初中8年级初二第14章勾股定理华师版数学学案课件教案14.2勾股定理的应用
八年级数学华师版 第14章 勾股定理14.2 勾股定理的应用【说课稿】
14.2 勾股定理的应用说课流程一、教材分析二、目标分析三、教法学法分析四、教学过程分析五、评价分析一.教材分析1.教材的地位和作用：勾股定理在日常生活中有着非常重要而广泛的应用，因此它是整个初中数学的一个重点。
本节课是在华师版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册“勾股定理”一章新授课全部结束的基础上设计的一节探究课。
对“勾股定理”一章来说，从《数学课程标准》的要求到教材内容的设置，起点都比较低—主要表现在两方面：一方面表现在知识点少，即仅有勾股定理及勾股定理逆定理两个知识点；另一方面能力要求单一，即运用勾股定理解决简单的实际问题。
因此为了提高学生质疑、发现、解决问题的能力，根据学生的实际情况，利用教材资源和学生的智慧设计本节课的内容。
在本节课中，通过丰富的情境，使学生更深刻地体会勾股定理在现实生活中的应用。
为后面的学习打下良好的基础。
2.教学重点:运用勾股定理解决数学和实际问题3.教学难点:把实际问题转为数学问题，利用勾股定理解决二. 教学目标：知识目标：能进一步运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题能力目标：1.通过对实际问题的分析与解决，通过学生动手操作，培养学生的探究能力、质疑能力，提高用数学知识来解决实际问题的能力.2.帮助学生感受到数学与现实生活的联系，情感目标：1.体验数学学习的乐趣，形成积极参与数学活动的意识，再一次感受勾股定理的应用价值，锻炼克服困难的意志，建立自信心。
2.培养学生交流与合作的协作精神三.教法学法分析:1、学情分析本节课的教学对象是八年级学生，他们的参与意识强，思维活跃，对于真实情境及现实生活中的数学问题具有极大的学习兴趣，而且在前面的学习中，学生已经历了探索和验证勾股定理的过程，又通过观察、操作、思考，充分认识了勾股定理的本质特征，并在此过程中，获得了初步的数学活动经验和体验，具备了一定的动手操作、合作交流和观察、分析的能力。
初步具备了有条理地思考与表达的能力。
华东师大版八年级数学上册第十四章勾股定理14.2勾股定理的应用(1)优秀教案
14.2勾股定理的应用（1）
教学目标
1．知识目标
(1)了解勾股定理的作用是“在直角三角形中已知两边求第三边”；而勾股逆定理的作用是由“三角形边的关系得出三角形是直角三角形”.
(2)掌握勾股定理及其逆定理，运用勾股定理进行简单的长度计算. 2．过程性目标
(1)让学生亲自经历卷折圆柱.
(2) 让学生在亲自经历卷折圆柱中认识到圆柱的侧面展开图是一个长方形（矩形）.
(3)让学生通过观察、实验、归纳等手段，培养其将“实际问题转化为应用勾股定理解直角三角形的数学问题”的能力.
教学重点、难点
教学重点：勾股定理的应用.
教学难点：将实际问题转化为“应用勾股定理及其逆定理解直角三角形的数学问题”.
原因分析：
1.例1中学生因为其空间想象能力有限，很难想到蚂蚁爬行的路径是什么，为此通过制作圆柱模型解决难题.
2.例2中学生难找到要计算的具体线段.通过多媒体演示来启发学生的思维.
教学突破点：突出重点的教学策略：
通过回忆复习、例题、小结等，突出重点“勾股定理及其逆定理的应用”，
教学过程
【解析】蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行．大家用一
解
现准备将一块形为直角三角形的绿地扩大，使其仍为直角三
（四）作业：习题
（五）策略分析
为防止以上错误的出现，除了讲清楚定理，还应该强调：
1.定理中基本公式中的项都是平方项；
2.计算直角边时需要将基本公式移项变形，按平方差计算.
3.最后求边长时，需要进行开平方运算.。
张家界市十中八年级数学上册第14章勾股定理14.2勾股定理的应用第2课时教案新版华东师大版
第2课时勾股定理的应用（2）【基本目标】1.会用勾股定理解决简单的实际问题.2.树立数形结合的思想.【教学重点】勾股定理的应用.【教学难点】实际问题向数学问题的转化.一、创设情景，导入新课从实际问题中抽象出几何图形，让学生画好图后标图；在实际问题向数学问题的转化过程中，注意勾股定理的使用条件，教师要向学生交代清楚，解释明白；优化训练，在不同条件、不同环境中反复运用定理，使学生达到熟练使用，灵活运用的程度；让学生深入探讨，积极参与到课堂中，发挥学生的积极性和主动性.二、师生互动，探究新知例1如右图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AB为4cm，BC是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．【分析】蚂蚁实际上是在圆柱的半个侧面内爬行，如果将这半个侧面展开（如图），得到矩形ABCD，根据“两点之间，线段最短”，所求的最短路程就是侧面展开图矩形对角线AC之长．（精确到0.01cm）解：如下图，在Rt△ABC中，BC＝底面周长的一半＝10cm，∴ AC＝Ab2+Bc2＝42+102＝116≈10.77（cm）（勾股定理）.答：最短路程约为10.77cm．三、随堂练习，巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分.四、典例精析，拓展新知例2一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如右图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【分析】由于厂门宽度足够，所以卡车能否通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH．如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD⊥AB，与地面交于H．解：在Rt△OCD中，由勾股定理得CH＝0.6＋2.3＝2.9（米）＞2.5（米）．因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门.五、运用新知，深化理解.完成教材P123习题14.2中的第5题.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生交流发言的基础上，教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.本课时所学内容是用勾股定理解决简单的实际问题（或数学问题）.在实际生活中，很多问题可以用勾股定理解决，而解决这类问题都需要将其转化为数学问题，也就是通过构造直角三角形来完成.教学时应注意如何构造直角三角形，找出已知两个量，求出第三个量，或者利用勾股定理建立几个量之间的关系，解决问题时注意让学生动手，画出图形，从而建立直角三角形模型.本节课中由勾股定理解决立体图形上的最短路径问题，比较抽象，注意化“曲”为“平”，让学生动手操作，真正建立立体图形与平面图形之间的联系.12．2.2 单项式与多项式相乘1．能说出单项式与多项式相乘的法则，并且知道单项式乘以多项式的结果仍然是多项式．2．会进行单项式乘以多项式的计算以及含有单项式乘以多项式的混合运算． 3．通过例题教学，培养学生灵活运用所学知识分析问题、解决问题的能力．重点掌握单项式乘以多项式的法则． 难点熟练地运用法则、准确地进行．一、创设情境1．教师引导学生复习单项式乘以单项式法则． 整式的乘法实际上就是 单项式×单项式 单项式×多项式 多项式×多项式(点评：培养学生前后知识的连续性．)前面我们已经学过单项式×单项式，今天我们来学习单项式×多项式． 2．教师演示宣传画的面积问题．宁宁作一幅画，所用纸为长方形，其长为mx 米，宽为x 米，她在纸的左右两边都留了18x 米的空白，则这幅画的面积是多少？ 说说你的理由．学生通过讨论，有的学生列出式子：x(mx －14x)；有的学生列出式子：mx 2－14x 2.那么这两个式子一样吗？你知道为什么吗？点评：创设问题情境引入新课，鼓励学生进行探索，学生的方法只要合理就应鼓励．组织学生积极讨论，教师应积极参与学生的讨论过程，并对不主动参与的学生进行指导．二、探究新知1．在12×(23－34＋56)中，你是怎样计算的？用什么方法较简单？(乘法分配律)即12×(23－34＋56)＝12×23－12×34＋12×56.2．我们知道代数式中的字母都表示数，如果把上题中的数都换成字母，你会计算m(a＋b ＋c)吗？(引导学生用乘法分配律解决．)3．你算出的结果能否用长方形的面积加以验证？(出示右图)大长方形的面积有两种表示方法，一是长为a ＋b ＋c ，宽为m ，面积是m(a ＋b ＋c)；二是三个小长方形面积的和，即am ＋bm ＋cm.它们都是大长方形的面积，所以它们是相等的，即m(a ＋b ＋c)＝am ＋bm ＋cm.4．在m(a ＋b ＋c)＝ma ＋mb ＋mc 中，“m ”是单项式，“a ＋b ＋c”是多项式，这两者相乘，从中你能看出什么规律？(在教师的引导下，学生总结出法则，并用语言叙述．)法则：单项式与多项式相乘，将单项式分别乘以多项式的各项，再将所得的积相加． 用式子表示为：m(a ＋b ＋c)＝ma ＋mb ＋mc. 5．问题思考(1)当多项式中的项数多于三项时，法则是否成立？(2)非零单项式乘以不含同类项的多项式，其积仍是多项式，积的项数与多项式的项数有什么联系？三、练习巩固 1．判断题：(1)3a 3·5a 3＝15a 3；( ) (2)6ab·7ab＝42ab ；( )(3)3a 4·(2a 2－2a 3)＝6a 8－6a 12；( )(4)－x 2(2y 2－xy)＝－2x 2y 2－x 3y.( ) 2．计算：(1)a(16a 2＋2a)；(2)y 2(12y －y 2)；(3)2a(－2ab ＋13ab 2)；(4)－3x(－y －xyz)．3．合作探究，分别计算下面图中阴影部分的面积．四、小结与作业 小结1．指导学生总结本节课的知识点、学习过程．2．单项式×多项式的积的项数、符号(结合去括号法则)及不能漏乘等注意事项给予强调．3．要善于在图形变化中发现规律，能熟练地对整式加减及单项式与多项式相乘进行运算．作业教材第30页习题12.2第3，4题．本节课法则推导利用乘法的分配律，从数类比到字母，学生亲切易懂，体现用字母代替数的思想，再让学生用长方形面积验证，培养思维严谨性，注重数形结合的思想．本节课计算量有所加大，如何让学生计算更准确，除熟练运用法则外，还应对学生计算作心理指导．如做一步查一步，不要做完再检查，可通过演算比赛调动计算情绪．12.2 三角形全等的判定(3)。
八年级数学上册第十四章勾股定理14.2勾股定理的应用2教案新版华东师大版
14.2勾股定理的应用〔2〕教学目标：1.会用勾股定理解决较综合的问题.2.树立数形结合的思想.教学重点勾股定理的综合应用.教学难点勾股定理的综合应用.教学过程一、课前预习1.等腰三角形底边上的高为8，周长为32，那么该等腰三角形面积为_______．解：设底边长为2x，那么腰长为16-x，有〔16-x〕2=82+x2，x=6，∴S=×2x×8=48．2.如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫格点，以格点为顶点分别按以下要求画三角形：〔1〕使三角形的三边长分别为〔在图甲中画一个即可〕；〔2〕使三角形为钝角三角形且面积为4〔在图乙中画一个即可〕．甲乙二、合作探究问题探究1：边长为无理数例1：如图，在3×3的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按以下要求画出图形：〔1〕画出所有从点A出发，另一端点在格点〔即小正方形的顶点〕上，且长度为5的线段；〔2〕画出所有的以〔1〕中所画线段为腰的等腰三角形.教师分析只需利用勾股定理看哪一个矩形的对角线满足要求．解：〔1〕如以下列图中，的长度均为5．〔2〕如以下列图中△ABC.△ABE.△ABD.△ACE.△ACD.△AED就是所要画的等腰三角形．问题探究2：不规那么图形面积的求法例2：如图，CD＝6m，AD＝8m，∠ADC＝90°，BC＝24m，AB＝26m．求图中阴影局部的面积．解：在Rt△ADC中，AC2＝AD2＋CD2＝62＋8＝100〔勾股定理〕，∴AC＝10m.∵AC2＋BC2＝102＋242＝676＝AB2，∴△ACB为直角三角形〔如果三角形的三边长有关系：a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形〕，∴S阴影局部＝S△ACB－S△ACD＝12×10×24－12×6×8＝96〔m2〕．三、课堂稳固〔1〕四年一度的国际数学家大会于2002年8月20日在北京召开．大会会标如图甲，它是由四个一样的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．假设大正方形的面积为13，每个直角三角形两直角边的和是5，求中间小正方形的面积；〔2〕现有一张长为6.5cm，宽为2cm的纸片，如图乙，请你将它分割成6块，再拼合成一个正方形．乙解：〔1〕设较长直角边为b，较短直角边为a，那么小正方形的边长为：a-b．而斜边即为大正方形边长，且其平方为13，即a2+b2=13①，由a+b=5，两边平方，得a2+b2+2ab=25．将①代入，得2ab=12．所以〔b-a〕2=b2+a2-2ab=13-12=1．即小正方形面积为1；〔2〕由〔2〕题中矩形面积为6.5×2=13与〔1〕题正方形面积相等，仿照甲图可得，算出其中a=2，b=3，如图．四、课堂小结1.我们学习了什么？2.还有什么疑惑吗？五、课后作业习题如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
八年级数学上册第14章勾股定理14.2勾股定理的应用第1课时勾股定理的应用习题课件
8. 如图所示，有一个长为12 cm 、宽为4 cm 、高 为3 cm 的长方体铁盒，在其内部要放一根笔直的铁
丝，则铁丝的最大长度是多少？
解：连结AC、BC. 在Rt△ ADC中， ∠ADC＝90° ，CD＝12，AD＝4，∴AC2＝AD2＋ CD2＝42＋122＝160. 在Rt△ ABC中，∠BAC＝90° ，AB＝3， ∴BC＝ AB2＋AC2＝ 32＋160＝ 169＝13(cm )．
解：设E站应建在距离A点x km 处，则BE＝AB－ AE＝(25－x) km ，∵DE＝EC，∠A＝∠B＝90° ， ∴EC2＝BC2＋BE2＝152＋(25－x)2， DE2＝AD2＋AE2＝102＋x2， 即102＋x2＝152＋(25－x)2，解得x＝15，
答：E站应建在距离A点15 km 处．
答：铁丝的最大长度Байду номын сангаас13 cm .
9.如图，有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长 方形的门，如果把竹竿竖放，则此门高出1尺；如果斜 放，则恰好等于门的对角线的长．已知门宽4尺，请你 求出竹竿的长与门的高．
解：设竹竿的长为x尺，则门高为(x－1)尺，由勾股 定理，得x2＝(x－1)2＋42，解得x＝8. 5，则门高为8. 5－ 1＝7. 5(尺)，∴竹竿的长为8. 5尺，门高为7. 5尺．
短距离时，把立体图形的表面(或侧面)展开，然后再利 用勾股定理来求．
知识点
不在同一平面上的两点之间的最短距离
1. 如图，长方体的长为 15，宽为 10，高为 20，点 B 离点 C 的距离为 5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从 点 A 爬到点 B，需要爬行的最短距离是( B ) A．5 37 C．10 5＋5 B．25 D．35
B．5 cm D．7 cm
八年级数学上册 第14章 勾股定理 14.2 勾股定理的应用(2)课件
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第十八页，共十八页。
方形的顶点）上，
且长度为 2 2 ；
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第三页，共十八页。
◆如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长 都为பைடு நூலகம்.请在所给网格中按下列(xiàliè)要求画出图形．
⑵以⑴中的AB为
边的一个(yī 等腰 ɡè)
A.
三角形ABC，使点
C在格点上，且 另两边的长都是
.B
无理数．
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璃管的长度(chángdù)至多为多少cm？
B
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C
A
D
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◆在图中，如果在箱内的A处有一只昆虫，
它要在箱壁上爬行(páxíng)到B处，至少要爬多
远？
.B
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.A
C
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D
. B
.
C
C
B
A
D
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A 30
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员与邮局的距离为多少km？
C
B
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D
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OA
如图，已知：△ABC中，AD是中线 ，AE⊥BC于E. (zhōngxiàn)
⑴若AB=12，BC=10，AC=8 ,求：DE
的长度.
A
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B
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DE C
如图，已知：△ABC中，AD是中线 ，AE⊥BC于E. (zhōngxiàn) ⑵求证：AB2 - AC2＝2BC·DE.
内容(nèiróng)总结
八年级数学上册第14章勾股定理14.2勾股定理的应用第2课时勾股定理在数学中的应用导学课件新版华东师大版
14.2 勾股定理的应用
【答案】 不正确． 因为数轴的原点不是点 A，正确的解答过程如下： 设数轴的原点为 O. ∵在长方形 ABCD 中，AB＝3，AD＝BC＝1， ∴AC＝ AB2＋BC2＝ 32＋12＝ 10， ∴AM＝AC＝ 10， ∴OM＝AM－OA＝ 10－1. ∵圆弧交数轴的正半轴于点 M， ∴点 M 在数轴上对应的数为 10－1.
14.2 勾股定理的应用
目标突破
目标一 会画长为无理数的线段
例 1 教材例 3 针对训练 如图 14－2－5，正方形网格中 每个小正方形的边长都是 1，每个小格的顶点叫做格点．
(1)在图①中以格点为顶点画一个面积为 5 的正方形； (2)在图②中以格点为顶点画一个三角形，使三角形三边 分别为 2， 5， 13； (3)如图③，A，B，C 是小正方形网格的顶点，求∠AB 的度数．
14.2 勾股定理的应用
图14－2－5
【解析】 (1)面积为 5 的正方形的边长为 5，依此画出正方形即可； (2)以直角边长为 1 和 2 构造斜边长 5，再以直角边长 2 和 3 构造斜边 就得到三边长分别为 2， 5， 13的三角形； (3)连结 AC，利用勾股定理的逆定理证明△ACB 为直角三角形即 ∠ABC 的度数．
14.2 勾股定理的应用
知识点二 常规计算型
把勾股定理与平方差公式、两数和(差)的平方公式、方程和轴 称等相结合，运用数形结合思想可以解决许多难度较大的综 题目．在几何图形中，创造条件，把非直角三角形转化为直 角形是解决问题的根本．
14.2 勾股定理的应用
反思
如图 14－2－8，在长方形 ABCD 中，AB＝3，AD＝1，AB 轴上，若以点 A 为圆心，对角线 AC 的长为半径作弧，交数轴的 轴于点 M，求点 M 在数轴上对应的数．
华师版八年级数学上册教案：第14章 勾股定理2 勾股定理的应用(2课时)
14.2勾股定理的应用第1课时勾股定理的应用(一)一、基本目标1．学会用勾股定理及直角三角形的判别条件(即勾股定理的逆定理)解决简单的实际问题．2.在实际问题中构造直角三角形,提高建模能力,进一步深化对构造法的理解．二、重难点目标【教学重点】将实际问题转化为直角三角形模型．【教学难点】应用勾股定理解决实际问题．环节1自学提纲、生成问题【5 min阅读】阅读教材P120～P121的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1. 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用a、b和c分别表示直角三角形的两直角边和斜边,那么a2＋b2＝c2.2．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c有关系a2＋b2＝c2,那么这个三角形是直角三角形,且边c所对的角为直角．环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图,在一次夏令营活动中,小明从营地A出发,沿北偏东53°方向走了400 m到达点B,然后再沿北偏西37°方向走了300 m到达目的地C.求A、C两点之间的距离．【互动探索】(引发学生思考)把实际问题中的角度转化为图形中的角度,找到直角三角形,利用勾股定理求解．【解答】如图,过点B作BE∥AD.∴∠DAB＝∠ABE＝53°.∵37°＋∠CBA＋∠ABE＝180°,∴∠CBA＝90°,∴AC2＝BC2＋AB2＝3002＋4002＝5002,∴AC＝500 m,即A、C两点间的距离为500 m.【互动总结】(学生总结,老师点评)此类问题解题的关键是将实际问题转化为数学问题；在数学模型(直角三角形)中,应用勾股定理或勾股定理的逆定理解题．活动2巩固练习(学生独学)1．甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,某日早晨8：00甲先出发,他以6 km/h速度向正东行走,1小时后乙出发,他以5 km/h的速度向正北行走．上午10：00,甲、乙两人相距多远？解：已知A是甲、乙的出发点,10：00甲到达B点,乙到达C点．则AB＝2×6＝12(km),AC＝1×5＝5(km)．在Rt△ABC中,BC2＝AC2＋AB2＝52＋122＝169＝132,所以BC＝13 km.故甲、乙两人相距13 km.2．如图,台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物,它怎么走最近？并求出最近距离．解：如图,利用展开图中两点之间线段最短可知,AB2＝152＋202＝625＝252,所以蚂蚁走的最近距离为25米．3．有一个高为1.5 m,半径是1 m的圆柱形油桶,在靠近桶边的地方有一小孔,从孔中插入一铁棒,已知铁棒在油桶外的部分为0.5 m,问这根铁棒的长在什么范围内？解：设伸入油桶中的长度为x m．则伸入长度最长时,x2＝1.52＋22,x＝2.5.所以这根铁棒最长是2.5＋0.5＝3(m)．伸入长度最短时,x＝1.5.所以这根铁棒最短是1.5＋0.5＝2(m)．即：这根铁棒的长应在2～3 m之间．活动3拓展延伸(学生对学)【例2】如图,长方体的高为3 cm,底面是正方形,边长为2 cm,现有绳子从D出发,沿长方体表面到达B′点,问绳子最短是多少厘米？【互动探索】可把绳子经过的面展开在同一平面内,有两种情况,分别计算并比较,得到的最短距离即为所求．【解答】如图1,在Rt△DD′B′中,由勾股定理,得B′D2＝32＋42＝25.如图2,在Rt△DC′B′中,由勾股定理,得B′D2＝22＋52＝29.因为29>25,所以第一种情况绳子最短,最短为5 cm.图1 图2【互动总结】(学生总结,老师点评)此类题可通过侧面展开图,将要求解的问题放在直角三角形中,问题便迎刃而解．环节3课堂小结,当堂达标(学生总结,老师点评)勾股定理在现实生活中的应用请完成本课时对应练习！第2课时勾股定理的应用(二)一、基本目标会应用勾股定理及其逆定理解决数学问题．二、重难点目标【教学重点】结合勾股定理及其逆定理解决数学问题．【教学难点】结合勾股定理及其逆定理解决数学问题．环节1自学提纲、生成问题【5 min阅读】阅读教材P122的内容,完成下面练习．【3 min反馈】1．下列四组线段中,可以构成直角三角形的是(A)A．1.5,2,2.5 B．4,5,6C．2,3,4 D．1,3,32．已知△ABC的三边分别是6,8,10,则△ABC的面积是(A) A．24 B．30C．40 D．483．如图,在Rt△ABC中,∠ACB＝90°,AC＝16,AB＝20,CD⊥AB于点D.(1)求BC的长；(2)求CD的长．解：(1)∵∠ACB＝90°,AC＝16,AB＝20,∴BC＝AB2－AC2＝12.(2)S△ABC＝12×12×16＝12×CD×20,解得CD＝9.6.环节2合作探究,解决问题活动1小组讨论(师生互学)【例1】如图,已知四边形ABCD中,∠A为直角,AB＝16,BC＝25,CD＝15,AD＝12,求四边形ABCD的面积．【互动探索】(引发学生思考)利用勾股定理可求出BD,再根据勾股定理逆定理求出∠CDB为直角,然后求出△ABD和△BDC的面积,相加即可得解．【解答】∵∠A 为直角,∴BD 2＝AD 2＋AB 2.∵AD ＝12,AB ＝16,∴BD ＝20.∵BD 2＋CD 2＝202＋152＝252＝BC 2,∴∠CDB 为直角．∴△ABD 的面积为12×16×12＝96,△BDC 的面积为12×20×15＝150,∴四边形ABCD 的面积为96＋150＝246.【互动总结】(学生总结,老师点评)本题考查了勾股定理,勾股定理逆定理,是基础题,熟记两个定理并求出∠CDB 为直角是解题关键．活动2 巩固练习(学生独学)1．如图,将△ABC 放在正方形网格图中(图中每个小正方形的边长均为1),点A 、B 、C 恰好在网格图中的格点上,那么△ABC 中BC 边上的高的长为( A )A ．102 B ．104C ．105D ． 52．下图阴影部分是一个等腰直角三角形,则此等腰直角三角形的面积为12.5 cm 2.3．已知△ABC 的三边a ＝m －n (m ＞n ＞0),b ＝m ＋n ,c ＝2mn . (1)求证：△ABC 是直角三角形；(2)利用第(1)题的结论,写出两组m 、n 的值,使三角形的边长均为整数．解：(1)∵a ＝m －n (m ＞n ＞0),b ＝m ＋n ,c ＝2mn ,∴a 2＋c 2＝(m －n )2＋(2mn )2＝m 2＋n 2－2mn ＋4mn ＝(m ＋n )2＝b 2,∴△ABC 是直角三角形． (2)当m ＝4,n ＝1时,三角形的边长为3,4,5；当m ＝9,n ＝4时,三角形的边长为5,12,13.活动3 拓展延伸(学生对学)【例2】中国古代对勾股定理有深刻的认识．(1)三国时代吴国数学家赵爽第一次对勾股定理加以证明：用四个全等的图1所示的直角三角形拼成一个图2所示的大正方形,中间空白部分是一个小正方形．如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的两直角边分别为a 、b ,求( a ＋b )2的值．(2)清朝的康熙皇帝对勾股定理也很有研究,他著有《积求勾股法》：用现代的数学语言描述就是：若直角三角形的三边长分别为3,4,5的整数倍,设其面积为S ,则求其边长的方法为：第一步s6＝m ；第二步：m ＝k ；第三步：分别用3,4,5乘以k ,得三边长．当面积S 等于150时,请用“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长．【互动探索】(1)根据勾股定理可以求得a 2＋b 2等于大正方形的面积,然后求四个直角三角形的面积,即可得到ab 的值,然后根据(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2即可求解；(2)先由题中所给的条件找出字母所代表的关系,然后套用公式解题．【解答】(1)根据勾股定理,得a 2＋b 2＝13.四个直角三角形的面积是12ab ×4＝13－1＝12,即2ab ＝12 ,则(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2＝13＋12＝25,即(a ＋b )2＝25.(2)当S ＝150时,k ＝m ＝s 6＝1506＝25＝5,所以三边长分别为：3×5＝15,4×5＝20,5×5＝25,所以这个直角三角形的三边长分别为15,20,25.【互动总结】(学生总结,老师点评)(1)题考查勾股定理,以及完全平方式,正确根据图形的关系求得a 2＋b 2和ab 的值是关键．环节3 课堂小结,当堂达标 (学生总结,老师点评) 勾股定理在数学中的应用请完成本课对应练习！。
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华师版数学
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14.2 勾股定理的应用
【教学目标】
知识与技能
能运用勾股定理及逆定理解决简单的实际问题.
过程与方法
经历勾股定理的应用过程,熟练掌握其应用方法,明确应用的条件.
情感、态度与价值观
培养合情推理能力,体会数形结合的思维方法,激发学习热情.
【重点难点】
重点
勾股定理及逆定理的应用.
难点
勾股定理的正确使用.
【教学过程】
一、创设情景,导入新课
教师多媒体展示,教材P120例1.
【教师活动】
自己利用圆柱体的纸教具尝试从A到B画n条路径,你认为哪条最短?将圆柱
沿轴截面剪开,看看最短的是平面图形中的哪条线段?并与同伴交流.
【学生活动】
操作、观察、求解、展示.
【教师活动】
教师通过多媒体演示,进一步加强直观,在此基础上,涉及到立体图形的侧面
上的最短路径常常化“曲”为“平”,由勾股定理求解.
二、师生互动,探究新知
出示例题见教材P121例2.
【教师活动】
根据生活经验卡车如何行走较易通过大门?如何构建直角三角形将要求的量
化归到直角三角形中?
【学生活动】
学生思考,找出直角三角形,分析如何求解.看CH是否大于2.5米?
【教师活动】
本例采用了“定宽比高”的策略,还可采用“定高比宽”.请同学们讨论分析.
出示例题见教材P122例3.
【教师活动】
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如何构造?图中可画几条的线段?
【学生活动】
动手操作,画出图形,并思考其中的道理.
三、随堂练习,巩固新知
1.如图,一根旗杆在离地面5米的B处断裂,旗杆顶部落在离杆底12米的A
处,旗杆断裂之前有多高?
【答案】
∵52+122=AB2,∴AB=13（米）.
∴旗杆断裂之前的高度为5+13=18（米）.
2.甲、乙两船同时离开港口,各自沿固定方向航行,甲船每小时航行16海里,
乙船每小时航行12海里,航行1.5小时后两船相距30海里.如果知道甲船沿东北
方向航行,你能说出乙船沿哪个方向航行吗?
【答案】
1.5小时后,甲船距港口16×1.5=24（海里）,乙船距港口12×1.5=18（海
里）,在由港口出发1.5小时后甲船所在位置、乙船所在位置构成的三角形中,
因为242+182=900=302,所以由勾股定理逆定理知,该三角形是直角三角形,即甲、
乙两船的航向成90°角.而甲船沿东北方向航行,故乙船沿东南方向或西北方向
航行.
四、典例精析,拓展新知
出示例题见教材P122例4.
【教师活动】
着色部分的面积如何计算?由CD=6m（单位米）,AD=8m（单位米）,你得到什
么?△ABC的形状是什么?
【学生活动】
独立完成,选代表讲解.
五、运用新知,深化理解.
1.如图,公路MN和公路PQ在点P处交会,且∠QPN=30°,点A处有一所中
学,AP=160米.假设拖拉机行驶时,周围100米以内会受到噪声的影响,那么拖拉
机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校是否会受到噪声影响?说明理由;如果受影
响,已知拖拉机的速度为18千米/时,那么学校受影响的时间为多少秒?
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【答案】
假设拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到噪声影响,那
么AC=100米.由勾股定理得BC=60米.同理,拖拉机行驶到点D处学校开始脱离噪
声影响,那么AD=100米,BD=60米,∴CD=120米.学校受噪声影响的时间t=120米
÷18千米/时=时=24秒.
六、师生互动,课堂小结
这节课你学习了什么?有何收获?有何困惑?与同伴交流,在学生交流发言的
基础上,教师归纳总结.
本节课我们学习了应用勾股定理来解决实际问题.在实际当中,长度计算是
一个基本问题,而长度计算中应用最多、最基本的就是解直角三角形,利用勾股定
理已知两边求第三边,我们要掌握好这一有力工具.
【教学反思】
本课时所学内容是用勾股定理解决简单的实际问题（或数学问题）.在实际
生活中,很多问题可以用勾股定理解决,而解决这类问题都需要将其转化为数学
问题,也就是通过构造直角三角形来完成.教学时应注意如何构造直角三角形,找
出已知两个量,求出第三个量,或者利用勾股定理建立几个量之间的关系,解决问
题时注意让学生动手,画出图形,从而建立直角三角形模型.本节课中由勾股定理
解决立体图形上的最短路径问题,比较抽象,注意化“曲”为“平”,让学生动手
操作,真正建立立体图形与平面图形之间的联系.