2015年高考排列组合专题之染色问题

历年高考复习难点解析排列组合专题之染色问题

【引例】

引例1.在一个正六边形的6个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种

同一种植物，相邻的两块种不同的植物.现有四种不同的植物可供选择，则有

________ 种栽种方案.

引例2.某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分为6个部分（如图），现要栽

种4种不同颜色的花，每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花，不

同的栽种方法有_____ 种.（以数字作答）

【分析】首先栽种第1部分，有c4种栽种方法;

然后问题就转化为用余下3种颜色的花，去栽种周围的5个部分（如右图所

示）,

此问题和引例1是同一题型，因此我们有必要对这一题型的解法做一深入探讨。

【剖析】

为了深入探讨这一题型的解法，

（1）让我们首先用m （m>3）种不同的颜色（可供选择），去涂4个扇形的情形（要求每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色）以1和3 （相间）涂色相

，如图所示

同与否为分类标准：

①1和3涂同一种颜色，有m种涂法；2有m-1种涂法,4也有m-1种涂法,

???共有m “(m -1)'(m —1)种涂

法。

②1和3涂不同种颜色，有A种涂法;2有m-2种涂法，4也有m-2种涂法,

二共有A m 5-2）（m-2）种涂法。

综合①和②，共有m (m -1) (m -1)+ A m，(m —2) (m — 2) = m4 -4m3 +6m2 -3m 种涂法。

（2）下面来分析引例1

以A、C、E （相间）栽种植物情况作为分类标准：

①A、C、E栽种同一种植物，有4种栽法；B、D、F各有3种栽法, ???共

有4X3X3X3 = 108种栽法。

②A、c、E栽种两种植物，有C4C2A；种栽法（c2是4种植物中选出2

种，C；是A、C、E3个区域中选出2个区域栽种同一种植物，A是

选出的2种植物排列），B、D、F共有3X2X2种栽法（注：若A、C栽种同一种植物，则

B有

3种栽法，D、F各有2种栽法），

二共有C：C；A2X 3X 2X 2 = 432种

栽法。

③A、C、E栽种3种植物，有A种栽法；B、D、F各有2种栽法,

情形，这是不符合题意的，因此，答案应从 3天24中减去这些不符合题意的栽种方法。 这时,把2与6看作一个扇形，其涂色方法相当于用 3种颜色的花对4个扇形区域栽种（这种转换 思维相当巧妙）。而用3种颜色的花对4个扇形区域的栽种问题，已在上述的（1）中解决了。

综合①和②，共有 c 4 QX?

4 —(C 3X 2X2+A 2XIXI )]=4X(48 —18) =4天 30 = 120种栽

法。

（当然此式中的 C 3X 2X2+A 3'X 1X 1 =18也可以直接用（1）中的公式算出：即二共有A X2 X2 X2= 192种栽法。 综合①、②、③，共有 108+432+192=732种栽法。

（3） 上述 ⑴、（2）给出了 设一个圆分成P I , P 2,…，Pn ,共n （n 为偶数）个扇形，用 m 种不同的颜色对这 n 个扇形着色（m>3, n 》3）,每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着 不同颜色，共有多少种不同的着色方法 ”这类问题的一般解题思路：即以相间扇形区 域的涂色情况作为分类标准，再计算其余相间扇形区域的涂色种数。 （4） 那么， 设一个圆分成P I , P 2,…，Pn ,共n （n 为奇数）个扇形，用 m 种不同的颜色 对这n 个扇形着色（m ^3, n >3）,每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共 有多少种不同的着色方法 ”这类问题的解题思路又如何呢？

【分析】 对扇形 扇形 扇形 P I 有m 种涂色方法，

P 2有m — 1种涂色方法， P 3也有m — 1种涂色方法,

扇形P n 也有m — 1种涂色方法. 于是，共有m ，（m-1）n 」种不同的涂色方法。但是，这种涂色方法可能出现

P l 与P n 着色相 同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从m ，（m-1）n "中减去这些不符合题意的涂色 方法。那么，这些不符合题意的涂色方法， 又怎样计算呢？这时， 把P I 与P n 看作一个扇形， 其涂色方法相当于用 m 种颜色对n —1（n — 1为偶数）个扇形涂色（这种转换思维相当巧妙）。 而用m 种颜色对偶数个扇形的涂色问题，已在上述的（3）中给出了解题思路。

下面，就让我们把这种解题思路应用于 引例2. 【分析】

①首先栽种第1部分，有c 4种栽种方法;

②然后问题就转化为用余下 3种颜色的花,

所示）， 对扇形 扇形 扇形 扇形 扇形 去栽种周围的 5个部分 （如右图 2有3种栽种方法，

3有2种栽种方法， 4也有2种栽种方法,

5也有2种栽种方法, 6也有2种栽种方法.

于是，共有 3?种不同的栽种方法。但是, 这种栽种方法可能出现区域 2与6着色相同的

【迁移练习】 1. 某城市在中心广场建造一

个花圃，花圃分为

种一种且相邻部分不能栽种同

样颜色的花，现有 则不同的

栽种方法有 的栽种方法有 种.(以数字作答) 解析：5种颜色全用有以下几种情况： 52相同。53相同。46相同。36相同。

相同

然后全排列 A55

所以 5*A55=600

2. 在一个正六边形的 6个区域栽种观赏植物，如右图，要求同一块中种同一种

植物，相邻的两块种不同的植物. 现有四种不同的植物可供选择， 则有 ______

m 4 -4m 3+6m 2 -3m = 34 -4X 33 +6X 32 -3X 3 = 18).

【拓展】上面，我们分别就 n 为偶数和奇数给出了 设一个圆分成P 1, P 2,…，Pn ,共n 个 扇形，用m 种不同的颜色对这 n 个扇形着色(m>3, n >3,每一个扇形着一种颜色，相邻 扇形着不同颜色，共有多少种不同的着色方法 ”这类问题的解题思路。

那么，这类问题有没有更为一般的解法(即通法)呢？ ( n 为不小于3的整数) 【分析】设a n 为符合要求的对n 个扇形的涂色方法。

对扇形P i 有m 种涂色方法， 扇形P 2有m — 1种涂色方法， 扇

形P s 也有m - 1种涂色方法, 扇形P n 也有m — 1种涂色方法. 于是，共有 m (m —1)2种不同的涂色方法。但是， a^ m ?(m —1)n '，因为这种涂色方 法可能出现P i 与P n 着色相同的情形，这是不符合题意的，因此，答案应从 m ■(□ — 1)2 中 减去这些不符合题意的涂色方法。 那么，这些不符合题意的涂色方法， 又怎样计算呢？这时, 把P 1与P n 看作一个扇形，其涂色方法相当于用 m 种颜色对n - 1个扇形涂色(这种转换思 维相当巧妙)，不同的涂色方法有 a n _,种，于是，有 a n = m (m -1)n ^ — a n (n >3),①. 显然，a s = m(m — 1)(m -2).

上述的式①就是数列的递推公式，由此，我们就可以推导出 a n 的通项公式: a n =(m —1)n +(-1)n (m-1)(n>3). 至此，我们就找到了 设一个圆分成P 1, P 2,…，Pn ,共n 个扇形，用m 种不同的颜色对这 n 个扇形

着色(m >3, n >3 ,每一个扇形着一种颜色，相邻扇形着不同颜色，共有多少种不 同的着色方法”这类问题的通项公式：即 a n

= (m —1)n +(—1)n (m-1)(n>3). 【注意】上述问题中的 m 种颜色是可供选择的, 而不是全部都要用上的。

6个部分(如图)，每部分栽 5种不同颜色的花可供选择， 种；若要求5种不同颜色的花全部栽种，则不同

.种栽种方

若要求四种不同的植物全部栽种，则有种栽种方案. 【答案】1. 1200, 600; 2. 732, 480。