第2章基本不等式测试题

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高三数学基本不等式2

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[单选]γ相机中光电倍增管的数量增加导致何种性能的改善()A．能量分辨率B．空间分辨率C．空间线性D．灵敏度E．以上都不是 [单选,A1型题]下列哪组药物属于辛温解表药（）A.荆芥、防风、蔓荆子B.藁本、牛蒡子、辛夷C.紫苏、香薷、白芷D.白芷、桂枝、葛根E.麻黄、羌活、桑叶 [单选,A2型题,A1/A2型题]有关肝动脉插管化疗的患者护理叙述不正确的是（）A.严格无菌操作B.若出现发热，应使用抗菌药物C.注药后用肝素液冲洗导管D.定期局部换药E.剧烈腹痛时应警惕其他部位动脉栓塞及胆囊坏死等并发症 [填空题]在旋风预热器的各级管道和旋风筒中，气流和物料热交换作用相对运动方向（），但如果从整体来看，则运动方向（）。 [多选]护理伦理学的研究对象包括（）。A.护理人员与患者之间的关系B.护理人员之间的关系C.护理人员与护理学科发展之间的关系D.护理人员与其他医务人员之间的关系E.护理人员与患者家属之间的关系 [问答题,简答题]采循环油样的操作 [单选]现在就读小学四年级的学生，可选择开立（）的教育储蓄，并在支取时凭证明按规定免征利息所得税。A.五年B.三年C.一年D.六年 [问答题,简答题]粗氩塔冷凝器液空液位正管漏气时，工艺上会有哪些参数和调节阀发生变化？ [多选]工程竣工后，要搞好工程的技术总结，主要要抓好()。A.做好总结计划B.确定技术总结的内容C.确定技术总结的题材D.搜集资料和数据E.施工体会、经验及值得改进处和改进措施的总结 [单选]()是指反映企业在某一特定日期的财务状况的会计报表。A.利润表B.现金流量表C.附注D.资产负债表 [多选]命令统一原则，的内容的说法正确的是？（）A、命令的精神要一致B、命令要逐级发布C、避免多头指挥D、监督不等于命令 [单选]混凝土是（）。A、完全弹性体材料B、完全塑性体材料C、弹塑性体材料D、不好确定 [问答题,简答题]财政政策工具有哪些？ [单选,A型题]具有完整细胞壁的微生物是（）A.支原体B.衣原体C.细菌L型D.噬菌体E.人体细胞 [单选,A1型题]一胎龄35周早产儿，冬天出生，现年龄为1个月2d。母乳喂养，体重已由出生时2．0kg增至3．0kg。现首先应添加的辅食及其添加目的是（）A.米汤，以补充热量B.菜汤，以补充矿物质C.米糊，以补充热量D.鱼肝油，以补充维生素AE.鱼肝油，以补充维生素D [单选]张三为债务人甲向债权人乙提供担保时，要求债务人甲提供反担保。反担保的方式可以是？（）A.债务人甲提供的保证B.债务人甲提供的定金C.甲的朋友丙提供的留置D.甲的朋友丙提供的质押 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列错误的是（）。A.发绀见于缺氧，缺氧一定有发绀B.发绀是皮肤、黏膜呈青紫色C.发绀常见的部位为口唇、指（趾）、甲床D.血液中存在异常血红蛋白的绝对量也可出现发绀E.发绀是血液中还原血红蛋白增多所致 [多选]下列有关行政法规的说法哪些是不正确的？（）A.国务院根据全国人大常委会授权制定的行政法规，可以称为"暂行办法"B.行政法规的外文正式译本，由国务院法制办公室审定C.制定行政法规的基本条件尚不成熟的，行政法规送审稿须一律退回起草部门D.行政法规可以由国务院 [单选]（）是通过一定的途径，借助一定的工具、手段和方式，根据已有情报揭示研究对象的本质、发展规律和因果关系的方法。A、思维方法B、操作方法C、逻辑方法D、数据整合方法 [单选,A2型题,A1/A2型题]有关自杀的流行病学资料不正确的是（）A.自杀率是指一年期间每10万人中自杀死亡人数B.所有国家自杀未遂率女性高于男性C.教育水平与自杀呈负相关，即文化教育水平低者自杀率高D.在我国，城市人口的自杀率高于农村人口E.我国的研究表明，男女两性的自杀率相 [单选,A1型题]关于臀位，哪项错误（）A.为最常见的异常胎位B.胎儿病死率比枕前位高3～8倍C.多见于经产妇D.必须在妊娠28周左右行外转胎位术E.后出头困难时需产钳助产 [单选,A2型题,A1/A2型题]（）负责对实施情况进行监督检查。A.上级主管单位B.领导班子C.行政职能部门D.纪检监察纠风部门 [单选,A2型题,A1/A2型题]恶性肿瘤广泛骨转移时可出现（）A.血钙升高B.血镁降低C.血镁升高D.血钙降低E.血磷升高 [单选]甲产品经过两道工序加工完成。采用约当产量比例法将直接人工成本在完工产品和月末在产品之间进行分配。甲产品月初在产品和本月发生的直接人工成本总计23200元。本月完工产品200件;月末第一工序在产品20件，完成全部工序的40%;第二工序在产品40件，完成全部工序的60%。月末在 [单选,A1型题]能透过血脑屏障而产生中枢抑制作用的成分是（）A.小檗碱B.黄连碱C.四氢黄连碱D.药根碱E.甲基黄连碱 [单选]霍奇金病中，大纵膈的定义是指（）A.有纵膈淋巴结肿大的病例B.胸片上纵膈增宽的病例C.纵膈肿块最大径与T5~T6胸廓横径之比>1/3D.纵膈肿块最大径与胸廓最大横径之比>2/3E.纵膈肿块最大径与T5~T6胸廓横径之比>1/2 [单选,A2型题,A1/A2型题]刺激腕部尺神经，用表面电极在小指展肌记录诱发电位的形状（）A.起始为正相的三相波B.起始为负相的双相波C.起始为正相的双相波D.多相波E.单相波 [单选]与销售有关的其他资料自业务发生当年起至少保存（）年。A.3B.5C.10D.15 [单选]下列选项中可以作为行政主体的是（）。A.国家权力机关B.人民法院C.税务总局D.城市的治安联防组织 [单选]下列不属于基金销售机构职责规范的是（）。A.严格账户管理B.基金托管人应制定业务规则并监督实施C.签订销售协议，明确权利和义务D.禁止提前发行 [单选]加氢气密性试验时应控制压力（）。A、稍低于操作压力B、等于控制压力C、稍高于操作压力D、等于工厂公用工程部所提供的高压氮气压力 [单选,A2型题,A1/A2型题]以下疾病中不会导致秃发的是（）。A.红皮病B.扁平苔藓C.黄藓D.疖肿E.玫瑰糠疹 [单选]卵泡刺激素的主要作用是（）A.促进卵泡生长发育和成熟B.促进黄体形成C.促进黄体分泌雌激素和孕激素D.促进排卵E.促进卵泡分泌孕激素和雌激素 [单选]下列哪项是感染性休克的早期表现（）。A.血压升高B.脉压差小C.脉压差大D.血压测不到E.血压降低 [问答题,案例分析题]B企业拟在A市郊区原A市卷烟厂厂址处（现该厂已经关闭）新建屠宰量为120万头猪／年的项目（仅屠宰，无肉类加工），该厂址紧临长江干流，A市现有正在营运的日处理规模为3万t的城市污水处理厂，距离B企业1.5km。污水处理厂尾水最终排入长江干流（长江干流在A市段 [单选,A1型题]长期的全胃肠外营养中，最严重的并发症是（）A.高渗性非酮性昏迷B.溶质性利尿C.血磷过低D.凝血酶原过低E.氮质血症 [单选]某变压器满负荷运行，此时若在负荷侧投入一组电容器，主变压器电流将是（）。A.不变B.大于额定电流C.小于额定电流 [名词解释]渣仓 [单选,A2型题,A1/A2型题]下列情况可导致α1-酸性糖蛋白降低的是（）.A.风湿病B.恶性肿瘤C.心肌梗死D.严重肝损伤E.糖尿病 [单选]关于印刷要素的说法，错误的是（）。A.印刷要素包括原稿、印版、承印物、印刷油墨和印刷机械B.以非纸张材料作为承印物的印刷称为"特种印刷"C.按版面结构特征不同，印版分为凸版、凹版和平版三种D.原稿可分为文字原稿、线条原稿和图像原稿三大类

新北师大版高中数学高中数学选修4-5第二章《重要的不等式》测试题(含答案解析)

一、选择题1．已知a 、b R ∈，224a b +=，求32a b +的最大值为（）A．B．C． D ．42．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n =，数列{}n b 满足()1log 01n n a na b a a +=<<，n T 是数列{}n b 的前n 项和，若11log 2n a n M a +=，则n T 与n M 的大小关系是（） A ．n n T M ≥B ．n n T M >C ．n n T M <D ．n n T M ≤3．若0x y >>，{}0,1,2,,2020n ∈⋅⋅⋅，则使得1ny nx x y +>恒成立的n 有（）个. A ．1B ．2C ．3D ．20214．已知222121n a a a +++= ，222121n x x x +++= ，则1122n n a x a x a x +++ 的最大值是( ) A ．1B ．2C ．3D ．45．已知(),0A a ，()0,C c ，2AC =，1BC =，0AC BC ⋅=，O 为坐标原点，则OB 的最大值是（）A1 BC1D6．已知a ，b ，0c >，且1a b c ++=A ．3B．C ．18D ．97．若函数()f x 在其图象上存在不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，其坐标满足条件：1212|]x x y y +-0，则称()f x 为“柯西函数”，则下列函数：①1()f x x x=+(0)x >：②()ln (0)f x x x e =<<：③()cos f x x =:④2()4f x x =-. 其中为“柯西函数”的个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．48．已知2x+3y+4z=10,则x 2+y 2+z 2取到最小值时的x,y,z 的值为( ) A ．5105,,396B ．203040,,292929C ．111,,23D ．11,499．y=x 的最大值是（） A ．1B ．2CD ．410．若实数a ，b ，c 均大于0，且a ＋b ＋c ＝3，则的最小值为( ) A ．3B ．1C．3D11．n 个正数的和与这n 个正数的倒数和的乘积的最小值是( ) A ．1B ．nC ．n 2D ．1n12．设a b c d ,,,为正数，1a b c d +++=，则2222a b c d +++的最小值为（） A ．12B ．14C ．1D ．34二、填空题13．已知,,,,,(0,)x y z R αβγπ+∈∈，且222346,2x y z αβγπ++=++=，则sin sin sin xy xz yz αβγ++的最大值为________．14．已知,,x y z 是正数，且1231x y z ++=，则23y zx ++的最小值是__________. 15．设x ，y ，z 均为实数，则22222x y z x y z +-++的最大值是________．16．已知实数,,,x y a b 满足：221a b +≤，2224x x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩，则ax by +的最大值为__________ ．17．函数3141y x x =++-的最大值为______________； 18．在等式19161()()()++=的分母上的三个括号中各填入一个正整数，使得该等式成立，则所填三个正整数的和的最小值是_________． 19．已知、、是三角形三个角的弧度数，则的最小值____．20．已知,(0,)x y ∈+∞3x y x y <+恒成立，利用柯西不等式可求得实数k 的取值范围是________．三、解答题21．已知f (n )＝1＋312＋313＋314＋＋31n ，()g n =32－212n，n ∈N *. （1）当n ＝1，2，3时，试比较f (n )与g(n )的大小关系；（2）猜想f (n )与g(n )的大小关系，并给出证明． 22．已知,x y R ∈，且1x y +=. （1）求证：22334x y +≥；（2）当0,0x y >>时，不等式221111|2||1|a a x y ⎛⎫⎛⎫--≥-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，求a 的取值范围.23．已知函数3()|3|(0)f x x a x a a =-++>．（1）当1a =时，求不等式()6f x <的解集；（2）若()f x 的最小值为4，且1(0,0)am m nn +=>>≤24．已知函数()12f x x x =++-，若2a b c ++=(),,a b c R ∈，且不等式()222a b c f x ≥++恒成立，求实数x 的取值范围．25．已知,,a b c ∈R ，且3a b c ++=，22226a b c ++=，求实数a 的取值范围．26．设函数()()222,f x x a x b a b R =-++∈.（1）若1a =，0b =，求()2f x ≥的解集；（2）若()f x 的最小值为8，求2+a b 的最大值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】利用柯西不等式可求得32a b +的最大值. 【详解】224a b +=，由柯西不等式可得()()()222223232a b a b ++≥+，即()23213452a b +≤⨯=，32a b ∴-+≤当且仅当a =b =时，32a b +取得最大值.因此，32a b +的最大值为故选：B. 【点睛】本题考查利用柯西不等式求最值，解答的关键在于对代数式进行合理配凑，考查计算能力，属于基础题.2．C解析：C 【分析】先求出2462log ()13521n a nT n =⨯⨯⨯-，log n a M =，再利用数学归纳法证明*1321)242n n N n-⨯⨯⋯⨯<∈即得解.【详解】因为2n S n =，所以11=1,21(2)n n n a a S S n n -=-=-≥适合n=1,所以=21n a n -.所以2log 21n a nb n =-，所以24622462log log log log log ()1352113521n aa a a a n nT n n =+++=⨯⨯⨯--111log =log (21)log 22n a n a a M a n +=+=下面利用数学归纳法证明不等式*1321)242n n N n -⨯⨯⋯⨯<∈ （1）当1n =时，左边12=，右边=<右边，不等式成立，（2）22414n n -<，即2(21)(21)(2)n n n +-<．即212221n nn n -<+，∴，∴<，假设当n k =时，原式成立，即1121232k k-⨯⨯⋯⨯<那么当1n k =+时，即112121212322(1)2(1)1k k k k k k -++⨯⨯⋯⨯⨯<=<++即1n k =+时结论成立．根据（1）和（2）可知不等式对任意正整数n 都成立．所以246213521nn ⨯⨯⨯>-因为0＜a ＜1，所以2462log ()log 13521a a nn ⨯⨯⨯<- 所以n n T M <. 故选：C 【点睛】本题主要考查数列通项的求法，考查对数的运算和对数函数的性质，考查数学归纳法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.3．B解析：B 【分析】根据题意，分情况讨论，1x y >≥和10x y >>>，0n =，1n =，2n ≥判断，得出结论. 【详解】如1x y >≥，1ny nx x y +>显然成立；当10x y >>>，0n =时，21ny nx x y +=>成立；当1n =时，由贝努力不等式(1)1r x rx +>+，1r >，1x >-，取1r y =，y a x=，则111(1)10y y x x x+=+>>，1y x y x x +>，得y x x x y >+，同理xy y x y>+，故1ny nx x y +>成立；当2n ≥时，取12x =，14y =，代入检验1124211111()()()()1222224n nynxnx y +=+<+=+<，不成立，故选：B ．【点睛】本题考查恒成立问题，利用了贝努力不等式，考查运算求解能力，是中档题．4．A解析：A 【分析】利用柯西不等式求解. 【详解】()21122n n a x a x a x +++()()2222221212111nn aa a xx x ++++++=⨯= ，当且仅当12121nnx x x a a a ==== 时取等号. ∴1122n n a x a x a x +++ 的最大值是1故选：A 【点睛】本题主要考查柯西不等式的应用，还考查了转化化归的思想和运算求解的能力，属于基础题.5．C解析：C 【分析】设(),B x y ，利用两点间的距离公式可得221x y ax cy +=++，再利用柯西不等式进行放的最大值. 【详解】设(),B x y ，则224a c +=，()221x y c +-=，()222251x a y x y ax cy -+=⇒+=++11≤=+取等号条件：ay cx =；令OB d ==，则212d d≤+，得1d ≤.故选：C. 【点睛】本题考查两点间的距离公式，勾股定理、柯西不等式的应用，考查转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意不等式放缩时等号成立的条件.6．B解析：B【分析】先利用柯西不等式求得2的最大值，由此求得.【详解】由柯西不等式得：()2222222111⎡⎤≤++++⎢⎥⎣⎦()33318a b c =⨯+++=⎡⎤⎣⎦≤13a b c ===时，等号成立，故选B.【点睛】本小题主要考查利用柯西不等式求最大值，属于基础题.7．B解析：B 【分析】由柯西不等式得对任意的实数1212,x x y y ，，都有1212x x y y +，当且仅当1122=x y x y 时取等，此时12120000y y x x --=--即A,O,B 三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数⇔f(x)的图像上存在两点A 与B ，使得A,O,B 三点共线⇔过原点直线与f(x)有两个交点.再利用柯西函数的定义逐个分析推理得解. 【详解】由柯西不等式得对任意的实数1212,x x y y ，，都有1212x x y y +，当且仅当1122=x y x y 时取等，此时12120000y y x x --=--即A,O,B 三点共线，结合“柯西函数”定义可知，f(x)是柯西函数⇔f(x)的图像上存在两点A 与B ，使得A,O,B 三点共线⇔过原点直线与f(x)有两个交点. ①()()10f x x x x=+>,画出f(x)在x ＞0时，图像若f(x)与直线y=kx 有两个交点，则必有k≥2，此时，1x kx x +=，所以21)1,k x x -=∴=（x ＞0），此时仅有一个交点，所以()()10f x x x x=+>不是柯西函数； ②()()0f x lnx x e =<<，曲线()()0f x lnx x e =<<过原点的切线为xy e=，又（e,1）不是f(x)图像上的点，故f(x)图像上不存在两点A,B 与O 共线，所以函数()()0f x lnx x e =<<不是；③()f x cosx =；④()24f x x =-．显然都是柯西函数.故选B 【点睛】本题主要考查柯西不等式，考查学生对新概念的理解和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.8．B解析：B 【解析】【分析】由题意结合柯西不等式成立的条件得到关于x ,y ,z 的方程，解方程即可求得x ,y ,z 的值. 【详解】由柯西不等式,得(x 2+y 2+z 2)(22+32+42)≥(2x+3y+4z )2=100, 则x 2+y 2+z 2≥100.29当且仅234x y z ==当时,取到最小值,所以联,23423410,x y zx y z ⎧==⎪⎨⎪++=⎩立可得x 203040,,.292929y z === 本题选择B 选项. 【点睛】本题主要考查柯西不等式求最值，柯西不等式等号成立的条件，方程的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9．C解析：C 【解析】【分析】首先求得平方的最大值，然后确定y 的最大值即可. 【详解】函数有意义，则210x -≥，即11x -≤≤，且2112y =+≤+=，则y =x当且仅当221xx =-，即2x =时等号成立. 本题选择C 选项. 【点睛】本题主要考查函数最值的求解，均值不等式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．D解析：D 【解析】()()()22222221111119,3ab c a b c a b c ++++≥⨯+⨯+⨯=∴++≥，1a b c ===时等号成立，故选D. 11．C解析：C 【解析】由柯西不等式，得()1212111......n n x x x x x x ⎛⎫++++++⎪⎝⎭2...⎫≥()2211...1n =+++=，当且仅当12...n x x x ===时取等号，故选C. 12．B解析：B 【解析】试题分析：由柯西不等式()()()2222222221111a b c da b c d ++++++≥+++，因为1a b c d +++=，于是由上式得()222241a b c d +++≥，于是222214a b c d +++≥，当且仅当14a b c d ====时取等号，故选B ．考点：柯西不等式．【名师点睛】一般形式的柯西不等式：设a 1，a 2，a 3，…，a n ，b 1，b 2，b 3，…，b n 是实数，则(a ＋a ＋…＋a)·(b ＋b ＋…＋b)≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，当且仅当bi ＝0(i ＝1,2，…，n)或存在一个数k ，使得ai ＝kb i (i ＝1,2，…，n)时，等号成立．当遇到求最值问题中变量较多时，一般可联想用柯西不等式，可以很快得出结论，当变量只有两个或三个时，有时应用基本不等式也能容易得出结论．二、填空题13．【分析】如图所示：设则根据柯西不等式证明得到利用上面不等式得到得到答案【详解】如图所示：过作于设故当时根据柯西不等式：故当时等号成立即即即故当三点共线且时等号成立故答案为：【点睛】本题考查了柯西不等【分析】如图所示：设OA x =，OB y =，OC z =，AD a =，BD b =，OD h =，则sin sin sin 2ABC xy xz yz S αβγ∆++=，根据柯西不等式证明222()a b a b x y x y++≥+，得到()22222346a h b h z ++++=，利用上面不等式得到)()6ABC m z a b ∆≥++≥，得到答案.【详解】如图所示：过O 作⊥OD AB 于D ，设OA x =，OB y =，OC z =，AD a =，BD b =，OD h =，AOB α∠=，AOC β∠=，BOC γ∠=.故sin sin sin 2ABC xy xz yz S αβγ∆++=.当0x >，0y >时，根据柯西不等式：22222()a b ⎡⎤⎛⎫⎡⎤⎢⎥++≥+⎣⎦⎢⎥⎣⎦，故222()a b a b x y x y++≥+，当a b x y =时等号成立.222346x y z ++=，即()22222346a h b h z ++++=，即22224346a h b z +++=.即()())()222222611111111434443ABC h z a b a h b z h z a b ∆+++++=≥+≥++≥++，故2ABC S ∆≤OCD 三点共线，且3a b =，h z =时等号成立.【点睛】本题考查了柯西不等式求最值，将sin sin sin xy xz yz αβγ++表示成三角形面积是解题的关键.14．9【分析】首先根据题意利用代1法可得再借助柯西不等式即可得出结论【详解】是正数且当且仅当时取等号的最小值是9故答案为：9【点睛】本题主要考查利用柯西不等式求最小值的问题属于基础题解析：9 【分析】首先根据题意，利用代“1”法，可得1232323y z y z x x x y z ⎛⎫⎛⎫++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再借助柯西不等式，即可得出结论. 【详解】,,x y z 是正数，且1231x y z++=， 1232323y z y z x x x y z ⎛⎫⎛⎫∴++=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭22323y z x y z x ≥ 2(111)=++ 9=，当且仅当3x =，6y =，9z =时取等号，23y zx ∴++的最小值是9. 故答案为：9. 【点睛】本题主要考查利用柯西不等式求最小值的问题，属于基础题.15．【分析】首先利用柯西不等式可以得到从而求得两边开放得到从而求得其最大值【详解】由柯西不等式知所以所以当且仅当时等号成立故答案为：【点睛】该题考查的是有关式子的最值问题涉及到的知识点有柯西不等式在解题解析：2 【分析】首先利用柯西不等式可以得到2222222(2)[2(1)](2)x y z x y z ++++-≥+-，从而求得2222(2)1122x y z x y z +-≤++≤. 【详解】由柯西不等式知2222222(2)[2(1)](2)x y z x y z ++++-≥+-，所以2222(2)1122x y z x y z +-≤++，≤，当且仅当202x y z ==->时等号成立，故答案为：2. 【点睛】该题考查的是有关式子的最值问题，涉及到的知识点有柯西不等式，在解题的过程中，注意对柯西不等式形式的配凑，属于较难题目.16．【解析】分析：根据线性规划先求出的范围再根据柯西不等式求解详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示表示可行域内的点到原点的距离结合图形可得点A 到原点的距离最大由解得故∴由柯西不等式得当且仅当时【解析】的范围，再根据柯西不等式求解．详解：画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示．22x y +A 到原点的距离最大，由224x x y =⎧⎨+=⎩，解得21x y =⎧⎨=⎩，故()2,1A ， ∴225x y +≤ 由柯西不等式得2222225ax by a b x y x y +≤+++≤x y a b=时等号成立． ∴ax by +5点睛：在应用柯西不等式求最大值时，要注意等号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，可按照“一看、二构造、三判断、四运用”的步骤求解．17．【解析】因为所以故函数的最大值为解析：52【解析】因为(()()2223141341150x x x x +-≤+++-=，所以52y ≤3141y x x =+-5218．64【解析】试题分析：设依次填入的三个数分别为则根据柯西不等式所以时最小值为64考点：柯西不等式解析：64【解析】试题分析：设依次填入的三个数分别为,,x y z ，则根据柯西不等式()()21916134x y z x y z ⎛⎫++++≥++ ⎪⎝⎭64=，所以8,24,32x y z ===时，最小值为64．考点：柯西不等式．19．【解析】试题分析：所以原式转化为根据基本不等式所以原式等号成立的条件是所以求原式的最小值转化为求的最小值令当时函数单调递减当函数单调递减所以当时函数取得最小值当时取得最小值最小值等于考点：1基本不等解析：【解析】试题分析：,所以，原式转化为,根据基本不等式，,所以原式,等号成立的条件是,所以求原式的最小值转化为求的最小值，,令，,,当时，,函数单调递减，当，,函数单调递减，所以当时，函数取得最小值，当时，,取得最小值，最小值等于．考点：1．基本不等式；2．导数研究函数的极值与最值．20．【解析】试题分析：由柯西不等式得所以即考点：柯西不等式解析：10k >【解析】试题分析：由柯西不等式得22(3)(13)()x y x y ≤++，所以310x y x y ≤+10k >考点：柯西不等式三、解答题21．（1）答案见解析；（2）f (n )≤g(n )，证明见解析.【分析】（1）利用解析式计算、比较可得答案；（2）由（1）的结果猜想可得f (n )≤g(n )，再利用数学归纳法进行证明可得答案.【详解】（1）当n ＝1时，f (1)＝1，g(1)＝1，所以f (1)＝g(1)；当n ＝2时，f (2)＝98，g(2)＝118，所以f (2)＜g(2)；当n ＝3时，f (3)＝251216，g(3)＝312216，所以f (3)＜g(3)．（2）由（1）猜想： f (n )≤g(n )，用数学归纳法证明．①当n ＝1，不等式显然成立．②假设当n ＝k (k ∈N *)时不等式成立，即1＋312＋313＋314＋＋31k ≤32－212k ，则当n ＝k ＋1时，f (k ＋1)＝f (k )＋31(1)k +≤32－212k ＋31(1)k +22233111122(1)2(1)2(1)k k k k =-+-++++，因为212(1)k +－23112(1)k k ++＝332(1)k k ++－212k ＝32312(1)k k k --+＜0，所以f (k ＋1)＜32－212(1)k +＝g(k ＋1)．由①②可知，对一切n ∈N *，都有f (n )≤g(n )成立.【点睛】关键点点睛：掌握数学归纳法原理是本题解题关键.22．（1）证明见解析；（2）[]4,5-.【分析】（1）由柯西不等式即可证明；（2）可先化简计算221111x y ⎛⎫⎛⎫-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的最小值，再分2a ≥，1a 2-<<，1a ≤-三种情况讨论即可得到答案.【详解】（1）由柯西不等式得： 22222)11x x ⎡⎤⎛⎡⎤++≥⋅⎢⎥ ⎣⎦⎝⎢⎥⎣⎦， ()22243()13x y x y ∴+⨯≥+=，当且仅当334x y ==时取等号， 22334x y ∴+≥；（2）由0,0x y >>，1x y +=，得222211(1)(1)(1)(1)112111x x y y x y x y x y x y xy ⎛⎫+-+-++⎛⎫--=⋅=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 114x y xy=+≥≥当且仅当12x y ==时等号成立，要使得不等式221111|2||1|a a x y ⎛⎫⎛⎫--≥-++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭恒成立，即可转化为|2||1|9a a -++≤，当2a ≥时，219a -≤，可得25a ≤≤，当1a 2-<<时，39≤，可得1a 2-<<，当1a ≤-时，219a -+≤，可得41a -≤≤-，a ∴的取值范围为：[]45-，.【点睛】易错点睛：本题主要考查柯西不等式，均值不等式，绝对值不等式的综合应用. 柯西不等式以及均值不等式注意等号成立的条件.23．（1）()4,2-；（2）证明见解析.【分析】（1）当1a =时，由()6f x <，得|1||3|6x x -++<．利用零点分段法去绝对值,分三段解不等式即可求解；（2）由绝对值三角不等式可得()f x 的最小值为334a a +=，解得1a =，可得11m n+=，利用柯西不等式即可求证.【详解】（1）当1a =时，由()6f x <，得|1||3|6x x -++<．当3x ≤-时，136x x ---<，即226x --<，解得：4x >-，所以43x -<≤-；当31x -<<时，136x x -++<，即46<，所以31x -<<；当1≥x 时，136x x -++<，即226x +<，解得2x <，所以12x ≤<．综上所述：不等式()6f x <的解集为()4,2-．（2）证明：因为333()|3|(3)3f x x a x a x a x a a a =-++≥--+=+，且0a >，所以()f x 的最小值为334a a +=．因为函数3()3g a a a =+为增函数，且()14g =，所以1a =．从而11m n+=，因为0m >，0n >，所以由柯西不等式得()222112mn ⎛⎫++≥ ⎪⎝⎭，即25≥，≤（当且仅当15m =，54n =时等号成立）【点睛】方法点睛：解绝对值不等式的常用方法（1）基本性质法：a 为正实数，x a a x a <⇔-<<，x a x a >⇔<-或x a >；（2）平方法：两边平方去掉绝对值，适用于x a x b -<-或x a x b ->-型的不等式的求解；（3）分类讨论法(零点分区间法)：含有两个或两个以上绝对值的不等式，可用分类讨论法去掉绝对值，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式求解；（4）几何法：利用绝对值不等式的几何意义，画出数轴，将绝对值问题转化为数轴上两点的距离问题求解；（5）数形结合法：在直角坐标系中，作出不等式两边所对应的两个函数的图象，利用函数图像求解.24．[]1,2-.【分析】由柯西不等式得()2222236a b c a b c ++++≥=，转化条件得()3f x ≤，结合绝对值三角不等式()12123f x x x x x =++-≥+-+=，即可得解.【详解】由柯西不等式可得()()()22222222121a b c a b c ++≤++++，所以()2222236a b c a b c ++++≥=，当且仅当121a b c ==即b =a c ==时，等号成立，所以()222a b c f x ≥++恒成立()3f x ⇔≤，因为()12123f x x x x x =++-≥+-+=，当且仅当12x -≤≤时，等号成立，所以()3f x ≤的解集为12x -≤≤，所以实数x 的取值范围[]1,2-.【点睛】本题考查了柯西不等式与绝对值三角不等式的综合应用，考查了计算能力与转化化归思想，属于中档题.25．120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【分析】利用柯西不等式可得关于a 的不等式，解不等式可得实数a 的取值范围．【详解】因为()222222*********()(3)3233a b c b c b c a ⎛⎫-=+=+++=- ⎪⎝⎭ 所以25120a a -，解得1205a．综上，实数a 的取值范围是120,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查柯西不等式求参数的取值范围，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 26．（1）13,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）【分析】（1）分别在0x ≤、01x <<和1x ≥三种情况下解不等式求得结果；（2）利用绝对值三角不等式可求得2228a b +=，利用柯西不等式可求得结果.【详解】（1）当1a =，0b =时，()1f x x x =-+，当0x ≤时，()122f x x =-≥，解得：12x ≤-；当01x <<时，()112f x x x =-+=≥，解集为∅；当1x ≥时，()212f x x =-≥，解得：32x ≥；综上所述：()2f x ≥的解集为13,,22⎛⎤⎡⎫-∞-+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭；（2）2222222228x a x b x a x b a b -++≥---=+=（当且仅当()()2220x a x b -+≤时取等号），()()222212242a b a b ⎛⎫∴++=≥+ ⎪⎝⎭（当且仅当a b =时取等号），2a b ∴+≤即2+a b 的最大值为.【点睛】本题考查分类讨论法解绝对值不等式、绝对值三角不等式的应用、利用柯西不等式求最值的问题，属于常考题型.。

人教A新版必修1《第2章_一元二次函数、方程和不等式》2019年单元测试卷(三)

人教A新版必修1《第2章一元二次函数、方程和不等式》2019年单元测试卷（三）复习巩固1. 某夏令营有48人，出发前要从A，B两种型号的帐篷中选择一种，A型号的帐篷比B 型号少5顶，若只选A型号的，每顶帐篷住4人，则帐篷不够，每顶帐篷住5人，则有一顶帐篷没有住满，若只选B型号的，每顶帐篷住3人，则帐篷不够，每顶帐篷住4人，则有帐篷多余，设A型号的帐篷有x顶，用不等式将题目中的不等关系表示出来．2. 用不等号“>”或“<”填空：（1）若a>b，且1a >1b，则ab<0；（2）若c>a>b>0，则ac−a ________bc−b；（3）若a>b>c>0，则ab ________a+cb+c．3. （1）在面积为定值S的扇形中，半径是多少时扇形的周长最小？ 3. （2）在周长为定值P的扇形中，半径是多少时扇形的面积最大？4. 求下列不等式的解集：（1）14−4x2≥x；（2）x2−14x+45≤0；（3）x2+6x+10>0；（4）x(x+2)>x(3−x)+1．5. 已知a，b>0，ab＝a+b+3，求ab的取值范围．<0对一切实数x都成立？6. 当k取什么值时，一元二次不等式2kx2+kx−387. 一般认为，民用住宅的窗户面积必须小于地板面积，但窗户面积与地板面积的比应不小10%，而且这个比值越大，采光效果越好．(1)若一所公寓窗户面积与地板面积的总和为220m2，则这所公寓的窗户面积至少为多少平方米？(2)若同时增加相同的窗户面积和地板面积，公寓的采光效果是变好了还是变坏了？8. 相等关系和不等关系之间具有对应关系：即只要将一个相等关系的命题中的等号改为不等号就可得到一个相应的不等关系的命题，请你用类比的方法探索相等关系和不等关系的对应性质，仿照如表列出尽可能多的有关对应关系的命题；指出所列的对应不等关系的命题是否正确，并说明理由．9. 2010年上海世博会某国要建一座八边形的展馆区，它的主体造型的平面图是由二个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为200m2的十字型地域，计划在正方形MNPQ上建一座“观景花坛”，造价为4200元/m2，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺花岗岩地坪，造价为210元/m2，再在四个空角（如△DQH等）上铺草坪，造价为80元/m2．（1）设总造价为S元，AD长为xm，试建立S与x的函数关系；（2）当x为何值时，S最小？并求这个最小值．10. 两次购买同一种物品，可以用两种不同的策略，第一种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品的数量一定；第二种是不考虑物品价格的升降，每次购买这种物品所花的钱数一定．哪种购物方式比较经济．参考答案与试题解析人教A新版必修1《第2章一元二次函数、方程和不等式》2019年单元测试卷（三）复习巩固1.【答案】由题意得{x>0 x+5>0 4x<480<5x−48<5 3(x+5)<48 4(x+5)>48即{x>0x+5>04x<480<5x−48<53(x+5)<48x+5>12．【考点】二元一次不等式的几何意义【解析】根据条件利用二元一次不等式进行表示即可．【解答】由题意得{x>0 x+5>0 4x<480<5x−48<5 3(x+5)<48 4(x+5)>48即{x>0x+5>04x<480<5x−48<53(x+5)<48x+5>12．2.【答案】若a>b，且1a >1b，则1a−1b=b−aab>0，于是ab<0；>>【考点】不等式的基本性质【解析】（1）通过作差，利用不等式的基本性质即可判断出结论；（2）通过作差，利用不等式的基本性质即可判断出结论；（3）通过作差，利用不等式的基本性质即可判断出结论．【解答】若a>b，且1a >1b，则1a−1b=b−aab>0，于是ab<0；若c>a>b>0，则ac−a −bc−b=a(c−b)−b(c−a)(c−a)(c−b)=(a−b)c(c−a)(c−b)>0，∴ac−a >bc−b；若a>b>c>0，则ab −a+cb+c=a(b+c)−b(a+c)b(b+c)=(a−b)cb(b+c)>0，∴ab >a+cb+c．3.【答案】设扇形的圆心角为θ，半径为r，则扇形的面积为S=12θr2，解得θ=2Sr2；又扇形的周长为P＝2r+θr＝2(r+Sr )≥4⋅√r⋅Sr=4√S，当且仅当r=Sr，即r=√S时扇形的周长最小；设扇形半径为r，弧长为l，则扇形的周长为2r+l＝P，面积为S=12lr；因为P＝2r+l≥2√2rl，当且仅当2r＝l，即r=P4时取等号．所以rl≤P 28，所以S≤P216．【考点】基本不等式及其应用【解析】（1）设出扇形的半径与圆心角，由此表示出扇形的面积，再利用基本不等式求出扇形周长的最小值；（2）由扇形的周长和面积公式都和半径和弧长有关，设出半径和弧长，表示出周长和面积公式，利用基本不等式求出面积的最大值．【解答】设扇形的圆心角为θ，半径为r，则扇形的面积为S=12θr2，解得θ=2Sr2；又扇形的周长为P＝2r+θr＝2(r+Sr )≥4⋅√r⋅Sr=4√S，当且仅当r=Sr，即r=√S时扇形的周长最小；设扇形半径为r，弧长为l，则扇形的周长为2r+l＝P，面积为S=12lr；因为P＝2r+l≥2√2rl，当且仅当2r＝l，即r=P4时取等号．所以rl≤P 28，所以S≤P216．4.【答案】14−4x2≥x．4x2+x−14≤0．(x+2)(4x−7)≤0．∴−2≤x≤74；]．则原不等式的解集为[−2, 74x2−14x+45≤0．(x−5)(x−9)≤0．∴5≤x≤9，则原不等式的解集为[5, 9]．x2+6x+10>0．(x+3)2+1>0．∴x∈R，则原不等式的解集为R．x(x+2)>x(3−x)+1．(2x+1)(x−1)>0．∴x>1或x<−1．2)∪(1, +∞)．则原不等式的解集为(−∞, −12【考点】其他不等式的解法【解析】根据一元二次不等式的解法，分别解出即可．【解答】14−4x2≥x．4x2+x−14≤0．(x+2)(4x−7)≤0．∴−2≤x≤7；4]．则原不等式的解集为[−2, 74x2−14x+45≤0．(x−5)(x−9)≤0．∴5≤x≤9，则原不等式的解集为[5, 9]．x2+6x+10>0．(x+3)2+1>0．∴x∈R，则原不等式的解集为R．x(x+2)>x(3−x)+1．(2x+1)(x−1)>0．∴x>1或x<−1．2)∪(1, +∞)．则原不等式的解集为(−∞, −125.【答案】∵正数a，b，∴ab＝a+b+3≥2√ab+3，∴ab≥2√ab+3，∴(√ab−3)(√ab+1)≥0，∴√ab≥3或√ab≤−1，∴ab≥9，ab的取值范围：[9, +∞)．【考点】基本不等式及其应用【解析】将式子中的a+b用ab表示，再解不等式求出范围即可．【解答】∵正数a，b，∴ab＝a+b+3≥2√ab+3，∴ab≥2√ab+3，∴(√ab−3)(√ab+1)≥0，∴√ab≥3或√ab≤−1，∴ab≥9，ab的取值范围：[9, +∞)．6.【答案】当k＝0，不满足一元二次不等式；当k≠0，令y=2kx2+kx−3，8∵y<0恒成立，∴开口向下，抛物线与x轴没公共点，即k<0，且△＝k2+3k<0，解得−3<k<0；综上所述，k的取值范围为−3<k<0．【考点】一元二次不等式的应用【解析】先分类讨论：当k＝0，不满足一元二次不等式；当k≠0，利用二次函数的性质求解，，要y<0恒成立，则开口向下，抛物线与x轴没公共点，即k<0，令y=2kx2+kx−38且△<0，解不等式即可得到k的取值范围．【解答】当k＝0，不满足一元二次不等式；当k≠0，令y=2kx2+kx−3，8∵y<0恒成立，∴开口向下，抛物线与x轴没公共点，即k<0，且△＝k2+3k<0，解得−3<k<0；综上所述，k的取值范围为−3<k<0．7.【答案】解：(1)设这所公寓的窗户面积为am2，地板面积为bm2，由题意可得：{a+b=220，ab≥10%，所以b≤a10%=10a，所以a+b=220≤a+10a，所以a≥20，所以这所公寓的窗户面积至少为20m2．(2)设窗户面积为x，地板面积为y，窗户和地板同时增加m，则xy −x+my+m=x(y+m)−y(x+m)y(y+m)=(x−y)my(y+m)，由题意可知0<x<y，m>0，所以(x−y)my(y+m)<0，即xy<x+my+m，所以公寓的采光效果变好了．【考点】根据实际问题选择函数类型不等式比较两数大小【解析】（1）设窗户面积为x，列出不等式组，解出x的范围即可；（2）根据作差法比较大小即可．【解答】解：(1)设这所公寓的窗户面积为am2，地板面积为bm2，由题意可得：{a+b=220，ab≥10%，所以b≤a10%=10a，所以a+b=220≤a+10a，所以a≥20，所以这所公寓的窗户面积至少为20m2．(2)设窗户面积为x，地板面积为y，窗户和地板同时增加m，则xy −x+my+m=x(y+m)−y(x+m)y(y+m)=(x−y)my(y+m)，由题意可知0<x<y，m>0，所以(x−y)my(y+m)<0，即xy<x+my+m，所以公寓的采光效果变好了．8.【答案】根据题意，填写下表即可；对于（1），当x>y时，x3>y3，指数是奇数，命题正确；对于（2），当x>y，y>z时，x>z，由不等关系的传递性知，命题正确；对于（3），当x>y时，x−y>0，(x+z)−(y+z)＝x−y>0，得出x+z>y+z 正确；对于（4），当x>y时，若z>0，则xz−yz＝z(x−y)>0，得出xz>yz正确；对于（5），当x＝0，y＝−1时，若n＝2，则02<(−1)2，得出命题错误．【考点】四种命题的定义【解析】根据等式的性质类比得出不等式的性质，再判断它们的真假性即可．【解答】根据题意，填写下表即可；对于（1），当x>y时，x3>y3，指数是奇数，命题正确；对于（2），当x>y，y>z时，x>z，由不等关系的传递性知，命题正确；对于（3），当x>y时，x−y>0，(x+z)−(y+z)＝x−y>0，得出x+z>y+z 正确；对于（4），当x>y时，若z>0，则xz−yz＝z(x−y)>0，得出xz>yz正确；对于（5），当x＝0，y＝−1时，若n＝2，则02<(−1)2，得出命题错误．9.【答案】(0<x<10√2)，设DQ＝y，又AD＝x，则x2+4xy＝200，∴y=200−x24x∴ S ＝4200x 2+210⋅4xy +80⋅2y 2=38000+4000x 2+400000x 2(0<x <10√2)．S ≥38000+2√16×108=118000，当且仅当4000x 2=400000x 2，即x =√10时，S min ＝118000元．【考点】根据实际问题选择函数类型【解析】（1）先设DQ ＝y ，又AD ＝x ，根据由二个相同的矩形ABCD 和EFGH 构成的面积为200 m 2的十字型地域得出y 的函数表达式，最后建立建立S 与x 的函数关系即得；（2）利用基本不等式求出（1）中函数S 的最小值，并求得当x 取何值时，函数S 的最小值即可．【解答】设DQ ＝y ，又AD ＝x ，则x 2+4xy ＝200，∴ y =200−x 24x(0<x <10√2)，∴ S ＝4200x 2+210⋅4xy +80⋅2y 2=38000+4000x 2+400000x 2(0<x <10√2)．S ≥38000+2√16×108=118000，当且仅当4000x 2=400000x 2，即x =√10时，S min ＝118000元．10.【答案】设第一次和第二次购物时的价格分别为p 1，p 2．按第一种策略，每次购nkg ，按这种策略购物时，两次的平均价格是： x =p 1n+p 2n2n=p 1+p 22．若按第二种购物策略，第一次花m 元钱，能购mp 1kg 物品，第二次仍花m 元钱，能购mp 2kg 物品，两次购物的平均价格为y =2mm p 1+m p 2=21p 1+1p 2．比较两种购物时的平均价格： x −y =p 1+p 22−21p 1+1p 2=p 1+p 22−2p 1p 2p 1+p 2=(p 1+p 2)2−4p 1p 12(p 1+p 2)=(p 1−p 2)22(p1+p 2)≥0．因为第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格，所以用第二种策略比较经济．【考点】根据实际问题选择函数类型试卷第11页，总11页【解析】设第一次和第二次购物时的价格分别为p 1，p 2．按第一种策略，每次购nkg ，按这种策略购物时，两次的平均价格是：x =p 1n+p 2n 2n =p 1+p 22．若按第二种购物策略，第一次花m 元钱，能购m p 1kg 物品，第二次仍花m 元钱，能购m p 2kg 物品，两次购物的平均价格为y =2m m p 1+m p 2=21p 1+1p 2．用做差法比较两次购物时的平均价格发现第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格，所以用第二种策略比较经济．【解答】设第一次和第二次购物时的价格分别为p 1，p 2．按第一种策略，每次购nkg ，按这种策略购物时，两次的平均价格是：x =p 1n+p 2n 2n =p 1+p 22．若按第二种购物策略，第一次花m 元钱，能购m p 1kg 物品，第二次仍花m 元钱，能购mp 2kg 物品，两次购物的平均价格为y =2m m p 1+m p 2=21p 1+1p 2．比较两种购物时的平均价格：x −y =p 1+p 22−21p 1+1p 2=p 1+p 22−2p 1p 2p 1+p 2=(p 1+p 2)2−4p 1p 112 =(p 1−p 2)22(p 1+p 2)≥0．因为第一种策略的平均价格不小于第二种策略的平均价格，所以用第二种策略比较经济．。

北师大版八年级数学下册第二章一元一次不等式和一元一次不等式组专项训练试题(含答案及详细解析)

第二章一元一次不等式和一元一次不等式组专项训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、如果a ＜b ，c ＜0，那么下列不等式成立的是（）A ．a +c ＜bB ．a ﹣c ＞b ﹣cC ．ac +1＜bc +1D ．a （c ﹣2）＜b （c ﹣2）2、不等式270x -<的最大整数解为（）A ．2B ．3C ．4D ．53、一次函数y =（m -2）x +m 2-3的图象与y 轴交于点M （0，6），且y 的值随着x 的值的增大而减小，则m 的值为（）A ．6-B ．C ．3D ．3-4、已知关于x 的不等式组3x x a≤⎧⎨>⎩有解，则a 的取值不可能是（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．35、若m ＜n ，则下列各式正确的是（）A ．﹣2m ＜﹣2nB ．33m n ＞C ．1﹣m ＞1﹣nD ．m 2＜n 26、对有理数a ，b 定义运算：a ✬b =ma +nb ，其中m ，n 是常数，如果3✬4=2，5✬8>2，那么n 的取值范围是（）A ．n >1-B ．n <1-C ．n >2D ．n <27、若m >n ，则下列不等式不成立的是（）A ．m +4>n +4B ．﹣4m <﹣4nC ．44m n >D ．m ﹣4<n ﹣48、如果a ＞b ，下列各式中正确的是（）A ．﹣2021a ＞﹣2021bB ．2021a ＜2021bC ．a ﹣2021＞b ﹣2021D ．2021﹣a ＞2021﹣b9、若整数a 使得关于x 的方程2(2)3x a -+=的解为非负数，且使得关于y 的一元一次不等式组322222010y y y a --⎧+>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩至少有3个整数解．则所有符合条件的整数a 的和为（） A ．23 B ．25 C ．27 D ．2810、若a ＞b ，则下列不等式一定成立的是（）A ．﹣2a ＜﹣2bB ．am ＜bmC ．a ﹣3＜b ﹣3D ．3a ＋1＜3b ＋1 第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、任何一个以x 为未知数的一元一次不等式都可以变形为_____(a ≠0)的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数_____的值大于0或小于0时，求_____的取值范围．2、从2-，1-，0，13，1，2这六个数字中，随机抽取一个数记为a ，则使得关于x 的不等式组102321x a x ⎧->⎪⎨⎪-+≤⎩只有三个整数解的概率是 __． 3、已知a ＞b ，且c ≠0，用“＞”或“＜”填空．（1）2a ________a +b（2）2ac _______2b c（3）c -a _______c -b（4）-a |c |_______-b |c |4、大学城熙街新开了一家大型进口超市，开业第一天，超市分别推出三款纸巾：洁柔体验装、洁柔超值装、妮飘进口装进行促销活动，纸巾只能按包装整袋出售，每款纸巾的单价为整数，其中妮飘进口装的促销单价是其余两款纸巾促销单价和的4倍，同时妮飘进口装的促销单价大于40元且不超过60元，当天三款纸巾的销售数量之比为3:1:1第二天，超市对三款纸巾恢复原价，洁柔体验装比其促销价上涨50%，洁柔超值装的价格是其促销价的53，而妮飘进口装的价格在其第一天的基础上增加了14，第二天洁柔体验装与妮飘进口装的销量之比为4:3，洁柔超值装的销量比第一天的销量减少了20%．超市结算发现，第一天的销售总额比第二天洁柔体验装和妮飘进口装的销售总额之和多767元，第一天三款纸巾的总销量与第二天三款纸巾的总销量之差大于96件且小于120件，这两天妮飘进口装的总销售额为_______元．5、不等式组：3561162x x x x <+⎧⎪+-⎨≥⎪⎩，写出其整数解的和_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、若(m -2)23m x --2≥7是关于x 的一元一次不等式，求m 的值． 2、（1）解方程组：2523517x y x y +=⎧⎨-=⎩ （2）解不等式组()20 2131x x x +>⎧⎨+≥-⎩ 3、关于x 的方程6422x a x a +-=+的解大于1，求a 的取值范围．4、解不等式3x ﹣1≤x +3，并把解在数轴上表示出来．5、某学校计划购买若干台电脑，现在从两家商场了解到同一型号的电脑每台报价均为6000元，并且多买都有一定的优惠．甲商场的优惠条件是：第一台按原报价收款，其余每台优惠25%；乙商场的优惠条件是：每台优惠20%.如果你是校长，你该怎么考虑，如何选择？-参考答案-一、单选题1、A【分析】根据不等式的性质，逐项判断即可求解．【详解】解：A、由a＜b，c＜0得到：a+c＜b+0，即a+c＜b，故本选项符合题意．B、当a＝1，b＝2，c＝﹣3时，不等式a﹣c＞b﹣c不成立，故本选项不符合题意．C、由a＜b，c＜0得到：ac+1＞bc+1，故本选项不符合题意．D、由于c﹣2＜﹣2，所以a（c﹣2）＞b（c﹣2），故本选项不符合题意．故选：A【点睛】本题主要考查了不等式的性质，熟练掌握不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．2、B【分析】求出不等式的解集，然后找出其中最大的整数即可．【详解】x-<，解：270x<，277x<，2则符合条件的最大整数为：3，故选：B．【点睛】本题题考查了求不等式的整数解，能够正确得出不等式的解集是解本题的关键．3、D【分析】由一次函数y=（m-2）x+m2-3的图象与y轴交于点M（0，6），利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于m的方程，解之即可得出m的值，由y的值随着x的值的增大而减小，利用一次函数的性质可得出m-2＜0，解之即可得出m＜2，进而可得出m=-3．【详解】解：∵一次函数y=（m-2）x+m2-3的图象与y轴交于点M（0，6），∴m2-3=6，即m2=9，解得：m=-3或m=3．又∵y的值随着x的值的增大而减小，∴m-2＜0，∴m＜2，∴m=-3．故选：D．【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数的性质，利用一次函数图象上点的坐标特征及一次函数的性质，找出关于m的方程及一元一次不等式是解题的关键．4、D【分析】根据“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”即可求出a 的取值范围，然后根据a 的取值范围解答即可．【详解】解：∵关于x 的不等式组3x x a ≤⎧⎨>⎩有解， ∴a <3，∴a 的取值可能是0、1或2，不可能是3．故选D ．【点睛】本题考查了由不等式组的解集情况求参数，不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解．5、C【分析】根据不等式的基本性质逐项判断即可．【详解】解：A ：∵m ＜n ，∴﹣2m ＞﹣2n ，∴不符合题意；B ：∵m ＜n ， ∴33m n <， ∴不符合题意；C ：∵m ＜n ，∴﹣m ＞﹣n ，∴1﹣m ＞1﹣n ，∴符合题意；D ： m ＜n ，当10m n =-=，时，m 2＞n 2， ∴不符合题意；故选：C ．【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的3条基本性质是解题关键．6、A【分析】先根据新运算的定义和3✬4=2将m 用n 表示出来，再代入5✬8>2可得一个关于n 的一元一次不等式，解不等式即可得．【详解】解：由题意得：342m n +=，解得243n m -=，由5✬8>2得：582m n +>，将243n m -=代入582m n +>得：5(24)823n n -+>，解得1n >-，故选：A ．【点睛】本题考查了一元一次不等式的应用，理解新运算的定义是解题关键．7、D【分析】根据不等式的基本性质对各选项进行逐一分析即可．【详解】解：A ．∵m >n ，∴m +4>n +4，故该选项正确，不符合题意；B ．∵m >n ，∴44m n -<-，故该选项正确，不符合题意；C ．∵m >n ， ∴44m n >，故该选项正确，不符合题意； D ．∵m >n ，∴44m n ->-，故该选项错误，符合题意；故选：D ．【点睛】本题考查不等式的基本性质．掌握不等式的基本性质“1．不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变；2．不等式两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；3．不等式两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．”是解答本题的关键．8、C【分析】根据不等式的性质即可求出答案．【详解】解：A 、∵a ＞b ，∴−2021a ＜−2021b ，故A 错误；B、∵a＞b，∴2021a＞2021b，故B错误；C、∵a＞b，∴a﹣2021＞b﹣2021，故C正确；D、∵a＞b，∴2021﹣a＜2021﹣b，故D错误；故选：D．【点睛】本题考查不等式，解题的关键是熟练运用不等式的性质，本题属于基础题型．9、B【分析】表示出不等式组的解集，由不等式至少有四个整数解确定出a的值，再由分式方程的解为非负数以及分式有意义的条件求出满足题意整数a的值，进而求出之和．【详解】解：32222210y yy a--⎧+>⎪⎪⎨-⎪≤⎪⎩①②，解不等式①得：2y>-，解不等式②得：y a≤∴不等式组的解集为：1yy a>-⎧⎨≤⎩，∵由不等式组至少有3个整数解，∴2a≥，即整数a＝2，3，4，5，…，∵()223x a -+=，∴243x a -+= 解得：72a x ， ∵方程()223x a -+=的解为非负数，∴702a -≥， ∴7a ≤∴得到符合条件的整数a 为3，4，5，6，7，之和为25．故选B ．【点睛】此题考查了解一元一次方程，以及解一元一次不等式组，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10、A【分析】由题意直接依据不等式的基本性质对各个选项进行分析判断即可.【详解】解：A ．∵a ＞b ，∴﹣2a ＜﹣2b ，故本选项符合题意；B ．a ＞b ，当m ＞0时，am ＞bm ，故本选项不符合题意；C ．∵a ＞b ，∴a ﹣3＞b ﹣3，故本选项不符合题意；D ．∵a ＞b ，∴33a b >， ∴1133ab +>+，故本选项不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查不等式的基本性质，注意掌握不等式的基本性质：①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．二、填空题1、ax +b >0或ax +b <0 y =ax +b 自变量【分析】根据一次函数图象与一元一次不等式的关系解答．【详解】解：任何一个以x 为未知数的一元一次不等式都可以变形为ax +b >0或ax +b <0 (a ≠0)的形式，所以解一元一次不等式相当于在某个一次函数y =ax +b 的值大于0或小于0时，求自变量的取值范围．故答案为：ax +b >0或ax +b <0；y =ax +b ；自变量．【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y =kx +b （k ≠0）的值大于(或小于)0的自变量x 的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y =kx +b （k ≠0）在x 轴上(或下)方部分所有的点的横坐标所构成的集合．2、13【分析】解关于x 的不等式组，由不等式组整数解的个数求出a 的范围，再从6个数中找到同时满足以上两个条件的情况，从而利用概率公式求解可得．【详解】解：解不等式组12321x ax⎧->⎪⎨⎪-+≤⎩，得：12a＜x≤2，∵不等式组只有3个整数解，∴不等式组的整数解为2、1、0，则-1≤12a＜0，即-2≤a＜0∴在所列的六个数字中，同时满足以上两个条件的只有-2，-1，∴只有三个整数解的概率是21 = 63故答案为：13．【点睛】题主要考查的是解一元一次不等式组的解集和概率的知识，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的能力及概率公式的应用．3、＞＞＜＜【分析】（1）根据不等式的性质：不等式两边同时加上一个数，不等号不变号，即可得；（2）根据不等式的性质：不等式两边同时除以一个正数，不等号不变号，即可得；（3）根据不等式的性质：不等式两边同时乘以一个负数，改变不等式的符号，再根据不等式两边同时加上一个数，不等号不变号，即可得；（4）根据不等式的性质：不等式两边同时乘以一个负数，改变不等式的符号，再根据不等式两边同时乘以一个正数，不等号不变号，即可得．【详解】解：（1）∵a b>，∴a a b a +>+，即：2a b a >+；（2）∵a b >，20c >， ∴22a b c c >；（3）∵a b >，∴a b -<-，∴c a c b -<-；（4）∵a b >，∴a b -<-，0c >， ∴a c b c -<-；故答案为：（1）>；（2）>；（3）<；（4）<．【点睛】题目主要考查不等式的基本性质，熟练掌握不等式的性质并综合运用是解题关键．4、14960【分析】设洁柔体验装的促销价为x 元，销售量为a 包，洁柔超值装的促销价为y 元，销售量为b 包，妮飘进口装的促销价为z 元，销售量为c 包，第二天，洁柔体验装的原价为： (150%)x +，销售量为1a 包，洁柔超值装的原价为： 53y ，销售量为1b 包，妮飘进口装的原价为： 1(1)4z +，销售量为 1c 包，根据第一天的销售总额比第二天洁柔体验装和妮飘进口装的销售总额之和多767元，可得()()175767x y c c +-=，进而可得 1755913x y c c +=⎧⎨-=⎩,x y 为整数，即可求得x y +，根据第一天三款纸巾的总销量与第二天三款纸巾的总销量之差大于96件且小于120件，解得 5135482828c <<，由 121753c c ，都是整数，则 5135482828c <<能被 3和5整除的数即能被15整除，即可求得c ，则这两天妮飘进口装的总销售额为11(1)4zc z c ++，即 ()()965x y c +-，代入数值求解即可．【详解】解：设洁柔体验装的促销价为x 元，销售量为a 包，洁柔超值装的促销价为y 元，销售量为b 包，妮飘进口装的促销价为z 元，销售量为c 包，()44060::3:1:1z x y z a b c ⎧=+⎪<≤⎨⎪=⎩1015x y ∴<+≤，33a b c ==，则35a b c c c c c ++=++=第二天，洁柔体验装的原价为：(150%)x +，销售量为1a 包，洁柔超值装的原价为：53y ，销售量为1b 包，妮飘进口装的原价为：1(1)4z +，销售量为1c 包， 11:=4:3a c ，即1143a c = ()1120%b b =-4=5b 4=5c 则11111144743535a b c c c c c c ++=++=+ 第一天的销售总额比第二天洁柔体验装和妮飘进口装的销售总额之和多767元∴()111150%17674ax by cz x a z c ⎡⎤⎛⎫++-+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦()()3(344)75ax by cz c x y z c x y x y c x y ++=++=+++=+()111150%14x a z c ⎛⎫+++ ⎪⎝⎭ 1151.54()4xa x y c =+⨯+1111.555xa xc yc =++111345523x c xc yc =⨯++ 1175xc yc =+()175x y c =+∴()111150%17674ax by cz x a z c ⎡⎤⎛⎫++-+++= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦即1(75)(75)c x y c x y +-+767=即()()175767x y c c +-=7671359=⨯1755913x y c c +=⎧∴⎨-=⎩或 1751359x y c c +=⎧⎨-=⎩ 1015x y <+≤505575x y ∴<+≤7550x y ∴+>1755913x y c c +=⎧∴⎨-=⎩ 5975x y -∴=,x y 为整数，解得29x y =⎧⎨=⎩或 72x y =⎧⎨=⎩洁柔体验装的原价为：(150%)x + 1.5x =是整数，则7x ≠，洁柔超值装的原价为：53y 是整数则2y ≠ ∴ 29x y =⎧⎨=⎩4()44z x y ∴=+=第一天三款纸巾的总销量与第二天三款纸巾的总销量之差大于96件且小于120件，∴()()11196120a b c a b c ≤++-++≤113c c -=1c c ∴>()()111a b c a b c ++-++=117421753553c c c c c ⎛⎫-+=-⎪⎝⎭ ∴217633591(13)5315153c c c ⎛⎫--=-+ ⎪⎝⎭2891153c =+ 即289196120153c <+< 解得5135482828c <<121753c c ，都是整数，则5135482828c <<能被3和5整除的数即能被15整除 ∴45c =11(1)4zc z c ++=()()11554444zc zc x y c x y c +=+++ ()()145x y c c =++()()4513x y c c =++-⎡⎤⎣⎦()()965x y c =+-44=⨯()94565⨯-14960=故答案为：14960【点睛】本题考查了二元一次方程，一元一次不等式组求整数解，理清题中数据关系是解题的关键． 5、0【分析】分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出不等式组的解集，即可求出整数解，最后相加即可．【详解】解：3561162x x x x <+⎧⎪⎨+-≥⎪⎩①②，解不等式①，得3x >-；解不等式②，得2x ≤．∴不等式组的解集为32x -<≤，∴不等式组的整数解分别为-2、-1、0、1、2，∴不等式组的整数解的和为：210120--+++=．故答案为：0．【点睛】本题考查求不等式组的整数解．正确的求出不等式组中每一个不等式的解集是解答本题的关键．三、解答题1、m =-2【分析】由题意可知：m2-3=1，m-2≠0，即可解答.【详解】解∵不等式(m-2) 23mx- -2≥7是关于x的一元一次不等式，∴m2-3=1，m-2≠0，解得m=-2当m=-2时，不等式是关于x的一元一次不等式【点睛】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关键．2、（1）43xy=⎧⎨=⎩；（2）﹣2﹤x≤3．【分析】（1）方程运用加减消元法求解即可；（2）分别求出每个不等式的解集，再取它们的公共部分即可【详解】解：（1）2523 517x yx y+=⎧⎨-=⎩①②①+②×5得：27x=23+17×5，解得：x=4，将x=4代入②中，得：20﹣y=17，解得：y=3，∴原方程组的解为43xy=⎧⎨=⎩．（2）202(1)31xx x+>⎧⎨+≥-⎩①②，解：解①得：x﹥﹣2，解②得：x≤3，∴不等式组的解集为：﹣2﹤x≤3【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3、a＞0【分析】先解方程得出x＝44a+，根据方程的解大于1得出关于a的不等式，解之即可．【详解】解：解不等式6x＋a−4＝2x＋2a，得x＝44a+，根据题意，得：44a+＞1，解得a＞0．【点睛】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．4、x≤2；数轴表示见解析．【分析】按移项、合并同类项、系数化为1的步骤求得不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可．【详解】解：313x x -≤+，移项，得331x x -≤+，合并同类项，得24x ≤，系数化为1，得x ≤2，把解集在数轴上表示如图所示：【点睛】本题考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握解一元一次不等式的基本步骤以及在数轴上表示解集的方法是解题的关键．5、当购买少于5台电脑时，学校选择乙商场购买更优惠；当购买5台电脑时，学校选择甲、乙两商场购买一样优惠；当购买多于5台电脑时，学校选择甲商场购买更优惠．【分析】设学校购买x 台电脑，在甲商场购买花费为1y ，在乙商场购买花费为2y ，根据题意可得甲乙两种购买方式得函数解析式，分三种情况讨论：当12y y >时；当12y y =时；当12y y <时；分别进行计算得出自变量的取值范围即可得出在什么情况下选择哪种方案更优惠．【详解】解：设学校购买x 台电脑，在甲商场购买花费为1y ，在乙商场购买花费为2y ，则根据题意可得：()()1600016000125%45001500y x x =+⨯⨯=+－－（x 为正整数）；()2·6000120%4800y x x =⨯=－（x 为正整数）；当12y y >时，学校选择乙商场购买更优惠，即450015004800x x +>，解得5x <，即15x <<；当12y y =时，学校选择甲、乙两商场购买一样优惠，即450015004800x x +=，解得5x =；当12y y <时，学校选择甲商场购买更优惠，即450015004800x x +<，解得5x >．∴当购买数量少于5台电脑时，学校选择乙商场购买更优惠；当购买5台电脑时，学校选择甲、乙两商场购买一样优惠；当购买数量多于5台电脑时，学校选择甲商场购买更优惠．【点睛】题目主要考查一次函数应用中的方案选择，理解题意，列出相应函数解析式，求解不等式是解题关键．。

2022版新教材高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2基本不等式提升训练新人教A版必修第一册

基本不等式基础过关练题组一对基本不等式的理解1.若a ,b ∈R,且ab >0,则下列不等式恒成立的是 ( ) A.a 2+b 2>2ab B.a +b ≥2√aa C.1a +1a >√aaD.a a +a a≥22.不等式(x -2y )+1a -2a ≥2成立的前提条件为 ( ) A.x ≥2y B.x >2y C.x ≤2y D.x <2y3.(2020山东德州夏津一中高一月考)不等式9a -2+(x -2)≥6(其中x >2)中等号成立的条件是 ( ) A.x =5 B.x =-3C.x =3 D.x =-54.(2020浙江杭州高一月考)下列不等式一定成立的是 ( ) A.3x +12a≥√6 B.3x 2+12a 2≥√6C.3(x 2+1)+12(a 2+1)≥√6D.3(x 2-1)+12(a 2-1)≥√6题组二利用基本不等式比较大小5.(多选)(2021辽宁葫芦岛高一质量检测)已知两个不等正数a ,b 满足a +b =1,则下列说法正确的是 ( ) A.ab <14 B.1a +1a<4C.√a +√a <√2D.a 2+b 2>126.若0<a <b ,则下列不等式一定成立的是 ( ) A.b >a +a 2>a >√aa B.b >√aa >a +a 2>aC.b >a +a 2>√aa >aD.b >a >a +a 2>√aa7.小W 从A 地到B 地和从B 地到A 地的速度分别为m 和n (m >n ),其全程的平均速度为v ,则 ( ) A.a +a 2<v <m B.n <v <√aaC.√aa <v <a +a 2D.v =a +a 28.若a >b >c ,则a -a 2与√(a -a )(a -a )的大小关系是 .9.某商店出售的某种饮料需分两次提价,提价方案有两种,方案甲:第一次提价p%,第二次提价q%;方案乙:每次都提价a +a 2%,若p ,q >0,且p ≠q ,则提价多的方案是 .题组三利用基本不等式求最值10.已知实数x ,y >0,则x +y +4a +1a 的最小值为 ( ) A.4√2 B.6 C.2√10 D.3√611.(2020浙江诸暨高二期末)已知函数y =x +4a -1(x >1),则函数的最小值等于 ( )A.4√2B.4√2+1C.5D.912.(2021宁夏大学附属中学高二上期中)若-2<x <0,则函数y =-x (x +2)的最大值为 ( ) A.1 B.2 C.4 D.513.已知a >b >0,则a 2+16a (a -a )的最小值为 ( ) A.8 B.8√2 C.16D.16√214.若正数x ,y 满足x +4y -xy =0,则当x +y 取得最小值时,x 的值为 ( )A.9B.8C.6D.315.(2021江苏溧阳高一期末检测)已知正实数x ,y 满足x +y =1,则1a +1a的最小值是 .16.(2021黑龙江鹤岗第一中学高一上月考)(1)已知a >0,b >0,且4a +b =1,求ab 的最大值; (2)已知x <54,求4x -2+14a -5的最大值.题组四利用基本不等式证明不等式17.(2021福建三明第一中学高一上月考)已知a ,b 均为正实数,求证:a 2b 2+a 2+b 2≥ab (a +b +1).18.(2021安徽六安城南中学高二上开学考试)已知a ,b ,c 是三个不全相等的正数. 求证:a +a -a a +a +a -a a +a +a -aa>3.19.设x >0,求证:x +22a +1≥32.题组五利用基本不等式解决实际问题20.某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1m 2的铁架框(铁管的粗细忽略不计),在下面四种长度的铁管中,最合理(够用,又浪费最少)的是 ( ) A.4.6m B.4.8m C.5mD.5.2m21.(2020广东广州荔湾高二期末)为满足人民日益增长的美好生活需要,实现群众对舒适的居住条件、更优美的环境、更丰富的精神文化生活的追求,某大型广场计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体A1B1C1D1,该项目由矩形核心喷泉区ABCD(阴影部分)和四周的绿化带组成.规划核心喷泉区ABCD的面积为1000m2,绿化带的宽分别为2m和5m(如图所示).当整个项目A1B1C1D1占地面积最小时,核心喷泉区的边BC的长度为()A.20mB.50mC.10√10mD.100m22.某建筑公司用8000万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少12层,每层建筑面积为4000平方米的楼房.经初步估计得知,若将楼房建为x(x≥12,x∈N*)层,则每平方米的平均建筑费用s=3000+50x(单位:元).为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层?每平方米的平均综合费用的最小值是多少? 注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=购地总费用建筑总面积能力提升练题组一利用基本不等式求最值1.(2020广东惠州高二期末,)已知x>0,y>0,且2x+y=1,则xy的最大值是()A.14B.4C.18D.82.(2021黑龙江大庆实验中学高一上开学考试,)已知a >0,b >0,a +b =1,则a 2+4a +a 2+4a 的最小值为 ()A.6B.8C.15D.173.(2021河北辛集中学高一上月考,)已知a >0,b >0,a +b =4ab ,则a +b 的最小值为 ( )A.12 B.1 C.2 D.44.(2020河南三门峡外国语高级中学高一下期中,)设正数x ,y 满足x 2+a 22=1,则x √1+a 2的最大值为( )A.32 B.3√22C.34D.3√245.(2020浙江丽水高一期末,)设正数a ,b 满足a 2+4b 2+1aa =4,则a = ,b = .6.(2020河北唐山第一中学高一下月考,)已知x >0,则a 2+3a +6a +1的最小值是.7.(2020湖北麻城一中高一月考,)已知a ,b ∈R,且a >b >0,a +b =1,则a 2+2b 2的最小值为 ,4a -a +12a的最小值为 . 8.(2021江苏苏州高一期末,)已知a ,b 均为正实数且ab +a +3b =9,则a +3b 的最小值为 .9.(2021吉林长春东北师范大学附属中学高一上段考,)已知x >0,y >0,4x 2+y 2+xy =1,求:(1)4x 2+y 2的最小值; (2)2x +y 的最大值.题组二利用基本不等式证明不等式 10.()已知a ,b为正数,求证:1a +4a ≥2(√2+1)22a +a.11.()若a>b,且ab=2,求证:a2+a2a-a≥4.12.(2021湖南长沙长郡中学高一上检测,)已知a>0,b>0,a+b=1,求证:(1)1a +1a+1aa≥8;(2)(1+1a )(1+1a)≥9.13.()(1)已知a,b,c∈R,求证:√a2+a2+√a2+a2+√a2+a2≥√2(a+b+c);(2)若0<x<1,a>0,b>0,求证:a2a +a21-a≥(a+b)2.题组三基本不等式在实际问题中的应用14.(2021山东日照五莲高一上期中,)某工厂过去的年产量为a,技术革新后,第一年的年产量增长率为p(p>0),第二年的年产量增长率为q(q>0,p≠q),这两年的年产量平均增长率为x,则()A.x=a+a2B.x=√aaC.x>a+a2D.x<a+a215.(2020湖北宜昌高三期末,)某地为了加快推进垃圾分类工作,新建了一个垃圾处理厂,每月最少要处理300吨垃圾,最多要处理600吨垃圾,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似表示为y=12x2-300x+80000,为使每吨的平均处理成本最低,则该厂每月的处理量应为()A.300吨B.400吨C.500吨D.600吨16.(2021山东菏泽第一中学等六校高一上联考,)欲在如图所示的锐角三角形空地中建一个内接矩形花园(阴影部分),则矩形花园面积的最大值为m2.17.(2021四川绵阳南山中学高三上开学考试,)网店和实体店各有利弊,两者的结合将在未来一段时间内成为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2017年1月起开展网络销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月的运营发现,产品的月销量x万件与投入实体店体验安装的费用t万元之间满足关系式x=3-2a+1.已知网店每月固定的各种费用支出为3万元,每1万件产品的进货价格为32万元,若每件产品的售价定为“进货价的150%”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和,则该公司最大月利润是万元.18.(2020山东滨州高一上期末,)物联网(InternetofThings,缩写:IOT)是基于互联网、传统电信网等信息承载体,让所有能行使独立功能的普通物体实现互联互通的网络,其应用领域主要包括运输和物流、工业制造、健康医疗、智能环境(家庭、办公、工厂)等,具有十分广阔的市场前景.现有一家物流公司计划租地建造仓库储存货物,经过市场调查了解到下列信息:仓库每月土地占地费为y1(单位:万元),仓库到车站的距离为x(单位:千米),x>0,其中y1与x+1成反比,每月库存货物费y2(单位:万元)与x成正比,若在距离车站9千米处建仓库,则y1和y2分别为2万元和7.2万元.这家公司应该把仓库建在距离车站多少千米处,才能使两项费用之和最少?最少费用是多少?答案全解全析基础过关练1.D∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A不符合题意;当a<0,b<0时,明显B,C不符合题意;∵ab>0,∴aa >0,aa>0,∴aa+aa≥2√aa·aa=2,当且仅当a=b时等号成立,∴D符合题意.2.B 因为不等式成立的前提条件是x -2y 和1a -2a均为正数,所以x -2y >0,即x >2y ,故选B .3.A 当x >2时,9a -2+(x -2)≥2√9a -2·(a -2)=6,等号成立的条件是9a -2=x -2,即(x -2)2=9,解得x =5(x =-1舍去).故选A .4.B 对于A,x 可能是负数,不成立;对于B,由基本不等式可知,3x 2+12a 2≥√6,当且仅当3x 2=12a 2,即x 4=16时取等号,故成立;对于C,当3(x 2+1)=12(a 2+1)时,(a 2+1)2=16,x 无解,不成立;对于D,x 2-1可能是负数,不成立.故选B .5.ACD A.因为a ,b 为两个不等正数,所以√aa <a +a 2=12,可得ab <14,故选项A 正确;B.因为1a +1a =a +aaa =1aa,所以由选项A 可知,1aa>4,故选项B 不正确;C.因为(√a +√a )2=a +b +2√aa =1+2√aa ,所以由选项A 可知选项C 正确; D.因为a 2+b 2=(a +b )2-2ab =1-2ab ,所以由选项A 可知,a 2+b 2=1-2ab >12,故选项D 正确.6.C ∵0<a <b ,∴2b >a +b ,∴b >a +a 2>√aa .∵b >a >0,∴ab >a 2,∴√aa >a. 故b >a +a 2>√aa >a.7.B 设从A 地到B 地的路程为s ,小W 从A 地到B 地和从B 地到A 地所用的时间分别为t 1,t 2,则t 1=aa ,t 2=aa ,其全程的平均速度为v =2aa 1+a 2=2aaa +aa=2aaa +a.∵m >n >0,∴v =2aaa +a <2√aa=√aa ,v -n =2aaa +a -n =2aa -aa -a 2a +a=a (a -a )a +a>0,∴n <v <√aa . 故选B . 8.答案a -a 2≥√(a -a )(a -a )解析因为a >b >c ,所以a -a 2=(a -a )+(a -a )2≥√(a -a )(a -a ),当且仅当a -b =b -c ,即2b =a +c 时,等号成立.9.答案乙解析不妨设原价为1,则按方案甲提价后的价格为(1+p%)(1+q%),按方案乙提价后的价格为(1+a +a 2%)2,易知√(1+a %)(1+a %)≤1+a %+1+a %2=1+a %+a %2,当且仅当1+p%=1+q%,即p =q 时等号成立,又p ≠q ,故(1+p%)(1+q%)<(1+a +a 2%)2,所以提价多的方案是乙.10.B ∵x ,y >0,∴x +y +4a +1a≥2√a ·4a+2√a ·1a=4+2=6,当且仅当x =4a且y =1a,即x =2,y =1时等号成立.故选B .11.C 因为x >1,所以y =x +4a -1=(x -1)+4a -1+1≥2√(a -1)·4a -1+1=5,当且仅当x -1=4a -1,即x =3时,等号成立.故选C . 12.A ∵-2<x <0,∴-x >0,x +2>0,∴y =-x (x +2)≤(-a +a +22)2=1,当且仅当-x =x +2,即x =-1时等号成立. 故选A .规律总结 1.利用基本不等式求最值,必须按照“一正,二定,三相等”的原则,缺一不可.2.若是求和式的最小值,通常化(或利用)积为定值;若是求积的最大值,通常化(或利用)和为定值,其解答技巧是恰当变形,合理拆分,消元或配凑因式.13.C ∵a >b >0,∴由基本不等式的变形可得b (a -b )≤(a +a -a 2)2=a 24,∴a 2+16a (a -a )≥a 2+16a 24=a 2+64a 2≥2√a 2×64a 2=16,当且仅当{a -a =a ,a 2=64a2,即{a =2√2,a =√2时,等号成立.误区警示利用基本不等式求最值,若需多次应用基本不等式,则要注意等号成立的条件必须一致,如本题中第一次利用基本不等式取等号的条件为b =a -b ,第二次利用基本不等式取等号的条件为a 2=64a 2,故最终的最值应该是在这两个条件下共同取得的. 14.C ∵x >0,y >0,x +4y =xy ,∴4a +1a =1, ∴x +y =(x +y )(4a +1a )=5+a a +4a a ≥5+2√a a ·4aa=9,当且仅当x =2y 时,等号成立,此时{a =2a ,a +4a =aa ,解得{a =6,a =3.故选C . 15.答案 4解析由题意可得,1a +1a =a +a a+a +aa=2+a a +aa ≥2+2√aa ·aa =4, 当且仅当x =y =12时等号成立.16.解析 (1)∵1=4a +b ≥2√4aa =4√aa ,∴√aa ≤14,∴ab ≤116,当且仅当4a =b ,即a =18,b =12时取等号, 故ab 的最大值为116.(2)∵x <54,∴5-4x >0, ∴4x -2+14a -5=-(5-4a +15-4a)+3≤-2√(5-4a )×15-4a +3=1, 当且仅当5-4x =15-4a ,即x =1时,等号成立,故4x -2+14a -5的最大值为1. 17.证明由基本不等式得a 2b 2+a 2≥2a 2b ,a 2b 2+b 2≥2ab 2,b 2+a 2≥2ab , 三式相加得2a 2b 2+2a 2+2b 2≥2a 2b +2ab 2+2ab =2ab (a +b +1). 所以a 2b 2+a 2+b 2≥ab (a +b +1).18.证明 ∵a ,b ,c 是三个不全相等的正数,∴三个不等式a a +a a≥2,a a +a a≥2,a a +a a≥2的等号不能同时成立, 则a a +a a +a a +a a +a a +aa >6, ∴(aa +aa -1)+(aa +aa -1)+a a +aa-1>3,即a +a -a a +a +a -a a +a +a -aa>3. 19.证明因为x >0,所以x +12>0,所以x +22a +1=x +1a +12=x +12+1a +12-12≥2√(a +12)·1a +12-12=32,当且仅当x +12=1a +12,即x =12时,等号成立.故x >0时,x +22a +1≥32.20.C 设直角三角形两直角边长分别为x m,y m,则12xy =1,即xy =2. 周长l =x +y +√a 2+a 2≥2√aa +√2aa =2√2+2≈4.83(m), 当且仅当x =y 时等号成立.结合实际问题,可知选C . 21.B 设BC =x m,则CD =1000am,所以a 矩形a 1a 1a 1a 1=(x +10)(1000a+4)=1040+4x +10000a≥1040+2√4a ·10000a=1440,当且仅当4x =10000a,即x =50时,等号成立,所以当BC 的长度为50m 时,整个项目占地面积最小.故选B . 22.解析设楼房每平方米的平均综合费用为y 元. 依题意得y =s +8000×100004000a=50x +20000a+3000(x ≥12,x ∈N *).因为50x +20000a+3000≥2×√50a ·20000a+3000=5000,当且仅当50x =20000a,即x =20时,等号成立,所以当x =20时,y 取得最小值5000.所以为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为20层,每平方米的平均综合费用的最小值为5000元.能力提升练1.C 由题意得,xy =12×2xy ≤12×(2a +a 2)2=12×(12)2=18,当且仅当2x =y ,即x =14,y =12时等号成立,所以xy 的最大值是18.故选C . 2.D易得a 2+4a +a 2+4a =a +b +4a +4a =1+4(a +a )aa =1+4aa.又ab ≤(a +a 2)2=14,∴1aa ≥4,∴1+4aa ≥17,∴a 2+4a+a 2+4a ≥17,当且仅当a =b =12时取等号.故选D .3.B ∵a +b =4ab ,a >0,b >0,∴等式两边同除以ab ,得1a +1a =4, ∴a +b =(a +b )·14(1a +1a )=12+14(a a +aa ) ≥12+14×2√a a ·a a =12+12=1, 当且仅当a a =a a ,即a =b =12时取等号.故选B . 4.D ∵正数x ,y 满足x 2+a 22=1,∴2x 2+y 2=2, ∴x √1+a 2=√22×√2x ×√1+a 2≤√22×(√2a )2+(√1+a 2)22=√22×2a 2+a 2+12=3√24,当且仅当{2a 2+a 2=2,√2a =√1+a 2,即{a =√32,a =√22时取等号,∴x √1+a 2的最大值为3√24.5.答案 1;12解析 a 2+4b 2+1aa =(a -2b )2+4ab +1aa ≥(a -2b )2+2√4aa ·1aa =(a -2b )2+4,当且仅当a -2b =0且4ab =1aa ,即a =1,b =12时,等号成立,所以a =1,b =12. 6.答案 5解析 ∵x >0,∴x +1>1,∴a 2+3a +6a +1=(a +1)2+(a +1)+4a +1=x +1+1+4a +1≥2√(a +1)·4a +1+1=5, 当且仅当x +1=4a +1,即x =1时,等号成立, ∴a 2+3a +6a +1的最小值是5.7.答案 23;9解析因为a +b =1,所以a =1-b ,因为a >b >0,所以0<b <12.所以a 2+2b 2=(1-b )2+2b 2=3b 2-2b +1=3(a -13)2+23,所以当b =13时,a 2+2b 2有最小值且最小值为23. 易得4a -a +12a =41-2a +12a ,故4a -a +12a =(41-2a +12a )(1-2b +2b )=5+8a1-2a +1-2a 2a ≥5+2√8a 1-2a ·1-2a 2a=5+4=9,当且仅当8a1-2a =1-2a 2a,即b =16时等号成立,故4a -a +12a 的最小值为9.8.答案 6解析 ∵ab +a +3b =9,∴a =9-3aa +1,由题意可知,a =9-3aa +1>0,故0<b <3, ∵a +3b =9-3aa +1+3b =12-3(a +1)a +1+3b =12a +1+3(b +1)-6≥2√12a +1×3(a +1)-6=6,当且仅当12a +1=3(b +1),即{a =3,a =1时取等号.方法点睛求含多个字母的代数式的最值,常见的方法有消元法、基本不等式法等.应用消元法时要注意变元范围的传递.应用基本不等式法时,需遵循“一正、二定、三相等”的原则,如果原代数式中没有积为定值或和为定值,则需要将给定的代数式变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证.9.解析 (1)∵4x 2+y 2≥2·2x ·y =4xy ,∴xy ≤4a 2+a 24,当且仅当2x =y 时等号成立,又4x 2+y 2+xy =1,∴1=4x 2+y 2+xy ≤4x 2+y 2+4a 2+a 24,∴4x 2+y 2≥45,当且仅当x =√1010,y =√105时等号成立, ∴4x 2+y 2的最小值是45.(2)由4x 2+y 2+xy =1,得(2x +y )2-1=3xy. 又∵2xy ≤(2a +a )24,当且仅当2x =y 时等号成立,∴(2x +y )2-1≤32×(2a +a )24,解得(2x +y )2≤85,∴2x +y ≤2√105.当且仅当x =√1010,y =√105时等号成立, ∴2x +y 的最大值是2√105.10.证明因为a >0,b >0,所以(2a +b )(1a +4a )=6+a a +8a a ≥6+2√a a ·8aa=6+4√2=2(√2+1)2(当且仅当b =2√2a 时,等号成立).因为2a +b >0, 所以1a +4a ≥2(√2+1)22a +a.11.证明a 2+a 2a -a =(a -a )2+2aa a -a =(a -a )2+4a -a =(a -b )+4a -a ≥2√(a -a )·4a -a=4,当且仅当a =1+√3,b =-1+√3或a =1-√3,b =-1-√3时等号成立.所以a 2+a 2a -a≥4. 12.证明 (1)∵a +b =1,a >0,b >0, ∴1a +1a +1aa =1a +1a +a +aaa =2(1a +1a ), 1a +1a=a +a a +a +a a=2+a a +a a ≥2+2=4,当且仅当a =b =12时等号成立,∴1a +1a +1aa ≥8.(2)证法一:∵a >0,b >0,a +b =1, ∴1+1a =1+a +a a =2+aa, 同理,1+1a =2+aa ,∴(1+1a )(1+1a )=(2+a a )(2+aa)=5+2(a a +a a )≥5+4=9,当且仅当a =b =12时等号成立, ∴(1+1a )(1+1a)≥9. 证法二:(1+1a )(1+1a )=1+1a +1a +1aa . 由(1)知,1a +1a +1aa≥8,故(1+1a )(1+1a )=1+1a +1a +1aa ≥9,当且仅当a =b =12时,等号成立. 13.证明 (1)∵a +a 2≤√a2+a 22,∴√a 2+a 2≥√2=√22(a +b )(当且仅当a =b 时,等号成立).同理,√a 2+a 2≥√22(b +c )(当且仅当b =c 时,等号成立),√a 2+a 2≥√22(a +c )(当且仅当a =c 时,等号成立).三式相加得√a 2+a 2+√a 2+a 2+√a 2+a 2≥√22(a +b )+√22(b +c )+√22(a +c )=√2(a +b +c )(当且仅当a =b =c 时,等号成立). (2)∵0<x <1,∴1-x >0. 又∵a >0,b >0,∴不等式左边=(x +1-x )(a 2a+a 21-a )=a 2+b 2+a 1-a ·b 2+1-a a ·a 2≥a 2+b 2+2√a 1-a ·a 2·1-a a·a 2=a 2+b 2+2ab =(a +b )2=右边当且仅当a1-a ·b 2=1-aa·a 2,即x =aa +a 时,等号成立.故a 2a +a 21-a≥(a +b )2. 14.D 由题意可得a (1+p )(1+q )=a (1+x )2,即(1+p )(1+q )=(1+x )2. 易得(1+p )(1+q )≤(1+a +1+a 2)2,当且仅当p =q 时取等号,∵p ≠q ,∴(1+p )(1+q )<(1+a +1+a 2)2,则1+x <2+a +a2=1+a +a 2,即x <a +a 2.故选D .15.B 设每吨的平均处理成本为s 元, 由题意可得s =a a =12a 2-300a +80000a=a 2+80000a -300,其中300≤x ≤600.由基本不等式可得a 2+80000a -300≥2√a 2·80000a-300=400-300=100, 当且仅当a 2=80000a,即x =400时,每吨的平均处理成本最低.故选B .16.答案 400解析如图,设矩形花园的一边DE 的长为x (x >0)m,邻边长为y (y >0)m,则矩形花园的面积为xy m 2,∵花园是矩形,∴△ADE 与△ABC 相似, ∴aa aa =aaaa ,又∵AG =BC =40, ∴AF =DE =x ,FG =y ,∴x +y =40.由基本不等式可得x +y ≥2√aa ,则xy ≤400,当且仅当x =y =20时,等号成立,故矩形花园的面积的最大值为400m 2. 17.答案 37.5解析由题意,产品的月销量x 万件与投入实体店体验安装的费用t 万元之间满足x =3-2a +1, 即t =23-a-1(1<x <3),设月利润为y 万元,则y =(48+a 2a )x -32x -3-t =16x -a 2-3=16x -13-a +12-3 =45.5-[16(3-a )+13-a ]≤45.5-2√16=37.5, 当且仅当16(3-x )=13-a ,即x =114时取等号, 故该公司的最大月利润为37.5万元. 18.解析设y 1=aa +1(k ≠0),y 2=mx (m ≠0),其中x >0.当x =9时,y 1=a9+1=2,y 2=9m =7.2, 解得k =20,m =0.8, 所以y 1=20a +1,y 2=0.8x ,设两项费用之和为z (单位:万元), 则z =y 1+y 2=20a +1+0.8x =20a +1+0.8(x +1)-0.8 ≥2√20a +1·0.8(a +1)-0.8=7.2.=0.8(x+1),即x=4时,等号成立,当且仅当20a+1所以这家公司应该把仓库建在距离车站4千米处才能使两项费用之和最少,最少费用是7.2万元.解题模板已知函数类型的应用问题,可以用待定系数法求出解析式;含分式的函数求最大(小)值,往往利用基本不等式求解,解题时要注意验证基本不等式成立的三个条件.。

第2章不等式

第2章不等式考点解读1.不等式的性质（1）实数的大小比较与实数运算性质之间的关系0a b a b >⇔->；0a b a b <⇔-<；0a b a b =⇔-=（2）不等式的基本性质性质1.（传递性）如果,a b b c >>，那么a c > 性质2.（加法性质）如果a b >，那么a c b c +>+性质3.（乘法性质）如果a b >，0c >，那么ac bc >；如果a b >，0,c <那么ac bc < （3）从不等式的基本性质出发，还可以得到哪些有用的推论？推论1. ,a b c d a c b d >>+>+如果那么；推论2. ,a b c d a c b d ><->-如果那么推论3. 0,0a b c d ac bd >>>>>如果那么；推论4. 110,a b a b>><如果那么推论5. 0,0a ba b d c c d>>>>>如果那么；推论6. *0,()n n a b a b n N >>>∈如果那么推论7. 110,nna b a b >>>如果那么*(,1)n N n ∈>（4）如何比较不等式的大小？①作差法 ②作商法2. 解不等式（1）一元一次不等式的解集的讨论： 2.不等式的性质（1）不等式ax b >的解集：当0a >时，解集为{|}bx x a >；当0a <时，解集为{|}b x x a<；当0a =且0b <时，解集为R ；当0a =且0b ≥时，解集为∅. （2）一元二次不等式的解集的讨论：一元二次不等式解集如表所示：（当方程方程2+0ax bx c +=的两个不相等的实根时，不妨设为12,x x ，且12x x <）判别式24b ac ∆=-0∆> 0∆= 0∆<2y ax bx c =++()0a >的图像20ax bx c ++=()0a >的根有两相异实根12,x x ()12x x <有两相等实根122bx x a==-没有实根20ax bx c ++>()0a >的解集{}12x x x x x <>或2b x x a ⎧⎫≠-⎨⎬⎩⎭R20ax bx c ++<()0a >的解集{}12x xx x <<∅ ∅【总结】不等式证明的常用方法：（1）作差：作差后通过分解因式、配方等手段判断差的符号得出结果；（2）作商（常用于分数指数幂的代数式）；（3）分析法；（4）平方法；（5）分子（或分母）有理化；（6）利用函数的单调性；（7）寻找中间量或放缩法；（8）图象法.其中比较法（作差、作商）是最基本的方法.（3）分式不等式的解法同解变形法（分式不等式⇔整式不等式⇔一次、二次不等式）①() ()()()()()()()()0000f x f xf xg x f x g xg x g x><><（或）与·或·同解；②()()()()00f x f xg x g x⎛⎫⎪⎪⎝⎭≥或≤与不等式组()()()()()()0000f xg x f x g xg x g x⎛⎫⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎨⎪≠≠⎪⎪⎩⎩⎝⎭·≥·≤或同解.（4）一元高次不等式的解法——标根法其步骤是：（1）分解成若干个一次因式的积，并使每一个因式中最高次项的系数为正；（2）将每一个一次因式的根标在数轴上，从最大根的右上方依次通过每一点画曲线；并注意奇穿过偶弹回；（3）根据曲线显现()f x的符号变化规律，写出不等式的解集.若naaaa<<<<Λ321，则不等式0)())((21>---naxaxaxΛ或0)())((21<---naxaxaxΛ的解法如下图（即“数轴标根法”）：（5）绝对值不等式的解法方法一：应用分类讨论思想去绝对值（最后结果应取各段的并集）；方法二：应用数形结合思想；方法三：应用化归思想等价转化.①最简单的绝对值不等式的同解变形,x a a x a<⇔-<<；,ax b c c ax b c+<⇔-<+<；x a x a>⇔<-或,x a>；cbaxcbax-<+⇔>+或,ax b c+>.②关于绝对值不等式的常见类型有下列的同解变形()()()()()f xg x g x f x g x≤⇔-≤≤；()()()()f xg x f x g x≥⇔≤-或()()f xg x≥；22()()()()f xg x f x g x≤⇔≤.【提醒】标根法主要用于简单的一元高次不等式题型，因为上海高考不作要求，可以简单的了解.（5）含参不等式的解法求解的通法是“定义域为前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．”3.常用的基本不等式（1）如果,a b R ∈，那么222a b ab +≥（当且仅当a =b 时等号成立）；（2）如果,a b R +∈，那么ba +≥ab （当且仅当a =b 时等号成立）.（1）比较法 ①作差比较法 A.理论依据0a b a b ->⇔> 0a b a b -=⇔= 0a b a b -<⇔<B.证明步骤：I:作差：对要比较大小的两个数（或式）作差；II ：变形：对差进行因式分解或配方成几个数（或式）的完全平方和； III ：判断：结合变形的结果及题设条件判断差的符号.②作商比较法 A.理论依据当a b R +∈，时, 1,1,1a a aa b a b a b b b b>⇔><⇔<=⇔=. B.证明步骤：I:判断（判断能否作商）；II ：作商；III ：变形；IV: 下结论. （2）综合法证题时，从已知条件入手，经过逐步的逻辑推导，运用已知的定义、定理、公式等，最终达到要证结论，这是一种常用的方法（由因导果）. （3）分析法从要证明的结论出发，一步一步地推导，最后达到命题的已知条件（可明显成立的不等式、已知不等式等），其每一步的推导过程都必须可逆（执果索因）.2.1不等式的基本性质例题精讲【例1】（1）设x 、y 是不全为零的实数，试比较222y x +与xy x +2的大小；（2）设c b a ,,为正数，且1222=++c b a ，求证：3)(2111333222≥++-++abc c b a cb a . 【参考答案】（1）解法1：222222243)2()(2y y x xy y x xy x y x +-=-+=+-+ 因为x 、y 是不全为零的实数，所以043)2(22>+-y y x ，即xy x y x +>+2222 解法2：当0<xy 时， 22222y x x xy x +<<+；当0>xy 时，作差：02)(222222>=-≥-+=+-+xy xy xy xy y x xy x y x ；因为x 、y 是不全为零的实数，所以当0xy >时，xy x y x +>+2222．综上，xy x y x +>+2222（2）证明：当c b a ==时，取得等号3．作差比较：3)(2111333222-++-++abc c b a c b a =3)(2333222222222222-++-++++++++abc c b a c c b a b c b a a c b a=222222222222111111()()()2()a b c a b c b c a c a b bc ac ab+++++-++ =0)11()11()11(222222>-+-+-ba c ac b cb a所以，3)(2111333222≥++-++abc c b a cb a 【例2】已知41,145ac a c -≤-≤--≤-≤,试求9a c -的取值范围．【参考答案】把9a c -用a c -，4a c -来表示，再利用a c -，4a c -的范围得出9a c -的取值范围．1[(4)()]3a a c a c =---1[(4)4()]3c a c a c =---∴9a c -=3[(4)()]a c a c ----1[(4)4()]3a c a c ---85(4)()33a c a c =---由已知得8840-(4)333a c ≤-≤，5520()333a c ≤--≤∴85-1(4)()2033a c a c ≤---≤，即1920a c -≤-≤注意:这类题的常见错误是,由41441a c a c -≤-≤-⎧⎨-≤-≤⎩,从而得: 03a ≤≤,17c ≤≤,所以: 7926a c -≤-≤，即: 7(3)26f -≤≤,错误根源在于,a b c d ≥≥是a b b c -≥-充分但不是必要条件,因此必须从考虑9a c -与a c -,4a c -的关系去解此题.过关演练1. 若c b a >>，则一定成立的不等式是（）.A c b c a > .B ac ab > .C c b c a ->- .D cb a 111<< 2. 已知：,,0a b e f c >>>，求证：bc e ac f --＜． 3. 已知11a -<<，比较1a -和11a+的大小． 4. 对于实数c b a ,,，给出下列命题：①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④ba b a 11,0<<<则若； ⑤baa b b a ><<则若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦bc ba c ab ac ->->>>则若,0；其中正确的命题是 .5. 已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则3x y -的取值范围是 .6. 若11αβ-<<<，则下面各式中成立的是（）.A 20αβ-<-< .B 21αβ-<-<- .C 10αβ-<-< .D 11αβ-<-<7. 设a 和b 都是非零实数，求不等式b a >和ba 11>同时成立的充要条件．8. 下列几个不等式中（1）22a b a a b b +>+ （2）222211b b a a +>+ （3）11a b a b+>+ （4）a b a a > 其中恒成立的不等式个数是（）.A 0 .B 1 .C 2 .D 39. 若a < b <0，则下列结论中正确的是（）.A 不等式||1||111b a b a >>和均不成立 .B 不等式||1||111b a a b a >>-和均不成立 .C 不等式22)1()1(11a b b a a b a +>+>-和均不成立 .D 不等式22)1()1(||1||1ab b a b a +>+>和均不成立 10. 若二次函数)(x f 的图像关于y 轴对称，且2)1(1≤≤f ，4)2(3≤≤f ，求)3(f 的范围． 11. 已知c b a >>，且,0=++c b a 求ac的取值范围．2.2一元二次不等式的解法例题精讲【例1】解关于x 的不等式2(2)20mx m x +-->,并写出解集【参考答案】m =0时，不等式为-2x-2>0,不等式的解集为--1∞（，）； m ≠0时，可得2)(1)0,m x x m +>(-若m>0,则201m >>-, 此时不等式的解集为2--1+m∞⋃∞（，）（，）若m<0,则不等式同解于不等式2)(1)0x x m+<(- 当-2<m<0时，不等式的解集为2-1m （，）；当m<-2时不等式的解集为2-m （1，）；当m=-2时，不等式的解集为∅．注意：对字母m 分类讨论时，先要讨论二次项的系数，以区分是一次不等式还是二次不等式，还要注意化简后不等式的同解形式．【例2】有一批影碟机(DVD)原售价为800元,在甲,乙两家商场均有销售,甲商场用如下方法促销,买一台单价为国为780元,买两台单价为760元,依此类推,每多买一台,则所买各台单价均减少20元,但每台最低不能低于440元,乙商场一律都按原价75%销售,某单位需购买一批此类影碟机,应去哪家商场购买?【参考答案】设此单位需购买x 台影碟机,在甲商场购买共需花费1y 元,在乙商场购买共需花费2y ,由题意, 80020440,18x x -≥∴≤*1*(80020),118,440,18,x x x x N y x x x N⎧-≤≤∈⎪=⎨>∈⎪⎩ *280075%600,1,y x x x x N =⨯=≥∈,设此单位在甲,乙两家商场购货的差价为y,则2*21*(80020)60020020,118,440600,18,x x x x x x x N y y y x x x x N⎧--=-≤≤∈⎪=-=⎨->∈⎪⎩ 当118x ≤≤时,由220020y x x =->0得:0<x<10, 所以*110,x x N ≤<∈;由220020y x x =-=0得x=10,由220020y x x =->0得x>10, 所以*1018,x x N <≤∈;当x >18时,y <0答:若购买少于10台影碟机,则应去乙商场购买,若买10台,去甲乙均可,若购买超过计划10台,则应去甲商场购买.过关演练1. 若不等式022<+-a bx x 的解集为}51|{<<x x ，则a 为 .2. 求下列不等式的解集：⑴解不等式22350x x -++>；⑵解不等式24410x x -+>；⑶解不等式2230x x -+->.3.已知关于x 的不等式(1)(1)0ax x -+<的解集是()1,1,a ⎛⎫-∞⋃-+∞ ⎪⎝⎭，求实数a 的取值范围. 4. 解关于x 的不等式0)(322>++-a x a a x ．5. 关于x 的不等式20ax bx c ++>的解集为(1,2)-，则不等式20cx bx a ++<的解集为 .6. 已知关于x 的不等式组2122kx x k ≤++≤有唯一实数解，则实数k 的取值集合是 .7. 对于任意实数x ，不等式22(2)0ax ax a +-+<恒成立，则实数a 的取值范围是（） .A 10a -≤≤.B 10a -≤< .C 10a -<≤ .D 10a -<<8. a 为实数，关于x 的二次方程27(13)220x a x a -+++=有两个实数根分别介于0与1之间以及1与2之间，求a 的取值范围．9. 解不等式: ()()220x ax --> ．10. 如果集合2{|10}A x ax ax =-+<=∅，则实数a 的取值范围是 .11. 111222,,,,,a b c a b c 均为非零实数，不等式21110a x b x c ++>和22220a x b x c ++>的解集分别为集合M 和N ，那么“111222a b c a b c ==”是“M N =”的（） .A 充分非必要条件.B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分又非必要条件12. 函数()2(2)2(2)4f x a x a x =-+--，若()1,3x ∈时，()7f x mx <-恰成立，求,a m 的值．13. 关于x 的方程2(1)10x m x +-+=在区间()0,2上有实根，求实数m 的取值范围． 14. 若不等式)1(122->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，求x 的取值范围．15. 某公园举办雕塑展览吸引着四方宾客，旅游人数x 与人均消费t （元）的关系如下： 121600(1050,)61300(50200,)t t t x t t t -+≤≤∈⎧=⎨-+<≤∈⎩N N , （1）若游客客源充足，那么当天接待游客多少人时，公园的旅游收入最多？（2）若公园每天运营成本为5万元（不含工作人员的工资），还要上缴占旅游收入20%的税收，其余自负盈亏．目前公园的工作人员维持在40人．要使工作人员平均每人每天的工资不低于100元，并维持每天正常运营（不负债），每天的游客人数应控制在怎样的合理范围内？（注：旅游收入=旅游人数×人均消费）2.3其他不等式的解法例题精讲【例1】k 为何值时，下式恒成立：13642222<++++x x k kx x 【参考答案】原不等式可化为：0364)3()26(222>++-+-+x x k x k x ，而03642>++x x ∴原不等式等价于0)3()26(22>-+-+k x k x由0)3(24)26(2<-⨯⨯--=∆k k 得1< k <3【例2】解不等式210.122x x --< 【参考答案】这个绝对值不等式的绝对值符号内是一个分式，若先去绝对值符号，就变成一个形式上是分式的不等式：210.10.122x x --<-<，这样就为解题制造了障碍，但是如果我们不急于去绝对值符号，而是先将绝对值符号内的表达式进行化简，就可以得到212212222x x x x x x x -----===-．所比不等式的解集为{}1010x x x ><-或【例3】若不等式()11m x x ≤++-的解集为全集，求实数m 的求值范围．【参考答案】利用绝对值和的几何意义求解简捷、快速．2m ≤本题是一道恒成立问题，分离常数后，转化为求最小值问题．过关演练1. 若x R ∈，则()()110x x -+>的解集是（）.A {}01x x ≤< .B {0x x <且1}x ≠- .C {}11x x -<< .D {1x x <且1}x ≠- 2. 不等式2601x x x ---＞的解集为（） .A {}23x x x <->或 .B {}23x x x <-<<或1.C {}213x x x -<<>或 .D {}213x x x -<<<<或1 3. 求下列不等式的解集：⑴解不等式4321x x ->+；⑵解不等式22xxx x >++；⑶解不等式4|23|7x <-≤； ⑷解不等式123x x ->-； ⑸解不等式125x x -++<．4. 若不等式|32||2|x x a +≥+对x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围．5. 解关于x 的不等式：242mx m x +<+．6. 不等式242+<-x x 的解集为 .7. 已知关于x 的不等式23x x m -+-<的解集为非空集合，则实数m 的取值范围是（）.A 1m < .B 1m ≤ .C 1m > .D 1m ≥8. 若不等式102x m x m -+<-成立的一个充分非必要条件是1132x <<，则实数m 的取值范围是（） .A 14,,43⎛⎤⎡⎫-∞+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭U .B 14,43⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .C 13,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦ .D 以上结论都不对 9. 已知关于x 的不等式21<++ax x 的解集为P ，若P ∉1，则实数a 的取值范围为（） .A ),0[]1,(+∞--∞Y .B ]0,1[- .C ),0()1,(+∞--∞Y .D ]0,1(-10. 设全集U R =，解关于x 的不等式： 110x a -+->()x R ∈.11. 解不等式2(1)(2)0x x -+≥．12. 设关于x 的不等式4|4|2+≤+-x m x x 的解集为A ，且A A ∉∈2,0，则实数m 的取值范围是 . 13. 不等式组⎪⎩⎪⎨⎧+->+->|22|330xx x x x 的解集是（） .A {|02}x x <<.B {|0 2.5}x x << .C {|0x x <<.D {|03}x x << 14. 对任何实数x ，若不等式12x x k +-->恒成立，则实数k 的取值范围为（）.A 3k < .B 3k <- .C 3k ≤ .D 3k ≤-15.2x <+.16. 解关于x 的不等式(1)1(1)2a x a x ->≠-. 17. 已知关于x 的不等式052<--ax ax 的解集为M ． (1) 当1=a 时，求集合M ；(2) 当M M ∉∈53且时,求实数a 的范围．2.4基本不等式及其应用例题精讲【例1】已知54x <，求541-+x x 的最大值. 【参考答案】45)45(41)45(541+-+-=-+x x x x ，由于54x <，045<-x ，所以1)45(41)45(-≤-+-x x ，4145)45(41)45(≤+-+-x x ，当且仅当)45(4145-=-x x 即43=x 时取等号. 【例2】求2710(1)1x x y x x ++=>-+的最小值. 【参考答案】方法一：当1->x 时，9514114)1(5)1(110722≥++++=+++++=+++x x x x x x x x ，当且仅当111+=+x x 即1=x 时取等号. 方法二：设)0(1>+=t x t ，则1-=t x ，原式9544510)1(7)1(22≥++=++=+-+-=tt t t t t t t 当且仅当tt 4=即1,2==x t 时取等号.【例3】某村计划建造一个室内面积为2800m 的矩形蔬菜温室，在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1m 宽的通道，沿前侧内墙保留3m 宽的空地，当矩形室的变长各为多少时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积时多少？【参考答案】温室左侧变长2max 40,20,648a m b m S m ===过关演练1. 已知3>x ，则6211-++x x 的最小值是 . 2. 已知,,9a b R ab +∈=，则a b +的最小值是 .3. 下列不等式一定成立的是（）.A xy y x 2≥+ .B 21≥+x x .C xy y x 222≥+ .D xyxy y x 12≥+ 4. 已知,,,a b c R ∈求证222a b c ab bc ca ++≥++.5. 为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革．经调查测算，产品当年的产量x 万件与投入技术改革费用m 万元(m ≥0)满足31k x m =-+ (k 为常数)．如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件．已知2010年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元．由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去．厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2010年该产品的利润y 万元(利润＝销售金额－生产成本－技术改革费用)表示为技术改革费用m 万元的函数；(2)该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？6. 已知0,0x y >>，且191x y+=，则x y +的最小值为 . 7. 已知0,0a b >>，以下三个结论：①22ab a b a b +≤+，②2222a b a b ++≤ ③22b a a b a b+≥+，其中正确的个数是( ) .A 0 .B 1.C 2 .D 38. 已知b a ,为正实数，302=++a ab b ，求函数ab y 1=的最小值.9. 已知关于x 的不等式227x x a+≥-在(),x a ∈+∞上恒成立，求实数a 的最小值.10. 某单位用木料制作如图所示的框架，框架的下部是边长分别为x 、y （单位：m ）的矩形，上部是等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8 m 2，问x 、y 分别为多少时用料最省？（精确到0.001m ）x y11. 已知1,0>>y x ，且2)1(=-y x ，则y x +2的最小值为 . 12. xzy z y x R z y x 2,032*,,,=+-∈的最小值为 . 13. 1,0,=+>y x y x ，且a y x ≤+恒成立, 则a 的最小值为（）A .22 B .22 C .2 D .2 14. 已知a 、b 、()0,c ∈+∞且1a b c ++=，求证：1111118a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---≥ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 15. 三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ++-ax ≥在[1，12]上恒成立，求实数a 的取值范围”提出各自的解题思路．甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．乙说：“把不等式变形为左边含变量x 的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，求出a 的取值范围.2.5不等式的证明例题精讲【例1】设,,a b R ∈求证：221a b ab a b +++>+．【参考答案】()22222211()221212a b ab a b a ab b a a b b +++-+=+++-++-+Q ()()()22211102a b a b ⎡⎤=++-+->⎣⎦ 221a b ab a b ∴+++>+【例2】已知0,0a b >>，求证：1111222222a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ．【参考答案】（分析法）要证明1111222222a b a b b a ⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由于0,0a b >>所以11220a b > 只需要证明111122221122a b a b a b b a ⎛⎫⎛⎫ ⎪+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．即证 331111222222a b a b a b ⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭即证 1111111122222222a b a a b b a b a b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+≥+ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即证1122a a b b -+1122a b ≥，即证211220a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭ 211220a b ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭显然成立，所以原不等式成立．过关演练1. 求证：（1）()()221x x x +<+；（2）设0>>b a ，求证：a b b a b a b a >.2. 已知0=++c b a ，求证： 0ab bc ca ++≤.3. 3725<.4. 已知,,a b m 都是正数，并且a b <，求证：a m ab m b +>+. 5. 设,,,,a b x y R ∈且22221,1,a b x y +=+=试证：||1ax by +≤.6. 实数,,x y z 满足1xy yz zx ++=-,求证：222584x y z ++≥.7. 已知正数a 、b 、c 满足2a b c +<，求证：22c c ab a c c ab -<<-8. 设a ＞0，b ＞0，求证： 111122222a b a b b a 2⎛⎫⎛⎫+≥+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.9. 已知a 、b 、c 为正实数，1a b c ++=.求证：(1) 22213a b c ++≥； (2)232323+++++c b a ≤6.10. 若,0x y >,且2x y +>，求证：1y x +和1x y +中至少有一个小于2.11. 证明不等式n n2131211<++++Λ ()n N *∈.直击高考一、填空题1.（2009年高考理文3）若行列式4513789x x 中，元素4的代数余子式大于0，则x 满足的条件是 .2. （2010年春季高考4）已知集合1{|||2},{|0}1A x x B x x =<=>+，则A B ⋂= . 3.（2010年高考理2文1）不等式204x x ->+的解集是 . 4.（2012年春季高考12）若不等式210x kx k -+->对()1,2x ∈恒成立，则实数k 的取值范围是 .5.（2012年春季高考13）已知等差数列{}n a 的首项及公差均为正数，令n b n a =2012n a -+(,2012)n N n *∈<，当k b 是数列{}n b 的最大项时，k = .6.（2013年高考理12）设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++．若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为 . 7.（2013年高考文13）设常数0a >，若291a x a x+≥+对一切正实数x 成立，则a 的取值范围为．二、选择题8.（2010年春季高考16）已知)1,0(,21∈a a ，记1,2121-+==a a N a a M ，则M 与N的大小关系是（）.A N M < .B N M >； .C N M = .D 不确定9.（2011年高考理15文16）若,a b R ∈，且0ab >，下列不等式中，恒成立的是（）.A 222a b ab +> .B 2a b ab +≥ .C 11a b ab+> .D 2b a a b +≥ 10.（2013年春季高考17）如果0a b <<，那么下列不等式成立的是（）.A 11a b < .B 2ab b < .C 2ab a -<- .D 11a b-<- 11.（2013年高考理15文16）设常数a R ∈，集合{|A x =(1)(x x -)a -0}≥，{|1}B x x a =≥-．若A B R =U ，则a 的取值范围为（）.A (,2)-∞ .B (,2]-∞ .C (2,)+∞ .D [2,)+∞三、解答题12.（2009年高考文19）已知复数z a bi =+（,a b R +∈）(i 是虚数单位)是方程2450x x -+=的根，复数3w u i =+（u R ∈）满足25w z -<，求u 的取值范围．13.（2010年高考理文22）若实数x 、y 、m 满足m y m x ->-，则称x 比y 远离m .（1）若21x -比1远离0，求x 的取值范围；（2）对任意两个不相等的正数a 、b ，证明：33a b +比22a b ab +远离2ab 14.（2011年春季高考22）定义域为R ，且对任意实数1x 、2x 都满足不等式()()121222f x f x x x f ++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭的所有函数()f x 组成的集合记为M ．例如，函数()f x kx b M =+∈．(1)已知函数()0102x x f x x x ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩．证明：()f x M ∈；(2)写出一个函数()f x ，使得()f x M ∉，并说明理由．15.（2011年春季高考23）对于给定首项)300x a a >>，由递推式()112n n n a x x n N x +⎛=+∈ ⎝得到数列{}n x ，且对于任意的n N ∈，都有3n x a >{}n x 3a 的近似值．(1)取05,100x a ==，计算123,,x x x 的值(精确到0.01)；归纳出1,n n x x +的大小关系；(2)当n≥l 时，证明：()1112n n n n x x x x +--<-．16.（2012年春季高考20）某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异）．（1）当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度；（2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时．现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，向内、外环线应各投入几列列车运行？17.（2012年高考理文21）海事救援船对一艘失事船进行定位：以失事船的当前位置为原点，以正北方向为y 轴正方向建立平面直角坐标系（以1海里为单位长度），A 处，如图.现假设：①失事船的移动路径可视为抛物线21249y x =； ②定位后救援船即刻沿直线匀速前往救援；③救援船出发t 小时后，失事船所在位置的横坐标为7t .（1）当0.5t =时，写出失事船所在位置P 的纵坐标. 若此时两船恰好会合，求救援船速度的大小和方向；（2）问救援船的时速至少是多少海里才能追上失事船？18.（2013年高考理20）甲厂以x 千克/小时的速度匀速生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每一小时可获得的利润是310051x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭元．（1）要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；（2）要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求此最大利润．。

高中数学第二章一元二次函数方程和不等式2基本不等式训练新人教A版必修第一册

基本不等式A 级——基础过关练1．下列不等式中，正确的是( ) A ．a ＋4a≥4B ．a 2＋b 2≥4abC ．ab ≥a ＋b2D ．x 2＋3x2≥2 3【答案】D 【解析】a <0，则a ＋4a≥4不成立，故A 错；a ＝1，b ＝1，a 2＋b 2<4ab ，故B 错；a ＝4，b ＝16，则ab <a ＋b2，故C 错；由基本不等式可知D 项正确．2．(2021年哈尔滨期末)“a ＞b ＞0”是“ab ＜a 2＋b 22”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】由a ＞b ＞0得a 2＋b 2＞2ab ；但由a 2＋b 2＞2ab 不能得到a ＞b ＞0.故“a ＞b ＞0”是“ab ＜a 2＋b 22”的充分不必要条件．3．(2020年白银高一期中)当x ≥3时，x ＋4x －1的最小值为( ) A ．5 B ．4 C ．112D ．163【答案】A 【解析】x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1，令t ＝x －1，∵x ≥3，所以t ≥2，所以原式y ＝t ＋4t ＋1≥5，当且仅当t ＝2时等号成立，所以x ＋4x －1≥5.故选A ．4．(多选)已知实数a ，b ，判断下列不等式中哪些一定是正确的( ) A ．a ＋b2≥abB ．a ＋1a≥2C ．⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋ba ≥2 D ．2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2【答案】CD 【解析】当a ＜0，b ＜0时，a ＋b2≥ab 不成立；当a ＜0，时，a ＋1a≥2不成立；因为⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋b a ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b ＋⎪⎪⎪⎪⎪⎪b a ≥2，故C 正确；因为2(a 2＋b 2)－(a ＋b )2＝a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0，所以2(a 2＋b 2)≥(a ＋b )2，故D 正确．故选CD ．5．(2021年宝鸡模拟)设x ＞0，y ＞0且x ＋4y ＝40，则xy 的最大值是( ) A ．10 B ．40 C ．100D ．400【答案】C 【解析】因为x ＞0，y ＞0且x ＋4y ＝40，所以x ＋4y ≥2x ·4y ＝4xy ，当且仅当x ＝4y 时取“＝”．所以4xy ≤40，得xy ≤100.6．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元．【答案】160 【解析】设底面矩形的一边长为x ，由容器的容积为4 m 3，高为1 m ，得另一边长为4xm ．记容器的总造价为y 元，则y ＝4×20＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ×1×10＝80＋20⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋4x ≥80＋20×2x ·4x ＝160，当且仅当x ＝4x，即x ＝2时，等号成立．因此当x ＝2时，y 取得最小值160，即容器的最低总造价为160元．7.3－aa ＋6(－6≤a ≤3)的最大值为________．【答案】92 【解析】因为－6≤a ≤3，所以3－a ≥0，a ＋6≥0，则由基本不等式可知3－aa ＋6≤3－a ＋a ＋62＝92，当且仅当a ＝－32时等号成立．8．已知x >0，y >0,2x ＋3y ＝6，则xy 的最大值为________．【答案】32 【解析】因为x >0，y >0,2x ＋3y ＝6，所以xy ＝16(2x ·3y )≤16⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋3y 22＝16×⎝ ⎛⎭⎪⎫622＝32，当且仅当2x ＝3y 且2x ＋3y ＝6，即x ＝32，y ＝1时等号成立，xy 取到最大值32.9．设a ，b ，c 都是正数，求证：b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc ≥6. 证明：因为a >0，b >0，c >0，所以b a ＋a b≥2，c a ＋a c≥2，c b ＋b c≥2.所以⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c a ＋a c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫c b ＋b c ≥6，当且仅当b a ＝a b ，c a ＝a c ，c b ＝b c，即a ＝b ＝c 时等号成立．所以b ＋c a ＋c ＋a b ＋a ＋bc≥6. B 级——能力提升练10．若0<x <12，则x 1－4x 2的最大值为( )A ．1B ．12C ．14D ．18【答案】C 【解析】因为0<x <12，所以1－4x 2>0，所以x 1－4x 2＝12×2x ×1－4x 2≤12×4x 2＋1－4x 22＝14，当且仅当2x ＝1－4x 2，即x ＝24时等号成立．故选C ．11．已知x ≥52，则x 2－4x ＋52x －4有( )A ．最大值54B ．最小值54C ．最大值1D ．最小值1【答案】D 【解析】x 2－4x ＋52x －4＝x －22＋12x －2＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2＋1x －2.因为x ≥52，所以x －2>0，所以12⎣⎢⎡⎦⎥⎤x －2＋1x －2≥12·2 x －2·1x －2＝1，当且仅当x －2＝1x －2，即x ＝3时取等号．故原式有最小值为1.12．已知不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】B 【解析】不等式(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ＋ax y ＋yx ≥1＋a ＋2ax y ·y x＝1＋a ＋2a ＝(1＋a )2≥9，所以a ≥2，即a ≥4，故正实数a 的最小值为4.13．设正实数x ，y ，z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0，则当xy z取得最大值时，2x ＋1y －2z的最大值是________．【答案】1 【解析】xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1，当且仅当x ＝2y 时等号成立，此时z ＝2y 2，2x ＋1y －2z＝－1y2＋2y＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1≤1，当且仅当y ＝1时等号成立，故所求的最大值为1.14．已知a ，b 均为正数，且a ＋b ＋3＝ab ，则ab 的最小值是________，a ＋b 的最小值是________．【答案】9 6 【解析】①由题意可得a ＋b ＝ab －3≥2ab ，所以ab ≥3，所以ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，所以ab 的最小值为9；②a ＋b ＋3＝ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，所以a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号，所以a ＋b 的最小值为6.15．(2021年株洲期中)某村计划建造一个室内面积为800 m 2的矩形蔬菜温室．在温室内，沿左、右两侧与后侧内墙各保留1 m 宽的通道，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地．当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？解：设矩形温室的左侧边长为a m ，后侧边长为b m ，则ab ＝800.蔬菜的种植面积S ＝(a －4)(b －2)＝808－2(a ＋2b )．S ≤808－42ab ＝648(m 2)，当且仅当a ＝2b ，即a ＝40 m ，b ＝20 m 时，S 最大值＝648 m 2.所以当矩形温室的左侧边长为40 m ，后侧边长为20 m 时，蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648 m 2.C 级——探究创新练16．《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A ．a ＋b2≥ab (a ＞b ＞0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a ＞b ＞0) C ．2aba ＋b≤ab (a ＞b ＞0) D ．a ＋b2≤a 2＋b 22(a ＞b ＞0)【答案】D 【解析】由图形可知OF ＝12AB ＝12(a ＋b )，OC ＝12(a ＋b )－b ＝12(a －b )．在Rt △OCF 中，由勾股定理得CF ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a －b 22＝12a 2＋b 2.因为CF ≥OF ，所以1 2a2＋b2≥12(a＋b)(a＞b＞0)．故选D．。

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第2章基本不等式测试题 A组一．填空题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)

1.若xy>0,则xyyx的最小值是。

1.2.提示：xyyx≥2xyyx=2. 2. 已知a，b差不多上正数，则 a＋b2、a2＋b22的大小关系是。 2.a＋b2≤a2＋b22。提示：平方作差，利用a2+b2≥2ab可得。 3.若x＋y＝4，x＞0，y＞0，则lgx＋lgy的最大值是。 3.lg4.提示：lgx＋lgy=lgxy≤lg(2xy)2=lg4. 4.已知121(0,0),mnmn则mn的最小值是

4. 22。提示：1221222mnmnmn。 5.已知：226xy，则 2xy的最大值是＿＿＿ 5.9.提示： 6 = 22xy≥2·22xy， ∴22xy≤9 。故2xy的最大值是9，现在x=y=2log3。 6 某公司租地建仓库，每月土地占用费y1与车库到车站的距离成反比，而每月库存物资的运费y2与到车站的距离成正比，假如在距车站10公里处建仓库，这两项费用y1和y2分别为2万元和8万元，那么要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站__________公里处

6.8.提示由已知y1=x20；y2=0 8x(x为仓库与车站距离)，

费用之和y=y1+y2=0 8x+ x20≥2xx208.0=8，当且仅当0 8x=x20即x=5时“=”成立。 7.已知正数xy、满足3xyxy，则xy的范畴是。

7.[9,)。提示：由0,0xy，则3xyxy32xyxyxy，即2()230xyxy解得13xyxy(舍)或

，当且仅当3xyxyxy且即

3xy时取“=”号，故xy的取值范畴是[9,)。

8. 给出下列命题： ①a,b都为正数时,不等式a+b≥2ab才成立。 ②y=x+1x的最小值为2。 ③y=sinx+2sinx(02x)的最小值为22. ④当x>0时，y=x2+16x≥2316x,当x2＝16x时，即x=16,y取最小值512。其中错误的命题是。 8. ①②③④。提示： ①a+b≥2ab成立的充要条件是0,0ab；

②当x>0,y=x+1x≥2;当x<0时,y=x+1x=-(-x-1x)≤-21()()xx=-2; ③y=sinx+2sinx≥22，等号成立的条件是sinx＝2sinx，即sinx＝2，而当02x时，0y=t+2t(t=sinx)在(0,1上单调递减，从而ymin=1+21=3; ④“2316x”不是定值，因此该命题也不对。y=x2+16x在x(0,)单调递增，无最小值。二．解答题(本大题共4小题，共54分) 9. 已知: 在ABC中, ∠A,∠B,∠C，的对边分别是a, b, c，则求满足下列条件的∠B 的范畴分别是什么。

⑴若 a=2, b=1。 ⑵若 2bac。

9.解：⑴ ∵cosB=22224124acbcacc= 13()4cc133242cc 故∠B取值范畴分别是 (0,]6。取等号时 c=3. ⑵ ∵cosB=2222acbac= 2221222acacacacacac 故∠B取值范畴分别是 (0,]3. 取等号时 a=c. 10．已知直角△ABC中，周长为L，面积为S，求证：4S≤2(322)L. 10．设直角△ABC的两直角边为x，y，则斜边为22xy， S=12xy， ∴L=22xyxy≥22222xyxySS ∴4S≤222(322)(21)LL 11.已知正数yx,满足12yx,求yx11的最小值有如下解法：解：∵12yx且0,0yx. ∴242212)2)(11(11xyxyyxyxyx

∴24)11(minyx. 判定以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法． 11. 解：错误.

∵ xyyx1211 ① 等号当且仅当yx时成立，又∵xyyx22②

等号当且仅当yx2时成立，而①②的等号同时成立是不可能的. 正确解法：∵12yx且0,0yx.

∴ 22322323)2)(11(11yxxyyxxyyxyxyx，

当且仅当yxxy2，即yx2，又12yx，∴这时22212yx ∴ 223)11(minyx． 12．某食品厂定期购买面粉。已知该厂每天需用面粉6t，每t面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每t每天3元，购买面粉每次需支付运费900元. 求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？

12．设该厂每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，由题意知，面粉的保管等其他费用为：3[66(1)6261]9(1)xxxx. 设平均每天所支付的总费用为y元，则1900[9(1)900]61800910809yxxxxx≥10989，当且仅当x=10时取等号. 答：该厂10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少. 备选题： 1.一种产品的年产量情形是：第一年为a件，第二年比第一年增长p1%，第三年比第二年增长p2%，且p1＞0，p2＞0，p1＋p2＝2p，假如年平均增长x%，则x,p的大小关系是。

1.x≤p 。提示：a(1＋p1)(1＋p2)＝a(1＋x)2，∴1＋p1p2＋p1＋p2＝1＋2x＋x2。又p1＋p2＝2p p1p2≤(p1＋p22)2＝p2，∴2x＋x2≤2p＋p2。 (x－p)(x＋p＋2)≤0，∴x≤p(∵x＋p＋2＞0) 2.已知m＝a＋1a－2(a＞2)，n＝(12)x2－2(x＜0)，则m与n的大小关系为 .

2.m＞n 。提示：m＝a－2＋1a－2＋2≥2＋2＝4(当且仅当a＝3时取等号)

而x2－2＞－2(∵x＜0)，∴n＝(12)x2－2＜(12)－2＝4.∴m＞n。 3.已知141ab，且a>0，b>0,求a+b最小值。 3.解法一由a>0,b>0, 141ab. 得a+b=(a+b)×1=(a+b)×(14ab)=5+4baab≥5+24=9. 当且仅当4baab，即b=2a, 即a=3,b=6时，(a+b)min=9. 解法二由141ab且a>0，b>0得(a-1)(b-4)=4, 又∵0<1a<1，0<4b<1, ∴a>1,b>4,a-1>0,b-4>0. ∴ (a-1)+(b-4) ≥2(a-1)(b-4)=4。当且仅当a-1=b-4,即a=3,b=6时, (a+b)min=9. B组一．填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)

1.已知x＞0，函数y＝2－3x－4x有值是 .

1.最大，2－43.提示：y＝2－(3x＋4x)≤2－22＝2－43. 2．设1x，则函数461yxx的最小值是。

2.9.提示：4446152(1)59111yxxxxxx。 3.函数xxy4的值域是。 3.44yyy或提示：)2(4424,0)(时取等号当时当xxxxxxa； 44)2(4)4)((2)4()(0,0)(xxxxxxxxxb时取等号当而时当因此函数的值域是44yyy或。 4.当0a且1a时，函数()log(1)1afxx的图像恒过点A，若点A在直线0mxyn上，则42mn的最小值为 ▲ *()nN.

4.22。提示：由题意知y=f(x)过点（2，1）。故2m+n=1. 42mn22422222mnmn

5．在4×□＋9×□=60的两个□中，分别填入两自然数，使它们的倒数和最小，应分别填上和。

5. 6，4.提示：设两数为x、y，即4x＋9y=60， 60)94()11(11yxyxyx=)9413(601xyyx

≥125)1213(601，等于当且仅当xyyx94，且4x＋9y=60，即x=6且y=4时成立，故应分别有6、4。 6.爷爷与奶奶给他们的孙女、孙子们分糖果吃，爷爷的分配方案如下：给每个孙女的糖果数

等于他们孙子的人数，给每个孙子的糖果数等于他们孙女的人数，而且若如此分配，糖果恰好分完. 可实际分配时，奶奶记反了，她给每个孙女的糖果数等于他们孙女的人数，而给每个孙子的糖果数等于他们孙子的人数，请问：分配结果如何？ __________________________________________________________________________ 6.糖果恰好分完或糖果不够分.提示：设孙子人数为a，孙女的数为b，则由爷爷的分配方案

可知，实际预备的糖果数为2ab，而按奶奶的实际分法，则需要糖果数为a2+b2，因此当a=b时，糖果恰好分完；当a≠b时，糖果不够分. 二．解答题(本大题共4小题，共54分)

7.已知a、b是正数，且ax＋by＝1(x，y∈R＋，求证：x＋y≥(a＋b)2.

7.【证明】∵ax＋by＝1，∴x＋y＝(x＋y)(ax＋by) ＝a＋b＋yax＋xby≥a＋b＋2ab

＝(a＋b)2

∴x＋y≥(a＋b)2

8. 某厂家拟在2008年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量（即该厂的年产

量）x万件与年促销费用m万元（13)0mkxm满足）（k为常数），假如不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件。已知2005年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍（产品成本包括固定投入和再投入两部分资金）．（1）将2008年该产品的利润y万元表示为年促销费用m万元的函数；（2）该厂家2008年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？