人教版数学七年级培优和竞赛教程(1)数的整除

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七年级数学竞赛培优(含解析)专题07 整式的加减

07 整式的加减阅读与思考整式的加减涉及许多概念，准确地把握这些概念并注意它们的区别与联系是解决有关问题的基础，概括起来就是要掌握好以下两点：1．透彻理解“三式”和“四数”的概念“三式”指的是单项式、多项式、整式；“四数”指的是单项式的系数、次数和多项式的系数、次数．2．熟练掌握“两种排列”和“三个法则”“两种排列”指的是把一个多项式按某一字母的升幂或降幂排列，“三个法则”指的是去括号法则、添括号法则及合并同类项法则．物以类聚，人以群分．我们把整式中那些所含字母相同、并且相同字母的次数也相同的单项式作为一类——称为同类项，一个多项式中的同类项可以合聚在一起——称为合并同类项．这样，使得整式大为简化，整式的加减实质就是合并同类项．例题与求解[例1] 如果代数式ax5＋bx3＋cx－5，当x＝－2时的值是7，那么当x＝7时，该式的值是______．(江苏省竞赛试题) 解题思路：解题的困难在于变元个数多，将x两个值代入，从寻找两个多项式的联系入手．[例2] 已知－1＜b＜0，0＜a＜1，那么在代数式a－b，a＋b，a＋b2，a2＋b中，对于任意a，b对应的代数式的值最大的是( )A．a＋b B．a－b C．a＋b2 D．a2＋b(“希望杯”初赛试题)解题思路：采用赋值法，令a＝12，b＝－12，计算四个式子的值，从中找出值最大的式子．[例3] 已知x＝2，y＝－4时，代数式ax2＋12by＋5＝1997，求当x＝－4，y＝－12时，代数式3ax－24by3＋4986的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：一般的想法是先求出a，b的值，这是不可能的．解本例的关键是：将给定的x，y 值分别代入对应的代数式，寻找已知与待求式子之间的联系，整体代入求值．[例4] 已知关于x的二次多项式a(x3－x2＋3x)＋b(2x2＋x)＋x3－5．当x＝2时的值为－17，求当x＝－2时，该多项式的值．(北京市“迎春杯”竞赛试题) 解题思路：解题的突破口是根据多项式降幂排列、多项式次数等概念挖掘隐含的关于a，b的等式．[例5] 一条公交线路上起点到终点有8个站．一辆公交车从起点站出发，前6站上车100人，前7站下车80人．问从前6站上车而在终点下车的乘客有多少人？(“希望杯”初赛试题) 解题思路：前7站上车总人数等于第2站到第8站下车总人数．本例目的是求第8站下车人数比第7站上车人数多出的数量．[例6] 能否找到7个整数，使得这7个整数沿圆周排列成一圈后，任3个相邻数的和等于29？如果，请举出一例；如果不能，请简述理由．(“华罗庚金杯”少年邀请赛试题) 解题思路：假设存在7个整数a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7排成一圈后，满足题意，由此展开推理，若推出矛盾，则假设不成立．能力训练A级1．若－4x m－2y3与23x3y7－2n是同类项，m2＋2n＝______．(“希望杯”初赛试题)2．当x＝1，y＝－1时，ax＋by－3＝0，那么当x＝－1，y＝1时，ax＋by－3＝______．(北京市“迎春杯”竞赛试题) 3．若a＋b＜0，则化简|a＋b－1|－|3－a－b|的结果是______．4．已知x2＋x－1＝0，那么整式x3＋2x2＋2002的值为______．5．设2332,4536,x y zx y z++=⎧⎨++=⎩则3x－2y＋z＝______．(2013年全国初中数学联赛试题)6．已知A＝a2＋b2－c2，B＝－4a2＋2b2＋3c2，若A＋B＋C＝0，则C＝( )．A．5a2＋3b2＋2c2 B．5a2－3b2＋4c2A．3a2－3b2－2c2 A．3a2＋b2＋4c27．同时都有字母a，b，c，且系数为1的7次单项式共有( )．A．4个 B．12个 C．15个 D．25个(北京市竞赛题)8．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示：则代数式|a |－|a ＋b |＋|c －a |＋|b －c |化简后的结果是为( )． A ．－a B ．2a －2b C ．2c －a D ．a 9．已知a ＋b ＝0，a ≠b ，则化简b a (a ＋1)＋ab(b ＋1)得( )． A ．2a B ．2b C ．＋2 D ．－2 10．已知单项式0.25x b y c与单项式－0.125xm －1y 2n －1的和为0.625ax n y m，求abc 的值．11．若a ，b 均为整数，且a ＋9b 能被5整除，求证：8a ＋7b 也能被5整除．(天津市竞赛试题)B 级1．设a ＜－b ＜c ＜0，那么|a ＋b |＋|b ＋c |－|c －a |＋|a ||＋b |＋|c |＝______．(“祖冲之杯”邀请赛试题)2．当x 的取值范围为______时，式子－4x ＋|4－7x |－|1－3x |＋4的值恒为一个常数，这个值是______．(北京市“迎春杯”竞赛试题)3．当x ＝2时，代数式ax 3－bx ＋1的值等于－17，那么当x ＝－1时，代数式12ax －3bx 3－5的值等于______．4．已知(x ＋5)2＋|y 2＋y －6|＝0，则y 2－15xy ＋x 2＋x 3＝______． (“希望杯”邀请赛试题)5．已知a －b ＝2，b －c ＝－3，c －d ＝5，则(a －c )(b －d )÷(a －d )＝______．6．如果对于某一特定范围内x 的任意允许值，P ＝|1－2x |＋|1－3x |＋…＋|1－9x |＋|1－10x |的值恒为一个常数，则此值为( )．A ．2B ．3C ．4D ．5(安徽省竞赛试题)7．如果(2x －1)6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋a 3x 3＋a 4x 4＋a 5x 5＋a 6x 6，那么a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6等于______；a 0＋a 2＋a 4＋a 6等于______．A ．1，365B ．0，729C ．1，729D ．1，第8题图(“希望杯”邀请赛试题)8．设b ，c 是整数，当x 依次取1，3，6，11时，某学生算得多项式x 2＋bx ＋c 的值分别为3，5，21，93．经验证，只有一个结果是错误的，这个错误的结果是( )．A ．当x ＝1时，x 2＋bx ＋c ＝3 B ．当x ＝3时，x 2＋bx ＋c ＝5 C ．当x ＝6时，x 2＋bx ＋c ＝21 D ．当x ＝11时，x 2＋bx ＋c ＝93(武汉市选拔赛试题)9．已知y ＝ax 7＋bx 5＋cx 3＋dx ＋e ，其中a ，b ，c ，d ，e 为常数，当x ＝2时，y ＝23；当x ＝－2时，y ＝－35，那么e 的值是( )．A ．－6B ．6C ．－12D ．12(吉林省竞赛试题)10．已知a ，b ，c 三个数中有两个奇数，一个偶数，n 是整数，如果s ＝(a ＋n ＋1)·(b ＋2n ＋2)(c ＋3n ＋3)，那么( )．A ．s 是偶数B ．s 是奇数C ．s 的奇偶性与n 的奇偶性相同D ．s 的奇偶性不能确定(江苏省竞赛试题)11．(1)如图1，用字母a 表示阴暗部分的面积； (2)如图2，用字母a ，b 表示阴暗部分的面积；(3)如图3，把一个长方体礼品盒用丝带打上包装(图中虚线为丝带)，打蝴蝶结的部分需丝带(x －y )cm ，打好整个包装需用丝带总长度为多少？12．将一个三位数abc 中间数码去掉，成为一个两位数ac ，且满足abc ＝9ac ＋4c ，如155＝9×15＋4×5．试求出所有这样的三位数．图1xy z 图307 整式的加减例1 －17例2 B例3 1998提示：由已知得4a－b＝996，待求式＝－3×（4a－b）＋4986.例4 原多项式整理得：（a＋1）x3＋（2b－a）x3＋（3a＋b）x－5..又由题意知，该多项式为二次多项式，故a＋1＝0，得a＝－1.把a＝－1，a＝2代入得：4（2 b＋1）＋2×（b－3）－5＝－17.解得b＝－1，故原多项式为－x2－4 x－5.当x＝－2时，－x2－4 x－5＝－4＋8－5＝－1.例5 设前7站上车的乘客数量依次为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7人，从第2站到第8站下车的乘客数量依次为b2，b3，b4，b5，b6，b7，b8人，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝b2＋b3＋b4＋b5＋b6＋b7＋b8.又∵a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝100，∴b2＋b3＋b4＋b5＋b6＋b7＝80，即100＋a7＝80＋b 8，前6站上车而在终点下车的人数为b8－a7＝100－80＝20（人）.例6 如图，由题意得a1＋a2＋a3＝29,a2＋a3＋a4＝29,…a6＋a7＋a 1＝29,a7＋a1＋a 2＝29,将上述7式相加得，3（a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7）＝29×7.∴a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝6723.这与a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7为整数矛盾.故不存在满足题设要求的7个整数.A级1. 292. －63. －24.20035. 10 提示：3 x－2 y＋z＝2×（2 x＋y＋3 z）－（x＋4 y＋5 z）＝2×23－36＝46－36＝10.6. C7. C提示：设满足条件的单项式为a m b n c p的形式，其中m，n，p为自然数，且m＋n＋p＝7.8. C 9. D10. 1.2 提示：由题意得b＝m－1＝n，c＝2 n－1＝0，0.625 a＝0.25＋（－0.125）.11. 提示：8 a＋7 b＝8（a＋9 b）－65 b.B级1. －a＋b＋c2. ≥471 提示：x的系数之和为零，须使4－7 x≤0且1－3 x≤0.3. 224. －94 提示：由（x＋5）2＋| y 2＋y－6|=0得x＝－5，y 2＋y＝6. y 2－15x y＋x 2＋x 3＝y 2＋y＋（－5）2＋（－5）3＝6＋25－125＝－94.5. －1 26. B 提示：利用绝对值的几何意义解此题. x的取值范围在18与17之间7. A提示：令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝[2×1－1] 6=1①令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝[2×（－1）－1] 6＝3 6＝729②①＋②，得2（a0＋a2＋a4＋a6）＝730，即a0＋a2＋a4＋a6＝365.8. C 9. A10. A提示：原式＝a＋b＋c＋6n＋6是偶数.11. 提示：（1）4.5πa2 S阴影＝12（a＋a＋a）2＝4.5πa2（2）12ab－12b2＋14πb2 S阴影＝12（a＋a）b－（b2－14πb2）＝12a b－12b 2＋14πb2（3）3 x＋3 y＋2 z总长1＝2 x＋4 y＋2 z＋（x－y）＝3 x＋3 y＋2 z.12. 因为abc＝100 a＋10 b＋c，ac＝10a＋c.由题意得100a＋10b＋c＝9（10a＋c）＋4c.化简得5（a＋b）＝6c（0≤a，b，c≤9，且a≠0）又∵5是质数，故5,6,ca b=⎧⎨+=⎩，从而1,2,3,4,5,6,5,4,3,2,1,0,ab=⎧⎨=⎩则符合条件的abc＝155，245，335，425，515，605.。

【暑期数学培优课程】第1册 PE 第06讲整数和整除(上)教师版

第06讲整数和整除（上）教学目标：1、理解整除的意义，知道被2、3、5、9整除的数的特征；2、通过整数和整除问题的解决，提升数学整体把握能力；3、培养学员的基本计算技能，为变身小老师做准备。

教学重点：理解整除的意义，知道被2、3、5、9整除的数的特征。

教学难点：通过整数和整除问题的解决，提升数学整体把握能力。

教学过程：【知识拓展】例1、请问能够被2或3整除的一位数、两位数、三位数中最小数和最大数分别是多少？解析部分：第一步：引导学员对于此题中的整除概念进行分析和理解，明确被2整除或被3整除的数的特点，在纸上进行尝试计算，找出相关的数据；第二步：继续引导学员对于此题进行进一步的分析，可以有“被2整除：最小一位数是2，最大一位数是8，最小两位数是10，最大两位数是98，最小三位数是100，最大三位数是998；被3整除：最小一位数是3，最大一位数是9，最小两位数是12，最大两位数是99，最小三位数是102，最大三位数是999”；第三步：最后对于问题的解决过程进行回顾分析，引导学员对于被2整除或被3整除的数据特点进行回顾总结，找出其中的特征属性，并加深认识和理解。

参考答案：被2整除：最小一位数是2，最大一位数是8，最小两位数是10，最大两位数是98，最小三位数是100，最大三位数是998；被3整除：最小一位数是3，最大一位数是9，最小两位数是12，最大两位数是99，最小三位数是102，最大三位数是999。

例2、请问能够被5或9整除的一位数、两位数、三位数中最小数和最大数分别是多少？参考答案：被5整除：最小一位数是5，最大一位数也是5，最小两位数是10，最大两位数是95，最小三位数是100，最大三位数是995；被9整除：最小一位数是9，最大一位数也是9，最小两位数是18，最大两位数是99，最小三位数是108，最大三位数是999。

【阶段复习】练习1、请问能够被6整除的一位数、两位数、三位数中最小数和最大数分别是多少？参考答案：被6整除，则既能被2整除，又能被3整除：最小一位数是6，最大一位数也是6，最小两位数是12，最大两位数是96，最小三位数是102，最大三位数是996。

人教版数学七年级讲练教程培优和竞赛二合一：15-整数的分类

人教版数学七年级讲练教程（培优和竞赛二合一）（15）整数的分类【知识精读】1．余数的定义：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整数，m是正整数，r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数。

即：在整数集合中被除数＝除数×商＋余数(0≤余数<除数)例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1（∵－1＝5（－1）＋4。

－9＝5（－2）＋1。

）2．显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。

例如整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。

3．整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。

例如：m=2时，分为偶数、奇数两类，记作｛2k｝,｛2k－1｝（k为整数）m=3时，分为三类，记作｛3k｝,｛3k+1｝,｛3k+2｝.或｛3k｝,｛3k+1｝，｛3k－1｝其中｛3k－1｝表示除以3余2。

m=5时，分为五类，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝，其中5k－2表示除以5余3。

4．余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。

举例如下：①（3k1+1）+(3k2+1)=3(k1+k2)+2 （余数1＋1＝2）②（4k1+1）(4k2+3)=4(4k1k2+3k1+k2)+3（余数1×3＝3）③（5k±2）2＝25k2±20k+4=5(5k2±4k)+4（余数22＝4）以上等式可叙述为：①两个整数除以3都余1，则它们的和除以3必余2。

②两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。

③如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是4或9。

余数的乘方，包括一切正整数次幂。

如：∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 （26＝64）5．运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。

初中培优竞赛含详细解析第1讲整数的基本性质

初中数学竞赛专题1——整数的基本性质1.（1，2）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#选择题）【标准答案】1#0#1#4#A三人中每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别是47，61，60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是 ( ) A. 28 B. 27 C. 26 D. 25【分析】设三个人的年龄分别为X1，X2，X3，根据题意，则+X2+2X3=47×2 ①XX2+X3+2X1=61×2 ②X3+X1+2X2=60×2 ③由①+②+③得X1+X2+X3=84，分别代入①②③得X1=38，X2=36，X3=10.所以X1-X3=28.【答案】A【技巧】设未知数列方程（组）来解应用题是常用的方法.2.（2，3）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#选择题）【标准答案】2#0#1#4#B三角形的三边长a、b、c都是整数，且[a，b，c]=60，（a，b) =4，(b，c)=3则a+b+c的最小值是 ( ) {注：[a，b，c]表示a、b、c的最小公倍数，（a，b）表示a，b的最大公约数}A．30 B．31 C．32 D. 33【分析】因为（a，b）=4，所以a，b都是4的倍数.因为(b，c)=3，所以b，c都是3的倍数.从而a=4a1，b=12b1，c=3c1，a1、b1、c1都是正整数；又因为[a，b，c]=60，所以a，b，c中至少有一个被5整除，即a1、b1、c1中至少有一个被5整除.因为abc三个数的系数中，c的系数最小为3，所以只有当a1、b1 取最小时，三个数之和才最小，那么当a1= b1=1，c1=5时，a+b+c=4+1+15=31最小.【答案】B【技巧】根据最大公约数和最小公倍数的性质，用解析式表示未知数.【易错点】若不注意三角形三边的关系（两边之和大于第三边）就容易出错.3.（3，4）（数学#初中#竞赛#初中竞赛#数学竞赛#初中数学竞赛#整数#选择题）【标准答案】3#0#1#4#B从1开始的自然数中，把能表示成两个整数的和与它们的差的乘积的数从小到大排列，在这种排列中，第1998个数是( )A. 2662 B．2664 C. 2665 D．2666【分析】依题意设这个数为x，x≥1，且x=(a+b)(a-b)（a、b是自然数且a＞b）。

第2节：数的整除

第2节数的整除知识梳理1、如果整数a 除以整数b (0b ≠)所得的商a b是整数，那么叫做a 被b 整除，或b 整除a ，记作b a |，又称b 为a 的约数，而a 为b 的倍数。

0能被所有非零的整数整除。

2、数的整除性的常见特征.（1）若整数a 的个位数是偶数，则2a |；（2）若整数a 的个位数是0或5，则5a |；（3）若整数a 的末两位数是4或25的倍数，则4a |(或25a |)；（4）若整数a 的各位上的数字和是3或9的倍数，则a 3|(或9a |)；（5）若整数a 的末三位数是8或125的倍数，则8a |(或125a |)；（6）若整数a 的奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相减，其差是11的倍数，则11a |；（7）若整数a 从右向左每三位为一段，奇数段的各数和与偶数段的各数和相减，其差是7 或11或13的倍数，则7a |(或11a |或13a |).3、整除的常用性质.设a ，b ，c ，d 都是整数，有：（1）若 b a |，c b |则c a |；（2）若c a |，c b |，则 ()c a b |±；（3）若 b a |，c a |，则[b ，c ] | a ；（4）若 b a |，c a |，且 b 与c 互质，则 bc a |.典例精析考点1:运用数的整除特征解决简单的实际问题【例1】某班学生不到50人，一次数学考试中有17学生得优秀、13学生得良好，有12学生及格，问该班有多少个学生在这次考试中不及格？分析：由题意，班级人数中有17学生得优秀、13学生得良好、12学生及格，这说明班级人数能被7，3，2整除，而7，3，2又是互质数，所以班级人数为2×3×7 = 42(人），则由此根据不及格人数的比例不难求得不及格人数.解：班级人数为2×3×7==42(人），不及格人数为：41114211732⎛⎫⨯---= ⎪⎝⎭（人）跟踪训练一次数学竞赛，比赛结果有17的学生获一等奖，有15的学生获二等奖，有12的学生获三等奖，其余获纪念奖，已知参加这次竞赛的人数超过50人但不满100人，问获纪念奖的有多少人？跟踪训练11、学生人数应能被7，5，2整除，[7，5，2] = 70（人），又因为50<70<100，所以学生总数是70人，获纪念奖的人数为111701752⎛⎫⨯---⎪⎝⎭=11（人）考点2:运用数的整除特征解“数字谜”的问题【例2】已知五位数1234x能被12整除，求x的值.解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，当l + 2 + 3+4+×能被3整除时，×=2，5，8，当末两位4x能被4整除时，× = 0，4，8，∴× = 8.跟踪训练2（1）已知五位数1234A能被15整除，试求A的值。

七年级数学培优知识点

七年级数学培优知识点数学是人类智慧的结晶，是学习、思考和解决问题的基础。

在七年级的数学学习中，培优是非常重要的一步，因为七年级数学知识是整个初中数学学习的基础。

下面，我们来总结一下七年级数学培优的知识点。

一、整数的加减运算整数是由正整数、0、负整数组成，在数轴上可以用有向线段表示，它的数值可以表示为有向线段的长度。

整数的加减运算是指两个整数的加、减运算，它们的和、差是一个整数。

二、分数的加减运算分数是指一个整数除以另一个整数的结果，其中，分子表示被除数，分母表示除数。

分数的加减运算是指两个分数的加、减运算，它们的和、差也是一个分数。

三、小数的加减运算小数是指整数和分数相结合的数，可以表示为有限小数、循环小数和无限不循环小数。

小数的加减运算是指两个小数的加、减运算，它们的和、差也是一个小数。

四、倍数和约数倍数是指一个数是另一个数的倍数，即一个数能被另一个数整除，例如6是3的倍数。

约数是指一个数能被另一个数整除，例如3是6的约数。

五、比例和比例的应用比例是指两个量之间的比值，常用于数量关系的比较，例如长宽比、速度比等。

比例的应用主要包括比例的扩大和缩小、比例的合并和分离、写简单比例等。

六、平均数、中位数和众数平均数是指一组数值的和除以它们的个数得到的结果；中位数是指一组数值按大小顺序排列后，中间数的值；众数是指一组数值中出现次数最多的数。

七、初步代数概念初步代数概念包括代数式、方程式、不等式等，其主要涉及到一些变量和常量的运用。

代数式是由常数、变量和运算符组成的式子；方程式是指含有未知数的等式；不等式是指两个式子的大小关系。

通过七年级数学培优的学习，可以使学生进一步巩固和加强基础数学知识，更好地为后面的数学学习打下坚实的基础。

初中培优竞赛第1讲整数的基本性质

1.
（1、2）
（数学、初中数学竞赛、整数、选择题）
三人中每两个人的平均年龄加上余下一人的年龄分别是 47，61，60，那么这三个人中最大年龄与最小年龄的差是 A. 28 B. 27 C. 26 D. 25 ( )
解析：设三个人的年龄分别为 X1， X2， X3，根据题意，则 X 1+X 2+2X 3=47 × 2 X 2+ X 3+ 2 X 1= 6 1 × 2 X 3+ X 1+ 2X 2= 6 0 × 2 ① ② ③
5.
（1、2）
（数学、初中数学竞赛、整数、填空题）
32011 的个位数字.
分析： 3 （n N）的个位数字，是以 4 为周期的，个位数字的循环规律是：
n
3n1 时，因为 2011÷4=502……3，所以 3 答案：7
的个位数字是 3。
技巧：一个数的 n 次方的个数数字，就是这个数的个位数字的 n 次方的个位数字；找到其个位数字相乘所得的个位数字的周期规律，是解答这类题目的关键。
7.
（3、4）
（数学、初中数学竞赛、整数、解答题）
23 个不同的正整数的和是 4845，问：这 23 个数的最大公约数可能达到的最大的值是多少？写出你的结论，并说明理由 . 分析：设这 23 个彼此不同的正整数为 a1， a2， …， a23，并且它们的最大公约数是 d，则 a1=db1 ， a2=db2 ，a3=db3，…a23=db23，依题意，有 4845=a1+a2+---+a23=d(b1+ b2+…+b23).因为 b1，b2， b3，…，b23 也是彼此不等的正整数，所以 b1+b2+b3+…+b23≥1+2+…+23=276. 因此 4845 = d(b1 +b2+…十 b23)≥276d，所以

人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程：整数的分类

人教版初一数学培优和竞赛二合一讲炼教程（15）整数的分类【知识精读】1．余数的定义：在等式A＝mB＋r中，如果A、B是整数，m是正整数，r为小于m的非负整数，那么我们称r是A 除以m的余数。

即：在整数集合中被除数＝除数×商＋余数(0≤余数<除数)例如：13，0，－1，－9除以5的余数分别是3，0，4，1（∵－1＝5（－1）＋4。

－9＝5（－2）＋1。

）2．显然，整数除以正整数m ,它的余数只有m种。

例如整数除以2，余数只有0和1两种，除以3则余数有0、1、2三种。

3．整数的一种分类：按整数除以正整数m的余数，分为m类，称为按模m分类。

m=5时，分为五类，｛5k｝.｛5k+1｝,｛5k+2｝,｛5k+3｝,｛5k+4｝或｛5k｝,｛5k±1｝,｛5k±2｝，其中5k－2表示除以5余3。

4．余数的性质：整数按某个模m分类，它的余数有可加，可乘，可乘方的运算规律。

②两个整数除以4，分别余1和3，则它们的积除以4必余3。

③如果整数除以5，余数是2或3，那么它的平方数除以5，余数必是4或9。

余数的乘方，包括一切正整数次幂。

如：∵17除以5余2 ∴176除以5的余数是4 （26＝64）5．运用整数分类解题时，它的关鍵是正确选用模m。

【暑期数学培优课程】第1册 PE 第07讲整除和整除(下)教师版

第07讲整数和整除（下）教学目标：1、进一步理解整除的意义及被2、3、5、9整除的数的特征；2、通过整数和整除问题的解决，提升数学整体把握能力；3、培养学员的基本计算技能，为变身小老师做准备。

教学重点：进一步理解整除的意义及被2、3、5、9整除的数的特征。

教学难点：通过整数和整除问题的解决，提升数学整体把握能力。

教学过程：【复习与提升】层层高1、下列各数中，能分别被2、4、5、10、25整除的数有哪些？334、76、375、135、130、120、232、85、1450、4080解析部分：第一步：引导学员对于此题中的数据进行逐个分析，结合能被2、4、5、10、25五数整除的数据特点进行各个数的特征分析，鼓励学员在纸上进行尝试计算；第二步：继续引导学员对于此题的具体求解过程进行分析，可以得到“能被2整除：334、76、130、120、232、1450、4080；能被4整除：76、120、232、4080；能被5整除：375、135、130、120、85、1450、4080；能被10整除：130、120、1450、4080；能被25整除：375、1450”；第三步：引导学员对于此题的解题过程进行针对的分析回顾，对于能被2、4、5、10、25五数整除的数据特点回顾总结，进一步加深巩固学员的整除计算基本技能。

参考答案：能被2整除：334、76、130、120、232、1450、4080；能被4整除：76、120、232、4080；能被5整除：375、135、130、120、85、1450、4080；能被10整除：130、120、1450、4080；能被25整除：375、1450。

层层高2、452、387、228、975、525、882、715、775、837这些数中哪些能被3整除？哪些能被9整除？参考答案：能被3整除：387、228、975、525、882、837；能被9整除：387、882、837。

层层高3、1-100中，能被2整除的数有几个？能被3整除的数有几个？能被5整除的数有几个？能被9整除的数有几个？参考答案：能被2整除：有2、4、6、8、10……、96、98、100，一共50个；能被3整除：3、6、9……90、93、96、99，一共33个；能被5整除：5、10、15……90、95、100，一共20个；能被9整除：9、18、27……90、99，一共11个。

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数的整除（一）
【知识精读】
如果整数A 除以整数B(B ≠0)所得的商A/B 是整数,那么叫做A 被B 整除. 0能被所有非零的整数整除.
①抹去个位数 ②减去原个位数的2倍 ③其差能被7整除。

如 1001 100－2＝98（能被7整除）
又如7007 700－14＝686， 68－12＝56（能被7整除）
能被11整除的数的特征：
①抹去个位数 ②减去原个位数 ③其差能被11整除
如 1001 100－1＝99（能11整除）
又如10285 1028－5＝1023 102－3＝99（能11整除）
【分类解析】
例1已知两个三位数328和92x 的和仍是三位数75y 且能被9整除。

求x,y
解：x,y 都是0到9的整数，∵75y 能被9整除，∴y=6.
∵328＋92x ＝567，∴x=3
例2己知五位数x 1234能被12整除，求X
解：∵五位数能被12整除，必然同时能被3和4整除，
当1＋2＋3＋4＋X 能被3整除时，x=2，5，8
当末两位X 4能被4整除时，X ＝0，4，8
∴X ＝8
例3求能被11整除且各位字都不相同的最小五位数
解：五位数字都不相同的最小五位数是10234，
但（1＋2＋4）－（0＋3）＝4，不能被11整除，只调整末位数仍不行调整末两位数为30，41，52，63，均可，
∴五位数字都不相同的最小五位数是10263。

【实战模拟】
1分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）
①593②1859③1287④3276⑤10101⑥10296
987能被3整除，那么a=_______________
2若四位数a
12X能被11整除，那么X＝__________-
3若五位数34
35m能被25整除
4当m=_________时，5
9610能被7整除
5当n=__________时，n
6能被11整除的最小五位数是________,最大五位数是_________
7能被4整除的最大四位数是____________，能被8整除的最小四位数是_________ 88个数：①125，②756，③1011，④2457，⑤7855，⑥8104，⑦9152，⑧70972中，能被下列各数整除的有（填上编号）：
6________,8__________,9_________,11__________
9从1到100这100个自然数中，能同时被2和3整除的共_____个，
能被3整除但不是5的倍数的共______个。

10由1，2，3，4，5这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被3整除的数共有几个？为什么？
1234能被15整除，试求A的值。

11己知五位数A
12求能被9整除且各位数字都不相同的最小五位数。

13在十进制中，各位数码是0或1，并能被225整除的最小正整数是＿＿＿＿参考答案
1.④22×32×7×3 ⑤3×7×13×37 ⑥23×32×11×13
2. 0，3，6，9
3. 0
4. 2，7
5. 3
6. 10010，9990
7. 9996，9992
8. 6：B 8：F，G 9：B，D 11：G，H
9. 16；27
10.没有一个，∵1＋2＋3＋4＋5＝15是3的倍数，与数字的位置无关
11.仿例2，a＝5
12.10269（由最小五位数10234调换末两位数）
13.11111111100。

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