1[1].4.3单位圆与诱导公式 课件(北师大版必修4)
高中数学 第一章 三角函数 1.4 正弦函数和余弦函数的定义与诱导公式 1.4.3 单位圆与诱导公式
1.4.3 单位圆与诱导公式1．单位圆与周期性(1)终边相同的角的正、余弦函数 sin(2k π＋x )＝______，k ∈Z . cos(2k π＋x )＝______，k ∈Z . (2)周期函数与周期一般地，对于函数f (x )，如果存在非零实数T ，对定义域内的任意一个x 值，都有__________，我们就把f (x )称为周期函数，T 称为这个函数的______．(3)最小正周期对于一个____函数f (x )，如果在它的所有____中存在一个_______，那么这个________就叫做它的最小正周期．预习交流1是否所有周期函数都有最小正周期？并举例说明． 2．单位圆与诱导公式(1)诱导公式(函数名称不变)sin(2k π＋α)＝sin α，cos(2k π＋α)＝cos α.(k ∈Z ) sin(－α)＝______，cos(－α)＝______.sin(2π－α)＝______，cos(2π－α)＝______. sin(π－α)＝______，cos(π－α)＝______. sin(π＋α)＝______，cos(π＋α)＝______. 文字概括：2k π＋α(k ∈Z )，－α，2π－α，π±α的正弦(余弦)函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．(2)诱导公式(函数名称改变)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝______，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝______.sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝______，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α＝______. 文字概括：π2±α的正弦(余弦)函数值，分别等于α的余弦(正弦)函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．预习交流2如何记忆正弦函数和余弦函数的诱导公式？ 预习交流3(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－25π6＝__________； (2)cos 11π4＝__________；(3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π6＝__________；(4)cos ⎝⎛⎭⎪⎫π2－π3＝__________.答案：1．(1)sin x cos x (2)f (x ＋T )＝f (x ) 周期 (3)周期 周期 最小的正数 最小的正数预习交流1：提示：并不是所有周期函数都存在最小正周期．例如，常数函数f (x )＝C (C 为常数)，x ∈R ，当x 为定义域内的任何值时，函数值都是C ，即对于函数f (x )的定义域内的每一个值x ，都有f (x ＋T )＝C ，因此f (x )是周期函数，由于T 可以是任意不为零的常数，而正数集合中没有最小者，所以f (x )没有最小正周期．2．(1)－sin α cos α －sin α cos α sin α －cos α －sin α －cos α (2)cos α －sin α cos αsin α预习交流2：提示：(1)体会三种思想：①转化思想．任意角的三角函数值转化为0°～90°间角的三角函数值． ②类比思想．正弦函数的诱导公式类比余弦函数的诱导公式． ③数形结合思想．借助单位圆推导并理解公式． (2)把握一个规律：“奇变偶不变，符号看象限”诱导公式提示了角k ·π2±α(k ∈Z )与角α的正弦、余弦函数值之间的关系，主要从函数名称和符号两个角度记忆．①“奇变偶不变”是说当k 是奇数时，三角函数名称要改变，即正弦变余弦，余弦变正弦．当k 是偶数时，三角函数名称不变，即正弦仍为正弦，余弦仍为余弦．②“符号看象限”是说由于公式对于任意角α都成立，不妨将角α看作一个锐角，此时可用旋转的方法，观察角k ·π2±α(k ∈Z )所在的象限，并判断此时函数值的符号是正还是负．预习交流3：(1)－12 (2)－22 (3)32 (4)321．周期函数的理解与应用已知f (x ＋a )＝－f (x )(a ＞0)，求证：f (x )是周期函数，并求出它的一个周期． 思路分析：只需找出一个常数T (T ≠0)，满足f (x ＋T )＝f (x )即可．已知函数f (x )是R 上的周期为5的周期函数，且f (1)＝2 012，求f (11)．(1)周期的定义是对定义域中每一个x 值来说的．如果只有个别的x 值满足f (x ＋T )＝f (x )，则不能说T 是f (x )的周期．(2)从等式f (x ＋T )＝f (x )来看，应强调自变量x 本身加的常数才是周期．如f (2x ＋T )＝f (x )，不能说T 是f (x )的周期．2．利用诱导公式求值求下列三角函数值． (1)cos 945°；(2)sin 356π；(3)cos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋π3；(4)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1003π.思路分析：按“负角化正角，大角化小角”这一程序选择公式．求下列三角函数值．(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π4；(3)cos(－60°)－sin(－210°)．解答该类题目的常用方法是先把负角化成正角，然后再把大于360°的角利用诱导公式转化到0°～90°之间的角进行求值．在公式的选取上没有固定格式，关键在于熟练运用．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝m (|m |≤1)，求cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α的值．思路分析：注意到π6－α＋5π6＋α＝π，2π3－α－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝π2，可以用诱导公式转化．已知sin(45°＋α)＝513，求sin(135°－α)的值．解决条件求值问题的策略解决条件求值问题，要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系，要么将已知式进行变形向所求式转化，要么将所求式进行变形向已知式转化．总之，设法消除已知式与所求式之间的种种差异是解决问题的关键．3．三角函数式的化简问题化简求值：cos3π＋αcos ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋αsin －αsin －π＋αsin 3π－αcos －π－α.思路分析：根据诱导公式将各个三角函数分别化简．化简：sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋αsin －αcos 3π－α.化简三角函数式的策略角多、函数类型多是三角函数式化简问题的特点，据此解答此类问题时要注意以下几点： (1)化简时要使函数类型尽量少，角的弧度数(或角度数)的绝对值尽量小，能求值的要求出值．(2)认真观察有关角之间的关系，根据需要变角，如3π2＋α可写成2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α或π＋⎝⎛⎭⎪⎫π2＋α，不同的表达方式，决定着使用不同的诱导公式．求角3π2＋α的正弦、余弦函数值，按“奇变偶不变，符号看象限”的方法更快，要注意训练这种方法．答案：活动与探究1：证明：∵f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝－[－f (x )]＝f (x )，∴f (x )是周期函数，且2a 是它的一个周期．迁移与应用：解：f (11)＝f (5×2＋1)＝f (1)＝2 012.活动与探究2：解：(1)cos 945°＝cos(2×360°＋225°)＝cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos 45°＝－22；(2)sin 356π＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫4π＋116π＝sin 116π ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π－π6＝－sin π6＝－12； (3)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π＋π2＋π3 ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π3＝－⎝⎛⎭⎪⎫－sin π3＝32；(4)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1003π＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫32π＋4π3 ＝－sin 4π3＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋π＝sin π3＝32.迁移与应用：解：(1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－7π3＝－sin 7π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2π＋π3＝－sin π3＝－32；(2)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－19π4＝cos 19π4＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫4π＋3π4 ＝cos 3π4＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫π－π4＝－cos π4＝－22；(3)cos(－60°)－sin(－210°)＝cos 60°＋sin 210°＝cos 60°＋sin(180°＋30°)＝cos 60°－sin 30°＝12－12＝0.活动与探究3：解：∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝m (|m |≤1)， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝－m . ∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－α＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－α＝m . 迁移与应用：解：sin(135°－α)＝sin[180°－(45°＋α)]＝sin(45°＋α)＝513.活动与探究4：解：原式＝cos(π＋α)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π＋π2＋α(－sin α)[－sin(π－α)]sin(π－α)cos[－(π＋α)]＝(－cos α)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α(－sin α)(－sin α)sin α(－cos α)＝(－cos α)[－(－sin α)](－sin α)－sin αsin α(－cos α)＝1.迁移与应用：解：原式＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α(－sin α)－sin αcos[2π＋(π－α)]＝－sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－α(－sin α)－sin αcos(π－α)＝－cos α(－sin α)－sin α(－cos α)＝1.1．sin 210°＝( )． A.32B ．－32C.12D ．－122．cos 330°＝( )． A.12B ．－12C.32D ．－323．sin(π－2)－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2化简的结果为( )．A ．0B ．－1C ．2sin 2D ．－2sin 24．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－θ＝__________.5．化简：sin π－αcos π＋αsin ⎝⎛⎭⎪⎫3π2＋αcos 3π－αsin 3π＋αsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π2－α.答案：1．D 解析：si n 210°＝sin(180°＋30°)＝－sin 30°＝－12.2．C 解析：cos 330°＝cos(360°－30°)＝cos 30°＝32. 3．A 解析：原式＝sin 2－sin 2＝0.4.33 解析：cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫116π－θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋θ＝33.5．解：原式＝sin α·(－cos α)·(－cos α)(－cos α)·(－sin α)cos α＝1.用精练的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和基本技能的要领部分写下来，并进行识记．知识精华技能要领。
1.4.4诱导公式 课件-北师大版高中数学必修四
)
A.35
B.53
C.45
D.54
(4)如果|sinα|＝13，且 α 是第二象限角，那么 sinα－π2＝(
)
A．－13
1 B.3
C．－2 3 2
D.2 3 2
类型 2 巧用角的关系解决条件求值问题 例 3、(1)已知 cosπ6－α＝m，|m|≤1，求 cos56π＋α，sin23π－α的值．
变式 1 求下列三角函数值：
(1)sin 2 (2) cos( 7 ) (3)sin( 7 ) (4) cos( 31 )
3
6
4
6
(5) sin(-60°)+cos120°+sin390°+cos210°
类型 2 利用诱导公式化简求值
例 2、化简下列各式：
(1)sinπ2c＋osαπc＋osαπ2－α＋sinπs－inαπc＋osαπ2 ＋α；
练习：(1)化简:ssiinn52απ－＋32απ··csions372ππ＋－αα.
(2)已知角 α 终边上一点 P(－4,3)，求 ccooss1π212＋π－ααsinsin－92ππ－＋αα的值．
(3)若 sinα＝－35，
则sinc－osαπ2－－32απ·scions32π2π＋－αα··stiann2π＋2πα－ α＝(
【解】 cos56π＋α＝cosπ－π6－α＝－cosπ6－α＝－m， sin23π－α＝sinπ2＋π6－α＝cosπ6－α＝m.
(2)知，cosx＋1π2＝－35，求：sin152π－x的值．
解：∵152π－x＋x＋1π2＝π2， ∴sin152π－x＝sinπ2－x＋1π2 ＝cosx＋1π2＝－35.
标分别为什么？
高中数学北师大版必修4第一章《4.3单位圆与诱导公式》优质课公开课教案教师资格证面试试讲教案
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1教学目标
1) 知识目标
(1)借用单位圆识记诱导公式.
(2)理解和掌握公式的内涵及结构特征,会初步运用诱导公式求三角函数的值,并进行简单三角函数式的化简和证明.
2)能力目标
(1)通过诱导公式的推导,培养学生的观察力、分析归纳能力,领会数学的归纳转化思想方法.
(2)通过诱导公式的推导、分析公式的结构特征,使学生体验和理解从特殊到一般的数学归纳推理思维方式.
(3)通过基础训练题组和能力训练题组的练习,提高学生分析问题和解决问题的实践能力. 3) 情感目标
(1)通过诱导公式的推导,培养学生主动探索、勇于发现的科学精神,培养学生的创新意识和创新精神.
(2)通过归纳思维的训练,培养学生踏实细致、严谨科学的学习习惯,渗透从特殊到一般、把未知转化为已知的辨证唯物主义思想.
2学情分析
已有知识:1.任意角的三角函数定义(单位圆)
2.诱导公式(一)
学生情况:1.学生基础较差
2.学习主动性不强
3重点难点
1) 教学重点诱导公式(二)(三)的推导及应用
1) 教学难点相关角终边的几何对称关系及诱导公式结构特征的认识.
4教学过程
活动1【导入】三角函数诱导公式。
数北师大必修4导案：1.4.3 单位圆与诱导公式
4.3 单位圆与诱导公式问题导学1．周期函数的理解与应用活动与探究1已知f(x＋a)＝－f(x)(a＞0)，求证：f(x)是周期函数，并求出它的一个周期．迁移与应用(1)若钟摆的高度h(mm)与时间t(s)之间的函数关系如图所示．则该函数的周期及在t＝25 s时钟摆的高度为()A．2 s,10 mm B．1 s,20 mmC．1 s,10 mm D．2 s,20 mm(2)已知函数f(x)是R上的周期为5的周期函数，且f(1)＝2 012，求f(11)．(1)周期的定义是对定义域中每一个x值来说的．如果只有个别的x值满足f(x＋T)＝f(x)，则不能说T是f(x)的周期．(2)从等式f(x＋T)＝f(x)来看，应强调自变量x本身加的常数才是周期．如f(2x＋T)＝f(x)，不能说T是f(x)的周期．2．利用诱导公式求值活动与探究2求下列三角函数值．(1)cos 945°；(2)sin 356π；(3)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋π3；(4)sin ⎝⎛⎭⎫－1003π． 迁移与应用求下列三角函数值． (1)sin ⎝⎛⎭⎫－7π3；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－19π4； (3)cos(－60°)－sin(－210°)．解答该类题目的常用方法是先把负角化成正角，然后再把大于360°的角利用诱导公式转化到0°～90°之间的角进行求值．在公式的选取上没有固定格式，关键在于熟练运用．活动与探究3已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝m (|m |≤1)，求cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α，sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α的值．迁移与应用已知sin(45°＋α)＝513，求sin(135°－α)的值．利用诱导公式解决条件求值问题的方法(1)仔细分析条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算的差异及联系．(2)当条件式与所求式中未知角的符号相同时，将两角相减，当未知角符号相反时，将两角相加可得出两角的关系，再选用恰当诱导公式求值．3．三角函数式的化简问题活动与探究4化简求值：cos (3π＋α)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋αsin (－α)sin (－π＋α)sin (3π－α)cos (－π－α)．迁移与应用化简：sin ⎝⎛⎭⎫3π2－αcos ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin (－α)cos (3π－α)．化简三角函数式的策略 角多、函数类型多是三角函数式化简问题的特点，据此解答此类问题时要注意以下几点： (1)化简时要使函数类型尽量少，角的弧度数(或角度数)的绝对值尽量小，能求值的要求出值．(2)认真观察有关角之间的关系，根据需要变角，如3π2＋α可写成2π－⎝⎛⎭⎫π2－α或π＋⎝⎛⎭⎫π2＋α，不同的表达方式，决定着使用不同的诱导公式． 当堂检测 1．cos 300°＝( )A ．－32B ．－12C ．12D ．322．已知f (x )是R 上的奇函数，且f (1)＝2，f (x ＋3)＝f (x )，则f (8)＝( ) A ．2 B ．－2 C ．0 D ．83．sin(π－2)－cos ⎝⎛⎭⎫π2－2化简的结果为( )．A ．0B ．－1C ．2sin 2D ．－2sin 24．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋θ＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫116π－θ＝__________． 5．化简：sin (π－α)cos (π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋αcos (3π－α)sin (3π＋α)sin ⎝⎛⎭⎫5π2－α．课前预习导学 【预习导引】1．(1)sin x cos x (2)f (x ＋T )＝f (x ) 周期 (3)周期 周期 最小的正数 最小的正数 预习交流1 略2．(1)－sin α cos α －sin α cos α sin α －cos α －sin α －cos α (2)cos α －sin α cos α sin α预习交流2 提示：(1)关于2k π＋α(k ∈Z )，－α，2π－α，π±α的正弦(余弦)诱导公式可简记为“函数名不变，符号看象限”．(2)关于π2±α的正弦(余弦)的诱导公式可简记为“函数名互换，符号看象限”．(3)将两类公式归纳为：k ×π2＋α(k ∈Z )的三角函数值，k 为偶数时，得α的同名函数值，当k 为奇数时，得α的异名函数值，然后都在前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号．概括为“奇变偶不变，符号看象限”．预习交流3 (1)－12(2)－22 (3)32 (4)32课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 证明：∵f (x ＋2a )＝f [(x ＋a )＋a ]＝－f (x ＋a )＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴f (x )是周期函数，且2a 是它的一个周期． 迁移与应用 (1)D (2)2 012 活动与探究2 解：(1)cos 945°＝cos(2×360°＋225°)＝cos 225°＝cos(180°＋45°)＝－cos45°＝－22；(2)sin 356π＝sin ⎝⎛⎭⎫4π＋116π＝sin 116π＝sin ⎝⎛⎭⎫2π－π6＝－sin π6＝－12；(3)cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋π3＝cos ⎝⎛⎭⎫π＋π2＋π3 ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π3＝－⎝⎛⎭⎫－sin π3＝32； (4)sin ⎝⎛⎭⎫－1003π ＝－sin ⎝⎛⎭⎫32π＋4π3＝－sin 4π3 ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π3＋π＝sin π3＝32. 迁移与应用 (1)－32(2)－22(3)0活动与探究3 cos ⎝⎛⎭⎫5π6＋α＝－m ，sin ⎝⎛⎭⎫2π3－α＝m . 迁移与应用 513活动与探究4 解：原式＝cos (π＋α)cos ⎝⎛⎭⎫π＋π2＋α(－sin α)[－sin (π－α)]sin (π－α)cos[－(π＋α)]＝(－cos α)⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α(－sin α)(－sin α)sin α(－cos α)＝(－cos α)[－(－sin α)](－sin α)－sin αsin α(－cos α)＝1.迁移与应用 1 【当堂检测】1．C 2．B 3．A 4．33 5．1。
必修4-1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式
虹屏居
15
欢迎指导 谢谢合作
虹屏居
16
6
(3) cos(3 ) ；(4) sin( 100 ) ．
23
3
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新知小结
本课所学的知识点有哪些？ 正弦函数、余弦函数的诱导公式．
本课有哪些数学思想？ 数形结合思想、类比思想．
你有何收获？
虹屏居
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新知强化
1、P24习题1-4，A组6、7、8，B组1、3、4 2、高中同步测控优化设计“训练与测评”P4, 3、预习：P25 5.1正弦函数的图像
3
3
32
(3) cos( 31 ) cos(6 5 ) cos 5 cos 3 .
6
6
6
62
虹屏居
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新知探究
补例 1 在单位圆中，角的终边与单位圆交于点P
（-12,5），写出点P关于x轴、y轴和原点对称的 点的坐标，并分别求角-α，-α， + α ， 2 - α的 正弦函数值、余弦函数值．
2
2
解 (1) { | 2k 3 ，k Z}{ | 2k 5 ，k Z}
4
4
(2) { | 7 2k 2k ，k Z}
y6
6y
3π 4
x
O 5π
7π
π
6
6
x O
4
虹屏居
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新知检测
求下列三角函数值：
(1) cos945 ； (2) sin 35 ；
3．情感、态度与价值观
通过本节学习，能注意到数学中的对称美和事物之间的相 互关系．
虹屏居
2
重点难点
高中数学 第一章 三角函数 1.4.3 单位圆与诱导公式素材 北师大版必修4(2021年整理)
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1.4。
3 单位圆与诱导公式一、结论１．函数sin cos y x y x ==，的图象既是中心对称图形(关于某点对称），又是轴对称图形（关于某直线对称)，sin y x =的对称中心是(π0)k ，,k ∈Z ，对称轴为ππ2x k k =+∈Z ，．特殊地，原点是其一个对称中心．cos y x =的对称中心是ππ02k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，k ∈Z ,对称轴为πx k =，k ∈Z ．特殊地，y 轴是其一条对称轴．2．函数tan y x =的图象是中心对称图形，不是轴对称图形，其对称中心为π02k ⎛⎫⎪⎝⎭，k ∈Z ． 二、应用 １．正向应用所谓正向应用即直接告诉我们函数解析式,求函数的对称轴方程或对称中心坐标，或利用对称性解决其他问题．例１ 函数 π3sin 23y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的对称轴方程是（ ）Ａ．ππ212k x k =+∈Z ， Ｂ．π2π12x k k =-∈Z ， Ｃ．ππ3x k k =+∈Z ，Ｄ．π2π3x k k =-∈Z ，解：令ππ2π32x k +=+，得ππ212k x k =+∈Z ，． 故选(Ａ）．说明：对于函数sin()(00)y A x A ωϕω=+≠>，的对称性，可令x μωϕ=+,转化为函数sin y A μ=的对称性求解．例 2 由函数2sin3y x =,π5π66x ⎛⎫⎪⎝⎭≤≤与函数2y x =∈R ，的图象围成一个封闭图形，求这个封闭图形的面积．解：如图，根据对称性，所围成封闭图形的面积等价于矩形ABCD 的面积，所以封闭图形的面积5ππ4π2663S ⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭． 说明:此题所求面积的图形不是常见规则图形，根据图象对称性转化为常见图形———矩形，既熟悉又易求,体现了数形结合，等价转化等数学思想．２．逆向应用所谓逆向应用即知道函数的对称性，求函数解析式中的参数的取值． 例３ 函数()cos(3)f x x x ϕ=+∈R ，的图象关于原点中心对称，则ϕ=( ） Ａ．π3Ｂ．ππ2k k +∈Z ，Ｃ．πk k ∈Z ，Ｄ．π2π2k k -∈Z ，解:∵函数图象关于原点中心对称,且x ∈R ， ∴函数图象过原点，即(0)0f =．cos 0ϕ∴=,即ππ2k k ϕ=+∈Z ，．故选（Ｂ)． 3．综合运用例４ 已知函数()sin()(00π)f x x ωϕωϕ=+>，≤≤是R 上的偶函数，其图象关于点3π04M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，对称,且在区间π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是单调函数，求ω和ϕ的值．解：()f x 是偶函数,y ∴轴是其对称轴，即y 轴经过函数图象的波峰或波谷，(0)sin 1f ϕ∴==±，又0πϕ≤≤，π2ϕ∴=． 由()f x 的图象关于点3π04M ⎛⎫⎪⎝⎭，对称, 3π04f ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，即3ππ3πsin cos 0424ωω⎛⎫+== ⎪⎝⎭，又0ω>,3πππ01242k k ω∴=+=，，，…． 2(21),0,1,2,3k k ω∴=+=当0k =时，23ω=，2π2()sin cos 323f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当1k =时，2ω=，π()sin 2cos 22f x x x ⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上是减函数；当2k ≥时，103ω≥， π()sin cos 2f x x x ωω⎛⎫=+= ⎪⎝⎭在 π02⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上不是单调函数．综上所述，23ω=或π22ωϕ==，．说明：本题综合考察函数的单调性、奇偶性及图象的对称性．()f x 的图象关于点M 对称亦可转化为3π3π44f x f x ⎛⎫⎛⎫-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再令0x =得到3π3π44f f ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,再得到3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭．。
北师版数学高一北师大版必修4学案 1.4.3 单位圆与诱导公式(一)
4．3单位圆与诱导公式(一)明目标、知重点 1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用.2.理解诱导公式的推导过程.3.能运用有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题．1．设α为任意角，π＋α，－α，π－α的终边与α的终边之间的对称关系相关角终边之间的对称关系π＋α与α关于原点对称－α与α关于x轴对称π－α与α关于y轴对称2.诱导公式1.8～1.12公式1.8：sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α；公式1.9：sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α；公式1.10：sin(2π－α)＝－sin α，cos(2π－α)＝cos α；公式1.11：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α；公式1.12：sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α.[情境导学]在前面的学习中，我们知道终边相同的角的同名三角函数相等，即公式1.8，并且利用公式1.8可以把绝对值较大的角的三角函数值转化为0°～360°内的角的三角函数，对于90°～360°内的三角函数我们能否进一步把它们转化到锐角范围内来求解？探究点一角α与－α的正弦、余弦函数关系思考1设角α的终边与单位圆的交点为P1(x，y)，如图，角－α的终边与角α的终边有什么关系？－α的终边与单位圆的交点P2坐标如何？答角－α的终边与角α的终边关于x轴对称．角－α与单位圆的交点为P2(x，－y)．思考2根据三角函数定义，－α的三角函数与α的三角函数有什么关系？答sin α＝y，cos α＝x；sin(－α)＝－y＝－sin α；cos(－α)＝x＝cos α.即诱导公式1.9sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α.思考3诱导公式1.9有何作用？答将负角的三角函数转化为正角的三角函数．探究点二角α与π－α的正弦、余弦函数关系思考1根据角α与π－α与单位圆的交点坐标的关系，你能推出角α与π－α的正弦、余弦函数的关系吗？答如图，设角α的终边与单位圆相交于P1(x，y)，由于角π－α与α的终边关于y轴对称，因此角π－α的终边与单位圆相交于P2(－x，y)，则sin α＝y，cos α＝x；sin(π－α)＝y＝sin α，cos(π－α)＝－x＝－cos α.即诱导公式1.11sin(π－α)＝sin αcos(π－α)＝－cos α思考2诱导公式1.11有何作用？答将第二象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数．探究点三角α与π＋α的正弦、余弦函数关系思考1阅读教材17页，说出角α与π＋α的正弦、余弦函数关系．答sin(π＋α)＝－sin αcos(π＋α)＝－cos α思考2如何推导思考1中得出的关系式？答如图，设角α的终边与单位圆交于点P1(x，y)，则角π＋α的终边与单位圆的交点为P2(－x，－y)，下面是根据三角函数定义推导公式的过程．由三角函数的定义得sin α＝y，cos α＝x，又sin(π＋α)＝－y，cos(π＋α)＝－x，∴sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α.即诱导公式1.12sin(π＋α)＝－sin αcos(π＋α)＝－cos α思考3诱导公式1.12有何作用？答 将第三象限角的三角函数转化为第一象限角的三角函数．例1 求下列三角函数的值．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－194π；(2)cos 960°. 解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－194π＝－sin 194π＝－sin(4π＋34π) ＝－sin 34π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π－π4＝－sin π4＝－22. (2)cos 960°＝cos(240°＋2×360°)＝cos 240°＝cos(180°＋60°)＝－cos 60°＝－12. 反思与感悟 利用诱导公式求三角函数值时，先将不是[0,2π)内的角的三角函数，转化为[0,2π)内的角的三角函数，或先将负角转化为正角后，再用诱导公式化到⎣⎡⎦⎤0，π2范围内的角，再求三角函数值．跟踪训练1 求下列三角函数值．(1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π；(2)cos 296π. 解 (1)sin ⎝⎛⎭⎫－436π＝－sin 436π＝－sin(6π＋76π) ＝－sin 76π＝－sin ⎝⎛⎭⎫π＋π6＝sin π6＝12. (2)cos 296π＝cos(4π＋56π)＝cos 56π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π6 ＝－cos π6＝－32. 例2 化简：sin 2(α＋3π)cos 2(α＋π)sin (α＋π)cos 3(－α－π). 解 原式＝sin 2α·cos 2α(－sin α)·cos 3(α＋π)＝sin 2α·cos 2αsin α·cos 3α＝sin αcos α. 反思与感悟 利用诱导公式进行化简，主要是进行角的转化，最终达到角的统一，能求值的要求出值．跟踪训练2 化简：sin (2π－θ)sin (－2π－θ)cos (6π－θ)cos (2π－θ)cos (θ－π)sin (5π＋θ).解 原式＝sin (－θ)·sin (－θ)·cos (－θ)cos (－θ)cos (π－θ)·sin (π＋θ)＝(－sin θ)·(－sin θ)·cos θcos θ(－cos θ)·(－sin θ)＝sin θsin θcos θcos θcos θsin θ＝sin θcos θ. 例3 已知cos ⎝⎛⎭⎫π6－α＝33， 求cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6的值． 解 cos ⎝⎛⎭⎫56π＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6 ＝cos ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π6－α－sin 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－⎣⎡⎦⎤1－cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α ＝cos 2⎝⎛⎭⎫π6－α－cos ⎝⎛⎭⎫π6－α－1 ＝⎝⎛⎭⎫332－33－1＝－2＋33. 反思与感悟 对于给值求值问题，要注意观察题目条件中的角与所求问题中的角之间的联系，然后选择恰当的诱导公式进行转化，一般采用代入法求值．跟踪训练3 已知cos(π＋α)＝－35，π<α<2π，求sin(α－3π)＋cos(α－π)的值． 解 ∵cos(π＋α)＝－cos α＝－35，∴cos α＝35， ∵π<α<2π，∴3π2<α<2π，∴sin α＝－45. ∴sin(α－3π)＋cos(α－π)＝－sin(3π－α)＋cos(π－α)＝－sin(π－α)＋(－cos α)＝－sin α－cos α＝－(sin α＋cos α)＝－⎝⎛⎭⎫－45＋35＝15.1．求下列三角函数的值．(1)sin 690°；(2)cos ⎝⎛⎭⎫－203π. 解 (1)sin 690°＝sin(360°＋330°)＝sin 330°＝sin(180°＋150°)＝－sin 150°＝－sin(180°－30°)＝－sin 30°＝－12. (2)cos ⎝⎛⎭⎫－203π＝cos 203π＝cos(6π＋23π) ＝cos 23π＝cos ⎝⎛⎭⎫π－π3＝－cos π3＝－12.2．化简：cos (180°＋α)sin (α＋360°)sin (－α－180°)cos (－180°－α). 解 原式＝(－cos α)sin α[－sin (α＋180°)]cos (180°＋α)＝sin αcos αsin (α＋180°)cos (180°＋α)＝sin αcos α(－sin α)(－cos α)＝1. 3．化简：1＋2sin 290°cos 430°sin 250°＋cos 790°. 解 原式＝1＋2sin (360°－70°)cos (360°＋70°)sin (180°＋70°)＋cos (720°＋70°) ＝1－2sin 70°cos 70°－sin 70°＋cos 70°＝|cos 70°－sin 70°|cos 70°－sin 70°＝sin 70°－cos 70°cos 70°－sin 70°＝－1. 4．证明：2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z . 证明 当n 为偶数时，令n ＝2k ，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π)cos (α－2k π)sin (α＋2k π)＋sin (α－2k π)＝2sin αcos αsin α＋sin α＝2sin αcos α2sin α＝cos α. 右边＝(－1)2k cos α＝cos α，∴左边＝右边．当n 为奇数时，令n ＝2k －1，k ∈Z ，左边＝2sin (α＋2k π－π)cos (α－2k π＋π)sin (α＋2k π－π)＋sin (α－2k π＋π)＝2sin (α－π)cos (α＋π)sin (α－π)＋sin (α＋π)＝2(－sin α)(－cos α)(－sin α)＋(－sin α)＝2sin αcos α－2sin α＝－cos α. 右边＝(－1)2k －1cos α＝－cos α，∴左边＝右边．综上所述，2sin (α＋n π)cos (α－n π)sin (α＋n π)＋sin (α－n π)＝(－1)n cos α，n ∈Z 成立． [呈重点、现规律]1．明确各诱导公式的作用诱导公式作用 公式1.8将角转化为0～2π之间的角求值 公式1.9将负角转化为正角求值 公式1.11将角转化为0～π2之间的角求值 公式1.12将0～2π内的角转化为0～π之间的角求值 2.诱导公式的记忆这四组诱导公式的记忆口诀是“函数名不变，符号看象限”．其含义是诱导公式两边的函数名称一致，符号则是将α看成锐角时原角所在象限的三角函数值的符号．α看成锐角，只是公式记忆的方便，实际上α可以是任意角．一、基础过关1．sin 585°的值为( )A ．－22 B.22C ．－32 D.32答案 A解析 sin 585°＝sin(360°＋225°)＝sin 225°＝sin(180°＋45°)＝－sin 45°＝－22. 2．cos 660°的值为( )A ．－12B.12 C ．－32 D.32 答案 B解析 cos 660°＝cos(360°＋300°)＝cos 300°＝cos(180°＋120°)＝－cos 120°＝－cos(180°－60°)＝cos 60°＝12. 3．若sin(θ＋π)<0，cos(θ－π)>0，则θ在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 B解析 ∵sin(θ＋π)＝－sin θ<0，∴sin θ>0.∵cos(θ－π)＝cos(π－θ)＝－cos θ>0，∴cos θ<0，∴θ为第二象限角．4．已知sin(5π4＋α)＝32，则sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α的值为( ) A.12B ．－12 C.32 D ．－32 答案 D解析 sin ⎝⎛⎭⎫3π4－α＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫3π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫5π4＋α＝－32. 5．已知sin(490°＋α)＝－45，则sin(230°－α)＝ .答案 45解析 sin(230°－α)＝sin[720°－(490°＋α)]＝－sin(490°＋α)＝45. 6．已知f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)＋2，其中a 、b 、α、β为非零常数．若f (2 014)＝1，则f (2 015)＝ .答案 3解析 ∵f (2 014)＝a sin(2 014π＋α)＋b cos(2 014π＋β)＋2＝a sin α＋b cos β＋2＝1，∴a sin α＋b cos β＝－1.f (2 015)＝a sin(2 015π＋α)＋b cos(2 015π＋β)＋2＝－(a sin α＋b cos β)＋2＝－(－1)＋2＝3.7．化简：sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)，n ∈Z . 解 当n 为偶数时，n ＝2k ，k ∈Z .原式＝sin(2k π－23π)·cos(2k π＋43π) ＝sin ⎝⎛⎭⎫－23π·cos 43π ＝(－sin 23π)·cos ⎝⎛⎭⎫π3＋π ＝sin 23π·cos π3＝sin π3·cos π3＝32×12＝34. 当n 为奇数时，n ＝2k ＋1，k ∈Z .原式＝sin(2k π＋π－23π)·cos(2k π＋π＋43π) ＝sin ⎝⎛⎭⎫π－23π·cos ⎝⎛⎭⎫π＋43π＝sin π3·cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π3 ＝sin π3·cos π3＝32×12＝34. 所以sin(n π－23π)·cos(n π＋43π)＝34，n ∈Z .二、能力提升8．若cos(π＋α)＝－12，32π<α<2π，则sin(2π＋α)等于( ) A.12B ．±32 C.32 D ．－32 答案 D解析 由cos(π＋α)＝－12，得cos α＝12，α＝53π. 故sin(2π＋α)＝sin α＝sin 53π＝－sin π3＝－32(α为第四象限角)． 9．在△ABC 中，给出下列四个式子： ①sin(A ＋B )＋sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ；③sin(2A ＋2B )＋sin 2C ；④cos(2A ＋2B )＋cos 2C .其中为常数的是( )A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④答案 B解析 ①sin(A ＋B )＋sin C ＝2sin C ；②cos(A ＋B )＋cos C ＝－cos C ＋cos C ＝0； ③sin(2A ＋2B )＋sin 2C＝sin[2(A ＋B )]＋sin 2C＝sin[2(π－C )]＋sin 2C＝sin(2π－2C )＋sin 2C＝－sin 2C ＋sin 2C ＝0；④cos(2A ＋2B )＋cos 2C＝cos[2(A ＋B )]＋cos 2C＝cos[2(π－C )]＋cos 2C＝cos(2π－2C )＋cos 2C＝cos 2C ＋cos 2C ＝2cos 2C .故选B.10．下列三角函数，其中n ∈Z ，则函数值与sin π3的值相同的是 ．(只填序号) ①sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3；②sin ⎝⎛⎭⎫2n π＋π3； ③sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π3. 答案 ②③解析 对于①，当n ＝2m 时，sin ⎝⎛⎭⎫n π＋4π3＝sin 4π3＝－sin π3，∴①错； ②是正确的；对于③，sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－π3＝sin ⎝⎛⎭⎫π－π3＝sin π3， ∴③是正确的．11．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧sin πx ， x <0，f (x －1)－1， x >0，则f (－116)＋f (116)＝ . 答案 －2解析 f (－116)＝sin(－116π)＝sin π6＝12， f (116)＝f (56)－1＝f (－16)－2＝sin(－π6)－2＝－52， ∴f (－116)＋f (116)＝12－52＝－2. 12．化简：sin (k π－α)cos[(k －1)π－α]sin[(k ＋1)π＋α]cos (k π＋α)，其中k ∈Z . 解 方法一 k 为偶数时，设k ＝2m (m ∈Z )，则原式＝sin (2m π－α)cos[(2m －1)π－α]sin[(2m ＋1)π＋α]cos (2m π＋α)＝sin (－α)cos (π＋α)sin (π＋α)cos α＝(－sin α)(－cos α)－sin αcos α＝－1， k 为奇数时，可设k ＝2m ＋1(m ∈Z )仿上可得原式＝－1.方法二 由(k π＋α)＋(k π－α)＝2k π，打印版高中数学 [(k －1)π－α]＋[(k ＋1)π＋α]＝2k π，得sin(k π－α)＝－sin(k π＋α)．cos[(k －1)π－α]＝cos[(k ＋1)π＋α]＝－cos(k π＋α)．sin[(k ＋1)π＋α]＝－sin(k π＋α)．故原式＝－sin (k π＋α)[－cos (k π＋α)]－sin (k π＋α)cos (k π＋α)＝－1. 三、探究与拓展13．在△ABC 中，若sin(2π－A )＝－2sin(π－B )，3cos A ＝－2cos(π－B )，求△ABC 的三个内角．解 由条件得sin A ＝2sin B ，3cos A ＝2cos B ，平方相加得2cos 2A ＝1，cos A ＝±22， 又∵A ∈(0，π)，∴A ＝π4或34π. 当A ＝34π时，cos B ＝－32<0，∴B ∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴A ，B 均为钝角，不合题意，舍去．∴A ＝π4，cos B ＝32，∴B ＝π6，∴C ＝712π. 综上所述，A ＝π4，B ＝π6，C ＝712π.。
【精准解析】北师大版必修4一课三测：1.4.3+单位圆与诱导公式
＝ cos 225° sin 225°－sin 210°
＝
cos180°＋45°
sin180°＋45°－sin180°＋30°
＝
－cos 45°
－2 ＝ 2＝
－sin 45°＋sin 30° － 2＋1
2＋2.
22
-8-
答案： 2＋2 6．解析：原式
sinθ－π·cos
π＋θ 2
·cos－θ
＝
sin
答案：B
4．解析：由
π3－x
＋
x＋π6
＝π， 2
故
x＋π6＝π2－
π－x 3
，
有
cos
x＋π 6
＝cos
π－ 2
π－x 3
＝sin
π－x 3
＝3. 5
答案：A
5．解析：∵sin(π＋α)＋cos
π＋α 2
＝－sin
α－sin
α＝－m，
∴sin α＝m2 ，
∴cos
3π－α 2
＋2sin(6π－α)＝－sin
α－2sin
α＝－3m，故选 2
B.
答案：B
6．解析：由 cos(α－9π)＝－cos α＝－3，所以 cos α＝3，因为α∈(π，
5
5
2π)，
所以 sin α＝－ 1－cos2α＝－4， 5
cos
α－11π 2
＝－sin
α＝4. 5
答案：D
7．解析：因为
sin
α＋π 3
＝1， 3
所以
cos
π－α 6
sin
π3－x
＝3，则 5
cos
x＋π6
＝(
)
A.3
高中数学(北师大版必修4)1.4.3单位圆与诱导公式(二)
4.3 单位圆与诱导公式(二)一、基础过关1．已知f (sin x )＝cos 3x ，则f (cos 10°)的值为 ( )A ．－12 B.12 C ．－32 D.322．若sin(3π＋α)＝－12，则cos ⎝⎛⎭⎫7π2－α等于 ( ) A ．－12 B.12 C.32 D ．－323．已知sin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α的值等于 ( ) A ．－13 B.13 C ．－223 D.2234．若sin(π＋α)＋cos ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝－m ，则cos ⎝⎛⎭⎫32π－α＋2sin(2π－α)的值为 ( ) A ．－2m 3 B.2m 3 C ．－3m 2 D.3m 25．已知cos(75°＋α)＝13，则sin(α－15°)＋cos(105°－α)的值是 ( ) A.13 B.23 C ．－13 D ．－236．已知cos θ＝13，θ∈(0，π)，则cos ⎝⎛⎭⎫32π＋θ＝________. 7．若α∈(0，π2)，则点P (sin(π2＋α)，cos(π2－α))在第________象限． 8．设f (α)＝2sin (π＋α)cos (π－α)－cos (π＋α)1＋sin 2α＋cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α－sin 2⎝⎛⎭⎫π2＋α且1＋2sin α≠0，求f ⎝⎛⎭⎫－236π的值． 二、能力提升9．若sin ⎝⎛⎭⎫α＋π12＝13，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋7π12＝________. 10．若k ∈{4,5,6,7} ，且sin ⎝⎛⎭⎫k π2－α＝－sin α，cos ⎝⎛⎭⎫k π2－α＝cos α，则k 的值是________． 11．已知sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α·cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝60169，且π4<α<π2，求sin α与cos α的值． 12．化简：sin ⎝⎛⎭⎫4k －14π－α＋cos ⎝⎛⎭⎫4k ＋14π－α (k ∈Z )． 三、探究与拓展13．设f (n )＝cos ⎝⎛⎭⎫n 2π＋π4(n ∈N *)，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 015)的值．答案1．A 2.A 3.A 4.C 5.D 6.2237.一 8．解 ∵sin(π＋α)＝－sin α，cos(π－α)＝－cos α，cos(π＋α)＝－cos α，cos ⎝⎛⎭⎫3π2＋α＝sin α，sin ⎝⎛⎭⎫π2＋α＝cos α， ∴f (α)＝2(－sin α)(－cos α)＋cos α1＋sin 2α＋sin α－cos 2α＝2sin αcos α＋cos α1－cos 2α＋sin 2α＋sin α＝2sin αcos α＋cos α2sin 2α＋sin α＝cos α(2sin α＋1)sin α(2sin α＋1)＝cos αsin α. ∴f ⎝⎛⎭⎫－236π＝cos ⎝⎛⎭⎫－236πsin ⎝⎛⎭⎫－236π＝cos ⎝⎛⎭⎫4π－π6－sin ⎝⎛⎭⎫4π－π6 ＝cos π6sin π6＝ 3. 9．－1310.4 11．解 sin ⎝⎛⎭⎫－π2－α＝－cos α， cos ⎝⎛⎭⎫－5π2－α＝cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π2＋α＝－sin α. ∴sin α·cos α＝60169，即2sin α·cos α＝120169.① 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，②①＋②得(sin α＋cos α)2＝289169， ②－①得(sin α－cos α)2＝49169. 又∵α∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，∴sin α>cos α>0，即sin α＋cos α>0，sin α－cos α>0，∴sin α＋cos α＝1713，③ sin α－cos α＝713，④ ③＋④得sin α＝1213，③－④得cos α＝513. 12．解 原式＝sin ⎣⎡⎦⎤k π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤k π＋⎝⎛⎭⎫π4－α. 当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1 (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＋cos ⎣⎡⎦⎤(2n ＋1)π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎣⎡⎦⎤π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π＋⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎣⎡⎦⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0； 当k 为偶数时，设k ＝2n (n ∈Z )，则原式＝sin ⎣⎡⎦⎤2n π－⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤2n π＋⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎝⎛⎭⎫π4－α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋α ＝－sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝0. 综上所述，原式＝0.13．解 f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫π＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫32π＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋π4 ＝－sin π4－cos π4＋sin π4＋cos π4＝0. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 012)＝503[f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)]＝0. ∴f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝f (2 013)＋f (2 014)＋f (2 015)＝cos ⎝⎛⎭⎫2 0132π＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2 0142π＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫2 0152π＋π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π2＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫1 007π＋π4＋cos ⎝⎛⎭⎫1 007π＋34π ＝－sin π4－cos π4－cos 34π ＝－22－22－⎝⎛⎭⎫－22 ＝－22.。
2020-2021学年北师大版数学必修4课件：1.4.4 单位圆的对称性与诱导公式
cos(cos 1) coscos cos
1 1 1 cos 1 cos 1 cos 1 cos (1 cos)(1 cos)
= 2 =右边,所以原式得证.
1 cos2
【解题策略】 1.所谓化简,就是使表达式经过某种变形,使结果尽可能简单,也就是项数尽可 能少,次数尽可能低,函数的种类尽可能少,分母中尽量不含三角函数符号,能 求值的一定要求值. 利用诱导公式解决化简求值问题的关键是诱导公式的灵活选择,当三角函数式 中含有kπ±α, k π±α(k∈Z)时,要注意讨论k为奇数或偶数.
【典例】1.已知cos(π+α)=- 1 ,则cos（π-α）=________.
2
2.已知cos（ ）= 1 ,求cos（5 ）·sin（ 2 ） =________.
6
3
6
3
【思路导引】分析角的关系、选择适当的诱导公式求解.
【解题策略】 解决条件求值问题的策略 (1)解决条件求值问题,首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及 有关运算之间的差异及联系. (2)可以将已知式进行变形向所求式转化,或将所求式进行变形向已知式转化.
sin（ 180）cos（180 ）
【解析】原式=
cos sin
［ sin（ 180）］cos（180 ）
=
sincos
sin（ 180）cos（180 ）
=
sincos
1.
（ sin）（ cos）
角度2 先化简再求值 【典例】已知sin(α-3π)=2cos(α-4π),求 sin（ ） 5cos（2 ） 的值.
2
所以cos ( =)-sin α=-
2
.
1 2
2.若sin(π+α)+cos ( ) =-m,则cos ( 3 ) +2sin(2π-α)的值为