多维随机变量例题分析

故联合分布律为
X1
X2
0
1
pi
0 1
p j
求边缘分布:因为 pi P{X1 i} P{X1 i, X 2 0} P{X1 i, X 2 1}, i 0,1 X1 0 1 X2 0 1 pi 0.4 0.6 p j 0.4 0.6 同理， p j P{ X 2 j} P{ X1 0, X 2 j} P{ X1 1, X 2 j}, j 0,1 问随机变量X1, X2 独立吗？不独立！
解：（X , Y )的联合密度为
y 1 x e 2 x 0, y 0 f ( x, y ) f X ( x ) f Y ( y ) 4 0 其他
P( X 2Y )


0
1 dx e x 24


x y 2
dy
3x 4


0
1 1 e e dx e 0 2 2
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1 2 0
1 1 1 2 3 6
考点三: 随机变量的独立性
1.一般型： X,Y 相互独立
2.离散型： X,Y 相互独立 3.连续型： X,Y 相互独立
F(x,y)=FX(x)FY(y)
pij pi p j , i, j 1,2,
f ( x, y) f X ( x) fY ( y)
1
o
x
1 2
1 x
(3) 由图, P( X Y 1)
1
1 f ( x, y)dxdy 1 dx 1 x dx x 2 x y 1
1 , 0 y x 1, f ( x, y ) x 其它， 0,
1 1 (2 )dx 1 ln 2. x 2
10
20
0 1 2
0.04 0.025
0.025 0.15 0.04 0.020 0.10 0.25
1 2
试写出关于X 和Y的边缘概率分布； 求P X 2 | Y 20的值。
1 2 0 X 解： 1由题意可得： p 0.415 0.215 0.370 10 20 0 Y p 0.395 0.290 0.315
0.1 + 0.3 0.3 + 0.3 0.4 0.6
0.4 0.6
例2 设随机变量X~U(0,1),在X=x (0<x<1)的条件下, Y~U(0,x),求 （1） X和Y的联合概率密度函数；（2） Y 的概率密度； （3）概率P{X+Y>1}.
解 (1)依题意，有
1, 0 x 1, f X ( x) 0, 其它，
1 , 0 y x, fY X ( y x ) x 0, 其它，
在0 y x 1 时,X和Y的联合密度为
1 f ( x, y) f X ( x) fY X ( y x) , x
1 , 0 y x 1, f ( x, y ) x 其它， 0,
解：
f X ( x)
0,
其他


f ( x, y)dy
y 6dx 6( y y ), y fY ( y) f ( x, y)dx 0,
x 2 6 dy 6( x x ), 0 x 1 x2 其他 0,
得： 1

2 P( X Y 1)
k 3 k y dy k 8 0 2 8 1
2 dx
0 1 x x
1



f ( x, y)dxdy
1
0 0

y
kxydxdy
8 xydy 4 x[(1 x) 2 x 2 ]dx
1 2 0
4 x(1 2 x)dx
0.25 0.794 2 P X 2 | Y 20 0.315
练习：(X,Y)的联合分布律为 Y X 已知：P(Y 1| X 1) 0.5 1 2 求：(1)a,b的值； (2)X,Y的边缘分布律； P( X 1| Y 1) (3)
解：
-1 0.1
练习：对一群体的吸烟及健康状况进行调查，引入随机变量
0, 健康 0, 不吸烟 X 和Y 如下：X 1, 一般 , Y 10, 一天吸烟不多于15 2, 不健康 20, 一天吸烟多于15支 根据调查结果,得 X , Y 的如下的联合概率分布：
Y X
0
0.35
0 y 1 其他
练习：盒子里装有3只黑球，4只红球，3只白球， 在其中任取2球，以X表示取到黑球的数目，Y表示取 到红球 的只数。求 （1）X，Y的联合分布律； （2）X=1时Y的条件分布律； (3) Y=0时X的条件分布律。
解：X, Y的联合分布律为
X Y 0
0
1
2
1/15 4/15 2/15
0 a
1 0.2 b
0.1 0.2
(1) 由分布律性质知 a+b+0.6=1 即a+b=0.4
a 0.1 ， 0.2 0.2 1 又P(Y 1| X 1) 0.3 a 0.3 a 2 b=0.3.
(2) X
pi
2 1 0.4 0.6 Y
p j
-1 0 1 0.2 0.3 0.5
性质和重要公式以及常见分布的定义和性质求解. 记住几个常见分布
例3 设X和Y均服从N (0,
2
则 P( X 2,Y 2) __________. 16
3 ), 且 P( X 2, Y 2) , 16 3
解 P ( X 2, Y 2) 1 [ P ( X 2) (Y 2)]
解 X1, X2可能取值均为0,1, 按乘法公式有
2 1 P{ X1 0, X 2 0} P{X1 0}P{X 2 0 | X1 0} 0.1 5 4 2 3 P{X1 0, X 2 1} 0.3; 5 4 3 2 P{X1 1, X 2 0} 0.3; 5 4 3 2 P{ X1 1, X 2 1} 0.3. 5 4
考点与例题分析
考点一：联合分布、边缘分布与条件分布的计算 考点二:利用已知分布求相关事件的概率
考点三: 随机变量的独立性
考点四：随机变量函数的分布
考点一：联合分布、边缘分布与条件分布的计算
利用联合分布与边缘分布之间的关系、概率 密度或分布律自身的性质如归一性等.
例1 同一品种的5个产品中, 有2个正品, 每次从中 取1个检验质量, 不放回地抽取, 连续2次.记“Xk=0” 表示第k次取到正品, 而“Xk=1”为第k次取到次品 (k=1,2). 写出(X1, X2)的联合分布律和边缘分布.
2 0.4 3 P( X 1| Y 1) 5
练习：设G是平面上的有界区域，其面积为A，若 二维随机，变量(X,Y)具有概率密度 则称(X,Y)在G上服从均匀分布。 x2 y x
概
1 A , ( x, y ) G f ( x, y ) 0 , 其他
现设(X,Y)在有界区域 上均匀分布，其 2 6, x y x fY ( y ) 率密度为 f ( x, y) 求边缘概率密度 f X ( x)，
X
Y 1 2 P(Y=i)
0
1 1 1 6 6 3
1
2 2 2 6 6 3
P(X=j)
1 1 2 2
因而X , Y 是相互独立的。
例:若 X , Y 具有分布律右图，则：
P( X 1, Y 0) 1 6
P( X 1) P(Y 0) 1 2 1 2 1 4
X 1
1 P ( X 2) P (Y 2) P ( X 2, Y 2) 1 ( ) ( ) P( X 2, Y 2) 2 2
1


3 P ( X 2, Y 2) . 16
例4 设Xi(i=1,2)的分布律均为 Xi -1 0 1 1 1 1 pk 4 2 4 (i=1,2)
例: X , Y 具有分布律右图，则：
P( X P( X P( X P( X 1, Y 0) 1 6 P( X 1) P(Y 0) 2, Y 0) 1 6 P( X 2) P(Y 0) 1, Y 1) 2 6 P( X 1) P(Y 1) 2, Y 1) 2 6 P( X 2) P(Y 1)
0 1 p21 0 1/4 p22 p32 1/2 p23 1/2 0 1/4 1/4 1
p j
由表p12=1/4, p32=1/4,从而p22=0, 故 P( X1 X 2 ) 0.
练习. 设甲，乙两种元件的寿命X,Y相互独立，服从同一分布，
x 1 2 e ,x0 其概率密度为：f ( x) 2 0, 其它 求甲元件寿命不大于乙元件寿命2倍的概率。
Y
1
0
6
6 2 1 2
1
2 1 1 6 6 2
P(X=j)
1 1 2 2
故P( X 1, Y 0) P( X 1)P(Y 0)
因而X 与Y 不相互独立。
2
P(Y=i)
例5 设二维随机变量 ( X ,Y ) ~ N (0,0,1,1,0),
X 则 P( 0) _____ . Y
1
2
3/15 4/15
1/15 0
0
0
X Y
由于 P( X 1) 7 15,
0
1
2 0 0
0 1 2
1/15 4/15 2/15 3/15 4/15 1/15 0
故在X=1的条件下，Y的分布 律为： P (Y 0 | X 1) 3 7, 0 P(Y k | X 1) 3/7 Y 1 4/7

x x 2 4
2 dx 3
练习：设二维随机变量(X,Y)具有概率密度
y
1
yx
kxy, 0 x y 1 f ( x, y ) 0, 其他
(1) 求常数k；(2) 求概率 解：
P( X Y 1).
0
x
1 利用

f ( x, y)dxdy 1
1 例6 设随机变量X和Y独立同分布,试证明P( X Y ) . 2
证明：设X和Y的分布函数为F(x)和F(y),密度函数为 f (x)和f (y),由独立性知X和Y的联合密度函数为f (x,y) =f (x) f (y),故
解 因(X,Y)服从二维正态分布,且 XY 0, 故X和Y相互独立,且 X ~ N (0,1),Y ~ N (0,1).
X P( 0) P( X 0, Y 0) P( X 0, Y 0) Y P( X 0) P(Y 0) P( X 0) P(Y 0) 1 1 1 1 1 = 1 (0) 2 2 2 2 2 2
P(Y 1| X 1) 4 7, P(Y 2 | X 1) 0.
2 0
同理P(Y=0)=1/3，故在Y=0的条件下，X的分布律为：
0 P( X k | Y 0) 1/5
X
1 3/5
2 1/5
考点二:利用已知分布求相关事件的概率 搞清楚随机变量所表示的事件,利用概率的基本
在其它点处，f (x,y)=0, 即
(2) 当0<y<1时,Y 的概率密度为
y yx 11 fY ( y) f ( x, y)dx dx ln y. 1 x y 1 y x
fY ( y) 0. 因此 在其它点(x,y)处，
ln y, 0 y 1, fY ( y ) 0, 其它，
( A) 且满足 P( X1 X 2 0) 1, 则 P( X1 X 2 ) ________. 1 1 ( A) 0. (B) . (C) . (D) 1. 4 2
解 由 P( X1 X 2 0) 1, 易知 P( X1 X 2 0) 0, 即 p11 p13 p31 p33 0. Xi都不取零 列出联合分布律： X2 -1 0 1 pi X1 -1 0 p12 0 1/4