辽宁省沈阳市2017_2018学年高中数学暑假作业第三部分概率3.1事件与概率
辽宁省沈阳二中2017-2018学年高一下学期期中数学试卷 Word版含解析
2017-2018学年辽宁省沈阳二中高一（下）期中数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数据a1，a2，a3…a n的方差为σ2，则数据2a1，2a2，2a3…2a n的方差为（）A． B．σ2C．2σ2D．4σ22．如图所示的程序框图中的错误是（）A．i没有赋值B．循环结构有错C．s的计算不对D．判断条件不成立3．已知点A（1，1），B（5，3），向量绕点A逆时针旋转到的位置，则点C的坐标为（）A．（﹣1，5）B．（1，﹣5）C．（﹣4，2）D．（2，﹣4）4．函数y=log sin（2x+）的单调减区间为（）A．（k∈Z）B．（k∈Z）C．（k∈Z）D．（k∈Z）5．任取一个三位正整数N，对数log2N是一个正整数的概率是（）A． B． C． D．6．如图所示，沿田字型路线从A往N走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，求经过点C的概率（）A．B．C．D．7．若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．8．口袋内有一些大小、形状完全相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为（）A．0.5 B．0.7 C．0.3 D．0.69．已知sinx+siny=，则u=sinx+cos2x的最小值是（）A．﹣B．﹣1 C．1 D．10．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣（f（x）≠0），且在区间上单调递增．已知α、β是锐角三角形的两个内角，则f（sinα），f（cosβ）的大小关系是（）A．f（sinα）＜f（cosβ）B．f（sinα）＞f（cosβ）C．f（sinα）=f（cosβ）D．以上情况均有可能11．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．12．已知向量，，，满足||=||=•=2，（﹣）•（（﹣2）=0，则|﹣|的最小值为（）A．B．C．D．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，且关于x的方程有实根，则与的夹角的取值范围是______．14．的值为______．15．在△OAB中，，，AD与BC交于点M，设，，以、为基底表示，则=______．16．已知（1+sint）（1+cost）=，则+的值为______．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知||=3，||=2，与的夹角为60°，=3+5，=m﹣3．（1）m为何值时，与垂直？（2）m为何值时，与平行？18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象与x轴的一个交点为（﹣，0），与此交点距离最短的最高点坐标是（，1）．（1）求函数f（x）的表达式．（2）求方程f（x）=a （﹣1＜a＜0）在[0，2π]内的所有实数根之和．（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．20．A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限．C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB为正三角形．记∠AOC=α．（1）若A点的坐标为（，），求的值；（2）求|BC|2的取值范围．21．欲修建一横断面为等腰梯形（如图）的水渠，为降低成本必须尽量减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面面积设计为定值S，渠深h，则水渠壁的倾角α（0°＜α＜90°）应为多大时，方能使修建成本最低？22．已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），且与之间满足关系：|k+|=|﹣k |，其中k＞0．（1）用k表示•．（2）求•的最小值，并求此时与夹角θ的大小．2017-2018学年辽宁省沈阳二中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．数据a1，a2，a3…a n的方差为σ2，则数据2a1，2a2，2a3…2a n的方差为（）A． B．σ2C．2σ2D．4σ2【考点】极差、方差与标准差．【分析】本题是根据一组数据的方差，求和它有关的另一组数据的方差，可以先写出数据a1，a2，a3…a n的方差为σ2的表示式，然后再写出数据中每一个数据都乘以2以后的表示式，得到结果．【解答】解：∵σ2=，∴=4•=4σ2．故选D2．如图所示的程序框图中的错误是（）A．i没有赋值B．循环结构有错C．s的计算不对D．判断条件不成立【考点】程序框图．【分析】程序中变量的使用前需要先给变量赋值，如果在给变量赋值前使用变量，则导致错误，观察程序框图，i在使用前没有被赋值．【解答】解：程序中变量的使用前需要先给变量赋值，如果在给变量赋值前使用变量，则导致错误．故程序框图中，在判断框前应该给i赋值．故选：A．3．已知点A（1，1），B（5，3），向量绕点A逆时针旋转到的位置，则点C的坐标为（）A ．（﹣1，5）B ．（1，﹣5）C ．（﹣4，2）D ．（2，﹣4） 【考点】平面向量的坐标运算． 【分析】设C （x ，y ），则=（4，2），=（x ﹣1，y ﹣1），可得=0，||=||，联立解得即可得出．【解答】解：设C （x ，y ），则=（4，2），=（x ﹣1，y ﹣1），∴=0，||=||，化为：4（x ﹣1）+2（y ﹣1）=0， =，联立解得：x=﹣1，y=5．∴C （﹣1，5）． 故选：A ．4．函数y=log sin （2x +）的单调减区间为（ ）A ．（k ∈Z ）B ．（k ∈Z ）C ．（k ∈Z ） D ．（k ∈Z ）【考点】复合三角函数的单调性．【分析】观察可知函数是由，t=sin （2x +）构成的复合函数，由复合函数的单调性，只要求得t=sin （2x +）增区间中的大于部分即可．【解答】解：令：，t=sin （2x +）∴2k π＜2x +≤2k π+k π＜x ≤k π+由复合函数的单调性可知：函数的单调减区间为（k ∈Z ）故选B5．任取一个三位正整数N ，对数log 2N 是一个正整数的概率是（ ）A ．B ．C ．D ．【考点】等可能事件的概率．【分析】所有的三位正整数N 共有900个，其中，使对数log 2N 是一个正整数的三位正整数N 有3个，由此求得对数log 2N 是一个正整数的概率． 【解答】解：所有的三位正整数N 共有900个，其中，使对数log2N是一个正整数的三位正整数N有27=128、28=256、29=512，共3个，故对数log2N是一个正整数的概率是=，故选：C．6．如图所示，沿田字型路线从A往N走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，求经过点C的概率（）A．B．C．D．【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】由题意利用列举法求出从A到N的不同走法的种数和其中经过点C的种数，由此能求出经过点C的概率．【解答】解：由题意从A到N的不同走法有：A﹣D﹣S﹣J﹣N，A﹣B﹣F﹣M﹣N，A﹣D﹣C﹣J﹣N，A﹣D﹣C﹣M﹣N，A﹣B﹣C﹣J﹣N，A﹣B﹣C﹣M﹣N，共6种，其中经过点C的有：A﹣D﹣C﹣J﹣N，A﹣D﹣C﹣M﹣N，A﹣B﹣C﹣J﹣N，A﹣B﹣C﹣M﹣N，共4种，∴经过点C的概率p=．故选：B．7．若将函数y=tan（ωx+）（ω＞0）的图象向右平移个单位长度后，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，则ω的最小值为（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据图象的平移求出平移后的函数解析式，与函数y=tan（ωx+）的图象重合，比较系数，求出ω=6k+（k∈Z），然后求出ω的最小值．【解答】解：y=tan（ωx+），向右平移个单位可得：y=tan[ω（x﹣）+]=tan（ωx+）∴﹣ω+kπ=∴ω=k+（k∈Z），又∵ω＞0∴ωmin=．故选D．8．口袋内有一些大小、形状完全相同的红球、黄球和白球，从中任意摸出一球，摸出的球是红球或黄球的概率为0.4，摸出的球是红球或白球的概率为0.9，那么摸出的球是黄球或白球的概率为（）A．0.5 B．0.7 C．0.3 D．0.6【考点】互斥事件的概率加法公式．【分析】设摸出红球的概率是P（A），摸出黄球的概率是P（B），摸出白球的概率是P（C），求出P（B），P（C），相加即可．【解答】解：设摸出红球的概率是P（A），摸出黄球的概率是P（B），摸出白球的概率是P （C），∴P（A）+P（B）=0.4，P（A）+P（C）=0.9，∴P（C）=1﹣P（A）﹣P（B）=0.6，P（B）=1﹣P（A）﹣P（C）=0.1，∴P（B）+P（C）=0.7，故选：B．9．已知sinx+siny=，则u=sinx+cos2x的最小值是（）A．﹣B．﹣1 C．1 D．【考点】三角函数的最值；同角三角函数基本关系的运用．【分析】已知等式变形表示出siny，根据正弦函数的值域确定出sinx的范围，原式利用同角三角函数间基本关系变形，利用二次函数的性质求出最小值即可．【解答】解：∵sinx+siny=，∴siny=﹣sinx∈[﹣1，1]，∴sinx∈[﹣，1]，则u=sinx+1﹣sin2x=﹣（sinx﹣）2+，结合二次函数的性质可知：当x=﹣时，函数值取得最小值且为﹣，故选：A．10．定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣（f（x）≠0），且在区间上单调递增．已知α、β是锐角三角形的两个内角，则f（sinα），f（cosβ）的大小关系是（）A．f（sinα）＜f（cosβ）B．f（sinα）＞f（cosβ）C．f（sinα）=f（cosβ）D．以上情况均有可能【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质．【分析】根据条件判断函数f（x）是周期为2的周期函数，根据函数奇偶性和单调性之间的关系，进行判断即可．【解答】解：由f（x+1）=﹣得f（x+2）=﹣==f（x），则函数f（x）是周期为2的周期函数，∵在区间上单调递增，∴在区间（﹣1，0）上单调递增，∵f（x）是偶函数，∴在区间（0，1）上单调递减，在锐角三角形中，π﹣α﹣β＜，∴，即＞0，∴，cosα＜cos（﹣β）=sinβ，则f（sinα）＜f（cosβ），故选：A．11．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若•=1，•=﹣，则λ+μ=（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】利用两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，两个向量的数量积的定义由•=1，求得4λ+4μ﹣2λμ=3 ①；再由•=﹣，求得﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．结合①②求得λ+μ的值．【解答】解：由题意可得若•=（+）•（+）=+++=2×2×cos120°++λ•+λ•μ=﹣2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°=4λ+4μ﹣2λμ﹣2=1，∴4λ+4μ﹣2λμ=3 ①．•=﹣•（﹣）==（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）•（1﹣μ）=（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°=（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2）=﹣，即﹣λ﹣μ+λμ=﹣②．由①②求得λ+μ=，故答案为：．12．已知向量，，，满足||=||=•=2，（﹣）•（（﹣2）=0，则|﹣|的最小值为（）A．B．C．D．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】由题意可得向量的夹角为60°，结合||=||=2设出向量的坐标，同时设出的坐标，代入（﹣）•（（﹣2）=0求得的终点的轨迹，然后由|﹣|的几何意义结合点到直线的距离得答案．【解答】解：由||=||=•=2，得cos＜＞=，∴与的夹角为60°，不妨设，则，再设，由（﹣）•（﹣2）=0，得，整理得：．∴（x，y）在以（）为圆心，以为半径的圆上，而|﹣|表示的是点（x，y）到点（1，）的距离d．∴d min==．故选：B．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13．已知，且关于x的方程有实根，则与的夹角的取值范围是．【考点】数量积表示两个向量的夹角．【分析】利用二次方程有实根的充要条件列出方程，利用向量的数量积公式及已知条件求出夹角．【解答】解：设两向量的夹角为θ有实根即∵∴∴故答案为：14．的值为1．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式化简表达式，求解即可．【解答】解：===1．故答案为：1．15．在△OAB中，，，AD与BC交于点M，设，，以、为基底表示，则=．【考点】向量的线性运算性质及几何意义．【分析】由BMC三点共线，知=x+（1﹣x）=x+（1﹣x）；由AMD三点共线，知=y+（1﹣y）=y+（1﹣y），所以x=，y=，所以=．【解答】解：∵BMC三点共线，∴=x+（1﹣x）=x+（1﹣x），∵AMD三点共线，∴=y+（1﹣y）=y+（1﹣y），即=y，且1﹣x=，所以x=，y=，所以=．故答案为：．16．已知（1+sint）（1+cost）=，则+的值为﹣﹣．【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】令x=sint+cost=sin（t+）∈[﹣，]，求得x的值，再根据+==，求得结果．【解答】解：∵（1+sint）（1+cost）=1+（sint+cost）+sint=，令x=sint+cost=sin（t+）∈[﹣，]，则x2=1+2sintcost，∴1+x+=，求得x=，则+====﹣﹣，故答案为：﹣﹣．三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知||=3，||=2，与的夹角为60°，=3+5，=m﹣3．（1）m为何值时，与垂直？（2）m为何值时，与平行？【考点】平面向量数量积的运算．【分析】（1）根据平面向量的数量积为0，求出m的值；（2）根据平面向量的共线定理，即可得出m的值．【解答】解：（1）∵||=3，||=2，与的夹角为60°，∴•=（3+5）•（m﹣3）=3m+（5m﹣9）•﹣15=3m×32+（5m﹣9）×3×2×cos60°﹣15×22=42m﹣87，令42m﹣87=0，解得m=，∴当m=时，与垂直；（2）设=λ，令m﹣3=λ（3+5），∴m﹣3=3λ+5λ，令，解得m=，∴当m=﹣时，与平行．18．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，﹣＜φ＜）的图象与x轴的一个交点为（﹣，0），与此交点距离最短的最高点坐标是（，1）．（1）求函数f（x）的表达式．（2）求方程f（x）=a （﹣1＜a＜0）在[0，2π]内的所有实数根之和．【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象．【分析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由特殊点的坐标求出φ的值，可得函数的解析式．（2）利用余弦函数的图象的对称性，求得f（x）在[0，2π]内的所有实数根之和．【解答】解：（1）依题意A=1，=+，∴ω=2．又∵f（﹣）=0，∴sin（﹣+φ）=0，结合﹣＜φ＜，∴φ=，函数f（x）=sin（2x+）．（2）∵函数f（x）=sin（2x+）的最小正周期是π，∴函数f（x）=sin（2x+）在[0，2π]内恰有2个周期，∴f（x）=a （﹣1＜a＜0）在[0，2π]内4个实根，可设为x1，x2，x3，x4，（x1＜x2＜x3＜x4）根据=，=2，求得=，=，∴在[0，2π]内的所有实数根之和2×=2×=．（1）根据频数分布表计算苹果的重量在[90，95）的频率；（2）用分层抽样的方法从重量在[80，85）和[95，100）的苹果中共抽取4个，其中重量在[80，85）的有几个？（3）在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的概率．【考点】古典概型及其概率计算公式；分层抽样方法．【分析】（1）用苹果的重量在[90，95）的频数除以样本容量，即为所求．（2）根据重量在[80，85）的频数所占的比例，求得重量在[80，85）的苹果的个数．（3）用列举法求出所有的基本事件的个数，再求出满足条件的事件的个数，即可得到所求事件的概率．【解答】解：（1）苹果的重量在[90，95）的频率为．（2）重量在[80，85）的有个．（3）设这4个苹果中，重量在[80，85）段的有1个，编号为1．重量在[95，100）段的有3个，编号分别为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种．设任取2个，重量在[80，85）和[95，100）中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以．20．A、B是单位圆O上的动点，且A、B分别在第一、二象限．C是圆O与x轴正半轴的交点，△AOB为正三角形．记∠AOC=α．（1）若A点的坐标为（，），求的值；（2）求|BC|2的取值范围．【考点】同角三角函数基本关系的运用；任意角的三角函数的定义．【分析】（1）由条件利用同角三角函数的基本关系求得所求式子的值．（2）设A点的坐标为（cosα，sinα），可得B点的坐标为（cos（α+），sin（α+）），且C（1，0），|BC|2 =2﹣2cos（α+）．再根据α∈（，），利用余弦函数的定义域和值域求得|BC|2的取值范围．【解答】解：（1）∵A点的坐标为（，），∴tanα=，∴===．（2）设A点的坐标为（cosα，sinα），∵△AOB为正三角形，∴B点的坐标为（cos（α+），sin（α+）），且C（1，0），∴|BC|2=[cos（α+）﹣1]2+sin2（α+）=2﹣2cos（α+）．而A、B分别在第一、二象限，∴α∈（，），∴α+∈（，），∴cos（α+）∈（﹣，0）．∴|BC|2的取值范围是（2，2+）．21．欲修建一横断面为等腰梯形（如图）的水渠，为降低成本必须尽量减少水与渠壁的接触面，若水渠横断面面积设计为定值S，渠深h，则水渠壁的倾角α（0°＜α＜90°）应为多大时，方能使修建成本最低？【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】作BE⊥DC于E，令y=AD+DC+BC，由已知可得y=+（0°＜α＜90°），令u=，求出u取最小值时α的大小，可得结论．【解答】解：作BE⊥DC于E，在Rt△BEC中，BC=，CE=hcotα，又AB﹣CD=2CE=2hcotα，AB+CD=，故CD=﹣hcotα．设y=AD+DC+BC，则y=﹣hcotα+=+（0°＜α＜90°），由于S与h是常量，欲使y最小，只需u=取最小值，u可看作（0，2）与（﹣sinα，cosα）两点连线的斜率，由于α∈（0°，90°），点（﹣sinα，cosα）在曲线x2+y2=1（﹣1＜x＜0，0＜y＜1）上运动，当过（0，2）的直线与曲线相切时，直线斜率最小，此时切点为（﹣，），则有sinα=，且cosα=，那么α=60°，故当α=60°时，修建成本最低．22．已知=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），且与之间满足关系：|k+|=|﹣k |，其中k＞0．（1）用k表示•．（2）求•的最小值，并求此时与夹角θ的大小．【考点】平面向量的综合题．【分析】（1）由=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），可得||=||=1，结合|k+|=|﹣k|，利用平方法，可得k22+2+2k•=3（2﹣2k•+k22），整理后可用k表示•．（2）由（1）中函数的解析式，利用基本不等式，可分析出•的最小值，代入向量夹角公式，可得此时与夹角θ的大小．【解答】解：∵|k+|=|﹣k|两边平方，得：|k+|2=3|﹣k|2∴k22+2+2k•=3（2﹣2k•+k22）即•=．∵=（cosα，sinα），=（cosβ，sinβ），∴2=1，2=1，∴•=．…（2）∵k＞0，∴（k﹣1）2≥0，从而k2+1≥2k，即≥≥，∴•的最小值为，此时cosθ==，∴θ=60°，即与夹角为60°．…2018年9月28日。
辽宁省沈阳市东北育才学校2017-2018学年高一数学暑假作业：必修二第一部分立体几何 5.三视图 Word版含答案
5．三视图A组1.（2013年湖南理科数学7）已知棱长为1的正方体的俯视图是一个面积为1的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能．．．等于A．B．C．D．2、若一个几何体的三视图都是等腰三角形，则这个几何体可能是A．圆锥B．正四棱锥C．正三棱锥D．正三棱台3、下图为某物体的实物图，则其俯视图为4、下列几何体各自的三视图中，有且仅有两个视图相同的是 A. ①② B.②④ C. ①③ D .①④5、下列几种说法正确的个数是（）①相等的角在直观图中对应的角仍然相等②相等的线段在直观图中对应的线段仍然相等③平行的线段在直观图中对应的线段仍然平行④线段的中点在直观图中仍然是线段的中点A．1 B．2 C．3 D．46、一个三角形在其直观图中对应一个边长为1正三角形，原三角形的面积为（）A．B．C．D．7、下列三视图所表示的几何体是正视图侧视图俯视图B组8、.某几何体的正视图和侧视图均如图1所示，则该几何体的俯视图不可能是9、一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正（主）视图与侧（左）视图分别如右图所示，则该几何体的俯视图为10、将正三棱柱截去三个角（如图1所示）分别是三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为11、等腰梯形ABCD ,上底边CD =1, 腰AD =CB = , 下底AB=3，按平行于上、下底边取x 轴，则直观图A ′B ′C ′D ′的面积为________．12、若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是．正视图 侧视图 俯视图E F D I A H G B C E F D AB C 侧视 图1 图2 B E A ． B E B ． B E C ． BED ．5.三视图1.C 【解析】由题知，正方体的棱长为1，2.C3.C4.B5.B6.A7.正四棱台.8. D【解析】本题是组合体的三视图问题，由几何体的正视图和侧视图均如图1所示知，原图下面图为圆柱或直四棱柱，上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱，Ａ，Ｂ，Ｃ都可能是该几何体的俯视图，Ｄ不可能是该几何体的俯视图，因为它的正视图上面应为如图的矩形.9．C 10.A 11.1 12. 18。
辽宁省沈阳市2017-2018学年高中数学暑假作业 第二部分 不等式(2)
不等式2在约束条件下，求目标函数的最值问题，通常会转化为求直线在y 轴上截距、平面上两点距离、直线斜率、区域面积等几何量的取值范围问题，此类问题突出体现了数形结合的数学思想。
1.已知变量,x y 满足约束条件241y x y x y ≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则3z x y =+的最大值为( )()A 12 ()B 11 ()C 3 ()D -13. 若,x y 满足约束条件1030330x y x y x y -+≥⎧⎪⎪+-≤⎨⎪+-≥⎪⎩，则3z x y =-的最小值为 。
5.某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50计，投入资金不超过54万元，假设种植5010. 设不等式组x-2y+30y x ⎪≥⎨⎪≥⎩所表示的平面区域是1Ω,平面区域是2Ω与1Ω关于直线3490x y --=对称,对于1Ω中的任意一点A 与2Ω中的任意一点B, ||AB 的最小值等于( )A.285 B.4 C. 125D.211.设不等式组⎩⎨⎧≤≤≤≤20,20y x ，表示平面区域为D ，在区域D 内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是A4π B 22π- C 6π D 44π-12. 若实数x 、y 满足10,0x y x -+≤⎧⎨>⎩则yx 的取值范围是 （ ）A.(0,1)B.(]0,1C.(1,+∞)D.[)1,+∞14.设平面点集{}221(,)()()0,(,)(1)(1)1A x y y x y B x y x y x⎧⎫=--≥=-+-≤⎨⎬⎩⎭，则AB所表示的平面图形的面积为A34π B 35π C 47π15.在平面直角坐标系xOy ，已知平面区域{(,A x =0,0}y ≥，则平面区域{(,)|(,)}B x y x y x y A =+-∈）A ．2B ．1．1416. 若A 为不等式组002x y y x ≤⎧⎪≥⎨⎪-≤⎩表示的平面区域，则当a 从－2连续变化到1时，动直线x y a +=扫过A 中的那部分区域的面积为 .17. 若不等式组03434x x y x y ≥⎧⎪+≥⎨⎪+≤⎩所表示的平面区域被直线43y kx =+分为面积相等的两部分，则k 的值是 （A ）73 （B ） 37 （C ）43 （D ） 34高 18.若0,0≥≥b a ，且当⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥1,0,0y x y x 时，恒有1≤+by ax ，则以a ,b 为坐标点(,)P a b 所形成的平面区域的面积等于__________.19.在平面直角坐标系中，若不等式组101010x yxax y+-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（α为常数）所表示的平面区域内的面积等于2，则a的值为A. －5B. 1C. 2D. 3不等式21、选B 【解析】约束条件对应ABC ∆内的区域(含边界)，其中53(2,2),(3,2),(,)22A B C 画出可行域，结合图形和z 的几何意义易得3[8,11]z x y =+∈ 3、答案：1-【解析】利用不等式组，作出可行域，可知区域表示的为三角形，当目标函数过点(3,0)时，目标函数最大，当目标函数过点(0,1)时最小为1-.]5、选B ；【解析】本题考查线性规划知识在实际问题中的应用，同时考查了数学建模的思想方法以及实践能力. 设黄瓜和韭菜的种植面积分别为x 、y 亩，总利润为z 万元， 则目标函数为(0.554 1.2)(0.360.9)0.9z x x y y x y =⨯-+⨯-=+. 线性约束条件为 50,1.20.954,0,0.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩即50,43180,0,0.x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎪⎨≥⎪⎪≥⎩作出不等式组表示的可行域, 易求得点()()()0,50,30,20, 0,45A B C . 平移直线0.9z x y =+，可知当直线0.9z x y =+，经过点()30,20B ，即30,20x y ==时 z 取得最大值，且max 48z =（万元）. 故选B. 点评：解答线性规划应用题的一般步骤可归纳为：(1)审题——仔细阅读，明确有哪些限制条件，目标函数是什么？ (2)转化——设元．写出约束条件和目标函数;(3)求解——关键是明确目标函数所表示的直线与可行域边界直线斜率间的关系；x(4)作答——就应用题提出的问题作出回答．10、选B ；【命题意图】本题考查不等式中的线性规划以及两个图形间最小距离的求解、基本公式（点到直线的距离公式等）的应用，考查了转化与化归能力。
辽宁省沈阳市东北育才学校2017-2018学年高一寒假作业数学试题：第十五天
第十五天一．选择题1．设函数f（x）=，若从区间[﹣e，e]上任取一个实数x0，A表示事件“f（x0）≤1”，则P（A）=（）A．B．C． D．2．如图所示，在△ABC内随机选取一点P，则△PBC的面积不超过△ABC面积一半的概率是（）A．B．C．D．3．假设你家订了一份牛奶，送奶人在早上6：30～7：30之间随机地把牛奶送到你家，而你在早上7：00～8：00之间随机离家上学，则你在离家前能收到牛奶的概率是（）A．B．C．D．4．在区间[0，1]上随机取两个数，则这两个数之和小于的概率是（）A．B．C．D．5．已知函数f（x）=x2﹣x﹣2，x∈[﹣3，3]，在定义域内任取一点x0，使f（x0）≤0的概率是（）A．B．C．D．6．一个多面体的三视图和直观图如图所示，M是AB的中点，一只蜻蜓在几何体ADF﹣BCE内自由飞翔，则它飞入几何体F﹣AMCD内的概率为（）A．B．C．D．7．如图一铜钱的直径为32毫米，穿径（即铜钱内的正方形小孔边长）为8毫米，现向该铜钱内随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），则该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为（）A． B．C． D．8．若a∈[1，6]，则函数在区间[2，+∞）内单调递增的概率是（）A．B．C．D．9．在区间[0，1]上任选两个数x和y，则的概率为（）A．B．C．D．10．从区间[﹣2，2]中随机选取一个实数a，则函数f（x）=4x﹣a•2x+1+1有零点的概率是（）A．B．C．D．二．填空题11．在区间（0，3）上随机抽取一个数a，方程表示圆的概率为．12．某人有甲、乙两只电子密码箱，欲存放三份不同的重要文件，则此人使用同一密码箱存放这三份重要文件的概率是．三．解答题13．已知袋中放有形状大小相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球n个，从袋中随机抽取一个小球，取到标号为2的小球的概率为，现从袋中不放回地随机取出2个小球，记第一次取出的小球标号为a，第二次取出的小球标号为b．（1）记“a+b=2”为事件A，求事件A发生的概率．（2）在区间[0，2]上任取两个实数x，y，求事件B“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”的概率．14．某厂家为了了解某新产品使用者的年龄情况，现随机调査100 位使用者的年龄整理后画出的频率分布直方图如图所示．（1）求100名使用者中各年龄组的人数，并利用所给的频率分布直方图估计所有使用者的平均年龄；（2）若已从年龄在[35，45），[45，55]的使用者中利用分层抽样选取了6人，再从这6人中选出2人，求这2人在不同的年龄组的概率．答案：第十五天1．解：∵函数f（x）=，x∈[﹣e，e]，解f（x0）≤1得：x0∈[﹣1，e﹣1]故P（A）==，故选：A2．解：记事件A={△PBC的面积不超过}，基本事件空间是三角形ABC的面积，（如图）事件A的几何度量为图中阴影部分的面积（DE是三角形的中位线），因为阴影部分的面积是整个三角形面积的，所以P（A）=，故选：D3．解：设送奶人到达的时间为x，此人离家的时间为y，以横坐标表示奶送到时间，以纵坐标表示此人离家时间，建立平面直角坐标系（如图）则此人离开家前能收到牛奶的事件构成区域如图示，所以所求概率P=1﹣=，故选D．4．解：设取出的两个数为x、y，则有0≤x≤1，0≤y≤1，其表示的区域为纵横坐标都在[0，1]之间的正方形区域，易得其面积为1，而x+y＜1.5表示的区域为直线x+y=1.5下方，且在0≤x≤1，0≤y≤1表示区域内部的部分，易得其面积为1﹣=，则两数之和小于1.5的概率是．故选：D．5．解：∵f（x0）≤0，∴x02﹣x0﹣2≤0，∴﹣1≤x0≤2，即x0∈[﹣1，2]，∵在定义域内任取一点x0，∴x0∈[﹣3，3]，∴使f（x0）≤0的概率P==．故选：C．6．解：因为V F﹣AMCD==，V ADF﹣BCE=，所以它飞入几何体F﹣AMCD内的概率为=，故选：D．7．解：∵S正=82=64mm2，S圆=π（）2=256πmm2，∴该粒米落在铜钱的正方形小孔内的概率为P==，∴该粒米未落在铜钱的正方形小孔内的概率为1﹣；故选B．8．解：∵函数y=在区间[2，+∞）内单调递增，∴y′=1﹣=≥0，在[2，+∞）恒成立，∴a≤x2在[2，+∞）恒成立，∴a≤4∵a∈[1，6]，∴a∈[1，4]，∴函数y=在区间[2，+∞）内单调递增的概率是=，故选C9．解：由题意可得在区间[0，1]上任选两个数x和y的区域为边长为1的正方形，面积为1，在区间[0，1]上任选两个数x和y，且的区域面积S=1﹣，∴在区间[0，1]上任取两个实数x，y，则满足的概率等于1﹣，故选D．10．解：函数f（x）=4x﹣a•2x+1+1有零点，即4x﹣a•2x+1+1=0有解，即a=，∵从区间[﹣2，2]中随机选取一个实数a，∴函数f（x）=4x﹣a•2x+1+1有零点时，1≤a≤2，区间长度为1，∴函数f（x）=4x﹣a•2x+1+1有零点的概率是=，故选：A．11．．解：若方程表示圆，则，即a2﹣4a+3＞0，解得a＜1或a＞3．∴在区间（0，3）上随机抽取一个数a，方程表示圆的概率为．故答案为：．12．．【解答】解：把三份不同放到两个不同的箱子里，分两类，第一类，一个密码箱放三件，另一个密码箱不放，共有2种方法，第二类，一个密码箱一件，另一个密码箱放两件，C31C21=6种，根据分类计数原理知有2+6=8种方法，故此人使用同一密码箱存放这三份重要文件的概率是P==，故答案为：13解：（1）根据从袋子随机抽取1个小球，取到标号为2的小球的概率是，可得=，解得n=2．从袋子中不放回地随机抽取2个球，共有基本事件12个，其中“a+b=2”为事件A的基本事件有4个，则P（A）==．（2）“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2+y2＞4恒成立，（x，y）可以看成平面中的点，则全部结果所构成的区域为Ω={（x，y）|0≤x≤2，0≤y≤2，x，y∈R}，而事件B构成的区域B={（x，y）|x2+y2＞4，（x，y）∈Ω}，所以P（B）==1﹣．14．解：（1）由图可得，各组年龄的人数分別为：10，30，40，20．估计所有使用者的平均年龄为：0.1×20+0.3×30+0.4×40+0.2×50=37（岁）（2）由题意可知抽取的6人中，年龄在[35，45）范围内的人数为4，记为a，b，c，d；年龄在[45，55]范围内的人数为2，记为m，n．从这6人中选取2人，结果共有15种：（ab），（ac），（ad），（am），（an），（bc），（bd），（bm），（bn），（cd），（cm），（cn），（dm），（dn），（mn）．设“这2人在不同年龄组“为事件A．则事件A所包含的基本事件有8种，故，所以这2人在不同年龄组的概率为．。
辽宁省沈阳市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析
辽宁省沈阳市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（理科）一、选择题（每题5分）1．下列结论不正确的是（）A．若y=3，则y'=0 B．若，则C．若，则D．若y=x，则y'=12．奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（）A．对立事件B．不可能事件C．互斥但不对立事件D．不是互斥事件3．从某实验班45名同学中随机抽取5名同学参加“挑战杯”竞赛，用随机数法确定这5名同学，现将随机数表摘录部分如下：从随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个同学的编号为（）A．23 B．37 C．35 D．174．函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点5．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上为一等品，在区间[15，20）和[25，30）上为二等品，在区间[10，15）和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.456．已知f（x）=x2+2x•f′（1），则f′（0）=（）A．0 B．﹣4 C．﹣2 D．2化为十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是7．如图是把二进制数11111（2）（）A．i＞4 B．i≤4 C．i＞5 D．i≤58．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知实数a满足下列两个条件：①关于x的方程ax2+3x+1=0有解；（a+3）有意义．②代数式log2则使得指数函数y=（3a﹣2）x为减函数的概率为（）A．B．C．D．10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．11．函数f（x）=x+2cosx在区间上的最小值是（）A．.B．.2 C．.D．12．下列关于函数f（x）=（2x﹣x2）e x的判断正确的是（）①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；②f（﹣）是极小值，f（）是极大值；③f（x）没有最小值，也没有最大值．A．①③B．①②③C．②D．①②二、填空题（每题5分）13．已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a= ．14．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，那么表中m的值为．15．函数f（x）=x3+ax﹣2在区间[1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是．16．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的导数为f'（x），f'（0）＞0，若∀x∈R，恒有f（x）≥0，则的最小值是．三、解答题（共70分）17．已知函数f（x）=x3﹣3x2+3x+1，讨论函数的单调性．18．2014年11月12日，科幻巨片《星际穿越》上映，上映至今，全球累计票房高达6亿美金．为了解绵阳观众的满意度，某影院随机调查了本市观看此影片的观众，并用“10分制”对满意度进行评分，分数越高满意度越高，若分数不低于9分，则称该观众为“满意观众”．现从调查人群中随机抽取12名．如图所示的茎叶图记录了他们的满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）．（1）求从这12人中随机选取1人，该人不是“满意观众”的概率；（2）从本次所记录的满意度评分大于9.1的“满意观众”中随机抽取2人，求这2人得分不同的概率．19．已知直线l：x﹣y﹣1=0，以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ=5．（Ⅰ）将直线l写成参数方程（t为参数，α∈[0，π））的形式，并求曲线C的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l与曲线C交于点A，B（点A在第一象限）两点，若点M的直角坐标为（1，0），求△OMA的面积．20．如图，在矩形ABCD中，AB=1，AD=a，PA⊥平面ABCD，且PA=1，E，F分别为AD，PA中点，在BC上有且只有一个点Q，使得PQ⊥QD．（1）求证：平面BEF∥平面PDQ；（2）求二面角E﹣BF﹣Q的余弦值．21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞1）的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为π，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为P．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D，且|DP|=，求k的值．22．已知函数f（x）=（ax2+bx+a﹣b）e x﹣（x﹣1）（x2+2x+2），a∈R，且曲线y=f（x）与x 轴切于原点O．（1）求实数a，b的值；（2）若f（x）•（x2+mx﹣n）≥0恒成立，求m+n的值．辽宁省沈阳市2017-2018学年高二上学期期末数学试卷（理科）参考答案一、选择题（每题5分）1．下列结论不正确的是（ ）A ．若y=3，则y'=0B ．若，则C ．若，则D ．若y=x ，则y'=1【考点】导数的运算．【分析】根据导数的基本公式判断即可．【解答】解：若y=3，则y'=0，故A 正确，若，则y ′=﹣x ，故B 错误若y=，y ′=，故C 正确，若y=x ，则y'=1，故D 正确，故选：B2．奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环，颜色自左至右，上方依次为蓝、黑、红，下方依次为黄、绿，象征着五大洲．在手工课上，老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作，每人分得1个，则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是（ ）A ．对立事件B ．不可能事件C ．互斥但不对立事件D ．不是互斥事件【考点】互斥事件与对立事件．【分析】对于红色圆环而言，可能是甲分得，可能是乙分得，也可能甲乙均没有分得，然后利用互斥事件和对立事件的概念得答案．【解答】解：甲、乙不能同时得到红色，因而这两个事件是互斥事件；又甲、乙可能都得不到红色，即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件，故这两个事件不是对立事件．∴事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是互斥但不对立事件．故选：C．3．从某实验班45名同学中随机抽取5名同学参加“挑战杯”竞赛，用随机数法确定这5名同学，现将随机数表摘录部分如下：从随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出的第5个同学的编号为（）A．23 B．37 C．35 D．17【考点】简单随机抽样．【分析】随机数表法也是简单随机抽样的一种方法，采用随机数表法读数时可以从左向右，也可以从右向左或者从上向下等等．应该注意的是，在读数中出现的相同数据只取一次，超过编号的数据要剔除．【解答】解：随机数表第一行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，第一个数为39，然后是43，17，37，23，故选出来的第5个同学的编号是23，故选：A．4．函数f（x）的定义域为R，导函数f'（x）的图象如图所示，则函数f（x）（）A．无极大值点，有四个极小值点B．有三个极大值点，两个极小值点C．有两个极大值点，两个极小值点D．有四个极大值点，无极小值点【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】利用导函数的图象，判断函数的极值点，即可．【解答】解：因为导函数的图象如图：可知导函数图象中由4个函数值为0，即f′（a）=0，f′（b）=0，f′（c）=0，f′（d）=0．x＜a，函数是增函数，x∈（a，b）函数是减函数，x∈（b，c），函数在增函数，x∈（c，d）函数在减函数，x＞d，函数是增函数，可知极大值点为：a，c；极小值点为：b，d．故选：C．5．对一批产品的长度（单位：毫米）进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20，25）上为一等品，在区间[15，20）和[25，30）上为二等品，在区间[10，15）和[30，35]上为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是（）A．0.09 B．0.20 C．0.25 D．0.45【考点】古典概型及其概率计算公式；频率分布直方图．【分析】根据频率分布直方图，分别求出对应区间[15，20）和[25，30）上的频率即可．【解答】解：由频率分布直方图可知，对应区间[15，20）和[25，30）上的频率分别为0.04×5=0.20和0.05×5=0.25，∴二等品的频率为0.20+0.25=0.45．故从该批产品中随机抽取1件，则其为二等品的概率是0.45．故选：D．6．已知f（x）=x2+2x•f′（1），则f′（0）=（）A．0 B．﹣4 C．﹣2 D．2【考点】导数的运算．【分析】首先对f（x）求导，将f′（1）看成常数，再将1代入，求出f′（1）的值，化简f′（x），最后将x=0代入即可．【解答】解：因为f′（x）=2x+2f′（1），令x=1，可得f′（1）=2+2f′（1），∴f′（1）=﹣2，∴f′（x）=2x+2f′（1）=2x﹣4，当x=0，f′（0）=﹣4．故选B．7．如图是把二进制数11111（2）化为十进制数的一个程序框图，则判断框内应填入的条件是（）A．i＞4 B．i≤4 C．i＞5 D．i≤5【考点】程序框图．【分析】因为11111（2）=31（10），故执行程序框图，当i=4时满足条件，有S=31，i=5时此时应该不满足条件，退出执行循环体，输出S的值为31．【解答】解：因为11111（2）=31（10）执行程序框图，有S=1，i=1满足条件，有S=3，i=2；满足条件，有S=7，i=3；满足条件，有S=15，i=4；满足条件，有S=31，i=5；此时应该不满足条件，退出执行循环体，输出S的值为31．故选：B．8．某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10，11，9．已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x﹣y|的值为（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】极差、方差与标准差．【分析】由题意知这组数据的平均数为10，方差为2可得到关于x，y的一个方程组，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，利用换元法来解出结果．【解答】解：由题意这组数据的平均数为10，方差为2可得：x+y=20，（x﹣10）2+（y﹣10）2=8，解这个方程组需要用一些技巧，因为不要直接求出x、y，只要求出|x﹣y|，设x=10+t，y=10﹣t，由（x﹣10）2+（y﹣10）2=8得t2=4；∴|x﹣y|=2|t|=4，故选D．9．已知实数a满足下列两个条件：①关于x的方程ax2+3x+1=0有解；②代数式log2（a+3）有意义．则使得指数函数y=（3a﹣2）x为减函数的概率为（）A．B．C．D．【考点】几何概型．【分析】根据题意先确定是几何概型中的长度类型，由实数a满足下列两个条件得出关于a 的不等式，并求出构成的区域长度，再求出指数函数y=（3a﹣2）x为减函数的数a构成的区域长度，再求两长度的比值．【解答】解：：①关于x的方程ax2+3x+1=0有解，则a=0或a≠0，△≥0⇔，解得：a≤，且a≠0，综合得：a≤；（a+3）有意义⇔a＞﹣3．②代数式log2综合得：﹣3＜a≤．满足两个条件：①②数a构成的区域长度为+3=，指数函数y=（3a﹣2）x为减函数⇔0＜3a﹣2＜1⇔＜a＜1．则其构成的区域长度为：1﹣=，则使得指数函数y=（3a﹣2）x为减函数的概率为=故选：A．10．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为b，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}，若|a﹣b|≤1，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为（）A．B．C．D．【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】本题是一个古典概型，试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，其中满足条件的满足|a﹣b|≤1的情形包括6种，列举出所有结果，根据计数原理得到共有的事件数，根据古典概型概率公式得到结果．【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，∵试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有6×6=36种猜字结果，其中满足|a﹣b|≤1的有如下情形：①若a=1，则b=1，2；②若a=2，则b=1，2，3；③若a=3，则b=2，3，4；④若a=4，则b=3，4，5；⑤若a=5，则b=4，5，6；⑥若a=6，则b=5，6，总共16种，∴他们“心有灵犀”的概率为．故选D．11．函数f（x）=x+2cosx在区间上的最小值是（）A．.B．.2 C．.D．【考点】利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】求出函数f（x）的导数，确定其单调性，根据单调递增得到最小值在x=取到，进而计算可得答案．【解答】解：f（x）=x+2cosx，x则f′（x）=1﹣2sinx＞0所以f（x）在为增函数．故f（x）的最小值为f（）=故选A．12．下列关于函数f（x）=（2x﹣x2）e x的判断正确的是（）①f（x）＞0的解集是{x|0＜x＜2}；②f（﹣）是极小值，f（）是极大值；③f（x）没有最小值，也没有最大值．A．①③B．①②③C．②D．①②【考点】利用导数研究函数的极值．【分析】令f（x）＞0可解x的范围确定①正确；对函数f（x）进行求导，然后令f'（x）=0求出x，在根据f'（x）的正负判断原函数的单调性进而可确定②正确．根据函数的单调性可判断极大值即是原函数的最大值，无最小值，③不正确．从而得到答案．【解答】解：由f（x）＞0⇒（2x﹣x2）e x＞0⇒2x﹣x2＞0⇒0＜x＜2，故①正确；f′（x）=e x（2﹣x2），由f′（x）=0得x=±，由f′（x）＜0得x＞或x＜﹣，由f′（x）＞0得﹣＜x＜，∴f（x）的单调减区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）．单调增区间为（﹣，）．∴f（x）的极大值为f（），极小值为f（﹣），故②正确．∵x＜﹣时，f（x）＜0恒成立．∴f（x）无最小值，但有最大值f（）∴③不正确．故选D．二、填空题（每题5分）13．已知曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，a= ﹣6 ．【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【分析】先求导函数，再利用导数的几何意义，建立方程，即可求得a的值．【解答】解：∵y=x4+ax2+1，∴y′=4x3+2ax，∵曲线y=x4+ax2+1在点（﹣1，a+2）处切线的斜率为8，∴﹣4﹣2a=8∴a=﹣6故答案为：﹣6．14．下表是降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y关于x的线性回归方程=0.7x+0.35，那么表中m的值为 3 ．【考点】线性回归方程．【分析】根据表格中所给的数据，求出这组数据的横标和纵标的平均值，表示出这组数据的样本中心点，根据样本中心点在线性回归直线上，代入得到关于m的方程，解方程即可．【解答】解：∵根据所给的表格可以求出，∵这组数据的样本中心点在线性回归直线上，∴=0.7×4.5+0.35，∴m=3，故答案为：315．函数f（x）=x3+ax﹣2在区间[1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是[﹣3，+∞）．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求函数的导数，根据函数的单调性和导数之间的关系即可得到结论．【解答】解：∵函数f（x）=x3+ax﹣2在区间[1，+∞）上单调递增，∴f′（x）=3x2+a≥0，在区间[1，+∞）恒成立，即a≥﹣3x2，∵﹣3x2≤﹣3，∴a≥﹣3，故实数a的取值范围是[﹣3，+∞）．故答案为：[﹣3，+∞）16．设二次函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0）的导数为f'（x），f'（0）＞0，若∀x∈R，恒有f（x）≥0，则的最小值是 2 ．【考点】导数在最大值、最小值问题中的应用．【分析】先根据题目的条件建立关于a、b、c的关系式，再结合基本不等式求出最小即可，注意等号成立的条件．【解答】解：∵f（x）=ax2+bx+c∴f′（x）=2ax+b，f′（0）=b＞0∵对任意实数x都有f（x）≥0∴a ＞0，c ＞0，b 2﹣4ac ≤0即≥1则 ==1+，而（）2=≥≥1，∴==1+≥2，故答案为：2．三、解答题（共70分）17．已知函数f （x ）=x 3﹣3x 2+3x+1，讨论函数的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性；函数单调性的判断与证明．【分析】求函数的导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行判断即可．【解答】解：函数的导数f ′（x ）=3x 2﹣6x+3，判别式△=（6）2﹣4×3×3=72﹣36=36，由f ′（x ）=3x 2﹣6x+3=0得方程的根为x 1==1+，或x 2==﹣1，由f ′（x ）＞0得x ＞1+或x ＜﹣1，此时函数单调递增，即函数单调递增区间为（﹣∞，﹣1），（+1，+∞），由f ′（x ）＜0得﹣1＜x ＜+1，此时函数单调递减，即函数单调递减区间为（﹣1，+1）．18．2014年11月12日，科幻巨片《星际穿越》上映，上映至今，全球累计票房高达6亿美金．为了解绵阳观众的满意度，某影院随机调查了本市观看此影片的观众，并用“10分制”对满意度进行评分，分数越高满意度越高，若分数不低于9分，则称该观众为“满意观众”．现从调查人群中随机抽取12名．如图所示的茎叶图记录了他们的满意度分数（以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶）．（1）求从这12人中随机选取1人，该人不是“满意观众”的概率；（2）从本次所记录的满意度评分大于9.1的“满意观众”中随机抽取2人，求这2人得分不同的概率．【考点】茎叶图；列举法计算基本事件数及事件发生的概率．【分析】（1）由茎叶图可知从12人中任抽一人，其中低于9的有4人，由古典概型概率公式可求；（2）利用列举法分别列出从中任意选取两人的可能有 以及分数不同的人数，由古典概型的公式可求．【解答】解：（1）由茎叶图可知，所抽取12人中有4人低于9分，即有4人不是“满意观众”，∴P=，即从这12人中随机选取1人，该人不是“满意观众”的概率为．（2）设本次符合条件的满意观众分别为A 1（9.2），A 2（9.2），A 3（9.2），A 4（9.2），B 1（9.3）， B 2（9.3），其中括号内为该人的分数．则从中任意选取两人的可能有 （A 1，A 2），（A 1，A 3），（A 1，A 4），（A 1，B 1），（A 1，B 2）， （A 2，A 3），（A 2，A 4），（A 2，B 1），（A 2，B 2）， （A 3，A 4），（A 3，B 1），（A 3，B 2），（A 4，B 1），（A 4，B 2），（B 1，B 2），共15种，其中，分数不同的有（A 1，B 1），（A 1，B 2），（A 2，B 1），（A 2，B 2），（A 3，B 1），（A 3，B 2）， （A 4，B 1），（A 4，B 2），共8种，∴所求的概率为．19．已知直线l ：x ﹣y ﹣1=0，以原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρsin θ=5． （Ⅰ）将直线l 写成参数方程（t 为参数，α∈[0，π））的形式，并求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于点A ，B （点A 在第一象限）两点，若点M 的直角坐标为（1，0），求△OMA 的面积．【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．【分析】（Ⅰ）由直线l ：x ﹣y ﹣1=0的倾斜角为，能将直线l 写成参数方程，由ρ2=x 2+y 2，ρsin θ=y ，能求出曲线C 的直角坐标方程．（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2﹣﹣4=0，求出点A 纵坐标y A =2，由此能求出△OMA 的面积【解答】解：（Ⅰ）∵直线l ：x ﹣y ﹣1=0的倾斜角为，∴将直线l 写成参数方程为，∵曲线C 的极坐标方程为ρ2﹣4ρsin θ=5， ∴x 2+y 2﹣4y=5，即x 2+（y ﹣2）2=9． ∴曲线C 的直角坐标方程为x 2+（y ﹣2）2=9．（Ⅱ）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得t 2﹣﹣4=0，设t 1，t 2是方程的两根，解得，，又点A 在第一象限，故点A 对应，代入到y=tsin，得到点A 纵坐标y A =2，因此△OMA 的面积S △OMA =|OM|•|y A |==1．20．如图，在矩形ABCD 中，AB=1，AD=a ，PA ⊥平面ABCD ，且PA=1，E ，F 分别为AD ，PA 中点，在BC 上有且只有一个点Q ，使得PQ ⊥QD ． （1）求证：平面BEF ∥平面PDQ ； （2）求二面角E ﹣BF ﹣Q 的余弦值．【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面平行的判定．【分析】（1）以A点为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，求出相关点的坐标，设Q（1，x，0），则，利用PQ⊥QD，求出x=1．推出BE∥DQ，推出EF∥PD，EF∥平面PDQ，然后证明平面BEF∥平面PDQ．（2）求出平面BFQ是一个法向量，平面BEF的一个法向量，利用空间向量的数量积求解即可．【解答】解：（1）以A点为原点，分别以的方向为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系Axyz，则A（0，0，0），B（1，0，0），D（0，a，0），P（0，0，1），设Q（1，x，0），则，，…若PQ⊥QD，则，即x2﹣ax+1=0，△=a2﹣4，∴△=0，a=2，x=1．…∴，又E是AD中点，∴E（0，1，0），，∴，∴BE∥DQ，又BE⊄平面PDQ，DQ⊂平面PDQ，∴BE∥平面PDQ，又F是PA中点，∴EF∥PD，∵EF⊄平面PDQ，PD⊂平面PDQ，∴EF∥平面PDQ，∵BE∩EF=E，BE，EF⊂平面PDQ，∴平面BEF∥平面PDQ．…（2）设平面BFQ是一个法向量，则，由（1）知，，∴，取z=2，得，同样求平面BEF的一个法向量，，∴二面角E﹣BF﹣Q的余弦值为．…21．已知椭圆C： +=1（a＞b＞1）的焦距为2，过短轴的一个端点与两个焦点的圆的面积为π，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为P．（1）求椭圆C的标准方程；（2）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D，且|DP|=，求k的值．【考点】椭圆的简单性质．【分析】（1）根据题意，在三角形中由勾股定理列出等式，根据已知的焦距大小，即可求得椭圆方程；（2）先设直线方程y=k（x﹣1），联立椭圆方程求得P点坐标，根据已知条件求出直线PD的方程，从而求得D点坐标，又|DP|=，根据两点间的距离公式，即可求得k的值．【解答】解：（1）过短轴的一个端点与两个焦点的圆的半径为，设右焦点的坐标为（c，0），依题意知，2c=2，即c=1，，又b＞1，解得：a=2，b=，∴椭圆C的方程为；（2）设过椭圆C的右焦点的直线l的方程为y=k（x﹣1），（k≠0），设A（x1，y1），B（x2，y2），，整理得：（4k 2+3）x 2﹣8k 2x+4k 2﹣12=0，由韦达定理得x 1+x 2=，x 1•x 2=，y 1+y 2=k （x 1+x 2）﹣2k=﹣，∵P 为线段AB 的中点，则可得点P （，﹣），又直线PD 的斜率为﹣，直线PD 的方程为y+=﹣（x ﹣），令y=0得，x=，又∵点D （，0），∴丨PD 丨===，化简得17k 4+k 2﹣18=0，解得：k 2=1，故k=1或k=﹣1， k 的值±1．22．已知函数f （x ）=（ax 2+bx+a ﹣b ）e x ﹣（x ﹣1）（x 2+2x+2），a ∈R ，且曲线y=f （x ）与x 轴切于原点O ．（1）求实数a ，b 的值；（2）若f （x ）•（x 2+mx ﹣n ）≥0恒成立，求m+n 的值． 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）求出f （x ）的导数，由题意可得f ′（0）=a=0，f （0）=（a ﹣b ）+1=0，即可得到a ，b 的值；（2）由题意可得（x ﹣1）[e x ﹣（x 2+2x+2）]•（x 2+mx ﹣n ）≥0，（*）由g （x ）=e x ﹣（x 2+2x+2），求出导数和单调区间，可得（x ﹣1）（x 2+mx ﹣n ）≥0恒成立，即有0，1为二次方程x 2+mx ﹣n=0的两根，即可得到m ，n 的值，进而得到m+n 的值．【解答】解：（1）函数f（x）=（ax2+bx+a﹣b）e x﹣（x﹣1）（x2+2x+2）的导数为f′（x）=e x（2ax+ax2+bx+a）﹣（3x2+2x），由曲线y=f（x）与x轴切于原点O，可得f′（0）=a=0，f（0）=（a﹣b）+1=0，即有a=0，b=1；（2）f（x）•（x2+mx﹣n）≥0恒成立，即为[（x﹣1）e x﹣（x﹣1）（x2+2x+2）]•（x2+mx﹣n）≥0，即有（x﹣1）[e x﹣（x2+2x+2）]•（x2+mx﹣n）≥0，（*）由g（x）=e x﹣（x2+2x+2）的导数为g′（x）=e x﹣x﹣1，设h（x）=e x﹣x﹣1，h′（x）=e x﹣1，当x≥0时，h′（x）≥0，h（x）递增，可得h（x）≥h（0）=0，即g′（x）≥0，g（x）在[0，+∞）递增，可得g（x）≥g（0）=0，即e x﹣（x2+2x+2）≥0；当x≤0时，h′（x）≤0，h（x）递减，可得h（x）≤h（0）=0，即g′（x）≤0，g（x）在[0，+∞）递减，可得g（x）≤g（0）=0，即e x﹣（x2+2x+2）≤0．由（*）恒成立，可得x≥0时，（x﹣1）（x2+mx﹣n）≥0恒成立，且x≤0时，（x﹣1）（x2+mx﹣n）≤0恒成立，即有0，1为二次方程x2+mx﹣n=0的两根，可得n=0，m=﹣1，则m+n=﹣1．。
辽宁省沈阳市东北育才学校2017-2018学年高一数学暑假作业：必修二 1.构成空间几何体的基本元素
必修二第一部分立体几何1．构成空间几何体的基本元素A组1. 如图所示，画中的一朵花，有五片花瓣，下列叙述正确的是（）A. 花瓣由曲线组成B. 图中组成花瓣的曲线相交于一点C. 图中只有花柄是直线段组成的D. 组成花瓣的曲线是无限延伸的2. 下列命题正确的是（）A. 直线的平移只能形成平面B. 直线绕定直线旋转只能形成柱面C. 直线绕定直线旋转可以形成锥面D. 曲线的平移一定形成曲面3. 下列叙述中，一定是平面的是（）A. 一条直线平行移动形成的面B. 三角形经过延展得到的平面C. 组成圆锥的面D. 正方形围绕一条边旋转形成的面4. 下列说法正确的是（）A. 生活中的几何体都是由平面组成的B. 曲面都是有一定大小的C. 直线是无限个点组成的，而线段是由有限个点组成的D. 直线平移时不改变方向一定不可能形成曲面5..画出如图所示中L围绕l旋转一周形成的空间几何体。
B组6. 如图所示的四个平面图形中，每个小四边形皆为正方形，其中不能沿两个正方形相邻边折叠成一个正方体的图形是（）C 组 7、空间5个球面最多将空间分成几部分？必修二第一部分立体几何参考答案1、构成空间几何体的基本元素1.C2. C3. B4.D5.略6.C7.解：在已有n-1个球面基础上再加一个球面，这个球面至多将这n-1个球面划分成（n-1）2-（n-1）+2块区域，其中每个区域将其所在的原来那部分空间一分为二，故在已有n-1个球面基础上再加一个球面，这个球面至多增加（n-1）2-（n-1）+2块空间区域。
一个球面分成2部分；2个球面最多分成2+2=4部分；3个球面最多分成4+4=8个部分；4个球面最多分成8+8=16个部分；5个球面最多分成16+14=30个部分……。
辽宁省沈阳市铁路实验中学2017-2018学年高二上学期期初数学试卷 Word版含解析
辽宁省沈阳市铁路实验中学2017-2018学年高二上学期期初数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）某学校有高中学生900人，其中2017-2018学年高一有400人，2017-2018学年高二300人，2015届高三200人，采用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，那么2017-2018学年高一、2017-2018学年高二、2015届高三各年级抽取的学生人数为（）A．25、15、5 B．20、15、10 C．30、10、5 D．15、15、152．（3分）已知向量，若向量与垂直，则k的值为（）A．B．7C．D．3．（3分）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色不同的概率为（）A．B．C．D．4．（3分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2，S4=10，则S6等于（）A．12 B．18 C．24 D．425．（3分）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）A．B．C．D．16．（3分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）A．2B．3C．4D．57．（3分）设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值8．（3分）设tanα、tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，且α、β∈（﹣，），则α+β的值为（）A．﹣B．C．或﹣D．﹣或9．（3分）若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（）A．B．C．1D．10．（3分）在△ABC中，点P是AB上一点，且，Q是BC中点，AQ与CP 交点为M，又，则t=（）A．B．C．D．11．（3分）若，则cosα+sinα的值为（）A．B．C．D．12．（3分）设O点在△ABC内部，且有，则△ABC的面积与△AOC的面积的比为（）A．2B．C．3D．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为．14．（3分）已知sinα=2cosα，则tan（+α）的值等于．15．（3分）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则f （0）=．16．（3分）若向量，满足||=1，||=2，且与的夹角为，则|2|=．三、解答题（共6小题，满分0分）17．已知：sinα=，cos（α+β）=﹣，0＜α＜，π＜α+β＜π，求cosβ的值．18．为了了解2017-2018学年高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体2017-2018学年高一的学生达标的概率；（3）为了分析学生的体能与身高，体重等方面的关系，必须再从样本中按分层抽样方法抽出50人作进一步分析，则体能在[120，130）的这段应抽多少人？19．已知sinα=，（1）求sin2α﹣cos2的值；（2）求函数f（x）=cosαsin2x﹣cos2x的最小正周期和单调增区间．20．已知△ABC的内角A，满足coa2A﹣cosA+1≤0．（1）求A的取值范围；（2）求函数f（A）=λ（sinA+cosA）+sinAcosA的最小值．21．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S3=21，数列b n=|a n|，求数列{b n} 的前n项和T n．22．数列{a n}满足a n+1+a n=4n﹣3（n∈N*）（Ⅰ）若{a n}是等差数列，求其通项公式；（Ⅱ）若{a n}满足a1=2，S n为{a n}的前n项和，求S2n+1．辽宁省沈阳市铁路实验中学2017-2018学年高二上学期期初数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1．（3分）某学校有高中学生900人，其中2017-2018学年高一有400人，2017-2018学年高二300人，2015届高三200人，采用分层抽样的方法抽取一个容量为45的样本，那么2017-2018学年高一、2017-2018学年高二、2015届高三各年级抽取的学生人数为（）A．25、15、5 B．20、15、10 C．30、10、5 D．15、15、15考点：分层抽样方法．专题：计算题．分析：先求出每个个体被抽到的概率，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数．解答：解：每个个体被抽到的概率等于=，则2017-2018学年高一、2017-2018学年高二、2015届高三各年级抽取的学生人数分别为400×=20，300×=15，200×=10，故选B．点评：本题主要考查分层抽样的定义和方法，用每层的个体数乘以每个个体被抽到的概率等于该层应抽取的个体数，属于基础题．2．（3分）已知向量，若向量与垂直，则k的值为（）A．B．7C．D．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系．专题：计算题．分析：根据向量坐标运算的公式，结合，可得向量与的坐标．再根据向量与互相垂直，得到它们的数量积等于0，利用两个向量数量积的坐标表达式列方程，解之可得k的值．解答：解：∵∴=（4﹣k，3+2k），=（5，1）∵向量与垂直，∴（）•（）=0可得：（4﹣k）×5+（3+2k）×1=0∴20﹣5k+3+2k=0⇒k=故选A点评：本题根据两个向量垂直，求参数k的值，着重考查了向量坐标的线性运算、向量数量积的坐标公式和两个向量垂直的充要条件等知识点，属于基础题．3．（3分）袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球，2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色不同的概率为（）A．B．C．D．考点：古典概型及其概率计算公式；互斥事件与对立事件．分析：用列举法列出从6个球中任取两个球的所有方法，查出两球颜色相同的方法种数，求出两球颜色相同的概率，然后由对立事件的概率计算公式得答案．解答：解：令红球、白球、黑球分别为A，a，b，1，2，3，则从袋中任取两球有（A，a），（A，b），（A，1），（A，2），（A，3），（a，1），（a，2），（a，2），（a，b），（b，1），（b，2），（b，3），（1，2），（1，3），（2，3），共15种取法，其中两球颜色相同有（a，b），（1，2），（1，3），（2，3）共4种取法，由古典概型及对立事件的概率公式可得P=1﹣．故选D．点评：本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了互斥事件和对立事件的概率计算公式，解答的关键是列举时做到不重不漏，是基础题．4．（3分）等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2=2，S4=10，则S6等于（）A．12 B．18 C．24 D．42考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用等差数列的性质s2，s4﹣s2，s6﹣s4成等差数列进行求解．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，∴S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等差数列，即2，8，S6﹣10成等差数列，∴2+S6﹣10=8×2，∴S6=24，故选C．点评：本题使用了等差数列的一个重要性质，即等差数列的前n项和为s n，则s n，s2n﹣s n，s3n﹣s2n，…成等差数列．5．（3分）在△ABC中，a=3，b=5，sinA=，则sinB=（）A．B．C．D．1考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：由正弦定理列出关系式，将a，b及sinA的值代入即可求出sinB的值．解答：解：∵a=3，b=5，sinA=，∴由正弦定理得：sinB===．故选B点评：此题考查了正弦定理，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．6．（3分）已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，且，则使得为整数的正整数n的个数是（）A．2B．3C．4D．5考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：充分利用等差数列前n项和与某些特殊项之间的关系解题．解答：解：由等差数列的前n项和及等差中项，可得=（n∈N*），故n=1，2，3，5，11时，为整数．故选D点评：本题主要考查等差数列的性质、等差中项的综合应用以及分离常数法，数的整除性是传统问题的进一步深化，对教学研究有很好的启示作用．已知两个等差数列{a n}和{b n}的前n项和分别为A n和B n，则有如下关系=．7．（3分）设{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项的和，且S5＜S6，S6=S7＞S8，则下列结论错误的是（）A．d＜0 B．a7=0C．S9＞S5D．S6与S7均为S n的最大值考点：等差数列的前n项和．专题：计算题．分析：利用结论：n≥2时，a n=s n﹣s n﹣1，易推出a6＞0，a7=0，a8＜0，然后逐一分析各选项，排除错误答案．解答：解：由S5＜S6得a1+a2+a3+…+a5＜a1+a2++a5+a6，即a6＞0，又∵S6=S7，∴a1+a2+…+a6=a1+a2+…+a6+a7，∴a7=0，故B正确；同理由S7＞S8，得a8＜0，∵d=a7﹣a6＜0，故A正确；而C选项S9＞S5，即a6+a7+a8+a9＞0，可得2（a7+a8）＞0，由结论a7=0，a8＜0，显然C选项是错误的．∵S5＜S6，S6=S7＞S8，∴S6与S7均为S n的最大值，故D正确；故选C．点评：本题考查了等差数列的前n项和公式和s n的最值问题，熟练应用公式是解题的关键．8．（3分）设tanα、tanβ是方程x2+3x+4=0的两根，且α、β∈（﹣，），则α+β的值为（）A．﹣B．C．或﹣D．﹣或考点：两角和与差的正切函数．专题：计算题．分析：由tanα，tanβ是方程x2+3x+4=0的两个根，根据韦达定理表示出两根之和与两根之积，表示出所求角度的正切值，利用两角和的正切函数公式化简后，将表示出的两根之和与两根之积代入即可求出tan（α+β）的值，然后根据两根之和小于0，两根之积大于0，得到两根都为负数，根据α与β的范围，求出α+β的范围，再根据特殊角的三角函数值，由求出的tan（α+β）的值即可求出α+β的值．解答：解：依题意得tanα+tanβ=﹣3＜0，tanα•tanβ=4＞0，∴tan（α+β）===．易知tanα＜0，tanβ＜0，又α，β∈（﹣，），∴α∈（﹣，0），β∈（﹣，0），∴α+β∈（﹣π，0），∴α+β=﹣．故选A．点评：此题考查学生灵活运用韦达定理及两角和的正切函数公式化简求值，是一道中档题．本题的关键是找出α+β的范围．9．（3分）若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足（a+b）2﹣c2=4，且C=60°，则ab的值为（）A．B．C．1D．考点：余弦定理的应用．专题：计算题．分析：将已知的等式展开；利用余弦定理表示出a2+b2﹣c2求出ab的值．解答：解：∵（a+b）2﹣c2=4，即a2+b2﹣c2+2ab=4，由余弦定理得2abcosC+2ab=4，∵C=60°，∴，故选A．点评：本题考查三角形中余弦定理的应用．10．（3分）在△ABC中，点P是AB上一点，且，Q是BC中点，AQ与CP 交点为M，又，则t=（）A．B．C．D．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：先根据向量关系得即P是AB的一个三等分点，利用平面几何知识，过点Q作PC的平行线交AB于D，利用三角形的中位线定理得到PC=4PM，结合向量条件即可求得t值．解答：解：∵∴∴即P是AB的一个三等分点，过点Q作PC的平行线交AB于D，∵Q是BC中点，∴QD=PC，且D是PB的中点，从而QD=2PM，∴PC=4PM，∴CM=CP，又，则t=故选C．点评：本小题主要考查向量在几何中的应用、两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，利用向量的加法的法则，以及其几何意义等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．11．（3分）若，则cosα+sinα的值为（）A．B．C．D．考点：三角函数中的恒等变换应用．分析：题目的条件和结论都是三角函数式，第一感觉是先整理条件，用二倍角公式和两角差的正弦公式，约分后恰好是要求的结论．解答：解：∵，∴，故选C点评：本题解法巧妙，能解的原因是要密切注意各公式间的内在联系，熟练地掌握这些公式的正用、逆用以及某些公式变形后的应用．12．（3分）设O点在△ABC内部，且有，则△ABC的面积与△AOC的面积的比为（）A．2B．C．3D．考点：向量在几何中的应用．专题：计算题．分析：根据，变形得∴，利用向量加法的平行四边形法则可得2 =﹣4 ，从而确定点O的位置，进而求得△ABC 的面积与△AOC 的面积的比．解答：解：分别取AC、BC的中点D、E，∵，∴，即2 =﹣4 ，∴O是DE的一个三等分点，∴=3，故选C．点评：此题是个基础题．考查向量在几何中的应用，以及向量加法的平行四边形法则和向量共线定理等基础知识，同时考查学生灵活应用知识分析解决问题的能力和计算能力．二、填空题（共4小题，每小题3分，满分12分）13．（3分）执行如图所示的程序框图，如果输入a=1，b=2，则输出的a的值为9．考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环累加a值，并判断满足a＞8时输出a的值．解答：解：程序在运行过程中各变量的聚会如下表示：是否继续循环 a b循环前/1 2第一圈是 3 2第二圈是 5 2第三圈是7 2第四圈是9 2第五圈否故最终输出的a值为9．故答案为：9．点评：根据流程图（或伪代码）写程序的运行结果，是算法这一模块最重要的题型，其处理方法是：①分析流程图（或伪代码），从流程图（或伪代码）中即要分析出计算的类型，又要分析出参与计算的数据（如果参与运算的数据比较多，也可使用表格对数据进行分析管理）⇒②建立数学模型，根据第一步分析的结果，选择恰当的数学模型③解模．14．（3分）已知sinα=2cosα，则tan（+α）的值等于﹣3．考点：两角和与差的正切函数；同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：由条件求得tanα=2，再根据tan（+α）=计算求得结果．解答：解：∵sinα=2cosα，∴tanα=2，∴tan（+α）==﹣3，故答案为：﹣3．点评：本题主要考查偷偷能够交三角函数的基本关系、两角和的正切公式的应用，属于基础题．15．（3分）若函数f（x）=Asin（2x+φ）（A＞0，﹣＜φ＜）的部分图象如图所示，则f （0）=﹣1．考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的值．专题：计算题；三角函数的图像与性质．分析：，由图可求得A=2，再由2×+∅=2kπ+可求得∅，从而可求得f（0）．解答：解：∵f（x）=Asin（2x+∅）（A＞0），∴由图知，A=2；又f（）=2，∴2×+∅=2kπ+，k∈Z，∴∅=2kπ﹣，k∈Z．又﹣＜∅＜，∴∅=﹣．∴f（x）=2sin（2x﹣），∴f（0）=2sin（﹣）=﹣1．故答案为：﹣1．点评：本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求∅是难点，属于中档题．16．（3分）若向量，满足||=1，||=2，且与的夹角为，则|2|=2．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：利用平面向量的数量积求出模长的值，从而求出模长．解答：解：∵||=1，||=2，且与的夹角为，∴=4+4•+=4×12+4×1×2×cos+22=4+4+4=12；∴|2|==2；故答案为：2．点评：本题考查了利用平面向量的数量积求模长的问题，是基础题．三、解答题（共6小题，满分0分）17．已知：sinα=，cos（α+β）=﹣，0＜α＜，π＜α+β＜π，求cosβ的值．考点：两角和与差的余弦函数．专题：三角函数的求值．分析：由条件利用同角三角函数的基本关系求出cos α、sin（α+β）的值，再根据cosβ=cos[（α+β）﹣α]，利用两角差的余弦公式，计算求得结果．解答：解因为sin α=，0＜α＜，∴cos α==．∵cos（α+β）=﹣，π＜α+β＜π，∴sin（α+β）=﹣=﹣．∴cos β=cos[（α+β）﹣α]=cos（α+β）cos α+sin（α+β）sin α=﹣×+（﹣）×=﹣1．点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和差的余弦公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．18．为了了解2017-2018学年高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得数据整理后，画出频率分布直方图（如图），图中从左到右各小长方形面积之比为2：4：17：15：9：3，第二小组频数为12．（1）第二小组的频率是多少？样本容量是多少？（2）若次数在110以上（含110次）为达标，试估计该学校全体2017-2018学年高一的学生达标的概率；（3）为了分析学生的体能与身高，体重等方面的关系，必须再从样本中按分层抽样方法抽出50人作进一步分析，则体能在[120，130）的这段应抽多少人？考点：频率分布直方图；分层抽样方法．专题：计算题；综合题；概率与统计．分析：（1）第二小组的频率是第二小组在整体中的比重，样本容量=；（2）用频率估计概率；（3）求出体能在[120，130）的人数，再用分层抽样抽取体能在[120，130）的这段的人数．解答：解：（1）第二小组频率为：=0.08，样本容量为：=150．（2）=0.88．（3）×150×=15．点评：本题考查了频率分布直方图的应用及分层抽样的方法，属于基础题．19．已知sinα=，（1）求sin2α﹣cos2的值；（2）求函数f（x）=cosαsin2x﹣cos2x的最小正周期和单调增区间．考点：三角函数中的恒等变换应用；同角三角函数基本关系的运用；三角函数的周期性及其求法；复合三角函数的单调性．专题：计算题；三角函数的求值；三角函数的图像与性质．分析：（1）由二倍角的三角函数公式化简，得原式=2sinαcosα﹣（1+cosα）．根据sinα=，利用同角三角函数的关系算出cosα=﹣，代入化简后的式子即可得到所求式子的值．（2）由（1）知f（x）=﹣sin2x﹣cos2x，利用辅助角公式化简得f（x）=﹣sin（2x+），再根据三角函数的周期公式和单调区间的公式加以计算，即可得出函数f（x）的最小正周期和单调增区间．解答：解：（1）∵sinα=，∴cosα=﹣=﹣（舍正）∴sin2α﹣cos2=2sinαcosα﹣（1+cosα）=2××（﹣）﹣（1﹣）=﹣．（2）由（1）的结论，可得f（x）=×（﹣）×sin2x﹣cos2x=﹣sin2x﹣cos2x=﹣sin（2x+）∴函数f（x）的最小正周期==π，由+2kπ≤2x+≤+2kπ（k∈Z），得+kπ≤x≤+kπ（k∈Z）．∴函数f（x）的增区间为[+kπ，+kπ]．（k∈Z）点评：本题求三角函数式的值，并依此求函数f（x）的最小正周期和单调增区间．着重考查了同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式和三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．20．已知△ABC的内角A，满足coa2A﹣cosA+1≤0．（1）求A的取值范围；（2）求函数f（A）=λ（sinA+cosA）+sinAcosA的最小值．考点：三角函数的最值；二倍角的余弦．专题：三角函数的求值．分析：（1）△ABC中，由条件求得0≤cosA≤，可得A的范围．（2）设sinA+cosA=t，则sinAcosA=，所以原函数化为y=+λt﹣，它的对称轴t=﹣λ．再根据t的范围（用区间表示），分类讨论对称轴与区间的关系，求出函数的最小值．解答：解：（1）△ABC中，由coa2A﹣cosA+1≤0，得2cos2A﹣cosA≤0，求得0≤cosA≤，∴A∈[，]．（2）设sinA+cosA=t，则sinAcosA=，所以原函数化为y=+λt﹣，它的对称轴t=﹣λ．又t=sin（A+），由A∈[，]可得A+∈[，]，∴t∈[1，]．当﹣λ＜1，即λ＞﹣1时，y min=λ．当1≤﹣λ≤，即﹣≤λ≤﹣1时，y min=﹣．当﹣λ＞，即λ＞﹣时，y min=+λ．点评：本题主要考查二倍角的余弦公式，正弦函数的定义域和值域，二次函数的性质，体现了分类讨论、转化的数学思想，属于基础题．21．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S3=21，数列b n=|a n|，求数列{b n} 的前n项和T n．考点：数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：首先根据已知条件建立方程组求得a n=11﹣2n，然后进行分类讨论当1≤n≤5时，|a n|=a n=11﹣2nT n=10n﹣n2当n≥6时|a n|=﹣a nT n=a1+…+a5﹣a6﹣…﹣a n=2（a1+a5）﹣（a1+a2+a3+…+a n）=n2﹣10n+50综上所述：T n=解答：解：已知等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=5，S3=21解得：∴a n=11﹣2n当1≤n≤5时，|a n|=a n=11﹣2nT n=10n﹣n2当n≥6时|a n|=﹣a nT n=a1+…+a5﹣a6﹣…﹣a n=2（a1+a5）﹣（a1+a2+a3+…+a n）=n2﹣10n+50综上所述：T n=故答案为：点评：本题考查的知识点：等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式，以及分类讨论问题，恒等变换问题．22．数列{a n}满足a n+1+a n=4n﹣3（n∈N*）（Ⅰ）若{a n}是等差数列，求其通项公式；（Ⅱ）若{a n}满足a1=2，S n为{a n}的前n项和，求S2n+1．考点：数列递推式；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和．专题：综合题．分析：（I）由题意得a n+1+a n=4n﹣3，a n+2+a n+1=4n+1．所以a n+2﹣a n=4，由{a n}是等差数列，公差d=2，能求出．（Ⅱ）由a1=2，a1+a2=1，知a2=﹣1．因为a n+2﹣a n=4，所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4，故a2n﹣1=4n﹣2，a2n=4n﹣5．由此能求出S2n+1．解答：解：（I）由题意得a n+1+a n=4n﹣3…①a n+2+a n+1=4n+1…②．…（2分）②﹣①得a n+2﹣a n=4，∵{a n}是等差数列，设公差为d，∴d=2，（4分）∵a1+a2=1∴a1+a1+d=1，∴．（6分）∴．（7分）（Ⅱ）∵a1=2，a1+a2=1，∴a2=﹣1．（8分）又∵a n+2﹣a n=4，∴数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差均为4，S2n+1=（a1+a3+…+a2n+1）+（a2+a4+…+a2n）（12分）==4n2+n+2．（14分）点评：本题数列的性质和应用，数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．解题时要认真审题，注意等差数列的通项公式和前n项和公式的灵活运用．。
辽宁省沈阳市2017_2018学年高中数学暑假作业三角向量综合练习(二)_2981
综合练习（二）一、选择题 ：1．已知点P （ααcos ,tan ）在第三象限，则角α在 （ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2．在等差数列51、47、43，……中，第一个负数项为（ ）A.第13项B.第14项C.第15项D.第16项 3.用秦九韶算法求n 次多项式0111)(a x a xa x a x f n n nn ++++=-- ，当0x x =时，求)(0x f 需要算乘法、加法的次数分别为 （ ）A ．n n n ,2)1(+ B. 2n,n+1 C. n+1,n+1 D. n,n 4．在ABC ∆中，若C A B sin sin cos 2=∙，则ABC ∆的形状一定是( ) A 、等腰三角形 B 、直角三角形 C 、等腰直角三角形 D 、等边三角形5．若θ是△ABC 的一个内角，且81cos sin -=θθ，则θθcos sin -的值为（ ） A ．23-B ．23C ．25-D ．25 6．已知4πβα=+，则)tan 1)(tan 1(βα++的值是（ ）A ．－1B ．1C ．2D ．47．在ABC ∆中，有如下四个命题：①BC AC AB =-； ②AB BC CA ++=0 ；③若0)()(=-⋅+AC AB AC AB ，则ABC ∆为等腰三角形；④若0>⋅AB AC ，则ABC ∆为锐角三角形．其中正确的命题序号是（ ） A ．① ② B ．① ③ ④ C ．② ③D ．② ④8．函数)sin(ϕω+=x A y 在一个周期内的图象如下，此函数的解析式为 （ ）A ．)322sin(2π+=x yB ．32sin(2π+=x y C ．)32sin(2π-=x yD ．32sin(2π-=x y9．)10tan 31(50sin 0+的值为( )A B C ．2 D ．110．在等比数列}{n a 中，公比q 是整数，1841=+a a ，1232=+a a ，则此数列的前8项和为（ ） A 、514 B 、513 C 、512 D 、510 11．已知tan(α+β) =53 , tan(β－4π )=41 ,那么tan(α+4π)为 ( ) A ．1813 B ．2313 C ．237 D ．18312．若钝角三角形三内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m ，则m 的范围是（ ）A ．（1，2）B ．（2，+∞）C ．[3，+∞)D ．（3，+∞）二、填空题:13． 下面流程图表示的算法的功能是_______________________________________14．已知向量2411()()，，，a =b =．若向量()λ⊥b a +b ，则实数λ的值是 _____．15.若在△ABC 中，060,1,ABC A b S ∆∠===则CB A cb a sin sin sin ++++=_________16．已知等差数列{a n }的公差d ≠0，且，则的值是_____.三、解答题:17．(本题满分10分) 已知函数．（Ⅰ）求的定义域；（Ⅱ）若角是第四象限角，且，求．18.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcos C－ccos（A+C）=3a cos B.（I）求cos B的值；（II）若，且，求b的值.19.已知数列满足，且（1）求数列的前三项的值；（2）是否存在一个实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，说明理由；求数列通项公式。
辽宁省沈阳市东北育才学校2017-2018学年高一数学暑假作业：必修一集合、函数、基本初等函数 二、函数的基本
二、函数的基本概念一．选择题（共12小题）1．已知函数f（x）=，则f（x）的值域是（）A．[1，+∞）B．[0，+∞）C．（1，+∞）D．[0，1）∪（1，+∞）2．若函数y=f（x）的图象如图所示，则函数y=f（1﹣x）的图象大致为（）A．B．C．D．3．为了得到函数的图象，只需把函数y=log2x的图象上所有的点（）A．向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度B．向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度C．向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度D．向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度4．已知函数f（x）满足：①对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=2f（x）成立；②当x∈（1，2]时，f（x）=2﹣x．若f（a）=f（2020），则满足条件的最小的正实数a的值为（）A．28 B．34 C．36 D．1005．定义新运算⊕：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b2，则函数f（x）=（1⊕x）x﹣（2⊕x），x∈[﹣2，2]的最大值等于（）A．﹣1 B．1 C．6 D．126．设x取实数，则f（x）与g（x）表示同一个函数的是（）A．B．C．f（x）=1，g（x）=（x﹣1）0D．7．已知函数，关于f（x）的性质，有以下四个推断：①f（x）的定义域是（﹣∞，+∞）；②f（x）的值域是；③f（x）是奇函数；④f（x）是区间（0，2）上的增函数．其中推断正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．48．若函数f（x）=的值域为实数集R，则f（2）的取值范围是（）A．（﹣∞，﹣）B．（﹣∞，﹣）C．[﹣，+∞）D．[﹣，﹣）9．函数f（x）=的值域是（）A．[﹣，]B．[﹣，0]C．[0，]D．[0，1]10．若函数f（x）=（a＞0，且a≠1）的值域为（﹣∞，+∞），则实数a的取值范围是（）A．（3，+∞）B．（0，]C．（1，3）D．[，1）11．已知f（c）=（c﹣a）（c﹣b），其中a+b=1﹣c且c≥0，a≥0，b≥0．则f（c）的取值范围为（）A．[﹣，1]B．[0，1]C．[0，]D．[﹣，1]12．定义区间[x1，x2]的长度为x2﹣x1（x2＞x1）单调递增），函数（a∈R，a≠0）的定义域与值域都是[m，n]（n＞m），则区间[m，n]取最大长度时实数a的值（）A．B．﹣3 C．1 D．3二．填空题（共4小题）13．函数的定义域是（用区间表示）．14．已知函数对定义域内的任意x的值都有﹣1≤f（x）≤4，则a的取值范围为．15．已知函数f（x）=2x+1与函数y=g（x）的图象关于直线x=2成轴对称图形，则函数y=g （x）的解析式为．16．若函数（a，b，c∈R）的定义域和值域分别为集合A，B，且集合{（x，y）|x∈A，y∈B}表示的平面区域是边长为1的正方形，则b+c的最大值为．三．解答题（共2小题）17．已知函数f（x）=x2﹣4ax+2a+6（a∈R）．（1）若函数的值域为[0，+∞），求a的值；（2）若函数值为非负数，求函数f（a）=2﹣a|a+3|的值域．18．已知函数f（x）=是定义域为（﹣1，1）上的奇函数，且．（1）求f（x）的解析式；（2）用定义证明：f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）若实数t满足f（2t﹣1）+f（t﹣1）＜0，求实数t的范围．答案：二、函数的概念选择题（共12小题）1．【解答】解：由f（x）=，知当x≤1时，x2≥0；当x＞1时，x+﹣3≥2﹣3=4﹣3=1，当且仅当x=，即x=2时取“=”，取并集得：f（x）的值域是[0，+∞）．故选：B．2．【解答】解：因为从函数y=f（x）到函数y=f（1﹣x）的平移变换规律是：先关于y轴对称得到y=f（﹣x），再整体向右平移1个单位即可得到．即图象变换规律是：①→②．故选：A．3．【解答】解：∵函数=log2（x+1）﹣log24=log2（x+1）﹣2，故其图象可由函数y=log2x的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个长度单位得到，故选C．4．【解答】解：取x∈（2m，2m+1），则∈（1，2]；f（）=2﹣，从而f（x）=2f（）=…=2m f（）=2m+1﹣x，其中，m=0，1，2，…，f（2020）=210f（）=211﹣2020=28=f（a），设a∈（2m，2m+1）则f（a）=2m+1﹣a=28，∴a=2m+1﹣28∈（2m，2m+1），即m≥5，a≥36，∴满足条件的最小的正实数a是36．故选：C．5．【解答】解：由题意知当﹣2≤x≤1时，f（x）=x﹣2，当1＜x≤2时，f（x）=x3﹣2，又∵f（x）=x﹣2，f（x）=x3﹣2在定义域上都为增函数，∴f（x）的最大值为f（2）=23﹣2=6．故选C．6．【解答】解：对于A，f（x）=x2（x∈R），与g（x）==|x|（x∈R）的对应关系不同，所以不是同一函数；对于B，f（x）==1（x＞0），与g（x）==1（x＞0）的定义域相同，对应关系也相同，所以是同一函数；对于C，f（x）=1（x∈R），与g（x）=（x﹣1）0=1（x≠1）的定义域不同，所以不是同一函数；对于D，f（x）==x﹣3（x≠﹣3），与g（x）=x﹣3（x∈R）的定义域不同，所以不是同一函数．故选：B．7．【解答】解：①∵函数，∴f（x）的定义域是（﹣∞，+∞），故①正确；②f（x）=，x＞0时：f（x）≤，x＜0时：f（x）≥﹣，故f（x）的值域是，故②正确；③f（﹣x）=﹣f（x），f（x）是奇函数，故③正确；④由f′（x）=，令f′（x）＞0，解得：﹣1＜x＜1，令f′（x）＜0，解得：x＞1或x＜﹣1，∴f（x）在区间（0，2）上先增后减，故④错误；故选：C．8．【解答】解：由f（x）=作出函数图象如图，由图象可知，0＜a＜1且，即．又f（2）=，∴f（2）∈[﹣，﹣）．故选：D．9．【解答】解：由得，则﹣1≤x≤1，即函数的定义域为[﹣1，1]，设x=sinα，则函数f（x）等价为y==，设P（sinα，|cosα|），则点P在单位圆x2+y2=1的上半部分，则的几何意义是圆上点到点A（2，1）的斜率，由图象知AB的斜率最小，此时k=0，AC的斜率最大，此时k==1，故0≤k≤1，故函数f（x）的值域是[0，1]，故选：D10．【解答】解：①若a＞3，x＜0时，0＜f（x）＜1，x≥0时，f（x）≥4a，此时不满足f （x）的值域为（﹣∞，+∞）；②若a=3，显然不成立；③若1＜a＜3，x＜0时，0＜f（x）＜1，x≥0时，f（x）≤4a，不满足值域（﹣∞，+∞）；④若0＜a＜1，x＜0时，f（x）＞1，x≥0时，f（x）≤4a；要使f（x）的值域为（﹣∞，+∞），则：4a≥1；∴；∴实数a的取值范围是．故选D11．【解答】解：f（c）=（c﹣a）（c﹣b）=c2﹣（a+b）c+ab≥c2﹣c（a+b）=c2﹣c（1﹣c）=，当c=，a=0，b=时，f（c）=，∴f（c）的最小值为﹣；又f（c）=c2﹣（1﹣c）c+ab===，由0≤c=1﹣a﹣b≤1，得当c=1时，f（c）有最大值为1．∴f（c）的取值范围为[]．故选：A．12．【解答】解：由题意得，函数f（x）的定义域是{x|x≠0}，∵[m，n]是其定义域的子集，∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或（0，+∞）．∵f（x）=在[m，n]上是增函数，∴由条件得，则m，n是方程f（x）=x的同号相异的实数根，即m，n是方程（ax）2﹣（a2+a）x+1=0同号相异的实数根．∴mn=，m+n==，则△=（a2+a）2﹣4a2＞0，解得a＞1或a＜﹣3．∴n﹣m====，∴n﹣m的最大值为，此时，解得a=3，即在区间[m，n]的最大长度为时，a的值是3．故选D．．二．填空题（共4小题）13．【解答】解：要使原函数有意义，则，解得：x＞1，且x≠3．∴函数的定义域是（1，3）∪（3，+∞）．故答案为：（1，3）∪（3，+∞）．14．【解答】解：根据题意得：恒成立，所以恒成立所以解得﹣4≤a≤4故答案为[﹣4，4]．15．【解答】解：设g（x）的图象上的任一点P（x，y），且P关于直线x=2的对称点P′（x′，y′），则，解得，∵点P′在函数y=2x 的图象上，∴y=2（4﹣x）+1=﹣2x+9，即C′所对应的函数解析式为y=﹣2x+9，故答案为：y=﹣2x+916．【解答】解：由题可知，a＜0，b2﹣4ac＞0，则，，因为{（x，y）|x∈A，y∈B}表示的平面区域是边长为1的正方形，所以，可得a=﹣4，b2+16c=16，，所以，当b=8时有最大值5．故答案为5．三．解答题（共2小题）17【解答】解：（1）∵函数的值域为[0，+∞），即二次函数f（x）=x2﹣4ax+2a+6图象不在x轴下方，∴△=0，即16a2﹣4（2a+6）=0，∴2a2﹣a﹣3=0，解得a=﹣1或a=；（2）由（1）知，对一切x∈R函数值均为非负数，∴△≤0，即﹣1≤a≤；∴a+3＞0；∵f（a）=2﹣a|a+3|=﹣a2﹣3a+2=﹣2+，其中；∴二次函数f（a）在上单调递减．∴f≤f（a）≤f（﹣1），即﹣≤f（a）≤4，∴f（a）的值域为．18．【解答】解：（1）函数f（x）=是定义域为（﹣1，1）上的奇函数，∴f（0）=0，∴b=0；…（3分）又f（1）=，∴a=1；…（5分）∴…（5分）（2）设﹣1＜x1＜x2＜1，则x2﹣x1＞0，于是f（x2）﹣f（x1）=﹣=，又因为﹣1＜x1＜x2＜1，则1﹣x1x2＞0，，，∴f（x2）﹣f（x1）＞0，即f（x2）＞f（x1），∴函数f（x）在（﹣1，1）上是增函数；（3）f（2t﹣1）+f（t﹣1）＜0，∴f（2t﹣1）＜﹣f（t﹣1）；…（6分）又由已知函数f（x）是（﹣1，1）上的奇函数，∴f（﹣t）=﹣f（t）…（8分）∴f（2t﹣1）＜f（1﹣t）…（3分）由（2）可知：f（x）是（﹣1，1）上的增函数，…（10分）∴2t﹣1＜1﹣t，t＜，又由﹣1＜2t﹣1＜1和﹣1＜1﹣t＜1得0＜t＜综上得：0＜t＜…（13分）。
2017-2018学年辽宁省沈阳市高二(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年辽宁省沈阳市高二（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题各出的四个选项中只有一项是符合题目要求的。
）1．（5分）命题“若a＞b，则a+c＞b+c”的逆命题是（）A．若a＞b，则a+c≤b+c B．若a+c≤b+c，则a≤bC．若a+c＞b+c，则a＞b D．若a≤b，则a+c≤b+c2．（5分）椭圆的焦距为（）A．B．2C．2D．43．（5分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知b2+c2﹣a2＝，则A的大小为（）A．30°B．60°C．30°或150°D．60°或120°4．（5分）a，b，c∈R，且a＞b＞0，则下列命题正确的是（）A．ac＞bc B．C．a2＞ab D．c﹣a＞c﹣b 5．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有一个关于数列的运算问题，其大意为“有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地．”则该人最后一天走分路程为（）A．3里B．6里C．12里D．24里6．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是DD1的中点，O是下底面的中心，N 是按C1D1上任意一点，则异面直线ON与A1M所成角的大小是（）A．45°B．60°C．90°D．与点N的位置有关7．（5分）关于x的不等式ax﹣b＜0的解集是（2，+∞），则关于x的不等式（2ax+b）（x ﹣3）＞0的解集是（）A．（﹣∞，1）∪（3，+∞）B．（1，3）C．（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）D．（﹣1，3）8．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）上任一点P到两渐近线的距离分别为d1，d2，则d1d2的乘积为（）A．B．C．D．9．（5分）已知等差数列{a n}满足a2＝2，前5项和S5＝25，若S n＝39，则n的值为（）A．5B．6C．7D．810．（5分）已知正四面体ABCD的棱长是a，若E是AB的中点，则＝（）A．B．C．a2D．﹣a211．（5分）下列命题中，说法正确的是（）A．命题“若x2＝1，则x＝1”的否命题为“若x2＝1，则x≠1”B．“0＜x＜”是“x（1﹣2x）＞0”的必要不充分条件C．命题“∃x0∈R，使得x02+x0+1＜0”的否定是：“∀x∈R，均有x2+x+1＞0”D．命题“在△ABC中，若A＞B，则sin A＞sin B”的逆否命题为真命题12．（5分）过抛物线C：y2＝4x的焦点F，且斜率为的直线交C于点M（M在x轴上方），l为C的准线，点N在l上，且MN⊥l，则M到直线NF的距离为（）A．B．2C．2D．3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。
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1
3.1事件与概率
典型例题：
1．甲、乙、丙三位同学将独立参加英语听力测试，根据平时训练的经验，甲、乙、丙三人
能达标的概率分别为P、23、35，若三人中有人达标但没有全部达标的概率为23，则P等
于（ ）
A．23 B．34
C. 45 D．56
2．从一批产品取出三件产品，设A“三件产品全部是次品”，B“三件产品全是次品”，
C
“三件产品不全是次品”，则下列结论哪个是正确的（ ）
A.A与C互斥
B.B与C互斥
C.,,ABC中任何两个均互斥
D.,,ABC中任何两个均不互斥
3．对于随机事件A，若()0.65PA，则对立事件A的概率()PA .
巩固练习：
1.已知随机事件A、B是互斥事件，若()0.25()0.78PAPAB，，则()PB= ．
2. 把黑、红、白3张纸牌分给甲、乙、丙三人，每人一张，则事件“甲分得黑牌”与“乙
分得黑牌”是（ ）
A. 对立事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 互斥但不对立事件
3. 抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，事件B为“落地时向上的数是
偶数”，事件C为“落地时向上的数是2的倍数”，事件D为“落地时向上的数是4的倍数”，
则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ）
A. A与B B. B与C C. A与D D. B与D
4. 从一批产品中取出三件产品，设A三件产品全是正品，
B三件产品全是次品，
C三件产品不全是次品
，则下列结论不正确的是
2
（ ）
A. A与B互斥且为对立事件 B. B与C为对立事件
C. A与C存在着包含关系 D. A与C不是互斥事件
5.下列关于概率的理解中正确的命题的个数是
①掷10次硬币出现4次正面，所以掷硬币出现正面的概率是0．4；
②某种体育彩票的中奖概率为10001，则买1000张这种彩票一定能中奖；
③孝感气象台预报明天孝感降雨的概率为70%是指明天孝感有70%的区域下雨，30%的区域不
下雨．
A．0 B．1 C．2 D．3
6. 已知事件A与事件B发生的概率分别为()PA、()PB，有下列命题：
①若A为必然事件，则()1PA； ②若A与B互斥，则()()1PAPB；
③若A与B互斥，则()()()PABPAPB.
其中真命题有（ ）个
A．0 B．1 C．2 D． 3
7. 从装有两个红球和两个黑球的口袋内任取两个球，那么互斥而不对立的两个事件是
______．(填序号)
①“至少有一个黑球”与“都是黑球”；
②“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”；
③“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”；
④“至少有一个黑球”与“都是红球”．
8．齐王与田忌赛马，田忌的上马优于齐王的中马，劣于齐王的上马，田忌的中马优于齐王
的下马，劣于齐王的中马，田忌的下马劣于齐王的下马，现各出上、中、下三匹马分组进行
比赛．
(1) 如果双方均不知道对方马的出场顺序，求田忌获胜的概率；
(2) 为了得到更大的获胜概率，田忌预先了解到齐王第一场必出上等马．那么，田忌怎样安
排出马顺序，才能使自己获胜的概率最大？
3
必修三第三部分概率
3.1事件与概率
典型例题：
1. B【解析】试题分析：3人中有人达标但没有全部达标，其对立事件为“3人都达标或全
部没有达标”，则231221135353PP，解得34P.故选B.
考点：古典概型.
2. B【解析】试题分析：由题意知事件C包括三种情况，一是有两个次品一个正品，二是
有一个次品两个正品，三是三件都是正品，∴事件C中不包含B事件，事件C和事件B不
能同时发生，∴B与C互斥，故选B.
考点：互斥事件与对立事件.
3. 0.35
巩固练习：
1. 0.53
2. D【解析】对于事件“甲分得黑牌”与事件“乙分得黑牌”，两者不可能同时发生，因此
它们是互斥事件；
但除了 “甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”之外，还有可能“丙分得黑牌”，因此两者不是对
立事件；故事件“甲分得黑牌”与“乙分得黑牌”是互斥但不对立事件.
3. C【解析】∵抛掷一枚骰子，记事件A为“落地时向上的数是奇数”，
事件B为“落地时向上的数是偶数”，
事件C为“落地时向上的数是2的倍数”，
事件D为“落地时向上的数是4的倍数”，
∴A与B是对立事件，B与C是相同事件，
A与D不能同时发生，但A不发生时，D不一定发生，故A与D是互斥事件但不是对立事件，
B与D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件。
4. 【答案】A【解析】事件C={三件产品不全是次品}，包括一件是正品，两件是正品，三
件全为正品，由此可知：A与B互斥，但不对立；B与C是互斥事件，也是对立事件；若A
发生，则C一定发生，所以A与C存在着包含关系，不是互斥事件.故选A.
5. 【答案】A【解析】
4
试题分析：掷10次硬币出现4次正面，所以掷硬币出现正面的频率是0．4，故①错；某种
体育彩票的中奖概率为10001，则买1000张这种彩票相当于做了1000次试验，每张彩票可
能中奖也可能不中奖，因此1000张彩票可能没有1中奖，也可能多张中奖，②错；孝感气
象台预报明天孝感降雨的概率为70%是指明天孝感下雨的概率70%，③错，故答案为A．
考点：概率的意义．
6.【答案】C【解析】试题分析：由概率的基本性质可知①③为真命题，而②是不正确的命
题，只有当A、B互斥且对立的时候，才有()()1PAPB，故选C.
7. 【答案】③【解析】当两个球都为黑球时，“至少有一个黑球”与“都是黑球”同时发生，
故①中两个事件不互斥；当两个球一个为黑，一个为红时，“至少有一个黑球”与“至少有
一个红球”，故②中两个事件不互斥；
“恰好有一个黑球”与“恰好有两个黑球”不可能同时发生，也可以同时不发生，故③中两
个事件互斥而不对立；
“至少有一个黑球”与“都是红球”不可能同时发生，但必然有一种情况发生，故④中两个
事件对立；故答案为：③
8. 【答案】(1) 16 (2) 12
【解析】记齐王的三匹马分别为A、B、C，记田忌的三匹马分别为a、b、c.若A与a比赛，
记为Aa，其他同理．(1) 齐王与田忌赛马，有如下六种情况：Aa，Bb，Cc；Aa，Bc，Cb；
Ab，Bc，Ca；Ab，Ba，Cc；Ac，Ba， Cb；Ac，Bb，Ca.其中田忌获胜的只有一种：Ac，Ba，
Cb.∴ 田忌获胜的概率为16.
(2) 已知齐王第一场必出上等马A，若田忌第一场必出上等马a或中等马b，则剩下二场，
田忌至少输一场，这时田忌必败．于是田忌第一场得出下等马c.
① 若齐王第二场必出中等马B，可能的对阵为：Ba，Cb或Bb，Ca.
② 若齐王第二场必出下等马C，可能的对阵为：Ca，Bb或Cb，Ba.
其中田忌获胜的有两种：Ba，Cb或Cb，Ba.所以田忌获胜的概率为12.∴ 田忌第一场出下
等马，才能使自己获胜的概率达最大12.
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