第1课时菱形及其性质

第一章特殊平行四边形

1菱形的性质与判定

第1课时菱形及其性质

1.菱形具有而平行四边形不具有的性质是()

A．两组对边分别平行B．两组对角分别相等

C．对角线互相平分D．对角线互相垂直

图1

2．若菱形的一条边长为4 cm，则这个菱形的周长为()

A．20 cm B．18 cm C．16 cm D．12 cm

3．②如图1，在菱形ABCD中，已知∠ABD＝20°，则∠C的大小是________度．4．已知菱形ABCD的对角线AC，BD的长分别是6和8，求这个菱形的边长．

5．已知菱形的边长是2 cm，一条对角线的长也是2 cm，则另一条对角线的长是()

A．4 cm B．2 3 cm

C．3 cm D. 3 cm

6．如图3所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是(3，4)，则顶点M，N的坐标分别是()

图3

A．(5，0)，(8，4) B．(4，0)，(8，4) C．(5，0)，(7，4) D．(4，0)，(7，4)

7．2017·高密市二模如图4，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BD＝6，AC＝8，直线OE⊥AB交CD于点F，垂足为E，则AE的长为()

图4

A．4 B．4.8 C．2.4 D．3.2

8．2017·东安县模拟如图5，菱形ABCD中，∠DAB＝60°，DF⊥AB于点E，且DF ＝DC，连接FC，则∠DCF的度数为________度．

图5

9．如图6，在菱形ABCD中，∠ADC＝72°，AD的垂直平分线交对角线BD于点P，垂足为E，连接CP，求∠CPB的度数．

图6

10.如图7，在周长为12的菱形ABCD中，AE＝1，AF＝2，若P为对角线BD上一动点，则EP＋FP的最小值为()

A．1 B．2 C．3 D．4

图7

11．如图8，菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为BC的中点，在对角线AC上存在一点P，使△PBE的周长最小，则△PBE的周长的最小值为________．

图8

12．如图9，在菱形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥AC交CB的延长线于点F.求证：AB与EF互相平分．

图9

13．如图10，已知点A从点(1，0)出发，以1个单位长度/秒的速度沿x轴向正方向运动，以O，A为顶点作菱形OABC，使点B，C在第一象限内，且∠AOC＝60°，点P的坐标为(0，3)，设点A运动了t秒，求：

(1)点C的坐标(用含t的代数式表示)；

(2)点A在运动过程中，当t为何值时，可使得△OCP为等腰三角形？

图10

14．如图11，在菱形ABCD中，F为边BC的中点，DF与对角线AC交于点M，过点M作ME⊥CD于点E，∠1＝∠2.

(1)若CE＝1，求BC的长；

(2)求证：AM＝DF＋ME.

图11

15．如图12，在菱形ABCD中，∠A＝60°，AD＝8，F是AB的中点．过点F作FE⊥AD，垂足为E.将△AEF沿点A到点B的方向平移，得到△A′E′F′.设P，P′分别是EF，E′F′的中点，当点A′与点B重合时，四边形PP′CD的面积为()

图12

A．28 3 B．24 3 C．32 3 D．323－8

16．如图13所示，在边长为1的菱形ABCD中，∠DAB＝60°，连接对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使∠D1AC＝60°；连接AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使∠D2AC1＝60°；….按此规律所作的第2018个菱形的边长为________．

图13

1．D

2．C 3．140

4．解：根据题意，设对角线AC ，BD 相交于点O ，则由菱形对角线的性质，知AO ＝

1

2

AC ＝3，BO ＝1

2

BD ＝4，且AO ⊥BO ，∴AB ＝AO 2＋BO 2＝5.

5．B 6．A 7．D 8．45

9．解：连接P A ，如图所示．

∵四边形ABCD 是菱形，

∴∠ADP ＝∠CDP ＝1

2∠ADC ＝36°，BD 所在直线是菱形ABCD 的对称轴，∴P A ＝

PC .∵AD 的垂直平分线交对角线BD 于点P ，∴P A ＝PD ，

∴PD ＝PC ，∴∠PCD ＝∠CDP ＝36°， ∴∠CPB ＝∠PCD ＋∠CDP ＝72°. 10．C 11.3＋1

12．证明：连接BD ，AF ，BE ，在菱形ABCD 中，AC ⊥BD .∵EF ⊥AC ，∴EF ∥BD .又∵AD ∥BC ，∴四边形EDBF 是平行四边形．∴DE ＝BF .∵E 为AD 的中点，∴AE ＝DE ，∴AE ＝BF .又∵AE ∥BF ，∴四边形AEBF 为平行四边形，∴AB 与EF 互相平分．

13．解：(1)过点C 作CH ⊥x 轴于点H ， 根据题意，得OA ＝t ＋1.

∵四边形OABC 是菱形， ∴OC ＝OA ＝t ＋1. ∵∠AOC ＝60°，

∴OH ＝12OC ＝12(t ＋1)，CH ＝3

2(t ＋1)，

∴点C 的坐标为(t ＋12，3t ＋3

2)．

(2)①当O 为等腰三角形顶点时，OC ＝OP ， ∴t ＋1＝3，∴t ＝2；

②当C 为等腰三角形OCP 的顶点时，PC ＝OC ，则CH ＝12OP ＝32，即32(t ＋1)＝3

2，

解得t ＝3－1；

③当P 为等腰三角形OCP 的 顶点时，OP ＝PC ，∠POC ＝30°，∴OC ＝33，∴1＋t ＝33，

∴t ＝33－1.

综上可知，当t ＝3－1或2或33－1时，可使得△OCP 为等腰三角形． 14．解：(1)∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ∥CD ，BC ＝CD ，∴∠1＝∠ACD . 又∵∠1＝∠2，∴∠ACD ＝∠2，∴MC ＝MD . 又∵ME ⊥CD ，∴CE ＝ED ＝1

2CD ，

∴BC ＝CD ＝2CE ＝2.

(2)证明：如图，延长DF ，AB 交于点N .