多维随机变量例题分析共35页
多维随机变量
F ( ,) x lim F ( x , y ) 1 .
y
2 单调性
o
F ( x, y ) 是变量 x 和 y 的不减函数,
即对于任意固定的 y, 当 x2 x1 时 F ( x2 , y ) F ( x1 , y ),
对于任意固定的 x ,当y2 y1时F ( x , y2 ) F ( x , y1 ).
i j
其中和式是对一切满足xi x , y j y 的 i , j 求和.
3.3 二维连续型随机变量
1.定义
对于二维随机变量( X ,Y ) 的分布函数 F ( x , y ), 如果存在非负的函数 f ( x , y ) 使对于任意 x , y 有 F ( x, y) f ( u, v ) d u d v ,
f ( x, y )dxdy.
A
f ( x) 0, f ( x)dx 1.
f ( x, y) 0, f ( x, y)dxdy 1.
2.性质
(1) f ( x , y ) 0.
( 2)
f ( x , y ) d x d y F (, ) 1.
j 1
P{ X xi } pij , i 1,2,;
P{Y y j } pij , j 1,2,.
i 1
例 在只有3个红球和4个黑球的袋子中逐次 抽取一球，令 1, 若第一次抽取红球 X , 0, 若第一次抽取黑球
1, 若第二次抽取红球 Y , 0, 若第二次抽取黑球 在有放回及无放回抽样的条件下求(X, Y) 的边缘分布律
第三章多维随机变量及其分布
第三章多维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布在许多随机试验中，需要考虑的指标不⽌⼀个。
例如，考查某地区学龄前⼉童发育情况，对这⼀地区的⼉童进⾏抽样检查，需要同时观察他们的⾝⾼和体重，这样，⼉童的发育就要⽤定义在同⼀个样本空间上的两个随机变量来加以描述。
⼜如，考察礼花升空后的爆炸点，此时要⽤三个定义在同⼀个样本空间上的随机变量来描述该爆炸点。
在这⼀章中，我们将引⼊多维随机变量的概念，并讨论多维随机变量的统计规律性。
1.⼆维随机变量及其分布在这⼀节中.我们主要讨论⼆维随机变量及其概率分布，并把它们推⼴到n维随机变量。
1.⼆维随机变量及其分布函数1.⼆维随机变量定义3.1 设Ω ={ω }为样本空间，X=X(ω )和Y=Y(ω )是定义在Ω上的随机变量，则由它们构成的⼀个⼆维向量(X,Y)称为⼆维随机变量或⼆维随机向量.⼆维向量(X，Y)的性质不仅与X及Y有关，⽽且还依赖于这两个随机变量的相互关系。
因此，逐个讨论X和Y的性质是不够的，需把(X,Y)作为⼀个整体来讨论。
随机变量X常称为⼀维随机变量。
2. ⼆维随机变量的联合分布函数与⼀维的随机变量类似，我们也⽤分布函数来讨论⼆维随机变量的概率分布。
定义3.2 设(X,Y)是⼆维随机变量，x，y为任意实数，事件(X≤x)和(Y≤y)的交事件的概率称为⼆维随机变量(X,Y)的联合分布或分布函数，记作F(x,y)，即若把⼆维随机变量(X,Y)看成平⾯上随机点的坐标，则分布函数F (X,Y)在(x,y)处的函数值就是随机点(X,Y)落⼊以(x,y)为定点且位于该点左下⽅的⽆穷矩形区域内的概率（见图3-1）。
⽽随机点(X,Y) 落在矩形区域内的概率可⽤分布函数表⽰（见图3-2）分布函数F (x，y)具有以下的基本性质。
(1) 0≤F (x，y)≤1.对于任意固定的x和y，有(2) F (x，y)是变量x或y的单调不减函数，即对任意固定的y，当x2 ≥x1时,；对任意固定的x，当y2 ≥y1时，。
第三章 多维随机变量及其分布考研试题及答案
第三章 多维随机变量及其分布 一、填空题1.（1994年数学一）设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布律，且X 的分布律为则随机变量max{,}Z X Y =的分布律为 .【解题分析】首先要根据Z 的定义确定Z 的取值范围,然后求Z 取值的概率即可. 解: 由于,X Y 仅取0、1两个数值，故Z 也仅取0和1两个数值，因,X Y 相互独立，故 {0}{max(,)0}{0,0}P Z P X Y P X Y ======111{0}{0},224P X P Y ====⨯=g3{1}1{0}.4P Z P Z ==-==Z 的分布律为Z０１P14 342．（2003年数学一）设二维随机变量(),X Y 的概率密度为6,01,(,)0,x x y f x y ≤≤≤⎧=⎨⎩其它.则{1}P x y +≤= . 【解题分析】利用(){}()DPX Y D f x y dxdy ∈=⎰⎰，，求解.解: 如图10-5所示图10-5X０ １P12 1211201(1)664x xDP x y xdxy dx dxdy -+≤===⎰⎰⎰⎰． 二、选择题1.(1990年数学三)设随机变量X 和Y 相互独立,其概率分布律为则下列式子正确的是（ ）．A ．;X Y =B ．{}0;P X Y ==C ．{}12;P X Y ==D ．{} 1.P X Y ==【解题分析】乍看似乎答案是A ,理由是X 和Y 同分布,但这是错误的,因为,若X Y =,说明X 取什么值时, Y 也一定取相同的值,而这是不可能的,所以只能从剩下的三个答案中选一个,这时只要直接计算{}P X Y =即可.解: 由X 和Y 相互独立知{}{1,1}{1,1}P X Y P X Y P X Y ===-=-+=={1}{1}{1}{1}P X P Y P X P Y ==-=-+==g g11111.22222=⨯+⨯= 所以,正确答案是C .2.(1999年数学三)设随机变量101(1,2)111424i X i -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎣⎦:,且满足{}1201,P X X ==则12{}P X X =等于（ ）．A ．0；B ．14；C ．12； D ．1.【解题分析】本题应从所给条件{}1201P X X ==出发,找出随机变量12,X X 的联合分布.解: 设随机变量12,X X 的联合分布为由 121212{0}{0,1}{0,1}P X X P X X P X X ====-+==121212{1,0}{1,0}{0,0}P X X P X X P X X +=-=+==+==21231232221p p p p p =++++=知 111331330,p p p p ====从而有 2111311144p p p =--=, 类似地 231232111,,.444p p p ===进一步可知 22123210.2p p p =--=即 1122330.p p p ===因此有12{}0.P X X ==正确答案是A .3.(1999年数学四)假设随机变量X 服从指数分布,则随机变量min{,2}Y X =的分布函数（ ）．A ．是连续函数；B ．至少有两个间断点；C ．是阶梯函数；D ．恰好有一个间断点.【解题分析】从公式(){}{}{}{}min 1min z F z P X z P X Y z =≤=->，Y ，{}{}{}1,1P X z Y z P X z P Y z =->>=->> ()()()()111X Y F z F z =---出发求解即可.解: 由题设,0,()0,0.x e x X e x λλλ-⎧>=⎨≤⎩:令12,2,X ξξ==则120,0,0,2,()()1,0,1, 2.xx x F x F x e x x ξξλ-≤<⎧⎧==⎨⎨->≥⎩⎩ 于是12min{,2}min{,}Y X ξξ==的分布函数为120,0,()1(1())(1())1,02,1, 2.x x F x F x F x e x x λξξ-≤⎧⎪=---=-<<⎨⎪≥⎩可见其仅有一个间断点 2.x =正确答案是D .4.(2002年数学四)设1X 和2X 是任意两个相互独立的连续型随机变量,它们的概率密度分别为1()f x 和2()f x ,分布函数分别为1()F x 和2()F x ,则A ．12()()f x f x +必为某一随机变量的分布密度；B ．12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数；C ．12()()F x F x +必为某一随机变量的分布函数；D .12()()f x f x 必为某一随机变量的分布密度．解: 由于若随机变量X 与Y 相互独立，它们的分布函数分别为1()F x 与2()F y ，则max{,}Z X Y =的分布函数为12()()()z F z F x F y =，可知12()()F x F x 必为某一随机变量的分布函数.故选择B .注：本题与2002年高数一中的选择题类同.本题也可以用赋值法求解.三、计算与证明题1.(1994年数学三)假设随机变量1234,,,X X X X 相互独立,且同分布,{0}0.6,{1}0.4(1,2,3,4,)i i P X P X i =====求行列式1234X X X X X =的概率分布.【解题分析】X 由22⨯阶行列式表示,仍是一随机变量,且1423X X X X X =-,由于1234,,,X X X X 独立同分布, 故14X X 与23X X 也是独立同分布的,因此可先求出14X X 和23X X 的分布律,再求X 的分布律.解: 记114Y X X =,223Y X X =,则12X Y Y =-.随机变量1Y 和2Y 独立同分布:1223{1}{1}{1,1}P Y P Y P X X ====== {}{}23110.16P X P X ====. 12{0}{0}10.160.84P Y P Y ====-=.随机变量12X Y Y =-有三个可能值-1,0,1.易见12{1}{0,1}0.840.160.1344,P X P Y Y =-====⨯= 12{1}{1,0}0.160.840.1344,P X P Y Y =====⨯={0}120.13440.7312.P X ==-⨯=于是12341010.13440.73120.1344X X X X X -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦:． 2．(2003年数学三)设随机变量X 与Y 独立,其中X 的概率分布律为120.30.7X ⎡⎤⎢⎥⎣⎦:,而Y 的分布密度为()f y ,求随机变量U X Y =+的分布密度()g u .【解题分析】本题是求随机变量函数的分布,这里的两随机变量一个是离散型,一个是连续型,我们仍然从求分布函数出发,根据X 的不同取值,利用全概率公式来求解.解: 设()F y 为y 分布函数,则由全概率公式及X 与Y 的独立性可知,U X Y =+的分布函数为()()()G u P U u P X Y u =≤=+≤()()()()1|12|2P X P X Y u X P X P X Y u X ==+≤=+=+≤=0.3(|1)0.7(|2)P X Y u X P X Y u X =+≤=++≤=0.3(1|1)0.7(2|2)P Y u X P Y u X =≤-=+≤-=0.3(1)0.7(2)0.3(1)0.7(2)P Y u P Y u F u F u =≤-+≤-=-+-,由此得 ()0.3(1)0.7(2).g u f u f u =-+-3.(2006年数学四) 设二维随机变量()X Y ，的概率分布律为其中a b c ，，为常数,且X 的数学期望0.2EX =-,{}000.5P Y X ≤≤=,记Z X Y =+.求(1) a b c ，，的值;(2)Z 的概率分布;(3){}P X Z =【解题分析】要求a b c ，，的值，只需要找到三个含有a b c ，，的等式即可，这可以由分布函数的性质及题设中所给的两个条件得到；求Z 的概率分布，首先要弄清楚Z 的可能取值，由X Y ，的取值可知，Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2，然后再求Z 取值的概率；要求{}P X Z =，只需要转化为求关于X Y ，的概率，由{}{}{}0P X Z P X X Y P Y ===+==，既可得出结论.解: (1)由概率分布的性质知,0.61a b c +++=, 即 0.4a b c ++=．由 0.2EX =-,可得 0.1a c -+=-． 再由{}{}{}000.1000.50.50P Y X a b P Y X a b P X ≤≤++≤≤===++≤，，得 0.3a b +=.解以上关于a b c ，，的三个方程得 0.2,0.1,0.1a b c ===.(2) Z 的可能取值为-2，-1，0，1，2,{}{}21,10.2P Z P X Y =-==-=-=，{}{}{}11,00,10.1P Z P X Y P X Y =-==-=+==-=，{}{}{}{}01,10,0 1,10.3P Z P X Y P X Y P X Y ===-=+==+==-={}{}{}11,00,10.3P Z P X Y P X Y ====+===， {}{}21,10.1P Z P X Y =====．即Z 的概率分布律为(3) {}{}{}0P X Z P X X Y P Y ===+===00.10.2b ++=. 4.(1987年数学一)设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为1,01,0()()0,0,y X Y x e y f x f y y -≤≤⎧>⎧==⎨⎨≤⎩⎩其它, 求2Z X Y =+的概率密度函数. 【解题分析】此类问题,一般有两种解法:一种是先写出二维随机变量(,X Y )的联合概率分布密度函数,再计算2Z X Y =+的概率分布密度函数,另一种是直接利用两独立随机变量和的分布密度计算公式(即卷积公式)求解.解: 方法１ 由于随机变量,X Y 相互独立,所以二维随机变量(,X Y )的概率分布密度函数为(,),01,0,(,)()()0,y X Y X Y e x y f x y f x f y -⎧≤≤>==⎨⎩g 其它. 因此,随机变量Z 的分布函数为2(){2}()()Z X Y x y zF z P X Y z f x f y dxdy +<=+<=⎰⎰g2222000121200000,0,0,(1),02,(1), 2.zz z x yx z z xy x z z z dx e dy e dx z dx e dye dx z ------⎧⎧≤≤⎪⎪⎪⎪⎪==-<≤⎨⎨⎪⎪⎪⎪->⎩⎪⎩⎰⎰⎰⎰⎰⎰，所以,随机变量Z 的分布密度函数为()()Z Z f z F z '==20,0,1(1),02,21(1), 2.2z zz e z e e z --⎧⎪≤⎪⎪-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩ 方法２ 由于随机变量,X Y 相互独立,所以,由卷积公式知,随机变量Z 的密度函数为1()()(2)(2)Z X Y Y f z f x f z x dx f z x dx +∞-∞=-=-⎰⎰=(2)201(2)00,0,,02,, 2.z z x z x z e dx z e dx z ----⎧≤⎪⎪⎪<≤⎨⎪⎪>⎪⎩⎰⎰=20,0,1(1),02,21(1), 2.2z zz e z e e z --⎧⎪≤⎪⎪-<≤⎨⎪⎪->⎪⎩ 5.(1999年数学四)设二维随机变量(,X Y )在矩形{(,)|02,01}G x y x y =≤≤≤≤上服从均匀分布,试求边长为X 和Y 的矩形面积S 的概率分布密度函数()f s .【解题分析】由题设容易得出随机变量(,X Y )的分布密度,本题相当于求随机变量,X Y 的函数S XY =的分布密度.可先求出其分布函数,再求导得分布密度.在求分布函数时,一定要注意对S 的取值范围进行讨论.解: 由于二维随机变量(,X Y )服从均匀分布,所以,它的概率分布密度函数为1,(,),2(,)0,(,).x y G f x y x y G ⎧∈⎪=⎨⎪∈⎩若若 设(){}F s P S s =≤为S XY =的分布函数,则 当0s ≤时, ()0;F s = 当2s ≥时, () 1.F s =现在，设02,s <<如图10-6所示, 曲线xy s =与矩形G 的上边交于点(,1)s ；图10-6位于曲线xy s =上方的点满足xy s >,位于下方的点满足xy s <,于是(){}{}1{}F s P S s P XY s P XY s =≤=≤=->211111(1ln 2ln ).222s s x xy ssdxdy dx dy s >=-=-=+-⎰⎰⎰⎰于是,1(ln 2ln ),02()20,0 2.s s f s s s ⎧-<<⎪=⎨⎪≤≥⎩若若或6.(2001年数学一)设某班车起点站上车人数X 服从参数为(0)λλ>的泊松分布,每位乘客中途下车的概率为(01)p p <<,且中途下车与否相互独立.以Y 表示在中途下车的人数,求：（1）在发车时有n 个乘客的条件下，中途有m 人下车的概率； （2）二维随机变量(,)X Y 的概率分布.【解题分析】显然，第一问求的是条件概率, 发车时有n 个乘客, 中途有m 人下车的概率,为n 重伯努利概型,可以依此求解.其次，要求二维随机变量(,)X Y 的概率分布,首先确定X Y ，的取值,然后按乘法公式求解.解: (1)设事件A ={发车时有n 个乘客},B ={中途有m 个人下车},则在发车时有n 个乘客的条件下,中途有m 个人下车的概率是一个条件概率,即(|)(|).P B A P Y m X n ===根据n 重伯努利概型,有()(|)1n mm mn P B A C p p -=-，其中0,0,1,2,m n n ≤≤=L .(2)由于(,)()(|)(),P X n Y m P AB P B A P A ====g 而上车人数服从()P λ,因此(),!nP A en λλ-=于是(,)X Y 的概率分布律为()()(,)(1),!nm mn mnP X n Y m P Y m X n P X n C p p e n λλ--=======-g其中0,0,1,2,m n n ≤≤=L .7.(2001年数学三)设随机变量X 和Y 的联合分布在正方形{(,):13,13}G x y x y =≤≤≤≤(如图10-7)上服从均匀分布,试求随机变量||U X Y =-的概率分布密度函数().p u图10-7【解题分析】本题主要考查随机变量函数的分布,可从分布函数出发求解.但是,这里要注意的是随机变量函数带有绝对值.解: 由条件知X 和Y 联合密度为13,13,(,)40,x y f x y ⎧≤≤≤≤⎪=⎨⎪⎩若1其它.以()()()F u P U u u =≤-∞<<∞表示随机变量U 的分布函数,显然,当0u ≤时,()0F u =；当2u ≥时，()1F u =.设02,u <<则||{||}1()(,)4x y ux y u GF u f x y dxdy dxdy -≤-≤==⎰⎰⎰⎰I2211[4(2)]1(2)44u u =--=--, 于是,随机变量U 的分布密度为()1(2)2,()20,U u <u <f u F u ⎧-⎪'==⎨⎪⎩若0其它.8.(2002年数学三、四)假设一设备开机后无故障工作的时间X 服从指数分布，平均无故障工作的时间（()E X ）为5小时，设备定时开机，出现故障时自动关机，而在无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y 的分布函数().F y【解题分析】本题主要考查随机变量函数的分布.首先要找到Y 与X 的关系,然后分情况进行讨论.解: 设X 的分布参数为λ,由于1()5,E X λ==可见15λ=.显然,{}min 2Y X =，.对于0,()0;y F y <=对于2,() 1.y F y ≥=设02,y ≤<有(){}{min{,2}}F y P Y y P X y =≤=≤=5{}1y P X y e-≤=-于是，Y 的分布函数为 50,0,()12,1, 2.y y F y ey y -<⎧⎪⎪=-≤<⎨⎪≥⎪⎩若若0若 求随机变量函数的分布,是概率论中考试的重点,对于求连续型随机变量函数的分布密度,一般从求分布函数出发,结合图形对自变量的取值范围进行讨论,求出分布函数,然后求导即得分布密度.。
考研数学概率统计3多维随机变量
第三讲：多维随机变量及其分布多维随机变量的概念及分类我们把n个随机变量X1，X2，…，X n作为一个整体来考察称为一个n维随机变量或n维随机向量，记为ξ＝(X1，X2，…，X n)，其中X i称为ξ的第i个分量．对于二维随机向量，用ξ＝(X，Y)表示，一般情况下我们只讨论离散型和连续型两大类．1．二维离散型随机向量联合概率分布及边缘分布如果二维随机向量(X，Y)的所有可能取值为至多可列个有序对(x，y)时，则称ξ为离散型随机向量．设ξ＝(X，Y)的所有可能取值为(x i，y i)(i，j＝1，2，…)，且事件{ξ＝(x i，y j)}的概率为p ij，称为ξ＝(X，Y)的分布律或称为X和Y的联合分布律．联合分布有时也用下面的概率分布表来表示：Yy1y2... y i.... p i* Xx1p11p12... p1j (1)x2p21p22... p2j (2)... ... ... ...x i p i1p i2... p ij... p i*... ... .... ...p.j p.1p.2... p.j (1)这里p ij具有下面两个性质：(1)p ij≣0(i，j＝1，2，…)．(2)对于随机向量(X，Y)，称其分量X(或Y)的分布为(X，Y)的关于X(或Y)的边缘分布．上表中的最后一列(或行)给出了X(或Y)的边缘分布．一般来说，当(X，Y)为离散型，并且其联合分布律为P{(X，Y)＝(x i，y j)}＝p ij (i，j＝1，2，…)，则X的边缘分布为Y的边缘分布为例1设二维随机向量(X，Y)共有6个取正概率的点，它们是：(1，－1)，(2，－1)，(2，0)(2，2)，(3，1)，(3，2)，并且(X，Y)取得它们的概率相同，则(X，Y)的联合分布及边缘分布为2．二维连续型随机向量联合分布密度及边缘分布对于二维随机向量ξ＝(X，Y)，如果存在非负函数p(x，y)(－∞＜x＜＋∞，－∞＜y ＜＋∞)，使对任意一个其邻边分别平行于坐标轴的矩形区域D，即D＝{(x，y)|a＜x＜b，c ＜y＜d}有则称ξ为连续型随机向量；并称p(x，y)为ξ＝(X，Y)的分布密度或称为X和Y的联合分布密度．分布密度p(x，y)具有下面两个性质：(1)p(x，y)≣0．(2)一般来说，当(X，Y)为连续型随机向量，并且其联合分布密度为p(x，y)，则X和Y的边缘分布密度为例2设(X，Y)的联合分布密度为试求：(1)常数C. (2)P{0＜X＜1，0＜Y＜2}． (3)X与Y的边缘分布密度p1(x)，p2(y)．解(1)由p(x，y)的性质，有即C＝12．(2)令D＝{(x，y)|0＜x＜1，0＜y＜2}，有(3)先求X的边缘分布：①当x＜0时，p(x，y)＝0，于是②当x≣0时，只有y≣0时，p(x，y)＝12e－(3x＋4y)，于是因此同理两种常见的连续型随机向量的分布．(1)均匀分布设随机向量(X，Y)的分布密度函数为其中S D为区域D的面积，则称(X，Y)服从D上的均匀分布，记为(X，Y)～U(D)．在以后的讨论中，我们经常遇到的区域D有下面8种情况(图3－1～图3－8)：图3－1图3－2 图3－3图3－4 图3－5 图3－6图3－7 图3－8问题试求出上面8种情况下二维均匀分布的边缘分布．以D1为例，其步骤如下．(Ⅰ)先用联立不等式表示区域D1：(Ⅱ)写出联合分布密度函数：由均匀分布的定义，考虑到，因此(Ⅲ)分别求出X与Y的边缘分布，这里分两种情况来讨论X的边缘分布：①当x＜0或x＞1时，p(x，y)≡0，于是②当0≢x≢1时，只有0≢y≢x时，p(x，y)＝2，于是所以同理，可求出Y的边缘分布例3设二维连续型随机变量(X，Y)在区域D上服从均匀分布，其中D＝{(x，y):|x＋y|≢1，|x－y|≢1}，求X的边缘密度p X(x)．解区域D实际上是以(－1，0)，(0，1)，(1，0)，(0，－1)为顶点的正方形区域(见图3－9)，其边长为，面积S D＝2，因此(X，Y)的联合密度是图3－9即(2)正态分布设随机向量(X，Y)的分布密度函数为其中μ1，μ2，σ1＞0，σ2＞0，|ρ |＜1是5个参数，则称(X，Y)服从二维正态分布，记为(X，Y)～N(μ1，μ2，，，ρ )．由边缘密度的计算公式，可以推出二维正态分布的两个边缘分布仍为正态分布，即X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)．3．二维随机向量联合分布函数及其性质设(X，Y)为二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数F(x，y)＝P{X≢x，Y≢y}称为二维随机向量(X，Y)的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数．分布函数是一个以全平面为其定义域，以事件{(ω1，ω2)|－∞＜X(ω1)≢x，－∞＜Y(ω2)≢y}的概率为函数值的一个实值函数．分布函数F(x，y)具有以下的基本性质：(1)0≢F(x，y)≢1．(2)F(x，y)分别对x和y是非减的，即当x2＞x1时，有F(x2，y)≣F(x1，y)；当y2＞y1时，有F(x，y2)≣F(x，y1)．(3)F(x，y)分别对x和y是右连续的，即F(x，y)＝F(x＋0，y)，F(x，y)＝F(x，y＋0)．(4)F(－∞，－∞)＝F(－∞，y)＝F(x，－∞)＝0，F(＋∞，＋∞)＝1．例4设二维随机向量(X，Y)的联合分布函数为求(1)常数C；(2)分布密度p(x，y)．解(1)由性质F(＋∞，＋∞)＝1，得到C＝1．(2)由公式：有故例5设D2是x＝0，y＝0，y＝2x＋1围成的区域，ξ＝(X，Y)在D2上均匀分布，求F(x，y)．答案是：其中区域D1，D2，D3，D4，D5如图3－10所示．图3－10问题 (1)在区域D3内任找一点(x，y)，F(x，y)＝P(X≢x，Y≢y)P((X，Y)∈D)，请将区域D在图3－10中表示出来．(2)如何计算(x，y)∈D i(i＝1，2，3，4，5)的F(x，y)的值？(3)可否使用几何概型计算F(x，y)？4．条件分布当(X，Y)为离散型，并且其联合分布律为P{(X，Y)＝(x i，y j)}＝p ij (i，j＝1，2，…)，则在已知Y＝y j的条件下，X取值的条件分布为在已知X＝x i的条件下，Y取值的条件分布为其中p i，p j分别为X，Y的边缘分布．当(X，Y)为连续型随机向量，并且其联合分布密度为p(x，y)，则在已知Y＝y的条件下，X的条件分布密度为在已知X＝x的条件下，Y的条件分布密度为其中p1(x)＞0，p2(y)＞0分别为X，Y的边缘分布密度．例6设二维随机向量(，)的联合分布为求 (1)X与Y的边缘分布．(2)X关于Y取值y1＝0.4的条件分布．(3)Y关于X取值x2＝5的条件分布．解(1)由公式x i258p i·0.200.420.38y j0.40.8p.j0.800.20(2)计算下面各条件概率：因此，X关于Y取值y1＝0.4的条件分布为x i258p(x i|y1)(3)同样方法求出Y关于X取值x2＝5的条件分布为y i0.40.8p(y j|x2)例7设二维随机向量(X，Y)的联合分布密度为求(1)X与Y的边缘分布密度； (2)条件分布密度．解(1)由公式这里应用了同理，可求得Y的边缘分布密度为(2)在给定Y＝y的条件下，X的条件分布密度为而在给定X＝x的条件下，Y的条件分布密度为随机变量的独立性设X，Y是两个随机变量．若对于任意的a＜b，c＜d，事件{a＜X＜b}与{c＜Y＜d}相互独立，则称随机变量X与Y是相互独立的；否则，称X与Y是相依的．(1)对于离散型随机向量，可以证明：当X，Y的分布律分别为p i．＝P(X＝x i)，i＝1，2，…；p．j＝P(Y＝y j)，j＝1，2，…时，则X与Y相互独立的充要条件是：对一切i，j有P(X＝x i，Y＝y j)＝P(X＝x i)P(Y＝y j)，即p ij＝p i··p·j·(2)对于连续型随机向量，可以证明：当X，Y的分布密度分别是p1(x)，p2(y)时，则X 与Y相互独立的充要条件是：二元函数p1(x)p2(y)为随机向量(X，Y)的联合分布密度p(x，y)，即p(x，y)＝p1(x)p2(y)．(3)对于一般类型随机向量，可以证明：当X，Y的分布函数分别是F1(x)，F2(y)时，则X与Y相互独立的充要条件是：二元函数F1(x)F2(y)为随机向量(X，Y)的联合分布函数F(x，y)，即F(x，y)＝F1(x)F2(y)．例8利用上面的结论(1)，不难验证3．3．1节例1中的X与Y不独立．问题如何根据联合分布p ij特点，直接看出X与Y不独立？例9设随机变量X与Y相互独立，下表列出了二维随机向量(X，Y)联合分布律及关于X和关于Y的边缘分布律中的部分数值，试将其余数值填入下表中的空白处．Yy1y2y3P{X＝x i}＝p i.Xx1x2P{Y＝y j}＝p·j1分析应注意到X与Y相互独立．解由于P(X＝x1，Y＝y1)＝P(Y＝y1)－P(X＝x2，Y＝y1)考虑到X与Y相互独立，有P(X＝x1)P(Y＝y1)＝P(X＝x1，Y＝y1)，所以同理，可以导出其他数值．故XY的联合分布律为Yy1y2y3P{X＝x i}＝p i·Xx1x2P{Y＝y j}＝p·j1例10由3．3．2节结论(2)，不难验证3．3．1节例2中的X与Y是相互独立的．问题判断3．3．1节中给出的8种均匀分布中的X与Y的独立性，由此可以得到什么结论？例11设随机变量X以概率1取值0，而Y是任意的随机变量，证明X与Y相互独立．证X的分布函数为设Y的分布函数为F2(y)，(X，Y)的分布函数为F(x，y)，则当x＜0时，对任意的y有F(x，y)＝P{X≢x，Y≢y}＝P({X≢x}∩{Y≢y})＝P(∩{Y≢y})＝P()＝0＝F1(x)F2(y)．当x≣0时，对任意的y有F(x，y)＝P({X≢x}∩{Y≢y})＝P{Y≢y}＝F2(y)＝F1(x)F2(y)．因此，对任意的x，y均有F(x，y)＝F1(x)F2(y)，即X与Y相互独立．问题这里的X是离散型，还是连续型随机变量？若是离散型，它有几个正概率点？随机变量独立性的几个重要结论．(1)设(X，Y)的分布密度函数为p(x，y)，证明X与Y相互独立的充分必要条件是p(x，y)可分离变量，即p(x，y)＝g(x)·h(y)．证“”必要性．若X与Y相互独立，记它们的分布分别为p1(x)，p2(y)，由独立性，可知p(x，y)＝p1(x)·p2(y)，则取g(x)＝p1(x)，h(y)＝p2(y)即可．“”充分性．若p(x，y)可分离变量，即p(x，y)＝g(x)·h(y)，由于p(x，y)≣0，可知g(x)与h(y)同号，不妨假设它们恒为正．记，由联合分布密度性质：有令则p1(x)≣0，p2(y)≣0，且所以p1(x)，p2(y)分别为X，Y的边缘分布密度，且p(x，y)＝p1(x)p2(y)，因此，X与Y是相互独立的．利用上述方法，不难验证下面的结论：(2)若(X，Y)服从二元正态分布，即(X，Y)～N(μ1，μ2，，，ρ )，则X与Y相互独立的充要条件是：ρ ＝0．(3)若随机变量X与Y相互独立，而f(x)，g(x)为两个连续或分段连续函数时，令ξ＝f(X)，η＝g(Y)，则ξ与η相互独立．例12设(X，Y)的联合分布密度为试证明：(1)X与Y是相依的． (2)X2与Y2是相互独立的．证 (1)先求X的边缘分布密度．当|x|＜1时，有当|x|≣1时，p1(x)＝0，因此同理可见，当|x|＜1，|y|＜1时p(x，y)≠p1(x)·p2(y)，所以X与Y不独立，即是相依的．(2)令ξ＝X2，η＝Y2，其分布函数分别为F1(x)和F2(y)，于是当0≢x＜1时，有因此同理可求得Y2的分布函数如图3－11所示，将O x y平面分成5块区域来讨论，并将(ξ，η)的分布函数记为F3(x，y)，则图3－11①当x＜0或y＜0时，F3(x，y)＝0．②当0≢x＜1，y≣1时，③当0≢y＜1，x≣1时，同理④当0≢x＜1，0≢y＜1时，F3(x，y)＝P(X2≢x，Y2≢y)⑤当x≣1，y≣1时，综合起来得到不难验证，对于所有x，y都有F3(x，y)＝F1(x)·F2(y)，所以ξ与 相互独立，即X2与Y2相互独立．函数的分布1.设ξ＝(X，Y)的联合分布为F(x，y)，由Z＝f(X，Y)确定Z的分布(1)当ξ为离散型时，确定Z的分布设(X，Y)的联合分布律为p ij＝P(X＝x i，Y＝y i) (i，j＝1，2，…)，当(X，Y)取某一可能值(x i，y i)时，Z＝f(X，Y)取值为f(x i，y i)．设Z的一切可能取值为z k(k ＝1，2，…)，令C k＝{(x i，y j)|f(x i，y i)＝z k}，则有例13设(X，Y)的联合分布为Y0 1 2X1求(Ⅰ)Z1＝X＋Y； (Ⅱ)Z2＝X－Y； (Ⅲ)Z3＝XY的分布列．解(Ⅰ)Z1＝X＋Y的正概率点为0，1，2，3．因为{Z1＝0}＝{X＝0，Y＝0}，所以又因为{Z1＝1}＝{X＝0，Y＝1}＋{X＝1，Y＝0}，所以同理故Z1的分布列为z k0 1 2 3p k(Ⅱ)略．(Ⅲ)略．(2)当ξ为连续型时，确定Z的分布设(X，Y)的联合分布密度为p(x，y)，利用一维连续型随机变量函数分布的定义法，分两步完成：(Ⅰ)其中D＝{( x，y)|f(x，y)≢z}．(Ⅱ)下面以和的分布为例给予说明，并导出相应的公式．设随机向量(X，Y)的联合分布密度为p(x，y)，随机变量Z＝X＋Y，求Z的分布密度．下面我们从Z的分布函数出发，导出p Z(z)来(见图3－12)．因为图3－12F Z(z)＝P(Z≢z)＝P(X＋Y≢z)(其中)所以特别，当X和Y相互独立时，有利用上述公式，可以证明：若X～N(μ1，)，Y～N(μ2，)，并且X与Y相互独立，则X＋Y～N(μ1＋μ2，＋)．例14设X和Y是两个相互独立的随机变量，且X～U(0，1)，Y～E(1)，求Z＝X＋Y 的分布密度函数p Z(z)．解由X～U(0，1)，Y～E(1)，有因为X与Y相互独立，所以(X，Y)的联合分布密度函数为要使p(x，y)＞0，即p1(x)＞0，p2(y)＞0，应满足0≢x≢1同时y＞0，考虑到z＝x＋y，于是(3－1) 方法1(分析法)下面分三种情况讨论：(Ⅰ)当z＞1时，式(3－1)合并为0≢x≢1，于是(Ⅱ)当0＜z≢1时，式(3－1)合并为0≢x＜z，于是(Ⅲ)当z≢0时，式(3－1)发生矛盾，因此，p(x，y)＝0，于是故Z的分布密度函数为方法2(图解法，见图3－13)图3－13综上可得z的分布密度函数为例15 设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为而Y的概率密度为f(y)，求随机变量U＝X＋Y的概率密度g(u)．解设F(y)是Y的分布函数，则由全概率公式，知U＝X＋Y的分布函数为G(u)＝P{X＋Y≢u}＝0.3P{X＋Y≢u|X＝1}＋0.7P{X＋Y≢u|X＝2}＝0.3P{Y≢u－1|X＝1}＋0.7P{Y≢u－2|X＝2}．由于X和Y独立，可见G(u)＝0.3P{Y≢u－1}＋0.7P{Y≢u－2}＝0.3F(u－1)＋0.7F(u－2)．由此，得U的概率密度g(u)＝G′(u)＝0.3F′(u－1)＋0.7F′(u－2)＝0.3f(u－1)＋0.7f(u－2)．2．设ξ＝(X，Y)的联合分布为F(x，y)，由Z1＝f1(X，Y)，Z2＝f2(X，Y)，确定二维随机变量η＝(Z1，Z2)例16设(X，Y)的联合分布密度函数为并且求η＝(Z1，Z2)的分布．解由于(X，Y)的联合分布密度p(x，y)可以拆成p1(x)，p2(y)，其中可见X与Y是相互独立的，并且X～E(1)，Y～E(1)．又由于Z1的取值为1，2；Z2的取值为3，4，因此η＝(Z1，Z2)的取值为(1，3)，(1，4)，(2，3)，(2，4)，其概率分布为P(Z1＝1，Z2＝3)＝P(X≢1，Y≢2)＝P(X≢1)·P(Y≢2)＝F1(1)·F2(2)＝(1－e－1)(1－e－2)＝1－e－1－e－2＋e－3，P(Z1＝1，Z2＝4)＝P(X≢1，Y＞2)＝P(X≢1)P(Y＞2)＝F1(1)(1－F2(2))＝(1－e－1)e－2＝e－2－e－3，P(Z1＝2，Z2＝3)＝P(X＞1，Y≢2)＝P(X＞1)·P(Y≢2)＝(1－F2(1))F2(2)＝e－1(1－e2)＝e－1－e－3，P(Z1＝2，Z2＝4)＝P(X＞1，Y＞2)＝P(X＞1)·P(Y＞2)＝(1－F1(1))(1－F2(2))＝e－1·e－2＝e－3．故η＝(Z1，Z2)的分布列为Z2Z1341 21－e－1－e－2＋e－3e－2－e－3 e－1－e－3e－3几个重要结论研究多个独立随机变量函数的分布在数理统计中占有重要的地位，为了讨论有关内容，先引进下面的定义：定义称随机变量X1，X2，…，X n是相互独立的，如果对于任意的a i＜b i(i＝1，2，…，n)，事件{a1＜X1＜b1}，{a2＜X2＜b2}，…，{a n＜X n＜b n}相互独立．此时，若所有的X1，X2，…，X n都有共同的分布，则说X1，X2，…，X n是独立同分布的随机变量．(1)对于独立同N(μ，σ2)分布的随机变量X1，X2，…，X n，可以证明有下面三个重要结论：(Ⅰ)设，则S～N(nμ，nσ2)．(Ⅱ)设，则(Ⅲ)设则U～N(0，1)．(2)设n个随机变量X1，X2，…，X n相互独立，且服从标准正态分布，可以证明它们的平方和的分布密度为我们称随机变量W服从自由度为n的χ2分布，记为W～χ2(n)，其中所谓自由度是指独立正态随机变量的个数，它是随机变量分布中的一个重要参数．χ2分布满足可加性：设则(3)设X，Y是两个相互独立的随机变量，且，可以证明函数的概率密度为我们称随机变量T服从自由度为n的t分布，记为T～t(n)．(4)设X～(n1)，Y～(n2)，且X与Y独立，可以证明的概率密度函数为我们称随机变量F服从第一个自由度为n1，第二个自由度为n2的F分布，记为F～F(n1，n2)．例17设X1，X2，…，X10相互独立同N(0，22)分布，求常数a，b，c，d使Y＝＋b(X2＋X3)2＋c(X4＋X5＋X6)2＋d(X7＋X8＋X9＋X10)2服从分布，并求自由度m．分析若X～N(0，1)，则X2～(1)．现故同理X2＋X3～N(0，2·22)，解由于X i独立同N(0，22)分布，有X1～N(0，4)，X2＋X3～N(0，8)，X4＋X5＋X6～N(0，12)，X7＋X8＋X9＋X10～N(0，16)．因此由分布可加性所以，当时，Y服从自由度为4的分布．例18设随机变量X与Y相互独立同服从N(0，32)分布，x1，x2，…，x9以及y1，y2，…，y9是分别来自总体X，Y的样本，求统计量的分布．解由于x i，y i～N(0，32)，有令则而于是即统计量K服从自由度为9的t分布．例19设随机变量X～t(n)(n＞1)，求的分布解由题设，可知若X1～N(0，1)，X2～(n)．则而这里的～(1)，而X2～(n)，因此练习题依题意，指出以下各题的主要考核内容：3－1设随机变量且P(X1X2＝0)＝1，求P(X1＝X2)．分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿.3－2设某班车起点站上车人数X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0＜p＜1)，并且他们在中途下车与否是相互独立的．用Y表示在中途下车的人数，求：(1)在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率．(2)二维随机向量(X，Y)的概率分布．分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3－3设(X，Y)的联合分布密度为(1)求C．(2)求X，Y的边缘分布．(3)讨论X与Y的独立性．(4)计算P(X＋Y≢1)．分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3－4设求(1)A，B，C的值； (2)p(x，y)； (3)p1(x)，p2(y)．分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3－5设x1，x2，x3，x4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，令X＝a(x1－2x2)2＋b(3x3－4x4)2，则当a＝＿＿，b＝＿＿时，统计量X服从分布，其自由度为＿＿．分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3－6设(1)确定常数A； (2)边缘分布密度； (3)讨论X，Y的独立性．分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3－7 设随机变量X～p1(x)，Y～p2(y)且设p(x，y)＝p1(x)·p2(y)＋h(x，y)，－∞＜x＜＋∞，－∞＜y＜＋∞为二维随机向量ξ＝(X，Y)的联合分布密度，试证：(1)h(x，y)≣－p1(x)p2(y)，－∞＜x＋∞，－∞＜y＜＋∞．(2)分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3－8设平面区域D是由与直线y＝0，x＝1，x＝e2所围成，二维随机向量ξ＝(X，Y)在D上服从均匀分布，求(X，Y)关于X的边缘分布密度在x＝2处的值．分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3－9 设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从N(0，1)和N(1，1)，求P(X＋Y≢1)．(或选择题为(A)(C)(B)(D)分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3－10设随机变量X i(i＝1，2，3，4)相互独立同B(1，0．4)，求行列式的概率分布．分析本题主要考查＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿．3．4 典型例题分析3－1设随机变量且P(X1X2＝0)＝1，求P(X1＝X2)．分析下面给出(X1，X2)的联合分布：X2－101p i·X1－10000100p·j1可见，P{X1＝X2}＝0，因此，答案是0．问题如何由边缘分布确定联合分布．3－2设某班车起点站上车人数X服从参数为λ(λ＞0)的泊松分布，每位乘客在中途下车的概率为p(0＜p＜1)，并且他们在中途下车与否是相互独立的．用Y表示在中途下车的人数，求：(1)在发车时有n个乘客的条件下，中途有m人下车的概率．(2)二维随机向量(X，Y)的概率分布．分析(1)设事件A＝{发车时有n个乘客上车}，B＝{中途有m个人下车}，则在发车时有n个乘客的条件下，中途有m个人下车的概率是一个条件概率，即P(B|A)＝P{Y＝m|X＝n}．根据二项概型，有其中0≢m≢n，n＝0，1，2，…．(2)由乘法公式，我们有P{X＝n，Y＝m}＝P(AB)＝P(B|A)·P(A)．由于上车人数X～P(λ)，因此于是其中0≢m≢n，n＝0，1，2，…．说明 (1)这里的条件分布是在改变样本空间后，利用二项概型求出的．(2)由乘客在中途下车与否是相互独立的，能推出X与Y独立吗？为什么？3－3如图3－14，设(X，Y)的联合分布密度为图3－14(1)求C．(2)求X，Y的边缘分布．(3)讨论X与Y的独立性．(4)计算P(X＋Y≢1)．分析(1)由于即可导出C＝2．(2)当x＜0或x＞1时，p1(x)＝0；当0≢x≢1时，因此同理(3)由于p1(x)·p2(y)≠p(x，y)，故X与Y不独立．(4)问题本题可否使用几何概型计算P(X＋Y≢1)？3－4设求(1)A，B，C的值； (2)p(x，y)； (3)p1(x)，p2(y)．分析(1)由可导出(2)(3)由p(x，y)＝f1(x)·f2(y)，其中考虑到故3－5设x1，x2，x3，x4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，令X＝a(x1－2x2)2＋b(3x3－4x4)2，则当a＝＿＿，b＝＿＿时，统计量X服从x2分布，其自由度为＿＿．分析本题中，如果X服从x2分布，则自由度为2，并且要求与相互独立且均服从标准正态分布N(0，1)．由于x1，x2，x3，x4相互独立，因此与也相互独立．由于并且因此3－6 设试求解：(1)确定常数A； (2)边缘分布密度； (3)讨论X，Y的独立性．分析(1)由即(2)由，分情况讨论：当x＜0或x＞2时，当0≢x≢2时，所以同理，可求出(3)由于p1(x)·p2(y)＝p(x，y)，因此，X与Y相互独立．说明本题也可以使用其他方法讨论．由于p(x，y)可以拆成f1(x)·f2(y)，其中由故同理b＝3．因此这时p(x，y)＝p1(x)·p2(y)，其中可见，X与Y是相互独立的．3－7设随机变量X～p1(x)，Y～p2(y)且设p(x，y)＝p1(x)·p2(y)＋h(x，y)，－∞＜x＜＋∞，－∞＜y＜＋∞为二维随机向量ξ＝(X，Y)的联合分布密度，试证：(1)h(x，y)≣－p1(x)p2(y)，－∞＜x2＋∞，－∞＜y＜＋∞．(2)分析(1)由p(x，y)的性质：p(x，y)≣0，有p1(x)·p2(y)＋h(x，y)≣0，即h(x，y)≣－p1(x)·p2(y)，－∞＜x＜＋∞，－∞＜y＜＋∞．(2)由于，有于是有3－8设平面区域D是由与直线y＝0，x＝1，x＝e2所围成(如图3－15)，二维随机向量ξ＝(X，Y)在D上服从均匀分布，求(X，Y)关于X的边缘分布密度在x＝2处的值．图3－15分析区域D的面积为由题设可知，(X，Y)的概率密度为(X，Y)关于X的边缘密度为(1)当x＞e2或x＜1时，(2)当1≢x≢e2时，有于是故问题本题可否直接求出，即3－9设两个相互独立的随机变量X与Y分别服从N(0，1)和N(1，1)，求P(X＋Y≢1)．(或选择题为(A)(B)(C)(D)分析令Z＝X＋Y～N(1，2)，则3－10设随机变量X i(i＝1，2，3，4)相互独立同B(1，0.4)，求行列式的概率分布．分析记Y1＝X1X4，Y2＝X2X3，则X＝Y1－Y2，且Y1和Y2独立同分布：P(Y1＝1)＝P(Y2＝1)＝P(X2＝1，X3＝1)＝P(X2＝1)·P(X3＝1)＝0.16，P(Y1＝0)＝P(Y2＝0)＝1－0.16＝0.84，即Y i～B(1，0.16) (i＝1.2)．随机变量X＝Y1－Y2有三个可能值：－1，0，1．P(X＝－1)＝P(Y1＝0，Y2＝1)＝0.84×0.16＝0.1344，P(X＝1)＝P(Y1＝1，Y2＝0)＝0.16×0.84＝0.1344，P(X＝0)＝1－2×0.1344＝0.7312．于是，行列式X的概率分布为。
概率论与数理统计 多维随机变量及其分布习题答案
A e2xdx e3y dy
0
0
A(
1
e2x
)
(
1
e3 y
)
2 03 0
=A/6 =1
所以, A=6
P{ X<2, Y<1} f(x, y)dxdy {X2,Y1}
2
dx
1 6e(2x3 y)dy
0
0
6 2 e2xdx 1e3ydy
0
0
Y
1
{X<2, Y<1} 0
(1 e4 )(1 e3 )
令:从表中的每一种情况出现的次数计算出
它们的频率,就产生了二维随机向量(X,Y)的 概率分布:
P{X=0,Y=0}≈3/23000=0.00013,
P{X=1,Y=0}≈1/23000=0.00004,
P{X=0,Y=1}≈4597/23000=0.19987, P{X=1,Y=1}≈18399/23000=0.79996.
所以( X ,Y ) 的分布函数为
0, x 1 或 y 1,
F
(
x,
y)
1 3
,
1 x 2, y 2, 或 x 2,1 y 2,
1, x 2, y 2.
例3 二维随机向量(X,Y)的联合概率分布为:
XY 0 1
2
-1 0.05 0.1 0.1
0
0.1 0.2 0.1
1
a 0.2 0.05
1, 3
故 ( X , Y ) 的分布律为
YX
12
1
0 13
2
13 13
下面求分布函数.
(1)当 x 1 或 y 1 时, y
F ( x, y) P{X x,Y y} 2(1,2)
多维随机变量及其分布习题答案
第3章 多维随机变量及其分布习题参考答案3.1 二维离散型随机变量习题答案 1. 解：()1 在有放回抽样情形下(),X Y 的可能取值为()()()()0,0,0,1,1,01,1，则(),X Y 的联合分布律为()1110,05525P X Y ===⨯=，()1440,15525P X Y ===⨯= ()4141,05525P X Y ===⨯=，()44161,15525P X Y ===⨯=即(),X Y 的联合分布律为：()2 在不放回抽样的情形下(),X Y 的可能取值为()()()0,1,1,01,1，则(),X Y 的联合分布律为()1410,1545P X Y ===⨯=，()4111,0545P X Y ===⨯= ()4331,1545P X Y ===⨯=即(),X Y 的联合分布律为：2. 解：()1 由(),X Y 的联合分布律的性质：111iji j p+∞+∞===∑∑可知0.070.180.150.080.201a +++++=， 0.32a =得()()()()(2)0,11,11,0P X Y P X Y P X Y P X Y >===-+==-+==0.070.080.32=++0.47=()3X 的可能取值为0，1，则(),X Y 关于X 的边缘分布律为00.070.180.150.40p =++=，10.080.320.200.60p =++= 即Y 的可能取值为1-，0，1，则(),X Y 关于Y 的边缘分布律为10.070.080.15p -=+=，00.180.320.50p =+=，10.150.200.35p =+= 即j()4X 与Y 不独立. 因为()()()0,10.07010.400.150.06P X Y P X P Y ==-=≠==-=⨯=， 由定理3.1可知X 与Y 不独立. 3. 解：由题意知，()2,0.2XB ，()2,0.5Y B ，则由X 与Y 独立可知()()(),P X i Y j P X i P Y j ===== ()()()()22220.20.80.50.5iij jij C C --=，,0,1,2i j =. 即(),X Y 的联合分布律为4. 解：关于X 的边缘分布律为关于的边缘分布律为j由和Y 相互独立，得()()()()()()1111,2129391111,31318318P X Y P X P Y a P X Y P X P Y b ⎧⎛⎫=======⋅+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=======⋅+ ⎪⎪⎝⎭⎩ 所以 29a =，19b =. 3.2 二维连续型随机变量习题答案1. 解：()1 由二维联合分布函数的性质得：()()()()(),arctan 02,arctan 02,122F x A B x C F y A B C y F A B C ππππ⎧⎛⎫-∞=+-= ⎪⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫-∞=-+=⎨ ⎪⎝⎭⎪⎪⎛⎫⎛⎫+∞+∞=++=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩解三个方程得212A B C ππ⎧=⎪⎪⎨⎪==⎪⎩.()2 由二维联合密度函数的性质得：当,x y -∞<<+∞时,()()2,,F x y f x y x y ∂=∂∂221111A x y ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭()()222111x y π=++. ()3 关于X 的边缘分布函数为()()(),lim ,X y F x F x F x y →+∞=+∞=21arctan 222x ππππ⎛⎫⎛⎫=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1arctan 2x ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， x -∞<<+∞ 关于Y 的边缘分布函数为()()()21,lim ,arctan 222Y x F y F y F x y y ππππ→+∞⎛⎫⎛⎫=+∞==++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭1arctan 2y ππ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭， y -∞<<+∞ 2. 解：()1 由联合密度函数的规范性得： ()()3201,x y f x y dxdy ke dxdy +∞+∞+∞+∞-+-∞-∞==⎰⎰⎰⎰，即3201x y ke dx e dy +∞+∞--=⎰⎰，由定积分的知识得：16k=，即6k = ()2()()()320,6x y xx yP X Y f x y dxdy dx e dy +∞+∞-+≤≤==⎰⎰⎰⎰3206x y xe dx e dy +∞+∞--=⎰⎰50335x e dx +∞-==⎰. ()3X 与Y 相互独立.关于X 的边缘密度函数为()()()3206,0,0,x y X edy x f x f x y dy +∞-++∞-∞⎧>⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他33,00,x e x -⎧>=⎨⎩其他 关于Y 的边缘密度函数为()()()32206,02,0,0,0,x y y Y edx y e y f y f x y dx +∞-+-+∞-∞⎧⎧>>⎪===⎨⎨⎩⎪⎩⎰⎰其他 其他 因为()()(),X Y f x y f x f y =对一切实数成立，所以X 与Y 相互独立. 3. 解：()1 由联合密度函数的规范性得：()1,f x y dxdy +∞+∞-∞-∞=⎰⎰1220013A x x dxdy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰1220013A x x dx dy ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭⎰⎰A =, 即 1A =.()2 关于X 的边缘密度函数为 ()(),X f x f x y dy +∞-∞=⎰2201,0130,x x dy x ⎧⎛⎫+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⎩⎰ 其他212,0130,x x x ⎧⎛⎫+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⎩其他 ()()2(3)2,x y P X Y f x y dxdy+<+<=⎰⎰1212320001522333336x x x dx dy x x x dx -⎛⎫⎛⎫=+=-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰⎰()()(4),Y f y f x y dx +∞-∞=⎰1201,0230,x x dx y ⎧⎛⎫+≤≤⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪⎩⎰ 其他1,0220,y ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 其他 因为()()(),X Y f x y f x f y =对一切实数成立，所以X 与Y 相互独立.4. 解：由题意知X 与Y 的密度函数分别为()X f x 1,0220,x ⎧≤≤⎪=⎨⎪⎩ 其他， ()Y f y 22,00,y e y -⎧>=⎨⎩ 其他()1 由于X 与Y 相互独立，则()()(),X Y f x y f x f y =2,02,00,y e x y -⎧≤≤>=⎨⎩ 其他()()()4222200013(2),1.24xyxy xe P Y Xf x y dxdy dx edy e dx ---≤+≤===-=⎰⎰⎰⎰⎰()()()42222203,2.4yyyy xe P Y Xf x y dxdy edy dx ey dy ---≤+≤===-=⎰⎰⎰⎰⎰或3.6 两个随机变量函数的分布习题答案1. 解()11Z 为离散型随机变量，其可能的取值是2-，1-，0，1，2，则()()()14221,120P Z P X Y P X Y =-=+=-==-=-=()()()13111,020P Z P X Y P X Y =-=+=-==-==()()()()14001,11,120P Z P X Y P X Y P X Y ==+===-=+==-=()()()()16111,21,020P Z P X Y P X Y P X Y ==+===-=+=== ()()()12221,120P Z P X Y P X Y ==+===== ()()()11331,220P Z P X Y P X Y ==+===== 即1Z 的分布律()2 2Z 为离散型随机变量，其可能的取值是2-，1-，0，1，2，则2Z 的分布律是()()()26221,220P Z P XY P X Y =-==-==-==()()()()2111,11,120P Z P XY P X Y P X Y =-==-==-=+==-= ()()()()23001,01,020P Z P XY P X Y P X Y =====-=+===()()()()26111,11,120P Z P XY P X Y P X Y =====-=-+=== ()()()21221,220P Z P XY P X Y ======= 即2Z 的分布律()3 3Z 为离散型随机变量，其可能的取值是1-，0，1，2，则(){}()()341max ,11,120P Z P X Y P X Y =-==-==-=-= (){}()()330max ,01,020P Z P X Y P X Y =====-==()()()()()311,11,11,01,1P Z P X Y P X Y P X Y P X Y ===-=+==-+==+== 620=(){}()()()372max ,21,21,220P Z P X Y P X Y P X Y =====-=+===即3Z 的分布律()44Z 为离散型随机变量，其可能的取值是1-，0，1，则4Z 的分布律是(){}()()()41min ,11,11,0P Z P X Y P X Y P X Y =-==-==-=-+==()()()1,11,21,120P X Y P X Y P X Y +=-=+=-=+==-=(){}()()40min ,01,00P Z P X Y P X Y =======(){}()()()431min ,11,11,220P Z P X Y P X Y P X Y ======+===即4Z 的分布律2. ()1 C()2解：令Z X Y =+，则Z 的可能取值为2-，0，2，则Z 的分布律是()()()()()1221,1114P Z P X Y P X Y P X P Y =-=+=-==-=-==-=-=()()()()001,11,1P Z P X Y P X Y P X Y ==+===-=+==-()()()()111112P X P Y P X P Y ==-=+==-=()()()()()1221,1114P Z P X Y P X Y P X P Y ==+========即Z 的分布律3. 解：由题意知1X 与2X 的密度函数和分布函数分别为()X f x 1,010,x ≤≤⎧=⎨⎩ 其他 ， ()X F x 0,0,011,1x x x x <⎧⎪=≤≤⎨⎪>⎩则Y 的分布函数为()Y F y ()()()()1212max ,,P Y y P X X y P X y X y =≤=≤=≤≤()()()()()12212X X X P X y P X y F y F y F y =≤≤==则Y 的密度函数为()()Y Y dF y f y dy =()()2X X f y F y =2,010,y y ≤≤⎧=⎨⎩其他 则Z 的分布函数为()()()()12min ,Z F z P Z z P X X z =≤=≤()()121min ,P X X z =->()121,P X z X z =->>()()121P X z P X z =->>()()()()()()12211111X X X F z F z F z =---=--则Z 的密度函数为()()Z Z dF z f z dz =()()()21X X f z F z =-()21,010,z z -≤≤⎧⎪=⎨⎪⎩其他 4. 解：由X 和Y 相互独立可知()()()()()33()033z x tzxz t Z X Y Y Y f z f x f z x dx ef z x dxe f t dt-=+∞+∞----∞-∞=-=-=⎰⎰⎰令()1 当0z ≤时，()0Z f z =;()2 当0z >时，()33233003266(1).zzz t t z t z z Z f z e e dt e e dt e e -+---=⋅==-⎰⎰综上所述，Z 的密度函数为 ()Z f z ()236,00,z ze e z --⎧->⎪=⎨⎪⎩ 其他第3章 多维随机变量及其分布复习题答案 1. 解：()1由X 和Y 相互独立可知()()(),P X i Y j P X i P Y j =====，i =1，2，3; 0j =，1，2.则X 和Y 的联合概率分布为()2()()313P X Y P X Y +≠=-+=()()()()11,22,13,0P X Y P X Y P X Y =-==+==+==111951124412248⎛⎫=-++=-=⎪⎝⎭. 2. 解：由二维联合概率分布律及其性质可知：0.40.11a b +++=，即0.5a b += ()* ()00.4P X a ==+， ()1P Y =0.1a =+()()10,1P X Y P X Y +====()1,00.5P X Y a b +===+=则由随机事件{0}X =与{1}X Y +=相互独立可得：()()()01P X X Y =⋂+=()1P Y ==0.1a =+()()01P X P X Y ==+=()()()0.40.50.4a a b a =++=+,即 0.10.5(0.4),a a +=+可得：0.2a =，再有()*式得：0.3b =. 3. 解：由题意可知(),X Y 的可能取值为()0,0，()0,1，()1,0，()1,1， 则(),X Y 的联合分布律为()0,0P X Y ==()()P A B P A B ==⋃()1P A B =-⋃()()()()1P A P B P AB =-+-1111211461233⎛⎫=-+-=-= ⎪⎝⎭()0,1P X Y ==()()()P AB P B P AB ==-11161212=-= ()()()()1,0P X Y P AB P A P AB ====-()()11,112P X Y P AB ====4. 解：由题意知Y 的密度函数为(),00,y Y e y f y -⎧>=⎨⎩ 其他，()12,X X 的可能取值为()0,0，()0,1，()1,0，()1,1，则()12,X X 的联合分布律为()()120,01,2P X X P Y Y ===≤≤()1P Y =≤1101y e dy e --==-⎰ ()()()120,11,20P X X P Y Y P φ===≤>==()()()2121211,01,212y P X X P Y Y P Y e dy e e ---===>≤=<≤==-⎰()()()21221,11,22y P X X P Y Y P Y e dy e +∞--===>>=>==⎰，即：5. 解：()1由题意记区域G 的面积为()A G ,则()()1216A G x x dx =-=⎰，所以()()()6,,,0,,x y Gf x y x y G∈⎧⎪=⎨∉⎪⎩()2 关于X 的边缘密度函数为()()22666,01,0,xx X dy x x x f x f x y dy +∞-∞⎧=-≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他关于Y 的边缘密度函数为()())6,01,0,y Y dx y y f y f x y dx +∞-∞⎧=≤≤⎪==⎨⎪⎩⎰其他()3 不独立. 因为当01,01x y ≤≤≤≤时()()(),X Y f x y f x f y ≠.6. 解：()1关于X 的边缘密度函数为()()2012,01,0,xX dy x x f x f x y dy +∞-∞⎧=<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他关于Y 的边缘密度函数为()()1211,022,0,yY y dx y f y f x y dx +∞-∞⎧=-<<⎪==⎨⎪⎩⎰⎰其他 ()2()112211,,22P X Y f x y dxdy -∞-∞⎛⎫<<= ⎪⎝⎭⎰⎰ 111222002131(1).216y dy dx y dy ==-=⎰⎰⎰。
【学习】第三章多维随机变量
fX(x)f(x,y)dy,
fY(y)f(x,y)dx
结 束
19
例1: 设 (X, Y) 的分布函数为：
F (x ,y ) a ( b arx ) c c (a ta ry n ) c,( t a x ,y n ) ,
2
2
试求 (1) a 、 b、c , (2) (X, Y ) 的概率密度.
x2 … xi … p21 … pi 1 … ┇…┇…
yj p1 j p2 j … pi j … ┇ ┇ ┇ …┇ …
( X, Y ) 的分布律的性质: (1) 非负性 pi j 0,
(2) 归一性 pi j 1
ij
结 束
10
( X, Y ) 的分布律
P {X x i,Y yj} p ij,i,j 1 ,2 ,
第三章 多维随机变量及其分布
结 束
1
到现在为止，我们只讨论了一维随机变量及其分布. 但有些随机现象用一个随机变量来描述还不够，而 需要用几个随机变量来描述.
如: 在打靶时, 命中点的位置是由 一对随机变量(两个坐标)来确定的.
飞机的重心在空中的位置是由 三个随机变量(三个坐标）来确定 的等等.
因而需进一步讨论由多个随机变量构成的随机向量. 其处理思路及方法与一维情形相同, 但形式较一维 复杂; 学习时应注意与一维情形的对照.
D的可能取值 为1, 2, 3, 4; F 的可能取值 为0, 1, 2 ;
再确定取值的概率,如: P{D1,F0}P{N1} 1/ 6,
P{D2,F1} P ( { N 2 }{ N 3 }{ N 5 } 3 / 6
等等.
可得D 和 F 的 联合分布律及 边缘分布律为:
FD 1 2 0 1/6 0 1 0 3/6
《多维随机变量》课件
在概率论和统计学中，多维随机变量 通常用于描述多个实验的结果，如掷 骰子、抽样调查等。
多维随机变量的性质
独立性
如果两个多维随机变量相互独立 ，则它们的联合概率分布等于它 们各自概率分布的乘积。
联合概率分布
描述多维随机变量取值概率的函 数，其形式与单维概率分布类似 ，但涉及多个随机变量。
边缘概率分布
射实现智能决策和优化。
THANKS
感谢观看
在金融工程中的应用
投资组合优化
多维随机变量用于描述多种资产的价格波动，通过建立数 学模型和算法，实现投资组合的优化配置和风险管理。
风险管理
在金融风险管理中，多维随机变量用于描述多种风险的联 合分布，如市场风险、信用风险和操作风险的联合分布， 有助于更全面地评估和管理风险。
衍生品定价
多维随机变量在衍生品定价中用于描述多个相关资产的联 合变动，如期权定价模型、期货定价模型等。
多维随机变量
目 录
• 引言 • 多维随机变量的基础概念 • 多维随机变量的分布 • 多维随机变量的函数 • 多维随机变量的运算 • 多维随机变量的应用
01
引言
课程背景
概率论是数学的一个重要分支，它研究随机现象和随机事件 的规律性。多维随机变量是概率论中的一个重要概念，它描 述了多个随机变量的联合概率分布。
计算方法
可以通过条件概率密度函数或条件概率质量函数进行计算。
04
多维随机变量的函数
多维随机变量的函数定义
定义
多维随机变量是定义在样本空间上的一个向 量，其每个分量都是一个随机变量。
描述
多维随机变量通常用于描述多个相关事件的概率分 布，例如在统计学、概率论、金融等领域中经常用 到。