中考数学压轴题破解策略专题9《费马点》
初三数学中考模型之费马点问题
∵ AH=BH=AB=12. ∴ ∠AGH=120°, ∠HGP=60°. ∴ A、G、P 三点一线。
再连 PD 两点。 ∵ △ABH、△GHP 和△BDH 都是等边三角形,∠GHB=30°. ∴ ∠PHD=30°,.
即 t 2 .综上， t PA PB PC 的取值范围为 3 t 2 .
“费马点”与中考试题
费尔马，法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一． 费马点—— 就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点． 费尔马的结论：对于一个各角不超过 120°的三角形，费 马点是对各边的张角都是 120°的点，对于有一个角超过 120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．
（2） 直线 BM 的解析式为 y 3x 6 3 （过程略）．
y
E
D
C
y F
E
MD
C
A
O Bx
A
O Bx
图4
（3）如何确定点 G 的位置是本题的难点也是关健所在．设 Q 点为 y 轴上一点，P 在 y 轴上运动的速
度为 v，则 P 沿 M→Q→A 运动的时间为 MQ AQ ，使 P 点到达 A 点所用的时间最短，就是 1 MQ＋AQ
（3）设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线 y kx b 与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA
到达 A 点，若 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到达 A 点所用的时间最短．
分析和解：（1）D 点的坐标（3， 6 3 ）（过程略）．
中考中的费马点详解加练习
皮耶·德·费马（Pierre de Fermat）是一个17世纪的法国律师，也是一位业余数学家。
之所以称业余，是由于皮耶·德·费马具有律师的全职工作。
他的姓氏根据法文与英文实际发音也常译为“费尔玛”（注意“玛”字）。
费马最后定理在中国习惯称为费马大定理，西方数学界原名“最后”的意思是：其它猜想都证实了，这是最后一个。
著名的数学史学家贝尔（E. T. Bell）在20世纪初所撰写的著作中，称皮耶·德·费马为”业余数学家之王。
“贝尔深信，费马比皮耶·德·费马同时代的大多数专业数学家更有成就，然而皮耶·德·费马并未在其他方面另有成就，本人也渐渐退出人们的视野，考虑到17世纪是杰出数学家活跃的世纪，因而贝尔认为费马是17世纪数学家中最多产的明星。
费马点问题最早是由法国数学家皮埃尔·德·费马在一封写给意大利数学家埃万杰利斯塔·托里拆利（气压计的发明者）的信中提出的。
托里拆利最早解决了这个问题，而19世纪的数学家斯坦纳重新发现了这个问题，并系统地进行了推广，因此这个点也称为托里拆利点或斯坦纳点，相关的问题也被称作费马-托里拆利-斯坦纳问题。
这一问题的解决极大推动了联合数学的发展，在近代数学史上具有里程碑式的意义。
“费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最短的点。
若给定一个三角形△ABC的话，从这个三角形的费马点P到三角形的三个顶点A、B、C的距离之和比从其它点算起的都要小。
这个特殊点对于每个给定的三角形都只有一个。
1.若三角形3个内角均小于120°，那么3条距离连线正好三等分费马点所在的周角，即该点所对三角形三边的X角相等，均为120°。
所以三角形的费马点也称为三角形的等角中心。
2.若三角形有一内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是距离和最小的点。
初中几何模型：费马点问题的全面分析、处理和归纳，收藏！
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【问题处理】下⾯简单说明如何找点，使它到三个顶点的距离之和最⼩？这就是所谓的费马点问题.
因此，当的每⼀个内⾓都⼩于时，所求的点对三⾓形每边的张⾓都是，可按照如上的办法找到点；当有⼀内⾓⼤于或等于时，所求的点就是钝⾓的顶点.
费马问题告诉我们，存在这么⼀个点到三个定点的距离之和最⼩，解决问题的⽅法是运⽤旋转变换.
【问题归纳】符合条件的点P,我们把它叫做费马点。
所谓的“费马点”就是法国著名业余数学家费马在给数学朋友的⼀封信中提出关于三⾓形的⼀个有趣问题：“在三⾓形所在平⾯上，求⼀点，使该点到三⾓形三个顶点距离之和最⼩．”让朋友思考,并⾃称已经证明了。
这是费马通信的⼀贯作风。
⼈们称这个点为“费马点”。
还有像著名的费马⼤定理（当整数n >2时，关于x, y, z的⽅程 x^n + y^n = z^n 没有正整数解。
）也是这样，给欧拉的信中提出的，⾃称已经“有了⾮常巧妙的证明”。
直到离开也没告诉⼈家这个所谓证明，结果困扰世界数学界三百多年。
费马点就是到三⾓形的三个顶点的距离之和最⼩的点．费马点结论：对于⼀个各⾓不超过120°的三⾓形，费马点是对各边的张⾓都是120°的点；对于有⼀个⾓超过120°的三⾓形，费马点就是这个内⾓的顶点．
【综合应⽤】
中考真题1：
【答案解析】
中考真题2：【答案解析】。
2020年中考数学复习微专题最值问题(费马点问题)
2020年中考数学复习专题最值问题（费马点问题）突破与提升策略问题：在△ABC内找一点P，使得P A+PB+PC最小．APB C【分析】在之前的最值问题中，我们解决的依据有：两点之间线段最短、点到直线的连线中垂线段最短、作对称化折线段为直线段、确定动点轨迹求最值等．其实理论还是上面的理论，本题难点在于有3条线段，我们需要对这三条线段作一些位置上的变化，如果能变换成在一条直线上，问题就能解决了！若点P满足∠P AB=∠BPC=∠CP A=120°，则P A+PB+PC值最小，P点称为该三角形的费马点．接下来讨论3个问题：（1）如何作三角形的费马点？（2）为什么是这个点？（3）费马点怎么考？一.如何作费马点问题要从初一学到的全等说起：（1）如图，分别以△ABC中的AB、AC为边，作等边△ABD、等边△ACE．（2）连接CD、BE，即有一组手拉手全等：△ADC≌△ABE．（3）记CD、BE交点为P，点P即为费马点．（到这一步其实就可以了）（4）以BC为边作等边△BCF，连接AF，必过点P，有∠P AB=∠BPC=∠CP A =120°．EB ACAB CDE在图三的模型里有结论：（1）∠BPD =60°；（2）连接AP ，AP 平分∠DPE ． 有这两个结论便足以说明∠P AB =∠BPC =∠CP A =120°．原来在“手拉手全等”就已经见过了呀，只是相逢何必曾相识！但是在这里有个小小的要求，细心的同学会发现，这个图成立的一个必要条件是∠BAC <120°，若120BAC∠≥︒ ,这个图就不是这个图了，会长成这个样子：此时CD 与BE 交点P 点还是我们的费马点吗？显然这时候就不是了，显然P 点到A 、B 、C 距离之和大于A 点到A 、B 、C 距离之和．所以咧？是的，你想得没错，此时三角形的费马点就是A 点！当然这种情况不会考的，就不多说了．二.为什么是这个点为什么P点满足∠P AB=∠BPC=∠CP A=120°，P A+PB+PC值就会最小呢？归根结底，还是要重组这里3条线段：P A、PB、PC的位置，而重组的方法是构造旋转！在上图3中，如下有△ADC≌△ABE，可得：CD=BE．类似的手拉手，在图4中有3组，可得：AF=BE=CD．E更巧的是，其长度便是我们要求的P A+PB+PC的最小值，这一点是可以猜想得到的，毕竟最小值这个结果，应该也是个特别的值！接下来才是真正的证明：考虑到∠APB=120°，∴∠APE=60°，则可以AP为边，在PE边取点Q使得PQ=AP，则△APQ是等边三角形．△APQ、△ACE均为等边三角形，且共顶点A，故△APC≌△AQE，PC=QE．以上两步分别转化P A=PQ，PC=QE，故P A+PB+PC=PB+PQ+QE=BE．没有对比就没有差别，我们换个P 点位置，如下右图，同样可以构造等边△APQ ，同样有△APC ≌△AQE ，转化P A =PQ ，PC =QE ，显然，P A +PB +PC =PB +PQ +QE >BE ．还剩下第3个问题！如果说费马点以前还算是课外的拓展内容，那现在，已经有人把它搬上了中考舞台！三.费马点怎么考？问题背景：如图1，将△ABC 绕点A 逆时针旋转60°得到△ADE ，DE 与BC 交于点P ，可推出结论：P A +PC =PE ．问题解决：如图2，在△MNG 中，MN =6，∠M =75°，MG=点O 是△MNG 内一点，则点O 到△MNG 三个顶点的距离和的最小值是______．NG图2图1ABCD EP【分析】本题的问题背景实际上是提示了解题思路，构造60°的旋转，当然如果已经了解了费马点问题，直接来解决就好了！如图，以MG为边作等边△MGH，连接NH，则NH的值即为所求的点O到△MNG三个顶点的距离和的最小值．（此处不再证明）HGNM过点H作HQ⊥NM交NM延长线于Q点，根据∠NMG=75°，∠GMH=60°，可得∠HMQ=45°，∴△MHQ是等腰直角三角形，∴MQ=HQ=4，∴NH==464QHGNM【练习】如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=AC=1，P是△ABC内一点，求P A+PB+PC的最小值．C【分析】如图，以AD为边构造等边△ACD，连接BD，BD的长即为P A+PB+PC的最小值．至于点P的位置？这不重要！AB CD如何求BD ？考虑到△ABC 和△ACD 都是特殊的三角形，过点D 作DH ⊥BA 交BA 的延长线于H 点，根据勾股定理，222BD BH DH =+即可得出结果．HDCB A【练习】如图，已知矩形ABCD ，AB =4，BC =6，点M 为矩形内一点，点E 为BC 边上任意一点，则MA +MD +ME 的最小值为______．ABCDME【分析】依然构造60°旋转，将三条折线段转化为一条直线段． 分别以AD 、AM 为边构造等边△ADF 、等边△AMG ，连接FG ，易证△AMD ≌△AGF ，∴MD =GF ∴ME +MA +MD =ME +EG +GF过F 作FH ⊥BC 交BC 于H 点，线段FH 的长即为所求的最小值．HFGE MDCBA。
初三数学中考模型之费马点问题
费马点的问题定义：数学上称，到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是这样确定的：1. 如果三角形有一个内角大于或等于120°，这个内角的顶点就是费马点；2. 如果3个内角均小于120°，则在三角形内部对3边张角均为120°的点，是三角形的费马点。
3. 费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线，容易理解，这个路线是唯一的。
我们称这一结果为最短路线原理。
性质：费马点有如下主要性质：1．费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2．费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
3．费马点为三角形中能量最低点。
4．三力平衡时三力夹角皆为120°，所以费马点是三力平衡的点。
例1：已知：△ABH是等边三角形。
求证：GA+GB+GH最小证明：∵△ABH是等边三角形。
G是其重心。
∴∠AGH=∠AGB=∠BGH=120°。
以HB为边向右上方作等边三角形△DBH.以HG为边向右上方作等边三角形△GHP.∵AH=BH=AB=12.∴∠AGH=120°, ∠HGP=60°.∴A、G、P三点一线。
再连PD两点。
∵△ABH、△GHP和△BDH都是等边三角形,∠GHB=30°.∴∠PHD=30°,.在△HGB和△HPD中∵HG=HP∠GHB=∠PHD；HB=HD；∴△HGB≌△HPD；（SAS）∴∠HPD=∠HGB=120°；∵∠HPG=60°.∴G、P、D三点一线。
∴AG=GP=PD,且同在一条直线上。
∵GA+GH+GB=GA+GP+PD=AD.∴G点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点，费马点。
也就是重心。
例2：已知：△ABC是等腰三角形，G是三角形内一点。
∠AGC=∠AGB=∠BGC=120°。
求证：GA+GB+GC最小证明：将△BGC逆时针旋转60°，连GP,DB.则△HGB≌△HPD；∴∠CPD=∠CGB=120°,CG=CP,GB=PD, BC=DC,∠GCB=∠PCD.∵∠GCP=60°,∴∠BCD=60°,∴△GCP和△BCD都是等边三角形。
中考数学复习专题：几何最值模型—费马点专题
【费马点】平面内，到三角形的三个顶点的距离之和最小的点称为费马点【结论】如图所示，△ABC 的三个内角均不大于120°，P 为三角形内一点，当点P 与△ABC 三个顶点的连线夹角均为120°时，PA +PB +PC 的值最小.（PA +PB +PC=AD=BE=CF ） 【费马点作法】如图，以△ABC 的三边向外分别作等边三角形，然后把外面的三个顶点与原三角形的相对顶点相连，交于点P ，点P 就是原三角形的费马点.【证明】如图，将△ABP 绕点B 逆时针旋转60°，得到△A 'BP '，连接P P '，则△BPP 是等边三角形，所以PB =PP '. 由旋转的性质可得P A +PB +PC =P 'A '+PP '+PC >A 'C 因此，当A '、P '、P 、C 四点共线时，P A 十PB 十PC 的值最小.因为△BPP '是等边三角形，即∠BPP '=60°， 所以∠BPC =120°.因为∠APB =∠A 'P 'B ，∠BP 'P =60°， 所以∠APB =180°-60°=120°，则∠CP A =360°-120°-120°=120°， 故∠BPC =∠APB =∠CP A =120°.CBAPPDFECBAA'P'ABCP费马点结论:1) 对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点; 2) 对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点. 费马问题解决问题的方法是运用旋转变换.1) 利用旋转把三条共点线段转化成折线段， 2) 利用两点之间线段最短 构造直角三角形，利用勾股定理 模型巧记求到三角形三个顶点距离和的最小值，只需要以三角形的一条边为边作等边三角形，那么原三角形的第三个顶点和等边三角形的第三个顶点的距离就是最小值 例1、P 是边长是2的等边△ABC 内的一点， 求PA+PB+PC 的最小值【分析】把△APC 绕A 逆时针旋转60°，得到△AP'C'，连接PP' 易知△APP'是等边三角形∴PC=P'C∴∠CAC'=60°∴P A+PB+PC=PB+PP'+PC’当且仅当BPP'C '共线时取得最小值∵AB =2;∴AD =1；BD =3∴.C'D =3∴BC =23 点评：①用旋转把三条共点线段转化成折线段 ②利用两点之间线段最短③构造直角三角形，利用勾股定理例2、P 是边长是1的正方形ABCD 内的一点， 求PA+PB+PC 的最小值【分析】把△APB 绕B 逆时针旋转，得到△BP'A'，连接PP' ∴△BPP '是等边三角形 ∴BP=BP ' ∴∠PBP '=60°∴P A+PB+PC=P'A'+PP'+PC ，当且仅当CPP'A'共线时取得最小值∵AB =AB '=1;A'P'PCBA∴A'M =12；BM =32；∴CM =232；CA '=622例3、P 是△ABC 内的一点，BC=6,AC=5,∠ACB =30°， 求P A+PB+PC 的最小值 【分析】把△APC 绕C 顺时针旋转60°，得到△CP'A',连接PP' ∴△CPP '是等边三角形 ∴CP=PP'∴∠PCP '=60°∴P A+PB+PC=P 'A'+PB+PP '当且仅当BPP ’A ’共线时取得最小值 ∵CA=CA '=5；CB=6，∠ACB =30° ∴∠A 'CB =60° ∴A 'B =61什么是加权费马点问题？标准的费马点问题式中的三条线段的系数全为1。
中考试题“费马点”
中考试题“费马点”费尔马,法国业余数学家，拥有业余数学之王的称号，他是解析几何的发明者之一．费马点—-就是到三角形的三个顶点的距离之和最小的点．费尔马的结论：对于一个各角不超过120°的三角形,费马点是对各边的张角都是120°的点,对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．△三个顶点的距离之和P A+PB+PC最小？这就下面简单说明如何找点P使它到ABC是所谓的费尔马问题．图1解析：如图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．则△APP′为等边三角形,AP= PP′，P′C′=PC，所以P A+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′．点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点,BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时,P A+PB+PC最小．这时∠BP A=180°-∠APP′=180°-60°=120°，∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°—60°=120°，∠BPC=360°—∠BP A-∠APC=360°—120°—120°=120°△的每一个内角都小于120°时,所求的点P对三角形每边的张角都是因此，当ABC120°,可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点;当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．本文列举近年“费马点"走进中考试卷的实例，供同学们学习参考．例1 (2008年广东中考题)已知正方形ABCD内一动点E到A、B、C三点的距离之26图2 图3 分析：连接AC ，发现点E 到A 、B 、C 三点的距离之和就是到ABC △三个顶点的距离之和,这实际是费尔马问题的变形，只是背景不同．解 如图2,连接AC ,把△AEC 绕点C 顺时针旋转60°，得到△GFC ，连接EF 、BG 、A G ，可知△EFC 、△AGC 都是等边三角形，则EF =CE ．又FG =AE ，∴AE +BE +CE = BE +EF +FG （图4)．∵ 点B 、点G 为定点（G 为点A 绕C 点顺时针旋转60°所得)．∴ 线段BG 即为点E 到A 、B 、C 三点的距离之和的最小值,此时E 、F 两点都在BG 上(图3）．设正方形的边长为a ,那么BO =CO 2，GC 2a , GO 6． ∴ BG=BO +GO =22+62a ． ∵ 点E 到A 、B 、C 26∴ 22a 6a 26a =2． 注 本题旋转△AEB 、△BEC 也都可以，但都必须绕着定点旋转,读者不妨一试． 例2 （2009年北京中考题) 如图4，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 三个顶点的坐标分别为()6,0A -，()6,0B ,(0,43C ，延长AC 到点D ， 使CD =12AC ，过点D 作DE ∥AB 交BC 的延长线于点E .（1）求D 点的坐标；(2）作C 点关于直线DE 的对称点F ,分别连结DF 、EF ,若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式;（3)设G 为y 轴上一点，点P 从直线y kx b =+与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短．分析和解：（1）D 点的坐标（3,（过程略）．（2) 直线BM的解析式为y =+)．图4（3)如何确定点G 的位置是本题的难点也是关健所在．设Q 点为y 轴上一点，P 在y 轴上运动的速度为v ，则P 沿M →Q →A 运动的时间为2MQ AQ v v +，使P 点到达A 点所用的时间最短，就是12MQ ＋AQ 最小，或MQ ＋2AQ 最小． 解法1 ∵ BQ =AQ , ∴MQ ＋2AQ 最小就是MQ ＋AQ ＋BQ 最小,就是在直线MO 上找点G 使他到A 、B 、M 三点的距离和最小．至此，再次发现这又是一个费尔马问题的变形,注意到题目中等边三角形的信息，考虑作旋转变换．把△MQB 绕点B 顺时针旋转60°，得到△M ′Q ′B ，连接QQ ′、MM ′（图5)，可知△QQ ′B 、△MM ′B 都是等边三角形，则QQ ′=BQ ．又M ′Q ′=MQ ,∴MQ ＋AQ ＋BQ = M ′Q ′+ QQ ′+AQ ．∵点A 、M ′为定点，所以当Q 、Q ′两点在线段A M ′上时，MQ ＋AQ ＋BQ 最小．由条件可证明Q ′点总在AM ′上，所以A M ′与OM 的交点就是所要的G 点（图6)．可证OG =12MG ．图5 图6 图7解法2 考虑12MQ＋AQ最小，过Q作BM的垂线交BM于K，由OB=6，OM=63,可得∠BMO＝30°，所以QK＝12 MQ．要使12MQ＋AQ最小，只需使AQ＋QK最小，根据“垂线段最短"，可推出当点A、Q、K在一条直线上时，AQ+QK最小，并且此时的QK垂直于BM，此时的点Q即为所求的点G（图7）．过A点作AH⊥BM于H，则AH与y轴的交点为所求的G点.由OB=6,OM=63，可得∠OBM=60°, ∴∠BAH=30°在Rt△OAG中,OG=AO·tan∠BAH=23∴G点的坐标为（0，23）（G点为线段OC的中点）．例3 （2009年湖州中考题)若点P 为△ABC所在平面上一点，且∠APB=∠BPC=∠CP A=120°, 则点P叫做△ABC的费马点．(1）若P为锐角△ABC的费马点,且∠ABC=60°，P A=3，PC=4, 则PB的值为；(2）如图8，在锐角△ABC的外侧作等边△ACB′，连结BB′．求证：BB′过△ABC的费马点P，且BB′=P A+PB+PC．图8解：（1）利用相似三角形可求PB的值为3(2)设点P为锐角△ABC的费马点，即∠APB=∠BPC=∠CP A=120°如图8,把△ACP绕点C顺时针旋转60°到△B′CE，连结PE，则△EPC为正三角形．∵∠B′EC = ∠APC =120°,∠PEC=60°∴∠B′EC+∠PEC=180°即P、E、B′三点在同一直线上∵∠BPC=120°,∠CPE=60°，∴∠BPC +∠CPE =180°，即B、P、E 三点在同一直线上∴B、P、E、B′四点在同一直线上，即BB′过△ABC的费马点P．又PE=PC,B′E= P A，∴BB′=E B′+PB+PE=P A+PB+PC．注通过旋转变换，可以改变线段的位置，优化图形的结构．在使用这一方法解题时需注意图形旋转变换的基础,即存在相等的线段,一般地，当题目出现等腰三角形（等边三角形）、正方形条件时，可将图形作旋转60°或90°的几何变换，将不规则图形变为规则图形，或将分散的条件集中在一起，以便挖掘隐含条件，使问题得以解决．费尔马问题是个有趣的数学问题，这些问题常常可通过旋转变换来解决．。
中考专题费马点讲义与练习
图4—11PC BA从“费马点”说起前言解题 题海战术 通性通法 过程与结果 内化 一、走近费马点 1．（浙教版数学八下P82）设计题 你听说过费马点吗？如图4—11，P 为△ABC 所在平面上一点。
如果∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，则点P 就叫做费马点。
费马点有许多有趣并且有意义的性质，例如，平面内一点P 到△ABC 三顶点的距离之和为PA+PB+PC ，当点P 为费马点时，距离之和最小。
假设A,B,C 表示三个村庄，要选一处建车站，使车站到三个村庄的公路路程的和最短。
若不考虑其他因素，那么车站应建在费马点上。
请按下列步骤对费马点进行探究：（1） 查找有关资料，了解费马点被发现的历史背景；（2） 在特殊三角形中寻找并验证费马点。
例如，当△ABC 是等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，费马点有哪些性质？（3） 把你的研究结果写成一篇小论文，并通过与同学交流来修改完善你的小论文。
2．（2009年浙江省湖州市中考题）若P 为ABC △所在平面上一点，且120APB BPC CPA ∠=∠=∠=°，则点P 叫做ABC △的费马点. （1）若点P 为锐角ABC △的费马点，且60ABC PA PC ∠===°，3，4，则PB 的值为________； （2）如图，在锐角ABC △外侧作等边ACB △′连结BB ′. 求证：BB ′过ABC △的费马点P ，且BB ′=PA PB PC ++.3．（2010年湖南省永州市中考数学试题）探究问题：(1)阅读理解：①如图(1)，在已知△ABC 所在平面上存在一点P ，使它到三角形三顶点的距离之和最小，则称点P 为△ABC 的费马点，此时PA+PB+PC 的值为△ABC 的费马距离．②如图(2)，若四边形ABCD 的四个顶点在同一圆上，则有AB ·CD+BC ·DA=AC ·BD ，此为托勒密定理．(2)知识迁移：HPDCBA①请你利用托勒密定理，解决如下问题：如图(3)，已知点P 为等边△ABC 外接圆的弧BC 上任意一点．求证：PB+PC=PA ②根据(2)①的结论，我们有如下探寻△ABC(其中∠A 、∠B 、∠C 均小于120度)的费 马点和费马距离的方法：第一步：如图(4)在△ABC 的外部以BC 为边长作等边△BCD 及其外接圆； 第二步：在弧BC 上任取一点'P ，连结'P A 、'P B 、'P C 、'P D易知''''('')'P A P B P C P A P B P C P A ++=++=+ ; 第三步：请你根据(1)①中定义，在图(4)中找出△ABC 的费马点P ，并请指出 线段 的长度即为△ABC 的费马距离(3)知识应用：2010年4月，我国西南地区出现了罕见的持续干旱现象，许多村庄出现了人、畜饮水困难，为解决老百姓的饮水问题，解放军某部来到云南某地打井取水.已知三村庄A 、B,C 构成了如图(5)所示的△ABC(其中∠A 、∠B 、∠C 均小于120o)，现选取一点P 打水井，使从水井P 到三村庄A 、B 、C 所铺设的 输水管总长度最小，求输水管总长度的最小值． 4．（2008年广东省中考题）已知正方形ABCD 内一动点E 到A,B,C 三点的距离之和的最小值为62+，求此正方形的边长。
中考数学压轴系列--费马点
对于一个各角不超过120°的三角形，费马点是对各边的张角都是120°的点，对于有一个角超过120°的三角形，费马点就是这个内角的顶点．△三个顶点的距离之和PA+PB+PC最小？这就是下面简单说明如何找点P使它到ABC所谓的费尔马问题．图1解析：如图1，把△APC绕A点逆时针旋转60°得到△AP′C′，连接PP′．则△APP′为等边三角形，AP= PP′，P′C′=PC，所以PA+PB+PC= PP′+ PB+ P′C′．点C′可看成是线段AC绕A点逆时针旋转60°而得的定点，BC′为定长，所以当B、P、P′、C′四点在同一直线上时，PA+PB+PC最小．这时∠BPA=180°-∠APP′=180°-60°=120°，∠APC=∠A P′C′=180°-∠AP′P=180°-60°=120°，∠BPC=360°-∠BPA-∠APC=360°-120°-120°=120°△的每一个内角都小于120°时，所求的点P对三角形每边的张角都因此，当ABC是120°，可在AB、BC边上分别作120°的弓形弧，两弧在三角形内的交点就是P点；当有一内角大于或等于120°时，所求的P点就是钝角的顶点．费尔马问题告诉我们，存在这么一个点到三个定点的距离的和最小，解决问题的方法是运用旋转变换．1.( 株洲)已知P 是边长为1的正方形ABCD 内的一点，求PA+PB+PC 的最小值．2.（ 北京）如图. 在平面直角坐标系xOy 中. 点B 的坐标为(0,2). 点D 在x 轴的正半轴上. 30ODB ∠=︒. OE 为△BOD 的中线. 过B 、E 两点的抛物线23y ax x c =++与x 轴相交于A 、F 两点(A 在F 的左侧).等边△OMN 的顶点M 、N 在线段AE 上，点P 为△ABO 内的一个动点. 设m PA PB PO =++.请直接写出m 的最小值, 以及m 取得最小值时, 线段AP 的长. (备用图)图2图1B3.（ 延庆）小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC 是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC 为边在BC 的下方作等边△PBC，求AP 的最大值。
初三数学中考模型之费马点问题
费马点的问题定义:数学上称,到三角形3个顶点距离之和最小的点为费马点。
它是如此确定的:1。
假如三角形有一个内角大于或等于120°,这个内角的顶点就是费马点;2、假如3个内角均小于12０°,则在三角形内部对3边张角均为120°的点,是三角形的费马点。
3、费马点与3个顶点连成的线段是沟通3点的最短路线,容易理解,这个路线是唯一的。
我们称这一结果为最短路线原理、性质:费马点有如下主要性质:1。
费马点到三角形三个顶点距离之和最小。
2、费马点连接三顶点所成的三夹角皆为120°。
３、费马点为三角形中能量最低点。
4、三力平衡时三力夹角皆为120°,因此费马点是三力平衡的点。
例1:已知:△AＢＨ是等边三角形。
求证:GA+ＧB+GＨ最小证明:∵△ABＨ是等边三角形、G是其重心。
∴∠ＡGH=∠AGB=∠ＢGH=12０°。
以HB为边向右上方作等边三角形△DBH、以ＨＧ为边向右上方作等边三角形△GHP。
∵AH=BＨ＝AB＝12、∴∠ＡGH＝120°, ∠HGP=60°、∴Ａ、G、P三点一线、再连PD两点、∵△AＢH、△GHP和△BDＨ都是等边三角形,∠GHB＝3０°。
∴∠PHD=30°,、在△HGB和△HＰD中∵HG=HP∠GHB＝∠ＰＨＤ;HB=HD;∴△ＨGB≌△HＰＤ;(ＳAS)∴∠ＨPD=∠HGＢ＝１20°;∵∠ＨPG=60°、∴G、P、Ｄ三点一线。
∴AG=GＰ=PD,且同在一条直线上。
∵GＡ+GH+GＢ=ＧＡ+ＧP+PD=AＤ、∴Ｇ点是等边三角形内到三个顶点的距离之和最小的哪一点,费马点。
也就是重心。
例2:已知:△ＡBＣ是等腰三角形,G是三角形内一点。
∠ＡGC=∠ＡGB=∠BＧC=12０°。
求证:GＡ+ＧB+GC最小证明:将△BＧC逆时针旋转６0°,连GP,DＢ。
则△HGB≌△HPD;∴∠ＣPD=∠CＧB=１２0°,ＣG=CP,GB=PＤ, BＣ＝DC,∠ＧCＢ＝∠ＰCD、∵∠GCP＝60°,∴∠ＢCD＝６０°,∴△GCP和△BCＤ都是等边三角形。
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专题9《费马点》
破解策略
费马点是指平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点，这个最小的距离叫做费马距离．
若三角形的内角均小于120°，那么三角形的费马点与各顶点的连线三等分费马点所在的周角；若三角形内有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点就是到三个顶点距离之和最小的点．
1.若三角形有一个内角大于等于120°，则此钝角的顶点即为该三角形的费马点
如图在△ABC中，∠BAC≥120°，求证：点A为△ABC的费马点证明：
如图，在△ABC内有一点P延长BA至C，使得AC＝AC，作∠CAP＝∠CAP，并且使得AP ＝AP，连结PP
则△APC≌△APC，PC＝PC
因为∠BAC≥120°
所以∠PAP＝∠CAC≤60
所以在等腰△PAP中，AP≥PP
所以PA＋PB＋PC≥PP＋PB＋PC＞BC＝AB＋AC
所以点A为△ABC的费马点
2.若三角形的内角均小于120°，则以三角形的任意两边向外作等边三角形，两个等边三角形外接圆在三角形内的交点即为该三角形的费马点．
如图，在△ABC中三个内角均小于120°，分别以AB、AC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点为O，求证：点O为△ABC的费马点
证明：在△ABC内部任意取一点O，；连接OA、OB、OC
将△AOC绕着点A逆时针旋转60°，得到△AO′D连接OO′则O′D＝OC
所以△AOO′为等边三角形，OO′＝AO
所以OA＋OC＋OB＝OO′＋OB＋O′D
则当点B、O、O′、D四点共线时，OA＋OB＋OC最小
此时ABAC为边向外作等边三角形，两个等边三角形的外接圆在△ABC内的交点即为点O
如图，在△ABC中，若∠BAC、∠ABC、∠ACB均小于120°，O为费马点，则有∠AOB＝∠BOC ＝∠COA＝120°，所以三角形的费马点也叫三角形的等角中心
例1 如图，在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（－6，0），点B 的坐标为（6，0），点C 的坐标为（6，34），延长AC 至点D 使得CD ＝AC ，过点DE 作DE //AB ，交BC 的延长线于点E ，设G 为y 轴上的一点，点P 从直线y ＝3-x ＋36与y 轴的交点M 出发，先沿y 轴到达点G ，再沿GA 到达点A ，若点P 在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定点G 的位置，使点P 按照上述要求到达A 所用的时间最短
解：∵t ＝v
GM v v GM 22GA GA 2+=+ ∴当2GA ＋GM 最小时，时间最短
如图，假设在OM 上存在一点G ，则BG ＝AG
∴MG ＋2AG ＝MG ＋AG ＋BG
把△MGB 绕点B 顺时针旋转60°，得到△M ′G ′B ，连结GG ′，MM ′
∴△GG ′B 、△MM ′B 都为等边三角形
则GG ′＝G ′B ＝GB
又∵M ′G ′＝MG
∴MG ＋AG ＋BG ＝M ′G ′＋GG ′＋AG
∵点A 、M ′为定点
∴AM ′与OM 的交点为G ，此时MG ＋AG ＋BG 最小
∴点G 的坐标为（0，32）
例2 A 、B 、C 、D 四个城市恰好为一个正方形的四个顶点，要建立一个公路系统使得每两个城市之间都有公路相通，并是整个公路系统的总长度为最小，则应当如何修建？
解：如图，将△ABP 绕点N 逆时针旋转60°，得到△EBM ；同样，将△DCQ 绕点C 顺时针旋转60°，得到△FCN ，连结AE 、DF ，则△ABE 、△DCF 均为等边三角形，连结PM 、QN ，则△BPM ，△CQN 均为等边三角形
所以当点E ，M ，P ，Q ，N ，F 共线时，整个公路系统的总长取到最小值，为线段EF 的长，如图，此时点P ，Q 在EF 上，1＝2＝3＝
4＝30． F N E M B C A D
P Q
进阶训练
1．如图，在ABC 中，ABC ＝60，AB ＝5，BC ＝3，P 是ABC 内一点，求PA ＋PB ＋PC 的最小值，并确定当PA ＋PB ＋PC 取得最小值时，APC 的度数．
B C A
P
答案：PA ＋PB ＋PC 的最小值为7，此时APC ＝120． P'A'P
A
C B E
【提示】如图，将APB 绕点B 逆时针旋转60，得到A 'BP '，连结PP '，A 'C ．过点A '作A 'E BC ，交CB 的延长线于点E ．解Rt A 'EC 求A 'C 的长，所得即为PA ＋PB ＋PC 的最小值．
2． 如图，四边形ABCD 是正方形，ABE 是等边三角形，M 为对角线BD 上任意一点，将BM 绕点B 逆时针旋转60得到BN ，连结AM ，CM ，EN ．
（1）当M 在何处时，AM ＋CM 的值最小?
（2）当M 在何处时，AM ＋BM ＋CM 的值最小？请说明理由；
（3）当AM ＋BM ＋CM 31时，求正方形的边长．
N
E M
答案：（1）当点M 落在BD 的中点时，AM ＋CM 的值最小，最小值为AC 的长；
（2）连结CE ，当点M 位于BD 与CE 的交点处时．AM ＋BM ＋CM 的值最小，最小值为CE
的长．
（3）正方形的边长为2．
【提示】（3）过点E 作EF BC，交CB的延长线于点F，解Rt EFC即可．
N
E
M。