伍德里奇《计量经济学导论》(第6版)复习笔记和课后习题详解-工具变量估计与两阶段最小二乘法

第15章工具变量估计与两阶段最小二乘法

15.1复习笔记

考点一：工具变量法★★★★★

1．简单模型的工具变量法

简单回归模型为y＝β0＋β1x＋u，其中x与u相关：Cov（x，u）≠0。

（1）为了在x和u相关时得到β0和β1的一致估计量，需要有一个可观测到的变量z，z满足两个假定：

①工具外生性条件，z与u不相关，即Cov（z，u）＝0，意味着z应当对y无偏效应（一旦x和u中的遗漏变量被控制），也不应当与其他影响y的无法观测因素相关；

②工具相关性条件，z与x相关，即Cov（z，x）≠0，意味着z必然与内生解释变量x 有着或正或负的关系。

满足这两个条件，则z称为x的工具变量，简称为x的工具。

（2）工具变量的两个要求之间的差别

①Cov（z，u）是z与无法观测误差u的协方差，通常无法对它进行检验：在绝大多数情形中，必须借助于经济行为或反思来维持这一假定。

②给定一个来自总体的随机样本，z与x（在总体中）相关的条件则可加以检验。

最容易的方法是估计一个x与z之间的简单回归。在总体中，有x＝π0＋π1z＋v，从而，由于

π1＝Cov（z，x）/Var（z）

所以式Cov（z，x）≠0中的假定当且仅当π1≠0时成立。因而就能够在充分小的显著水平上，相对双侧对立假设H 1：π1≠0而拒绝虚拟假设H 0：π1＝0。就能相当有把握地肯定工具z 与x 是相关的。

2．工具变量估计量

（1）参数的工具变量（IV）估计量

参数的识别意味着可以根据总体矩写出β1，而总体矩可用样本数据进行估计。为了根据总体协方差写出β1，利用简单回归方程可得z 与y 之间的协方差为：

Cov（z，y）＝β1Cov（z，x）＋Cov（z，u）

在Cov（z，u）＝0与Cov（z，x）≠0的假定下，可以解出β1为：

β1＝Cov（z，y）/Cov（z，x）

β1是z 和y 之间的总体协方差除以z 和x 之间的总体协方差，说明β1被识别了。给定一个随机样本，用对应样本量来估计总体量。在分子和分母中约去样本容量后，得到β1的工具变量（IV）估计量：

()()()()111

ˆn i i i n

i i i z z y y z z x x β==--=--∑∑β0的IV 估计量就为：∧β0＝＿

y－∧β1＿x。

（2）工具变量估计量的一致性和无偏性

大数定律表明，若满足工具变量的两个假定，β1的IV 估计量便具有一致性：

plim（∧β1）＝β1

若任一假定不成立，IV 估计量都将不是一致性的。

IV 估计量的一个特点是：当x 与u 相关时，它绝不是无偏的。在小样本中，这意味着IV 估计量可能有相当大的偏误。因此在使用工具变量法时，需要大的样本容量。

3．用IV 估计量做统计推断

（1）β1的渐进方差

在大样本容量的情况下，IV 估计量近似服从正态分布。此时需要假设同方差，即E （u 2｜z）＝σ2＝Var（u）。

则∧

β1的渐近方差为：σ2/（nσx 2ρx，z 2）。其中，σx 2是x 的总体方差，σ2是u 的总体方差，ρx，z 2是x 与z 的总体相关系数的平方，它反映了总体中z 与x 的相关性有多大。

（2）渐进方差的意义

①提供了一种求IV 估计量标准误的方法。

渐进误差中的所有量都可以在给定的随机样本下一致估计，为估计σx 2，简单地计算出x i 的样本方差；为估计ρx，z 2，可以做x i 对z i 的回归来获得R 2，即R x，z 2。最后，为估计σ2，可以运用IV 残差，∧u i ＝y i －∧β0－∧β1x i ，i＝1，2，…，n。其中，∧β0与∧β1是IV 估计量。σ2的一致估计量为：2

211ˆˆ2n i i u n σ==-∑∧β1的渐近标准误是所估计的渐进方差的平方根，这个方差为：∧

σ2/（SST x ·R x，z 2）。其中，SST x 是x i 的总平方和。（x i 的样本方差是SST x /n。）所得到的标准误可用于构造t 统计量，以检验关于β1的假设，或者是得到β1的置信区间。

②比较IV 和OLS 估计量（当x 与u 不相关时）的渐近方差。

在高斯-马尔可夫假定下，OLS估计量的方差为σ2/SST x，而IV估计量的计算式为σ2/（SST x·R x，z2）；两者的区别仅在于IV方差的分母中出现了R x，z2。由于R2总是小于1，所以这个IV的方差总是大于OLS方差。

若x与z只是轻度相关，则R x，z2便很小，而这将转化为IV估计量的一个非常大的抽样方差。z与x越高度相关，R x，z2便越接近于1，IV估计量的方差就越小。在z＝x的情况下，R x，z2＝1，得到OLS的方差。

当x与u不相关时进行IV估计的一个重要代价：IV估计量的渐近方差总是大于（有时远大于）OLS估计量的渐近方差。

4．低劣工具变量条件下IV的性质（见表15-1）

表15-1低劣工具变量条件下IV的性质

5．IV估计后计算R2

IV估计之后的R2标准公式：

R2＝1－SSR/SST

其中SSR是IV残差的平方和，SST是y的总平方和。

与OLS中的情况不同，由于IV的SSR实际上可能大于SST，所以IV估计中的R2可能为负。尽管报告IV估计的R2不会有什么害处，但也不是很有用。拟合优度不是IV考虑的因素，IV的重点在于得到系数的一致的估计。

考点二：多元回归模型的IV估计★★★★★

1．结构方程

两个解释变量条件下的标准线性模型：y1＝β0＋β1y2＋β2z1＋u1称之为结构方程。在此用一个新的符号来区分内生变量与外生变量。因变量y1显然是内生的，它与u1相关。变量y2和z1是解释变量，u1是误差。通常，假定u1的期望值为0：E（u1）＝0。用z1表示该变量在标准线性模型中是外生的（z1与u1不相关）。用y2表示该变量被怀疑与u1相关。

2．工具变量法

如果用OLS估计标准线性模型，所有的估计量将是有偏而又不一致的。采用工具变量z2。关键假定是z1和z2与u1不相关；还假定u1具有零均值，即有E（u1）＝0，Cov（z1，u1）＝0和Cov（z2，u1）＝0，后两个假定等价于E（z1u1）＝E（z2u1）＝0，通过样本矩条件得到∧β0、∧β1和∧β2：