上时，A→P＝2P→B， ∴(x－3，y＋4)＝2(－1－x,2－y)，
[母题变式] 若将本例条件“|A→P|＝2|P→B|”改为“A→P＝3P→B”，其他条件不变，求点 P 的 坐标． 解析 因为A→P＝3P→B，所以(x－3，y＋4)＝3(－1－x,2－y)，
向量坐标表示及运算
y
j
O
1 2
a
A(x, y)
a
（3）两个向量 a ( x1, y1 ), b ( x2 , y2 ) 相等的充要条件：a b x x
i
x
且y1 y2
(4)如图以原点O为起点作 OA a ，点A的位置 被 a 唯一确定. 此时点A的坐标即为 a 的坐标 （5）区别点的坐标和向量坐标 相等向量的坐标是相同的,但起点、终点的坐标可以不同
3．若 A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则 AB ＋2 BC ＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)， ∴ AB ＝(2,3)， BC ＝(－3,3)． ∴ AB ＋2 BC ＝(2,3)＋2(－3,3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
(x2－x1，y2－y1)
例1：已知 a (2,1), b ( 3, 4), 求a b, a b, 3a 4b 的坐 .
解： a b (2,1) (3,4) (1,5)
a b (2,1) (3,4) (5, 3)
3 a 4 b 3(2,1) 4( 3, 4) (6, 3) ( 12,16) ( 6,19)
例2、 1已知A(2,3), B (3,5), 求BA的坐标.
解： BA
2已知AB (1, 2), A(2,1), 求B的坐标.
解：设B x,y ,
2,3 3,5 5, 2.
AB 1, 2 x, y 2,1 ,
j
-4 -3
-1 -2
i1
2
3
4
x
c 2i 3 j ( 2, 3)
平面向量的坐标表示及其运算
一. 情境引入上海市莘庄中学的健美操队四名队员A 、B 、C 、D 在一个长10米，宽8米的矩形表演区域EFGH 内进行健美操表演。
（1)若在某时刻，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图1所示的平行四边形队形。
队员A 位于点F 处，队员B 在边FG 上距F 点3米处，队员D 位于距EF 边2米距FG 边5米处。
你能确定此时队员C 的位置吗?GHG［说明] 此时队员C 在位于距EF 边5米距FG 边5米处。
这个图形比较特殊,学生很快就会得到答案，这时教师引入第二个问题.(2）若在某时刻，四名队员A 、B 、C 、D 保持如图2所示的平行四边形队形.队员A 位于距EF 边2米距FG 边1米处,队员B 在距EF 边6米距FG 边3米处，队员D 位于距EF 边4米距FG 边5米处.你能确定此时队员C 的位置吗？二．学习新课 1。
向量的正交分解我们称在平面直角坐标系中，方向与x 轴和y 轴正方向分别相同的的两个单位向量叫做基本单位向量，分别记为,i j ，如图，称以原点O 为起点的向量为位置向量，如下图左,OA 即为一个位置向量。
思考1：对于任一位置向量OA ，我们能用基本单位向量,i j 来表示它吗？如上图右,设如果点A 的坐标为(),x y ，它在小x 轴,y 轴上的投影分别为M,N ，那么向量OA能用向量OM与ON来表示吗？（依向量加法的平行四边形法则可得OA OM ON =+)，OM与ON 能用基本单位向量,i j 来表示吗？（依向量与实数相乘的几何意义可得,OMxi ON y j ==），于是可得： OA OM ON xi y j =+=+由上面这个式子，我们可以看到:平面直角坐标系内的任一位置向量OA 都能表示成两个相互垂直的基本单位向量,i j 的线性组合，这种向量的表示方法我们称为向量的正交分解。
2。
向量的坐标表示思考2：对于平面直角坐标系内的任意一个向量，我们都能将它正交分解为基本单位向量,i j 的线性组合吗？如下图左。
平面向量的坐标公式大全
平面向量的坐标公式大全若向量a=x，y，向量b=m，n，则a乘以b=xm+yn，a+b=x+m，y+n。
在直角坐标系内，其中x叫做a在x轴上的坐标，y叫做a在y轴上的坐标，上式叫做向量的坐标表示。
在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一对实数唯一表示。
1、加法向量加法的三角形法则，已知向量AB、BC，再作向量AC，则向量AC叫做AB、BC的和，记作AB+BC，即有：AB+BC=AC。
2、减法AB-AC=CB，这种计算法则叫做向量减法的三角形法则，简记为：共起点、连中点、指被减。
-(-a)=a、a+(-a)=(-a)+a=0、a-b=a+(-b)。
3、数乘实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa。
当λ>0时，λa的方向和a的方向相同，当λ<0时，λa的方向和a的方向相反，当λ= 0时，λa=0。
用坐标表示的情况下有：λAB=λ(x2-x1,y2-y1)=(λx2-λx1,λy2-λy1)。
扩展资料：物理学中的速度与力的平行四边形概念是向量理论的一个重要起源之一。
18世纪中叶之后，欧拉、拉格朗日、拉普拉斯和柯西等的工作，直接导致了在19世纪中叶向量力学的建立。
同时，向量概念是近代数学中重要和基本的概念之一，有着深刻的几何背景。
它始于莱布尼兹的位置几何。
现代向量理论是在复数的几何表示这条线索上发展起来的。
18世纪，由于在一些数学的推导中用到复数，复数的几何表示成为人们探讨的热点。
哈密顿在做3维复数的模拟物的过程中发现了四元数。
随后，吉布斯和亥维赛在四元数基础上创造了向量分析系统，最终被广为接受。
平面向量的坐标与基本定理
平面向量的坐标与基本定理平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。
在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示平面中的向量，并且可以利用向量的坐标进行运算和推导。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及基本定理的应用。
一、平面向量的坐标表示方法1. 平面直角坐标系在平面直角坐标系中，我们通常将横轴称为x轴，纵轴称为y轴。
一个平面向量可以用其在x轴和y轴上的投影（即坐标）表示。
例如，一个向量a在x轴上的投影为aₓ，在y轴上的投影为aᵧ。
那么向量a的坐标表示为(aₓ,aᵧ)。
2. 向量的坐标运算（1）向量的加法运算：设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，则它们的和向量c=a+b的坐标表示为(cₓ,cᵧ)，其中cₓ=aₓ+bₓ，cᵧ=aᵧ+bᵧ。
（2）向量的数乘运算：设有一个向量a=(aₓ,aᵧ)和一个实数k，那么向量ka的坐标表示为(kaₓ,kaᵧ)，其中kaₓ=kaₓ，kaᵧ=kaᵧ。
二、平面向量的基本定理1. 向量共线定理如果有两个非零向量a和b，它们的坐标表示分别为(aₓ,aᵧ)和(bₓ,bᵧ)，那么a与b共线的充要条件是存在一个不为零的实数k，使得ka=b。
即a与b共线的条件是：aₓ/bₓ=aᵧ/bᵧ。
2. 平行四边形定理设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，那么以a和b为邻边的平行四边形的面积S等于向量a和b的叉乘的模长。
即S=|a×b|=|aₓbᵧ-aᵧbₓ|。
3. 向量的数量积向量的数量积是指两个向量之间的乘积。
设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，那么向量a和b的数量积a·b等于aₓbₓ+aᵧbᵧ。
三、平面向量的应用1. 判断向量共线根据向量共线定理，我们可以通过计算向量的坐标比值来判断向量是否共线。
如果两个向量的坐标比值相等，则它们共线；否则，它们不共线。
2. 计算平行四边形的面积根据平行四边形定理，我们可以通过计算向量的叉乘的模长来求平行四边形的面积。
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平面向量的坐标表示与运算平面向量是几何中非常重要的概念，它能够用一个有序的数对来表示一个有大小和方向的量。
在数学中，平面向量通常用箭头来表示，箭头的起点表示该向量的起点，箭头的长度表示该向量的大小，箭头的方向表示该向量的方向。
对于平面向量的坐标表示与运算，下面将进行详细的介绍。
一、平面向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，一个平面向量可以用一个二维有序数对来表示。
设向量的起点为原点O(0, 0)，终点为P(x, y)，向量的坐标表示为OP = (x, y)。
二、平面向量的运算
平面向量可以进行加法、减法和数量乘法等运算。
1. 平面向量的加法
设平面向量A的坐标表示为A(x₁, y₁)，向量B的坐标表示为
B(x₂, y₂)，则它们的和向量C的坐标表示为C(x₁+x₂, y₁+y₂)。
即C = A + B = (x₁+x₂, y₁+y₂)。
2. 平面向量的减法
设平面向量A的坐标表示为A(x₁, y₁)，向量B的坐标表示为
B(x₂, y₂)，则它们的差向量D的坐标表示为D(x₁-x₂, y₁-y₂)。
即D = A - B = (x₁-x₂, y₁-y₂)。
3. 平面向量的数量乘法
设平面向量A的坐标表示为A(x, y)，实数k为任意实数，则k与A 的数量乘积的坐标表示为kA(kx, ky)。
三、平面向量运算的性质
平面向量的运算满足如下性质：
1. 加法的交换律和结合律：对于任意的两个向量A和B，有A + B = B + A和(A + B) + C = A + (B + C)。
2. 减法的定义：向量减法可以等价于向量加法：A - B = A + (-B)。
3. 数量乘法的结合性：对于任意实数k和向量A，有(kl)A = k(lA)，其中l为实数。
4. 数量乘法的分配率：对于任意的实数k和向量A、B，有k(A + B) = kA + kB。
四、平面向量的模和方向角
平面向量的模表示向量的大小，可以用勾股定理求得。
设向量A的坐标表示为A(x, y)，则A的模表示为|A| = √(x² + y²)。
平面向量的方向角表示向量与x轴正半轴的夹角，可以用三角函数求得。
设向量A的坐标表示为A(x, y)，则A的方向角可以用公式θ = arcsin(y/|A|)求得。
五、平面向量的共线与垂直性质
1. 共线性质：若存在实数k，使得向量A = kB，则向量A与向量B 共线。
2. 垂直性质：若两个向量的坐标表示为A(x₁, y₁)和B(x₂, y₂)，则A与B垂直的充分必要条件是x₁x₂ + y₁y₂ = 0。
六、平面向量的应用
平面向量的坐标表示和运算在几何中有广泛的应用。
例如，在平面几何中，可以用平面向量的共线性质来判定直线的平行或重合关系。
在物理中，平面向量的坐标表示和运算被用于力的分解、加成等问题的求解。
结语：
平面向量的坐标表示与运算是数学中的重要概念之一，通过上述介绍，我们可以了解到平面向量的坐标表示方式、加法、减法、数量乘法的运算规则，以及平面向量的模和方向角的求取方法。
平面向量的运算性质、共线性质和垂直性质也是我们需要了解的基本概念。
最后，平面向量的应用范围广泛，对于几何和物理等领域的问题都具有重要的意义。
通过学习和掌握平面向量的坐标表示与运算，我们能够更好地理解和应用相关的数学知识。