数学分析选讲第二章n

第二章实数与连续函数第1节实数及其完备性命题称集E 为完备有序域，若Ⅰ.E 是域；Ⅱ.E 是有序域，即既是域又是有序集，并且其上的次序与运算满足：∀x ,y ,z ∈E ,x ≥y ⇒x +z ≥y +z ,x ≥0与y ≥0⇒x y ≥0；Ⅲ.E 是完备的，即E 满足完备公理.所有完备有序域都保序同构([4]第4章)，即若D ,E 是完备有序域，则存在函数f :D →E ,满足f (x+y )=f (x )+f (y ),f (x y )=f (x )f (y ),x ≤y ⇒f (x )≤f (y ).因此在同构意义下完备有序域是唯一的，这样的唯一的完备有序域称为实数系，记为R,其元素称为实数.实数的公理化处理可参见[2],[4].通过构造方法可以证明完备有序域的存在性.构造方法有几种，其中，从有理数系出发构造实数系的Dedekind 分割法可参见[2],[5],Cauchy 序列法可参见[1]上册.用作完备公理的命题有很多，最常用的有：1°最小上界原理：R 的非空上有界子集有最小上界（上确界）；2°有界单调列定理（见上节）；3°闭区间套定理：若[a n ,b n ]⊃[a n +1,b n +1](n ∈N ),则存在α∈];,[1n n n b a I ∞=进一步，若lim (b n −a n )=0,则α唯一；Archimedes 性质：∀a ∈R ∃n ∈N :n >a ；4°有限覆盖定理：[a ,b ]的任意开覆盖有有限子族覆盖[a ,b ]；5°聚点原理：R 的有界无穷子集必有聚点；6°收敛子列原理：有界数列必有收敛子列；7°Cauchy 准则与Archimedes 性质；8°Dedkind 性质：若A ,B 是R 的非空子集，且a ∈A ,b ∈B 时a ≤b ,则∃c ∈R ∀a ∈A ,b ∈B 有a ≤c ≤b .在有序域中，这些命题的等价性的证明见例1.例1证明：在有序域R 中上述1°－10°是等价的.证1°⇒2°设〈a n 〉有上界、增，a =sup{a n |n ∈N }.由1°,a ∈R .由“sup”的含义，得a n ≤a (n ∈N)，且∀ε>0∃N :a N >a −ε.因此n >N 时a n >a −ε,从而a −ε<a n ≤a <a +ε,即lim a n =a .2°⇒3°先证明Archimedes 性质.设它不成立，则∃a ∈R ∀n ∈N :n ≤a .由2°,∃b =lim n .由极限定义，∃N ∈N ∀n ≥N :|n −b |<½.于是，一方面，有N +1<b +½;另一方面，由b −½<N 得b +½<N +1,矛盾.下面证明区间套定理：由条件知a n ↑,b n ↓,且∀n :a n ≤b n .由2°,∃α,β∈R 使a n ↑α,b n ↓β且∀n :a n ≤α≤β≤b n ,因此α∈I ∞=1,[n n a b n ].当lim (b n −a n )=0时，若另有x ∈I ∞=1,[n n a b n ],则∀n :|x −α|≤b n −a n →0,故x =α,I ∞=1,[n n a b n ]={α}.3°⇒4°〖反证法〗设有[a ,b ]的开覆盖O ={O λ|λ∈Λ},其有限子族不能覆盖[a ,b ].对分[a ,b ]，所得的两个子区间中必有一个不能被O 的有限子族覆盖，记为[a 1,b 1].对分[a 1,b 1]，可得[a 2,b 2]不能被O 的有限子族覆盖.如此继续，得到区间套〈[a n ,b n ]〉,其每个区间不能被O 的有限子族覆盖.由3°,b n −a n =(b −a )/2n →0〖这里用了Archimedes 性质:∀ε>0,由该性质，有正整数N >(b −a )/ε,从而n >N 时0<n a b 2−ε<−<−<N a b n a b 〗,存在唯一的α∈[a n ,b n ]⊂[a ,b ](n ∈N ),故有λ使α∈O λ.因为O λ是开区间，所以n 充分大时[a n ,b n ]⊂O λ,与[a n ,b n ]不能被O 的有限子族覆盖矛盾.4°⇒5°设E 是R 的有界无穷子集，但无聚点，即有[a ,b ]⊃E 且对任意x ∈E 存在开区间I x 使I x ∩E ={x }.于是R \E 与{I x |x ∈E }构成[a ,b ]的开覆盖〖R \E 是开集，是可数无穷个开区间的并集〗,有有限子族,设为{1x I ,…,n x I },覆盖[a ,b ],从而覆盖E .因此E ⊂E ∩(1x I ∪…∪n x I )={x 1,…,x n },与E 无穷矛盾.5°⇒6°当有界数列〈a n 〉的值域{a n }为无穷集时，由5°有聚点，设为a .对k ∈N ,取{a n }的元素k n a ∈(a −k −1,a +k −1)且n k ↑,便得到收敛于a 的子列〈k n a 〉当{a n }为有穷集时，其元素中至少有一个作为〈a n 〉的项出现无穷次，构成〈a n 〉的收敛子列.6°⇒7°设Archimedes 性质不成立，则∃a ∈R ∀n ∈N :n ≤a ,即〈n 〉是有界列.由6°有收敛子列，设为〈n k 〉且n k →b (k →∞).以下与2°⇒3°类似.设〈a n 〉为Cauchy 列.易知Cauchy 列有界，从而〈a n 〉有收敛子列,设为〈k n a 〉且k n a →a (k →∞).一方面,∀ε>0∃k ∈N ∀k >K :|kn a −a |<½ε;另一方面,∃N 1∈N ∀m ,n >N 1:|a m −a n |<½ε.因此n >N =K +N 1时|a n −a |≤|a n −N n a |+|N n a −a |<ε.7°⇒1°设E 是R 的非空、上有界子集.取a ∈E 及E 的上界b .从[a ,b ]开始，用对分法，可得区间套〈[a n ,b n ]〉使a n 不是E 的上界(注意a n 不一定属于E ),b n 是E 的上界.取x n ∈E ∩[a n ,b n ],则〈x n 〉是Cauchy 列〖由Archimedes 性质，∀ε>0∃N ∈N 使(b −a )/2N <ε.因此∀m ,n ∈N ,m ,n >N 时，由x m ,x n ∈[a N ,b N ]得|x m −x n |≤|b N −a N |≤(b −a )/2N <ε〗,收敛,设lim x n =α,则α为E 的最小上界.事实上，由lim b n =α〖|b n −α|≤|b n −x n |+|x n −α|≤|b n −a n |+|x n −α|〗及b n 是上界知α是上界；而∀ε>0∃x n >α−ε,即比α小的数都不是上界.1°⇒8°由条件得sup A ∈R ,inf B ∈R ,取c =½(sup A +inf B ).8°⇒1°设A 非空，有上界，B 是A 的所有上界之集，则A ,B 满足8°的条件.由8°,∃c ∈R ∀a ∈A ,b ∈B :a ≤c ≤b .因此c 是A 的上界，c ∈B ,从而是B 的最小元.注1完备性公理还有其它等价形式，如：R 的紧子集上的连续函数有界；R 的紧子集上的连续函数一致连续；R 的非空紧集套之交非空；R 上的单调函数在每一点有左、右极限等等.详见[5].注2对实数系所说的“完备性”又称“次序完备”.从1°⇔7°可知：次序完备⇔度量完备(每个Cauchy 列收敛)+Archimedes 性质.1°－7°的等价性的证明还可这样进行：1°⇒4°⇒5°⇒6°⇒7°⇒2°⇒3°⇒1°,见下例.例2证明1°⇒4°，7°⇒2°，3°⇒1°.证1°⇒4°设O 是[a ,b ]的开覆盖，A ={x ∈[a ,b ]|[a ,x ]可被O 的有限子族覆盖}〖下面只要证明b ∈A 〗,则A 非空〖a ∈A 〗,有上界.设α=sup A ,则1)α∈A ：显然,α∈[a ,b ],故可设α∈(λ,µ)∈O .由最小上界的定义,存在x 0∈(λ,α)∩A .因为[a ,α]=[a ,x 0]∪[x 0,α],而[a ,x 0]可被O 的有限子族覆盖,[x 0,α]⊂(λ,µ),故α∈A .2)α=b ：由x ≤b 得α≤b .若α<b ,则有x 1∈(α,µ)∩[a ,b ],从而[a ,x 1]由(λ,µ)及覆盖[a ,α]的O 的有限子族所覆盖.因此x 1∈A ,x 1>α=sup A ,矛盾.7°⇒2°设〈a n 〉增,有上界M 〖只须证明〈a n 〉是Cauchy 列〗.若它不是Cauchy 列,则∃ε>0∀N ∈N ∃m ,n ∈N 使m >n ≥N 且a m −a n >ε.因此,对N =1存在n 2>n 1>1使2n a 1n a −>ε,对n 2存在n 3>n 2使3n a 2n a −>ε,如此继续.由Archimedes 性质,所得到的子列〈k n a 〉无界，从而〉〈n a 无界，与条件矛盾.因此〉〈n a 是Cauchy 列，收敛.3°⇒1°与例1中7°⇒1°同样地得到区间套〈[a n ,b n ]〉后,用3°得到α使n →∞时a n ↑α,b n ↓α.由b n 是E 的上界得α是E 的上界.另一方面，若有E 的上界M <α,则由a n →α知n 充分大时a n >M ,这不可能.因此α是最小上界.实数的完备性命题都可用于确定某个具有某种性质的点.有界单调列定理与Cauchy 准则通常用于判断数列的收敛性,即收敛数列的极限点.确界定理所确定的点,通常是具有或不具有某种性质的“分界点”.应用确界定理时,通常把具有某种性质的所有点作成一个集.聚点原理与收敛子列原理的条件已经指明了在何种场合使用它们.在证题时,常常用反证法得到它们所需要的条件.区间套定理把对象在区间上的性质(整体性质)收缩为某个点附近的性质(局部性质),其要点是:设区间I 1具有性质P ,并且对分I 1得到的两个区间之一必有P,则可得到区间套{I n |n ∈N }及其公共点α,由于n 充分大时α的邻域包含I n ,所以在α的任何邻域内有性质P.由于用“对分法”作区间套的程式比较固定,因而便于应用.有限覆盖定理则把局部性质扩展成整体性质,其应用程式通常是:设有界闭集A 的每个点有邻域具有性质P,所有邻域之集当然覆盖A ,因而有有限个邻域覆盖A ,当性质P 可以从有限个集扩展到它们的并集上时,A 就具有性质P.例3设a n >0,,0lim 21=+++n n n a a a 证明〈a n 〉无界.证设〈a n 〉有界,0<a n <M ,则〈a n 〉有收敛子列,仍记为〈a n 〉并设lim a n =a .一方面,由21+++n n n a a a Ma n 2>>0得a =0;〖下面证明a n 不可能趋于0,即有无穷个a n 大于某个正的常数〗另一方面,由条件知∃N ∈N ∀n ≥N :a n <½(a n +1+a n +2)≤max {a n +1,a n +2}.因此a N <max {a N +1,a N +2},a N +1<max {a N +2,a N +3},…,从而有无穷个a n >a N ,矛盾.例4设f :[a ,b ]→R .证明:若在[a ,b ]的每一点处极限都存在,则对任意ε>0,[a ,b ]中使f 的函数值与极限值之差大于ε的点只有有限个.证即证:对任何ε>0,E ε={x ∈[a ,b ]:|f (x )−)(lim y f xy →|>ε}是有限集.〖用反证法:E ε无穷时有聚点x 0,而在x 0极限不存在〗设有ε0使0εE 是无穷集,则它有聚点x 0∈[a ,b ],因而有〈x n 〉使lim x n =x 0且|f (x n )−)(lim y f n x y →|>ε0.〖下面用Cauchy 准则证明)(lim 0y f x y →不存在,即在x 0附近总能找到s ,t 使|f (s )−f (t )|>ε0.事实上,其中之一,如s ,可取成n 充分大时的x n ,t 可从满足)(lim y f s y →>f (s )+ε0或)(lim y f sy →<f (s )−ε0的y 中去找〗∀δ>0,任取满足0<|x n −x 0|<δ/2的一个x n 为s ,则)(lim y f s y →>f (s )+ε0或)(lim y f sy →<f (s )−ε0,设为前者,则存在t 使0<|t −s |<δ/2且f (t )>f (s )+ε0.因此∀δ>0∃s ,t 使0<|s −x 0|<δ/2<δ,0<|t −x 0|≤|t −s |+|s −x 0|<δ,但|f (s )−f (t )|>ε0.由Cauchy 准则)(lim 0y f x y →不存在,与条件矛盾.例5证明闭集套定理:若〈F n 〉是R 的非空有界闭集列,F 1⊃F 2⊃…,则I ∞=1n n F ≠∅;若还有lim diam F n =0(diam F n 表示F n 的直径),则存在唯一的x ∈I ∞=1n n F .证取x n ∈F n ,则〈x n 〉有界,有收敛子列,设为〉〈k n x 且k n x →x .对固定的k ,n k ≥k ,从而k n x ,1+k n x ,…∈k n F ⊂F k ,由F k 闭得x ∈I ∞=1n n F .若diam F n →0,而有y ≠x 使y ∈I ∞=1n n F ,则对所有n ,diam F n ≥x 与y 的距离>0,矛盾.区间套定理、闭集套定理、有限覆盖定理、聚点原理、收敛子列原理与Cauchy 准则都可推广到n 维欧氏空间R n .第2节连续函数设函数f :A ⊂R →R ,a ∈A .若∀ε>0∃δ>0∀x ∈A ∩(a −δ,a +δ):|f (x )−f (a )|<ε,即∀ε>0∃δ>0使f (A ∩(a −δ,a +δ))⊂(f (a )−ε,f (a )+ε),则称f 在a 连续.若f 在A 的每个点连续，则称f 在A 上连续.f 在a 连续⇔①对f (a )的任何邻域V ,存在a 的邻域U ,使f (A ∩U )⊂V⇔②ω(f ,a )=0,这里ω(f ,a )=)(sup (lim 0x f U A x ∩∈+→δ))(inf x f U A x ∩∈−称为f 在a 的振幅，其中U =(a −δ,a +δ)当a 是A 的聚点时，还⇔③)()(lim a f x f a x =→⇔④f (a +0)=f (a −0)=f (a )⇔⑤∀x n ∈A ,x n →a :f (x n )→f (a ).f 在A 上连续⇔对R 的任何开(闭）子集V ,存在R 的开（闭）子集U ,使f −1(V )=A ∩U .特别地，f :R →R 连续⇔开（闭）集的逆象是开（闭）集.对多元实值函数f :A ⊂R m →R ，上述①,②,③,⑤仍成立，但其中的(a −δ,a +δ)需改取为a 的球邻域B (a ,δ)或方邻域.对闭区间上的连续函数,有下列重要的Weierstrass 逼近定理闭区间上的连续函数可由多项式一致逼近,即,若f :[a ,b ]→R 连续,则对任意ε>0,有多项式P 使bx a ≤≤sup |f (x )−P (x )|<ε.以2π为周期的连续函数可由三角多项式一致逼近.例6证明函数f 在a 连续的上述等价命题②.证记M δ=)(sup x f U A x ∩∈,m δ=)(infx f U A x ∩∈.若a 为孤立点，则∀δ,M δ=m δ=f (a ),ω(f ,a )=0.设a 是聚点.⇒设f 在a 连续，则∀ε>0∃δ>0∀x ∈A ∩U :f (a )−ε<f (x )<f (a )+ε.因此M δ≤f (a )+ε,m δ≥f (a )+ε,M δ−m δ≤2ε,ω(f ,a )≤2ε.由ε任意，得ω(f ,a )=0.⇐设ω(f ,a )=0,则∀ε>0∃δ>0:M δ−m δ<ε.因为x ∈A ∩U 时m δ≤f (x )≤M δ,而m δ≤f (a )≤M δ,故∀x ∈A ∩U :|f (x )−f (a )|≤M δ−m δ<ε,即f 在a 连续.例7证明函数f 在a 连续⇔对A 中收敛于a 的每个单调列〈a n 〉有lim f (a n )=f (a ).证a 为孤立点时，A 中收敛于a 的每个单调列〈a n 〉当n 充分大时必有a n =a ,从而结论成立.设a 是聚点.若f 在a 连续，则由⑤,必要性得证.反之,设f 在a 间断,则存在ε0>0与a n ∈A ,使a n →a 但|f (a n )−f (a )|≥ε0.任何数列都有单调子列,故对〈a n 〉的单调子列,仍记为〈a n 〉,一方面有|f (a n )−f (a )|≥ε0,另一方面由条件有lim f (a n )=f (a ),矛盾.例8证明:f :A ⊂R m →R 连续⇔对R 的任何开子集V ,存在R m 的开子集U ,使f −1(V )=A ∩U .证⇒若f −1(V )=∅,则取U =∅便可.设f −1(V )≠∅.∀a ∈f −1(V ),f (a )∈V .因为V开,故存在ε使(f (a )−ε,f (a )+ε)⊂V .因为f 在a 连续,故有δ>0使f (B (a ,δ)∩A )⊂(f (a )−ε,f (a )+ε)⊂V .因此B (a ,δ)∩A ⊂f −1(V ).设U =),,()(1δa B V f a −∈U 则U 满足要求.⇐设a ∈A .对任意正数ε,区间I =(f (a )−ε,f (a )+ε)开.由条件,存在开集U 使f −1(I )=A ∩U .因为f (a )∈I ,所以a ∈f −1(I ),a ∈U .由U 开,存在δ使B (a ,δ)⊂U .因此当x ∈B (a ,δ)∩A 时x ∈A ∩U =f −1(I ),f (x )∈I .由定义,f 在a 连续.例9证明:若对任意实数c ,{x ∈A |f (x )<c }与{x ∈A |f (x )>c }都是开集(或{x ∈A |f (x )≤c }与{x ∈A |f (x )≥c }都是闭集),则f 连续.当A 是开集时逆命题成立.证〖仿上例充分性的证明,下面证明中的G 就是上面的f −1(I )〗设a ∈A .对任意正数ε,集G ={x ∈A |f (a )−ε<f (x )<f (a )+ε}={x ∈A |f (x )<f (a )+ε}∩{x ∈A |f (x )>f(a )−ε}是开集.因为a ∈G ,故有B (a ,δ)⊂G.因此A ∩B (a ,δ)⊂G ,即f 在a 连续.反之,设A 开,注意{x ∈A |f (x )<c }=f −1((−∞,c )),{x ∈A |f (x )>c }=f −1((c ,∞)).应用例8得证(请读者不用例8而直接证明).例10设f :R →R 无界.证明:f 连续⇔f 的图象Gr f ={(x,y )|x ∈R ,y =f (x )}是R 2的闭集.证⇒设(x n ,f (x n ))∈Gr f ,(x n ,f (x n ))→(x ,y ),则f (x n )→y ,x n →x .由f 连续,得f (x n )→f (x ),故y =f (x ),(x ,y )∈Gr f .因此Gr f 闭.⇐设x ∈R ,x n →x .〖要证f (x n )→f (x ),只须证〈f (x n )〉的任一子列都有子列收敛于f (x )〗设〈f (k n x )〉是〈f (x n )〉的子列.因为f 有界,故〈f (k n x )〉有界,有收敛子列,仍记为〈f (k n x )〉且设f (k n x )→y ,则(k n x ,f (k n x ))→(x ,y ).因为(k n x ,f ())∈Gr f ,Gr f 闭,故(x ,y )∈Gr f ,y =f (x ).这样,〈f (x n )〉的任一子列都有子列收敛于f (x ),从而f (x n )→f (x ),f 在x 连续.注f 无界时不成立.例如:由f (0)=0,f (x )=x −1(x ≠0)定义的f 不连续,而Gr f 闭.例11证明:定义在（闭）区间上的严格单调函数的反函数连续.证设f :[a ,b ]→R 严格增,x 0∈(a ,b ),y 0=f (x 0).要证f −1在y 0连续,即∀ε>0∃δ>0,当y ∈f ([a ,b ])且|y −y 0|<δ时|f −1(y )−f −1(y 0)|=|f −1(y )−x 0|<ε.因为f −1严格增,y 0−δ<y <y 0+δ时f −1(y 0−δ)<f −1(y )<f −1(y 0+δ),所以只要使f −1(y 0+δ)<x 0+ε,f −1(y 0−δ)>x 0−ε,便可得证.因此δ满足y 0+δ<f (x 0+ε)与y 0−δ>f (x 0−ε),即取δ<f (x 0+ε)−f (x 0)与f (x 0)−f (x 0−ε)便可.当x 0=a 或b 时可类似地证明.注上述证明显然对定义在任意区间〈a ,b 〉上的f 都成立.注意这个命题的条件不要求f 本身连续,但定义域必须是区间.如果不是区间,即使f 连续,也不能保证f −1连续.例12若(1)∀x ∈R f (x )=f (2x )且f 在x =0处连续,或(2)∀x ∈R f (x )=f (x 2)且f 在x =0与x =1处连续,则f 是常值函数.证1)∀x ∈R f (x )=f (x /2)=…=f (x /2n ),令n →∞得f (x )=f (0).2)x >0时).()()(2n x f x f x f ===L 令n →∞得f (x )=f (1).x <0时x 2>0,故f (x )=f (x 2)=f (1).x =0时f (0)=)(lim 0x f x →=)1(lim 0f x →=f (1).例13设f :[a ,b ]→R 连续.1)若f (a )=f (b )=0,且∀x ,x ′∈[a ,b ]:)2(x x f ′+=21(f (x )+f (x ′),则f =0.2)若在1)中去掉条件f (a )=f (b )=0,则f 为一次函数或常值函数.证(1)用数学归纳法易知:∀n ∈N f (a +m 2−n (b −a ))=0,其中m =0,1,2,…,2n .因为x ∈[a ,b ]可表示为形如x n =a +m 2−n (b −a )的数列〈x n 〉的极限〖例如x =lim (a +2−n2[ab a x n −−(b −a ))〗,所以f (x )=lim f (x n )=0.(2)〖f 为一次函数时表示的直线经过点(a ,f (a )),(b ,f (b )),其方程为y =a b a f b f −−)()((x −a )+f (a ),故问题化为证明f (x )−(a b a f b f −−)()((x −a )+f (a ))=0.应用(1)〗设g (x )=f (x )−(ab a f b f −−)()((x −a )+f (a )),易知g 满足(1)的条件,故g =0.当f (a )=f (b )时f 为常值函数,当f (a )≠f (b )时f 为一次函数.例14证明:不是常值函数的连续周期函数必有最小正周期,且其它周期是其整数倍.证设T 是连续函数f 的一个正周期且f 没有最小正周期,则在[0,T ]中有f 的无穷个周期,从而有聚点,设为a .〖下面证明f 取常值f (a ),为此只须证明f 在[0,T ]中取常值f (a )〗设b ∈[0,T ].由f 在b 连续,∀ε>0∃δ>0∀x ∈(b −δ,b +δ):|f (x )−f (b )|<ε.由周期性,存在n ∈N 及f 的某个周期t 使x 0=nt +a ∈(b −δ,b +δ).因此|f (b )−f (a )|≤|f (b )−f (x 0)|+|f (x 0)−f (a )|=|f (b )−f (x 0)|<ε.由ε任意,得f (b )=f (a ),从而∀x ∈R :f (x )=f (a ).例15设f :R →R 增,)(lim x f x −∞→=0,)(lim x f x ∞→=1.证明由g (t )=inf {x |f (x )>t }(0<t <1)定义的函数g 右连续.证显然,g 是增函数.设t 0∈(0,1),ε>0.由g (t 0)=inf {x |f (x )>t 0}及inf 的定义,对此ε,有x 0使f (x 0)>t 0,g (t 0)≤x 0<g (t 0)+ε.取δ=f (x 0)−t 0,则δ>0,且t 0<t <t 0+δ=f (x 0)时x 0∈{x |f (x )>t },x 0≥g (t ),g (t 0)≤g (t )≤x 0≤g (t 0)+ε,即g 在t 0右连续.例16设f :[a ,b ]→R 连续.证明函数M (x )=sup {f (t )|a ≤t ≤x }与m (x )=inf {f (t )|a ≤t ≤x }在[a ,b ]上连续.证由M (x )=−inf {−f (t )|a ≤t ≤x }及−f 连续,只须证函数m 连续.设x 0∈[a ,b ],则f (x 0)≥m (x 0).〖请读者作出m 的图象,有助于理解下面的证明〗若f (x 0)>m (x 0),则有x 0的邻域U ,在U 上f (x )>m (x 0),从而在U 上m (x )=m (x 0),m 在x 0连续.若f (x 0)=m (x 0),则由f 在x 0连续,∀ε>0∃δ>0,当|x −x 0|≤δ时|f (x )−f (x 0)|=|f (x )−m (x 0)|<ε,即m (x 0)−ε<f (x )<m (x 0)+ε.取下确界,得m (x 0)−ε≤m (x )<m (x 0)+ε,即m 在x 0连续.例17设f :R →R 增,连续,〈x n 〉有界.证明:f (lim x n )=lim f (x n ),f (lim x n )=lim f (x n ).证设β=lim x n .由〈x n 〉有界知β∈R ,因而f 在β连续,∀ε>0∃δ>0,当|x −β|≤δ时|f (x )−f (β)|<ε.〖要证明lim f (x n )=f (β),即∀ε>0,n 充分大时f (x n )<f (β)+ε,有无穷个n 使f (x n )>f (β)−ε.因为f 增,f (β)−ε<f (β±δ)<f (β)+ε,故只须n 充分大时x n <β+δ,有无穷个n 使x n >β−δ,而这可从β的定义得到〗由β的定义,∃N ∈N ∀n >N :x n <β+δ,有无穷个n 使x n >β−δ.因此n >N 时f (x n )≤f (β+δ)<f (β)+ε,有无穷个n 使f (x n )≥f (β−δ)<f (β)−ε,即lim f (x n )=f (β).另一等式可类似地证明.若A ⊂E ,且E 的点或属于A 或是A 的聚点,则称A 是E 的稠密子集或A 稠密于E .这时,对a ∈E ,有a n ∈A 使a n →a (n →∞).易证下列命题:(恒等延拓原理)若A 稠密于E ,f ,g :E →R 连续且在A 上相等,则f =g ;(不等延拓原理)若A 稠密于E ,f ,g :E →R 连续且在A 上f ≤g ,则f ≤g .例18(连续延拓原理)设A 稠密于E ,g :A →R 连续.证明:存在g 对E 的唯一的连续延拓f (即f 在E 上连续,在A 上等于g )的充分必要条件是∀a ∈E ,L =Ax a x ∈→,lim g (x )∈R .证⇒设a ∈E .因为f 在a 连续,在A 上f =g ,故f (a )=E x a x ∈→,lim f (x )=A x a x ∈→,lim f (x )=L .⇐对a ∈E ,由f (a )=L 定义f ,则f 即为所求.事实上,对a ∈A ,因为g 连续,故g (a )=L =f (a ),即f 是g 的延拓.又,设a ∈E ,由极限定义,∀ε>0∃δ1>0,当t ∈A ,0<|t −a |<δ1时|g (t )−f (a )|<ε.设x ∈E ,|x −a |<δ=δ1/3.由f (x )的定义,∃δ2使t ∈A ,0<|t −x |<δ2时|g (t )−f (x )|<ε.对这样的t ,|t −a |≤|t −x |+|x −a |<2δ<δ1,故|f (x )−f (a )|≤|f (x )−g (t )|+|g (t )−f (a )|<2ε,即f 在a 连续.例19当下列条件之一成立时二元函数z =f (x ,y )连续:1°偏导数f x ,f y 有界;2°f 关于x 连续,f y 有界;3°f 关于x 连续,关于y 对x 满足Lipschtz 条件(∃L >0∀(x ,y 1),(x ,y 2):|f (x ,y 1)−f (x ,y 2)|≤L |y 1−y 2|);4°f 关于x 连续,关于y 对x 一致连续(∀ε>0∃δ>0,当|y 1−y 2|<δ时∀x 有|f (x ,y 1)−f (x ,y 2)|<ε);5°f 关于x ,y 连续,关于x 或y 单调.证4°|f (x ,y )−f (x 0,y 0)|≤|f (x ,y )−f (x ,y 0)|+|f (x ,y 0)−f (x 0,y 0)|.因为f 关于x 连续,故∀ε>0∃δ1>0,当|x −x 0|<δ1时|f (x ,y 0)−f (x 0,y 0)|<ε/2.又.∃δ2>0,使|y −y 0|<δ2时|f (x ,y )−f (x ,y 0)|<ε/2.取δ=min{δ1,δ2},则|x −x 0|<δ,|y −y 0|<δ时|f (x ,y )−f (x 0,y 0)|<ε,即f 在(x 0,y 0)连续.5°设f 关于x 增.因为f 关于x 连续,故∀ε>0∃δ1>0,当|x −x 0|≤δ1时|f (x ,y 0)−f (x 0,y 0)|<ε/2.因为f 关于y 连续,故∃δ2>0,使|y −y 0|≤δ2时|f (x 0±δ1,y )−f (x 0±δ1,y 0)|<ε/2.取δ=min{δ1,δ2},则|x −x 0|≤δ,|y −y 0|≤δ时f (x ,y )−f (x 0,y 0)≤f (x 0+δ,y )−f (x 0,y 0)<f (x 0+δ,y 0)+ε/2−f (x 0,y 0)<ε,f (x 0,y 0)−f (x ,y )≤f (x 0,y 0)−f (x 0−δ,y )<f (x 0,y 0)+ε/2−f (x 0−δ,y 0)<ε,即|f (x ,y )−f (x 0,y 0)|<ε,f 在(x 0,y 0)连续.第3节一致连续性设f :A ⊂R →R .若∀ε>0∃δ>0,使当x ,y ∈A 且|x −y |<δ时|f (x )−f (y )|<ε,则称f 在A 上一致连续.例20f 在A 上一致连续⇔1°对A 中任意点列〈x n 〉,〈y n 〉,当lim (x n −y n )=0时lim (f (x n )−f (y n ))=0⇔2°,0)(lim 0=+→δωδf 其中ωf (δ)=sup {|f (x )−f (y )||x ,y ∈A ,|x −y |<δ}称为f 的连续性模〖易知ωf 是δ的非负增函数〗.证1°⇒由f 一致连续,∀ε>0∃δ>0,使当x ,y ∈A 且|x −y |<δ时|f (x )−f (y )|<ε.因为lim (x n −y n )=0,故n 充分大时|x n −y n |<δ,从而|f (x n )−f (y n )|<ε.⇐设f 不一致连续,则∃ε>0∀δ>0,∃x ,y ∈A 使|x −y |<δ但|f (x )−f (y )|≥ε.取δ=1/n ,可得A 中两个点列〈x n 〉,〈y n 〉,满足|x n −y n |<1/n 但|f (x n )−f (y n )|≥ε,与条件矛盾.2°⇒因为f 一致连续,故∀ε>0∃δ1>0,使当x ,y ∈A 且|x −y |<δ1时|f (x )−f (y )|<ε.因此ωf (δ1)≤ε.因为ωf 增,所以0<δ<δ1时0≤ωf (δ)≤ωf (δ1)≤ε,即ωf (δ)→0(δ→0+).⇐由条件,∀ε>0∃δ>0使0≤ωf (δ)<ε.因此当x ,y ∈A 且|x −y |<δ时|f (x )−f (y )|≤ωf (δ)<ε,即f 一致连续.有界闭集上的连续函数一致连续.一致连续函数之和一致连续.在有界集上一致连续的函数有界.在有界集上一致连续的两个函数之积一致连续〖无界时可不正确.如f (x )=g (x )=x ,x ∈R 〗.一致连续函数的复合函数一致连续.若f 在A 上一致连续,则f 在A 的子集上也一致连续〖用更标准的术语:一致连续函数的限制一致连续〗.满足k (0<k ≤1)阶Hölder 条件(即∃L ≥0∀x ,y ∈A :|f (x )−f (y )|≤L |x −y |k ,也称k 阶Lipschtz 条件)的函数一致连续.有有界导(函)数的可微函数一致连续.若f 在开区间I 上连续,且在I 的两个端点有有限(单侧)极限,则f 在I 上一致连续;当I 为有限区间时逆命题也成立.特别地,I 上的有界连续单调函数一致连续.若f :[a ,∞)→R 连续且x →∞时f 有有限极限,则f 在[a ,∞)上一致连续;特别地,渐近于一致连续函数的连续函数(例如有斜渐近线的连续函数)是一致连续的,即,若在[a ,∞)上f 连续,g 一致连续,∞→x lim (f (x )−g (x ))=0,则f 一致连续〖由条件得f −g 一致连续,故f =(f −g )+g 一致连续〗.例21证明:一致连续函数把Cauchy 列映为Cauchy 列,即,若f 在A 上一致连续,〈x n 〉是A 中的Cauchy 列,则〈f (x n )〉是Cauchy 列.当A 有界时逆命题成立.证∀ε>0∃δ>0,当x ,y ∈A 且|x −y |<δ时|f (x )−f (y )|<ε.对此δ,∃N ∈N ∀m ,n >N :|x m −x n |<δ,因而|f (x m )−f (x n )|<ε,〈f (x n )〉是Cauchy 列.反之,设f 不一致连续,则有ε>0及A 中的点列〈x n 〉,〈y n 〉,使lim (x n −y n )=0但|f (x n )−f (y n )|≥ε.因为A 有界,故〈x n 〉有收敛子列,设为〈k n x 〉且k n x →α(k →∞).此时由k n y =k n y −k n x +k n x 得k n y →α,故点列,1n x ,1n y ,2n x ,2n y ,L k n x ,k n y ,…的极限为α,从而是Cauchy 列,但它的象),(1n x f ),(1n y f ,L f (k n x ),f (k n y ),…不是Cauchy 列,因为|f (k n x )|)(k n y f −≥ε.注条件“A 有界”不可去.如函数f (x )=x 2不一致连续,但它把Cauchy 列映为Cauchy 列.又,本例提供了“有界闭集上的连续函数一致连续”的一种证明:设f 在有界闭集A 上连续,〈x n 〉是A 中的Cauchy 列,则∃α=lim x n 且由A 闭知α∈A .因此lim f (x n )=f (α),〈f (x n )〉是Cauchy 列.因为A 有界,所以f 在A 上一致连续.例22设A ,B 是R 的两个区间,函数f 在A ,B 上一致连续,考察f 在A ∪B 上的一致连续性.解设A ,B 相交,则f 在A ∪B 上一致连续.事实上,由f 在A ,B 上一致连续,∀ε>0∃δ>0当x 1,x 2∈A 且|x 1−x 2|<δ时|f (x 1)−f (x 2)|<ε/2,当y 1,y 2∈B 且|y 1−y 2|<δ时|f (y 1)−f (y 2)|<ε/2.设x ,y ∈A ∪B ,|x −y |<δ,则当x ,y ∈A 或x ,y ∈B 时|f (x )−f (y )|<ε/2<ε;当x ∈A ,y ∈B 时∃z ∈A ∩B 使|x −z |<δ,|y −z |<δ,从而|f (x )−f (y )|≤|f (x )−f (z )|+|f (y )−f (z )|<ε.设A ,B 不相交,有三种情形:1°A =〈a ,b 〉,B =〈c ,d 〉且b <c .设x n ,y n ∈A ∪B ,lim (x n −y n )=0,则n 充分大时x n −y n <c −b ,从而n 充分大时x n ,y n 均∈A 或B .因此由f 在A ,B 上一致连续得lim (f (x n )−f (y n ))=0,f 在A ∪B 上一致连续.2°A =〈a ,b ),B =(b ,d 〉.这时f 不一定在A ∪B 上一致连续.例如f (x )=|sin x |/x 在〈a ,0),(0,d 〉上一致连续,而在其并集上不一致连续〖取x n =1/n ∈(0,d 〉,y n =−1/n ∈〈a ,0),则lim (x n −y n )=0,而lim (f (x n )−f (y n ))=2〗.3°A =〈a ,b ],B =(b ,d 〉或A =〈a ,b ),B =[b ,d 〉.这时f 不一定在A ∪B 上一致连续.例如设x ≥0时f (x )=x ,x <0时f (x )=x +1,则f 在[0,d 〉及〈a ,0)上一致连续,但在其并集〈a ,d 〉上不一致连续,因为它不连续.综上所述,当A ,B 相交或A ,B 的距离大于0时f 在A ∪B 上一致连续.例23考察函数f (x )=|x |p (x ∈R ,p >0)的一致连续性.解在任何闭区间[a ,b ]上显然一致连续.在[b ,∞)(b >1)上,当0<p ≤1时0<f ′(x )=px p −1<1,故f 一致连续;当p >1时,取x n =(n +1)1/p ,y n =n 1/p ,则x n ,y n ∈[b ,∞),lim (x n −y n )=0,lim (f (x n )−f (y n ))=1,故f 不一致连续.因为f 是偶函数,所以在(－∞,−b ]上情况一样.综上所述,当0<p ≤1时f 在R 上一致连续,当p >1时不一致连续.例24设,1sin 12)(xx x x f ++=a >0.证明f 在(0,a )内不一致连续,在(a ,∞)上一致连续.证取b 使0<b <a .因为x →∞时f (x )→0,f 在[b ,∞)上连续,故f 在[b ,∞)上一致连续,从而在(a ,∞)上一致连续.在(0,a )内取x n =(2n π+½π)−1,y n =(2n π−½π)−1,则n 充分大时x n ,y n ∈(0,a ),lim (x n −y n )=0,|f (x n )−f (y n )|>2,故f 不一致连续.〖或由)(lim 0x f x →不存在得证〗例25设a >0,f :[a ,∞)→R 一致连续.证明f (x )/x 在[a ,∞)上有界.〖逆命题不成立,如f (x )=sin x 2〗证存在δ>0使|x 1−x 2|≤δ时|f (x 1)−f (x 2)|<1.对x ≥a ,存在n ∈N 使a +(n −1)δ≤x <a +n δ,从而|f (x )|≤|f (x )−f (a +(n −1)δ)|+|f (a +(n −1)δ)−f (a +(n −2)δ)|+…+|f (a +δ)−f (a )|+|f (a )|≤n +|f (a )|.因此x ≥a 时.2|)(|) 1(1|)(||)(||)(|δ+=+≤+≤a a f n a a f x n x a f x x f 或时例26设在(a ,b )(a ,b ∈R*)内f 连续,f 2一致连续.证明f 一致连续.证设f 不一致连续,则存在ε>0与x n ,y n ∈(a ,b )使lim (x n −y n )=0而|f (x n )−f (y n )|>ε(n ∈N ).因为f 2一致连续,所以0=lim (f 2(x n )−f 2(y n ))=lim (f (x n )−f (y n ))(f (x n )+f (y n )),lim (f (x n )+f (y n ))=0.因此存在N ∈N ,当n >N 时|f (x n )+f (y n )|<ε.1°若存在n >N 使f (x n )与f (y n )同号,则ε<|f (x n )−f (y n )|≤|f (x n )|+|f (y n )|=|f (x n )+f (y n )|<ε,不可能.2°若对所有n >N ,f (x n )与f (y n )异号,则在x n 与y n 间有z n 使f (z n )=0.于是n →∞时x n −z n →0,f 2(x n )−f 2(z n )→0,即f 2(x n )→0,f (x n )→0;类似地,f (y n )→0.因此lim (f (x n )−f (y n ))=0,与假设|f (x n )−f (y n )|>ε矛盾.例27证明:在R 上连续的周期函数一致连续.证〖如果|x 1−x 2|<δ<T (T 是周期),x 1∈[nT ,(n +1)T ),则x 1−nT ∈[0,T ),而x 2−nT ∈[−T ,2T ].故为使|f (x 1)−f (x 2)|<ε,只要|f (x 1−nT )−f (x 2−nT )|<ε,因而只须考虑f在[−T,2T]上的一致连续性〗设函数f连续,有周期T.因为f在[−T,2T]上一致连续,故∀ε>0∃δ1>0∀x′,x″∈[−T,2T]当|x′−x″|<δ1时|f(x′)−f(x″)|<ε.取δ<min{δ1,T},设x1,x2∈R,|x1−x2|<δ,nT≤x1<(n+1)T,则x1−nT与x2−nT∈[−T,2T],从而|f(x1)−f(x2)|=|f(x1−nT)−f(x2−nT)|<ε,f在R上一致连续.注用例27可以证明某些在R上连续的函数不是周期函数.例如:因为在R上函数sin3x一致连续〖导数有界〗,函数sin x3不一致连续〖取3n x=2nπ+π/2,3n y=2nπ〗,故f(x)=sin3x+sin x3不一致连续,不是周期函数.例28(一致连续延拓原理)设A是E的稠密子集，g:A→R一致连续.证明:存在唯一的一致连续函数f:E→R,使在A上f=g,即f是g的一致连续延拓.证存在性:对x∈E,存在x n∈A使x n→x(n→∞).因为〈x n〉是A的Cauchy列,f在A 上一致连续,故〈g(x n)〉是R的Cauchy列,收敛,记其极限为f(x),则f即为所求: 1°f的定义是合适的,即与〈x n〉的选择无关.事实上,设y n∈A,y n→x(n→∞),则x n−y n→0,由g一致连续得lim g(x n)=lim g(y n);2°f是g的延拓:对x∈A,取x n=x,得f(x)=g(x);3°f一致连续:因为g一致连续,故∀ε>0∃δ>0,当y,z∈A且|y−z|<δ时|g(y)−g(z)|<ε/3.设s,t∈E,|s−t|<δ/2.由f的定义,存在y∈A使|s−y|<δ/4,|f(s)−g(y)|<ε/3,存在z∈A使|t−z|<δ/4,|f(t)−g(z)|<ε/3.对这样的y,z,|y−z|≤|y−s|+|s−t|+ |t−z|<δ,从而|g(y)−g(z)|<ε/3.用三角不等式易知|f(s)−f(t)|<ε.唯一性可由恒等延拓原理得到.例29设函数f在(a,∞)上一致连续,对任意x>a有f(x+n)→c(n→∞).证明f(x)→c(x→∞).证如果证得f(x−a)→c,也就证得f(x)→c,因此不失一般性,可设a=0.〖∀x> 0∀ε>0∃N x∈N当n>N x时|f(x+n)−c|<ε.问题在于N x有无穷个且与x有关.为从特殊的有限个N x得到与x无关的N,关键在于这有限个N x所对应的x(设为x1,x2,…,x m)的取法.因为x取遍(0,1]时x+n(n∈N)取遍(0,∞),所以可只在(0,1]中取x k.作图可见,只要x k足够多,使各个x k之间的距离小于由一致连续性所确定的δ,所得到的N中最大者,即k x为所求的N〗由f一致连续,∀ε>0∃δ>0∀x′,x″∈(0,∞)当|x′−x″|<δ时|f(x′)−f (x″)|<½ε.把区间(0,1]m等分,使1/m<δ.在第k个子区间中取x k.因为f(x k+n)→c(k=1,2,…,m),所以∃N∈N∀n≥N∀k∈{1,2,…,m}:|f(x k+n)−c|<ε/2.当x>N时,由x−[x]∈[0,1)知∃k∈{1,2,…,m}∃n≥N〖n=[x]〗使|x−x k−n|<δ,从而|f(x)−f(x k+ n)|<ε/2,|f(x)−c|≤|f(x k+n)−c|+|f(x)−f(x k+n)|<ε,即f(x)→c(x→∞).例30设二元函数f在[a,b]×[c,d]上连续,函数g由g(x)=max{f(x,y)|c≤y≤d}(x∈[a, b])定义.证明g连续.证〖证明g一致连续〗设g(x1)=f(x1,y1),g(x2)=f(x2,y2).因为f关于x连续,故∀ε>0∃δ1>0∀x1,x2∈[a,b]当|x1−x2|<δ1时f(x1,y2)≥f(x2,y2)−ε,从而g(x1)≥f(x1,y2)≥g(x2)−ε.又由g(x2)≥f(x2,y1)及f关于x连续,存在δ2>0,当x1,x2∈[a,b],|x1−x2|<δ2时f(x2,y1)≥f(x1,y1)−ε,从而g(x2)≥g(x1)−ε.设δ=min{δ1,δ2},则|x1−x2|<δ时|g(x1)−g(x2)|<ε,即g一致连续.注类似地可证:若f 在[a ,b ]3上连续,),,(min max )(z y x f x g bz a b y a ≤≤≤≤=(x ∈[a ,b ]),则g 连续.第4节连续函数的性质定义在有界闭集上的连续函数达到最大、最小值,结合介值定理(即:区间上的连续函数取得介于任两函数值之间的一切值)可知连续函数把闭区间映为闭区间.例31设f 在区间I 上连续.证明:f 是单射(⇔f −1存在)⇔f 严格单调.证只须证必要性.设f 不严格单调,则有x 1,x 2,x 3满足x 1<x 2<x 3,使f (x 1)<f (x 2),f (x 2)>f (x 3)〖只能成立严格不等号,因为f 是单射〗或f (x 1)>f (x 2),f (x 2)<f (x 3).设为前者,则对任意c ∈(max {f (x 1),f (x 3)},f (x 2)),存在ξ1∈(x 1,x 2),ξ2∈(x 2,x 3)使f (ξ1)=f (ξ2)=c ,与f 为单射矛盾.例32证明:对任意正整数n ,方程x +x 2+…+x n =1在[0,1]上有且仅有一个解x n .求lim x n .解设f (x )=x +x 2+…+x n −1,则f (0)=−1<0,f (1)=n −1≥0,)(x f ′>0(x ∈[0,1]),故f 有唯一零点x n .显然∀n :x n >0.又,0=(x n +2n x +…+n n x )−(11211−−−−+++n n n n x x x L )=)(1)((11−−++−n n n n x x x x 132(−−−+++n n n n n x x x L ,))11n n n n x x +++−−L 故x n −x n −1<0,从而0<x n <x n −1<…<x 2<1,lim x n 存在且∈[0,1).因为n n x <n x 2,lim n x 2=0,所以lim n n x =0.由1=x n +2n x +…+n n x nn n n x x x −−=1)1(得lim x n =½.函数的零点的存在性并不总用介值定理得到,如下例.例33设f 在[0,1]上连续,f (0)=f (1).证明:∀n ∈N ∃x n ∈[0,1]使f (x n )=f (x n +1/n ).证即证∀n ∈N ,g n (x )=f (x +1/n )−f (x )(x ∈[0,1−1/n ])有零点.〖g n 在两个端点的值f (1/n )−f (0)与f (1)−f (1−1/n )=f (0)−f (1−1/n )不一定异号,从而不好用介值定理.〗用反证法.若存在n 使g n 无零点,则g n >0或g n <0.设g n >0,则f (0)<f (1/n )<f (2/n )<…<f (1),与f (0)<f (1)矛盾.例34设f n (n ∈N )在[a ,b ]上连续,且对任意x ∈[a ,b ],〈f n (x )〉有界.证明〈f n 〉在[a ,b ]的某子区间上一致有界.证设在[a ,b ]的任何子区间I 上〈f n 〉不一致有界,即∀M >0∃x ∈I ∃n ∈N 使|f n (x )|>M .〖下面证明有x 0∈[a ,b ]使〈f n (x 0)〉无界,与条件矛盾.为确定x 0,下面用区间套定理,也可用收敛子列原理〗取M =1,则有x 1∈[a ,b ]与1n f 使|1n f (x 1)|>1.由1n f 连续,存在[a 1,b 1]⊂[a ,b ]使x ∈[a 1,b 1]时|1n f (x )|>1.取M =2,则存在x 2∈[a 1,b 1]与2n f 使|2n f (x 2)|>2.由2n f 连续,存在[a 2,b 2]⊂[a 1,b 1]使x ∈[a 2,b 2]时|2n f (x )|>2.如此继续,得到区间套{[a k ,b k ]}及〈k n f 〉,在[a k ,b k ]上|k n f (x )|>k .因此有x 0∈∩[a k ,b k ],从而∀k ∈N 有|k n f (x 0)|>k ,与〈k n f (x 0)〉有界矛盾.例35证明:若f :[a ,b ]→R 的每个值恰好取两次,则f 间断.证设f 连续,f (ξ1)=f (ξ2)=M =max {f (x )|a ≤x ≤b },ξ1<ξ2.若a <ξ1,取x 1,x 2满足a <x 1<ξ1<x 2<ξ2,设M 0=max {f (x 1),f (x 2)},则M >M 0,f (x 1)<(M +M 0)/2<f (ξ1),f (x 2)<(M +M 0)/2<f (ξ1),f (x 2)<(M +M 0)/2<f (ξ2).因此在[x 1,ξ1],[ξ1,x 2],[x 2,ξ2]中各有一处取值(M +M 0)/2,与条件矛盾.因此a =ξ1,即f (a )最大.把上面的"max"换成"min"可证f (a )最小.因此f 是常值函数,与取值两次矛盾.例36设f n :[a ,b ]→R (n ∈N )连续,对每个x ∈[a ,b ],f n (x )↓f (x ).证明f 在[a ,b ]上有最大值.证〖与用收敛子列原理证明[a ,b ]上连续的函数有最大值(例如见[6]上册第157页,[10]第147页)类似.不过现在f 不一定连续,故在得到f (x 0)≥sup {f (x )|a ≤x ≤b }时需用f n 过渡〗f 有上界,如max {f 1(x )|a ≤x ≤b },故M =sup {f (x )|a ≤x ≤b }∈R .∀k ∈N ∃x k ∈[a ,b ]使f (x k )>M −1/k .因为〈x k 〉有界,有收敛子列,设为〈i k x 〉且i k x →x 0(i →∞),则x 0∈[a ,b ].对任意n ,f n (i k x )≥f (i k x )>M −1/k i .令i →∞,由k i →∞及f n 连续,得f n (x 0)≥M .因此f n (x 0)=M .第5节Darboux 连续性与半连续性称函数f :[a ,b ]→R Darboux 连续(或称f 具有介值性),若它能取得介于任两函数值之间的一切值,即对任意x 1,x 2∈[a ,b ]及f (x 1),f (x 2)间的值k ,必有x 1与x 2间的ξ,使f (ξ)=k .关于此性质的比较完整的叙述,见[34].由介值定理,连续⇒Darboux 连续.反之,由f (0)=0,f (x )=sin x −1(x ≠0,x ∈[−1,1])定义的函数f Darboux 连续,但在x =0处不连续.例37证明:(1)Darboux 连续函数没有第一类间断点.(2)单调的Darboux 连续函数必连续.(3)(Darboux 定理)导(函)数Darboux 连续.证设f :[a ,b ]→R Darboux 连续.(1)设x 0是f 的第一类间断点,则f (x 0−)≠f (x 0)或f (x 0+)≠f (x 0),设为前者,且f (x 0−)<f (x 0).因为f (x 0−)∈R ,故存在δ>0使0<x 0−x ≤δ时|f (x )−f (x 0−)|<½(f (x 0)−f (x 0−)),即x 0−δ≤x <x 0,f (x )<½(f (x 0)+f (x 0−))<f (x 0).因此,f 在[x 0−δ,x 0]上不能取得f (x 0−δ)与f (x 0)之间的值½(f (x 0)+f (x 0−)),与f Darboux 连续矛盾.(2)由(1)及单调函数只有第一类间断点得证.(3)设f 可微,k 是f ′(a )与f ′(b )之间的数,不妨设f ′(a )<k <f ′(b ).设F (x )=f (x )−kx (x ∈[a ,b ]),则F 可微.设F (ξ)是F 在[a ,b ]上的最小值.下面证明ξ≠a ,b ,从而由极值必要条件有F ′(ξ)=0,即f ′(ξ)=k .若ξ=a ,则F (a )最小,对x >a 有a F x F −−)()(>0,从而F ′(a )≥0,f ′(a )≥k ,与f ′(a )<k 矛盾.因此ξ≠a .同理,ξ≠b .注1由(3),为了举出不连续但Darboux 连续的函数的例子,只要找这样的函数:它不连续,然而是另一个函数的导数.例如:设f(0)=0,x≠0时f(x)=x2sin x−1,则f的导数Darboux连续但不连续.注2可直接证明(2):若f增,在x0间断,且设f(x0−)<f(x0).取x1∈[a,x0],则对k=½(f(x0)+f(x0−))∈[f(x1),f(x0)],不存在ξ∈[x1,x0]使f(ξ)=k.注3例31的证明只用到介值定理,故可得:若f:[a,b]→R Darboux连续,则f是单射⇔:f严格单调.(因此,由例37(2)及例11,f Darboux连续且是单射时f与f−1连续,f−1也严格单调.)例38设f:[a,b]→R.证明下列命题等价:1°f Darboux连续;2°对[a,b]的任意连通子集C,f(C)连通;3°对[a,b]的任意子区间[p,q],f([p,q])连通.证1°⇒2°设f(α),f(β)∈f(C),α<β,则由C连通得[α,β]⊂C.由Darboux连续性,对f(α),f(β)间的k,有α,β间的ξ使f(ξ)=k.因此f(C)包含以f(α),f(β)为端点的闭区间,f(C)连通.2°⇒3°显然.3°⇒1°设p,q∈[a,b],p<q,k在f(p)与f(q)之间.因为f([p,q])连通,故k∈f([p,q]),即有ξ∈[p,q]使f(ξ)=k.因此f Darboux连续.任何函数f:R→R可表示为两个Darboux连续函数之差,见[34].设f:A(⊂R)→R,a∈A.若∀ε>0∃δ>0∀x∈A:当|x−a|<δ时f(a)−ε<f(x) (f(x)<f(a)+ε),换句话说,若对任意ε>0,存在a的邻域U,使x∈A∩U时f(a)−ε<f (x)(f(x)<f(a)+ε),则称f在a下(上)半连续.若f在每个a∈A下(上)半连续,则称f在A 上下(上)半连续.例如:函数f(x)=[x]上半连续;R的无理数集的特征函数在无理点上半连续,在有理点下半连续;Dirichlet函数在有理点上半连续,在无理点下半连续.半连续函数有下列性质:1°f在a下(上)半连续⇔−f在a上(下)半连续.2°f在a连续⇔f在a既下半连续又上半连续.3°若f,g在a下(上)半连续,则f+g,c f(c≥0)及min{f,g},max{f,g}也在a下(上)半连续.4°若f,g≤0,均下半连续(或f,g≥0,均上半连续),则f g上半连续.若f>0,下(上)半连续,g<0,上(下)半连续,则f g上(下)半连续.5°若f>0,下(上)半连续,则1/f上(下)半连续.6°若f n(n∈N)上(下)半连续,〈f n〉一致收敛于f,则f上(下)半连续.例39证明下列命题等价:1°f在A上下半连续;2°∀α∈R,集D={x∈A|f(x)>α}(=f−1((α,∞))∩A)是A的开子集,即存在R的开集G,使D=A∩G;3°∀α∈R,集E={x∈A|f(x)≤α}(=f−1((－∞,α])∩A)是A的闭子集,即存在R 的闭集F,使E=A∩F.证1°⇒2°设a∈D,则a∈A,f(a)>α.因为f在a下半连续,故对ε=f(a)−α>0∃δa >0∀x ∈A ,当|x −a |<δa 时f (x )>f (a )−ε=α.因此A ∩(a −δa ,a +δa )⊂D.设G =∪{(a −δa ,a +δa )|a ∈D },则G 开,A ∩G ⊂D .另一方面,显然G ⊃D ,A ⊃D ,从而A ∩G ⊃D .因此A ∩G =D .2°⇒3°E =A \D =A \(A ∩G )=A ∩(R \G ).设F =R \G ,则F 即为所求.3°⇒1°设f 在a ∈A 不下半连续,则有ε0>0及x n ∈A 使|x n −a |<1/n 而f (a )−ε0≥f (x n ).取α满足f (a )−ε0<α<f (a ),则x n ∈E ,a ∉E .因为a ∈A ,所以a ∉F .但由x n →a ,x n ∈F 与F 闭得a ∈F ,矛盾.例40证明:若f 在[a ,b ]上上(下)半连续,则f 有上(下)界,且达到最大(小)值.证设f 无上界,则∃x n ∈[a ,b ](n ∈N )使f (x n )→∞.由收敛子列原理,有子列〉〈k n x 收敛于x 0∈[a ,b ].因为f 在x 0上半连续,故∀ε>0∃δ>0∀x ∈[a ,b ]当|x −x 0|<δ时f (x )<f (x 0)+ε.但k 充分大时|k n x −x 0|<δ,故f (k n x )<f (x 0)+ε,与f (k n x )→∞矛盾.因此f 有上界.设M =sup {f (x )|x ∈[a ,b ]}.若f 不达到最大值,即∀x ∈[a ,b ]f (x )≠M ,则函数M −f >0且下半连续,从而函数F =fM −1上半连续.由上段所证,F 有上界,设为N ,则N >0且f ≤M −1/N ,与M 是最小上界矛盾.例41设f ,g 分别在[a ,b ]上上(下)、下(上)半连续,且f ≤g .证明:∀ε>0∃δ>0∀s ,t ∈[a ,b ],当|s −t |<δ时f (s )<g (t )+ε(g (s )<f (t )+ε).证由半连续的定义,∀x ∈[a ,b ]∀ε>0∃δx >0,当u ,v ∈[a ,b ]∩(x −δx ,x +δx )时f (u )<f (x )+ε/2,g (v )>g (x )−ε/2,故f (u )<g (x )+ε/2<g (v )+ε…(∗).所有I x =(x −δx /2,x +δx /2)(x ∈[a ,b ])之集覆盖[a ,b ],故存在,1x I …,n x I 覆盖[a ,b ].设δ=min {1x δ/2,…,n x δ/2},则s ,t ∈[a ,b ]且|s −t |<δ时s ,t 将同属于某个(x k −k x δ,x k +k x δ).由(∗)式,f (s )<g (t )+ε.注当f =g 且连续时,由本例可得[a ,b ]上的连续函数一致连续.上述证法也就是用有限覆盖定理证明[a ,b ]上的连续函数一致连续.又,上例和本例中的[a ,b ]可改成有界闭集.例42设f n :A →R 均上(下)半连续,且∀x ∈[a ,b ],f n (x )↓f (x )(f n (x )↑f (x )).证明f 在A 上上(下)半连续.证设x 0∈A .因为f (x 0)=lim f n (x 0),故∀ε>0∃N ∈N ∀n >N :f n (x 0)<f (x 0)+ε/2.对固定的n ,因为f n 在x 0上半连续,故存在δ>0,当x ∈A ,|x −x 0|<δ时f n (x )<f n (x 0)+ε/2,从而f (x )≤f n (x )<f (x 0)+ε.关于半连续函数的进一步知识,可参见[34].例如,上例的逆命题成立,并且f n 可取成连续函数.习题二1.证明实数的次序完备性命题的下述蕴含关系:1˚⇒3˚,1˚⇒5°,3˚⇒5˚,3°⇒2˚,6˚⇒2˚,7°⇒2°,2˚⇒1˚.2.证明Archimedes 性质的下列等价形式:(1)∀x >0∀y ∈R ∃n ∈N:nx >y ;。