圆锥曲线压轴题含答案
圆锥曲线压轴难题及解答
2 2圆锥曲线提高题1.设抛物线y 2 2px(p 0)的焦点为F ，点A(0, 2).若线段FA 的中点B 在抛物线上，则B 到该抛物线准线的距离为解析：利用抛物线的定义结合题设条件可得出p 的值为 2 , B 点坐标为(,)所43 _2，本题主要考察抛物线的定义及几何性质，属容易 4线的距离为 ____________ • 解析：设BF=m,由抛物线的定义知AA-i 3m, BB 1 mABC 中，AC=2m,AB=4nk,AB ，3直线AB 方程为y 3(x 1)与抛物线方程联立消 y 得3x 210xx 1 x 2所以AB 中点到准线距离为 —22解析：本题主要考察椭圆的几何性质，直线与椭圆，点与圆的位置 关系等基础知识，同时考察解析几何的基本思想方法和综合解题能力。
2 .(I)解：因为直线 I : x mym0经过F 2C m 21,0),2- 亠八 m 3 .已知m > 1，直线l : x my 一 2 椭圆C：2x-2m F1F2分别为椭圆C 的左、右焦点. (I )当直线 I 过右焦点F 2时，求直线I 的方程; (n )设直线 I 与椭圆C 交于A,B 两点，V AF , F 2, 重心分别为G, H •若原点0在以线段GH 为直径的圆内, 的取值范围• 以点B 到抛物线准线的距离为2.已知以F 为焦点的抛物线y 24x 上的两点 A 、B 满足 uur AF uuu3FB 则弦AB 的中点到准. 2 所以'm 21m得 m 22 ,又因为m 1所以m .2 ,且有y i y 2由于 F i ( c,0), F 2(c,0),, 故O 为F 1F 2的中点，uuur uuur umr uuir 由 AG 2GO, BH 2HO ,由题意可知2 MO GH ,2 2即 4[(X 1 X 2 )2(y 1y 2 )2] (X 1 X 2) (y 1y ?)66 99即 x-i x 2 y y 2故直线I 的方程为x ,2y2(n)解：设 A(xi, yj, BM y 2)。
高中数学圆锥曲线压轴题大全
高中数学圆锥曲线压轴题大全(总25页)-本页仅作为预览文档封面，使用时请删除本页-数学压轴题圆锥曲线类一1．如图，已知双曲线C ：x a yba b 2222100-=>>()，的右准线l 1与一条渐近线l 2交于点M ，F 是双曲线C 的右焦点，O 为坐标原点.（I ）求证：O M M F→⊥→； （II ）若||MF →=1且双曲线C 的离心率e =62，求双曲线C 的方程；（III ）在（II ）的条件下，直线l 3过点A （0，1）与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q 且P在A 、Q 之间，满足A P A Q →=→λ，试判断λ的范围，并用代数方法给出证明.2．已知函数f x x n x n f n n x n n N ()()[()]()(*)=≤--+--<≤∈⎧⎨⎩00111，， 数列{}a n 满足a f n nN n=∈()(*) （I ）求数列{}a n 的通项公式； （II ）设x 轴、直线x a =与函数y f x =()的图象所围成的封闭图形的面积为Sa a ()()≥0，求S nS n n N ()()(*)--∈1； （III ）在集合M N N kkZ ==∈{|2，，且10001500≤<k }中，是否存在正整数N ，使得不等式a S n S n n->--10051()()对一切n N >恒成立？若存在，则这样的正整数N 共有多少个？并求出满足条件的最小的正整数N ；若不存在，请说明理由.（IV ）请构造一个与{}a n 有关的数列{}b n ，使得l i m ()n nb b b →∞+++12 存在，并求出这个极限值. 19. 设双曲线y ax 22231-=的两个焦点分别为F F 12、，离心率为2.（I ）求此双曲线的渐近线l l 12、的方程； （II ）若A 、B 分别为l l 12、上的点，且2512||||A B F F =，求线段AB 的中点M 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线； （III ）过点N ()10，能否作出直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且OP O Q →→=·0.若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由.3. 已知数列{}a n 的前n 项和为S n N n ()*∈，且S m m a n n=+-()1对任意自然数都成立，其中m 为常数，且m <-1. （I ）求证数列{}a n 是等比数列；（II ）设数列{}a n 的公比q f m =()，数列{}b n 满足：b a b f b n n 11113==-，() ()*n n N ≥∈2，，试问当m 为何值时，l i m (l g )l i m (n b a n b b b b b b n n →∞=→∞+++3122334…+-b b n n 1)成立？4．设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左焦点为F ，上顶点为A ，过点A 与AF 垂直的直线分别交椭圆和x 轴正半轴于P ，Q 两点，且P 分向量AQ 所成的比为8∶5．（1）求椭圆的离心率； （2）若过F Q A ,,三点的圆恰好与直线l ：033=++y x 相切，求椭圆方程．5．（理）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n ≥-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y 的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．（文）给定正整数n 和正数b ，对于满足条件b a a n =-+211的所有无穷等差数列{}n a ，试求1221++++++=n n n a a a y 的最大值，并求出y 取最大值时{}n a 的首项和公差．6．垂直于x 轴的直线交双曲线2222=-y x 于M 、N 不同两点，A 1、A 2分别为双曲线的左顶点和右顶点，设直线A 1M 与A 2N 交于点P （x 0，y 0）（Ⅰ）证明：;2202为定值y x +（Ⅱ）过P 作斜率为02y x -的直线l ，原点到直线l 的距离为d ，求d 的最小值. 7．已知函数x x x f sin )(-= （Ⅰ）若;)(],,0[的值域试求函数x f x π∈（Ⅱ）若);32(3)()(2:),,0(],,0[xf x f f x +≥+∈∈θθπθπ求证（Ⅲ）若)32(3)()(2,),)1(,(],)1(,[xf x f f Z k k k k k x ++∈+∈+∈θθππθππ与猜想的大小关系（不必写出过程）.数学压轴题圆锥曲线类二1．如图，设抛物线2:xy C=的焦点为F ，动点P 在直线02:=--y x l 上运动，过P 作抛物线C 的两条切线PA 、PB ，且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点.（1）求△APB 的重心G 的轨迹方程. （2）证明∠PFA=∠PFB. 2．设A 、B 是椭圆λ=+223y x上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点.（Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程；（Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （此题不要求在答题卡上画图）3． 已知不等式n n n 其中],[log 21131212>+++ 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足 ,4,3,2,),0(111=+≤>=--n a n na a b b a n n n（Ⅰ）证明 ,5,4,3,][log 222=+<n n b ba n （Ⅱ）猜测数列}{n a 是否有极限？如果有，写出极限的值（不必证明）；（Ⅲ）试确定一个正整数N ，使得当N n>时，对任意b>0，都有.51<n a4．如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，长轴A 1A 2的长为4，左准线l 与x 轴的交点为M ，|MA 1|∶|A 1F 1|＝2∶1．(Ⅰ)求椭圆的方程；(Ⅱ)若点P 为l 上的动点，求∠F 1PF 2最大值．5．已知函数()f x 和()g x 的图象关于原点对称，且()22f x x x =+．(Ⅰ)求函数()g x 的解析式；(Ⅱ)解不等式()()1g x f x x ≥--；(Ⅲ)若()()()1h x g x f x λ=-+在[]1,1-上是增函数，求实数λ的取值范围．数学压轴题圆锥曲线类三1．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别是F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足.2||1a Q F =点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足.0||,022≠=⋅TF TF PT（Ⅰ）设x 为点P 的横坐标，证明x aca P F +=||1； （Ⅱ）求点T 的轨迹C 的方程；（Ⅲ）试问：在点T 的轨迹C 上，是否存在点M ，使△F 1MF 2的面积S=.2b若存在，求∠F 1MF 2的正切值；若不存在，请说明理由.2．函数)(x f y =在区间（0，+∞）内可导，导函数)(x f '是减函数，且.0)(>'x f 设m kx y x +=+∞∈),,0(0是曲线)(x f y =在点（)(,00x f x ）得的切线方程，并设函数.)(m kx x g += （Ⅰ）用0x 、)(0x f 、)(0x f '表示m ；（Ⅱ）证明：当)()(,),0(0x f x g x ≥+∞∈时；（Ⅲ）若关于x 的不等式),0[231322+∞≥+≥+在x b ax x 上恒成立，其中a 、b 为实数，求b 的取值范围及a 与b 所满足的关系.3．已知数列{}n a 的首项15,a =前n 项和为n S ，且*15()n n S S n n N +=++∈（I ）证明数列{}1n a +是等比数列；（II ）令212()nn f x a x a x a x=+++，求函数()f x 在点1x =处的导数(1)f '并比较2(1)f '与22313n n -的大小.4．已知动圆过定点,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，且与直线2p x =-相切，其中0p >.（I ）求动圆圆心C 的轨迹的方程； （II ）设A 、B 是轨迹C 上异于原点O 的两个不同点，直线OA 和OB 的倾斜角分别为α和β，当,αβ变化且αβ+为定值(0)θθπ<<时，证明直线AB 恒过定点，并求出该定点的坐标.5．椭圆C 1的方程为1422=+y x ，双曲线C 2的左、右焦点分别为C 1的左、右顶点，而C 2的左、右顶点分别是C 1的左、右焦点. （Ⅰ）求双曲线C 2的方程； （Ⅱ）若直线2:+=kx y l与椭圆C 1及双曲线C 2都恒有两个不同的交点，且l 与C 2的两个交点A 和B 满足6<⋅OB OA （其中O 为原点），求k 的取值范围.6.数列{a n }满足)1(21)11(1211≥+++==+n a n n a a nn n 且. （Ⅰ）用数学归纳法证明：)2(2≥≥n a n ；（Ⅱ）已知不等式)1(:,0)1ln(2≥<><+n e a x x x n 证明成立对，其中无理数e=….7．已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a .),4(,21,110N n a a a a n n n ∈-==+ （1）证明;,21N n a a n n ∈<<+（2）求数列}{n a 的通项公式a n .1.解：（I ） 右准线l 12：x a c =，渐近线l 2：y bax =∴=+M a c a b cF c c a b()()22220，，，， ，∴→=O M a c a b c ()2， M F c a c a b c b c a bc →=--=-()()22，，O M M F a b c a bc O M M F →⋅→=-=∴→⊥→2222220 ……3分（II ） e b a e a b =∴=-=∴=621222222，，||()M F b c a b c b b a cb a →=∴+=∴+=∴==1111142222222222，，， ∴双曲线C 的方程为：x y 2221-= ……7分 （III ）由题意可得01<<λ ……8分证明：设l 31：y k x =+，点P x y Q x y ()()1122，，， x =由x y y kx 22221-==+⎧⎨⎩得()1244022--+=kx k x l 3与双曲线C 右支交于不同的两点P 、Q∴-≠=+->+=->=-->⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪∴≠±<<-<⎧⎨⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪120161612041204120221012022212212222k k k x x k k x x k k k k k ∆() ∴-<<-122k ……11分 A P A Q x y x y →=→∴-=-λλ，，，()()112211，得x x 12=λ∴+=-=--∴+=--=-=+-()()()1412412116412421222122222222222λλλλx k k x kk k k k k ， -<<-∴<-<∴+>12202111422k k ，，()λλ∴+>∴-+>()1421022λλλλ∴λ的取值范围是（0，1）……13分 2.解：（I ） nN ∈* ∴=--+-=+-f n n n n f nn f n ()[()]()()111 ∴--=f n f n n()()1 ……1分 ∴-=-=-=f f f f f f ()()()()()()101212323……fn fn n ()()--=1 将这n 个式子相加，得fnf n n n ()()()-=++++=+012312f f n n n ()()()0012=∴=+∴=+∈a n n n N n()(*)12……3分 （II ）S n S n ()()--1为一直角梯形（n =1时为直角三角形）的面积，该梯形的两底边的长分别为fn f n ()()-1，，高为1∴--=-+⨯=+-S n S n f n f n a a n n()()()()112121=-++=12121222[()()]n n n n n……6分（III ）设满足条件的正整数N 存在，则n n n nn ()+->⇔>⇔>12100522100520102 又M ={}200020022008201020122998，，，，，，，∴=N 201020122998，，……，均满足条件 它们构成首项为2010，公差为2的等差数列. 设共有m 个满足条件的正整数N ，则2010212998+-=()m ，解得m =495 ∴M 中满足条件的正整数N 存在，共有495个，N m i n =2010 ……9分（IV ）设b a nn=1，即b n n n n n =+=-+212111()()则b b b n n n n 122112121313141112111+++=-+-+-++-+=-+ [()()()()]()显然，其极限存在，并且l i m ()l i m []n nn b b b n →∞→∞+++=-+=122112 ……10分 注：b c a n n=（c 为非零常数），b b q q n a n n a n n n ==<<++()(||)12012121，等都能使l i m ()n n b b b →∞+++12 存在. 19.解：（I ） ec a =∴=2422，c a a c 22312=+∴==，， ∴-=双曲线方程为y x 2231，渐近线方程为y x =±33 4分（II ）设A x y B x y ()()1122，，，，AB 的中点()Mx y ，[]2552522101033332233333331012121221221122121212121212122122||||||||()()()()()()AB F F AB F F c x x y y y x y x x x x y y y y y x x y y x x y y x x =∴==⨯=∴-+-===-=+=+∴+=--=+∴+++⎡⎣⎢⎤⎦⎥=又，，，， ∴+=+=321321007532512222()()y x x y，即则M 的轨迹是中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长为103，短轴长为1033的椭圆.（9分）（III ）假设存在满足条件的直线l设l y k x l P x y Q x y ：，与双曲线交于，、，=-()()()11122[] O P O Q xx y y xx k x x xx k xx x x i →→=∴+=∴+--=∴+-++=·0110101212122121221212()()()()由得则，y k x y x k x k x k x x k k xx k k i i =--=⎧⎨⎪⎩⎪--+-=+=-=--()()()13131633063133312222212221222 由（i ）（ii ）得k 230+= ∴k 不存在，即不存在满足条件的直线l . 14分3.解：（I ）由已知S m m a n n ++=+-1111()()S m m a n n=+-()1 （2） 由()()12-得：a m a m a n n n ++=-11，即()m a m a n n+=+11对任意n N ∈*都成立 {} m m a a m m a n n n 为常数，且即为等比数列分<-∴=++1151（II ）当n =1时，a m m a 111=+-() ∴====+∴==+≥∈---a b I q f m mm b f b bb n n N n n n n 11111113112，从而由（）知，()()()* ∴=+-=∴⎧⎨⎩⎫⎬⎭∴=+-=+=+∈--1111111131212911b b b b b b n n b n n N n n n n n n n，即为等差数列，分()()*a m m n n =+⎛⎝ ⎫⎭⎪-11∴→∞=→∞-++=+→∞+++=→∞-+-+++-+⎛⎝ ⎫⎭⎪=-l i m (l g )l i m l g l g l i m ()l i m n b a n n n m m mm n bb bb b b n n n n nn n 121133131414151112112231·……由题意知lg mm +=11，∴+=∴=-m m m 110109， 13分4.解：（1）设点),0,(),0,(0c F x Q -其中),0(,22b A b a c -=．由P 分AQ 所成的比为8∶5，得)135,138(0b x P ， 2分 ∴a x a x 231)135()138(022202=⇒=+．①， 4分 而AQ FA b x AQ b c FA ⊥-==),,(),,(0，∴0=⋅AQ FA ．cb x b cx 2020,0==-∴．②， 5分由①②知0232,32222=-+∴=a ac c ac b ．∴21.02322=∴=-+e e e ． 6分（2）满足条件的圆心为)0,2(22cc b O -'， )0,(,2222222c O c cc c a c c b '∴=--=-， 8分圆半径a ca cb r ==+=22222．10分由圆与直线l ：033=++y x 相切得，a c =+2|3|， 又3,2,1,2===∴=b a c c a ．∴椭圆方程为13422=+y x ． 12分5.（理）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分 dn a n nd a d a a a a a y n n n n n n n )21()1()()(11111221+++++=+++++=+++=+++++++d n n a n n 2)1()1(1+++=+ 4分)2)(1()2)(1(1111a a a n nda n n n n -++=++=+++)3(2111a a n n -+=+． 7分又211211,++--≤-∴≥-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-≤-++++，当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+≤-+=+． 13分 当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=，∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分（文）解：设{}n a 公差为d ，则1111,a a nd nd a a n n -=+=++． 3分 )2)(1(2)1()1()21()1()()(1111111221nda n d n n a n d n a n nd a d a a a a a y n n n n n n n n n ++=+++=+++++=++++=+++=+++++++++)3(21)2)(1(11111a a n a a a n n n n -+=-++=+++， 6分又211211,++--=-∴=-n n a b a b a a ．∴449449)23(332112111b b a b a a a a n n n n -≤-+--=-+-=-++++．当且仅当231=+n a 时，等号成立． 11分∴8)49)(1()3(2111b n a a n y n -+=-+=+． 13分 当数列{}n a 首项491+=b a ，公差n b d 434+-=时，8)49)(1(b n y -+=．∴y 的最大值为8)49)(1(b n -+． 14分6.解（Ⅰ）证明：)0,2(),0,2(),,(),,(211111A A y x N y x M --- 则设)2(2111++=∴x x y y M A 的方程为直线①直线A 2N 的方程为)2(211---=x x y y ②……4分①×②，得)2(2221212---=x x y y分为定值的交点与是直线即822),(22),2(21,222020210022222121 =+∴=+--=∴=-y x N A M A y x P y x x y y x（Ⅱ）02222),(20020200000=-+=+--=-y y x x y x x x y x y y l 整理得结合的方程为22020201222242y yyx d +=+=+=于是……10分11221122220202020≥+=∴≤+∴≤∴=+y d y y y x 当1,1,1200取最小值时d y y =±=……12分7.解：（Ⅰ）为增函数时当)(,0cos 1)(,),0(x f x x f x ∴>-='∈π分的值域为即求得所以上连续在区间又4],0[)()(0),()()0(],0[)( ππππx f x f f x f fx f ≤≤≤≤（Ⅱ）设)32(3)()(2)(x f x f f x g +-+-=θθ，32sin3sin )(2)(xx f x g +++-=θθ即 )32cos cos (31)(xx x g ++-='θ……6分θπθπθπ=='∈+∴∈∈x x g xx 得由,0)(),0(32),0(],,0[ .)(,0)(,),0(为减函数时当x g x g x <'∈∴θ分为增函数时当8)(,0)(,),( x g x g x >'∈πθ 分因而有对的最小值为则上连续在区间10)32(3)()(20)()(],0[)()(],0[)( x f x f f g x g x x g g x g +≥+=≥∈θθθπθπ （Ⅲ）在题设条件下，当k 为偶数时)32(3)()(2xf x f f +≥+θθ 当k 为奇数时)32(3)()(2xf x f f +≤+θθ……14分 数学压轴题圆锥曲线类二1.解：（1）设切点A 、B 坐标分别为))((,(),(0121120x x x x x x ≠和，∴切线AP 的方程为：;02200=--x y x x切线BP 的方程为：;02211=--x y x x解得P 点的坐标为：1010,2x x y x x x P P=+=所以△APB 的重心G 的坐标为 P PG x x x x x =++=310， ,343)(3321021010212010pP P G y x x x x x x x x x y y y y -=-+=++=++=所以243G G p x y y +-=，由点P 在直线l 上运动，从而得到重心G 的轨迹方程为：).24(31,02)43(22+-==-+--x x y x y x 即（2）方法1：因为).41,(),41,2(),41,(2111010200-=-+=-=x x FB x x x x FP x x FA 由于P 点在抛物线外，则.0||≠FP∴||41)1)(1(||||cos 102010010FP x x x x x x x x FA FP FA FP AFP +=--+⋅+==∠同理有||41)1)(1(||||cos 102110110FP x x x x x x x x FB FP BFP +=--+⋅+==∠∴∠AFP=∠PFB. 方法2：①当,0,0,,0000101==≠=y x x x x x 则不妨设由于时所以P 点坐标为)0,2(1x ，则P 点到直线AF 的距离为：,4141:;2||12111x x x y BF x d -=-=的方程而直线即.041)41(1121=+--x y x x x所以P 点到直线BF 的距离为：2||412||)41()()41(|42)41(|1211212122111212x x x x x x x x x d =++=+-+-=所以d 1=d 2，即得∠AFP=∠PFB.②当001≠x x 时，直线AF 的方程：,041)41(),0(041410020020=+-----=-x y x x x x x x y 即 直线BF 的方程：,041)41(),0(0414********=+-----=-x y x x x x x x y 即 所以P 点到直线AF 的距离为：2||41)41)(2|)41(|41)2)(41(|1020201020220012010201x x x x x x x x x x x x x x d -=++-=+-+-+-=，同理可得到P 点到直线BF 的距离2||012x x d -=，因此由d 1=d 2，可得到∠AFP=∠PFB.（Ⅰ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为λ=++-=223,3)1(y x x k y 代入，整理得.0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ①设212211,),,(),,(x x y x B y x A 则是方程①的两个不同的根， ∴,0])3(3)3([422>--+=∆k k λ ②且,3)3(2221+-=+k k k x x 由N （1，3）是线段AB 的中点，得.3)3(,12221+=-∴=+k k k x x 解得k=－1，代入②得，λλ即,12>的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设),,(),,(2211y x B y x A 则有.0))(())((332121212122222121=+-++-⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+y y y y x x x x y x y x λλ依题意，.)(3,212121y y x x k x x AB ++-=∴≠ ∵N （1，3）是AB 的中点， ∴.1,6,22121-==+=+AB k y y x x 从而又由N （1，3）在椭圆内，∴,1231322=+⨯>λ∴λ的取值范围是（12，+∞）.直线AB 的方程为y －3=－（x －1），即x+y －4=0.（Ⅱ）解法1：∵CD 垂直平分AB ，∴直线CD 的方程为y －3=x －1，即x －y+2=0，代入椭圆方程，整理得 .04442=-++λx x又设),,(),,(4433y x D y x C CD 的中点为4300,),,(x x y x C 则是方程③的两根，∴).23,21(,232,21)(21,10043043-=+=-=+=-=+M x y x x x x x 即且于是由弦长公式可得 .)3(2||)1(1||432-=-⋅-+=λx x kCD ④将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程得016842=-+-λx x ⑤同理可得 .)12(2||1||212-=-⋅+=λx x k AB ⑥∵当12>λ时，||||,)12(2)3(2CD AB <∴->-λλ假设存在λ>12，使得A 、B 、C 、D 四点共圆，则CD 必为圆的直径，点M 为圆心.点M 到直线AB 的距离为 .2232|42321|2|4|00=-+-=-+=y x d ⑦ 于是，由④、⑥、⑦式和勾股定理可得.|2|2321229|2|||||22222CD AB d MB MA =-=-+=+==λλ 故当λ>12时，A 、B 、C 、D 四点匀在以M 为圆心，2||CD 为半径的圆上.（注：上述解法中最后一步可按如下解法获得：）A 、B 、C 、D 共圆⇔△ACD 为直角三角形，A 为直角⇔|AN|2=|CN|·|DN|，即 ).2||)(2||()2||(2d CD d CD AB -+= ⑧ 由⑥式知，⑧式左边,212-=λ由④和⑦知，⑧式右边,2122923)2232)3(2)(2232)3(2(-=--=--+-=λλλλ∴⑧式成立，即A 、B 、C 、D 四点共圆.解法2：由（Ⅱ）解法1及λ>12, ∵CD 垂直平分AB ， ∴直线CD 方程为13-=-x y ，代入椭圆方程，整理得.04442=-++λx x ③将直线AB 的方程x+y －4=0，代入椭圆方程，整理得.016842=-+-λx x ⑤解③和⑤式可得 .231,21224,32,1-±-=-±=λλx x 不妨设)233,231(),233,231(),12213,12211(-+-+---------+λλλλλλD C A∴)21233,23123(---+-+-+=λλλλCA)21233,23123(-------+=λλλλDA计算可得0=⋅DA CA ，∴A 在以CD 为直径的圆上.又B 为A 关于CD 的对称点，∴A 、B 、C 、D 四点共圆. （注：也可用勾股定理证明AC ⊥AD ）3.本小题主要考查数列、极限及不等式的综合应用以及归纳递推的思想. （Ⅰ）证法1：∵当,111,0,211111na na a n a a n na a nn n n n n n n +=+≥∴+≤<≥-----时即,1111na a n n ≥-- 于是有.111,,3111,211112312na a a a a a n n ≥-≥-≥-- 所有不等式两边相加可得.13121111na a n +++≥- 由已知不等式知，当n ≥3时有，].[log 211121n a a n >- ∵.][log 22.2][log 2][log 2111,2221n b ba b n b n b a b a n n +<+=+>∴= 证法2：设n n f 13121)(+++= ，首先利用数学归纳法证不等式.,5,4,3,)(1 =+≤n bn f ba n（i ）当n=3时， 由 .)3(11223313333112223b f ba a a a a a +=++⋅≤+=+≤知不等式成立.（ii ）假设当n=k （k ≥3）时，不等式成立，即,)(1bk f ba k+≤则1)(1)1(11)1(1)1()1(1++⋅++≤+++=+++≤+bb k f k k a k k a k a k a k k k k ,)1(1)11)((1)()1()1()1(bk f bbk k f b b b k f k k b k ++=+++=+++++=即当n=k+1时，不等式也成立. 由（i ）、（ii ）知，.,5,4,3,)(1 =+≤n bn f ba n又由已知不等式得 .,5,4,3,][log 22][log 21122 =+=+<n n b bb n ba n（Ⅱ）有极限，且.0lim =∞→n n a（Ⅲ）∵,51][log 2,][log 2][log 22222<<+n n n b b 令则有,10242,10][log log 1022=>⇒>≥n n n故取N=1024，可使当n>N 时，都有.51<n a4.解：(Ⅰ)设椭圆方程为()222210x y a b a b+=>>，半焦距为c ，则()2111222222,2242,1 1.43a MA a A F a cca a a c c a abc a b c x y =-=-⎧-=-⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩∴===+=由题意,得 故椭圆方程为 (Ⅱ)()004,,0P y y -≠设001122121102112212000121212350,22tan 115tan y y PF k PF k F PF PF M F PF y k k F PF k k y y y F PF F PF F PF π=-=-<∠<∠<∴∠-∴∠==≤=++=±∠∠∠设直线的斜率,直线的斜率 为锐角。
圆锥曲线压轴习题锦集
【题文】已知抛物线上异于坐标原点的两不同动点、满足求的面积的最小值．【参考答案】解：令设直线方程为由得，则又点到直线的距离为【题文】已知抛物线：，直线：与抛物线有且只有一个公共点．求抛物线的方程以及点坐标；设为坐标原点，直线平行于与交于不同的两点，，且与直线交于点，是否存在常数，使得？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【参考答案】解：因为直线：与抛物线有且只有一个公共点，而由得，所以，解得，因此抛物线的方程为．将代入得，解得，因此点坐标为．由知，因此直线的斜率为，而直线平行于，所以可设直线的方程为．又因为直线与直线交于点，所以由得点的坐标为，因此．又因为直线与抛物线交于不同的两点，，若，，由得，所以，，因此，，所以．假设存在常数，使得成立，则，解得，因此存在常数，使得成立．【试题解析】本题考查了两条直线的交点坐标，两点间的距离公式和直线与抛物线的位置关系，考查了学生的运算能力，属于较难题．利用直线与抛物线相切，把直线的方程代入到抛物线的方程得，再利用判别式，计算得抛物线的方程为，再把将代入，计算得点的坐标；利用题目条件设直线的方程为，利用两条直线的交点坐标得点的坐标，再利用两点间的距离公式得，再设，，由由得，，再利用两点间的距离公式得，最后结合题目条件，计算得结论．【题文】已知点，点为抛物线上任意一点，且点为的中点，设动点的轨迹为曲线．Ⅰ求曲线的方程；Ⅱ已知点关于的对称点为点，是否存在斜率为的直线交曲线于、两点，且为以为底边的等腰三角形？若存在，请求出的面积；若不存在，请说明理由．【参考答案】解：Ⅰ设，，是的中点，则，因为为抛物线上，所以，即，所以，故曲线的方程为：；Ⅱ由题意得，设直线：，设，，将的方程代入得，所以，，，所以，的中点，因为，所以，所以符合，所以直线存在，所以化为，，，所以：，所以．【试题解析】本题考查求轨迹方程及直线与抛物线的综合，及面积公式，属于较难题．Ⅰ设的坐标，可得的中点的坐标，由在抛物线上可得的方程；Ⅱ设直线的方程，直线与抛物线联立求出两根之和及两根之积，可得的中点的坐标，由为以为底边的等腰三角形可得，所以可得，求出直线的方程，及弦长及的值，代入面积公式求出面积【题文】顺次连接椭圆的四个顶点得到边长为的菱形，且该菱形的对角线长度之比为．求椭圆的标准方程；设椭圆的右焦点为，定点，过点的直线与椭圆交于两点，设直线的斜率分别为，求证：．【参考答案】解：依题意得解得，所以椭圆的标准方程为．由知，证明：当直线的斜率不存在时，直线，的倾斜角互补，所以．当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆的方程，整理得，设，则，，综上所述，【试题解析】本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的性质和几何意义，考查直线与椭圆的位置关系，考查圆锥曲线中的定值问题，属于中档题．根据椭圆的方程结合椭圆的性质和几何意义得解方程组即可．当直线的斜率不存在时，直线，的倾斜角互补，所以当直线的斜率存在时，设其方程为，代入椭圆的方程，整理根据韦达定理得，从而化简即可求解．【题文】已知动点到点的距离比到直线的距离大．求动点的轨迹的方程；过点的直线与相交于，两点，直线与轴的交点为求证：．【参考答案】解：设点的坐标为，则点到直线的距离，由题意，点满足集合，所以，化简得，故动点的轨迹的方程为．证明：显然直线的斜率不为，故设直线的方程为，设，把代入，化简得到，则，且，由题意知，显然直线、的斜率都存在，分别设为，则，所以．【试题解析】本题考查圆锥曲线中的轨迹问题以及直线与圆锥曲线的位置关系，属于中档题．设点的坐标为，则点到直线的距离，写出点满足的条件，用坐标来表示，化简即可得到答案；显然直线的斜率不为，故设直线的方程为，设，设直线、的斜率分别为，把直线方程代入抛物线方程得到，结合韦达定理证明即可．【题文】已知椭圆的焦点在轴上，过作垂直于轴的直线，交椭圆于两点且，的周长为．求椭圆的方程；动点在直线上，由点引椭圆的两条切线，切点分别是，求证：直线过定点．【参考答案】解：的周长为，，．把代入椭圆方程中，可得，，，椭圆方程为．在直线上，，设，，设处的切线方程为假设斜率存在，联立方程得：，直线与椭圆相切，，方程有两个等根，，即，代入切线方程，可得：当斜率不存在时，也成立，同理，因为，都过点，，根据上式，可得直线的方程为：，把式代入上式，化简得：，直线过定点．【试题解析】本题考查椭圆的标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、圆锥曲线中定点问题的求解，属于中档题．根据椭圆的定义求出的值，再根据，得到，求出，从而得到椭圆的标准方程；先根据在直线上，得到，设，，，再设出处的切线方程假设斜率存在，并与椭圆方程联立，根据直线与椭圆相切，得到当斜率不存在时，也成立，同理得到，进而得到直线的方程为：，再结合式，化简得到直线过定点．【题文】已知椭圆的一个焦点坐标为，一条斜率为的直线分别交，轴于点，，交椭圆于点，，且点，三等分．求该椭圆的方程若是第一象限内椭圆上的点，其横坐标为，过点的两条不同的直线分别交椭圆于点，，且直线，的斜率之积，求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标．【参考答案】解：不妨设，，，，则，即，，则由题意知，，或，，分别代入椭圆的方程得消去，整理得，，又，所以，．故该椭圆的方程为．解法一由题意得，直线的斜率存在，且不为，设直线的方程为，代入椭圆的方程整理得，．设，，由根与系数的关系得，由得，即，所以，即，整理得，．由求根公式得，，故或．若，则直线的方程为，直线过点，即点，舍去．若，则直线的方程为，恒过定点．解法二由题意得，直线的斜率存在，且不为，设直线的方程为，，，，，，．把代入椭圆的方程整理得，，即．把代入直线的方程并整理得，②，由得，，整理得，，又，所以．故直线的方程为，直线恒过定点．【试题解析】本题考查椭圆的方程与几何性质、直线与椭圆的位置关系，考查函数与方程思想、运算求解能力．分别设出点，的坐标，用相关参数表示，的坐标，代入椭圆方程，求出，的值设出直线的方程，利用条件求出相关参数关系，即可求得定点坐标．【题文】已知顶点在原点，焦点在轴上的抛物线被直线截得的弦长为，求抛物线的方程．【参考答案】解：设抛物线的方程为，则消去得，，，，则，即，解得或，或．【题文】设分别是直线和上的动点，且，设为坐标原点，动点满足．求动点的轨迹方程斜率为的直线不经过原点，且与动点的轨迹相交于，两点，为线段的中点，直线与直线能否垂直？证明你的结论。
圆锥曲线压轴小题 训练 2020-5(1)(解析版)
圆锥曲线压轴小题一、离心率问题1. （2020·浙江）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，过点1F 且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A ，B 两点，2AF ，2BF .分别交y 轴于P Q ，两点，若2PQF ∆的周长为12，则2ab 取得最大值时，该双曲线的离心率为( )A ．3B ．2C ．2D【答案】B 【解析】 【分析】根据AB x ⊥轴且过左焦点1F 可得22b ABa，由题意知2ABF 的周长为2PQF 周长的2倍，可得2224AB AF BF ++=，化简得2226a b a c +==，转化22(6)a ab a a =-，利用导数确定取最值时a ，即可求解. 【详解】 因为1(,0)F c -，所以把x c =-代入双曲线方程可得：2by a=±，故22||b AB a=，因为//PQ AB ，12PQ AB =，2PQF 周长为12， 所以2ABF 的周长为24， 即2224AB AF BF ++=，所以22222+224b b b a a a a a+++=，化简得：2226a b a c +==，()223266ab a a a a a ∴=-=-+，令32()6(0)f a a a a =-+>，则2()3123(4)f a a a a a '=-+=--，∴当04a <<时，()0f a '>，函数单调递增，当4a >时，()0f a '<，函数单调递减， 4a ∴=时函数有唯一极大值也是最大值，此时26424c =⨯=，c = 所以6c ea ， 故选：B 【点睛】本题主要考查了双曲线的定义、离心率等,还涉及利用导数求具体函数的最值问题，考查学生的逻辑推理能力和运算能力，属中档题.2. （2020·肥东 高三二模（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>，1F ，2F 为其左、右焦点，P 为椭圆C 上除长轴端点外的任一点，G 为12F PF ∆内一点，满足123PG PF PF =+，12F PF ∆的内心为I ，且有12IG F F λ=（其中λ为实数），则椭圆C 的离心率e 等于（ ） A ．13B ．12C ．23D ．32【答案】B 【解析】设()()()0012,,,0,,0P x y F c F c -，由123PG PF PF =+，可得G 为12F PF ∆的重心，即有G 点坐标为00,33x y G ⎛⎫⎪⎝⎭， 由12IG F F λ=，可得IG ∥x 轴， 即有I 的纵坐标为3y ， 在12F PF ∆中，12122,2PF PF a F F c +==， 则1212012F PF S F F y ∆=⋅． 因为I 为12F PF ∆的内心，故有I 的纵坐标即为内切圆半径，所以1201121()23F PF y S PF F F PF ∆=++， 故012011211()223y F F y PF F F PF ⋅=++， 即00112(22)223y c y a c ⋅⋅=+， 整理得2c a =， 故椭圆C 的离心率12c e a ==．选B ． 点睛：（1）本题中的向量条件较多，解题时要根据所给的向量式得到相应的位置和数量关系，如在本题中得到点G 为三角形的重心是解题的关键，并由此得到内心的纵坐标，然后利用12F PF ∆面积的两种不同表现方式得到2c =a ，从而得到离心率．（2）求椭圆的离心率或其范围时，将提供的条件中的几何关系转化为关于椭圆的基本量,,a b c 的方程或不等式，利用222a b c =+和e=ca转化为关于e 的方程或不等式，通过解方程或不等式可得所求．3. （2020·贵州省高三月考（理））设双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的右焦点为,F C 的一条渐近线为l ，以F 为圆心的圆与l 相交于,M N 两点，MF NF ⊥，O 为坐标原点，(25)OM ON λλ=，则双曲线C 的离心率的取值范围是（ ）A ．2⎣B ．,23⎣⎦C ．33⎣⎦D ．,35⎢⎣⎦ 【答案】C 【解析】 【分析】先根据题意可得圆的半径及弦长MN ，结合直角三角形的性质建立等量关系，根据λ的范围可得离心率的取值范围. 【详解】不妨设渐近线l 为by x a =，(c,0)F ，则点F 到渐近线的距离为d b ==； 取MN 的中点A ，如图，由题意可知，MFN △是等腰直角三角形， 所以FA MN ⊥，且12FA MN =，即2MN b =； 设ON x =，由(25)OM ON λλ=得OM x λ=，即2x x b λ=+，21bx λ=-； 在直角三角形OAF 中，222OA AF OF +=，所以222()x b b c ++=，整理可得x b a +=，即有12111b a λλλ-==-++， 因为[2,5]λ∈，所以12[,]33b a ∈，所以双曲线的离心率[,]33c e a ==. 故选：C.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，向量条件的转化是求解的关键，离心率问题主要是构建关于,,a b c 的关系式，侧重考查数学运算的核心素养.4. （2020·河北省石家庄一中高三月考（理））如图，已知双曲线22221(0)x y b a a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点A ，若12AF F △的内切圆半径为4b，则双曲线的离心率为（ ）A ．3B ．54C ．53D ．2【答案】C 【解析】 【分析】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，设双曲线的一条渐近线方程为by x a=，可得直线2AF 的方程为()by x c a=-，联立双曲线的方程可得A 的坐标，设1||AF m =，2||AF n =，运用三角形的等积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得a ，c 的方程，结合离心率公式可得所求值． 【详解】设双曲线的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ， 设双曲线的一条渐近线方程为by x a=， 可得直线2AF 的方程为()b y x c a =-，与双曲线22221(0)x y b a a b-=>>联立，可得22(2c a A c +，22())2b a c ac-，设1||AF m =，2||AF n =，由三角形的面积的等积法可得2211()(2)22422b b c a m n c c ac -⋅++=⋅⋅，化简可得2442c m n a c a+=--①由双曲线的定义可得2m n a -=②在三角形12AF F 中22()sin 2b c a n acθ-=，(θ为直线2AF 的倾斜角），由tan ba θ=，22sin cos 1θθ+=，可得sin b cθ==， 可得222c a n a-=，③由①②③化简可得223250c ac a --=， 即为(35)()0c a c a -+=，可得35c a =，则53c e a ==． 故选：C. 【点睛】本题考查直线与双曲线的位置关系、双曲线的定义、坐标求解、离心率求解，考查方程思想的运用及三角形等积法，考查运算求解能力，属于难题．5. （2019·湖南省高二期末（文））已知O 为坐标原点，双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>上有,A B两点满足OA OB ⊥，且点O 到直线AB 的距离为c ，则双曲线的离心率为（ ）A B C D 【答案】A 【解析】 【分析】讨论直线AB 的斜率是否存在：当斜率不存在时，易得直线AB 的方程，根据OA OB ⊥及点O 到直线AB 距离即可求得a b c 、、的关系，进而求得离心率；当斜率存在时，设出直线方程，联立双曲线方程，结合OA OB ⊥及点到直线距离即可求得离心率。
圆锥曲线综合压轴之离心率问题,含参考答案
离心率问题1.椭圆离心率)(,112222222c b a a b a c a ce =-<-===2.双曲线离心率)(,112222222c b a ab ac ace =+>+===3.常用二级结论：设圆锥曲线C 的焦点F 在x 轴上，过点F 且斜率为k 的直线l 交曲线C 于A 、B 两点，若0)(B F F A >=λλ ，则|11|12+-+=λλk e ，设直线倾斜角为θ，则有|11||cos |+-=λλθe .特别地，对于抛物线有|11||cos |+-=λλθ 经典举例例1：已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，点A 是椭圆上一点，线段AF 1的垂直平分线与椭圆的一个交点为B ，若B F 3B A 2=，则椭圆C 的离心率为（）A ．31B ．33C ．32D ．36解：如上左图，B F 3B A 2 =得A 、F 2、B 共线，B F 3B F F A 222=+得B F 2F A 22 =，设BF 2=m ，则AF 2=2m ,，AB=3m ,故BF 1=3m ,BF 1+BF 2=4m ，得AF 1=2m ，AF 1=AF 2,故A 为上顶点或下顶点.如上右图，作BD ⊥x 轴得BD=2b，DF 2=2c 即B(2,23bc -)，代入椭圆方程得33=a c ，选B点评：画出草图，利用向量关系、垂直平分线、椭圆的性质得到点A 处于特殊位置，利用相似得到点B 坐标，进而得到离心率.例2：已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上不与左、右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为△PF 1F 2的内心和重心，当IG ⊥x 轴时，椭圆的离心率为（）A ．31B ．21C ．23D ．36解：设P(x 0,y 0)，重心G(3,300y x )，同时021212212)(y c r F F PF PF ⋅⋅=++得c a cy r +=0得I(ca cy x +00,3)，在PDI 中，PD 2+DI 2=PI 2，即有200200202)()31()()(c a cy y x x c a cy c a +-+-=++-得1)(49220220=+-b y c a x 又1220220=+b y a x 得22)(49c a a -=得31=a c ，故选A 点评：明显此题对同学们的基本功底有一定的要求，例如重心坐标公式、三角形内切圆半径的求解.例3：已知椭圆C 1：)0(111212212>>=+b a b y a x 与双曲线C 2：)00(122222222>>=-b a b y a x ，有相同的焦点F 1，F 2，点P 是两曲线在第一象限的交点，且21F F 在P F 1 上的投影等于|P F 1|，e 1，e 2分别是椭圆C 1和双曲线C 2的离心率，则9e 12+e 22的最小值是（）A ．4B ．6C ．8D ．16解：21F F 在P F 1 上的投影等于|P F 1 |，可知PF 1⊥PF 2于是2212221F F PF PF =+即有222214PF PF c =+，同时2211212,2PF PF a PF PF a =-=+两边同时平方得,4PF PF 2PF PF ,4PF PF 2PF PF 2221222121212221a a =⋅-+=⋅++两式相加得2112221=+e e ，于是8)9210(21910(2111)(9(2192221212222212122222122212221=⋅+≥++=++=+e e e e e e e e e e e e e e ，当且仅当222121229e e e e =即123e e =时成立，故选C例4：已知F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，以原点为圆心，|OF 1|为半径的圆与双曲线左支的一个交点为P ，若PF 1与双曲线右支有交点，则双曲线的离心率的取值范围为（）A ．),5(+∞B ．)5,1(C ．),15(+∞D ．)15,1(解：如图，设双曲线方程为12222=-b y a x ，圆的方程为222c y x =+，联立得P(cb c c b a 222,+-),PF 1与双曲线右支有交点，则a b k PF <1,即有a b ccc b a c b <++-222，整理可得2>a b ，故5>e ，选A. 精选好题1．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 是双曲线上一点，△PF 1F 2是以F 1P为底边的等腰三角形，且32312ππ<∠<F PF 则该双曲线的离心率的取值范围是（）A ．（1，2）B ．)213,1(+C ．)2213(，+D ．)213(∞++2．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，过点F 且斜率为k （k ≠0）的直线l 交双曲线于A 、B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点D ．若3AB >，则双曲线的离心率取值范围是（）A ．332,1(B ．31(，C ．),3[+∞D ．),332[+∞3．设O 为坐标原点，F 1，F 2为双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的两个焦点，l 1，l 2为双曲线的两条渐近线，F 1A 垂直l 1于A ，F 1A 的延长线交l 2于B ，若|OA |+|OB |＝2|AB |，则双曲线的离心率为（）A ．6B ．5C ．26D ．254．已知F 1，F 2是椭圆与双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且F 1P ＞F 2P ，线段F 1P 的垂直平分线过F 2.若椭圆的离心率为e 1，双曲线的离心率为e 2，则2221e e +的最小值为（）A ．6B ．3C ．6D ．35．已知双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的右焦点为F ，若以OF （O 为坐标原点）为直径的圆被双曲线C 的一条渐近线所截得的弦长等于双曲线C 的虚轴长，则双曲线C 的离心率为（）A ．25B ．2C ．45D ．26．已知F 1、F 2分别是双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，过点F 1向一条渐近线作垂线，交双曲线右支于点P ，直线F 2P 与y 轴交于点Q （P ，Q 在轴同侧），连接QF 1，若△PQF 1的内切圆圆心恰好落在以F 1F 2为直径的圆上，则双曲线的离心率为（）A ．3B ．2C ．5D ．27．已知双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的左、右焦点分别为F 1（﹣c ，0），F 2（c ，0），过点F 1的直线l （斜率存在）交双曲线C 的渐近线于A ，B 两点，若|F 2A |＝|F 2B |，2F BF F AF 58S S 2121c =+∆∆＝（2121F BF F AF S S ∆∆、表示△AF 1F 2，△BF 1F 2的面积），则双曲线C 的离心率为（）A ．3B ．26C ．5D ．3158．已知双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0），若双曲线不存在以点（2a ，a ）为中点的弦，则双曲线离心率e 的取值范围是（）A ．(1，]332B ．]332,25[C ．),332[+∞D ．]25[∞+，9．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足0FB FA =⋅→→，|FB |≤|FA |≤2|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是（）A ．35,22[B ．)1,35[C.]13,22[- D.)1,13[-10．已知直线y ＝kx （k ≠0）与双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）交于A ，B 两点，以AB 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点F ，若△ABF 的面积为4a 2，则双曲线的离心率为（）A ．2B ．3C ．2D ．511．如图，α，β，γ是由直线l 引出的三个不重合的半平面，其中二面角α﹣l ﹣β大小为60°，γ在二面角α﹣l ﹣β内绕直线l 旋转，圆C 在γ内，且圆C 在α，β内的射影分别为椭圆C 1，C 2．记椭圆C 1，C 2的离心率分别为e 1，e 2，则e 12+e 22的取值范围是（）A ．)43,31[B ．)45,31[C ．)43,21[D ．45,21[12．已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆上不与左、右顶点重合的任意一点，I ，G 分别为△PF 1F 2的内心和重心，当IG ⊥x 轴时，椭圆的离心率为（）A ．31B ．21C ．23D ．3613．椭圆的焦点)0,22(F 1-，)0,22(F 2长轴长为2a ，在椭圆上存在点P ，使∠F 1PF 2＝90°，对于直线y ＝a ，在圆x 2+（y ﹣1）2＝2上始终存在两点M ，N 使得直线上有点Q ，满足∠MQN ＝90°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A ．)1,322[B ．)1,22[C ．322,22[D ．322,0(14.过双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）右焦点F 的直线l 与C 交于P ，Q 两点，，若→→=PF 2QP ，0FQ QP =⋅→→，则C 的离心率为（）A ．2B ．2C ．7D ．1015．已知双曲线E ：12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0），斜率为81-的直线与E 的左右两支分别交于A ，B 两点，点P的坐标为（﹣1，2），直线AP 交E 于另一点C ，直线BP 交E 于另一点D ．若直线CD 的斜率为81-，则E 的离心率为（）A ．26B ．23C ．25D ．2516．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右顶点为A ，B ．P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当ba+ln |m |+ln |n |取得最小值时，椭圆C 的离心率为（）A ．51B ．22C ．54D ．2317．设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右顶点为A ，B ．P 是椭圆上不同于A ，B 的一点，设直线AP ，BP 的斜率分别为m ，n ，则当b a（3﹣mn 32）+mn2+3（ln |m |+ln |n |）取得最小值时，椭圆C 的离心率为（）A ．51B ．22C ．54D ．2318．设F 1，F 2为双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的左、右焦点，点P （x 0，2a ）为双曲线上的一点，若△PF 1F 2的重心和内心的连线与x 轴垂直，则双曲线的离心率为（）A ．26B ．25C ．6D ．519．过双曲线C ：12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）左焦点F 的直线l 与C 交于M ，N 两点，且→→=FM 3FN ，若OM⊥FN ，则C 的离心率为（）A ．2B ．7C ．3D ．1020．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，点A 是椭圆上一点，线段AF 1的垂直平分线与椭圆的一个交点为B ，若→→=B 3F AB 2则椭圆C 的离心率为（）A ．31B ．33C ．32D ．3621．已知O 为坐标原点，A ，B 分别是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左，右顶点，抛物线E ：y 2＝2px （p＞0）与椭圆C 在第一象限交于点P ，点P 在x 轴上的投影为P ’，且有→→→⋅|OP'|OP'OP ＝c （其中c 2＝a 2﹣b 2），AP 的连线与y 轴交于点M ，BM 与PP '的交点N 恰为PP '的中点，则椭圆C 的离心率为（）A ．23B ．22C ．32D ．3122．已知点P （x 0，y 0）（x 0≠±a ）在椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>上，若点M 为椭圆C 的右顶点，且PO⊥PM （O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率e 的取值范围是（）A ．（0，33）B ．（33，1）C ．（22，1）D ．（0，22）23．已知椭圆与双曲线有公共焦点，F 1，F 2，F 1为左焦点，F 2为右焦点，P 点为它们在第一象限的一个交点，且∠F 1PF 2＝4π，设e 1，e 2分别为椭圆双曲线离心率，则2111e e +的最大值为（）A ．2B ．22C ．32D ．4224．已知F 1，F 2是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，若E 上存在不同两点A ，B ，使得→→=BF 3A F 21则该椭圆的离心率的取值范围为（）A ．（3﹣1，1）B ．（0，3﹣1）C ．（2﹣3，1）D ．（0，2﹣3）25．点A 是椭圆1222=+y ax （a ＞1）的上顶点，B 、C 是该椭圆的另外两点，且△ABC 是以点A 为直角顶点的等腰直角三角形，若满足条件的△ABC 只有一个，则椭圆的离心率e 的范围是（）A ．33≤e ＜1B ．0＜e ≤33C ．0＜e ≤36D ．36≤e ＜126．已知F 1，F 2是椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的焦点，P 是椭圆C 上一点，若I 是△PF 1F 2的内心，且满足→→→→=++0IP 4IF 3IF 221则C 的离心率e 的值是（）A ．92B ．72C ．21D ．54参考答案1.D2.A3.B4.C5.A6.C7.D8.B9.A10.D11.C12.A13.A 14.C15.C16.D17.A18.A19.B20.B21.D22.C23.B24.C 25.C26.D。
圆锥曲线综合压轴,点轨迹、共线、四点共圆问题,含详细参考答案
圆锥曲线综合(一)1.交轨法2.三点共线3.四点共圆4.定值问题典型例题例1双曲线12222=-by a x 的实轴为A 1A 2，点P 是双曲线上的一个动点，引A 1Q ⊥A 1P ，A 2Q ⊥A 2P ，A 1Q 与A 2Q 的交点为Q ，求Q 点的轨迹方程.例2抛物线)0(22>=p px y ，O 为坐标原点，A 、B 在抛物线上，且OA ⊥OB ，过O 作OP ⊥AB 交AB 于P ，求P 点轨迹方程.例3已知抛物线：x y 42=焦点为F ，过点K(-1，0)的直线l 与C 交于A 、B 两点，点A 关于x 轴的对称点为D ，证明点F 在直线BD 上.例4已知椭圆在焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线y x 42=的焦点，离心率为52，过椭圆右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点.(1)求椭圆的标准方程；(2)设点M(m ，0)是线段OF 上的一个动点，且→→→⊥+AB MB MA )(，求m 的取值范围.(3)设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由.例5已知O 为坐标原点，F 为椭圆C ：1222=+y x 在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足→→→→=++0OP OB OA (1)证明：点P 在C 上；(2)设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上.例6设A 、B 是双曲线1222=-y x 上的两点，点N(1,2)是线段AB 的中点(1)求直线AB 的方程；(2)如果线段AB 的中垂线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？例7已知椭圆1422=+y x 的左右两个顶点分别为A 、B ，曲线C 是以A 、B 两点为顶点，离心离为5的双曲线，设点P 在第一象限且在曲线C 上，直接AP 与椭圆相交于另一点T.(1)求曲线C 的方程；(2)设P 、T 两点的横坐标分别为x 1、x 2,证明：x 1x 2=1例8已知椭圆E:)0(12222>>=+b a b y a x 的一个焦点为F 1(3-,0),而且过点H(213，)(1)求椭圆E 的方程；(2)设椭圆E 的上下顶点分别为A 1、A 2,P 是椭圆上异于A 1、A 2的任一点，直线PA 1、PA 2分别交x 轴于N 、M ，若直线OT 与过点M 、N 的圆G 相切，切点为T ，证明：线段OT 的长为定值，并求出该定值.练习1已知点F 是椭圆)0(11222>=++a y a x 的右焦点，点M(m ,0)、N(0,n )分别是x 轴、y 轴上的动点，且满足0NF MN =⋅→→，若点P 满足→→→+=POON 2OM (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设过点F 任作一直线与点P 的轨迹交于A 、B 两点，直线OA 、OB 与直线x=-a 分别交于点S 、T(O 为坐标原点)，试判断→→⋅FT FS 是否为定值？若是求出这个定值；若不是，说明理由.参考答案例1设点P(00,y x ),Q(x,y ),易知A 1(-a ,0)、A 2(a ,0),由已知可得10000-=+-⋅+-a x y a x y ①10000-=--⋅--ax y a x y ②，由①②可得ya x y x x 2200,-=-=，而P(00,y x )在双曲线上，代入可得42222a y b x a =-(a x ±≠)例2设P(x,y ),A(11,y x ),B(22,y x ),设直线AB 的解析式为x=my+b ,与抛物线联立得0222=--pb mpy y 得pb y y mp y y 2,22121-==+，222221214b py y x x ==，而OA ⊥OB 得02121=+y y x x 可得b =2p ，OP ⊥AB 得1100-=⋅--m x y 得x y m -=,P 在直线AB 上，代入可得p y xy x 2+⋅-=即222)(p y p x =+-；另法：由b=2p 知直线AB 过定点M(2p,0),△OMP 为直角三角形，OM=2p ，故点P 在以OM 为直径的圆上，故P 点的轨迹方程为222)(p y p x =+-例3设A(11,y x )、B(22,y x )设直线AB 的方程为)1(+=x k y ，与抛物线联立得0)42(222=+-+k x k x k 得1,2421221=-=+x x k x x ，易知D(11,y x -),,4414121211111--=--=--=y y y y x y k DF 441411412111111221--=-=-=-=y y x y x x y x y k BF BF DF k k =，故F 在BD 上例4(1)1522=+y x ；(2)设直线AB 解析式为)2(-=x k y 与椭圆联立得052020)51(222=-+-+k x k x k 得2221222151520,5120k k x x k k x x +-=+=+，))4(,2(),2(MB MA 21212121-+-+=+-+=+→→x x k m x x y y m x x ，))(,(),(AB 12121212x x k x x y y x x --=--=→，故0)]4(2)[())(4())(2()(2122112122121221=-++-+-=--++--+=⋅+→→→x x k m x x x x x x x x k x x m x x AB MB MA 得0582>-=m m k 得580<<m (3)易知C(11,y x -),直线BC 的方程为)(112211x x x x y y y y --+=+，令y=0，则254)2)(()4()]2()[()(211121211121211121=-+--+=-+--+=+-+=x x x x x x x x k x k x x x y y y x x x x ，故点N(25,0)例5(1)设A(11,y x ),B(22,y x )直线AB 方程为12+-=x y 与椭圆联立得012242=--x x ，1,222121=+=+y y x x 得P(122--),代入验证可知点P 在椭圆上；(2)易知点Q(122，),AB 的中垂线为4122+=x y ，PQ 的中垂线为+-=x y 22，两直线的交点为M(8182，-),而易验证MA=MQ,故A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上例6(1)设A(11,y x ),B(22,y x ),则有12,1222222121=-=-y x y x 两式相减得1221212121=++⋅=--y y x x x x y y 故直线AB 的方程为1+=x y (2)易知A(-1,0),B(3,4),AB 的中垂线为3+-=x y ，与双曲线联立得01162=-+x x ,CD 的中点为M(-3,6),CD=410,MA=MB=210,故A 、B 、C 、D 四点共圆例7(1)1422=-y x (2)P(11,y x ),T(22,y x ),设直线PT 方程为)1(+=x k y 与双曲线联立得0)4(2)4(222=+---k kx x k 得22144k k x -+=，同理与椭圆联立得042)4(2222=-+-+k x k x k 得22144kk x +-=，故121=x x 例8(1)1422=+y x (2)设P(00,y x ),A 1P 方程为1100+-=x x y y 可得N(100--y x ,0),同理A 2P 方程为1100-+=x x y y ，M(0100，+y x )由切割线定理得OT 2=OM ·ON=411120200000=-=+--y x y x y x ，故OT=2练习1(1)设点P(y x ,),易知,0),)(,(=--n a n m 即有02=+ma n ，同时m =),(),0(2y x n --+即有y n x m =-=2,代入得axy 42=(2)设A(11,y x ),B(22,y x ),直线AB 的解析式为a my x +=联立得04422=--a amy y ，221214,4a y y am y y -==+，可知OA 方程为1114y ax x x y y ==得S(124,y a a --)；同理OB 方程为2224y ax x x y y ==,T(224,y a a --),044164)4,2)(4,2(FT FS 2221222212=-=+=----=⋅→→a a y y a a y a a y a a。
(压轴题)高中数学选修1-1第二章《圆锥曲线与方程》测试卷(答案解析)(2)
一、选择题1．已知斜率为16的直线l 与双曲线22221(0,0)x y C a b a b-=>>:相交于B 、D 两点，且BD 的中点为(1,3)M ，则C 的离心率为（ ）A ．2B C ．3 D 2．平面α内有一条直线m ，过平面α外一点P 作直线n 与m 所成角为6π，则直线n 与平面α交点的轨迹是（ ） A ．直线B ．抛物线C ．椭圆D ．双曲线3．已知椭圆221124y x +=，圆22:4O x y +=，过椭圆上任一与顶点不重合的点G 引圆的两条切线，切点分别为,P Q ，直线PQ 与x 轴，y 轴分别交于点,M N ，则2231OMON+=（ ）A ．54 B ．45C ．43D ．344．已知椭圆22:13620x y C +=的右焦点是F ，直线()0y kx k =≠与椭圆C 交于A 、B 两点，则222AF BF +的最小值是（ ） A ．36B ．48C ．72D ．965．已知点A 是抛物线24x y =的对称轴与准线的交点，点F 为抛物线的焦点，点P 在抛物线上，且满足||||PA m PF =，则m 的最大值是（ ）A ．1BC ．2D ．46．过抛物线24y x =的焦点作两条相互垂直的弦AB ，CD ，且AB CD AB CD λ+=⋅，则λ的值为（ ）A ．12B ．14C ．18D ．1167．已知M 是抛物线2:C x y =上一点，记点M 到抛物线C 的准线的距离为1d ，到直线:3490l x y ++=的距离为2d ，则12d d +的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．48．在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 是侧面11BCC B 内一点，且点P 满足到平面11ABB A 的距离等于到点1C 的距离，则点P 的轨迹是（ ）A ．一条线段B ．圆的一部分C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分9．设F 为双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左焦点，O 为坐标原点，以F 为圆心，FO 为半径的圆与C 交于,A B 两点.若55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，则C 的离心率取值范围为（ ）A ．4,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．(C ．5,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．10．已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，()1221,2i i M F M F a i -==，且1M ，2F ，2M 三点共线，点D 在线段21M F 上，且1121F M D M M D ∠=∠1112122M F M F M D +=，则双曲线C 的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．y =C ．2y x =±D ．y =11．设1F 、2F 是椭圆1C 和双曲线2C 的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且1PF <2PF ，线段1PF 垂直平分线经过2F ，若1C 和2C 的离心率分别为1e 、2e ，则129e e +的最小值（ ）A ．2B ．4C ．6D ．812．“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示为椭圆”的（ ）A ．充分必要条件B ．充分不必要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．已知双曲线()22210y x a a -=>的离心率e =12,F F 分别是它的下焦点和上焦点，若Р为该双曲线上支上的一个动点，则1PF 与P 到一条渐近线的距离之和的最小值为_________．14．双曲线()222210,0x y a b a b-->>的左右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作直线l 与双曲线有唯一交点P ，若124sin 5F PF ∠=，则该双曲线的离心率为___________. 15．已知椭圆22:143x y C +=的左､右焦点分别为12F F 、，过2F 且倾斜角为π4的直线l交椭圆C 于A B 、两点，则1F AB 的面积为___________.16．已知点A ，B 为抛物线C ：24y x =上不同于原点O 的两点，且OA OB ⊥，则OAB 的面积的最小值为__________.17．已知抛物线C ：2y x =的焦点为F ，A ()00,x y 是C 上一点，054AF x =，则0x =________.18．已知椭圆222:1(06)6x y G b b+=<<的两个焦点分别为1F 和2F ，短轴的两个端点分别为1B 和2B ，点P 在椭圆G 上，且满足1212PB PB PF PF +=+．当b 变化时，给出下列三个命题：①点P 的轨迹关于y 轴对称；②存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个；③||OP 的最小值为2，其中，所有正确命题的序号是___________．19．已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的右焦点为F ，若过点F 且倾斜角为6π的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则该双曲线的离心率的取值范围___________.20．在平面直角坐标系xOy 中，已知双曲线22:17y x Γ-=的两个焦点分别为1F ，2F ，以2F 为圆心，12F F 长为半径的圆与双曲线Γ的一条渐近线交于M ，N 两点，若OM ON ≥，则OMON的值为________. 三、解答题21．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点F 到直线:l y x =的距离为2,A B ，为抛物线C 上两个动点，满足线段AB 的中点M 在直线l 上，点(0,2)N .（1）求抛物线C 的方程； （2）求NAB △面积的取值范围.22．在平面直角坐标系xOy 中，已知两点()1,0M -，()1,0N ，动点Q 到点M 的距离为，线段NQ 的垂直平分线交线段MQ 于点K ，设点K 的轨迹为曲线E . （1）求曲线E 的方程；（2）已知点()2,0P ，设直线l ：10x my +-=与曲线E 交于A ，B 两点，求证：OPA OPB ∠=∠.23．设1F ､2F 分别是椭圆2214xy +=的左､右焦点.（1）若P 是该椭圆上的一个动点，求1PF ·2PF 的取值范围；（2）设过定点(0,2)M 的直线l 与椭圆交于不同的两点A ､B ，且AOB ∠为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围.24．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>经过点()2,1A ，椭圆C 在点A 处的切线方程为3y x =-+.（1）求椭圆C 的方程；（2）设过点()3,0B 且与x 轴不重合的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，直线AM ，AN 分别与直线3x =-分别交于P ，Q ，记点P,Q 的纵坐标分别为p ，q ，求p q +的值.25．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左右焦点分别为1F 、2F ，点M 为短轴的一个端点，离心率为12，12MF F △的面积S = （1）求椭圆C 的方程；（2）设A 是椭圆上的一点，B 是点A 关于x 轴的对称点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的任意一点，且直线PA 、PB 分别于x 轴交于不同的点C 、D ，O 为坐标原点，求POC POD S S ⋅△△的最大值，并求出此时P 点的坐标26．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的离心率为1,,2A B 分别是它的左、右顶点，F是它的右焦点，过点F 作直线与C 交于,P Q (异于,A B )两点，当PQ x ⊥轴时，APQ∆的面积为92. （1）求C 的标准方程;（2）设直线AP 与直线BQ 交于点M ，求证:点M 在定直线上.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D 解析：D 【分析】设()()1122,,B x y D x y 、，用“点差法”表示出a 、b 的关系，即可求出离心率 【详解】设()()1122,,B x y D x y 、,则22112222222211x y a bx y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式作差得：22221212220x x y y a b---=， 整理得：()()()()2121221212y y y y b a x x x x +-=+-BD 的中点为(1,3)M ，且直线l 的斜率为16 ，代入有：22611262b a =⨯=即22212c a a -=，解得62ce a . 故选：D 【点睛】求椭圆（双曲线）离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a 、b 、c 的关系，消去b ，构造离心率e 的方程或（不等式）即可求出离心率．2．D解析：D 【分析】过点P 作PO α⊥，以点O 为坐标原点，OP 为z 轴，以定直线m 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设出坐标，分别表示出直线AB 与PM 的方向向量，利用夹角公式即可得出． 【详解】解：过点P 作PO α⊥，以点O 为坐标原点，OP 为z 轴，以定直线m 为y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系．不妨设1OP =，30PBO ∠=︒，OB ∴=． 则(0P ，0，1)，B ．设点(Q x ，y ，0)，则(,,1)PQ x y =-，取直线m 的方向向量为(0,1,0)u =． 直线AB 与PQ 所成的角为30，2||cos30||||PQ u PQ u x ∴︒===+化为2213yx-=，即为点Q的轨迹．故选：D．【点睛】熟练掌握通过建立如图所示的空间直角坐标系利用异面直线的夹角公式求得轨迹的方法是解题的关键．3．D解析：D【分析】设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y，则可得切线,GP GQ的方程，即可得到直线PQ的方程，进而可求出点点,M N的坐标，再结椭圆方程可求出2231OM ON+的值【详解】解：设112233(,),(,),(,)P x y Q x y G x y，则切线GP的方程为114x x y y+=，切线GQ的方程为224x x y y+=，因为点G在切线,GP GQ上，所以13134x x y y+=，23234x x y y+=，所以直线PQ的方程为334x x y y+=，所以3344(,0),(0,)M Nx y，因为点33(,)G x y在椭圆221124y x+=上，所以2233312x y+=，所以22223333223311123(3)161616164x yx yOM ON+=+=+==，故选：D【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆的标准方程，以及简单性质有应用，解题的关键是设点33(,)G x y ，再由已知条件得到直线PQ 的方程为334x x y y +=，从而可得,M N 的坐标，进而可得答案，考查计算能力和转化能力，属于中档题4．D解析：D 【分析】求得2AF BF a +=，结合a c BF a c -<<+，利用二次函数的基本性质可求得222AF BF +的最小值.【详解】设椭圆C 的左焦点为F '，在椭圆C 中，6a =，25b =，则224c a b =-=，由题意可知，点A 、B 关于原点对称，且O 为FF '的中点， 所以，四边形AFBF '为平行四边形，所以，BF AF '=，由椭圆的定义可得212AF BF AF AF a '+=+==，0k ≠，a c BF a c ∴-<<+，即210BF <<，()()2222222122324144349696AF BF BFBF BF BF BF ∴+=-+=-+=-+≥，当且仅当4BF =时，等号成立，因此，222AF BF +的最小值为96. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：解决本题的关键在于以下几点：（1）问题中出现了焦点，一般利用相应曲线的定义，本题中利用对称性结合椭圆定义可得出AF BF +；（2）利用椭圆的几何性质得出焦半径的取值范围.5．B解析：B 【分析】由抛物线的对称性可不妨设P 在第一象限或为原点，过P 作准线1y =-的垂线，垂足为E ，利用抛物线的定义可得1sin PAE m=∠，求出sin PAE ∠的最小值后可得m 的最大值. 【详解】由抛物线24x y =可得准线方程为：1y =-，故()0,1A -.如图，由抛物线的对称性可不妨设P 在第一象限或为原点， 过P 作准线1y =-的垂线，垂足为E ，则PE PF =，故1||||sin ||||PF PE PAE m PA PA ===∠， 当直线AP 与抛物线相切时，PAE ∠最小， 而当P 变化时，02PAE π<∠≤，故当直线AP 与抛物线相切时sin PAE ∠最小，设直线:1AP y kx =-，由241x yy kx ⎧=⎨=-⎩得到2440x kx -+=，216160k ∆=-=，故1k =或1k =-（舍），所以直线AP 与抛物线相切时4PAE π∠=，故1m 的最小值为22即m 2， 故选：B. 【点睛】方法点睛：与抛物线焦点有关的最值问题，可利用抛物线的定义把到焦点的距离问题转化为到准线的距离问题.6．B解析：B 【分析】首先设直线AB 的方程为1x ty =+， 与抛物线方程联立分别求AB 和CD ，分别计算AB CD +和AB CD ，再求λ的值.【详解】24y x =的焦点为()1,0，设AB 的直线方程为1x ty =+，CD 的直线方程为11x y t=-+，由214x ty y x=+⎧⎨=⎩得2440y ty --=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y t +=，124y y =-，则()241AB t ==+，同理2141CD t ⎛⎫=+⎪⎝⎭，22142AB CD t t ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭ 221162AB CD t t ⎛⎫⋅=++ ⎪⎝⎭， 故14λ=. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用弦长公式求AB ，并且利用AB CD ⊥，将t 换成1t-求CD . 7．B解析：B 【分析】作出图形，过点M 分别作抛物线C 的准线l 和直线3490x y ++=的垂线，垂足分别为点B 、A ，由抛物线的定义得出1d MB MF ==，可得出12d d MF MA +=+，利用FM 与直线3490x y ++=垂直时，12d d +取最小值，然后计算出点F 到直线3490x y ++=的距离，即为所求.【详解】 如下图所示：过点M 分别作抛物线C 的准线l 和直线3490x y ++=的垂线，垂足分别为点B 、A ， 由抛物线的定义可得1d MB MF ==，则12d d MF MA +=+， 当且仅当FM 与直线3490x y ++=垂直时，12d d +取最小值， 点F 到直线3490x y ++=的距离为22130494234d ⨯+⨯+==+，因此，12d d +的最小值为2. 故答案为：2. 【点睛】关键点点睛：本题求出抛物线上一点到准线和定直线的距离之和最小值问题，解题的关键就是利用F 、A 、M 三点共线取最小值，结合抛物线的定义转化求解.8．D解析：D 【分析】由题意画出图形，可知点P 到直线BC 的距离与点P 到点1C 的距离相等， 所以点P 的轨迹为以1C 为焦点，以1BB 为准线的抛物线． 【详解】如图，点P 是侧面11BCC B 内的一动点，点P 到直线1BB 的距离即为点P 到面11ABB A 的距离， 因为点P 到直线BC 的距离与点P 到点1C 的距离相等， 所以点P 的轨迹为以1C 为焦点，以1BB 为准线的抛物线， 故选：D ． 【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方法之定义法：将动点轨迹化归为某一基本轨迹（圆，椭圆，双曲线，抛物线等），然后利用基本轨迹的定义，直接写出方程.9．A解析：A 【分析】根据题意写出,,''AF AF FF ，根据余弦定理表示出cos ∠OFA ，然后根据55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,列出关于e 的不等式，求解范围.【详解】取右焦点F '，连接AF '，因为点A 为圆和双曲线的交点，所以AF OF c ==，则22,2''=+=+=AF AF a c a FF c ，所以22222222224(2)444cos 244''+-+-+--∠==='AF FF AF c c c a c ac a OFA AF FF c c 221111⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭a a c c e e，又因为55cos 169OFA ⎡⎤∠∈⎢⎥⎣⎦-,，所以251151169-≤--≤e e ，即2249902116160e e e e ⎧--≤⎨--≥⎩，解得433≤≤e . 故选：A.【点睛】双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式c e a=； ②只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合222b c a =-转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或2a 转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．10．B解析：B 【分析】先取11M F 的中点E ，由题意分析12M F DE 为菱形，得到()()222442c a a =-，从而求出渐近线方程. 【详解】由()1221,2i i M F M F a i -==知：M 1、M 2在双曲线上. 取11M F 的中点E ，连接DE ，2DF ，由111211111222,22,M F M F M D M F M D M F +=∴=-，即112122,M F F D F DE M =∴=,可知四边形12MF DE 为平行四边形；又1M D 为112F M F 的角平分线，故四边形12M F DE 为菱形，1212M E F M F D DE ===又21//DE M M 故D 为线段21M F 的中点； 因为211//DF M F ，故2F 为线段12M M 的中点， 故1222M F F M =； 所以21112M F M F =由双曲线的定义：11122M F M F a -=，所以21114,2M F a M F a == 而12M M x ⊥轴，故222121112F F M F M F =-， 故()()222442c a a =-，故==ce a， 故双曲线C的渐近线方程为y = 故选B ． 【点睛】求双曲线的渐近线的方法:（1）直接令标准方程22221x y a b-=中的1变成0,得到22220x y a b -=,利用平方差公式得到渐近线方程: bxy a=±； （2）根据题意，找到找到a 、b 、c 的关系，消去c ，从而求出渐近线方程.11．D解析：D 【分析】设椭圆和双曲线的方程，由题意可得2122PF F F c ==，再利用椭圆和双曲线的定义分别求出1PF ，即可得122a a c +=，计算12112e e +=，()121212111992e e e e e e ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭展开后利用基本不等式即可求最值. 【详解】设椭圆1C 的方程为2222111x y a b +=，则222111c a b =-，设双曲线2C 的方程为2222221x y a b -=，则222222c a b =+，因为椭圆1C 和双曲线2C 的焦点相同，所以2212c c =，设12c c c ==即22221122a b a b -=+，因为P 是椭圆1C 和双曲线2C 的一个公共点，所以1212+=PF PF a ，2122PF PF a -=，因为线段1PF 垂直平分线经过2F ，所以2122PF F F c ==，所以1122PF a c =-，且1222PF c a =-， 所以122222a c c a -=-，可得122a a c +=， 所以11c e a =，22c e a =，所以1212121122a a a a ce e c c c c++=+===， 所以()211212121291111991022e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()11101023822⎛≥+=+⨯= ⎝， 当且仅当21129e e e e =，即213e e =时等号成立， 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是利用已知条件得出122a a c +=，进而可得12112e e +=， 再利用基本不等式可求最值.12．C解析：C 【分析】根据方程2214x y a a +=-表示椭圆求出实数a 的取值范围，然后利用集合的包含关系可判断出“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示椭圆”的条件.【详解】若方程2214x y a a+=-表示椭圆，则0404a a a a >⎧⎪->⎨⎪≠-⎩，解得02a <<或24a <<， 记为{}02,24A a a a =<<<<或， 又记{}04B a a =<<，AB则“04a <<”是“方程2214x y a a+=-表示椭圆”的必要不充分条件.故选：C. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是求出方程为椭圆的充分必要条件.二、填空题13．【分析】根据离心率先求出双曲线的方程得出渐近线方程根据双曲线的定义可得：所以设点到一条渐进线的距离为则从而得出答案【详解】双曲线的离心率所以解得所以双曲线由的双曲线的渐进线方程为由为该双曲线上支上的 解析：5【分析】根据离心率先求出双曲线的方程，得出渐近线方程，根据双曲线的定义可得：1224PF PF a -==，所以124PF PF =+，设点Р到一条渐进线的距离为d ，则124PF d PF d +=++，从而得出答案.【详解】双曲线()22210y x a a -=>的离心率e =所以221514e a =+=，解得2a =，所以((120,,F F 双曲线2214y x -=，由2204y x -=，的双曲线的渐进线方程为2y x =±由Р为该双曲线上支上的一个动点，根据双曲线的定义可得：1224PF PF a -== 所以124PF PF =+，设点Р到渐进线2y x =的距离为d则124PF d PF d +=++，过2F 作渐进线2y x =的垂线，垂足为M ,如图.所以21F M ==所以122445PF d PF d F M +=++≥+=同理1PF 与P 到渐近线2y x =-的距离之和的最小值为5 故答案为：5【点睛】关键点睛：本题考查利用双曲线的定义解决距离之和的最值问题，解答本题的关键是根据双曲线的定义可得：1224PF PF a -==，所以124PFPF =+，设点Р到渐进线2y x =的距离为d ，则124PF d PF d +=++，过2F 作渐进线2y x =的垂线，属于中档题.14．或【分析】首先设出直线的方程与双曲线方程联立求得点的坐标利用弦长公式求得并根据定义表示中根据余弦定理表示再求离心率【详解】如图当直线与渐近线平行时与双曲线有唯一交点设与双曲线方程联立得解得：中由余弦217 【分析】首先设出直线l 的方程，与双曲线方程联立，求得点P 的坐标，利用弦长公式求得1PF ，并根据定义表示2PF ，12F PF △中，根据余弦定理表示12281cos 3F PF e ∴-∠=+，再求离心率. 【详解】如图，当直线与渐近线平行时，l 与双曲线有唯一交点P ，设():bl y x c a=+，与双曲线方程联立，得222cx a c -=+，解得：22a cx c+=-，()22222122122P b c a c b PF c c a a c a +=+--=+=，2221422b a PF PF a a +=+=，122F F c =， 12F PF △中，124sin 5F PF ∠=，123cos 5F PF ∴∠=±， 由余弦定理222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠()()212121221cos PF PF PF PF F PF =-+-∠，()()()2222212244221cos 4b a b c a F PF a+∴=+⋅-∠，2212222228881cos 433a a F PFb ac a e ∴-∠===+++， 当123cos 5F PF ∠=时，28235e =+，17e =， 当123cos 5F PF ∠=-时，28835e =+，2e =，172 【点睛】方法点睛：本题考查双曲线基本性质，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于中档题型，一般求双曲线离心率的方法是1.直接法：直接求出,a c ，然后利用公式c e a =求解；2.公式法：222111c b e a a b c ==+=⎛⎫- ⎪⎝⎭3.构造法：根据条件，可构造出,a c 的齐次方程，通过等式两边同时除以2a ，进而得到关于e 的方程.15．【分析】先求出直线的方程与椭圆方程联立消去x 求出|y1-y2|利用即可求出的面积【详解】由题意得:直线:设则有:消去x 得:7y2+6y-9=0∴即的面积为【点睛】求椭圆(双曲线)的焦点弦三角形的面积 解析：1227【分析】先求出直线l 的方程,与椭圆方程联立,消去x ,求出| y 1- y 2|,利用11212|1|||2F AB S F F y y =-△即可求出1F AB 的面积. 【详解】由题意得: 直线l :1y x =-, 设1122(,),(,)A x y B x y ,则有:2213412y x x y =-⎧⎨+=⎩消去x 得:7y 2+6y -9=0,∴121269,77y y y y +=-=-12211111|||227|2227F AB S F F y y -∴=⨯=⨯⨯==△即1F AB 的面积为7【点睛】求椭圆(双曲线)的焦点弦三角形的面积: （1）直接求出弦长|AB |,利用11||2F AB AB d S =△; （2）利用11212|1|||2F AB S F F y y =-△. 16．【分析】设利用可得即可求得利用两点间距离公式求出面积利用基本不等式即可求最值【详解】设由可得解得：所以当且仅当时等号成立所以的面积的最小值为故答案为：【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是设坐标采用 解析：16【分析】设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭，利用OA OB ⊥可得0OA OB ⋅=即可求得1216y y =-，利用两点间距离公式求出OA 、OB ，面积12OABS OA OB =，利用基本不等式即可求最值. 【详解】设211,4y A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，222,4y B y ⎛⎫⎪⎝⎭， 由OA OB ⊥可得2212121212104416y y y y OA OB y y y y ⎛⎫⋅=⨯+=+= ⎪⎝⎭， 解得：1216y y =-，1OA y ==OB y ==11122OABSO y O y A B ==12⨯=≥=，22221212216161616y y y y +=+≥=，所以16OABS≥==，当且仅当12y y =时等号成立， 所以OAB 的面积的最小值为16， 故答案为：16. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键点是设A ，B 坐标，采用设而不求的方法，将OA OB ⊥转化为0OA OB ⋅=，求出参数之间的关系，再利用基本不等式求12OABSOA OB =的最值. 17．【分析】根据焦半径公式可得：结合抛物线方程求解出的值【详解】由抛物线的焦半径公式可知：所以故答案为：【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（为焦准距）（1）焦点在轴正半轴抛物线上任意一点则；（2 解析：1【分析】根据焦半径公式可得：00524x p x +=，结合抛物线方程求解出0x 的值. 【详解】由抛物线的焦半径公式可知：0015224AF x x =+=，所以01x =， 故答案为：1. 【点睛】结论点睛：抛物线的焦半径公式如下：（p 为焦准距）（1）焦点F 在x 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =+； （2）焦点F 在x 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF x =-+； （3）焦点F 在y 轴正半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =+； （4）焦点F 在y 轴负半轴，抛物线上任意一点()00,P x y ，则02p PF y =-+. 18．①③【分析】运用椭圆的定义可得也在椭圆上分别画出两个椭圆的图形即可判断①正确；通过的变化可得②不正确；由图象可得当的横坐标和纵坐标的绝对值相等时的值取得最小即可判断③【详解】解：椭圆的两个焦点分别为解析：①③ 【分析】运用椭圆的定义可得P 也在椭圆222166y x b+=-上，分别画出两个椭圆的图形，即可判断①正确；通过b 的变化，可得②不正确；由图象可得当P 的横坐标和纵坐标的绝对值相等时，||OP 的值取得最小，即可判断③．【详解】解：椭圆222:1(06x y G b b+=<<的两个焦点分别为1F ，0)和2(F 0)，短轴的两个端点分别为1(0,)B b -和2(0,)B b ，设(,)P x y ，点P 在椭圆G 上，且满足1212||||||||PB PB PF PF +=+，由椭圆定义可得，12||||22PB PB a b +==>，即有P 在椭圆222166y x b+=-上． 对于①，将x 换为x -方程不变，则点P 的轨迹关于y 轴对称， 故①正确；对于②，由图象可得轨迹关于x ，y 轴对称，且0b <<则椭圆G 上满足条件的点P 有4个，不存在b 使得椭圆G 上满足条件的点P 仅有两个，故②不正确；对于③，点P 靠近坐标轴时(0b →或b →，||OP 越大，点P 远离坐标轴时，||OP 越小，所以226b b -=，即23b =时，取得最小值，此时22:163x y G +=，与22163y x +=两方程相加得222222x y +=⇒=，即||OP 的最小值为 2，故③正确．故答案为：①③．【点睛】本题考查椭圆的对称性及由椭圆上的点到焦点的距离之和等于到短轴的顶点距离之和可得另一个椭圆，及到定点距离的最值的判断．19．【分析】作出图形根据已知条件可得出与的大小关系再利用公式可求得双曲线的离心率的取值范围【详解】如下图所示双曲线的渐近线方程为由于过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点由图可知直线的倾斜解析：23,⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭【分析】作出图形，根据已知条件可得出b a 与tan 6π的大小关系，再利用公式21b e a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭可求得双曲线的离心率的取值范围. 【详解】如下图所示，双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的渐近线方程为b y x a =±，由于过点F 且倾斜角为6π的直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，由图可知，直线by xa=的倾斜角6πα≥，所以，tan63baπ≥=，因此，cea====≥所以，该双曲线的离心率为取值范围是3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.故答案为：3⎡⎫+∞⎪⎢⎪⎣⎭.【点睛】方法点睛：求双曲线离心率或离心率范围的两种方法：一种是直接建立e的关系式求e或e的范围；另一种是建立a、b、c的齐次关系式，将b用a、e表示，令两边同除以a或2a化为e的关系式，进而求解．20．【分析】求出双曲线的两个焦点坐标和渐近线方程再求圆的方程与渐近线方程联立可得MN两点的横坐标由即为横坐标的绝对值的比可得答案【详解】由已知得取双曲线的一条渐近线所以圆的方程为由整理得解得取双曲线的另解析：32【分析】求出双曲线的两个焦点坐标和渐近线方程，再求圆的方程与渐近线方程联立可得M，N两点的横坐标，由OMON即为横坐标的绝对值的比可得答案.【详解】由已知得2221,7,8a b c===，2c=，12(F F-，取双曲线的一条渐近线y=，所以圆的方程为(2232x y+=-，由(2232yx y⎧=⎪⎨-+=⎪⎩整理得2260x-=，解得2NMx x==，32MNMOxxON===.取双曲线的另一条渐近线y=，(2232yx y⎧=⎪⎨-+=⎪⎩整理得2260x-=与上同，综上32OMON=.故答案为：32. 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与双曲线、圆的位置关系，解答本题的关键是求出渐近线与圆的方程然后联立，得到M ，N 两点的横坐标再由绝对值做比值，考查了学生的运算求解能力.三、解答题21．（1）24y x =；（2）(0,4]. 【分析】（1）利用抛物线焦点F 到直线l的距离为2，求出抛物线方程； （2）设出直线AB 的方程与抛物线方程联立，由弦长公式和点线距公式表示出NAB △的面积，并由线段AB 的中点M 在直线l 上减少参数，利用换元法得出NAB △面积的取值范围． 【详解】（1）,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭由2pd ==，解得2p = 所以抛物线方程为24y x =（2）设直线AB 的方程为：221212,,,,44y y x my t A y B y ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭联立方程组24y x x my t ⎧=⎨=+⎩，消去x 得2440y my t --=所以121244y y m y y t +=⎧⎨=-⎩，得(2,2)M m m有2212444y y m +=，即()21212216y y y y m +-= 所以222t m m =- 点N 到AB的距离h =||AB ==所以1||2|2|2NABSAB h m t =⋅⋅=+42m m =-令u =u = 由24y xy x =⎧⎨=⎩，得l 与抛物线的两交点坐标为(0,0),(4,4)， 因点M 在l 上可得(0,2)m ∈ 所以(0,1]μ∈ 得34(0,4]NABSu =∈【点睛】关键点点睛：本题考查抛物线的方程，考查直线与抛物线的位置关系，考查面积公式，解决本题的关键点是由弦长公式和点线距公式表示出NAB △的面积，并由线段AB 的中点M 在直线l 上减少参数，利用换元法和函数的性质得出NAB △的面积的取值范围，考查了学生计算能力，属于中档题．22．（1）2212x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）利用中垂线的性质可得KN KQ =，从而得到2KM KN QM MN +==>=，利用椭圆的定义进行分析求解即可；（2）根据点P 的位置，确定OPA ∠，OPB ∠都是锐角，然后联立直线与椭圆的方程，得到韦达定理，再将问题转化为求证两个角的正切值相等，代入化简求解，即可证明． 【详解】（1）∵线段NQ 的垂直平分线交MQ 于点K ，∴||||KN KQ =，∴||||||||||2||KM KN KM KQ MQ MN +=+==>= ∴点K 的轨迹是以原点为中心，以,M N 为焦点的椭圆.设椭圆方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则a =1c =，1b =，所以曲线E 的方程为2212x y +=（2）由221210x y x my ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩消去x 可得()222210m y my +--=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则12222m y y m +=+，12212y y m =-+. 易知PA ，PB 的斜率存在，则()()121212121212122221111PA PB y y y y y y my y k k x x my my my my +++=+=+=-------++，又因为121222222022m my y my y m m ++=-=++ 所以0PA PB k k +=，所以OPA OPB ∠=∠. 【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单. 23．（1）[]2,1-；（2）22k -<<-或22k <<. 【分析】（1）根据椭圆的标准方程可得())12,F F ，设(),P x y ，利用向量数量积的坐标运算可得()2121384PF PF x ⋅=-，再由[]2,2x ∈-即可求解. （2）由题意可得直线0x =不满足题设条件，可设直线:2l y kx =+，将直线与椭圆方程联立，消去y ，可得()221416120kxkx +++=，0∆>，且12120OA OB x x y y ⋅=>+，结合韦达定理即可求解.【详解】解：（1）易知2,1,a b c ===())12,F F ，设(),P x y，则())2212,,,3PF PF x y x y x y ⋅=---=+-()2221133844x x x =+--=-因为[]2,2x ∈-，故当0x =，即点P 为椭圆短轴端点时，12PF PF ⋅有最小值2-； 当2x =±，即点P 为椭圆长轴端点时，12PF PF ⋅有最大值1； ∴1PF ·2PF 的取值范围是[]2,1-（2）显然直线0x =不满足题设条件，可设直线:2l y kx =+，联立22244y kx x y =+⎧⎨+=⎩，消去y ，整理得：()221416120k x kx +++= 由题意，()()2216414120k k ∆=-+⋅>得2k <-或2k >，① 令()()1122,,,A x y B x y ，∴1212221612,1414k x x x x k k+=-=++∵AOB ∠为锐角，∴cos 0AOB ∠>即0OA OB ⋅>， ∴12120OA OB x x y y ⋅=>+又()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++22222212322044141414k k k k k k=-+=-++++ ∴2221220401414k OA OB k k⋅=-+>++，解得24k <， ∴22k -<<，② 故由①､②得22k -<<-或22k <<. 【点睛】关键点点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是利用数量积()2121384PF PF x ⋅=-，确定[]2,2x ∈-，并且根据题意得出0OA OB ⋅>，考查了运算求解能力.24．（1）22163x y +=；（2）12.【分析】（1）椭圆C 过点()2,1A ，()2,1B --，在点A 处的切线方程为3y x =-+,可用待定系数法求椭圆的标准方程；（2）用设而不求法把p ，q 表示出来，整理化简即可. 【详解】（1）由题意知椭圆C 在()2,1A 处的切线方程为2221x y a b +=也为3y x =-+，∴222113a a b b ⎧=⎪==⇒⎨=⎪⎩椭圆C 的方程为22163x y +=.（2）直线l 的方程为()3y k x =-，()11,M x y ，()22,N x y()()2222232696026y k x x k x x x y ⎧=-⇒+-+-=⎨+=⎩ ()222212121860k xk x k +-+-=直线AM 方程为：()111212y y x x -=-+-，令()1151312y x p x --=-⇒=+- 直线AN 方程为()221212y y x x -=-+-，令()2251312y x q x --=-⇒=+- ∴()()1212121231311152522222k x k x y y p q x x x x ⎡⎤----⎛⎫--+=-++=-++⎢⎥⎪----⎝⎭⎣⎦()()()()()121212122121452105122222k x k k x k x x k k x x x x ⎡⎤------+-=-++=-++⋅+⎢⎥----⎣⎦()()()222222221241210512186244121244105122210512212k k k k k k k kk k k k k k -+=-++⋅+--+++-=-++⋅+-=-++⋅+=.即12p q +=.【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程；（2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题.25．（1）22143x y+=；（2）POC PODS S⋅△△的最大值为3，此时P点坐标为(0,和(.【分析】（1）由面积得bc=,,a b c，得椭圆方程；（2）设()00,A x y，则()00,B x y-，不妨设y>，设()11,P x y，写出直线,PA PB方程，求得,C D两点的横坐标，计算C Dx x⋅，注意点,A P是椭圆上的点由此可得4C Dx x⋅=为常数，这样可计算出POC PODS S⋅△△＝2Py，最大值易得．【详解】解：（1）由12ca=，2a c=，得b=，又12122MF FS c b=⨯⨯=△所以1c=，2a=，b=所以椭圆C的方程为22143x y+=（2）设()00,A x y，则()00,B x y-，不妨设y>，设()11,P x y则直线PA的方程为：()011101y yy y x xx x--=--，令y=，得100101Cx y x yxy y-=-，同理100101Dx y x yxy y+=+，所以222210012201C Dx y x yx xy y-⋅=-，又点A与点P均在椭圆上，故220413yx⎛⎫=-⎪⎝⎭，2211413yx⎛⎫=-⎪⎝⎭，得()222212201012222010141414334C Dyyy yy yx xy y y y⎛⎫⎛⎫---⎪⎪-⎝⎭⎝⎭⋅===--，所以4C DOC CD x x⋅=⋅=为定值，因为221114224POC POD P p p pS S OC y OD y y y⋅=⋅⋅⋅=⨯⨯=△△由P为椭圆上的一点，所以要使POC PODS S⋅△△最大，只要2py最大而2py最大为3，所以POC POD S S ⋅△△的最大值为3，此时P 点坐标为(0,和(. 【点睛】关键点点睛：本题考查由离心率求椭圆方程，考查椭圆中的最值问题，解题方法是解析几何的基本方程：设点,A P 坐标，：求直线方程，求交点坐标，计算面积之积，得出结论：即设点,A P 坐标，求出直线,AP BP 方程，求出交点,C D 的坐标（横坐标，纵坐标为0），而2111224POC POD P p C D p S S OC y OD y x x y ⋅=⋅⋅⋅=⨯⋅⨯△△，再计算CD x x ⋅可得最大值时P 点位置．26．（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【分析】（1）根据椭圆离心率和椭圆的性质可知b =，再根据PQ x ⊥轴时，APQ 的面积为 92，由面积公式可知()212922b ac a +⋅=，由此即可求出椭圆方程； （2）设直线PQ 的方程为1x my =+，联立椭圆方程，设1122(,),(,)P x y Q x y ，由韦达定理，可知 12122269,3434m y y y y m m +=-=-++，将直线AP 的方程()112+2y y x x =+与直线 BQ 的方程()2222y y x x =--联立，利用韦达定理，化简计算，即可证明结果. 【详解】 解:（1）由题意知12c a =，所以2a c =，又222a b c =+，所以b =当PQ x ⊥轴时，APQ 的面积为92， 所以()212922b ac a +⋅=解得21,c = 所以224,3a b ==，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.（2）由（1）知()1,0F ，设直线PQ 的方程为 1x my =+，与椭圆22143x y +=联立，得 ()2234690m y my ++-=.显然0∆>恒成立. 设1122(,),(,)P x y Q x y ，。
圆锥曲线压轴大题五个方程框架十种题型(解析版)
第27讲 圆锥曲线压轴大题十类【题型一】 五个方程题型框架【典例分析】已知圆C 经过两点A (2，2)，B (3，3)，且圆心C 在直线x －y +1=0上. （1）求圆C 的标准方程；（2）设直线l ：y =kx +1与圆C 相交于M ，N 两点，O 为坐标原点，若645OM ON ⋅=，求|MN |的值. 【答案】（1）22(2)(3)1x y -+-=（225【分析】（1）设圆C 的方程为()222()()0x a y b r r -+->=，由已知列出关于a ，b ，r 的方程组求解即可得答案；（2）设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，将1y kx =+代入22(2)(3)1x y -+-=，利用根与系数的关系结合向量数量积的坐标运算求出k 值，再利用弦长公式即可求解．（1）解：设所求圆C 的标准方程为()222()()0x a y b r r -+->=，由题意，有222222(2)(2)(3)(3)10a b r a b r a b ⎧-+-=⎪-+-=⎨⎪-+=⎩，解得231a b r =⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以圆C 的标准方程为22(2)(3)1x y -+-=；（2）解：设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，将1)1y kx =+。
方程（ 代入22)(22)(3)1x y -+-=。
方程（， 整理得22)(1)4(1)703k x k x +-++=。
方程（， 所以1224(1)4)1k x x k ++=+。
方程（，1225)71x x k =+。
方程（ 0∆>，所以2121212122(1)()14(1)648156)OM ON x x y y k x x k x x k k k ⋅=+=+++++=+=+。
方程（，解得2k =或3k =，检验3k =时，∆<0不合题意，所以2k =，所以12125x x +=，1275x x =，所以2212725||12()455MN =+-⨯【变式演练】1.椭圆C ：22143x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点.（1）当P 为椭圆C 的上顶点时，求12F PF ∠；（2）若12F P F P ⊥，求满足条件的点P 的个数；（直接写答案） （3）直线()1y k x =-与椭圆C 交于A ，B ，若165AB =，求k . 【答案】（1）1260F PF ∠=︒（2）0（3）3k =【分析】（1）由椭圆的方程可得122PF PF ==，1223F F =（2）结合（1）的答案可得点P 的个数；（3）联立直线与椭圆的方程消元，利用弦长公式求解即可.解（1）因为椭圆C ：22143x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 的上顶点所以()11,0F -，()21,0F ，(3P所以122PF PF ==，122F F =，所以1260F PF ∠=︒ （2）若12F P F P ⊥，满足条件的点P 的个数为0（3）设()()1122,,,A x y B x y ，联立()221431x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩可得()22224384120k x k x k +-+-= 所以221212228412,4343k k x x x x k k -+==++所以()()()()2222222121222212181648161414343435k k k AB k x x x x k k k k ⎡⎤+⎛⎫-⎡⎤=++-+-==⎢⎥ ⎪⎣⎦+++⎢⎥⎝⎭⎣⎦解得3k =2.已知动点P 到点（0，1）的距离与到直线y ＝22，动点P 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）直线y ＝kx +1与曲线C 交于A ，B 两点，点M （0，2），证明：直线MA ，MB 的斜率之和为0．【答案】（1）2212y x +=（2）证明见解析【分析】（1）根据题意，结合两点间距离公式进行求解即可；（2）直线y ＝kx +1与曲线C 方程联立，根据一元二次方程根与系数关系，结合斜率公式进行求解即可.解（1）设点P 的坐标为P （x ，y ）22(1)2x y +-，整理可得曲线C 的轨迹方程为2212y x +=； （2）证明：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），与直线方程联立可得：（k 2+2）x 2+2kx ﹣1＝0，则：12122221,22k x x x x k k --+==++， 121212122211MA MBy y kx kx k k x x x x ----+=+=+＝22121212121222()220kk kx x x x k k x x x x --⋅--+++==， 从而直线MA ，MB 的斜率之和为0．3.设椭圆()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，离心率为12，过点F 且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为3.（1）求椭圆的方程；（2）设A 为椭圆的下顶点，B 为椭圆的上顶点，过点F 且斜率为k 的直线与椭圆交于C ，D 两点.若10AC DB AD CB ⋅+⋅=，求k 的值.【答案】（1）22143x y +=；（2）2k = 【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合代入法进行求解即可；（2）根据平面向量数量积坐标表示公式，结合一元二次方程根与系数关系进行求解即可.【详解】：（1）由题意可得，(c,0)F ，当x c =时，2222222221(1)c y c b y b y a b a a +=⇒=-⇒=±，所以得：22221223c e a b a a b c ⎧==⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得231a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩22143x y +=；（2）由（1）可知，()1,0F -，(0,3A ，(3B ，过点F 且斜率为k 的直线方程为()1y k x =+，联立方程()221143y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，可得()22224384120k x k x k +++-=，设()11,C x y ，()22,D x y ，则2122843k x x k +=-+，212241243k x x k -=+，故()()()222121212122911143k y y k x x k x x x x k =++=+++=-+，又(11,3AC x y =，()223DB x y =-，(22,3AD x y =，()113CB x y =-， 所以AC DB AD CB ⋅+⋅ ()()()121212213333x x y y x x y y =-+-+1212622x x y y =--22224129622104343k k k k ⎛⎫-=-⨯-⨯-= ⎪++⎝⎭，整理可得22512243k k +=+，解得2k =± 【题型二】 直线设法【典例分析】已知抛物线2:2C y x =，过点()2,0P 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点. （1）求抛物线的焦点坐标及准线方程； （2）证明：以线段AB 为直径的圆过原点O .【答案】（1）焦点坐标1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程12x =-；（2）证明见解析.【分析】（1）由抛物线的标准方程即可求解.（2）方法一：讨论直线l 斜率存在或不存在，将直线与抛物线联立，证出12120OA OB x x y y ⋅=+=即可证明；方法二：当直线斜率为0或者设:2l x my =+，将直线与抛物线联立，证明0OA OB ⋅=即可证明. 【详解】（1）由抛物线的标准方程：22y x =焦点坐标1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程12x =-.（2）法一：①当直线l 斜率不存在时，:2l x =，()2,2A ，()2,2B -，0OA OB ⋅=. ①当直线l 斜率存在时，设():2l y k x =-，()11,A x y ，()22,B x y ，由()222y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得()22224240k x k x k -++=，200k ⎧≠⎨∆>⎩得0k ≠，①212242k x x k ++=，124x x =， ①()()()()222212121212121222124OA OB x x y y x x k x x k x x k x x k ⋅=+=+--=+-++()222224241240k k k k k+=+-+=.综上所述0OA OB ⋅=，①OA OB ⊥，故以线段AB 为直径的圆过原点O . 法二：当直线斜率为0时，直线与抛物线交于一点，不符合题意.设:2l x my =+，()11,A x y ，()22,B x y ，联立222y xx my ⎧=⎨=+⎩，得2240y my --=，24160m ∆=+>，122y y m +=，124y y =-.①()()()()212121212121222124OA OB x x y y my my y y m y y m y y ⋅=+=+++=++++()()2412240m m m =-+++=.①OA OB ⊥，故以线段AB 为直径的圆过原点O .【变式演练】1.已知椭圆E ：过点，且离心率为．22221(a 0)x y b ab 2）22(Ⅰ)求椭圆E 的方程；(Ⅱ)设过点（0，-1)直线交椭圆E 于A ，B 两点，判断点G 与以线段AB 为直径的圆的位置关系，并说明理由．试题解析：解法一：(Ⅰ)由已知得解得所以椭圆E 的方程为．.(Ⅱ)设点，则 由所以 从而2.已知双曲线E ：()222210,0x y a b a b -=>>的离心率为2，点()2,3P 在E 上，F 为E 的右焦点.（1）求双曲线E 的方程；（2）设Q 为E 的左顶点，过点F 作直线l 交E 于,A B （,A B 不与Q 重合）两点，点M 是AB 的中点，求证：2AB MQ =.【答案】（1）2213y x -=；（2）证明见解析. 【分析】（1）根据离心率和椭圆上的点可构造方程组求得双曲线方程；（2）易知直线l 斜率不为0，设:2l x ty =+，与双曲线方程联立后可得韦达定理的形式，根据向量数量积的坐标运算，结合韦达定理可得0QA QB ⋅=，证得QA QB ⊥，由直角三角形的性质可得结论. 解（1）由已知可得2c e a ==，2222214c b e a a∴==+=，解得：223b a =…①，又点()2,3P 在E 上，22491a b ∴-=…①，由①①可得：21a =，23b =，∴双曲线E 的方程为2213y x -=； （2）当l 的斜率为0时，此时,A B 中有一点与Q 重合，不符合题意. 当l 斜率不为0时，设:2l x ty =+，()11,A x y ，()22,B x y ，9(4-,0)2222,2,2,bca abc 222a b c 22142x y 1122(y ),B(,y ),A x x 112299GA(,),GB (,).44x y x y 22221(m 2)y 230,142x my my x y得12122223y +y =,y y =m 2m 2m ，121212129955GA GB()()(my )(my )4444x x y y y y 22212122252553(m +1)25(m +1)y (y )4162(m 2)m 216m y m y 22172016(m 2)m联立22233x ty x y =+⎧⎨-=⎩得：()22311290t y ty -++=，则22Δ36360310t t ⎧=+>⎨-≠⎩，解得：213t ≠. ∴1221231t y y t -+=-，122931y y t =- ∴()()()()()()1122121212121,1,1133QA QB x y x y x x y y ty ty y y ⋅=+⋅+=+++=+++()()()()2212122291312139903131t t t t y y t y y t t +-=++++=++=--，QA QB ∴⊥，则QAB 是直角三角形，AB 是斜边， 点M 是斜边AB 的中点，12MQ AB ∴=，即2AB MQ =. 3. 如图，设椭圆的中心为原点O ，长轴在x 轴上，上顶点为A ，左右焦点分别为，线段的中点分别为，且△ 是面积为4的直角三角形。