专题14 函数单调性的判断与证明-高中数学精品小课件(必修1)
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函数的单调性-(新教材)人教A版高中数学必修第一册全文课件
函数的单调性-【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件- ppt 函数的单调性-【新教材】人教A版高 中数学 必修第 一册优 秀课件- ppt
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高中数学人教A版必修1课件： 第一章第三节 函数的单调性(共18张PPT)
高中数学人教A版必修1
函数的单调性
1
创设情境 导入新课
2
新知自解 归纳提升
y
一、函数单调性定义
f(x2)
1．增函数
f(x1)
O
x1
x2
x
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内 的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有
f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．
图象法、定义法 3.用定义证明函数单调性的步骤是：
取值--作差--变形（分解因式，通分，配方） -- 定号--结论； 4. 数学思想方法：数形结合，等价转化，类比等。
12
当堂演练 及时反馈
练习1. 写出一次函数y kx b , 二次函数 y ax 2 bx c ，
反比例函数y
k x
的单调区间以及在区间上的单调性；
8
例 并用2.根定据义函证数明你f (的x)结论1x.的图象，写出其单调区间， 归纳：证明单调性的步骤 取值 作差 变形 定号
结论 9
例3. 讨论函数 f(x) x2 2ax 3 在(-2,2)内的单调性.
10
11
归纳小结 感悟收获
1.两个定义：增函数、减函数的定义； 2.判断函数单调性的两种方法：
其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数；
在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数.
7
三、对单调区间的理解
（1）形式：区间； （2）内容：函数的单调性是在定义域内的某个 区间上的性质，单调区间是定义域的子集； （3）端点：开闭问题； （4）连接：当函数出现两个以上单调区间时，单 调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以 用“和”来表示．
函数的单调性
1
创设情境 导入新课
2
新知自解 归纳提升
y
一、函数单调性定义
f(x2)
1．增函数
f(x1)
O
x1
x2
x
一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内 的某个区间D内的任意两个自变量x1，x2，当x1<x2时，都有
f(x1)<f(x2)，那么就说f(x)在区间D上是增函数．
图象法、定义法 3.用定义证明函数单调性的步骤是：
取值--作差--变形（分解因式，通分，配方） -- 定号--结论； 4. 数学思想方法：数形结合，等价转化，类比等。
12
当堂演练 及时反馈
练习1. 写出一次函数y kx b , 二次函数 y ax 2 bx c ，
反比例函数y
k x
的单调区间以及在区间上的单调性；
8
例 并用2.根定据义函证数明你f (的x)结论1x.的图象，写出其单调区间， 归纳：证明单调性的步骤 取值 作差 变形 定号
结论 9
例3. 讨论函数 f(x) x2 2ax 3 在(-2,2)内的单调性.
10
11
归纳小结 感悟收获
1.两个定义：增函数、减函数的定义； 2.判断函数单调性的两种方法：
其中y=f(x)在区间[－2，1)，[3，5]上是增函数；
在区间[－5，－2），[1，3)上是减函数.
7
三、对单调区间的理解
（1）形式：区间； （2）内容：函数的单调性是在定义域内的某个 区间上的性质，单调区间是定义域的子集； （3）端点：开闭问题； （4）连接：当函数出现两个以上单调区间时，单 调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以 用“和”来表示．
人教版高中数学必修一第一章1.3.1函数的单调性PPT教学课件
条件 x1，x2，当x1＜x2时
都有f(fx(x)＜ 1)＜f(ff((xx)2)
都有f(fx()x_1)_＞__f(_x＞ 2) f
结论 那么就说函数f(x)在区间D上是增 增函数 那么就说函数f(x)在区间D上是减 减函数
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图示
思考1：增(减)函数定义中的x1，x2有什么特征？
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PART 03
合作探究·攻重难
TO WORK TOGETHER TO FIND OUT WHAT'S GOING ON
[合作探究 · 攻重难 ]
求 函数 的 单调 区 间
例1 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间上是增函数还是减函数．
1
2x＋1，x≥1，
(1)f(x)＝－；(2)f(x)＝
1
思 考2： 函 数y＝在 定 义 域 上 是 减 函 数 吗 ？ x
1
1
[提示] 不是 ． y＝在(－ ∞， 0)上递 减， 在(0， ＋∞ )上也 递减 ，但不 能说y＝在(－∞ ，0)∪
x
x
(0，＋ ∞)上递 减．
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[基础自测] 1．思考辨析 (1)因为f(－1)<f(2)，所以函数f(x)在[－1,2]上是增函数．( ) (2)若f(x)为R上的减函数，则f(0)>f(1)．( ) (3)若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均为增函数，则函数f(x)在区间(1,3)上为增函数．( )
－x2＋2x＋3，x≥0， (3)因为f(x)＝－x2＋2|x|＋3＝－x2－2x＋3，x<0. 根据解析式可作出函数的图象如图所示，由图象可知， 函数f(x)的单调区间为(－∞，－1]，(－1,0)，[0,1)，[1，＋∞)． f(x)在(－∞，－1]，[0,1)上是增函数，在(－1,0)，[1，＋∞)上是减函数．
人教A版高中数学必修一教学课件：1.3.1-第1课时-函数的单调性
也可以作商fx1与 fx21 Nhomakorabea比较．
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•活页作业(十)
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利用定义证明函数的单调性
证明函数 f(x)＝x＋1x在(1，＋∞)上是增函数． 思路点拨： 取值 ―→ 作差 ―→ 变形 ―→ 判号 ―→ 定论 证明：任取 x1，x2∈(1，＋∞)，且 x1＜x2，则 f(x1)－f(x2) ＝x1＋x11－x2－x12 ＝(x1－x2)＋x2x－1x2x1＝(x1－x2)x1xx12－ x2 1.
2．对增函数的判断，当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＜f(x2)，也可 以用一个不等式来替代：
(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＞0 或fxx11－－fx2x2＞0.对减函数的判断， 当 x1＜x2 时，都有 f(x1)＞f(x2)，相应地也可用一个不等式来替 代：(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]＜0 或fxx11－－fx2x2＜0.
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第一章 集合与函数概念
1.3 函数的基本性质 1.3.1 单调性与最大(小)值
第1课时 函数的单调性
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• 1．理解函数单调性的概念．(重点、难点) • 2．掌握判断函数单调性的一般方法．(重 点、易错点) • 3．会求函数的单调区间．(重点)
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解：函数 f(x)＝x＋1x在(0,1)上单调递减．证明如下： 任取 x1，x2∈(0,1)，且 x1＜x2， 则 f(x1)－f(x2)＝x1＋x11－x2－x12 ＝(x1－x2)＋x2x－1x2x1 ＝(x1－x2)x1xx12x－2 1，
高中数学1.3.1函数的单调性课件新人教A版必修1
学以致用
例1 下图是定义在区间[-5，5]上的函数y=f(x)，根 据图象说出函数的单调区间，以及在每个区间上, 它是增函数还是减函数？
解:函数y=f(x)的单调区间有
区间端点问题
[-5, -2), [-2,1), [1, 3), [3, 5].
其中y=f(x)在区间[-5, -2), [1, 3)上是减函数， 在区间[-2, 1), [3, 5] 上是增函数.
分析：只要证明函数 P K 在区间(0, )上为减函数即可
V
K
证明：设V1 ,V2是定义域上(0, )的任意两个实数，且V1 V2 则
V V1 k k p(V1 ) p(V2 ) k 2 V1 V2 V1V2
设值 解题技巧：变形手段通常是因 作差变形
0 V1 V2 V2 V1 0, V1V2 0 k 0 p (V1 ) p (V2 ) 0
动脑思考
探索新知 减函数
如果函数f(x)在给定区间上
随着x的增大而减少， 则f(x)在这个区间上减函数.
增函数
如果函数f(x)在给定区间上 随着x的增大而增大， 则f(x)在这个区间上增函数.
图 像 法 判 断 单 调 性
通过图像很容易判断函数的单调性， 但是给出f(x)的解析式时如何确定函数的单调性？
作差变形
定号 下结论
所以，函数f(x)=3x+2在R上是增函数.
证明函数单调性的步骤：
1.设值:设任意x1、x2属于给定区间,且x1< x2
2.作差变形:作差f(x1)-f(x2)并适当变形； 3.判号:确定f(x1)-f(x2)的正负；
4.下结论:由定义得出函数的单调性.
例3 物理学中的玻意尔定律 为正常数）告诉 我们，对于一定量的气体，当其体积 V 减少时，压强 P 将 增大.试用函数的单调性证明之.
人教版高一数学必修一函数单调性的性质课件PPT
思考3：一个函数在其定义域内，就单调性而言 有哪几种可能情形？
思考4:若函数 在区间D上具有单调性， ,那么 分别在区间A、B上具有单
调性吗？
思考5:下列图象表示的函数是增函数吗？
y
yபைடு நூலகம்
o
x
图1
o
x
图2
思考6:一般地，若函数 在区间A、B上是
单调函数，那么 在区间 上是单调函
数吗？
理论迁移
例1 已知函数 的解集.
上是减函数？
f (x)
知识探究（二）
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则 称函数 f (x)在这一区间具有（严格的）单调性，区 间D叫做函数 f (x)的单调区间，此时也说函数 f (x) 在这一区间上是单调函数.
思考1：函数 f (x) kx b 是单调函数吗？
思考2：函数 f (x) | x | 在R上具有单调性吗？ 其单调区间如何？
则函数 f (x)在区间D上的单调性如何？ x1 x2
若 f (x1) f (x2 ) 0 呢？
x1 x2
思考2：若函数 f 为常数，则函数
a(x)在f (区x)间、Da上f 为(x增) 的函单数调，a性如0何？
思考3：若函数 f (x)、g(x) 在区间D上都是增函数， 则函数 f (x) g(x) 、f (x) g(x)在区间D上的单调性 能否确定？
问题提出
1. 函数在区间D上是增函数、减函数的定义是什 么？ 2. 增函数、减函数的图象分别有何特征？
3. 增函数、减函数有那些基本性质？
知识探究（一）
对于函数 f (x)定义域内某个区间D上的任意两
个自变量的值 x1, x2 ,若当 x1 x2 时，都有
思考4:若函数 在区间D上具有单调性， ,那么 分别在区间A、B上具有单
调性吗？
思考5:下列图象表示的函数是增函数吗？
y
yபைடு நூலகம்
o
x
图1
o
x
图2
思考6:一般地，若函数 在区间A、B上是
单调函数，那么 在区间 上是单调函
数吗？
理论迁移
例1 已知函数 的解集.
上是减函数？
f (x)
知识探究（二）
如果函数y=f(x)在区间D上是增函数或减函数，则 称函数 f (x)在这一区间具有（严格的）单调性，区 间D叫做函数 f (x)的单调区间，此时也说函数 f (x) 在这一区间上是单调函数.
思考1：函数 f (x) kx b 是单调函数吗？
思考2：函数 f (x) | x | 在R上具有单调性吗？ 其单调区间如何？
则函数 f (x)在区间D上的单调性如何？ x1 x2
若 f (x1) f (x2 ) 0 呢？
x1 x2
思考2：若函数 f 为常数，则函数
a(x)在f (区x)间、Da上f 为(x增) 的函单数调，a性如0何？
思考3：若函数 f (x)、g(x) 在区间D上都是增函数， 则函数 f (x) g(x) 、f (x) g(x)在区间D上的单调性 能否确定？
问题提出
1. 函数在区间D上是增函数、减函数的定义是什 么？ 2. 增函数、减函数的图象分别有何特征？
3. 增函数、减函数有那些基本性质？
知识探究（一）
对于函数 f (x)定义域内某个区间D上的任意两
个自变量的值 x1, x2 ,若当 x1 x2 时，都有
人教高中数学必修一B版《函数的单调性》函数的概念与性质说课教学课件复习(单调性的定义与证明)
A．－1,0
B．0,2
C．－1,2
D.12，2
C [由题图可知，f(x)的最大值为f(1)＝2，f(x)的最小值为f(－2) ＝－1.]
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4．函数 f(x)＝x2－2x＋3 的单调减区间是________． (－∞，1] [因为f(x)＝x2－2x＋3是图像开口向上的二次函数， 其对称轴为x＝1，所以函数f(x)的单调减区间是(－∞，1]．]
∴f(x)＝x＋1x在(0,1)上是减函数．
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利用定义证明函数单调性的步骤 1取值：设 x1，x2 是该区间内的任意两个值，且 x1＞x2. 2作差变形：作差 fx1－fx2，并通过因式分解、通分、配方、 有理化等手段，转化为易判断正负的式子. 3定号：确定 fx1－fx2的符号. 4结论：根据 fx1－fx2的符号及定义判断单调性.
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(2)由(1)知 f(x)在[2,4]上单调递增， 所以 f(x)的最小值为 f(2)＝2×2＋2＋1 1＝53， 最大值为 f(4)＝2×4＋4＋1 1＝95.
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1．利用单调性求函数的最大(小)值的一般步骤 (1)判断函数的单调性． (2)利用单调性求出最大(小)值． 2．函数的最大(小)值与单调性的关系 (1)若函数 f(x)在区间[a，b]上是增(减)函数，则 f(x)在区间[a，b] 上的最小(大)值是 f(a)，最大(小)值是 f(b)．
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求函数的单调区间 【例 2】 求下列函数的单调区间，并指出该函数在其单调区间 上是增函数还是减函数． (1)f(x)＝－1x；(2)f(x)＝25x－＋x1，，x<x≥1；1， (3)f(x)＝－x2＋2|x|＋3.
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[解]
(1)函数f(x)＝－
新人教版高中数学必修第一册函数的单调性ppt课件及课时作业
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5.已知函数f(x)＝4x2－kx－8在(－∞，5]上具有单调性，则实数k的取值范
பைடு நூலகம்
围是
A.(－24,40) C.(－∞，－24]
B.[－24,40]
√D.[40，＋∞)
∵函数 f(x)＝4x2－kx－8 的图象的对称轴方程为 x＝8k， 且函数f(x)＝4x2－kx－8在(－∞，5]上具有单调性，
由函数的图象知f(x)＝－1x，f(x)＝x，f(x)＝－x2 在(－∞，0)上单调递增.
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7.函数y＝|x2－2x－3|的单调递增区间是__[_－__1_,1_]_和__[_3_，_＋__∞__)__.
y＝|x2－2x－3| ＝|(x－1)2－4|， 作出该函数的图象，如图. 由图象可知， 其单调递增区间为[－1,1]和[3，＋∞).
则2x－3>5x－6，即x<1.
∴实数x的取值范围为(－∞，1).
若函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，
2x－3>0， 则5x－6>0，
2x－3<5x－6， 解得 x>32， ∴x 的取值范围为32，＋∞.
课堂 小结
1.知识清单： (1)增函数、减函数的定义. (2)函数的单调区间.
2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：
反思感悟
利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值并规定大小：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2； (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)，并通过因式分解、通 分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式； (3)定号：确定f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时， 进行分类讨论. (4)结论：根据定义确定单调性.
5.已知函数f(x)＝4x2－kx－8在(－∞，5]上具有单调性，则实数k的取值范
பைடு நூலகம்
围是
A.(－24,40) C.(－∞，－24]
B.[－24,40]
√D.[40，＋∞)
∵函数 f(x)＝4x2－kx－8 的图象的对称轴方程为 x＝8k， 且函数f(x)＝4x2－kx－8在(－∞，5]上具有单调性，
由函数的图象知f(x)＝－1x，f(x)＝x，f(x)＝－x2 在(－∞，0)上单调递增.
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7.函数y＝|x2－2x－3|的单调递增区间是__[_－__1_,1_]_和__[_3_，_＋__∞__)__.
y＝|x2－2x－3| ＝|(x－1)2－4|， 作出该函数的图象，如图. 由图象可知， 其单调递增区间为[－1,1]和[3，＋∞).
则2x－3>5x－6，即x<1.
∴实数x的取值范围为(－∞，1).
若函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，
2x－3>0， 则5x－6>0，
2x－3<5x－6， 解得 x>32， ∴x 的取值范围为32，＋∞.
课堂 小结
1.知识清单： (1)增函数、减函数的定义. (2)函数的单调区间.
2.方法归纳：数形结合法. 3.常见误区：
反思感悟
利用定义证明函数单调性的步骤 (1)取值并规定大小：设x1，x2是该区间内的任意两个值，且x1<x2； (2)作差变形：作差f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)，并通过因式分解、通 分、配方、有理化等方法，转化为易判断正负的关系式； (3)定号：确定f(x1)－f(x2)或f(x2)－f(x1)的符号，当符号不确定时， 进行分类讨论. (4)结论：根据定义确定单调性.