756 解析几何复习圆的方程
圆的解析几何方程
〖圆的解析几何方程〗圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。
和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。
圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
〖圆与直线的位置关系判断〗平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。
利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1<x2，那么：当x=-C／A<x1或x=-C／A>x2时，直线与圆相离；当x1<x=-C／A<x2时，直线与圆相交；半径r，直径d在直角坐标系中，圆的解析式为：（x-a）^2+(y-b)^2=r^2x^2+y^2+Dx+Ey+F=0=> (x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2/4+E^2/4-F=> 圆心坐标为(-D/2,-E/2)1．点与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)2=r2，点M(x0，y0)到圆心的距离为d，则有：(1)d＞r 点M在圆外；(2)d=r 点M在圆上；(3)d＜r 点M在圆内．2．直线与圆的位置关系设圆C∶(x-a)2+(y-b)=r2，直线l的方程为Ax+By+C=0，圆心(a，b)判别式为△，则有：(1)d＜r 直线与圆相交；(2)d=r 直线与圆相切；(3)d＜r 直线与圆相离，即几何特征；或(1)△＞0 直线与圆相交；(2)△=0 直线与圆相切；(3)△＜0 直线与圆相离，即代数特征，3．圆与圆的位置关系设圆C1：(x-a)2+(y-b)2=r2和圆C2：(x-m)2+(y-n)2=k2(k≥r)，且设两圆圆心距为d，则有：(1)d=k+r 两圆外切；(2)d=k-r 两圆内切；(3)d＞k+r 两圆外离；(4)d＜k+r 两圆内含；(5)k-r＜d＜k+r 两圆相交．4．其他(1)过圆上一点的切线方程：①圆x2+y2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则此点的切线方程为x0x+y0y=r2(课本命题)．②圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2(课本命题的推广)．(2)相交两圆的公共弦所在直线方程：设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0，若两圆相交，则过两圆交点的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+(F1-F2)=0．(3)圆系方程：①设圆C1∶x2+y2+D1x+E1y+F1=0和圆C2∶x2+y2+D2x+E2y+F2=0．若两圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ为参数，圆系中不包括圆C2，λ=-1为两圆的公共弦所在直线方程)．②设圆C∶x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l：Ax+By+C=0，若直线与圆相交，则过交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数)．1.求经过M(1，2）N(3，4），并且在Y轴上截得的弦长为1的圆的方程。
第04讲_圆的方程(解析版)
高中数学辅导讲义[解析版]知识图谱圆的方程知识精讲一. 圆的定义平面内到一定点距离等于定长的点的轨迹是圆. 定点是圆心，定长是圆的半径.当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了. 因此圆心和半径是一个圆最基本的要素．二．圆的标准方程1. 以点(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的标准方程为：222()()x a y b r -+-=圆心在原点的圆的标准方程：222x y r +=2. 如何根据条件求圆的标准方程：圆的标准方程222()()x a y b r -+-=中，有三个参数a b r 、、，只要求出a b r 、、，这时圆的方程就确定了． 因此确定圆的方程需三个独立条件，其中圆心是圆的定位条件，半径是圆的定形条件．一般步骤为： （1）根据题意，设所求的圆的标准方程为：222()()x a y b r -+-=；（2）根据已知条件，建立关于a b r 、、的方程组；（3）解方程组，代入所设方程，即得所求圆的标准方程． 3. 圆心的三个重要几何性质：（1）圆心在过切点且与切线垂直的直线上； （2）圆心在弦的中垂线上；（3）两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线． 三．圆的一般方程1. 将圆的标准方程222()()x a y b r -+-=展开，得22222220x y ax by a b r +--++-=，令2222, 2, D a E b F a b r =-=-=+- ，则这个方程可表示成：220x y Dx Ey F ++++=，配方得：22224224D E E F F x y +-⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .（1）当2240D E F +->时，方程220x y Dx Ey F ++++=叫做圆的一般方程，圆心为(,)22D E --22142D E F +-（2）当2240D E F +-=时，方程表示一个点(,)22D E --； （3）当2240D E F +-<时，方程没有实数解，它不表示任何图形（没有轨迹）． 2. 圆的一般方程特征：（1）没有xy 这样的二次项；（2）表示以(,)22D E --22142D E F +-三点剖析一．方法点拨1. 求圆的标准方程，需要确定圆心的坐标和圆的半径；而求圆的一般方程，则需要确定一般方程中的三个系数,,D E F ．2. 圆的标准方程明确指出了圆的圆心和半径；而圆的一般方程表明了方程形式上的特点．3. 如何选用圆的方程：一般来说，如果根据已知条件容易求得圆心坐标、半径，或需要利用圆心的坐标或半径来列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a b r 、、.如果已知条件与圆心和半径都无直接联系，一般采用圆的一般方程，再利用待定系数法求出常数,,D E F ． 4. 解决与圆有关的轨迹方程问题，步骤如下： （1）设动点坐标为(),x y ；（2）找出动点满足的条件；（3）用等式表示此条件. 化简后得到的,x y 的关系式即为轨迹方程.圆的标准方程例题1、 写出下列各圆的标准方程： （1）圆心在原点，半径为8 （2）圆心在()2,3，半径为2 （3）圆心在()2,1-且过原点例题2、 已知圆C :22()()12x a y a -++=过点(3,1)A ，那么圆心坐标为（ ） A.(1,1) B.(1,1)- C.(21,21)-或(221)D.(21,21)+-或(12,21)--例题3、 方程211(1)x y -=-- ）A.一条直线B.一条抛物线C.圆D.半圆随练1、 圆()()222x a y b r -+-=过原点，且与y 轴相切，则a b r 、、满足的条件为（ ） A.,0a r b ==B.0,0b r a =≠=C.,0a b r =≠D.0,0a r b =≠=随练2、 圆222450x y x y +++-=的半径为（ ）A.10 5 C.5 10随练3、 求圆222690x y x y +--+=关于直线250x y ++=对称的圆的方程 随练4、 若实数满足，求的最小值．圆的一般方程例题1、 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出圆心和半径． （1）222750;x y x +-+= （2）22670;x xy y x y -+++=x y 、22(2)(1)1x y ++-=22x y +（3）2224100;x y x y +--+= （4）222240;x y x +-=（5）222360;x y x +++=例题2、 已知点(1,3)A ，(2,4)B -，(0,2)C ，求过这三点的圆方程．例题3、 已知点(0,1)A -，(0,0)B ，(2,1)C -，(1,1)D ，则这四点是否在同一个圆上？请说明理由 随练1、 已知点(6,5)M -，(1,7)N ，求以线段MN 为直径的圆方程．圆的简单应用例题1、 已知圆22240x y x y a ++-+=关于直线2y x b =+成轴对称，则a b -的取值范围是________ 例题2、 已知动点A 在圆221x y +=上移动时，定点(3,0)B ，求线段AB 中点的轨迹方程．拓展1、 圆()()224325x y -++=关于原点对称的圆的方程为（ ） A.()()224325x y -+-= B.()()224325x y +++= C.()()224325x y ++-=D.()()223425x y ++-=2、 已知圆关于直线对称，则的取值范围是（）． A. B. C.D. 3、 若实数满足，则的最大值为_________．4、 若22(1)20x y x y λλλ++-++=表示圆，则λ的取值范围是（ ）A.()0,+∞B.1,14⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.()11,,5⎛⎫+∞-∞ ⎪⎝⎭ D.R5、 已知点(2,2)A ，(0,3)B ，(1,)C m ，(0,4)D 四点共圆，则m =________222410x y x y ++-+=220(,)ax by a b R -+=∈ab (1,4⎤-∞⎥⎦10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭x y 、22(2)3x y -+=y x答案解析圆的方程圆的标准方程例题1、【答案】 （1）2264x y +=（2）()()22234x y -+-=（3）()()22215x y -++= 【解析】 以点(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程：222()()x a y b r -+-= （1）2264.x y +=（2）()()2223 4.x y -+-=（3）()()2221 5.x y -++= 例题2、 【答案】 D【解析】 将(3,1)A 代入圆C 的方程．可得：()()223112a a -++= 化简得22420a a --=即2210a a --=， ∴12a =(),a a -． 例题3、 【答案】 D【解析】 由圆的标准方程()()222x a y b r -+-=得()()222x a r y b -=--， 所以a x a r ≤≤+时，有()22x a r y b -=--表示半圆；所以a r x a -≤≤时， 有()22x a r y b -=--则表示另一半圆． 随练1、 【答案】 D【解析】 由题可知()()22200a b r -+-=，与y 轴相切，则0,0r a b =≠∴= 随练2、 【答案】 D【解析】 半径为224D E Fr +-=()222451022⎛⎫⎛⎫+-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭随练3、【答案】 圆的方程为()()22471x y +++=【解析】 两圆关于直线对称，两圆的半径相等，两圆心关于直线对称圆222690x y x y +--+=的圆心为()1,3，半径为1，设点()1,3关于直线250x y ++=对称的点为(),m n ，则有()32111325022n m m n -⎧⋅-=-⎪⎪-⎨++⎪⋅++=⎪⎩解得71m n =-⎧⎨=-⎩即所求圆的圆心为()7,1--，故圆的方程为()()22711x y +++= 随练4、【答案】 65-【解析】 根据两点之间距离公式，可转化为在约束条件下的点到点的距离或距离的平方．点到圆的距离的最大值等于点到圆心的距离加上半径，点到圆的距离的最小值等于点到圆心距离和半径的差的绝对值．表示圆上的点到原点的距离的平方，圆的圆心为，半径，圆心到原点的距离圆的一般方程例题1、【答案】 （1）（2）（3）（5）不能表示圆；（4）能，圆心()1,0，半径为1 【解析】 圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，（2240D E F +->）， （1）（2）（3）（5）不满足圆的一般方程形式，故不能表示为圆 例题2、【答案】 所求圆的方程为221315022x y x y +-+-=【解析】 解法一：设所求圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，则 ()22222133024240220D E F D E F E F ⎧++++=⎪⎪+-+-+=⎨⎪++=⎪⎩解得132125D E F ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩， 所以所求圆的方程为221315022x y x y +-+-=解法二：线段AB ，BC 的中点分别为31,22M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，()1,1N -，直线AB ，BC 的斜率分别为34712AB k +==--，24302BC k +==--，所以线段AB 的中垂线为113272y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，即750x y --=线段BC 的中垂线为()1113y x +=-，即340x y --=，联立方程750340x y x y --=⎧⎨--=⎩解得13414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩即圆心坐标为131,44⎛⎫- ⎪⎝⎭，到点(1,3)A 的距离即半径221315101344r ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭例题3、【答案】 见解析【解析】 不共线的三点必共圆，任意共圆的点必满足同一个圆的方程．要判断四点是否共圆，可以先解出过其中三点的圆的方程，将第四个点代入所求方程验证是否满足．或者找到一个到各点距离相等的点，则它们共圆． 在平面直角坐标系中，容易得知ABC ∆是直角三角形，其中90BAC ∠=．所以，ABC ∆的外接圆圆心为线段BC 的中点1(1,)2M -，易求得32MD =22151(0)2MB =++=MD MB ≠所以这四点不在同一个圆上．随练1、()()22x m y n -+-()()22x m y n -+-(),x y (),m n ()()222200x y x y +=-+-()()22211x y ++-=(),x y ()0,0()2,1-1r =()22215d =-+())2251625d r ∴-==-【答案】 ()227169124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【解析】 解法一：设所求圆上任意点为(),P x y ，当点P 与点M ，N 不重合即1x ≠且6x ≠时， 因为MN 为直径，所以90MPN ∠= ∴()57161y y x x ---⋅=---∴()()()()16570x x y y --++-=，当点P 与点M 或N 重合即1x =或6x =时，将点M ，N 代入上式 ()()()()16570x x y y --++-=成立． 解法二： ()()22615713MN =-+--，所以圆的半径1322MN r == 线段MN 中点即圆心为7,12⎛⎫⎪⎝⎭，所以所圆的方程为()227169124x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭圆的简单应用例题1、【答案】 (),1-∞【解析】 圆是轴对称图形，圆关于直线对称，则直线经过圆心．依题意，可知圆22240x y x y a ++-+=的圆心()1,2-经过直线2y x b =+∴22b =-+ 解得4b =，又22240x y x y a ++-+=的半径22245022r a a ⎛⎫⎛⎫=+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭＞解得a ＜5∴41a b a -=-＜例题2、【答案】 圆的方程为223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭【解析】 求点的轨迹方程常设所求点坐标为(),x y ，再根据题意代入已知或可求得式子中求的轨迹方程．设线段AB 中点为(),x y ，因为点(3,0)B ，则点()23,2A x y -， 又点A 在圆221x y +=上，故圆的方程为223124x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭拓展1、【答案】 C【解析】 圆心(4,3)-关于原点对称的点为(4,3)-，故圆的方程为()()224325x y ++-=2、【答案】 A【解析】 依题意，可知圆的圆心经过直线∴，化简得， ∴222410x y x y ++-+=()1,2-220(,)ax by a b R -+=∈2220a b --+=1a b +=1b a =-()221111244ab a a a a a ⎛⎫=-=-+=--+≤⎪⎝⎭3、【答案】【解析】 可看作点和点连线的斜率，其中点在圆上故当取得最大值时，直线与圆相切，由几何意义和斜率的定义，可得4、【答案】 C【解析】 依题意，得()()221240λλλ-+-＞即25610λλ-+＞，解得15λ＜或1λ＞5、【答案】 2m =或5m =【解析】 设过A ，B ，C ，D 的圆方程为220x y Dx Ey F ++++= 则2222222222033044010D E F E F E F m D mE F ⎧++++=⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++++=⎩，解得2m =或5m = y x(),x y ()0,0l (),x y 22(2)3x y -+=y x l 22(2)3x y -+=maxyx ==。
圆的方程(高三一轮复习)
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解析 设圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，因为圆过点A(1,1)，B(－3,5)，
且圆心在直线2x＋y＋2＝0上，
则有1－－3a－2a＋2＋1－5b－2b＝2r＝2，r2， 2a＋b＋2＝0，
解得a＝－2，b＝2，r＝ 10， 所以所求圆的方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝10.
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(3)求解形如|PM|＋|PN|(其中M，N均为动点)且与圆C有关的折线段的最值问题的
基本思路：①“动化定”，把与圆上动点的距离转化为与圆心的距离；②“曲化
直”，即将折线段之和转化为同一直线上的两线段之和，一般要通过对称性解
决．
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针对训练
1．(2023·龙岩检测)已知A(－2,0)，B(2,0)，点P是圆C：(x－3)2＋(y－ 7 )2＝1上
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基|础|自|测
1．思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)确定圆的几何要素是圆心与半径．( √ ) (2)圆x2＋y2＝a2的半径为a.( × ) (3)方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圆的充要条件是A＝C≠0，B＝0， D2＋E2－4AF>0.( √ ) (4)若点M(x0，y0)在圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，则x20＋y02＋Dx0＋Ey0＋F>0.( √ )
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关键能力 互动探究
命题点1 求圆的方程
例1 (1)(2022·全国甲卷)设点M在直线2x＋y－1＝0上，点(3,0)和(0,1)均在⊙M 上，则⊙M的方程为 (x－1)2＋(y＋1)2＝5 .
高中数学：圆的方程(复习资料)
1．若方程 x2＋y2－4x＋2y＝a 表示圆，则实数 a 的取值范围为( )
A．(－∞，－5)
B．(－5，＋∞)
选 B.方程化为标准方程为(x－2)2＋(y＋1)2＝a＋5，有 a＋5＞0，所以 a＞－5.故选
B. 2．(2021·烟台月考)方程|y|－1＝ 1－（x－1）2表示的曲线是( )
(2)根据已知条件列出相关的函数关系式，再根据关系式的特征选用基本不等式、函数单 调性等方法求最值.
1．(2020·厦门模拟)设点 P(x，y)是圆：x2＋(y－3)2＝1 上的动点，定点 A(2，0)，B(－2， 0)，则P→A·P→B的最大值为________．
解析：由题意，知P→A＝(2－x，－y)，P→B＝(－2－x，－y)，所以P→A·P→B＝x2＋y2－4，由于 点 P(x，y)是圆上的点，故其坐标满足方程 x2＋(y－3)2＝1，故 x2＝－(y－3)2＋1，所以P→A·P→B＝ －(y－3)2＋1＋y2－4＝6y－12.易知 2≤y≤4，所以，当 y＝4 时，P→A·P→B的值最大，最大值为 6×4－12＝12.
求圆的方程的两种方法
(1)直接法 根据圆的几何性质，直接求出圆心坐标和半径，进而写出方程． (2)待定系数法 ①若已知条件与圆心(a，b)和半径 r 有关，则设圆的标准方程，依据已知条件列出关于 a， b，r 的方程组，从而求出 a，b，r 的值； ②若已知条件没有明确给出圆心或半径，则选择圆的一般方程，依据已知条件列出关于 D，E，F 的方程组，进而求出 D，E，F 的值． [提醒] 解答圆的有关问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质.
(2)方程 x2＋y2＝a2 表示半径为 a 的圆．( )
(3)方程 x2＋y2＋4mx－2y＋5m＝0 表示圆．( )
高中数学圆的方程专题复习
-- -- 高一数学辅导资料 内容：圆与方程 本章考试要求
考试内容 要求层次 A Ｂ C
圆与方程 圆的标准方程与一般方程 √ 直线与圆的位置关系 √ 两圆的位置关系 √ 用直线和圆的方程解决简单的问题 √
空间直角坐标系 空间直角坐标系 √
空间两点间的距离公式 √ 一、圆的方程 【知识要点】 1.圆心为),(baC,半径为r的圆的标准方程为：)0()()(222rrbyax 0ba时,圆心在原点的圆的方程为:222ryx.
2.圆的一般方程022FEyDxyx，圆心为点,22DE,半径2242DEFr， 其中0422FED. 3.圆系方程：过圆1C:221110xyDxEyF与圆2C:222220xyDxEyF 交点的圆系方程是22221112220xyDxEyFxyDxEyF（不含圆2C), 当1时圆系方程变为两圆公共弦所在直线方程.
【互动探究】 考点一 求圆的方程
问题１. 求满足下列各条件圆的方程： 1以两点(3,1)A，(5,5)B为直径端点的圆的方程是
2求经过)2,5(A，)2,3(B两点，圆心在直线32yx上的圆的方程;
3过点4,1A的圆C与直线10xy相切于点2,1B，则圆C的方程是？
考点二 圆的标准方程与一般方程 问题2.方程2222210xyaxayaa表示圆，则a的取值范围是
考点三 轨迹问题 问题3.点4,2P与圆224xy上任一点连线的中点轨迹方程是 -- -- 问题4．设两点3,0A，3,0B，动点P到点A的距离与到点B的距离的比为2，求P点的轨迹.
二、直线和圆、圆与圆的位置关系 【知识要点】 1.直线与圆的位置关系 将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程,设它的判别式 为△,圆的半径为r,圆心C到直线l的距离为d,则直线与 圆的位置关系满足以下关系：
高三数学知识点之圆的方程
高三数学知识点之圆的方程下面整理了高三数学知识点之圆的方程，期望大伙儿能把觉得有用的知识点摘抄下来，在空余时刻进行复习。
1、圆的定义平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为圆心，定长为圆的半径。
2、圆的方程(x-a)^2+(y-b)^2=r^2(1)标准方程，圆心(a,b)，半径为r;(2)求圆方程的方法：一样都采纳待定系数法：先设后求。
确定一个圆需要三个独立条件，若利用圆的标准方程，需求出a，b，r;若利用一样方程，需要求出D，E，F;另外要注意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必通过原点，以此来确定圆心的位置。
3、直线与圆的位置关系直线与圆的位置关系有相离，相切，相交三种情形：(1)设直线，圆，圆心到l的距离为，则有;;(2)过圆外一点的切线：①k不存在，验证是否成立②k存在，设点斜式方程，用圆心到该直线距离=半径，求解k，得到方程【一定两解】课本、报刊杂志中的成语、名言警句等俯首皆是,但学生写作文运用到文章中的甚少,即使运用也专门难做到恰如其分。
什么缘故?依旧没有完全“记死”的缘故。
要解决那个问题,方法专门简单,每天花3-5分钟左右的时刻记一条成语、一则名言警句即可。
能够写在后黑板的“积存专栏”上每日一换,能够在每天课前的3分钟让学生轮番讲解,也可让学生个人搜集,每天往笔记本上抄写,教师定期检查等等。
如此,一年就可记300多条成语、30 0多则名言警句,日积月累,终究会成为一笔不小的财宝。
这些成语典故“贮藏”在学生脑中,自然会出口成章,写作时便会为所欲为地“提取”出来,使文章增色添辉。
(3)过圆上一点的切线方程：圆(x-a)2+(y-b)2=r2，圆上一点为(x0，y0)，则过此点的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r2与当今“教师”一称最接近的“老师”概念，最早也要追溯至宋元时期。
金代元好问《示侄孙伯安》诗云：“伯安入小学，颖悟专门貌，属句有夙性，说字惊老师。
《圆的方程》 知识清单
《圆的方程》知识清单一、圆的标准方程圆的标准方程为：＄（x a)＾2 ＋（y b)＾2 ＝ r^2$，其中$（a, b)＄是圆心的坐标，＄r$是圆的半径。
这个方程的含义很直观。
我们来详细解释一下各个部分：“＄（x a)＄”表示点$x$坐标与圆心$a$坐标的水平距离；“＄（y b)＄”表示点$y$坐标与圆心$b$坐标的垂直距离。
它们的平方和等于半径$r$的平方，这就意味着，对于平面上任意一点$（x, y)＄，如果它到圆心$（a, b)＄的距离等于半径$r$，那么这个点就在圆上。
例如，圆心为$（2, 3)＄，半径为 4 的圆，其标准方程就是$（x 2)＾2 ＋（y 3)＾2 ＝ 16$。
二、圆的一般方程圆的一般方程为：＄x^2 ＋ y^2 ＋ Dx ＋ Ey ＋ F ＝ 0$（其中$D^2 ＋ E^2 4F ＞ 0$）要将一般方程转化为标准方程，可以通过配方来完成。
先把$x$和$y$分别配方：＼＼begin{align}x^2 ＋ Dx ＋＼left(＼frac{D}｛2}＼right)＾2 ＋ y^2 ＋ Ey ＋＼left(＼frac{E}｛2}＼right)＾2&＝＼left(＼frac{D}｛2}＼right)＾2 ＋＼left(＼frac{E}｛2}＼right)＾2 F\＼＼left(x ＋＼frac{D}｛2}＼right)＾2 ＋＼left(y ＋＼frac{E}｛2}＼right)＾2&＝＼frac{D^2 ＋ E^2 4F}｛4}＼end{align}＼此时，圆心坐标为$＼left(＼frac{D}｛2}，＼frac{E}｛2}＼right)＄，半径为$＼frac{＼sqrt{D^2 ＋ E^2 4F}｝｛2}＄当$D^2 ＋ E^2 4F ＝ 0$时，方程表示一个点，即圆心。
当$D^2 ＋ E^2 4F ＜ 0$时，方程不表示任何图形。
三、确定圆的方程1、已知圆心和半径，直接代入圆的标准方程。
最新高三教案-7.5圆的方程 精品
§7.5 圆的方程班级 姓名 学号例1：求圆x 2+y 2－x+2y=0关于直线L ：x －y+1=0对称的圆的方程。
例2：一圆经过A （4，2），B （－1，3）两点，且在两坐标轴上的四个截距和为2，求此圆方程。
例3：设方程x 2+y 2－2(m+3)x+2(1－4m 2)y+16m 4+9=0。
（1）当且仅当m 在什么范围内，该方程表示一个圆。
（2）当m 在以上范围内变化时，求半径最大的圆的方程。
例4：已知圆和直线x －6y －10=0相切于（4，－1），且经过点（9，6），求圆的方程。
【备用题】已知圆x 2+y 2－6x －4y+10=0，直线L 1：y=kx, L 2:3x+2y+4=0, x 在什么范围内取值时，圆 与L 1交于两点？又设L 1与L 2交于P ，L 1与圆的相交弦中点为Q ，当k 于上述范围内变化时， 求证：|OP|·|OQ|为定值。
【基础训练】1、A=C ≠0，B=0是方程Ax 2+Bx+Cy 2+Dx+Ey+F=0表示圆的 （ ）A 、充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、不充分不必要条件2、圆x 2+y 2－2x=0和x 2+y 2+4y=0的位置关系是： （ ）A 、相离B 、外切C 、相交D 、内切3、以点A(－5,4)为圆心，且与x 轴相切的圆的标准方程为： （ ）A 、(x+5)2+(y －4)2=16B 、(x －5)2+(y+4)2=16C 、(x+5)2+(y －4)2=25D 、(x －5)2+(y+4)2=164、方程x 2+y 2+Dx+Ey+F=0，（D 2+E 2－4F>0）关于直线x －y=0对称的充分条件是：A 、D=EB 、E=FC 、E=FD 、D=E 且F ≠05、若两直线y=x+2a, 和y=2x+a+1的交点为P ，P 在圆x 2+y 2=4的内部，则a 的取值范围是 。
6、方程x 2+y 2+2kx+4y+3k+8=0表示圆，则k 的取值范围是 。
圆的方程(高三数学第一轮复习)
C.(x+5)2+(y-4)2=25 D.(x-5)2+(y+4)2=16
能力提高训练：
1、已知过点A(1,4),B(3-2)且圆心到直线AB的 距离为 10 , 求这个圆的方程. 2、一圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上,且 直线y=x截圆所得弦长为2,求此圆的方程.
（A）5 2 （B）10 2 （C）15 2 （D）20 2
圆的方程(高三数学第一轮复习)
能力提高训练：
5、已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0,求: (1) y 的最大值和最小值;
x
(2)y-x的最小值; (3)x2+y2的最大值与最小值.
6.若圆（x-3）2+（y+5）2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y-
例3. 已知圆O1:x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y3=0相交于P, Q两点, 若yOP⊥OQ,求m的值.
P
O1
Q
O
x
解: 由方程组
x2 y2 x 6 y m 0,
x
2
y
3
0.
消x,得
5 y2 20 y 12 m 0.
设直线与圆的交点坐标为P(x1, y1) , Q(x2 , y2),
基础练习训练：
1、写出满足下列条件的圆的方程: (1)圆心在原点,半径为3 (2)经过点B(3,1),圆心在点C(-2,-4) (3)以A(2,5),B(0,-1)直径 (4)过三点A(1,12),(7,10),(-9,2)
基础练习训练：
圆的方程-高考数学复习
解：设圆心 C 的坐标为( a ， b ).因为圆心 C 在直线 l ： x － y ＋1＝0上，
所以 a － b ＋1＝0.
①
因为 A ， B 是圆上两点，所以｜ CA ｜＝｜ CB ｜.
根据两点间距离公式，有 ( − 1)2 ＋( − 1)2 ＝
均为动点)，要立足两点：
1. 减少动点的个数.
2. “曲化直”，即将折线段转化为同一直线上的两线段之和，一般要
通过对称性解决.
3. 设 P ( x ， y )是圆( x －2)2＋ y 2＝1上的任意一点，则( x －5)2＋( y ＋4)2的
最大值是(
A. 6
D )
B. 25
C. 26
D. 36
2
(1，0)为圆心，2为半径的圆(由于 A ， B ， C 三点不共线，所以应除去与
x 轴的交点)，
所以直角顶点 C 的轨迹方程为( x －1)2＋ y 2＝4( y ≠0).
(2)直角边 BC 的中点 M 的轨迹方程.
[解] 设 M ( x ， y )， C ( x 0， y 0)，因为 B (3，0)， M 是线段 BC 的中点，
3)在圆外；由(－2－1)2＋(2＋2)2＝25知(－2，2)在圆上；由(4－1)2＋(1
＋2)2＜25知(4，1)在圆内.
(－∞，
－2 2 )∪(2 2 ，＋∞)
关键能力 重点探究
考点一
求圆的方程
(2022·全国甲卷)设点 M 在直线2 x ＋ y －1＝0上，点(3，0)和(0，
2＋( y ＋1)2＝5
4. 已知圆 C 1：( x －2)2＋( y －3)2＝1，圆 C 2：( x －3)2＋( y －4)2＝9，