中考数学高频考点之平移、对称、旋转类型压轴题的破解策略 学案(无解析)
中考数学图形的轴对称平移与旋转PPT学习教案
部分能够完全重合，那么就称这样的 图形为 轴对称 图形， 这条 直线为__________．
对称轴
2．中心对称图形：把一个图形绕着某 一点旋 转________，
180°
如果它能够与另一个图形重合，那么 这两个 图形关 于这个 点对 称或中心对称，该点叫做____________．
对称中心
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图 54
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OP
例题：(2013 年湖北荆门)在平面直角坐标系中，线 段
坐标与图 形的运 动
O P OP O
OP 的两个端点坐标分别为
(0,0)，
P(4,3)，将线段
绕点
逆时
针旋转 90°到
′位置，则点
′的坐标为(
A．(3,4)
B．(－4,3)
P
解析：点
OP
的横坐标是4，纵坐标是3，把线段
3．图形关于原点成中心对称．
在平面直角坐标系内，如果两个图形 关于原 点成中 心对称 ，
那么这两个图形上的对应点的横坐标______________，纵 坐标
____________．
互为相反数
相等 互为相反数
互为相反数
互为相反数
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4．图形关于原点成位似变换．
在平面直角坐标系内，如果两个图形 的位似 中心为 原点，
A．4,30°
B．2,60°
图 5-1-8
C．1,30°
D．3,60°
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ABC
5．(2013 年浙江温州)如图 5-1-9，在方格纸中，△
的
P
三个顶点和点
都在小方格的顶点上．按要求画一 个三角 形，
使它的顶点在方格的顶点上．
中考数学总复习图形变换之 轴对称 平移与旋转 课件
A
B
C
D
4．(2020·郴州)下列图形是中心对称图形的是 ( D)
A
B
C
D
5．(2020·广东)如图，在正方形 ABCD 中，AB ＝3，点 E，F 分别在边 AB，CD 上，∠EFD＝60°. 若将四边形 EBCF 沿 EF 折叠，点 B 恰好落在 AD 边上，则 BE 的长度为( D )
A．1 B． 2 C． 3 D．2
3.下列图形，是中心对称图形的是_①__②__④_____. ①平行四边形；②矩形；③等边三角形；④线段. 4.如图，在△ABC 中，∠B＝10°，∠ACB＝20°， AB＝4 cm，将△ABC 逆时针旋转一定角度后与 △ADE 重合，且点 C 恰好为 AD 的中点，如图所 示.
(1)旋转中心为点___A____，旋转的度数为__1_5_0_°___； (2)∠BAE 的度数为___6_0_°___，AE 的长为__2__c_m___.
2.如图，各电视台的台标图案，其中是轴对称图形 的是( C )
A
B
C
D
3.旋转： (1)基本性质：图形中的每一个点都绕着旋转中心 旋转了同样大小的角度，对应点到旋转中心的距离 相等，对应线段、对应角都相等，对应点与旋转中 心的连线所成的角(叫旋转角)彼此相等，图形的形 状和大小都不会发生变化；
(2)旋转的三要素：旋转中心、旋转角度、旋转方 向； (3)中心对称图形：一个图形绕着某一个点旋转 180°后能够跟原来图形重合，那么这个图形是中 心对称图形.
考点 旋转(5 年 2 考) 6．(2019·翔安区模拟)如图，在同一平面内，将 △ABC 绕点 A 逆时针旋转 50°到△AB′C′的位置， 使得 C′C∥AB，则∠CAB 等于( C )
2024年中考数学总复习考点梳理第七章第三节图形的对称、平移与旋转
第三节 图形的对称、平移与旋转
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(2)AA′与BC之间的位置关系为_A_A_′_⊥__B_C_； 【解题依据】此问应用到的折叠(或轴对称)的性质为折__叠___前__后__对_ _应__点__的__连__线__被__折__痕__垂__直__平__分__(对__称__点__的__连__线__被__对__称__轴__垂__直__平__分__)_；
第三节 图形的对称、平移与旋转
教材改编题课前测
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1.[人教九上P67习题改编]下列图形中，是轴对称图形的是 _②__③__④_，是中心对称图形的是_①__②__④__，即是轴对称图形，又是 中心对称图形的是_②__④__.
第三节 图形的对称、平移与旋转
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2. [人教八上P56习题改编]如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，
第三节 图形的对称、平移与旋转
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3.了解轴对称图形的概念；探索等腰三角形、矩形、菱形、正多边形、 圆的轴对称性质；(2022年版课标将“了解”调整为“理解”) 4.认识并欣赏自然界和现实生活中的轴对称图形．
第三节 图形的对称、平移与旋转
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考情及趋势分析
年份 2023 2019 2018
∠B＝ 30°，AB＝6，E，F分别为AB，AC上的点，连接EF，
且EF∥BC，将△ABC沿EF折叠，点A 的对应点A′恰好落在BC
边上，连接AA′.
(1)∠EA′F ＝_9_0_°_，∠A′EF ＝_3_0_°_， ∠AFA′＝_1_2_0_°_； 【解题依据】此问应用到的折叠的性质为
第2题图
折__叠__前__后__两___部__分__图__形__对__应__角__相__等_；
/
(完整word版)中考数学压轴题破解策略专题10《平移》
专题10《平移》破解策略经过平移，对应线段平行（或共线）且相等；对应角相等；对应点所连结的线段平行（或共线）且相等；平移前后的图形全等．平移是几何中的一种重要变换，运用平移可以将分散的线段、角或图形汇集到一起，也可以把不太明朗的关系明朗化．通过平移构造辅助线是研究和解决几何问题的常用方法，其中，通过平移构造辅助线比较线段大小的常见类型有：（1）比较两条线段的大小关系，可以利用直角三角形中斜边大于直角边来比较，也可以把其中一条线段转化成三角形的两条边，再利用三角形三边关系比较大小；（2）比较三条线段的大小关系，可以把三条线段平移到同一个三角形中，再利用三角形三边的关系来比较大小；（3）比较四条线段的大小关系，可以转化成“飞镖形”或“8”字形（如图）来比较线段的大小关系．例题讲解例1 已知：在ABC 中，P 为BC 边的中点．（1）如图1，求证：()12AP AB AC <+；（2）延长AB 至点D ，使得BD ＝AC ，延长AC 至点E ，使得CE ＝AB ，连结DE ． ①如图2，连结BE ，若BAC ＝60，请你探究线段BE 与AP 之间的数量关系．写出你的结论，并加以证明；②请在图3中证明：12BC DE ≥．ABDCAB ＋AC >BD ＋DCOABCDAD ＋BC >AB ＋CD证明（1）如图4，延长AP 至点F ，使得PF ＝AP ，连结BF ． 易证APC ≌FPB ，所以AC ＝BF ．从而AB ＋AC ＝AB ＋BF ＞AF ，即()12AP AB AC <+．（2）①BE ＝2AP ．证明如下： 因为BD ＋AB ＝AC ＋CE ，BAC ＝60， 所以ADE 为等边三角形．如图5，在DE 上取一点G ，使得DG ＝DB ，连结BG ，则BDG 为等三角形． 连结CG ，PG ，则四边形ABGC 为平行四边形，所以点A ，P ，G 共线，故AG ＝2AP ． 易证DGA ≌DBE ．则BE ＝AG ＝2AP ．PABC图1PCBADE图2PEDABC图3PCBAF图4PEDAB CG图5②如图6，过点C 作CH ∥AB ，且CH ＝BD ，连结DH ，HE ． 则四边形BDHC 为平行四边形， 易证ABC ≌CEH ，所以DH ＝BC ＝EH ．由三角形三边关系定理可得DH ＋EH ＞DE ．而当D ，H ，E 三点共线时，有DH ＋EH ＝DE ，所以12BC DE ．例2 在ABC 中，ACB ＝90，AC ＞BC ，D 是AC 边上的点，E 是BC 边上的点，AD ＝BC ，CD ＝BE ．点E 与点B ，C 不重合，连结AE ，BD 交于点F ，求BFE 的度数．FCABDE解 如图，过点A 作AG AC ，使得AG ＝CD ＝BE ，连结BG ，G D ． 可得四边形AEBG 是平行四边形，则BG ∥E A ． 易证GAD ≌DCB （SAS ），所以GD ＝DB ，GDA ＝DB C ． 所以GDA ＋BDC ＝90，可得BGD 是等腰直角三角形， 又因为BG ∥EF ，所以BFE ＝GBD ＝45．FACGBDE例3 如图，ABC 的三条中线分别为AD ，BE ，CF ，若ABC 的面积为1，则以AD ，BE ，PHCB ADE图6CF 的长度为三边长的三角形的面积等于 ．DEFABC答案34． 解 如图，过点C 作CP ∥AD ，且CP ＝AD ，连结AP ，PF ，EP ，FE ．DFECBAP由辅助线作法，可得四边形ADCP 为平行四边形， 所以AP ＝CD ，AP ∥C D ．由D ，E ，F 为ABC 三边中点，可得AP ＝EF ，AP ∥EF ． 所以四边形AFEP 为平行四边形，则PE ＝AF ＝FB ，PE ∥F B ． 所以四边形PEBF 为平行四边形， 则BE ＝FP ．因而FPC 为以AD ，BE ，CF 的长度为三边长的三角形， 所以1113344444FPC FEC FEP CEP ABC ABC ABC ABC S S S S S S S S ∆∆∆∆∆∆∆∆=++=++==． 进阶训练1． 如图，两条长度都为1的线段AB 和CD 相交于点O ，且AOC ＝60，求证：AC ＋BD 1．OBDCA【提示】分别过点C ，B 作AB ，AC 的平行线，两线交于点E ，连结DE ，则四边形ABEC 是平行四边形，CDE 是等边三角形，从而AC ＝BE ，DE ＝DC ＝1，即得证．OACDBE2、已知：在Rt△ABC 中，点D 、E 分别在CB 、CA 的延长线上，连接BE ，AD 交于点P ，若AC ＝3BD ，CD ＝3AE ，求∠APE ．解：∠APF ＝30°【提示】过点D 作DF ∥BE ，且DF ＝BE ，连接EF 、AP ．则四边形EFBD 为平行四边形，易证△AEF ∽△DCA ，从而∠FAD ＝90°，AD ＝3AF ，所以∠APE ＝∠ADF ＝30°3、如图，已知△ABC的面积为1，分别以△ABC的三边AB、AC、BC为边向外作正方形ABDE，ACFG，BCHI，连接EG、FH、ID，则以EG、FH、ID长度为三边的三角形的面积为________解：3 【提示】如图，分别过点I，H作AB、AC的平行线，两线段交于点M，连AM、EM、GM．则△EGM是以EG、FH、ID的长度为三边的一个三角形，由“等腰直角三角形共顶点”中的结论知：S△DOI＝S△CFH＝S△EAG＝S△ADG。
中考数学总复习专项课件图形的对称平移与旋转
40
14.（2023·吉林）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＜AC.点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点B'.若点B'刚好落在边AC上，∠CB'E＝30°，CE＝3，则BC的长为 9 .
9
15.如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A（2，－1），B（1，－2），C（3，－3）.
（1）将△ABC向上平移4个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2.
16.如图，在正方形ABCD内作∠EAF＝45°，AE交BC于点E，AF交CD于点F，连接EF，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.
A
B
C
D
A
4.（2023·贵阳模拟）某小区的圆形花园中间有两条互相垂直的小路，园丁在花园中栽种了8棵桂花，如图所示.若A，B两处桂花的位置关于小路对称，在分别以两条小路为x轴、y轴的平面直角坐标系内，若点A的坐标为（－6，2），则点B的坐标为（ A ）
A.（6，2）
B.（－6，－2）
C.（2，6）
11.如图，AO为∠BAC的平分线，且∠BAC＝50°，将四边形ABOC绕点A逆时针旋转后，得到四边形AB'O'C'，且∠OAC'＝100°，则四边形ABOC旋转的度数是 75° .
12.在平面直角坐标系中，点（4，5）绕原点O逆时针旋转90°，得到的点的坐标是 （－5，4） .
75°
中考数学复习讲义课件 中考考点全攻略 第28讲 图形的对称、平移、旋转与位似
命题 图形的对称
点1
解：（1）根据对称中心的性质，可得对称中心的坐 标是D1D的中点. ∵D1，D的坐标分别是（0，3），（0，2）， ∴对称中心的坐标是（0，2.5）. （2）顶点B，C，B1，C1的坐标分别是（-2，4）， （-2，2），（2，1），（2，3）.
命题 图形的对称
点1
［∵A，D的坐标分别是（0，4），（0，2）， ∴正方形ABCD与正方形A1B1C1D1的边长都是42=2.∴B，C的坐标分别是（-2，4），（-2，2）. ∵A1D1=2，D1的坐标是（0，3）， ∴A1的坐标是（0，1）， ∴B1，C1的坐标分别是（2，1），（2，3）.］
变式训 练
11.（2021·长春）如图，在平面直角坐标系中，等腰 直角三角形AOB的斜边OA在y轴上，OA=2，点B在 第一象限.标记点B的位置后，将△AOB沿x轴正方向平 移至△A1O1B1的位置，使A1O1经过点B，再标记点 B1的位置，继续平移至△A2O2B2的位置，使A2O2 经过点B1，此时点B2的坐标为（3，1）.
3.旋转前后的图形全等 【温馨提示】旋转对称与中心对称的关系：中心对称是旋转角
为180°的旋转对称.
PART 02
考法聚焦素养 提升
命题 图形的对称
点1
命题 图形的对称
点1
2.（2017·江西，3分）下列图形中，是轴对称图形的 是（C）
命题 图形的对称
点1
3.（2018·江西，3分）小军同学在网格纸上将某些图 形进行平移操作，他发现平移前后的两个图形所组成 的图形可以是轴对称图形.如图所示，现在他将正方 形ABCD从当前位置开始进行一次平移操作，平移后 的正方形的顶点也在格点上，则使平移前后的两个正 方形组成轴对称图形的平移方向有（C） A.3个B.4个 C.5个D.无数个
轴对称与平移压轴题六种模型全攻略(解析版) 七年级数学下册
专题12轴对称与平移压轴题六种模型全攻略【考点导航】目录【典型例题】 (1)【考点一轴对称图形的识别】 (1)【考点二利用轴对称解决折叠问题】 (2)【考点三利用平移的性质求解】 (7)【考点四平移作图】 (9)【考点五利用平移解决实际问题】 (13)【考点六平移与平行线综合问题】 (15)【过关检测】 (19)【典型例题】【考点一轴对称图形的识别】例题：（2023·广西·模拟预测）下列四种标志中，属于轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】本题考查轴对称图形识别．根据题意利用轴对称图形定义即可得到本题答案．【详解】解：∵沿着一条对称轴折叠两边能完全重合的图形为轴对称图形，∴A选项符合轴对称图形定义，是轴对称图形，符合题意；B选项不符合轴对称图形定义，不是轴对称图形，不符合题意；C选项不符合轴对称图形定义，不是轴对称图形，不符合题意；D选项不符合轴对称图形定义，不是轴对称图形，不符合题意；故选：A．【变式训练】1．（23-24九年级下·云南昭通·阶段练习）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形，下列4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题主要考查轴对称图形，根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿某条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，逐一进行判断即可．掌握轴对称图形的概念是解题的关键．【详解】解：观察这4个汉字，可得选项D 的汉字可以看作是轴对称图形．故选：D ．2．（21-22八年级上·内蒙古赤峰·期末）2022年第24届冬季奥林匹克运动会，将由北京市和张家口市联合举行，下列四个图案是历届会徽的一部分图形，其中不是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念即可求解，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】A 、是轴对称图形，故本选项不符合题意；B 、是轴对称图形，故本选项不符合题意；C 、是轴对称图形，故本选项不符合题意；D 、不是轴对称图形，故本选项符合题意；故选：D ．【考点二利用轴对称解决折叠问题】例题：（23-24七年级下·浙江金华·阶段练习）如图，将一长方形纸片ABCD 沿着EF 折叠，C E 交AF 于点G ，H 为BE 上一点，连结GH ，C GH D FE ''∠=∠．(1)请说明GH EF ∥的理由；(2)若D FA α'∠=，求HGE ∠的度数．（用含α的代数式表示）【详解】（1）证明： 四边形ABCD 是长方形，DF CE ∴∥，D F CE ''∴∥，D FA C GA ''∴∠=∠，C GHD FE ''∠=∠ ，C GH C GAD FE D FA ''''∴∠-∠=∠-∠，AGH AFE ∴∠=∠，GH FE ∴∥；（2）【变式训练】1．（23-24七年级下·江苏宿迁·阶段练习）如图1是长方形纸带，将长方形ABCD 沿EF 折叠成图2，使点C 、D 分别落在点1C 、1D 处，再沿BF 折叠成图3，使点1C 、1D 分别落在点2C 、2D 处．(1)若20DEF ∠=︒，求图1中CFE ∠的度数；(2)在（1）的条件下，求图2中1C FC ∠的度数；(3)利用图3，说明2C FE DEF EGF ∠+∠=∠的理由．【答案】(1)160︒(2)40︒(3)见解析【分析】本题主要考查了平行线的性质，折叠的性质：（1）由长方形的性质可得：//,AD BC 可得：180DEF CFE ∠+∠=︒，从而可得答案；（2）由对折的性质先求解：40DEG ∠=︒，再利用AD BC ∥求解：140CGD DEG ∠=∠=︒，再利用11FC ED ∥，从而可得答案；（3）设DEF x ∠=︒，利用长方形的性质与对折求解：1802,EGF x ∠=︒-︒21803C FE x ∠=︒-︒，从而可得2C FE ∠、ECF ∠与DEF ∠的数量关系．【详解】（1）解：∵长方形ABCD ，∴AD BC ∥，∴180DEF CFE ∠+∠=︒，∵20DEF ∠=︒，∵180********CFE DEF ∠=︒-∠=︒-︒=︒，（2）解：∵四边形EDCF 折叠得到四边形11ED C F ，∴120D EF DEF ∠=∠=︒，∴1202040DEG DEF D EF ∠=∠+∠=︒+︒=︒，∵长方形ABCD ，∴AD BC ∥，∴140CGD DEG ∠=∠=︒∵11FC ED ∥，∴1140C FC CGD ∠=∠=︒；（3）解：∵长方形ABCD ，∴AD BC ∥，∴EFB DEF ∠=∠，180DEF CFE ∠+∠=︒，180DEG EGF ∠+∠=︒，设DEF x ∠=︒，∴EFB x ∠=︒，180180CFE DEF x ∠=︒-∠=︒-︒，∵四边形EDCF 折叠得到四边形11ED C F ，∴1D EF DEF x ∠=∠=︒，∴12DEG DEF D EF x ∠=∠+∠=︒，∴1801802EGF DEG x ∠=︒-∠=︒-︒，∵11FC ED ∥，∴11802C FG EGF x ∠=∠=︒-︒，∵四边形11GD C F 折叠得到四边形22GD C F ，∴211802C FG C FG x ∠=∠=︒-︒，AD BC ，EFB DEF x ∴∠=∠=︒，∴2218021803C FE C FG EFB x x x ∠=∠-∠=︒-︒-︒=︒-︒，∴218031802C FE DEF x x x EGF ∠+∠=︒-︒+︒=︒-︒=∠.2．（23-24七年级下·广西南宁·阶段练习）综合与实践：折纸中的数学【问题提出】在前面的学习中我们通过折纸可以找出一个角的平分线，还可以折出过一个点且与已知直线垂直的直线．那我们能否通过折纸的方式找到过直线外一点且与已知直线平行的直线呢？【知识初探】（1）王玲同学在探究“过直线外一点作已知直线的平行线”的活动中，通过如下的折纸方式找到了符合要求的直线．①如图1，在纸上画出一条直线BC ，在BC 外取一点P ．过点P 折叠纸片，使得点C 的对应点C '落在直线BC 上（如图2），记折痕DE 与BC 的交点为A ，将纸片展开铺平．则PAB ∠=______︒；②再过点P 将纸片进行折叠，使得点E 的对应点E '落在直线DP 上（如图3），再将纸片展开铺平（如图4）．此时王玲说，PF 就是BC 的平行线．王玲的说法正确吗？请写出过程予以证明；【拓展延伸】（2）李强同学在王玲同学折纸的基础上，补充了条件：如图5，在线段AP 上任取一点M ，连接FM BM 、，请你猜想ABM PFM ∠∠、与BMF ∠这三个角之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）①90；②正确，证明见解析；（2）BMF ABM PFM ∠=∠+∠，理由见解析【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的判定和性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．（1）①根据折叠的性质求解即可；②同①理可得，90FPA ∠=︒，再根据同旁内角互补，两直线平行证明即可；（2）过点M 作MN BC ∥，根据平行线的性质，得到ABM BMN ∠=∠，PFM FMN ∠=∠，即可求解．【详解】解：（1）①由题意可知，点C 、A 、C '、B 共线，180PAC PAC '∴∠+∠=︒，由折叠的性质可知，PAC PAC '∠=∠，90PAC '∴∠=︒，即90PAB ∠=︒，故答案为：90；②王玲的说法正确，证明如下：由①得：90PAB ∠=︒，同①理可得，90FPA ∠=︒，180PAB FPA ∴∠+∠=︒，PF BC ∴∥；（2）如图，过点M 作MN BC ∥，ABM BMN ∴∠=∠，PF BC ∥ ，PF MN ∴∥，PFM FMN ∴∠=∠，BMF BMN FMN ABM PFM∴∠=∠+∠=∠+∠【考点三利用平移的性质求解】例题：（2023下·海南省直辖县级单位·七年级统考期末）如图，将等边ABC 沿射线CA 平移得到△FED ，点A 的对应点为F ，连接BE ，若2AD =，CF 10=，则BE 的长为（）A ．4B ．6C ．8D ．12【答案】A 【分析】本题考查平移的性质，关键是由平移的性质，得到BE AF CD ==，求出AF 的长．由平移的性质得到：FD AC FE AB ==，，BE AF CD ==，由210AD CF ==，，即可求出4AF =，得到4BE =．【详解】解：由平移的性质得到：FD AC FE AB ==，，BE AF CD ==，∵210AD CF ==，，∴210AF AD +=，∴4AF =，∴4BE =．故选：A ．【变式训练】【答案】6【分析】本题主要考查了平移，线段的和差，解决问题的关键是熟练掌握平移的性质，线段和差的计算．根据平移性质得到10BC EF ==，结合BG 【详解】解： DEF 的是直角三角形∴10BC EF ==，【答案】42【分析】根据平移的性质得EDWF S S S +=阴影部分梯形【考点四平移作图】例题：（2023下·江苏·七年级专题练习）画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，在方格纸内将ABC 经过一次平移后得到A B C ''' ，图中标出了点B 的对应点B '，请利用网格点和直尺画图或计算：(1)在给定方格纸中画出平移后的A B C ''' (2)画出AB 边上的中线CD 及高线CE ；(3)在上述平移中，边BC 所扫过的面积为【答案】(1)见解析(2)见解析(3)31【分析】本题考查作图﹣平移变换，三角形的高，中线，平行四边形的面积等知识，解题的关键是掌握平（2）解：如图，线段CD CE ，即为所求．（3）解：在上述平移中，边BC 所扫过的面积为故答案为：31．【变式训练】(1)把ABC 先向右移动5个单位长度，再向下移动对应点为1A ，点B 的对应点为1B ，点(2)连接1AA ，1BB ，判定1AA 与1BB 【答案】(1)见解析(2)11AA BB ，7【分析】本题考查作图—平移变换、三角形的面积：（1）根据平移的性质作图即可．（2）根据平移的性质可知11AA BB 【详解】（1）解：如图，111A B C △即为所求．（2）解：由平移可知，AA 111A B C △的面积为(1232⨯+2．（2023下·湖南长沙·七年级校考阶段练习）的三个顶点的位置如图所示，F ．(1)画出平移后的DEF （保留作图痕迹）；(2)线段BE 、CF 之间位置及数量关系是__________；(3)过点A 作BC 的平行线1l ．【答案】(1)见解析(2)平行且相等；(3)见解析【分析】（1）由点A 和点D 的位置可确定平移方式为“向右平移6格，向下平移2格”，即可确定B ，C 点平移后的对应点E ，F ，最后顺次连接D ，E ，F 三点即可；（2）根据图形平移后，对应点连成的线段平行即得出BE CF ∥，BE CF =；（3）根据点B 平移到点A 是上移4个单元格，右移2个单元格，可得点C 向上平移得到的对应点C '，连接AC '并延长，即可得到1l ．【详解】（1）解：如图，DEF 即为所作；；（2）解：如图，由平移的性质即可得出BE CF ∥，BE CF =．故答案为：平行且相等；（3）解：1l 如图所示．【点睛】本题考查作图—平移变换，平移的性质，掌握平移的性质是解题的关键．【考点五利用平移解决实际问题】【答案】4256【分析】利用平移的思想，小路的面积相当于横向与纵向的两条小路，-米，再利用矩形面积公式即可求出种植花草的面积．宽为(604)【详解】解：根据题意，小路的面积相当于横向与纵向的两条小路，（平方米）．【变式训练】【答案】9630【分析】根据题意，结合图形，先把楼梯的横竖向上向左平移，构成一个矩形，地毯的钱数可求.的长方形，进而得出其面积．【详解】（1）如图3所示，封闭图形AA 'B 'C 'D 'DCB 即为所求；（2）图1，图2中除去阴影部分后剩下部分的面积分别为S 1、S 2，则S 1=10×（5-1）=10×4=40平方单位；S 2=10×（5-1）=10×4=40平方单位；∴S 1=S 2，故答案为：40，=；（3）如图4，长方形的长为a ，宽为b ，小路的宽度是1个单位长度，∴空白部分表示的草地的面积是a （b -1）=（ab -a ）平方单位．故答案为：（ab -a ）．【点睛】本题属于几何变换综合题，主要考查了平移变换以及矩形面积的计算公式的运用，解决问题的关键是利用平移的性质，把不规则的图形拆分或拼凑为基本图形来计算面积．【考点六平移与平行线综合问题】例题：（2023下·全国·八年级假期作业）如图，线段AB ，BC 被直线AC 所截，D 是线段AC 上的点，过点D 作DE ∥AB ，连接AE ，B E ∠=∠．将线段AE 沿着直线AC 平移得到线段PQ ，连接DQ ．(1)求证：AE BC ∥；(2)若75E ∠=︒，DE DQ ⊥，求Q ∠的度数．【答案】(1)见解析(2)15Q ∠=︒【详解】解：（1）证明：DE AB ∥，180BAE E ∴∠+∠=︒．B E ∠=∠ ，180BAE B ∠+∠=∴︒，AE BC ∴∥．（2）如图，过点D 作DF ∥AE 交AB 于点F ，则180E EDF Ð+Ð=°．∵75E ∠=︒，180105.EDF E ∴∠=︒-∠=︒由平移的性质，得PQ AE ∥，DF PQ ∴∥，FDP DPQ ∴∠=∠．DE DQ ⊥ ，90EDQ ∴∠=︒，36010590165.FDQ ∴∠=︒-︒-︒=︒FDQ FDP QDP ∠=∠+∠ ，165DPQ QDP FDQ ∴∠+∠=∠=︒，18016515.Q ∴∠=︒-︒=︒【变式训练】1．（2023下·湖北咸宁·七年级统考期中）如图，是两个有重叠的直角三角形，可以看作是将其中的一个直角三角形ABC 沿着BC 方向平移5个单位长度就得到了另一直角三角形DEF ，其中853AB BE DH ===，，．(1)填空：线段AC 与线段DF 的关系为________．(2)求四边形DHCF 的面积；(3)连接CD ，若65A ∠=︒，50EDC ∠=︒，求ACD ∠的度数．【答案】(1)平行且相等；(2)32.5(3)15︒．【分析】（1）由题意得：线段AC 与线段DF 的关系为平行且相等；∴65EDF EHC A ∠=∠=∠=︒，ACD ∠=∠∵50EDC ∠=︒，∴65ACD CDF EDC EDC ∠=∠=∠-∠=︒-【点睛】本题考查平移的性质，三角形的面积，解题的关键是掌握相关知识．2．（2023下·江苏扬州·七年级统考期末）如图2∠的度数是1∠的3倍少20︒．(1)求证：AB CD ∥；(2)如图2，连接BD ，AB 沿BD 方向平移得到EF ，点F 在BD 上，点G 是BD 上的一点，连接EG ，30BAG ∠=︒，20FEG ∠=︒，求AGE ∠的度数；(3)如图3，点M 是线段BD 上一点，点N 是射线．．CD 上一点，CAM ∠度数为k ，AMN ∠度数为m ，MND∠度数为n ，请直接写出k 、m 、n 之间的数量关系．（本题的角均小于180︒）【答案】(1)见解析(2)50︒(3)130m n k -+=︒【分析】（1）根据已知先求得1∠的邻补角BAC ∠的度数，得到2BAC ∠=∠即可得结论；（2）过G 作GQ AB ∥，利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可；（3）利用平行线的性质定理和平行公理的推论即可．【详解】（1）证明：150∠=︒ ，2∠的度数是1∠的3倍少20︒，23120130∴∠=∠-︒=︒，180250ACD ∴∠=︒-∠=︒，1ACD ∴∠=∠，∴AB CD ∥；（2）过G 作GQ AB ∥，30AGQ BAG ∴∠=∠=︒，AB EF ∥，∴GQ EF ∥，20GEF EGQ ∴∠=∠=︒，50AGE AGQ EGQ ∴∠=∠+∠=︒；（3） AB CD ∥，与（2）同理可得：AMN MAB MND ∠=∠+∠，,AMN m MND n ∠=∠= ，m n MAB ∴=+∠，150∠=︒ ，CAM k ∠=，180118050BAM CAM k ∴∠=︒-∠-∠=︒-︒-，130m n k ∴=+︒-.即130m n k -+=︒．【点睛】本题考查了平行线的性质定理及平行公理的推论，掌握平行的性质与判定是解决问题的关键．【过关检测】一、单选题1．（2024·山东济南·一模）下列校徽的图案是轴对称图形的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】本题考查了轴对称图形的识别；根据“如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形”，逐项判断即可．【详解】解：A .不是轴对称图形，不符合题意；B .不是轴对称图形，不符合题意；C .不是轴对称图形，不符合题意；D .是轴对称图形，符合题意；故选：D ．2．（23-24七年级下·湖北荆州·阶段练习）如图是6级台阶侧面的示意图，如果要在台阶上铺地毯，台阶宽为2.5米，那么至少要买地毯（）平方米．A ．48B ．30C ．15D ．20【答案】D【分析】本题考查有关平移的性质、面积计算，将图形中较短的竖线左移，较短的横线上移，平移线段后，地毯的长度是5米，3米的长度和，宽为台阶宽为2.5米．地毯的面积=楼梯宽度×矩形的长．【详解】解：358+=（米），8 2.520⨯=（平方米），∴至少要买地毯20平方米．故选：D ．3．（2024年天津市河东区中考一模数学试题）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，D 是斜边AB 的中点，把ABC 沿着CD 折叠，点B 的对应点为点E ，连接AE ．下列结论一定正确的是（）A ．AD DE AB+=B ．60CDE ∠=︒C ．AE EC AC+=D ．AB EC∥【答案】A 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形三边的关系，根据折叠的性质得到DE DB =，则AB AD DB AD DE =+=+，据此可判断①；无法证明60CDE ∠=︒，据此可判断②；根据三角形三边的关系即可判断③；当45DCB ∠=︒时，点E 与点A 重合，此时CE 不平行于AB ，据此可判断④．【详解】解：根据折叠的性质得：DE DB =，∴AB AD DB AD DE =+=+，故A 正确；根据现有条件无法证明60CDE ∠=︒，故B 错误；根据三角形三边关系可得：AE EC AC +>，故C 错误；当45DCB ∠=︒时，∴点E 与点A 重合，∴CE 不平行于AB ，故D 错误故选：A ．4．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在一块长14m 、宽6m 的长方形场地上，有一条弯曲的道路，其余的部分为绿化区，道路的左边线向右平移3m 就是它的右边线，则绿化区的面积是（）A ．218m B ．256m C ．266m D ．272m 【答案】C 【分析】本题考查了生活中的平移现象，根据平移的性质可得，绿化部分可看作是长为()143m -，宽为6m 的矩形，然后根据矩形面积公式进行计算即可解答．【详解】解：由题意得：()1436-⨯116=⨯=266m ，∴绿化区的面积是266m ，故选：C ．5．（22-23七年级下·吉林长春·期末）如图，ABC 的周长为12cm ，若将ABC 沿射线BC 方向平移3cm 后得到DEF ，AC 与DE 相交点G ，连结AD ，则ADG △与ECG 的周长和为（）A ．15cmB ．13cmC ．12cmD ．9cm 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，平移后AD BE =，AB DE =，ADG △与ECG 的周长相加即可转换为ABC 的周长，即可解题．【详解】解：ABC 沿BC 方向平移3cm 得到DEF ，3AD BE cm ∴==，DE AB =，BC CE BE AD CE =+=+ ，ADG ∴ 与ECG 的周长和为12AD CE AC DE BC AC AB +++=++=（cm ），故选：C ．二、填空题6．（23-24七年级下·青海海东·阶段练习）下列现象是数学中的平移的是（填序号）．①苹果垂直从树上落下；②汽车在平直的公路上行驶；③骑自行车时轮胎的滚动；④卫星绕地球运动．【答案】①②【分析】此题考查的知识点：平移的概念；平移，是指在同一平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小．图形经过平移，对应线段相等，对应角相等，对应点所连的线段相等．【详解】①、苹果垂直从树上落下，只沿着竖直方向向下改变，是平移；②、汽车在平直的公路上行驶，只沿着水平方向改变，是平移；③、骑自行车时轮胎的滚动，是沿着圆做圆周运动，不是平移，是旋转；④、卫星绕地球运动，是沿着圆做圆周运动，不是平移，是旋转；故答案为①②7．（23-24七年级下·山东德州·阶段练习）张三打算在院落里种上蔬菜，已知院落为东西长32m ，南北宽20m 的长方形为了行走方便，要修筑同样宽的三条道路，余下的部分要种上蔬菜，若每条道路的宽均为1m ，蔬菜的总种植面积是．【答案】2558m 【分析】本题考查了生活中的平移现象，结合图形平移的知识，画出等效图，利用长方形形面积公式解答，解题的关键是想法把种菜的部分转化成一个长方形，然后根据长方形的面积计算公式进行解答．【详解】解：结合图形平移的知识，可将题目中的图等效为下图，则图中空白处的面积为所求面积．结合题中的信息，可得空白处的面积为()()()23212021558m-⨯-⨯=，所以蔬菜的总种植面积为2558m ．故答案为：2558m ．8．（23-24七年级下·辽宁沈阳·阶段练习）如图所示，图1是长方形纸带（BC AD ∥且纸带足够长），CFE x ∠=︒（060x <<），将纸带沿EF 折叠成图2，再沿GE 折叠成图3，图3中DEF y ∠=︒，则y 与x 的关系式是．【答案】1803y x=-【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质，角的和差，根据平行线的性质可得AEF CFE x ∠=∠=︒，180FED x ∠=︒-︒，再根据折叠的性质可得1802DEG FED AEF x ∠=∠-∠=︒-︒，利用角的和差关系DEF DEG AEF ∠=∠-∠即可求解，掌握折叠的性质是解题的关键．【详解】解：∵BC AD ∥，CFE x ∠=︒，∴180CFE FED ∠+∠=︒，AEF CFE x ∠=∠=︒，∴180FED x ∠=︒-︒，∴图2中，1801802DEG FED AEF x x x ∠=∠-∠=︒-︒-︒=︒-︒，∴图3中，18021803DEF DEG AEF x x x ∠=∠-∠=︒-︒-︒=︒-︒，∵DEF y ∠=︒，∴1803y x =-，故答案为：1803y x =-．9．（23-24七年级下·河南信阳·阶段练习）如图，将直角三角形ABC 沿着AB 方向平移得到三角形DEF ，若6cm AB =，4cm BC =，1cm CH =，图中阴影部分的面积为221cm 2，则三角形ABC 沿着AB 方向平移的距离为cm ．10．（23-24七年级下·河南信阳·阶段练习）如图，ABC 中，90,20B A ∠=︒∠=︒，E ，F 分别是边,AB AC 上的点，连接EF ，将AEF △沿着EF 折叠，得到A EF '△，当A F '与ABC 其中一边平行时，AEF ∠的度数是．【答案】35︒或80︒或125︒【分析】分三种情况讨论，利用翻折变换和平行线的性质及三角形内角和定理，可求AEF ∠的度数．【详解】解：如图1，当A F BC ¢∥时，延长A F '交AB 于点H ，∴90A HB A HC ''∠=∠=︒，由折叠可得：20A A '∠=∠=︒，A EF AEF '∠=∠，902070AEA '∴∠=︒-︒=︒，1352AEF AEA '∴∠=∠=︒；如图2，设A F '与AB 交于点H ，当A F BC ¢∥时，∴90CBA FHA ∠=∠=︒，∴180180902070AFH AHF A ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒，∵将AEF △沿着者EF 折叠，∴1352AFE A FE AFE '∠=∠=∠=︒；∴180125AEF A AFE ∠=︒-∠-∠=︒；∴160A EA '∠=︒，∵将AEF △沿着者EF 折叠，∴12AEF A EF A '∠=∠=∠三、解答题11．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）如图是一张被损坏（右边不规则处）的长方形纸片，将长方形的一角沿AC 翻折，点B 翻折至点B '处，CD 是ECB '∠的平分线．(1)求证AC CD ⊥；(2)若20BAC =︒∠，67K ∠=︒，85H ∠=︒，求CDH ∠的度数．【答案】(1)见解析；(2)38CDH ∠=︒．【分析】本题考查了长方形的性质，解平分线的性质，折叠的性质，四边形内角和，掌握相关性质是解题的关键．（1）由AB C 'V 是由ABC 沿AC 翻折所得，得到ACB ACB '∠=∠，AC 是BCB '∠的角平分线即可求证；（2）延长,AK CD ，交于点M ，根据相关性质求出M MKH MDH ∠∠∠，，即可求解．【详解】（1）证明：∵AB C 'V 是由ABC 沿AC 翻折所得，∵67AKH ∠=︒∴180180MKH AKH ∠=︒-∠=∵图是长方形纸片，12．（23-24八年级下·全国·课后作业）如图，EFG 是由ABC 沿箭头方向平移得到的．(1)若35BAC ∠=︒，求FEG ∠的度数；(2)若2cm EG =，求AC 的长；(3)若 2.5cm AE =，求BF ，CG 的长．【答案】(1)35FEG ∠=︒(2)2cm(3) 2.5cmBF CG ==【分析】本题考查平移的性质，熟练掌握平移的性质，是解题的关键．（1）根据平移前后对应角相等，得出结果即可；（2）根据平移前后对应线段相等，即可得出答案；（3）根据平移性质进行解答即可．【详解】（1）解：∵EFG 是由ABC 沿箭头方向平移得到的，∴点E 与点A 对应，点F 与点B 对应，点G 与点C 对应，∴FEG BAC ∠=∠，EG AC =，AE BF CG ==，∵35BAC ∠=︒，∴35FEG ∠=︒．（2）解：∵2cm EG =，∴2cm AC EG ==．（3）解：∵ 2.5cm AE =，∴ 2.5cm BF CG ==．13．（23-24七年级下·江苏南京·阶段练习）如图，在小正方形边长为1的方格纸内将ABC 向下平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度得到A B C ''' ，点A 、B 、C 的对应点分别为A '、B '、C '．(1)在图中画出平移后的A B C ''' ；(2)ABC 的面积为；(3)作AB 边上的高CD ；(4)能使ABQ ABC S S =△△的格点Q （C 点除外）共有个．【答案】(1)见解析(2)8(3)见解析(4)4【分析】（1）先根据平移的方式得到点，然后连接即可；（2）由大的长方形面积减去三个三角形的面积和一个小的长方形面积即可；（3）延长AB ，过点C 作AB 的垂线交AB 于一点D ；（4）在AB 的两侧画等距离（距离为CD ）的两条平行线，再根据平行线经过的格点即可得到结果．【详解】（1）解：将ABC 向下平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度得到A B C ''' ，如图所示：；（2）解：1115757262113222ABC S =⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯-⨯⨯ 353356222=----8 ，故答案为：8；（3）解：延长AB ，过点C 作AB 的垂线交AB 于一点D ，如图所示：；（4）解：在AB 的两侧画等距离（距离为CD ）的两条平行线，再根据平行线经过的格点1234,,,Q Q Q Q 即为所求：，∴这样的点有4个，故答案为：4．【点睛】本题考查了平移的作图、求解网格三角形的面积、作三角形的高、平行线的性质，熟记平移的性质与平行线间的距离处处相等是解题的关键．14．（23-24七年级下·湖北武汉·阶段练习）为实现“绿色江夏·和谐江夏”，江夏区政府准备开发城北一块长为32m ，宽为21m 的长方形空地．(1)方案一：如图1，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路，小路的左边线向右平移1m 就是它的右边线．则这块草地的面积为2m ；(2)方案二：如图2，将这块空地种上草坪，修纵横两条宽1m 的小路，则这块草地的面积为2m ；(3)方案三：修建一个长是宽的1.6倍，面积为2432m 的篮球场，若比赛用的篮球场要求长在25m 到30m 之间，宽在13m 到20m 之间．这个篮球场能用做比赛吗？并说明理由．【答案】(1)651(2)620(3)这个篮球场能用做比赛，理由见解析【分析】本题考查了平移的性质，有理数的混合运算的应用，利用平方根解方程等知识．熟练掌握平移的性质，有理数的混合运算的应用，利用平方根解方程是解题的关键．（1）由平移可知，小路的面积为212121m ⨯=，根据草地的面积为322121⨯-，计算求解即可；（2）由题意知，草地的面积为232211211321⨯-⨯-⨯+，计算求解即可；（3）设宽为m x ，则长为1.6m x ，依题意得，21.6432x =，可求2270x =，根据221316927040020=<<=，可知宽满足要求；由()21.6691.2x =，2225625691.290030=<<=，可知长满足要求；然后作答即可．【详解】（1）解：由平移可知，小路的面积为212121m ⨯=，∴草地的面积为2322121651m ⨯-=，故答案为：651；（2）解：由题意知，草地的面积为2232211211321620m ⨯-⨯-⨯+=，故答案为：620；（3）解：这个篮球场能用做比赛，理由如下；设宽为m x ，则长为1.6m x ，依题意得，21.6432x =，解得，2270x =，∵221316927040020=<<=，∴宽满足要求；∵()21.6691.2x =，2225625691.290030=<<=，∴长满足要求；∴这个篮球场能用做比赛．15．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）综合与实践：利用折纸可以作出相等的角．如图，有长方形纸片，在AB 上取一点O ，以OD 为折痕翻折纸片，点B 落在点B '，以OC 为折痕翻折纸片，点A 落在点A '，分别连接,OB OA ''．(1)根据题意，DOB '∠=∠____________，COA '∠=∠____________．(2)记,AOC BOD αβ∠=∠=．①如图1，若点B '恰好落在OA '上，求COD ∠的度数．②如图2，折叠后的纸片间出现缝隙，点B '在COA '∠的外侧，求A OB ''∠的度数（用含有,αβ的代数式表示）．③如图3，折叠后的纸片间出现重叠，点A '在DOB '∠的内部，求A OB ''∠的度数（用含有,αβ的代数式表示）．【答案】(1)DOB ，COA ；(2)①90COD ∠=︒；②18022A OB αβ''∠=︒--，③22180A OB αβ∠=+-''︒．【分析】本题考查的是轴对称的性质，角的和差运算，平角的定义，熟记轴对称的性质是解本题的关键；（1）由轴对称的性质可得答案；（2）①由DOB DOB '∠=∠，COA COA '∠=∠，结合180DOB DOB AOC A OC ''∠+∠+∠+∠=︒，可得90A OC B OD ''︒，从而可得答案；②由DOB DOB β'∠=∠=，COA COA α'∠=∠=，可得18022A OB αβ''∠=︒--；③由DOB DOB β'∠=∠=，COA COA α'∠=∠=，结合22180A OB αβ''+-∠=︒，可得答案．【详解】（1）解：由折叠可得：DOB DOB '∠=∠，COA COA '∠=∠；（2）①如图，由折叠可得：DOB DOB '∠=∠，COA COA '∠=∠，又180DOB DOB AOC A OC ''∠+∠+∠+∠=︒ ，22180A OC B OD ∴∠+∠=''︒，90A OC B OD ''︒，90COD ∴∠=︒②如图，∵,AOC BOD αβ∠=∠=，∴DOB DOB β'∠=∠=，COA COA α'∠=∠=，∴18022A OB αβ''∠=︒--；③如图，∵,AOC BOD αβ∠=∠=，∴DOB DOB β'∠=∠=，COA COA α'∠=∠=，∴22180A OB αβ''+-∠=︒，∴22180A OB αβ∠=+-''︒．。
2020全国各地中考数学压轴题按题型分类汇编(七)平移旋转对称三大变换(解析版)
2020全国各地中考压轴题（选择、填空）按题型整理：七、平移旋转对称三大变换1.（2020•安徽）在数学探究活动中，敏敏进行了如下操作：如图，将四边形纸片ABCD 沿过点A 的直线折叠，使得点B 落在CD 上的点Q 处．折痕为AP ；再将△PCQ ，△ADQ 分别沿PQ ，AQ 折叠，此时点C ，D 落在AP 上的同一点R 处．请完成下列探究：（1）∠P AQ 的大小为 30 °；（2）当四边形APCD 是平行四边形时，AB QR 的值为 √3 ．【解答】解：（1）由折叠的性质可得：∠B ＝∠AQP ，∠DAQ ＝∠QAP ＝∠P AB ，∠DQA ＝∠AQR ，∠CQP ＝∠PQR ，∠D ＝∠ARQ ，∠C ＝∠QRP ，∵∠QRA +∠QRP ＝180°，∴∠D +∠C ＝180°，∴AD ∥BC ，∴∠B +∠DAB ＝180°，∵∠DQR +∠CQR ＝180°，∴∠DQA +∠CQP ＝90°，∴∠AQP ＝90°，∴∠B ＝∠AQP ＝90°，∴∠DAB ＝90°，∴∠DAQ ＝∠QAP ＝∠P AB ＝30°，故答案为：30；（2）由折叠的性质可得：AD ＝AR ，CP ＝PR ，∵四边形APCD 是平行四边形，∴AD ＝PC ，∴AR ＝PR ，又∵∠AQP ＝90°，∴QR =12AP ，∵∠P AB ＝30°，∠B ＝90°，∴AP ＝2PB ，AB =√3PB ，∴PB ＝QR ，∴AB QR =√3，故答案为：√3．2.（2020•天水）如图，在边长为6的正方形ABCD 内作∠EAF ＝45°，AE 交BC 于点E ，AF 交CD 于点F ，连接EF ，将△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ．若DF ＝3，则BE 的长为 2 ．【解答】解：法一：由题意可得，△ADF ≌△ABG ，∴DF ＝BG ，∠DAF ＝∠BAG ，∵∠DAB ＝90°，∠EAF ＝45°，∴∠DAF +∠EAB ＝45°，∴∠BAG +∠EAB ＝45°，∴∠EAF ＝∠EAG ，在△EAG 和△EAF 中，{AG =AF ∠EAG =∠EAF AE =AE，∴△EAG ≌△EAF （SAS ），∴GE ＝FE ，设BE ＝x ，则GE ＝BG +BE ＝3+x ，CE ＝6﹣x ，∴EF ＝3+x ，∵CD ＝6，DF ＝3，∴CF ＝3，∵∠C ＝90°，∴（6﹣x ）2+32＝（3+x ）2，解得，x ＝2，即BE ＝2，法二：设BE ＝x ，连接GF ，如下图所示，∵四边形ABCD 为正方形，∴∠ABE ＝∠GCF ＝90°，∵△ADF 绕点A 顺时针旋转90°得到△ABG ，∴∠CAF ＝90°，GA ＝F A ，∴△GAF 为等腰直角三角形，∵∠EAF ＝45°，∴AE 垂直平分GF ，∴∠AEB +∠CGF ＝90°，∵在Rt △AEB 中，∠AEB +∠BAE ＝90°，∴∠BAE ＝∠CGF ，∴△BAE ～△CGF ，∴BE CF =AB GC ，∵CF ＝CD ﹣DF ＝6﹣3＝3，GC ＝BC +BG ＝BC +DF ＝6+3＝9，∴x 3=69， ∴x ＝2，即BE ＝2，故答案为：2．3.（2020•深圳）如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝6，BC ＝12．将纸片折叠，使点B 落在边AD 的延长线上的点G 处，折痕为EF ，点E 、F 分别在边AD 和边BC 上．连接BG ，交CD 于点K ，FG 交CD 于点H ．给出以下结论：①EF ⊥BG ；②GE ＝GF ；③△GDK 和△GKH 的面积相等；④当点F 与点C 重合时，∠DEF ＝75°，其中正确的结论共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【解答】解：如图，连接BE ，设EF 与BG 交于点O ，∵将纸片折叠，使点B落在边AD的延长线上的点G处，∴EF垂直平分BG，∴EF⊥BG，BO＝GO，BE＝EG，BF＝FG，故①正确，∵AD∥BC，∴∠EGO＝∠FBO，又∵∠EOG＝∠BOF，∴△BOF≌△GOE（ASA），∴BF＝EG，∴BF＝EG＝GF，故②正确，∵BE＝EG＝BF＝FG，∴四边形BEGF是菱形，∴∠BEF＝∠GEF，当点F与点C重合时，则BF＝BC＝BE＝12，∵sin∠AEB=ABBE=612=12，∴∠AEB＝30°，∴∠DEF＝75°，故④正确，由题意无法证明△GDK 和△GKH 的面积相等，故③错误；故选：C ．4.（2020•随州）如图，已知矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝4，点M ，N 分别在边AD ，BC 上，沿着MN 折叠矩形ABCD ，使点A ，B 分别落在E ，F 处，且点F 在线段CD 上（不与两端点重合），过点M 作MH ⊥BC 于点H ，连接BF ，给出下列判断：①△MHN ∽△BCF ；②折痕MN 的长度的取值范围为3＜MN ＜154；③当四边形CDMH 为正方形时，N 为HC 的中点；④若DF =13DC ，则折叠后重叠部分的面积为5512．其中正确的是 ①②③④ ．（写出所有正确判断的序号）【解答】解：①如图1，由折叠可知BF ⊥MN ，∴∠BOM＝90°，∵MH⊥BC，∴∠BHP＝90°＝∠BOM，∵∠BPH＝∠OPM，∴∠CBF＝∠NMH，∵∠MHN＝∠C＝90°，∴△MHN∽△BCF，故①正确；②当F与C重合时，MN＝3，此时MN最小，当F与D重合时，如图2，此时MN最大，由勾股定理得：BD＝5，∵OB ＝OD =52，∵tan ∠DBC =ON OB =CD BC ，即ON 52=34， ∴ON =158，∵AD ∥BC ，∴∠MDO ＝∠OBN ，在△MOD 和△NOB 中， ∵{∠MDO =∠OBNOD =OB ∠DOM =∠BON，∴△DOM ≌△BON （ASA ），∴OM ＝ON ，∴MN ＝2ON =154， ∵点F 在线段CD 上（不与两端点重合），∴折痕MN 的长度的取值范围为3＜MN ＜154；故②正确；③如图3，连接BM ，FM ，当四边形CDMH为正方形时，MH＝CH＝CD＝DM＝3，∵AD＝BC＝4，∴AM＝BH＝1，由勾股定理得：BM=√32+12=√10，∴FM=√10，∴DF=√FM2−DM2=√(√10)2−32=1，∴CF＝3﹣1＝2，设HN＝x，则BN＝FN＝x+1，在Rt△CNF中，CN2+CF2＝FN2，∴（3﹣x）2+22＝（x+1）2，解得：x=3 2，∴HN=3 2，∵CH＝3，∴CN＝HN=3 2，∴N为HC的中点；故③正确；④如图4，连接FM，∵DF=13DC，CD＝3，∴DF＝1，CF＝2，∴BF=√22+42=2√5，∴OF=√5，设FN＝a，则BN＝a，CN＝4﹣a，由勾股定理得：FN2＝CN2+CF2，∴a2＝（4﹣a）2+22，∴a=5 2，∴BN＝FN=52，CN=32，∵∠NFE＝∠CFN+∠DFQ＝90°，∠CFN+∠CNF＝90°，∴∠DFQ ＝∠CNF ，∵∠D ＝∠C ＝90°，∴△QDF ∽△FCN ，∴QD FC =DF CN ，即QD 2=132，∴QD =43，∴FQ =√12+(43)2=53，∵tan ∠HMN ＝tan ∠CBF =HN HM =CF BC ， ∴HN 3=24，∴HN =32，∴MN =√32+(32)2=3√52， ∵CH ＝MD ＝HN +CN =32+32=3，∴MQ ＝3−43=53，∴折叠后重叠部分的面积为：S △MNF +S △MQF =12⋅MN ⋅OF +12⋅MQ ⋅DF =12×3√52×√5+12×53×1=5512； 故④正确；所以本题正确的结论有：①②③④；故答案为：①②③④．5.（2020•武汉）如图，折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，EF为折痕，AB＝1，AD＝2．设AM的长为t，用含有t的式子表示四边形CDEF的面积是14t2−14t+1．【解答】解：连接DM，过点E作EG⊥BC于点G，设DE＝x＝EM，则EA＝2﹣x，∵AE2+AM2＝EM2，∴（2﹣x）2+t2＝x2，解得x=t24+1，∴DE=t24+1，∵折叠矩形纸片ABCD，使点D落在AB边的点M处，∴EF⊥DM，∠ADM+∠DEF＝90°，∵EG⊥AD，∴∠DEF+∠FEG＝90°，∴∠ADM＝∠FEG，∴tan ∠ADM =AM AD =t 2=FG 1， ∴FG =t 2，∵CG ＝DE =t 24+1，∴CF =t 24−t 2+1， ∴S 四边形CDEF =12（CF +DE ）×1=14t 2−14t +1．故答案为：14t 2−14t +1．6.（2020•咸宁）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2√5，E 是BC 的中点，将△ABE 沿直线AE 翻折，点B 落在点F 处，连结CF ，则cos ∠ECF 的值为（ ）A ．23B ．√104C ．√53D ．2√55【解答】解：如图，∵四边形ABCD 是矩形，∴∠B ＝90°，∵E 是BC 的中点，BC ＝2√5，∴BE ＝CE =12BC =√5，∴AE =√AB 2+BE 2=√22+(√5)2=3，由翻折变换的性质得：△AFE ≌△ABE ，∴∠AEF ＝∠AEB ，EF ＝BE =√5，∴∠EFC＝∠ECF，∵∠BEF＝∠EFC+∠ECF，∴∠AEB＝∠ECF，∴cos∠ECF＝cos∠AEB=BEAE=√53．故选：C．7.（2020•襄阳）如图，矩形ABCD中，E为边AB上一点，将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，连接AF交DE于点N，连接BN．若BF•AD＝15，tan∠BNF=√52，则矩形ABCD的面积为15√5．【解答】解：∵将△ADE沿DE折叠，使点A的对应点F恰好落在边BC上，∴AF⊥DE，AE＝EF，∵矩形ABCD中，∠ABF＝90°，∴B，E，N，F四点共圆，∴∠BNF＝∠BEF，∴tan∠BEF=√5 2，设BF=√5x，BE＝2x，∴EF=√BF2+BE2=3x，∴AB ＝5x ，∴AB =√5BF ．∴S 矩形ABCD ＝AB •AD =√5BF •AD =√5×15＝15√5．故答案为：15√5．8.（2020•孝感）如图，点E 在正方形ABCD 的边CD 上，将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°到△ABF 的位置，连接EF ，过点A 作EF 的垂线，垂足为点H ，与BC 交于点G ．若BG ＝3，CG ＝2，则CE 的长为（ ）A ．54B ．154C ．4D ．92 【解答】解：如图所示，连接EG ，由旋转可得，△ADE ≌△ABF ，∴AE ＝AF ，DE ＝BF ，又∵AG ⊥EF ，∴H 为EF 的中点，∴AG 垂直平分EF ，∴EG ＝FG ，设CE ＝x ，则DE ＝5﹣x ＝BF ，FG ＝8﹣x ，∴EG ＝8﹣x ，∵∠C ＝90°，∴Rt △CEG 中，CE 2+CG 2＝EG 2，即x 2+22＝（8﹣x ）2，解得x =154， ∴CE 的长为154，故选：B ．9.（2020•衡阳）如图1，在平面直角坐标系中，▱ABCD 在第一象限，且BC ∥x 轴．直线y ＝x 从原点O 出发沿x 轴正方向平移，在平移过程中，直线被▱ABCD 截得的线段长度n 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2所示．那么▱ABCD 的面积为（ ）A ．3B ．3√2C ．6D ．6√2【解答】解：过B 作BM ⊥AD 于点M ，分别过B ，D 作直线y ＝x 的平行线，交AD 于E ，如图1所示，由图象和题意可得，AE＝6﹣4＝2，DE＝7﹣6＝1，BE＝2，∴AB＝2+1＝3，∵直线BE平行直线y＝x，∴BM＝EM=√2，∴平行四边形ABCD的面积是：AD•BM＝3×√2=3√2．故选：B．10.（2020•江西）矩形纸片ABCD，长AD＝8cm，宽AB＝4cm，折叠纸片，使折痕经过点B，交AD边于点E，点A落在点A'处，展平后得到折痕BE，同时得到线段BA'，EA'，不再添加其它线段．当图中存在30°角时，AE的长为4√33厘米或4√3厘米或8−4√3厘米．【解答】解：①当∠ABE＝30°时，AE＝AB×tan30°=4√33；②当∠AEB＝30°时，AE=ABtan30°=4√33=4√3；③∠ABE ＝15°时，∠ABA ′＝30°，延长BA ′交AD 于F ，如下图所示，设AE ＝x ，则EA ′＝x ，EF =x sin60°=2√3x 3， ∵AF ＝AE +EF ＝AB tan30°=4√33，∴x +2√3x 3=4√33， ∴x ＝8﹣4√3，∴AE ＝8﹣4√3．故答案为：4√33厘米或4√3厘米或8﹣4√3厘米．11.（2020•滨州）如图，对折矩形纸片ABCD ，使AD 与BC 重合，得到折痕EF ，把纸片展平后再次折叠，使点A 落在EF 上的点A ′处，得到折痕BM ，BM 与EF 相交于点N ．若直线BA ′交直线CD 于点O ，BC ＝5，EN ＝1，则OD 的长为（ ）A ．12√3B ．13√3C ．14√3D ．15√3【解答】解：∵EN ＝1，∴由中位线定理得AM ＝2，由折叠的性质可得A′M＝2，∵AD∥EF，∴∠AMB＝∠A′NM，∵∠AMB＝∠A′MB，∴∠A′NM＝∠A′MB，∴A′N＝2，∴A′E＝3，A′F＝2过M点作MG⊥EF于G，∴NG＝EN＝1，∴A′G＝1，由勾股定理得MG=√22−12=√3，∴BE＝OF＝MG=√3，∴OF：BE＝2：3，解得OF=2√3 3，∴OD=√3−2√33=√33．故选：B．12.（2020•德州）如图，在矩形ABCD 中，AB =√3+2，AD =√3．把AD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在AB边上的D ′处，再将△AED ′绕点E 顺时针旋转α，得到△A 'ED ″，使得EA ′恰好经过BD ′的中点F ．A ′D ″交AB 于点G ，连接AA ′．有如下结论：①A ′F 的长度是√6−2；②弧D 'D ″的长度是5√312π；③△A ′AF ≌△A ′EG ；④△AA ′F ∽△EGF ．上述结论中，所有正确的序号是 ①②④ ．【解答】解：∵把AD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在AB 边上的D ′处，∴∠D ＝∠AD 'E ＝90°＝∠DAD '，AD ＝AD '，∴四边形ADED '是矩形，又∵AD ＝AD '=√3，∴四边形ADED '是正方形，∴AD ＝AD '＝D 'E ＝DE =√3，AE =√2AD =√6，∠EAD '＝∠AED '＝45°，∴D 'B ＝AB ﹣AD '＝2，∵点F 是BD '中点，∴D 'F ＝1，∴EF =2+D′F 2=√3+1=2，∵将△AED ′绕点E 顺时针旋转α，∴AE ＝A 'E =√6，∠D 'ED ''＝α，∠EA 'D ''＝∠EAD '＝45°，∴A 'F =√6−2，故①正确；∵tan∠FED'=D′FD′E=1√3=√33，∴∠FED'＝30°∴α＝30°+45°＝75°，∴弧D'D″的长度=75°×π×√3180°=5√312π，故②正确；∵AE＝A'E，∠AEA'＝75°，∴∠EAA'＝∠EA'A＝52.5°，∴∠A'AF＝7.5°，∵∠AA'F≠∠EA'G，∠AA'E≠∠EA'G，∠AF A'＝120°≠∠EA'G，∴△AA'F与△A'GE不全等，故③错误；∵D'E＝D''E，EG＝EG，∴Rt△ED'G≌Rt△ED''G（HL），∴∠D'GE＝∠D''GE，∵∠AGD''＝∠A'AG+∠AA'G＝105°，∴∠D'GE＝52.5°＝∠AA'F，又∵∠AF A'＝∠EFG，∴△AF A'∽△EFG，故④正确，故答案为：①②④．13.（2020•聊城）如图，在Rt△ABC中，AB＝2，∠C＝30°，将Rt△ABC绕点A旋转得到Rt△AB′C′，使点B的对应点B′落在AC上，在B′C′上取点D，使B′D＝2，那么点D到BC的距离等于（）A ．2（√33+1）B ．√33+1C ．√3−1D ．√3+1【解答】解：∵在Rt △ABC 中，AB ＝2，∠C ＝30°，∴BC ＝2√3，AC ＝4，∵将Rt △ABC 绕点A 旋转得到Rt △AB ′C ′，使点B 的对应点B ′落在AC 上，∴AB ′＝AB ＝2，B ′C ′＝BC ＝2√3，∴B ′C ＝2，延长C ′B ′交BC 于F ，∴∠CB ′F ＝∠AB ′C ′＝90°，∵∠C ＝30°，∴∠CFB ′＝60°，B ′F =√33B ′C =2√33， ∵B ′D ＝2，∴DF ＝2+2√33，过D 作DE ⊥BC 于E ，∴DE =√32DF =√32×（2+2√33）=√3+1，故选：D ．14.（2020•杭州）如图是一张矩形纸片，点E在AB边上，把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，连接DF．若点E，F，D在同一条直线上，AE＝2，则DF＝2，BE＝√5−1．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ADC＝∠B＝∠DAE＝90°，∵把△BCE沿直线CE对折，使点B落在对角线AC上的点F处，∴CF＝BC，∠CFE＝∠B＝90°，EF＝BE，∴CF＝AD，∠CFD＝90°，∴∠ADE+∠CDF＝∠CDF+∠DCF＝90°，∴∠ADF＝∠DCF，∴△ADE≌△FCD（ASA），∴DF＝AE＝2；∵∠AFE＝∠CFD＝90°，∴∠AFE ＝∠DAE ＝90°，∵∠AEF ＝∠DEA ，∴△AEF ∽△DEA ，∴AE EF=DE AE ， ∴2EF =2+EF 2，∴EF =√5−1（负值舍去），∴BE ＝EF =√5−1，故答案为：2，√5−1．15.（2020•嘉兴）如图，有一张矩形纸条ABCD ，AB ＝5cm ，BC ＝2cm ，点M ，N 分别在边AB ，CD 上，CN＝1cm ．现将四边形BCNM 沿MN 折叠，使点B ，C 分别落在点B '，C '上．当点B '恰好落在边CD 上时，线段BM 的长为 √5 cm ；在点M 从点A 运动到点B 的过程中，若边MB '与边CD 交于点E ，则点E 相应运动的路径长为 （√5−32） cm ．【解答】解：如图1中，∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴∠1＝∠3，由翻折的性质可知：∠1＝∠2，BM＝MB′，∴∠2＝∠3，∴MB′＝NB′，∵NB′=√B′C′2+NC′2=√22+12=√5（cm），∴BM＝NB′=√5（cm）．如图2中，当点M与A重合时，AE＝EN，设AE＝EN＝xcm，在Rt△ADE中，则有x2＝22+（4﹣x）2，解得x=5 2，∴DE＝4−52=32（cm），如图3中，当点M运动到MB′⊥AB时，DE′的值最大，DE′＝5﹣1﹣2＝2（cm），如图4中，当点M运动到点B′落在CD时，DB′（即DE″）＝5﹣1−√5=（4−√5）（cm），∴点E的运动轨迹E→E′→E″，运动路径＝EE′+E′B′＝2−32+2﹣（4−√5）＝（√5−32）（cm）．故答案为√5，（√5−32）．16.（2020•衢州）如图，把一张矩形纸片ABCD 按所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF ，若BC ＝1，则AB 的长度为（ ）A ．√2B ．√2+12C ．√5+12D ．43 【解答】解：由折叠补全图形如图所示，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADA'＝∠B＝∠C＝∠A＝90°，AD＝BC＝1，CD＝AB，由第一次折叠得：∠DAE＝∠A＝90°，∠ADE=12∠ADC＝45°，∴∠AED＝∠ADE＝45°，∴AE＝AD＝1，在Rt△ADE中，根据勾股定理得，DE=√2AD=√2，故选：A．。
中考数学 图形的平移,对称,旋转
第20讲图形的平移，对称，旋转☞【基础知识归纳】☜☞归纳1：图形的平移把一个图形整体沿某一方向移动．．，会得到一个新的图形，新图形与原图形的和完全相同，图形的这种移动叫做平移．☞归纳2：作已知图形的平移图形画平移图形，必须找出平移和，其依据是平移的性质．☞归纳3：平移的性质(1)对应线段平行且，对应点所连的线段，图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离；(2)对应角分别，且对应角的两边分别平行、方向一致；(3)平移变换后的图形与原图形☞归纳4：轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠．．，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做，这条直线就是它的对称轴．【注】解这类问题的关键是看图形翻折180°之后是否能完全重合．☞归纳5：作已知图形的轴对称图形如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的【方法归纳】过点作对称轴的垂线并倍长找到对应点．☞归纳6：轴对称的性质轴对称图形的对称轴，是任意一对对应点所连线段的垂直平分线，性质: (1)对应点的连线被对称轴(2)对应线段(3)成轴对称的两个图形☞归纳7：中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转．．后的图形能够和原来的图形互相重合，、那么这个图形叫做，这个点就是它的．【注】解这类问题的关键是看图形旋转180°之后是否能完全重合．☞归纳8：认识旋转1.定义：在平面内，把一个图形绕着某一个定点沿着某个方向旋转一定的角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点叫做，转动的角叫做2.图形的旋转有三个基本条件：(1)；(2)；(3)3.性质: (1)对应点到旋转中心的距离(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于(3)旋转前后的图形☞【常考题型剖析】☜☺题型一、平移【例1】在6×6方格中，将图1中的图形N平移后位置如图2所示，则图形N的平移方法中，正确的是（）A.向下移动1格B.向上移动1格C.向上移动2格D.向下移动2格【举一反三】1.(2015新疆)如图，将周长为8的△ABC沿BC方向,向右平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的周长为．☺题型二、轴对称图形与中心对称图形【例2】下列对称图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的有（）A.1个B.2 个C.3 个D.4个【举一反三】2.下列图案中，不是轴对称图形的是（）3.(2015铁岭)下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.☺ 题型三、旋转【例3】(2015宁德) 如图，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转60°得△ADE ，则∠BAD= 度．【举一反三】4.如图，在△ABC 中,∠ACB=90°,∠ABC=30°．将△ABC 绕直角顶点C 逆时针 旋转60°得△A B C ''，则点B 转过的路径长 'BB 为（ ）A.3π C.23π D.π☺ 题型四、平移、对称，旋转的作图【例4】(2015赤峰)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点坐标为A(-3,4),B(-4,2),C(-2,1)，且△A 1B 1C 1与△ABC 关于原点O 成中心对称．（1）画出△A 1B 1C 1，并写出A 1的坐标；（2）(a,b)P 是△ABC 的AC 边上一点，△ABC 经平移后点P 的对称点'(a 3,b 1)P ++，请画出平移后的△A 2B 2C 2．☞【巩固提升自我】☜1.(2015贺州)下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D.2.(2015来宾)如图,在平面直角坐标系中,将点M （2,1）向下平移2个单位长度得到点N ，则点N 的坐标为（ ）（第2题图） （第3题图）A.(2 ,-1)B.(2,3)C.(0,1)D.(4,1) 3.(2015北海）如图,在矩形OABC 中，OA=8，OC=4，沿对角线OB 折叠后,点A 与点D 重合，OD 与BC 交于点E ，则点D 的坐标是（ ）A.(4,8)B.(5,8)C.(245,325)D.(225,365) 4.(2015贵港)若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是（ ） A.15 B.25 C.35 D.455.(2015南宁)如图，在平面直角坐标系中，已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A(-1,1)，B(-3,1)，C(-1,4)． （1）画出△ABC 关于y 轴对称的111A B C ； （2）将△ABC 绕着点B 顺时针旋转90°后得到222A B C ，请在图中画出222A B C ， 并求出线段BC 旋转过程中所扫过的面积（结果保留π）．☞【基础知识归纳】☜☞归纳1：图形的平移把一个图形整体沿某一方向移动．．，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同，图形的这种移动叫做平移．☞归纳2：作已知图形的平移图形画平移图形，必须找出平移方向和距离，其依据是平移的性质．☞归纳3：平移的性质(1)对应线段平行且_相等_，对应点所连的线段_平行且相等__，图形上的每个点都沿同一个方向移动了相同的距离；(2)对应角分别_相等_，且对应角的两边分别平行、方向一致；(3)平移变换后的图形与原图形_全等_☞归纳4：轴对称图形如果一个图形沿一条直线折叠．．，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．【注】解这类问题的关键是看图形翻折180°之后是否能完全重合．☞归纳5：作已知图形的轴对称图形如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任意一对对应点所连线段的垂直平分线．【方法归纳】过点作对称轴的垂线并倍长找到对应点．☞归纳6：轴对称的性质轴对称图形的对称轴，是任意一对对应点所连线段的垂直平分线，性质: (1)对应点的连线被对称轴_垂直平分_；(2)对应线段__相等__；(3)成轴对称的两个图形__全等__☞归纳7：中心对称图形把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转．．后的图形能够和原来的图形互相重合，、那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．【注】解这类问题的关键是看图形旋转180°之后是否能完全重合．☞归纳8：认识旋转1.定义：在平面内，把一个图形绕着某一个定点沿着某个方向旋转一定的角度，这样的图形运动称为旋转．这个定点叫做_旋转中心__，转动的角叫做__旋转角2.图形的旋转有三个基本条件：(1)旋转中心；(2)旋转方向；(3)旋转角度.3.性质: (1)对应点到旋转中心的距离_相等__；(2)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于__旋转角__；(3)旋转前后的图形__全等___。
2019中考数学高频考点解读《图形的平移、对称与旋转》专题(共19张PPT)
轴对称图 形的性质
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线 段的⑤ 垂直平分线 .
考点 旋转 6年5考
旋转的概念 在平面内，把一个图形绕一个① 定点 沿某个② 方向 转动 某个③ 角度 ，这样的图形运动称为旋转
旋转的性质 (1)旋转前、后的图形④ 全等 ； (2)对应点到旋转中心的距离⑤ 相等 ；
(3)对应点与旋转中心所连线段的夹角等于⑥ 旋转角 .
中心对称 把一个图形绕着某一点旋转⑦ 180°，如果它能与另一个 的概念 图形重合，那么就说这两个图形关于这一点成⑧中心对称.
中心对称 的性质
(1)中心对称的两个图形是⑨ 全等形 ； (2)中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过 ⑩对称中心，并且被对称中心所平分； (3)关于中心对称的两个图形，对应线段⑪ 平行 (或在同 一直线上)且⑫相等 .
中心对称图 把一个图形绕着某一点旋转⑬180°，如果它能与原图形 形的概念 重合，那么就说这个图形是中心对称图形
中心对称图 中心对称图形上每一对对称点所连成的线段都被对称中心 形的性质 ⑭平分 .
1.以选择题的命题方式考查轴对称与中心对称，通过图 形的折叠、求线段和的最小值考查轴对称的性质，以解 答题的命题方式考查旋转的性质． 2.结合点的坐标变换考查轴对称或旋转的性质．
A．35
B．40° C．50°
D．65°
类型一 图形的平移 1．如图，在△ABC中，AB＝4，BC＝6，∠B＝60°，将△ABC沿射 线BC的方向平移2个单位后，得到△A′B′C′，连接A′C，则△A′B′C的 周长为 12 ．
第1题图
规律： 1.关键是确定图形平移的方向和距离； 2.从一个点或一条线段的平移前后的变化，归纳出平移 的规律，进而得出图形其他部分的平移变化．
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中考数学高频考点之平移、对称、旋转类型 压轴题的破解策略
我们先把图形平移、对称和旋转的性质复习一下: 关于平移： 1.平移二要素：（1）平移方向；（2）平移距离。 2.将一个图形平移时，要先确定方向，再确定平移的距离，缺一不可。 3．平移的特征：物体或图形平移后，他们的形状、大小、方向都不改变，只是位置发生改变。
关于对称： 1.轴对称的定义: （1）把一个图形沿着某一条直线翻折，如果它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形关于这条直线对称，也称这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴. 折叠后重合的点是对应点，也叫做对称点.
(2)轴对称指的是两个图形的位置关系，两个图形沿着某条直线对折后能够完全重合．成轴对称的两个图形一定全等. 2.轴对称的性质: 轴对称的性质：成轴对称的两个图形中，对应点的连被对称轴垂直平分；成轴对称的两个图形的任何对应部分也成轴对称；成轴对称的两个图形全等.
关于旋转： 性质1:图形在旋转的过程中,对应线段相等,对应角相等.这个性质好懂,就是全等三角形的对应边相等,对应角相等. 性质2:旋转角等于对应线段所在直线的夹角.这个性质往往被忽略,用了都说好.
如图1、图2、图3中,△ABC和△CDE都是等边三角形,那么直线AD和直线BE的夹角都 是60°.这是为什么呢? 图形在变,不变的是旋转的性质,△BCE绕着点C顺时针旋转60°可以与△ACD重合,所以旋转角为60°.根据性质2,旋转角等于对应线段所在直线的夹角,可知对应线段AD与BE所在直线的夹角为60°.
图1 图2 图3
例1. 平面内,如图1,在平行四边形ABCD中,AB=10, AD=15, tan∠A=.点P为AD边上任意一点,连结PB,将PB绕点P逆时针旋转90°得到线段PQ. (1) 当∠DPQ=10°时,求∠APB的大小; (2) 当tan∠ABP∶tan∠A=3∶2时,求点Q与点B间的距离(结果保留根号); (3) 若点Q恰好落在平行四边形ABCD的边所在的直线上,直接写出PB旋转到PQ所扫过的面积(结果保留π).
图1 备用图
思路解析： 1. 第(1)题看似很简单,其实不简单.要分类讨论,备用图已经暗示了. 2. 第(2)题:在△PAB中,已知两角及夹边,作高设高就可以解决问题了. 3. 第(3)题就是求扇形的面积,圆心角是90°. 4. 第(3)题:分三种情况讨论,其中点Q落在直线AD和BC上,示意图可以准确画出来.点Q落在直线DC上,示意图不能准确画出来. 例2.折纸的思考. 【操作体验】 用一张矩形纸片折等边三角形. 第一步,对着矩形纸片ABCD(AB>BC)(如图1),使AB与DC重合,得到折痕EF,把纸片展平(如图2). 第二步,如图3,再一次折叠纸片,使点C落在EF上的点P处,并使折痕经过点B,得到折痕BG,折出PB、 PC,得到△PBC.
图1 图2 图3
(1) 说明△PBC是等边三角形. 【数学思考】 (2) 如图4,小明画出了图3的矩形ABCD和△PBC.他发现,在矩形ABCD中把△PBC经过变化,可以得到图5中更大的等边三角形.请描述图形变换过程.
图4 图5 (3) 已知矩形一边长为3cm,另一边长为acm.对于每一个确定的a值,在矩形中都能画出最大的等边三角形.请画出不同情形的示意图,并写出对应的a的取值范围; 【问题解决】 (4) 用一张正方形铁片剪一个直角边长分别为4cm和1cm的直角三角形铁片,所需要正方形的边长的最小值为 cm.
思路解析： 1. 如果题目太长,读不懂问题间的关系,不影响做题,可以把每个题目独立起来. 2. 第(2)题的变换方式不一,可以先旋转再放大,也可以在CD边上取点C',以BC'为边构 造新的等边三角形. 3. 第(3)题的分类临界点怎么找?画水平放置的线段BC=3cm,过B、 C分别画BC的垂线,在BC上方寻找临界位置的A、 D两点. 第一个临界图形:画等边三角形MBC,过点M画BC的平行线得到A、 D两点. 第二个临界图形:画等边三角形ABM,使得点M落在右侧直线上. 4. 第(4)题就是一道无图几何计算题,正方形内有一个内接的直角三角形,直角边长为1和4,求正方形的边长.
例3. （2018•新疆）如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是（ ）
【分析】先作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值．然后证明四边形ABNM′为平行四边形，即可求出MP+NP=M′N=AB=1．
【解答】解：如图， 作点M关于AC的对称点M′，连接M′N交AC于P，此时MP+NP有最小值，最小值为M′N的长． ∵菱形ABCD关于AC对称，M是AB边上的中点， ∴M′是AD的中点， 又∵N是BC边上的中点， ∴AM′∥BN，AM′=BN， ∴四边形ABNM′是平行四边形， ∴M′N=AB=1， ∴MP+NP=M′N=1，即MP+NP的最小值为1， 真题反馈： 1.如图1,在Rt△ABC中,∠A=90°, AB=AC,点D、 E分别在边AB、 AC上,AD=AE,连结DC,点M、 P、 N分别为DE、 DC、 BC的中点. (1) 观察猜想 图1中,线段PM与PN的数量关系是 ,位置关系是 ; (2) 探究证明 把△ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连结MN、 BD、 CE,判断△PMN的形状,并说明理由; (3) 拓展延伸 把△ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4, AB=10,请直接写出△PMN面积的最大值.
图1 图2 思路解析： 1. 图形在旋转的过程中,对应线段相等,对应线段所在直线的夹角等于旋转角. 2. 已知三个中点,不由得要想到三角形的中位线. 3. 要探求△PMN面积的最大值,首先这个三角形的形状是等腰直角三角形,只要探求斜边最大或者直角边最大就可以了. 2.我们定义:如图1,在△ABC中,把AB绕点A顺时针旋转α(0°AC绕点A逆时针旋转β得到AC',连结B'C'.当α+β=180°时,我们称△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”,点A叫做“旋补中心”. 特例感知 (1) 在图2、图3中,△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”,AD是△ABC的“旋补中线”. ① 如图2,当△ABC为等边三角形时,AD与BC的数量关系为AD= BC; ② 如图3,当∠BAC=90°, BC=8时,则AD长为 .
图1 图2
图3 图4
猜想论证 (2) 在图1中,当△ABC为任意三角形时,猜想AD与BC的数量关系,并给予证明.
拓展应用 (3) 如图4,在四边形ABCD中,∠C=90°, ∠D=150°, BC=12, CD=2, DA=6.在四边形内部是否存在点P,使△PDC是△PAB的“旋补三角形”?若存在,给予证明,并求△PAB的“旋补中线”长;若不存在,说明理由.
3.如图1,已知平行四边形ABCD, AB∥x轴,AB=6,点A的坐标为(1, -4),点D的坐标为(-3, 4),点B在第四象限,点P是平行四边形ABCD边上的一个动点. (1) 若点P在边BC上,PD=CD,求点P的坐标; (2) 若点P在边AB、 AD上,点P关于坐标轴对称的点Q落在直线y=x-1上,求点P的坐标; (3) 若点P在边AB、 AD、 CD上,点G是AD与y轴的交点,如图2,过点P作y轴的平行线PM,过点G作x轴的平行线GM,它们相交于点M,将△PGM沿直线PG翻折,当点M的对应点落在坐标轴上时,求点P的坐标(直接写出答案).
图1 图2
思路解析： 1. 第(2)题:要进行两次分类.题目不难,容易搞乱,慢慢来.先设点P的坐标,再写对称点Q的坐标,然后把点Q代入直线y=x-1的解析式.重复4次. 2. 第(3)题:如果点M'落在y轴上,那么四边形GMPM'是正方形,但是这样的正方形只存在点P在AB上的情况. 3. 第(3)题:如果点M'落在x轴上,设点P的横坐标为m,设M'(n, 0),列关于m、 n的方程组.
4.四边形ABCD是边长为4的正方形,点E在边AD所在直线上,连结CE,以CE为边,作正方形CEFG(点D、 F在直线CE同侧),连结BF. (1) 如图1,当点E与点A重合时,请直接写出BF的长; (2) 如图2,当点E在线段AD上时,且AE=1. ① 求点F到AD的距离; ② 求BF的长;
(3) 若BF=3,请直接写出此时AE的长.
图1 图2
思路解析： 1.第(2)题:由EC和EF的关系入手,比较容易找到解题思路.将线段EC绕着点E逆时针旋转90°可以得到EF,如果将直角三角形EDC绕点E逆时针旋转90°,点F到AD的距离就一目了然. 2. 第(3)题:容易想到分两种情况,但是点E在AD的延长线上时,线段EC需要顺时针旋转90°得到EF,这样才符合题意中点D、 F在直线CE同侧.
5.将一个直角三角形纸片ABO放置在平面直角坐标系中,点A(, 0),点B(0, 1),点O(0, 0).P是边AB上的一点(点P不与点A、 B重合),沿着OP折叠该纸片,得点A的对应点A'. (1) 如图1,当点A'在第一象限,且满足A'B⊥OB时,求点A'的坐标; (2) 如图2,当P是AB的中点时,求A'B的长; (3) 当∠BPA'=30°时,求点P的坐标(直接写出结果即可).