高二数学应用举例1
高二数学(12应用举例)
小岛的距离是多少？
北
A
东
15 海里
B
C
思考2：在A处观察小岛，其位置如何？
北
A
东
B
C
南偏东7°，相距21海里
小结作业
1.利用正弦定理和余弦定理解三角形求 角的大小，是角度测量问题的基本内容， 主要应用于航海中航行方向的测量与计 算.
2.角与距离是密切相关的，将背景材料 中的相关数据转化为三角形的边角值， 再利用正、余弦定理求相关角的大小， 是解题的基本思路.
2.计算物体的高度时，一般先根据测量 数据，利用正弦定理或余弦定理计算出 物体顶部或底部到一个可到达点的距离， 再解直角三角形求高度.
作业： P15练习：2.
1.2 应用举例 第三课时
问题提出
1.测量水平面内两点间的距离，有哪两 种类型？分别测量哪些数据？
一个可到达点与一个不可到达点之间的 距离；两个不可到达点之间的距离.
B
A C
思考3：一般地，若A为可到达点，B为不
可到达点，应如何设计测量方案计算A、
B两点的距离？
B
A C
选定一个可到达点C； →测量AC的距离及∠BAC，∠ACB的大小
→利用正弦定理求AB的距离.
思考4：根据上述测量方案设置相关数据， 计算A、B两点的距离公式是什么？
B
设AC=d， ∠ACB=α ， ∠BAC=β .
60°
思考2：在△ABC中，若 tan A - tan B = b + c ， 则角A的值为多少？ tan A + tan B c
120°
探究（三）：三角形形状的确定
思考1：在△ABC中，若acosB=bcosA，则 △ABC的形状如何？ 等腰三角形
高中数学中的二次函数应用题
高中数学中的二次函数应用题二次函数是高中数学中的一种重要的函数类型，其应用广泛，涉及到各个领域的实际问题。
本文将介绍几个关于二次函数应用的例子，来帮助读者更好地理解和运用二次函数。
例子一：抛物线的运动轨迹许多物理问题中，抛体的运动轨迹可以用二次函数来描述。
假设一个小球从地面上以速度v0与角度θ发射，竖直方向上受到重力加速度的作用，在没有空气阻力的情况下，小球的运动轨迹可以用二次函数来描述。
设小球的运动轨迹方程为y = ax^2 + bx + c，其中y为小球的竖直位移，x为时间。
根据物理知识，小球在竖直方向上的加速度为g，因此有如下方程：y'' = g利用导数的定义，我们可以得到小球的竖直速度和位移之间的关系：y' = v0sinθ - gt再次对y'求导数，得到小球的竖直加速度：y'' = -g由此可得：y'' = -g这是一个常微分方程，求解该方程可以得到小球的运动轨迹方程y = ax^2 + bx + c。
通过解方程可以得到小球的抛物线轨迹。
例子二：物体的抛射问题在物理学中，一个重要的问题是求解一个物体的抛射问题。
假设一个物体从地面上以速度v0和角度θ发射，水平方向上不受空气阻力的作用。
我们可以利用二次函数来描述这个问题。
设物体的水平位移为x，竖直位移为y，则根据物理定律，物体在水平方向上的速度与时间的关系为：x = v0cosθt物体在竖直方向上受到重力的作用，因此其竖直位移与时间的关系可以用二次函数来描述：y = -gt^2 + v0sinθt通过联立以上两个方程，可以求解出物体的抛射轨迹。
例子三：经济利润问题在经济学中，二次函数可以用来描述企业的利润问题。
假设一个企业的总收入与产量的关系可以用二次函数表示，其函数形式为R(x) = -ax^2 + bx + c，其中x为产量。
企业的总成本与产量的关系可以用一次函数表示，其函数形式为C(x) = dx + e。
高中数学公式的应用实例
高中数学公式的应用实例在高中数学学习中，数学公式是我们解题的重要工具。
通过理解和掌握各种数学公式，并能够灵活运用，我们可以在解决实际问题时事半功倍。
本文将通过几个数学公式的应用实例，来展示高中数学公式在实际生活中的应用。
一、二次函数的顶点坐标二次函数是高中数学中的重要内容，其顶点坐标的计算也是经常出现的问题。
对于二次函数y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，我们知道顶点坐标的横坐标为x=-b/2a。
以一个实例来说明。
例题：已知二次函数y=x^2-4x+3，请求其顶点坐标。
解析：将二次函数转化为标准形式，得到y=(x-2)^2-1。
比较标准形式和一般形式可以得知，该二次函数的顶点坐标为(2,-1)。
二、三角函数的应用三角函数是高中数学中的重要内容，广泛应用于物理、工程、地理等多个领域。
其中，正弦函数、余弦函数和正切函数是我们最为常用的三角函数。
下面以航空领域中的实例说明三角函数的应用。
例题：一架飞机以恒定的速度爬升，在离地面3公里的高度处，测得与地平线的夹角为30°，请计算飞机此时的爬升速度。
解析：根据三角函数中的正弦函数的定义，sinθ=对边/斜边。
其中，θ为与地平线的夹角，对边为离地面的高度差，斜边为飞机的爬升距离。
已知sin30°=1/2，对边为3公里，代入公式计算得斜边为6公里。
爬升速度即为斜边的长度，所以飞机的爬升速度为6公里/小时。
三、概率论中的加法和乘法原理概率论是高中数学中的一门重要分支，其中的加法原理和乘法原理被广泛应用于各种实际问题的计算。
下面以一个投掷骰子的实例来说明。
例题：将一枚普通骰子投掷两次，求投掷的结果为奇数的概率。
解析：根据加法原理，我们可以将问题分解为两个独立事件的概率相加。
第一次投掷为奇数的概率为1/2，第二次投掷为奇数的概率也为1/2。
根据乘法原理，两个事件同时发生的概率为1/2 * 1/2 = 1/4。
所以投掷的结果为奇数的概率为1/4。
高二数学《解三角形应用举例》
两点中有一点 不可到达
两点都不可到 达
测 量A
距
离
B
BA
B
A
C
C
D
底部可以到达
底部不可以到达
测 量 高 度C
A
A
B
B
CD
A
B CD
连接高考：(10年江苏卷第17题）
某兴趣小组要测塔量AE电 的视 高度 H（单位：米）如，示意
垂直放置的B标C的杆高度 h4米，仰∠角ABE,∠ADE (1)该小组测ta得 n1.24,tan 1.20,据此算H出 的值
第二 步 AB 中 ： N ， 在 BA N , AB N
|A|B d,由正弦|A 定 |N s理 d is n i 求 ( n) 出
第 三 A 中 M |M 步 | ， |A N N |2 ： |M A |2 2 N 在 |A |A |M |cN o )s
寻根溯源： 人教B版教材必修5
A
B
M
N
A
B
分析M：
N
(1)需要测量的 A点数 处据 观 M ,N 有 的 察： 俯 点 ， 在 角 ；
在B 点 处观M 察 ,N 的 点 俯 ， ； 角A 及 ,B间距 d 离
(2 )第一 A 步 B 中 M ： B ， A 在 , M AB ,|M A| B d
由正弦 |A| M 定 sd is n i理 n )( 求出
15页练习A第2题
从高h的 为气(A球 )上测量(B铁C)的 桥长，
如果测得 (B)的 桥俯 头角 ，为桥头 C) （
的俯角 ，为求该桥的长
A
h
B
C
两点间相互不 可到达 ，但测 量者可以到达
两点中有一点 不可到达
高二数学函数模型的应用实例
最大日交易额为125万元.
课堂小结
1、建立（确定）函数模型，解决实际问题的基本 程序是什么？
实际问题
抽象概括
数学模型
实际问题 的解
还原说明
推理 演算
数学模型 的解
课堂小结
2、在本节课的学习过程中，运用到了哪些 数学思想方法？
数形结合、分类与整合、化归与转化. 待定系数法、配方法.
作业布置
必做题：教材P106练习第1题， P107习题3.2A组第3，4题.
解：(2)根据图形可得： 75
65
50 t 2010 , 0 t 1, 50
S
80(t 90(t
1) 2060 2) 2140
, ,
1 t 2, 2 t 3,
10
75(t 3) 2230 , 3 t 4, 65(t 4) 2305 , 4 t 5.
y＝(720－40x)(x－5)－200 ＝－40x2＋920x－3800 (5＜x＜18) =－40(x － 11.5)2+1490. 所以，当x=11.5时，y有最大值. 故将销售单价 定为11.5元，就可获得最大的利润.
实例分析
【例2】（解法二） 设在进价基础上增加x元后，日均销售利润为y元.
0 t 20, 20 t 30,
(t N )
即
f (t)
1 5
t
2
6t
1
t2
12t
80, 320,
0 t 20, 20 t 30,
(t N )
10
解：(3)设第t 天的日交易额为f(t)万元，则
高二数学课件：第三章 第八节 应用举例
都等于a km，灯塔A在观测站C的北偏东20°，灯塔B在观测站C
的南偏东40°，则灯塔A与B的距离为( )
(A)a km
(B) 3a km
(C) 2a km
(D)2a km
【解题指南】(1)利用三角形的内角和定理得∠ABC，再利用正
弦定理可解.
(2)先根据题意作出示意图，确定∠ACB的值，再由余弦定理可 直接求得AB的值.
船沿什么方向能最快追上走私船？最少要花多少时间？ 【解题指南】设出缉私船t小时后在D处追上走私船后，确定出三 角形，先利用余弦定理求出BC，再利用正弦定理求出时间.
【规范解答】设缉私船t小时后在D处追上走私船， 则有CD=10 3 t,BD=10t. 在△ABC中，AB= 3 -1,AC=2,∠BAC=120°.
【反思·感悟】解决高度的问题主要是根据条件确定出所利用
的三角形，准确地理解仰角和俯角的概念并和三角形中的角度
相对应；分清已知和待求的关系，正确地选择定理和公式，特
别注意高度垂直地面构成的是直角三角形 .
【变式训练】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米 后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°， 求塔高. 【解析】如图：在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝ 135°，
答案：北偏西10°
2.解三角形应用题的一般步骤 (1)读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，理清 量与量之间的关系. (2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型. (3)选择正弦定理或余弦定理求解. (4)将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、 近似计算要求.
【即时应用】
所以sin∠MAC = sin(120°-C)=sin120°cosC-cos120°sinC = 35 3 .
高中数学中的二次函数应用案例分析
高中数学中的二次函数应用案例分析二次函数是高中数学中一个重要的内容，也是数学中的一种基本函数类型。
它在实际生活中有着广泛的应用，可以用来描述许多自然现象和经济问题。
本文将通过几个案例分析，展示二次函数在实际问题中的应用。
案例一：抛物线的轨迹假设有一位运动员在训练中进行跳远，他的跳远轨迹可以用一个抛物线来描述。
我们知道，抛物线的方程可以表示为y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数。
通过观察运动员的跳远过程，我们可以得到一些数据点，例如跳远的起点、最高点和落地点。
根据这些数据点，我们可以建立一个二次函数模型，进而预测运动员在不同距离上的跳远成绩。
案例二：物体的自由落体在物理学中，自由落体是一个常见的现象。
当一个物体从高处自由下落时，它的运动轨迹可以用一个抛物线来描述。
假设有一个小球从高楼上自由落下，我们可以通过观察小球在不同时间点的位置，建立一个二次函数模型来描述小球的运动。
通过这个模型，我们可以计算小球在不同时间点的位置和速度，进而研究物体的自由落体规律。
案例三：经济学中的成本函数在经济学中，成本函数是一个重要的概念。
假设有一个公司生产某种产品，它的生产成本可以用一个二次函数来表示。
这个二次函数的自变量可以是产品的产量，因变量可以是生产成本。
通过分析这个二次函数，我们可以研究不同产量下的生产成本变化规律，进而优化生产过程，提高经济效益。
案例四：建筑物的抗震设计在建筑工程中，抗震设计是非常重要的。
为了保证建筑物在地震中的稳定性，工程师需要通过数学模型来分析建筑物的抗震性能。
其中，二次函数可以用来描述建筑物受力分布的曲线。
通过分析这个二次函数，工程师可以确定建筑物的结构参数，进而设计出更加安全可靠的建筑物。
通过以上几个案例的分析，我们可以看到二次函数在实际问题中的广泛应用。
它不仅可以用来描述物体的运动轨迹，还可以用来分析经济问题、优化生产过程和设计建筑物等。
在高中数学教学中，教师可以通过这些案例，引导学生理解二次函数的概念和性质，培养学生的实际问题解决能力。
高中数学中的数学证明方法应用案例全面解析与实践
高中数学中的数学证明方法应用案例全面解析与实践简介：数学是一门逻辑性极强的学科，证明是数学学习和发展的重要组成部分。
本文将从数学证明方法的应用案例出发，全面解析和实践高中数学中的证明方法，帮助读者更好地理解和运用数学证明。
一、直接证明法的应用案例直接证明法是最基本的证明方法之一，在高中数学中应用广泛。
以下是一个简单的应用案例：例1：证明任意两个正偶数的和一定是偶数。
解：设任意两个正偶数分别为2n和2m（n、m为正整数）。
根据偶数的定义，可以得出结论：存在正整数k，满足2n+2m=2k。
因此，任意两个正偶数的和一定是偶数。
证毕。
二、间接证明法的应用案例间接证明法是通过对反证法的运用来证明命题的方法。
以下是一个典型的应用案例：例2：证明根号2是一个无理数。
解：假设根号2是一个有理数，即可以表示为两个互质的整数的比。
设根号2可以表示为a/b（a、b为互质的整数）。
根据这个假设，我们可以得出：2 = (a^2)/(b^2)。
移项化简得到：2b^2 = a^2。
根据等式两边的特性可知，a^2是偶数，那么a也一定是偶数（偶数的平方仍为偶数），设a=2m（m为整数）。
将a=2m代入到等式中得到：2b^2 = (2m)^2，进一步化简得到：b^2 = 2m^2。
根据等式两边的特性可知，b^2也是偶数，那么b也一定是偶数。
但是，这与我们的假设相矛盾，因为a和b应该是互质的整数。
因此，根据反证法的推理过程，我们可以得出结论：根号2是一个无理数。
证毕。
三、数学归纳法的应用案例数学归纳法是一种递推证明方法，通过证明基础情况和递推关系来证明一个命题在所有自然数上成立。
以下是一个示例：例3：证明对于任意正整数n，1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2。
解：（1）当n=1时，左边的和为1，右边等于1^2，命题成立。
（2）假设对于任意正整数k，1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k^2成立。
最新通用版高二上册综合实践活动 第18课 数学在实际生活中的应用实例(课件)
数学在工程设计中的应用
数据分析
工程设计过程中的数据分析也离不开数学。工程师可以使用数 学方法来处理和分析大量的实验数据，以了解不同变量之间的 关系。例如，在材料工程中，通过数学方法可以分析材料的物 理和化学性质，以确定最佳的材料组合和处理方法。在电子工 程中，数学方法可以帮助工程师分析电路的性能和稳定性，以 优化电路设计。 以上是数学在工程设计中的应用的三个要点。通过数学模型进 行优化设计、使用数学方法进行结构分析以及利用数学方法进 行数据分析，都是工程设计过程中不可或缺的数学应用。
排队论是运筹学中的一种数学模型，用于研究排队系统的性能 和效率。在实际生活中，排队论可以应用于交通拥堵的研究和 优化。通过排队论模型，可以分析交通流量、车辆密度等因素 ，从而提出改善交通拥堵的策略，如调整信号灯时间
图论是一种研究图和网络的数学理论。在实际生活中，图论可 以应用于社交网络分析、电力网络优化等领域。例如，在社交 网络中，可以利用图论模型来研究人际关系、信息传播等问题 ，从而更好地理解社交网络的结构和特征，以便进行精准的推 荐和营销。
第18课 数学在实际 生活中的应用实例
1 1. 数学在金融领域的应用 2 2. 数学在工程设计中的应用 3 3. 数学在数据分析中的应用 4 4. 数学在运筹学中的应用
1
数学在金融领域的应 用
数学在金融领域的应用
利润计算
风险评估
投资组合优化
数学在金融领域的应用
利润计算
金融领域中，利润计算是一项重要的任务。通过数学计算，可 以准确地计算出企业或个人的利润。利润计算涉及到各种成本 和收入的计算，包括固定成本、变动成本、销售额、营业额等 。数学的运算能力和逻辑思维能够帮助金融从业者准确地计算 利润，为企业或个人的决策提供可靠的依据。
必修5第一章 §1.2 应用举例—①测量距离
高二数学 必修5 第一章 §1.2 应用举例—①测量距离（2014/9/4）班级 姓名(1)坡角：坡向与水平方向的夹角，如图．(2)仰角和俯角：在视线和水平线所成角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角，如图．(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线所成的角，如图中B 点的方位角为α.(4)方向角：从指定方向线到目标方向线所成的小于90°的水平角，如南偏西60°，指以正南方向为始边，顺时针方向向西旋转60°.如图中∠ABC 为北偏东60°或为东偏北30°.坡角 仰角和俯角 方位角方向角 二、新课导学 ※ 典型例题例1、如图，为测量河对岸A ，B 两点的距离，在河的这边测出CD的长为32km ，∠ADB ＝∠CDB ＝30°，∠ACD ＝60°，∠ACB ＝45°，求A ，B 两点间的距离．变式1、如图所示，为了测量河的宽度，在一侧岸边选定两点A ，B ，在另一侧岸边选定点C ，测得 ∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，求河的宽度。
新知：基线：在测量上，根据测量需要适当确定的线段叫基线.例2、一商船行至索马里海域时，遭到海盗的追击，随即发出求救信号．正在该海域执行护航任务的海军“黄山”舰在A 处获悉后，即测出该商船在方位角为45°距离10海里的C 处，并沿方位角为105°的方向，以9海里/时的速度航行．“黄山”舰立即以21海里/时的速度前去营救．求“黄山”舰靠近商船所需要的最少时间及所经过的路程．变式2、如图，一艘船以32.2/n mile h 的速度向正北航行，在A 处看灯塔S 在船的北偏东20的方向，30 min 后航行到B 处，在S 处看灯塔S 在船的北偏东65的方向，已知距离此灯塔6.5n mile 以外的海区为航行安全区域，这艘船可以继续一直沿正北方向航行吗？（参考值：sin 200.34≈，sin1150.91≈）三、总结提升※学习小结1. 解斜三角形应用题的一般步骤：（1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图（2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；（3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解（4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解.2．基线的选取：测量过程中，要根据需要选取合适的基线长度，使测量具有较高的精确度.一、基础训练题1．某次测量中，若A在B的南偏东40°，则B在A的()A．北偏西40°B．北偏东50°C．北偏西50°D．南偏西50°2．在某次测量中，在A处测得同一方向的B点的仰角为60°，C点的俯角为70°，则∠BAC等于() A．10°B．50°C．120°D．130°3．已知A、B两地间的距离为10 km，B、C两地间的距离为20 km，现测得∠ABC＝120°，则A、C 两地间的距离为()A．10 km B．10 3 km C．10 5 km D．107 km4．我舰在敌岛A处南偏西50°的B处，且AB距离为12海里，发现敌舰正离开岛沿北偏西10°的方向以每小时10海里的速度航行，若我舰要用2小时追上敌舰，则速度大小为()A．28海里/小时B．14海里/小时C．14 2 海里/小时D．20海里/小时5．有一长为10 m的斜坡，倾斜角为75°，在不改变坡高和坡顶的前提下，通过加长坡面的方法将它的倾斜角改为30°，则坡底要延长表()．A．5 m B．10 m C．10 2 m D．10 3 m6．已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()．A．a km B.3a km C.2a km D．2a km7．海上有A，B，C三个小岛，测得A，B两岛相距10 n mile，∠BAC＝60°，∠ABC＝75°，则B，C 间的距离是_____n mile.8．某海岛周围38海里有暗礁，一轮船由西向东航行，初测此岛在北偏东60°方向，航行30海里后测得此岛在东北方向，若不改变航向，判断此船有无触礁的危险．9．如图，A、B两点都在河的对岸(不可到达)，在河岸边选定两点C、D，测得CD＝1000米，∠ACB ＝30°，∠BCD＝30°，∠BDA＝30°，∠ADC＝60°，求AB的长．二、提高训练题10．某人先向正东方向走了x km，然后他向右转150°，向新的方向走了3 km，结果他离出发点恰好为 3 km，那么x的值为()．A. 3 B．2 3 C．23或 3 D．311．海上一观测站测得方位角240°的方向上有一艘停止待修的商船，在商船的正东方有一艘海盗船正向它靠近，速度为每小时90海里．此时海盗船距观测站107 海里，20分钟后测得海盗船距观测站20海里，再过________分钟，海盗船即可到达商船．12．某海上养殖基地A接到气象部门预报，位于基地南偏东60°距离20(3＋1)海里的海面上有一台风中心，影响半径为20海里，正以每小时102海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预计台风中心将从基地东北方向刮过且(3＋1)小时后开始影响基地持续2小时．求台风移动的方向．必修5 第一章 §1.2 应用举例—①测量距离参考答案1、答案：A2、解析：如图，∠BAC 等于A 观察B 点的仰角与观察C 点的俯角和，即60°＋70°＝130°. 答案：D3、解析：选D.由余弦定理可知：AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC cos ∠ABC . 又∵AB ＝10，BC ＝20，∠ABC ＝120°， ∴AC 2＝102＋202－2×10×20×cos 120°＝700. ∴AC ＝107.4、解析：如图，设我舰在C 处追上敌舰，速度为v ，5、则在△ABC 中，AC ＝10×2＝20(海里)，AB ＝12海里，∠BAC ＝120°，∴BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 120°＝784， ∴BC ＝28海里， ∴v ＝14海里/小时． 答案：B.5、解析 如下图所示， 设将坡底加长到B ′时，倾斜角为30°.依题意，∠AB ′B ＝30°， ∠BAB ′＝75°－30°＝45°，AB ＝10 m. 在△ABB ′中，根据正弦定理得，BB ′＝AB sin 45°sin 30°＝10×2212＝102(m)，即当坡底伸长10 2 m 时，斜坡的倾斜角将变为30°. 答案 C6、解析 如图所示，在△ABC 中，AC ＝BC ＝a ，∠ACB ＝180°－(20°＋40°)＝120°， ∴AB ＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos 120°＝ a 2＋a 2－2a 2·⎝⎛⎭⎫－12 ＝ 3a (km)． 答案 B7、解析 在△ABC 中，由正弦定理可得BC sin A ＝AB sin C ，即BC ＝AB sin A sin C ＝10sin 60°sin(180°－60°－75°)＝5 6. 答案 5 68、解：由题意在三角形ABC 中，AB ＝30，∠BAC ＝30°，∠ABC ＝135°，∴∠ACB ＝15°，由正弦定理BC ＝ABsin ∠ACB·sin ∠BAC ＝30sin 15°·sin 30°＝156－24＝15(6＋2)．在Rt △BDC 中，CD ＝22BC ＝15(3＋1)>38. 所以没有触礁危险9、解：由题意知△ACD 为正三角形，所以AC ＝CD ＝1000米． 在△BCD 中，∠BDC ＝90°，所以BC ＝CD cos ∠BCD＝1000cos 30°＝200033米．在△ACB 中，AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 30°＝10002＋200023－2×1000×200033×32＝10002×13，所以AB ＝100033米． 10、解析 根据余弦定理可得，(3)2＝x 2＋32－2×3x cos(180°－150°)，即x 2－33x ＋6＝0，∴x ＝23或 3.答案 C11、解析 如图，设开始时观测站、商船、海盗船分别位于A 、B 、C 处，20分钟后，海盗船到达D 处，在△ADC 中，AC ＝107，AD ＝20，CD ＝30，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋CD 2－AC 22AD ·CD＝400＋900－7002×20×30＝12.∴∠ACD ＝60°，在△ABD 中由已知得∠ABD ＝30°. ∠BAD ＝60°－30°＝30°，∴BD ＝AD ＝20，2090×60＝403(分钟)．答案：40312、解：如题图所示，设预报时台风中心为B ，开始影响基地时台风中心为C ，则B ，C ，D 在同一直线上，且AD ＝20海里，AC ＝20海里．由题意知，AB ＝20(3＋1) 海里，DC ＝2×102＝20 2 海里，BC ＝(3＋1)×10 2 海里． 在△ADC 中，∵DC 2＝AD 2＋AC 2， ∴∠DAC ＝90°，∠ADC ＝45°. 在△ABC 中，由余弦定理得cos ∠BAC ＝AC 2＋AB 2－BC 22AC ·AB ＝32，∴∠BAC ＝30°，又∵B 位于A 的南偏东60°，且60°＋30°＋90°＝180°， ∴D 位于A 的正北方向，又∵∠ADC ＝45°，∴台风移动的方向为CD →的方向，即北偏西45°方向． 所以台风向北偏西45°方向移动．。