第11讲：古典概型(教师版)

古典概型

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1.根据本节课的内容和学生的实际水平,通过模拟试验让学生理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果出现的等可能性,观察类比各个试验,正确理解古典概型的两大特点；树立从具体到抽象、从特殊到一般的辩证唯物主义观点,培养学生用随机的观点来理性地理解世界,使得学生在体会概率意义

2.鼓励学生通过观察、类比,提高发现问题、分析问题、解决问题的能力,归纳总结出古典概型的概率计算公式,掌握古典概型的概率计算公式；注意公式：P （A ）=

总的基本事件个数

包含的基本事件个数

A 的使

用条件——古典概型,体现了化归的重要思想.掌握列举法,学会运用分类讨论的思想解决概率的计算问题,增强学生数学思维情趣.

1．古典概型的概念

同时具有以下两个特征的试验称为古典概型：

(1)________：在一次试验中，可能出现的结果只有________，即只有________不同的基本事件； (2)等可能性：每个基本事件发生的可能性是________． 有限性 有限个 有限个 均等的 2．概率的古典定义

在基本事件总数为n 的古典概型中，

(1)每个基本事件发生的概率为______；

(2)如果随机事件A 包含的基本事件数为m ，由互斥事件的概率加法公式可得P (A )＝_______，所以在古典概型中P (A )＝________________________，这一定义称为概率的古典定义．

1n m

n 事件A 包含的基本事件数试验的基本事件总数

3. 基本事件的概率

一般地，对于古典概型，如果试验的n 个基本事件为A 1，A 2，…，A n ，由于基本事件是两两__________

的，则由________________________公式得P (A 1)＋P (A 2)＋…＋P (A n )＝P (A 1∪A 2∪…∪A n )＝P (Ω)＝1.又因为每个基本事件发生的可能性相等，即P (A 1)＝P (A 2)＝…＝P (A n )，代入上式得n ·P (A 1)＝1，即P (A 1)＝______.

互斥 互斥事件的概率加法

1

n

类型一 等可能事件的概率

例1：一个口袋内装有大小相同的1个白球和已编有不同号码的3个黑球，从中摸出2个球，求：

(1)基本事件总数；

(2)事件“摸出2个黑球”包含多少个基本事件？ (3)摸出2个黑球的概率是多少？

[解析] 由于4个球的大小相同，摸出每个球的可能性是均等的，所以是古典概型． (1)从装有4个球的口袋内摸出2个球，基本事件总数为6.

(2)事件“从3个黑球中摸出2个球”＝{(黑1，黑2)，(黑2，黑3)，(黑1，黑3)}，共3个基本事件．

(3)基本事件总数n ＝6，事件“摸出两个黑球”包含的基本事件数n ＝3，故P ＝1

2.

练习1：掷一颗骰子，观察掷出的点数． (1)求掷得奇数点的概率；

(2)求掷得点数不大于4的概率．

[答案] 基本事件空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，基本事件总数为6.

(1)事件A ＝“掷得奇数点”＝{1,3,5}，含基本事件数为3，∴P (A )＝36＝1

2.

(2)事件B ＝“掷得点数不大于4”＝{1,2,3,4}，含基本事件数为4，∴P (B )＝46＝2

3

.

练习2：(2013·江西文，4)集合A ＝{2,3}，B ＝{1,2,3}，从A 、B 中各任意取一个数，则这两数之和等于4的概率是( )

A ．2

3 B ．12

C ．1

3 D ．16

[答案] C

类型二 古典概型的概率

例2：袋中装有6个小球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率： (1)A ：取出的两球都是白球；

(2)B ：取出的两球一个是白球，另一个是红球．

[解析] 首先应求出任取两球的基本事件的总数，然后需分别求出事件A ：取出的两球都是白球的总数；事件B ：取出的两球一个是白球，而另一个是红球的总数，便可套用公式解决之．

设4个白球的编号为1、2、3、4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个小球中任取两个的方法为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共15个．

(1)从袋中的6个小球中任取两个，所取的两球全是白球的方法总数，即是从4个白球中任取两

个的方法总数，共有6个，即为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．

∴取出的两个小球全是白球的概率为P(A)＝6

15＝

2

5.

(2)从袋中的6个小球中任取两个，其中一个是红球，而另一个是白球，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共8种．

∴取出的两个小球一个是白球，另一个是红球的概率为P(B)＝8

15.

[答案](1)2

5(2)

8

15

练习1：袋中有五张卡片，其中红色卡片三张，标号分别为1,2,3；蓝色卡片两张，标号分别为1,2.

(1)从以上五张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率；

(2)向袋中再放入一张标号为0的绿色卡片，从这六张卡片中任取两张，求这两张卡片颜色不同且标号之和小于4的概率．

[答案](1)标号为1,2,3的三张红色卡片分别记为A，B，C，标号为1,2的两张蓝色卡片分别记为D，E，从五张卡片中任取两张的所有可能的结果为：

(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)共10种．由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．

从五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，共3种．

所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的概率为3

10.

(2)记F为标号为0的绿色卡片，从六张卡片中任取两张的所有可能的结果为：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15种．

由于每一张卡片被取到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．从六张卡片中任取两张，这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的结果为：(A，D)，(A，E)，(B，D)，(A，F)，(B，F)，(C，F)，(D，F)，(E，F)，共8种．所以这两张卡片颜色不同且它们的标号之和小于4的

概率为8

15.

练习2：(2014·全国新课标Ⅰ文，13)将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________．

[答案] 2 3

练习3：甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5道不同的题目，基中选择题3道，填空题2道，甲、乙两人依次各抽取一道题，求甲抽到选择题，乙抽到填空题的概率．

[答案]设3道选择题分别为A，B，C,2道填空题分别为D，E，甲、乙两人依次各抽取一道题的情况有(A，B，)，(B，A)，(A，C)，(C，A)，(A，D)，(D，A)，(A，E)，(E，A)，(B，C)，(C，B)，(B，D)，(D，B)，(B，E)，(E，B)，(C，D)，(D，C)，(C，E)，(E，C)，(D，E)，(E，D)20种，甲抽到选择题，乙抽到填空题的情况有(A，D)，(A，E)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)共6种故

所求概率为6

20＝3 10.

类型三 有放回取样与无放回取样的联系与区别

例3：口袋内有红、白、黄颜色大小完全相同的三个小球，求：

(1)从中任意摸出两个小球，摸出的是红球和白球的概率；

(2)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，两次摸出的球是一红一白的概率； (3)从袋中摸出一个后放回，再摸出一个，第一次摸得红球，第二次摸得白球的概率； (4)从袋中依次无放回的摸出两球，第一次摸得红球，第二次摸到白球的概率．

[解析] (1)任意摸出两个小球的基本事件空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，黄)}，所以，摸得红球和白球的概率为1

3

.

(2)有放回地取球．基本事件空间为：

{(红，红)，(红，白)，(红，黄)，(白，白)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，白)}．而摸出一红一白包括(红，白)，(白，红)两个基本事件，所以概率为2

9

.

(3)基本事件空间同(2)，第一次摸得红球，第二次摸得白球，只包含(红，白)一个基本事件，所以概率为1

9

.

(4)基本事件空间为{(红，白)，(红，黄)，(白，红)，(白，黄)，(黄，红)，(黄，白)}，所以先摸出红球，再摸出白球的概率是1

6

.

练习1：(1)从含有两件正品a 、b 和一件次品c 的3件产品中每次任取一件，取出后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；

(2)将(1)中条件“取出后不放回”改为“每次取出后放回”其余不变，再求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．

[答案] (1)基本事件空间Ω＝{(a ，b )，(a ，c )，(b ，c )，(b ，a )，(c ，a )，(c ，b )}，其中(a ，b )中的a 表示第一次取出的产品，b 表示第2次取出的产品，Ω中有6个基本事件，它们的出现都是等可能的，事件A ＝“取出的两件产品中，恰好有一件次品”包含4个基本事件，∴P (A )＝46＝2

3

.

(2)有放回的连续取两件，基本事件空间Ω＝{(a ，a )，(a ，b )，(a ，c )，(b ，b )，(b ，a )，(b ，c )，(c ，c )，(c ，a )，(c ，b )}中共9个等可能的基本事件，事件B ＝“恰有一件次品”包含4个基本事件，∴P (B )＝4

9

.

练习2：一个袋中已知有3个黑球，2个白球，第一次摸出球，然后再放进去，再摸第二次，则两次都是摸到白球的概率为( )

A ．25

B ．45

C.225 D ．425

[答案] D

类型四 古典概型与解析几何的结合

例4：设集合A ＝{1,2}，B ＝{1,2,3}，分别从集合A 和B 中随机取一个数a 和b ，确定平面上的一个点P (a ，b )，记“点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上”为事件C n (2≤n ≤5，n ∈N )，求使事件C n 的概率最大的n 的所有可能取值．

[解析] 点P 的所有可能值为(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)．若点P (a ，b )落在直线x ＋y ＝n 上(2≤n ≤5)，则

当n ＝2时，点P 只能是(1,1)； 当n ＝3时，点P 可能是(1,2)，(2,1)； 当n ＝4时，点P 可能是(1,3)，(2,2)； 当n ＝5时，点P 只能是(2,3)．

故事件C 3、C 4的概率最大，所以n 可取3或4. [答案] n 可取3或4

练习1：连掷骰子两次(骰子六个面上分别标以数字1,2,3,4,5,6)得到的点数分别记为a 和b ，则使直线3x －4y ＝0与圆(x －a )2＋(y －b 2)＝4 相切的概率为________．

[答案] 1

18

练习2：设b 和c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数，求方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根的概率． [答案] 设事件A 为“方程x 2＋bx ＋c ＝0有实根”，则 A ＝{(b ，c )|b 2－4c ≥0，b ，c ＝1,2，…，6}．而(b ，c )有： (1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)， (2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)， (3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)， (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)， (5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)， (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)， 共36组．

其中，可使事件A 成立的有：(2,1)，(3,1)，(3,2)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共19组．

故事件A 的概率P (A )＝1936

.

类型五 古典概型与统计的结合

例5：(2014·山东文，16)海关对同时从A 、B 、C 三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示. 工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.

(1)求这6件样品中来自A 、B 、(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．

[解析] (1)A 、B 、C 各地区商品的数量之比为50：150：100＝1：3：2.

故从A 地区抽取样本6×1

6＝1件，

故从B 地区抽取样本6×3

6＝3件，

故从C 地区抽取样本6×2

6

＝2件．

(2)将这6件样品分别编号a 1，b 1，b 2，b 3，c 1，c 2，随机选取2件，不同的取法共有{(a 1，b 1)，(a 1，b 2)，(a 1，b 3)，(a 1，c 1)，(a 1，c 2)，(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 1，c 1)，(b 1，c 2)，(b 2，b 3)，(b 2，c 1)，

(b 2，c 2)，(b 3，c 1)，(b 3，c 2)，(c 1，c 2)}共15种．

设“2件商品来自相同地区”为事件A ，则A 含有{(b 1，b 2)，(b 1，b 3)，(b 2，b 3)，(c 1，c 2)}共4种，故所求概率P (A )＝4

15

.

练习1：(2014·重庆文，17)20名学生某次数学考试成绩(单位：分)的频率分布直方图如下：

(1)求频率分布直方图中a 的值；

(2)分别求出成绩落在[50,60)与[60,70)中的学生人数；

(3)从成绩在[50,70)的学生中任选2人，求此2人的成绩都在[60,70)中的概率． [解析] (1)∵组距为10，∴(2a ＋3a ＋6a ＋7a ＋2a )×10＝200a ＝1， ∴a ＝1

200

＝0.005.

(2)落在[50,60)中的频率为2a ×10＝20a ＝0.1， ∴落在[50,60)中的人数为2.

落在[60,70)中的学生人数为3a ×10×20＝3×0.005×10×20＝3.

(3)设落在[50,60)中的2人成绩为A 1、A 2，落在[60,70)中的3人为B 1、B 2、B 3.

则从[50,70)中选2人共有10种选法，Ω＝{(A 1，A 2)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)}

其中2人都在[60,70)中的基本事件有3个：(B 1，B 2)，(B 1，B 3)，(B 2，B 3)，故所求概率p ＝3

10.

练习2：有1号、2号、3号3个信箱和A 、B 、C 、D 4封信，若4封信可以任意投入信箱，投完为止，其中A 信恰好投入1号或2号信箱的概率是多少？

[答案] 由于每封信可以任意投入信箱，对于A 信，投入各个信箱的可能性是相等的，一共有3种不同的结果．投入1号信箱或2号信箱有2种结果，故A 信恰好投入1号或2号信箱的概率为2

3

.

1．(2014·湖北文，5)随机掷两枚质地均匀的骰子，它们向上的点数之和不超过5的概率记为p 1，点数之和大于5的概率记为p 2，点数之和为偶数的概率记为p 3，则( )

A ．p 1

B ．p 2

C ．p 1

D ．p 3

[答案] C

2．袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )

A ．15

B ．25

C.35

D ．4

5

[答案] B

3．先后抛掷两枚均匀的硬币，出现“一枚正面，一枚反面”的概率为( )

A ．1

4

B ．13

C ．1

2

D ．1

[答案] C

4．有一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出两个小球则取出的小球上标注的数字之和为5或7的概率是( )

A ．15

B ．25

C.35

D ．45

[答案] B 5．(2014·广东文，12)从字母a ，b ，c ，d ，e 中任取两个不同字母，则取到字母a 的概率为________． [答案] 25

6．(2013·全国新课标Ⅱ文，13)从1,2,3,4,5中任意取出两个不同的数，其和为5的概率是________．

[答案] 0.2

7．(2014·浙江文，14)在3张奖券中有一、二等奖各1张，另1张无奖．甲、乙两人各抽取1张，两人都中奖的概率是________．

[答案] 1

3

8．一枚硬币连掷3次，求出现正面的概率． [答案] 解法一：设A 表示“掷3次硬币出现正面”，Ω表示“连续掷3次硬币”，则Ω＝{(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，正，正)，(反，反，反)}．

Ω由8个基本事件组成，而且可以认为这些基本事件的出现是等可能的，且A ＝{(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，正，正)}．

解法二：记A 1表示“掷3次硬币有一次出现正面”，A 2表示“掷3次硬币有两次出现正面”，A 3表示“掷3次硬币有三次出现正面”，A 表示“掷3次硬币至少出现一次正面”．显然A ＝A 1∪A 2∪A 3，同解法一容易得出P (A 1)＝38，P (A 2)＝38，P (A 3)＝18

.

又因为A 1、A 2、A 3彼此是互斥的，所以，

P (A )＝P (A 1∪A 2∪A 3)＝P (A 1)＋P (A 2)＋P (A 3)＝38＋38＋18＝7

8

.

解法三：在本例中，显然A －表示“掷3次硬币，三次均出现反面”的事件，且P (A －)＝1

8，根据

P (A )＋P (A －

)＝1.

∴P (A )＝1－P (A －)＝1－18＝7

8.

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基础巩固

一、选择题

1．关于随机数的说法正确的是( ) A ．随机数就是随便取的一些数字

B ．随机数是用计算机或计算器随便按键产生的数

C ．用计算器或计算机产生的随机数为伪随机数

D ．不能用伪随机数估计概率 [答案] C

2．用计算机随机模拟掷骰子的试验，估计出现2点的概率，下列步骤中不正确的是 ( ) A ．用计算器的随机函数RANDI(1,6)或计算机的随机函数RANDBETWEEN(1,6)产生6个不同的1到6之间的取整数值的随机数x ，如果x ＝2，我们认为出现2点

B ．我们通常用计数器n 记录做了多少次掷骰子试验，用计数器m 记录其中有多少次出现2点，置n ＝0，m ＝0

C ．出现2点，则m 的值加1，即m ＝m ＋1；否则m 的值保持不变

D ．程序结束．出现2点的频率作为概率的近似值 [答案] A

3．袋中有2个黑球，3个白球，除颜色外小球完全相同，从中有放回地取出一球，连取三次，观察球的颜色．用计算机产生0到9的数字进行模拟试验，用0,1,2,3代表黑球.4,5,6,7,8,9代表白球．在下列随机数中表示结果为二白一黑的组数为( )

160 288 905 467 589 239 079 146 351 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6

[答案] B

4．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是( )

A ．一定不会淋雨

B ．淋雨机会为3

4

C ．淋雨机会为12

D ．淋雨机会为1

4

[答案] D

[解析] 用A 、B 分别表示下雨和不下雨，用a 、b 表示帐篷运到和运不到，则所有可能情形为(A ，a )，(A ，b )，(B ，a )，(B ，b )，则当(A ，b )发生时就会被雨淋到，∴淋雨的概率为P ＝1

4

.

5．袋子中有四个小球，分别写有“神”、“十”、“飞”、“天”四个字，有放回地从中任取一个小球，取到“飞”就停止，用随机模拟的方法估计直到第二次停止的概率：先由计算器产生1

到4之间取整数值的随机数，且用1、2、3、4表示取出小球上分别写有“神”、“十”、“飞”、“天”四个字，以每两个随机数为一组，代表两次的结果．经随机模拟产生了20组随机数：

13 24 12 32 43 14 24 32 31 21 23 13 32 21 24 42 13 32 21 34 据此估计，直到第二次就停止概率为( ) A.15 B.14 C.13 D.12

[答案] B

[解析] 由随机模拟产生的随机数可知，直到第二次停止的有13、43、23、13、13共5个基本事件，故所求的概率为P ＝

520＝14

. 6．袋中有4个小球，除颜色外完全相同，其中有2个黄球，2个绿球．从中任取两球．取出的球为一黄一绿的概率为( )

A.14

B.12

C.34

D.13

[答案] B

[解析] 取球结果共有：黄黄，黄绿，绿黄，绿绿四种，所以一黄一绿有两种，故所求概率为1

2.

二、填空题

7．利用骰子等随机装置产生的随机数________伪随机数，利用计算机产生的随机数________伪随机数(填“是”或“不是”)．

[答案] 不是 是

8．现有5根竹竿，它们的长度(单位：m)分别为2.5,2.6,2.7,2.8,2.9，若从中一次随机抽取2根竹竿，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为________．

[答案] 0.2

[解析] 由5根竹竿一次随机抽取2根竹竿的种数为4＋3＋2＋1＝10，它们的长度恰好相差0.3 m 的是2.5和2.8、2.6和2.9两种，则它们的长度恰好相差0.3 m 的概率为P ＝2

10

＝0.2.

三、解答题

9．掷三枚骰子，利用Excel 软件进行随机模拟，试验20次，计算出现点数之和是9的概率． [解析] 操作步骤：

(1)打开Excel 软件，在表格中选择一格比如A1，在菜单下的“＝”后键入“＝RANDBETWEEN(1,6)”，按Enter 键， 则在此格中的数是随机产生的1～6中的数．

(2)选定A1这个格，按Ctrl ＋C 快捷键，然后选定要随机产生1～6的格，如A1至T3，按Ctrl ＋V 快捷键，则在A1至T3的数均为随机产生的1～6的数．

(3)对产生随机数的各列求和，填入A4至T4中． (4)统计和为9的个数S ；最后，计算频率S/20.

10．同时抛掷两枚均匀的正方体骰子，用随机模拟方法计算上面都是1点的概率．

[分析] 抛掷两枚均匀的正方体骰子相当于产生两个1到6的随机数，因而我们可以产生整数随机数．然后以两个一组分组，每组第1个数表示第一枚骰子的点数，第2个数表示第二枚骰子的点数.

[解析] 步骤：

(1)利用计算器或计算机产生1到6的整数随机数，然后以两个一组分组，每组第1个数表示第一枚骰子向上的点数．第2个数表示另一枚骰子向上的点数．两个随机数作为一组共组成n 组数；

(2)统计这n 组数中两个整数随机数字都是1的组数m ； (3)则抛掷两枚骰子上面都是1点的概率估计为m n

.

能力提升

一、选择题

1．下列说法错误的是( )

A ．用计算机或掷硬币的方法都可以产生随机数

B ．用计算机产生的随机数有规律可循，不具有随机性

C ．用计算机产生随机数，可起到降低成本，缩短时间的作用

D ．可以用随机模拟的方法估计概率 [答案] B

2．从分别写有A ，B ，C ，D ，E 的5张卡片中任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为( )

A.15

B.25

C.310

D.710

[答案] B

[解析] 可看作分成两次抽取，第一次任取一张有5种方法，第二次从剩下的4张中再任取一张有4种方法，因为(B ，C)与(C ，B)是一样的，故试验的所有基本事件总数为10，两字母恰好是按字母顺序相邻的有(A ，B)，(B ，C)，(C ，D)，(D ，E)4种，故两字母恰好是按字母顺序相邻的概率P ＝410＝25

. 3．已知某运动员每次投篮命中的概率低于40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率，先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中，再以每三个随机数为一组代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下20组随机数：

907 966 191 925 271 932 812 458 569 683

431 257 393 027 556 488 730 113 537 889 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为( ) A ．0.35 B ．0.25 C ．0. 20 D ．0.15

[答案] B

[解析] 在20个数据中，有5个表示三次投篮恰有两次命中，故所求概率P ＝

5

20

＝0.25. 4．(2015·陕西西安期末)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子(它们的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子朝上的面的点数分别为x ，y ，则log 2x y ＝1的概率为( )

A.16

B.5

36 C.112 D.12

[答案] C

[解析] 由log 2x y ＝1，得2x ＝y ，其中x ，y ∈{1,2,3,4,5,6}，所以????? x ＝1，y ＝2，或????? x ＝2，y ＝4，或?

????

x ＝3，y ＝6，满足log 2x y ，所以P ＝336＝1

12

，故选C.

二、填空题

5．从13张扑克牌中随机抽取一张，用随机模拟法估计这张牌是7的概率为N 1

N ，则估计这张牌

不是7的概率是________．

[答案] 1－N 1

N

6．在利用整数随机数进行随机模拟试验中，整数a 到整数b 之间的每个整数出现的可能性是________．

[答案]

1

b －a ＋1

[解析] [a ，b ]中共有b －a ＋1个整数，每个整数出现的可能性相等，所以每个整数出现的可能性是1

b －a ＋1

.

三、解答题

7．甲、乙两支篮球队进行一局比赛，甲获胜的概率为0.6，若采用三局两胜制举行一次比赛，试用随机模拟的方法求乙获胜的概率．

[解析] 利用计算器或计算机生成0到9之间取整数值的随机数，用0,1,2,3,4,5表示甲获胜；6,7,8,9表示乙获胜，这样能体现甲获胜的概率为0.6.因为采用三局两胜制，所以每3个随机数作为一组．例如，产生30组随机数(可借助教材103页的随机数表)．

034 743 738 636 964 736 614 698 637 162 332 616 804 560 111 410 959 774 246 762

428 114 572 042 533 237 322 707 360 751

就相当于做了30次试验．如果6,7,8,9中恰有2个或3个数出现，就表示乙获胜，它们分别是738,636,964,736,698,637,616,959,774,762,707.共11个．所以采用三局两胜制，乙获胜的概率约为

11

30≈0.367.

8．(2015·河南新乡调研)为了加强中学生实践、创新和团队建设能力的培养，促进教育教学改革，市教育局举办了全市中学生创新知识竞赛．某中学举行了选拔赛，共有150名学生参加，为了了解成绩情况，从中抽取50名学生的成绩(得分均为整数，满分为100分)进行统计，清你根据尚未完成的频率分布表，解答下列问题：

(1)完成频率分布表(直接写出结果)，并作出频率分布直方图；

(2)若成绩在90.5分以上的学生获一等奖，试估计全校获一等奖的人数，现在从全校所有获一等奖的同学中随机抽取2名同学代表学校参加竞赛，某班共有2名同学荣获一等奖，求该班同学恰有1人参加竞赛的概率.

分组 频数 频率 第1组 60.5～70.5 0.26 第2组 70.5～80.5 17 第3组 80.5～90.5 18 0.36 第4组 90.5～100.5

合计

50

1

[解析] (1)分组 频数 频率 第1组 60.5～70.5 13 0.26 第2组 70.5～80.5 17 0.34 第3组 80.5～90.5 18 0.36 第4组 90.5～100.5

2 0.04 合计

50

1

(2)获一等奖的概率约为0.04，所以获一等奖的人数估计为150×0.04＝6(人)．

记这6人为A1，A2，B，C，D，E，其中，A1，A2为该班获一等奖的同学．

从全校所有获一等奖的同学中随机抽取2名同学代表学校参加竞赛共有15种情况，如下：(A1，A2)，(A1，B)，(A1，C)，(A1，D)，(A1，E)，(A2，B)，(A2，C)，(A2，D)，(A2，E)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(C，D)，(C，E)，(D，E)．

该班同学中恰有1人参加竞赛共有8种情况，如下：

(A1，B)，(A1，C)，(A1，D)，(A1，E)，(A2，B)，(A2，C)，(A2，D)，(A2，E)．

所以该班同学中恰有1人参加竞赛的概率P＝8

15.

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