三角函数模型的简单应用(一)
课题三角函数模型的简单应用第1课时
课题：三角函数模型的简单应用（第1课时）一、教材分析1．设计思想：引导学生观察日常生活，通过对具有周期性变化这一类实际问题进行建模练习，让学生尝到数学建模成功的“甜”和难于解决实际问题的“苦”，从而拓广视野，增长知识，积累经验；在建模过程中，让学生自觉地运用问题所给的条件进行自主探究，寻求解决问题的最佳方法和途径，从而培养学生的创新精神和实践能力。
2．地位和作用：本节课是在学习了三角函数图象和性质的前提下来学习三角函数模型的简单应用，让学生体验一些具有周期性变化规律的实际问题的数学“建模”思想，从而培养学生的创新精神和实践能力。
二、学情分析学生学习了三角函数的图象及其性质，已经具有用数学知识解决这类实际问题的能力；另外，本班学生思维活跃，学习积极性高，已经形成对数学问题进行自主探究、合作探究的意识与能力。
三、教学目标1．知识与技能：掌握三角函数模型应用的基本步骤：（1）根据解析式作出图象；（2）根据图象建立解析式；（3）将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型。
2．过程与方法：师生共同探究，通过设计一系列阶梯型问题，由浅入深，由易而难，引起学生学习的兴趣和探究的热情。
在此过程中，体会和感受数学建模思想的内涵及数学本质，逐步提高创新精神和实践能力。
3．情感、态度与价值观：培养学生的数学应用意识，认识到信息技术处理某些问题带来的优越，并体验数学在解决实际问题中的价值和作用及数学和日常生活、其他学科的联系，从而使学生热爱数学学习。
四、教学重难点分析1．教学重点：用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的问题。
2．教学难点：将某些实际问题抽象为三角函数模型。
五、教法及学法分析：教学方法——启发式（辅以信息技术的运用）、讲练结合式学习方法——自主探究、合作交流式教学手段——使用多媒体辅助教学六、预习学案1．函数()sin (0)f x A x b A =+>的最大值为32，最小值为12-，则A = ，b = 。
高中数学人教A版必修《三角函数模型的简单应用》教案
1.6三角函数模型的简单应用教材：高中数学人教A版必修4第一章第六节第一课时一、教学目标知识目标：从实际问题中发现周期性变化的规律，并把发现的规律抽象为恰当的三角模型，进而解决相关实际问题。
能力目标：能够正确转化函数的图像模型和解析式模型来解决实际问题；能从实际问题中抽象出恰当的数学模型来解决问题。
体会形结合思想、类比学习思想及数学建模数的思想方法。
情感目标：在自主探究的过程中，培养学生勇于探索的精神和善于合作的意识。
二、教学重点与难点重点：运用三角函数模型解决一些具有周期变化规律的实际问题。
难点：如何从实际问题中抽象出三角函数模型，并用相关知识解决实际问题。
三、教学方法与手段教学方法：三段六步法教学。
学习方法：自主探究、观察发现、合作探究、归纳总结。
教学手段：运用多媒体辅助教学。
四、教学基本流程步骤师生活动作图观察得：函数y=|x-1|的图象是将y=x-1的图象_______________________________而得到。
２）画出函数y=|sinx|的图象并观察其周期。
作图观察得：函数y=|sinx|的图象是将y=sinx的图象______________而得到。
由图像知函数y=|sinx|的周期是_________ 验证：由于|sin( x+___)| =|sinx|, 所以函数y=|sinx|的周期是_______ 通过分级分难度的设置问题，降低了解决问题的难度，使学生通过动手动脑很快解决问题。
培养学生用类比学习的方法来解决问题。
让学生到黑板上画图并解答这两个问题，老师适当引导，适时给予鼓励与肯定，激发学生学习和探索新知的兴趣和热情。
三、释疑：问题（1）属于根据________模型求解_________模型问题。
问题（2）属于根据_________模型求解______模型，并根据______认识性质。
提高概括能力,体会数学中式和形两种不同数学模型互相转化解决问题的思想方法，提升对三角函数模型应用问题的认识和解决能力。
三角函数的应用
-23°26´
0° 23°26´ M A 40°
B
C
思考4：如图，A、B、C分别为太阳直射北回归线、赤道、 南回归线时楼顶在地面上的投影点.要使新楼一层正午的 太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的临界距应是图中哪 （MC） 两点之间的距离？ 思考5：右图中∠C的度数 是多少？MC的长度如何计 算？ ∠C=90°-∣40°-23°26´∣ =26°34´
40 6
π π 对于h=2sin（— t - — ）+1.2 40 6
我们可用五点法画出其简图，列表如下：
t
6.67 1.2 26.67 46.67 66.67 86.67
π π 0 —t- — 40 6
π/2
3.2 y
π
1.2
3π/2
-0.8
2π
1.2
h
作图如下
3.2 1.2
O -0.8
6.67 26.67 46.67 66.67 86.67
6.2 5.3 4.1 3.1 2.5 2.7 3.5 4.4
14:00
15:00
6.2
7.5
16:00
7.3
根据上表提供的数据我们可在坐标系中描点，作出水 深H与时间t的散点图
三：三角函数在地理中的应用
例4.如图，设地球表面某地正午太阳高度角为θ ，δ 为 此时太阳直射纬度，φ 为该地的纬度值.当地夏半年δ 取正值，冬半年δ 取负值. 如果在北京地区（纬度数约 为北纬40°）的一幢高为h0的楼房北面盖一新楼，要使 新楼一层正午的太阳全年不被前面的楼房遮挡，两楼的 距离不应小于多少？ 分析：思考1：图中θ 、δ 、φ 这三个角之间的关系是 φ -δ 什么？ θ=90°－∣φ－δ∣. φ δ
三角函数模型的简单应用
三角函数模型的简单应用一周强化一、知识结构二、重难点知识概述1、用三角函数模型解决一些具有周期性变化规律的实际问题，将所发现的规律抽象为恰当的的三角函数模型．2、选择恰当的三角函数模型刻画数据所蕴含的规律，能根据问题的实际意义，利用模型解释有关实际问题，为决策提供依据．3、研究的方法是利用收集到的数据分析分析问题中的数量关系，通过作出散点图，根据散点图进行函数拟合，得到函数模型．4、三角函数模型的应用包括（1）根据图象建立解析式；（2）根据解析式作出图象；（3）根据实际问题处理数据，作出图象进行函数拟合，将实际问题抽象为与三角函数有关的简单函数模型．5、建立数学模型解决实际问题，所得的模型一般是近似的，并且得到的解也是近似的，所以需要根据实际背景及问题的条件，注意考虑实际意义，对问题的解进行具体分析．三、例题讲解例1、如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离S厘米和时间t秒的函数关系式为：，那么单摆从最高点开始来回摆动一次所需的时间为（）A．2π秒B．π秒C．0.5秒D．1秒分析：本题已给出了单摆离开平衡位置O的距离S厘米和时间t秒的函数关系式，单摆从最高点开始来回摆动一次所需的时间即为此函数的一个周期．解：∵ω=2π，∴．故选D．说明：客观世界中很多物理现象的数量之间存在着三角函数关系，熟练掌握三角函数的图象与性质及有关结论，有助于解决此类问题．例2、如图，某大风车的半径为2m，每12s旋转一周，它的最低点O离地面0.5m．风车圆周上一点A从最低点O开始，运动t(s)后与地面的距离为h(m)．(1)求函数h=f(t)的关系式；(2)画出函数h=f(t)的图象．解析：本小题主要考查三角函数的图象和性质及恒等变换知识，以及由数到形的转化思想和作图技能；考查运算能力和解决实际问题的能力．解：(1)如图，以O为原点，过点O的圆的切线为x轴，建立直角坐标系．设点A的坐标为(x,y)，则h=y＋0.5．设∠OO1A=θ，则又，即，所以(2)函数的图象如下例3、下表是某地一年中10天测量的白昼时间统计表(时间近似到0.1小时)日期1月1日2月28日3月21日4月27日5月6日6月21日8月13日9月20日10月25日12月21日日期位置序号x1 59 80 117 126 172 225 263 298 356白昼时间y（小时）5.6 10.2 12.4 16.4 17.3 19.4 16.4 12.48.5 5.4(I)以日期在365天中的位置序号x为横坐标，白昼时间y为纵坐标，在给定坐标系中画出这些数据的散点图；(Ⅱ)试选用一个形如y=Asin(ωx＋)+t的函数来近似描述一年中白昼时间y与日期位置序号x之间的函数关系．(注：①求出所选用的函数关系式；②一年按365天计算)(Ⅲ)用(Ⅱ)中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于15.9小时．解：（I）画散点图见下面．（II）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为y=Asin(ωx＋)＋t，由图形知函数的最大值为19.4，最小值为5.4，即y max=19.4，y min=5.4，由19.4－5.4=14，得A=7；由19.4＋5.4=24.8，得t=12.4；又T=365，∴，例4、在长江汽车渡口，马力不足或装货较重的汽车上岸时，采用沿着坡面斜着成S形的方向向上升，这是为什么？解析：在汽车马力恒定的情况下，行驶单位路程内，垂直上升高度愈大，汽车愈费“力”，当“力”所不及时，就会发生危险．日常经验告诉我们，走S形可减少这种危险．从数学的角度看，如图所示，AB表示笔直向上行走的路线，(AB⊥CA)，α表示它与水平面所成的夹角，CB表示斜着向上所行走的路线，β表示它与水平面所成的夹角，它们所达到的高度都是BD．现在的问题就是要研究α和β这两个角哪个大．在Rt△BAD中，，①在Rt△BCD中，，②比较①与②，因为AB、CB分别是Rt△ABC的直角边和斜边，也就是说AB＜CB，所以，所以sinα＞sinβ．又因为α、β都是锐角，所以α＞β．因此，汽车沿着CB方向斜着向上开要省力．说明：山区修筑的公路，采取盘山而上的方法，也就是这个道理．另外实际问题中也要碰到利用三角函数来比较大小的问题．。
三角函数模型的简单应用
正切函数的定义与性质
正切函数的定义
正切函数（tangent function） 是三角函数中的一种，通常用 tan(x)表示，其定义是邻边与对边 之比值。
正切函数的性质
正切函数具有周期性、奇偶性、 单调性等性质。
正切函数的图象与公式
正切函数的图象
正切函数的图象是一个周期函数，其周期为π（派），即每隔π的角度其函数值 重复。
余弦函数的图象与公式
余弦函数的图象
余弦函数的图象是一个连续的曲线，形状类似于波浪。在一 个周期内，余弦函数从-1变化到1，再从1变化到-1，如此往 复。图象上的每个点都代表一个角度，对应一个余弦值。
余弦函数的公式
余弦函数有一些基本的公式，如和差角公式、积化和差公式 等。这些公式是余弦函数应用的基础，可以用于简化复杂的 三角函数表达式。
反三角函数的图象与公式
图象
反三角函数的图象是连续的，具有明显的波动形状。它们的形状和大小取决于其参数的取值范围。
公式
反三角函数有多种计算公式，如反正弦公式、反正切公式和反余弦公式等。这些公式可以用于求解三 角函数的反函数。
反三角函数的应用场景
三角函数方程的求解
当需要求解三角函数方程时，可以使用反三角函数来找到方程的 解。
余弦函数的应用场景
振动分析
余弦函数可以用于描述周期性的振动 现象，如机械振动、电磁振荡等。通 过对振荡过程进行分析，可以了解系 统的动态特性。
信号处理
在通信、声音、图像等信号处理领域 ，余弦函数经常被用于对信号进行调 制和解调。通过对信号进行处理和分 析，可以提取出有用的信息。
04
正切函数及其应用
02
正弦函数及其应用
正弦函数的定义与性质
《三角函数模型的简单应用》 讲义
《三角函数模型的简单应用》讲义一、引入在我们的日常生活和学习中，三角函数有着广泛的应用。
从物理中的波动现象到建筑设计中的角度计算，从音乐中的声波到天文观测中的星体运动，三角函数都发挥着重要的作用。
通过学习三角函数模型的简单应用，我们能够更好地理解和解决与周期变化相关的实际问题。
二、三角函数的基本概念在深入探讨三角函数模型的应用之前，我们先来回顾一下三角函数的基本概念。
1、正弦函数（sin）：对于一个角α，正弦函数的值等于这个角的对边与斜边的比值。
2、余弦函数（cos）：余弦函数的值等于这个角的邻边与斜边的比值。
3、正切函数（tan）：正切函数的值等于这个角的对边与邻边的比值。
三角函数的周期是其重要的性质之一。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，正切函数的周期是π。
三、三角函数模型的构建在实际问题中，我们常常需要根据给定的条件构建三角函数模型。
例如，考虑一个简单的摆动问题。
一个摆锤从某一位置开始摆动，它的位移与时间的关系可以用正弦函数来描述。
假设初始位置在平衡位置右侧，摆锤的振幅为 A，周期为 T，那么位移 y 与时间 t 的关系可以表示为：y ＝A sin(2πt/T) 。
再比如，对于一个周期性变化的温度问题。
如果一天中温度的最高值和最低值已知，以及温度变化的周期（通常为 24 小时），我们可以用正弦函数的形式来近似地表示温度随时间的变化：T(t) ＝ Asin(2πt/24) ＋ B ，其中 A 是温度变化的幅度，B 是平均温度。
四、三角函数模型在物理中的应用1、交流电的变化在电学中，交流电的电压和电流通常是随时间周期性变化的。
可以用正弦函数来描述其变化规律，例如：U ＝ U₀ sin(ωt ＋φ) ，其中 U₀是电压的最大值，ω 是角频率，φ 是初相位。
2、机械振动弹簧振子的位移、速度和加速度都可以用三角函数来表示。
通过对这些三角函数的分析，我们可以了解振子的运动规律，从而为机械设计和工程应用提供理论基础。
三角函数模型的简单应用第一课时最后更新
2 利用T ，求得
利用最低点或最高点在图象上,该点的坐标 满足函数解析式可求得 , 注意通常
练习 1:已知，如图表示电流强度 I 与时间 t 的关系 I＝Asin(ωt＋φ)的图象． (1)试根据图象写出 I＝Asin(ωt＋φ)的解析式； 1 (2)为了使 I＝Asin(ωt＋φ)中 t 在任意一段 秒的时间内电流强度 I 能同时取得最大值|A| 100 与最小值－|A|，那么，正整数 ω 的最小值是多少？
A=10,b=20.
思考3：如何确定函数式中 和 的值?
1 2 . 14 6 , 8 2
3 将x 6, y 10代入上式，解得＝ . 4
思考4：这段曲线对应的函数是什么？
3 综上，所求解析式为y 10sin( x ) 20, x 6,14 8 4
－8
ω －
7
根据图象建立三角函数关系：
30
T/℃
例1.如图，某地一天从6～14时
的温度变化曲线近似满足函数:
20
10 o 6 10 14 t/h
y A sin( x ) b
思考1：这一天6～14时的最大温差是多少？ 30°-10°=20° 思考2：函数式中A、b的值分别 f(t)＝24sin 160πt＋110.其中 f(t)为血压，t 为时间， 则此人每分钟心跳的次数为( C ) 3． 已知某人的血压满足函数解析式 f(t)＝24sin 160πt＋110.其中 f(t)为血压，t 为时间， (A)60 (B)70 3 已知某人的血压满足函数解析式 f(t) 160πt＋ ＋110. 110.其中 其中 f(t) f(t)为血压， 为血压，tt 为时间， 为时间， 3． ． 已知某人的血压满足函数解析式 f(t)＝ ＝24sin 24sin 160πt (C)80 (D)90 则此人每分钟心跳的次数为( C ) 则此人每分钟心跳的次数为 1 160π ( C ) 解析：由题意可得 f＝ ＝ ＝80，所以此人每分钟心跳的次数为 80.故选 C. (A)60 (B)70 (A)60 (B)70 T 2π 8 (C)80 (D)90 4 ． 用作调频无线电信号的载波以 y ＝ asin (1.83 × 10 πt)为模型，其中 t 的单位是秒，则 (C)80 (D)90 3．已知某人的血压满足函数解析式 此载波的周期为 __________秒，频率为 ________ ． f(t)＝24sin 160πt＋110.其中 f(t)为血压，t 为时间， 1 160π 1＝ 160π ，所以此人每分钟心跳的次数为 80. 80.故选 故选C. C. 则此人每分钟心跳的次数为 ( ) 80 解析： 由题意可得 f ＝ ＝ ，所以此人每分钟心跳的次数为 2π 2π f＝T＝ C 解析： 由题意可得 ＝ 80 ，所以此人每分钟心跳的次数为 80. 故选 C. 2π 解析：T＝(B)70 ＝ 8 T 2π (A)60 ω 1.83×10 π 8 8 8 4 ． 用作调频无线电信号的载波以 y ＝ asin (1.83 × 10 πt)为模型，其中 为模型，其中 tt的单位是秒，则 的单位是秒，则 (C)80 (D)90 －8 4 ． 用作调频无线电信号的载波以 y ＝ asin (1.83 × 10 πt) 4． 用作调频无线电信号的载波以 y＝asin (1.83×10 πt)为模型，其中 t 的单位是秒，则 ≈1.09 ×10 (秒)， 1 160π 此载波的周期为 __________ 秒，频率为 ________ ． 解析： f ＝ ＝ ＝ 80 ，所以此人每分钟心跳的次数为 80.故选 C. 1 由题意可得 此载波的周期为 __________ 秒，频率为 ________ ． 7 T 2π f＝ ＝9.15×10 . 2π 2π 8 T 4 ． 用作调频无线电信号的载波以 y ＝ asin (1.83 × 10 πt)为模型，其中 t 的单位是秒，则 解析：T＝2π ＝ 2π 8 －8 7 ω__________ 1.83 ×10秒，频率为 π 答案：1.09 ×10 ×10 此载波的周期为 ________． 解析： T＝ ＝9.15 8
《三角函数模型的简单应用》 讲义
《三角函数模型的简单应用》讲义一、引入在我们的日常生活和学习中，三角函数无处不在。
从物理学中的波动现象，到建筑设计中的结构计算，甚至是音乐中的音符频率，都能看到三角函数的身影。
那么，如何将三角函数的知识运用到实际问题中，建立有效的数学模型来解决这些问题呢？这就是我们今天要探讨的主题——三角函数模型的简单应用。
二、三角函数的基础知识回顾首先，让我们简要回顾一下三角函数的基本概念。
我们最常见的三角函数包括正弦函数（sin）、余弦函数（cos）和正切函数（tan）。
正弦函数sinθ 表示直角三角形中对边与斜边的比值；余弦函数cosθ 表示邻边与斜边的比值；正切函数tanθ 则是对边与邻边的比值。
它们的周期性质也非常重要。
正弦函数和余弦函数的周期都是2π，而正切函数的周期是π。
此外，三角函数的一些基本公式，如两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式等，也是我们解决问题时经常会用到的工具。
三、三角函数模型在实际生活中的应用1、潮汐现象在海洋学中，潮汐的涨落可以用三角函数模型来描述。
假设某地的潮汐高度 h 与时间 t 之间的关系可以近似表示为 h ＝A sin(ωt＋φ) ＋k ，其中A 表示潮差（即高潮和低潮之间的高度差），ω 表示角频率，φ 表示初相位，k 表示平均海平面高度。
通过对当地潮汐数据的观测和分析，可以确定这些参数的值，从而准确预测潮汐的变化。
2、交流电在电学中，交流电的电压或电流随时间的变化通常也可以用三角函数来表示。
例如，正弦交流电的电压 u 可以表示为 u ＝ U₀ sin(ωt ＋φ₀) ，其中 U₀是电压的最大值（也称为峰值），ω 是角频率，φ₀是初相位。
3、物体的简谐运动一个物体在直线上做往复运动，如果它所受的力与位移成正比，并且方向相反，那么这个物体就做简谐运动。
比如弹簧振子的运动，其位移 x 与时间 t 的关系可以表示为 x ＝A sin(ωt ＋φ) ，其中 A 是振幅，ω 是角频率，φ 是初相位。
人教a版必修4学案：1.6三角函数模型的简单应用(含答案)
1.6三角函数模型的简单应用自主学习知识梳理1．三角函数的周期性y＝A sin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；y＝A cos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________；y＝A tan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝________.2．函数y＝A sin(ωx＋φ)＋k (A>0，ω>0)的性质(1)y max＝________，y min＝________.(2)A＝__________，k＝__________.(3)ω可由__________确定，其中周期T可观察图象获得．(4)由ωx1＋φ＝______，ωx2＋φ＝__________，ωx3＋φ＝__________，ωx4＋φ＝__________，ωx5＋φ＝________中的一个确定φ的值．3．三角函数模型的应用三角函数作为描述现实世界中________现象的一种数学模型，可以用来研究很多问题，在刻画周期变化规律、预测其未来等方面都发挥着十分重要的作用．自主探究结合三角函数图象的特点，思考后写出下列函数的周期．(1)y＝|sin x|的周期是________；(2)y＝|cos x|的周期是________；(3)y＝|tan x|的周期是________；(4)y＝|A sin(ωx＋φ)| (Aω≠0)的周期是________；(5)y＝|A sin(ωx＋φ)＋k| (Aωk≠0)的周期是____________________________________________________________________；(6)y＝|A tan(ωx＋φ)| (Aω≠0)的周期是__________．对点讲练知识点一从实际问题中提炼三角函数模型例1如图(1)所示为一个观览车示意图，该观览车半径为4.8 m，圆上最低点与地面距离为0.8 m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面距离为h.(1)(1)求h与θ间关系的函数解析式；(2)设从OA开始转动，经过t秒到达OB，求h与t间关系的函数解析式．回顾归纳如果实际问题中，某种变化着的现象具有一定的周期性，那么它就可以借助三角函数来描述，从而构建三角函数模型．变式训练1 如图所示，一个摩天轮半径为10 m ，轮子的底部在地面上2 m 处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30 s 转一圈，且当摩天轮上某人经过点P 处(点P 与摩天轮中心高度相同)时开始计时．(1)求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；(2)在摩天轮转动的一圈内，约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.知识点二 三角函数模型在物理学科中的应用例2 交流电的电压E (单位：伏)与时间t (单位：秒)的关系可用E ＝2203sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6来表示，求：(1)开始时的电压；(2)最大电压值重复出现一次的时间间隔； (3)电压的最大值和第一次取得最大值的时间．回顾归纳 三角函数模型在物理学科中有着广泛的应用．在应用三角函数知识解决物理问题时，应当注意从复杂的物理背景中提炼基本的数学关系，还要调动相关物理知识来帮助理解问题．变式训练2 如图表示电流I 与时间t 的函数关系式：I ＝A sin(ωt ＋φ)在同一周期内的图象．(1)据图象写出I ＝A sin(ωt ＋φ)的解析式；(2)为使I ＝A sin(ωt ＋φ)中t 在任意一段1100的时间内电流I 能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多少？知识点三 三角函数模型在实际问题中的应用t 小时＋B 的图象．(1)试根据数据表和曲线，求出y ＝A sin ωt ＋B 的解析式；(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于4.5米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距离)为7米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间？(忽略离港所用的时间)回顾归纳 确定函数关系式y ＝A sin ωt ＋B ，就是确定其中的参数A ，ω，B 等，可从所给的数据中寻找答案．由于函数的最大值与最小值不是互为相反数，若设最大值为M ，最小值为m ，则A ＝M －m 2，B ＝M ＋m2.变式训练3 设y ＝f (t )是某港口水的深度y (米)关于时间t (时)的函数，其中0≤t ≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t 与水深y 的关系：函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是( )A ．y ＝12＋3sin π6t ，t ∈[0,24]B ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋π，t ∈[0,24]C ．y ＝12＋3sin π12t ，t ∈[0,24]D ．y ＝12＋3sin ⎝⎛⎭⎫π12t ＋π2，t ∈[0,24]1．三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型．三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象(运动)有着广泛的应用．2．三角函数模型构建的步骤(1)收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象． (2)制作散点图，选择函数模型进行拟合． (3)利用三角函数模型解决实际问题．(4)根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.课时作业一、选择题1. 如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O 的距离s cm 和时间t s 的函数关系式为s ＝6sin ⎝⎛⎭⎫100πt ＋π6，那么单摆来回摆动一次所需的时间为( )A.150 sB.1100s C ．50 s D ．100 s 2．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f (x )＝A sin(ωx＋φ)＋b ⎝⎛⎭⎫A >0，ω>0，|φ|<π2的模型波动(x 为月份)，已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f (x )的解析式为( )A ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)B ．f (x )＝9sin ⎝⎛⎭⎫π4x －π4(1≤x ≤12，x ∈N *) C ．f (x )＝22sin π4x ＋7(1≤x ≤12，x ∈N *)D ．f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4x ＋π4＋7(1≤x ≤12，x ∈N *) 3．若函数f (x )＝3sin(ωx ＋φ)对任意x 都有f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，则f ⎝⎛⎭⎫π6等于( ) A ．3或0 B ．－3或0 C ．0 D ．－3或34. 如图所示，设点A 是单位圆上的一定点，动点P 从点A 出发在圆上按逆时针方向旋转一周，点P 所旋转过的弧AP 的长为l ，弦AP 的长为d ，则函数d ＝f (l )的图象大致是( )二、填空题5．函数y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫m 3x ＋π3的最小正周期在⎝⎛⎭⎫23，34内，则正整数m 的值是________． 6．设某人的血压满足函数式p (t )＝115＋25sin(160πt )，其中p (t )为血压(mmHg)，t 为时间(min)，则此人每分钟心跳的次数是________．7．一根长l cm 的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s (cm)与时间t (s)的函数关系式时s ＝3cos ⎝⎛⎭⎫g l t ＋π3，其中g 是重力加速度，当小球摆动的周期是1 s 时，线长l 等于________．三、解答题8. 如图，一个水轮的半径为4 m ，水轮圆心O 距离水面2 m ，已知水轮每分钟转动5圈，如果当水轮上点P 从水中浮现时(图中点P 0)开始计算时间．(1)将点P 距离水面的高度z (m)表示为时间t (s)的函数； (2)点P 第一次到达最高点大约需要多少时间？§1.6 三角函数模型的简单应用答案知识梳理 1.2π|ω| 2π|ω| π|ω|2．(1)A ＋k －A ＋k (2)y max －y min 2 y max ＋y min 2 (3)ω＝2πT (4)0 π2 π 32π 2π3．周期 自主探究(1)π (2)π (3)π (4)π|ω| (5)2π|ω| (6)π|ω|对点讲练 例1 解(2)(1)由题意可作图如图(2)所示．过点O 作地面平行线ON ，过点B 作ON 的垂线BM 交ON 于M 点．当θ>π2时，∠BOM ＝θ－π2.h ＝|OA |＋0.8＋|BM |＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2； 当0≤θ≤π2时，上述解析式也适合．综上所述，h ＝5.6＋4.8sin ⎝⎛⎭⎫θ－π2. (2)点A 在⊙O 上逆时针运动的角速度是π30，∴t 秒转过的弧度数为π30t ，∴h ＝4.8sin ⎝⎛⎭⎫π30t －π2＋5.6，t ∈[0，＋∞)． 变式训练1 解 (1)设在t s 时，摩天轮上某人在高h m 处．这时此人所转过的角为2π30t＝π15 t ，故在t s 时，此人相对于地面的高度为h ＝10 sin π15t ＋12(t ≥0)． (2)由10sin π15t ＋12≥17，得sin π15t ≥12，则52≤t ≤252. 故此人有10 s 相对于地面的高度不小于17 m. 例2 解 (1)当t ＝0时，E ＝1103(伏)， 即开始时的电压为1103伏．(2)T ＝2π100π＝150(秒)，即时间间隔为0.02秒．(3)电压的最大值为2203伏．当100πt ＋π6＝π2，即t ＝1300秒时第一次取得最大值．变式训练2 解 (1)由题图知，A ＝300，t 1＝－1300，t 2＝1150，∵T ＝2(t 2－t 1)＝2(1150＋1300)＝150，∴ω＝2πT＝100π.由ωt 1＋φ＝0知φ＝－ωt 1＝π3，∴I ＝300sin(100πt ＋π3)．(2)问题等价于T ≤1100，即2πω≤1100，也即ω≥200π，故最小正整数为ω＝629.例3 解 (1)从拟合的曲线可知，函数y ＝A sin ωt ＋B 的一个周期为12小时，因此ω＝2πT ＝π6. 又y min ＝7，y max ＝13，∴A ＝12(y max －y min )＝3，B ＝12(y max ＋y min )＝10.∴函数的解析式为y ＝3sin π6t ＋10 (0≤t ≤24)．(2)由题意，水深y ≥4.5＋7，即y ＝3sin π6t ＋10≥11.5，t ∈[0,24]，∴sin π6t ≥12，π6t ∈⎣⎡⎦⎤2k π＋π6，2k π＋5π6，k ＝0,1， ∴t ∈[1,5]或t ∈[13,17]，所以，该船在1∶00至5∶00或13∶00至17∶00能安全进港． 若欲于当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过16小时．变式训练3 A [在给定的四个选项A 、B 、C 、D 中我们不妨代入t ＝0及t ＝3，容易看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A.]课时作业 1．A 2.A3．D [因为f ⎝⎛⎭⎫π6＋x ＝f ⎝⎛⎭⎫π6－x ，所以直线x ＝π6是函数f (x )图象的对称轴． 所以f ⎝⎛⎭⎫π6＝3sin ⎝⎛⎭⎫π6ω＋φ＝3sin ⎝⎛⎭⎫k π＋π2 ＝±3.因此选D.]4．C [d ＝f (l )＝2sin l2.]5．26,27,28解析 ∵T ＝6πm ，又∵23<6πm <34∴8π<m <9π，且m ∈Z ，∴m ＝26,27,28. 6．80解析 T ＝2π160π＝180(分)．f ＝1T＝80(次/分)．7.g 4π2 解析 T ＝2πgl＝1.∴ g l ＝2π.∴l ＝g4π2.8．解 (1)如图所示建立直角坐标系，设角φ⎝⎛⎭⎫－π2<φ<0是以Ox 为始边，OP 0为终边的角．OP 每秒钟内所转过的角为5×2π60＝π6. 由OP 在时间t (s)内所转过的角为⎝⎛⎭⎫5×2π60t ＝π6t .由题意可知水轮逆时针转动，得z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t ＋φ＋2. 当t ＝0时，z ＝0，得sin φ＝－12，即φ＝－π6.故所求的函数关系式为z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2.(2)令z ＝4sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＋2＝6，得sin ⎝⎛⎭⎫π6t －π6＝1， 令π6t －π6＝π2，得t ＝4， 故点P 第一次到达最高点大约需要4 s.。
1.6三角函数模型的简单应用---潮汐问题
1.6 三角函数模型的简单应用—潮汐问题引言三角函数是高中数学中的一个重要概念，其模型在实际问题中有广泛的应用。
本文将以潮汐问题为例，介绍三角函数模型的简单应用。
1. 潮汐问题简介潮汐是指海水在地球上周期性的升高和降低的现象。
潮汐问题涉及到潮汐的周期性变化以及潮汐的高度等问题。
2. 三角函数模型的应用在潮汐问题中，可以使用三角函数模型来描述潮汐的周期性变化。
常用的三角函数模型有正弦函数和余弦函数。
下面将分别介绍它们在潮汐问题中的应用。
2.1 正弦函数正弦函数是三角函数中的一种常见函数，可用来描述周期性变化。
在潮汐问题中，我们可以使用正弦函数来描述潮汐的高度变化。
例如，可以使用如下的正弦函数来表示潮汐的高度变化：h(t) = A * sin(ωt + φ)其中，h(t)表示时刻t的潮汐高度，A表示潮汐的振幅，ω表示潮汐的角频率，φ表示相位。
通过调整参数A、ω、φ，可以根据实际情况对潮汐进行建模。
例如，可以通过观测数据确定潮汐的振幅和周期，从而得到合适的参数值。
2.2 余弦函数余弦函数是另一种常见的三角函数，也可用来描述周期性变化。
在潮汐问题中，我们也可以使用余弦函数来描述潮汐的高度变化。
例如，可以使用如下的余弦函数来表示潮汐的高度变化：h(t) = A * cos(ωt + φ)同样地，通过调整参数A、ω、φ，可以对潮汐进行建模。
3. 实际应用案例现实生活中，三角函数模型的应用不仅局限于潮汐问题，还涉及到其他领域。
以下是一个实际应用案例：在航海中，潮汐对船只的航行起着重要的影响。
航海员需要根据潮汐的变化来调整航线，以确保船只的顺利行驶。
三角函数模型可以用来预测未来一段时间内潮汐的变化，从而帮助航海员制定合理的航行计划。
4. 总结三角函数模型是数学中一个重要的工具，广泛应用于实际问题中。
在潮汐问题中，我们可以使用正弦函数和余弦函数来描述潮汐的周期性变化。
通过调整参数，可以根据实际情况对潮汐进行建模。