二面角大小求法的归类分析
二面角大小的几种求法(归类总结分析)
二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。
求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。
I. 寻找有棱二面角的平面角的方法 ( 定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法 ) 一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点），过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法。
要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征”来找出平面角。
例 空间三条射线CA 、CP 、CB ，∠PCA=∠PCB=60o ，∠ACB=90o ，求二面角B-PC-A 的大小。
解：过PC 上的点D 分别作DE ⊥AC 于E ，DF ⊥BC 于F ，连EF.∴∠EDF 为二面角B-PC-A 的平面角，设CD=a ，∵∠PCA=∠PCB=600， ∴CE=CF=2a ，DE=DF=a 3，又∵∠ACB=900，∴EF=，∴∠EDF=31328332222=⋅-+a a a a1. 在三棱锥P-ABC 中，∠APB=∠BPC=∠CPA=600，求二面角A-PB-C 的余弦值。
PB α CA E FD2. 如图，已知二面角α-а-β等于120°，PA ⊥α，A ∈α，PB ⊥β，B ∈β，求∠APB 的大小。
3. 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求二面角B-PC-D 的大小。
二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。
例 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。
二面角求法总结
二面角求法总结一、定义法定义法是求二面角的基本方法，它通过定义二面角的平面角来求解。
具体来说，如果两个平面相交，那么它们会在交线上形成一个角，这个角就是二面角的平面角。
通过找到这个角的两边，我们可以使用三角函数来求解这个角的大小。
二、垂线法垂线法是一种常用的求二面角的方法，它通过找到一个垂直于两个平面的交线的直线，并将这个直线延长到一个已知点，然后使用三角函数来求解这个角的大小。
这个方法的关键在于找到正确的垂线，并且这个垂线应该是垂直于交线的。
三、射影面积法射影面积法是一种利用射影面积定理求解二面角的方法。
通过找到两个平面上的两条射线和它们之间的夹角，我们可以使用射影面积定理来求解这个角的大小。
这种方法需要先找到正确的射线和夹角，然后使用射影面积定理来计算结果。
四、三垂线定理法三垂线定理法是一种利用三垂线定理来求解二面角的方法。
如果一个平面内的直线与另一个平面垂直，那么这个直线与第一个平面的交点与第二个平面的交点的连线与原直线的夹角就是要求的二面角。
这种方法的关键在于找到正确的三垂线定理的应用条件，并且正确地应用三垂线定理来计算结果。
五、角平分线法角平分线法是一种利用角平分线定理来求解二面角的方法。
如果一个平面内的角平分线与另一个平面垂直，那么角平分线与原直线的夹角就是要求的二面角。
这种方法的关键在于找到正确的角平分线的应用条件，并且正确地应用角平分线定理来计算结果。
六、向量法向量法是一种利用向量的数量积和向量积来求解二面角的方法。
通过找到两个平面上的两个向量，我们可以使用向量的数量积和向量积来计算这两个向量的夹角，这个夹角就是要求的二面角。
这种方法的关键在于正确地找到两个向量，并且正确地应用向量的数量积和向量积来计算结果。
七、坐标法坐标法是一种利用坐标系来求解二面角的方法。
通过建立适当的坐标系，我们可以将二面角的问题转化为求解一个几何量的值的问题。
这种方法的关键在于建立正确的坐标系，并且正确地使用代数方法来计算结果。
从近五年高考中浅谈二面角的求解
从近五年高考中浅谈二面角的求解摘要：本文主要是运用定义法、三垂线法、垂面法、向量法、射影面积法、补形法、补棱法七种方法来求解二面角大小.关键词：二面角，平面角，立体几何.一、背景求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型之一，在求解中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，求解二面角往往转化为求解平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在这一过程中，会用到平面几何、立体几何、三角函数等重要知识.2010年各省份高考中关于二面角的统计：省份全国Ⅰ全国Ⅱ北京卷江西卷安徽卷福建卷天津卷陕西卷广东卷浙江卷湖北卷四川卷重庆卷理科19题19题16题20题18题18题19卷18题18题20题18题18题19题分值12分12分14分12分13分13分12分12分14分15分12分12分12分比例8.0%8.0%9.3%8.0%8.7%8.7%8.0%8.0%9.3%10% 8.0%8.0%8.0%从上表可以看出，立体几何题中有关求二面角大小的试题共有13份，占总分的比例都高于8.0%，由此可见讨论二面角求解的重要性.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形，叫做二面角. 《普通高中课程标准》对其要求为：二面角及其平面角的概念是立体几何最重要的概念之一.二面角概念的发展完善了空间角的概念，而二面角的平面角不但定量描述了两相交平面的相对位置,同时它也是空间中线线、线面、面面垂直关系的一个汇集点,起着承上启下的作用.因此搞好本节课的学习,对学生系统地掌握直线和平面的知识乃至于创新能力的培养都具有十分重要的意义.根据新课标，面对新的情景、新的变化，要学会以基本方法的“不变”来应对题目中的“万变”，这就是本文主要讨论的内容.二面角的求解步骤大体分为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的是计算，我们也不能忽视，下面介绍求二面角的方法.二、求解二面角的七种方法1.定义法定义法是指在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角，从而得到二面角的大小.例1（2009全国卷Ⅰ理）如图，四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 为矩形，SD ⊥底面ABCD ，2AD =，2DC SD ==，点M 在侧棱SC 上，ABM ∠=60° （1）证明：M 在侧棱SC 的中点， （2）求二面角S AM B --的大小.分析：从二面角B AM S --中半平 面ABM 上的一已知点B 向棱AM 作垂线，得垂 足F ,在另一半平面ASM 内过该垂足F 作棱AM的垂线（如GF ），这两条垂线)(GF BF 、便形成该二面角的一个平面角，再在该平面角内建立一个可解三角形，然后借助直角三角函数、正弦定理与余弦定理解题.解:（1）略 （2）由6==AC SA ， 有2=AM ，2==AB AM ，060=∠ABM所以∆ABM 是等边三角形. 过点B 作BF AM ⊥交AM 于点F ，则点F 为AM 的中点，过F 点在平面ASM 内作GF AM ⊥，GF 交AS 于G ，有3=BF . 因为ADS ADC ∆≅∆， 所以AC AS =，且M 是SC 的中点， 有AM GF SC AM ⊥⊥,，即AS GF //，又F 为AM 的中点，故GF 是AMS ∆的中位线，点G 是AS 的中点， 则GFB ∠即为所求二面角. 由2=SM ，有22=GF ， DACB SGMF在∆GAB 中，26=AG ，2=AB ，090=∠GAB ， 所以211423=+=BG 366232222113212cos 222-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠FB GF BG FB GF BFG 所以二面角S AM B --的大小为)36arccos(-. 2.三垂线法定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直．通常当点P 在一个半平面上则通常用三垂线定理法求二面角的大小. 最基本的一个模型为：如右图，设锐二面角βα--l ， 过面α内一点P 作β⊥PA 于A ，作l AB ⊥于B ，连 接PB ，由三垂线定理得l PB ⊥，则PBA ∠为二面角βα--l 的平面角，故称此法为三垂线法.例2(2009山东卷理) 如图，在直四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 为等腰梯形，CD AB //，2,4===CD BC AB ,F E E AA 、、11,2= 分别是棱AD 、1AA 、AB 的中点. （1） 证明：直线11//FCC EE 平面， （2） 求二面角C FC B --1的余弦值. 分析：过二面角C FC B --1中半平面BFC 上的一已知点B 作另一半平面C FC 1的垂线，得垂足O ,再过该垂足O 作棱1FC 的垂线，得垂足P ，连结起点与终点得斜线段PB ，便形成了三垂线定理的EAB CFE 1A 1B 1C 1D 1DF 1O PAβPBlα基本构图（斜线PB 、垂线BO 、射影OP ）,再解直角三角形求二面角的度数.解: 证（1）略（2）因为,2,4===CD BC AB F 是棱AB 的中点, 所以,CF BC BF ==故BCF ∆为正三角形,取CF 的中点O , 则CF OB ⊥又因为直四棱柱1111D C B A ABCD -中,ABCD CC 平面⊥1, 所以BO CC ⊥1,有F CC OB 1平面⊥,过O 在平面F CC 1内作F C OP 1⊥,垂足为P ,连接BP , 则OPB ∠为二面角C FC B --1的一个平面角, 在BCF ∆为正三角形中,3OB =,在F CC Rt 1∆中,F CC OPF 1∆≅∆, 因为11OP OFCC C F =所以22122222OP =⨯=+, 在OPB R ∆t 中,22114322BP OP OB =+=+=, 272cos 7142OP OPB BP ∠===, 所以二面角C FC B --1的余弦值为77.ABDCPEF3.垂面法通过作二面角棱的垂面得平面角的方法.例3（2010陕西）如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是矩形，A B CD PA 平面⊥,22,2===BC AB AP ，F E ,分别是PC AD ,的中点.（1）证明：BEF PC 平面⊥,（2）求平面BEF 与平面BAP 夹角的大小.解：(1) 略(2) 因为ABCD PA 平面⊥, 所以BC PA ⊥, 又ABCD 是矩形，所以BC AB ⊥，故BAP BC 平面⊥，PB BC ⊥. 又由（1）知BEF PC 平面⊥,所以直线PC 与BC 的角即为平面BEF 与平面BAP 的夹角. 在PBC ∆中，090,=∠=PBC BC PB , 有045=∠PCB ,所以平面BEF 与平面BAP 的夹角为045. 4.射影面积法凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式 原射S S cos =θ ，求出二面角的大小.例4（2008北京理）如图，在三棱锥P ABC -中，2AC BC ==，90ACB ∠= ， AP BP AB ==，PC AC ⊥．（1）求证：PC AB ⊥,（2）求二面角B AP C --的大小.分析：本题要求二面角B —AP —C 的大小，用射影面积法，需求出平面ABEACBP的原S ，平面ACE 的射S ,解法如下.解：（1）略（2） 因为PC AC ⊥，90ACB ∠= ，PAC BC 平面所以⊥．取AP 中点E ，连结BE CE ，． 又AP BP AB ==， 所以APB ∆是等边三角形， 有AP BE ⊥．则在BCE ∆中，AP CE ⊥.所以ACE ∆是ABE ∆在平面ACP 内的射影. 由此可有2222=+===CB AC AP BP AB ，221==AP AE , 622=-=AE AB BE ，222=-=AE AC EC .则1222121=⋅=⋅==∆CE AE S S ACE 射， 3622121=⋅=⋅==∆EB AE S S ABE 原. 设二面角B AP C --的大小为θ，有3331cos ===原射S S θ, 所以二面角C AP B --的大小为33arccos =θ. 5.补形法将二面角的两个面延展，确定出两个面的交线，从而构成一个完整的二面角. 例5（2010安徽） 如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是正方形，EF //AB ， EF FB ⊥，2AB EF =， 90BFC ∠=︒，BF FC =，H 为BC 的中点.(1)求证：FH ∥平面EDB ， (2)求证：AC ⊥平面EDB ， (3)求二面角B DE C --的大小. 解：（1）（2）略（3）因为EF FB ⊥,90BFC ∠=︒, 所以CDEF BF 平面⊥.在平面CDEF 内过点F 作DE FK ⊥交DE 延长线于K ,连接BK .则FKB ∠为二面角B DE C --的一个平面角.设,1=EF 则.3,2,2===DE FC AB 又EF DC //,所以EDC KEF ∠=∠,即 32sin sin =∠=∠KEF EDC .故EF FK =,32sin =∠KEF ,3tan ==∠FK BF FKB , 所以060=∠FKB ,所以二面角B DE C --为060. 6.向量法向量法解二面角是一种十分方便简捷，也是非常传统的解法，可以说所有的二面角求解都可以用向量法，用向量法解二面角时，首先要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，其次将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，最后利用向量计算解题.例6（2010湖北）如图, 在四面体ABOC 中，,,OB OC OA OC ⊥⊥,0120=∠AOB ，且1===OC OB OA .(1) 设P 为AC 的中点.证明：在AB 上存在一点Q ,使OA PQ ⊥,并计算ABAQ的值,(2) 求二面角B AC O --的平面角的余弦值.解：(1)略（2）记平面ABC 的法向量),,(321n n n n =则由A C n⊥,B A n ⊥,且)1,0,1(-=A CGADBCKFEHOBACP得⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-023232331n n o n n 故可取)1,3,1(=n，又平面OAC 的法向量为)0,1,0(=e .所以()()53150,1,01,3,1,cos =⋅⋅=e n ，二面角B AC O --的平面角是锐角，记为θ，则515cos =θ . 7.补棱法本法是针对在解构成二面角的两个半平面没有明确交线时，需将两平面的图形补充完整，使之有明确的交线（称为补棱），然后借助前述的方法解题. 例7（2008湖南）如图所示，四棱锥ABCD P -的底面ABCD 是边长为1的菱形，060=∠BCD ，E 是CD 的中点，⊥PA 底面ABCD ，2=PA .（1）证明：平面⊥PBE 平面PAB ,（2）求平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小.分析：本题的所求二面角的两个半平面PAD 和平面PBE 没有明确的交线，则需补充完整（延长BE AD ,相交于点F ，连结PF ），再在补充完整的图形中PF 上找适合的点，形成二面角的平面角解答.解: （1）略（2）延长BE AD ,相交于点F ，连结PF ，取PF 的中点G ，连接AG ,过点A 作PB AH ⊥于H ,连结HG . 由（1）有⊥AH 平面PBE ， 即PF AH ⊥，HG AH ⊥.在等腰PAF Rt ∆中，有PF AG ⊥. 由三垂线定理的逆定理有ABCEDPFGHHG PF ⊥,所以AGH ∠是平面PAD 和平面PBE 所成二面角的平面角（锐角）. 在ABF Rt ∆中，因为060=∠BAF , 所以AP AB AF ===22. 在等腰PAF Rt ∆中，22.2AG PA == 在PAB Rt ∆中，22225.55AP ABAP AB AH PBAP AB ====+ 所以，在AHG Rt ∆中，25105sin .52AH AGH AG ∠===故平面PAD 和平面PBE 所成二面角（锐角）的大小是10arcsin.5二面角是高中数学立体几何中“三大角”之一，也是历年来高考考查的重要内容之一. 二面角的求解有很多不同的方法，本文介绍了定义法、三垂线法、垂面法、向量法、射影面积法、补形法、补棱法七种方法来求解二面角大小，在求解过程中要根据题目的特点选择适当的方法.综合本文可知，首先只要能够比较顺利的做出二面角的平面角，还是选用定义法、三垂线法为好.而向量的优点是，无需作出二面角的棱，也无需做其它的辅助线，仅凭向量的坐标运算即能解决问题，但这方法也有缺陷，一是计算繁杂，二是得准确处理原二面角与相应向量之间的关系.从计算量上讲，射影面积法相比其它七种方法要小，而且技巧性更高，免除了原二面角与相应法向量夹角之间的转换.但题目是“万变”的，当我们面对无棱的二面角时，我们就要使用垂面法、补形法、补棱法找出所隐含的平面角. 总之，所有方法都需要面对不同的题型灵活运用.参考文献[1] 全日制普通高级中学教科书(数学)[M]．第二册（上）．人民教育出版社，2007. [2]普通高中数学课程标准（实验）[M].北京：人民教育出版社，2008，4[3]最新五年高考真题汇编详解[M]．天利全国高考命题研究组．西藏人民出版社，2010[4]黄星寿.二面角问题的解题方法探讨[J]，宜州民族师范学校，文章编号1005-765(2000)02-0076-04.[5]名师指津.二面角计算[M]，筱瑶工作室整理出品.[6]王秋霞.二面角的几种求法[J]，高中数学教与学，江苏省泰州市高港职业教育中心校，225300.[7]龚佳佳.求二面角的大小的方法[J]，北京新学堂研发部，2010—10—15.[8]蔡志提. 怎样解关于二面角问题[J], 福建省晋江市平山中学, 2003—8—13.[9] 欧阳志辉, 周友良. 二面角大小的求法的归类分析[J],衡阳县三中, 湖南祁东育贤中学,421600.。
数学老师重点通知：高中数学求二面角大小的经典巧解技巧方法整理
数学老师重点通知：高中数学求二面角大小的经典巧解技巧方
法整理
Hello，我是洪老师
今天给大家进行的是这个求二面角大小的经典巧解技巧方法整理！
立体几何中的二面角是一个非常重要的数学概念，求二面角的大小更是历年高考的热点问题，每年各省、市的高考试题中几乎都会出现此类题型。
其求解的策略主要有三种方法：其一是定义法，即按照二面角的定义进行求解；其一是射影法，即找其中一个平面的垂线；其一是空间向量法，即建立直角坐标系进行求解. 在高考中常常以解答题出现，其试题难度属中高档题.
方法一定义法
使用情景：空间中面面角的求法
解题模板：第一步首先分别在两个平面中找出与交线垂直的直线；
第二步然后运用平移或解三角形的知识求其夹角；
第三步得出结论.
方法二射影法
使用情景：空间中面面角的求法
解题模板：第一步首先求出其中一个平面的垂线；
第二步然后过垂足作交线的垂线即可得到二面角的平面角；
第三步运用解三角形等相关知识即可求出其大小.
具体的方法，可以下载下来进行学习的，是word文档，可以打印的！
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二面角大小的几种求法归类总结分析汇编
好资料学习-----二面角大小的几种求法二面角的大小往往转化一般而言，二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，主要是利用平面几何、立体在其求解过程中，为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选几何、三角函数等重要知识。
求二面角大小的关键是，择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。
) 寻找有棱二面角的平面角的方法( 定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法I.，过该点在两个半一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点）要注意用这是一种最基本的方法。
两射线所成的角就是二面角的平面角，平面内作垂直于棱的射线，来找出平面角。
二面角的平面角定义的三个“主要特征”oo ACB=90的大小。
，求二面角CB、CP、，∠PCA=∠PCB=60B-PC-A，∠例空间三条射线CA PD AE CαB FEF.上的点D分别作，连BCDF⊥于FDE⊥AC于E，PC解：过0 PCB=60，B-PC-AEDF为二面角的平面角，设CD=a，∵∠PCA=∠∴∠0DE=DF=，∴，，又∵∠ACB=90，∴CE=CF=2aEF=a22a32221a3a3?a8?EDF=∴∠?23a?320 A-PB-C，求二面角的余弦值。
CPA=60APB=1. 在三棱锥P-ABC中，BPC=P QMNA BC更多精品文档．-----好资料学习的大小。
β，求∠APBPB⊥β，B∈α-β等于120°，PA⊥，A∈α，а2. 如图，已知二面角α-PAOB的PA=AB=a，求二面角B-PC-DPA3. 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是正方形，⊥平面ABCD，大小。
PHDAjBC用三垂线定理或逆定理作出二面已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，二、三垂线法：角的平面角。
，，∠ABC=30°⊥平面ABCD，PA=AB=a 在四棱锥P-ABCD中，ABCD是平行四边形，PA 例P-BC-A的大小。
高中数学知识点二面角
高中数学知识点二面角二面角是解析几何中的重要概念，在高中数学课程中也占有一定的比重。
下面将对二面角的定义、性质、应用以及解题方法进行详细介绍。
一、二面角的定义：二面角是指在空间中，由两个不重合射线所确定的两个平面之间的角。
具体而言，设有两条射线OA和OB，这两条射线除了一个公共点O之外没有其他交点，那么我们就可以通过射线OA和射线OB来确定一个二面角。
二、二面角的性质：1.二面角的大小范围是0到π之间，即0<α<π。
2.如果射线OA与射线OB共面，则二面角的大小为0。
3.如果两个射线平行或共线，则二面角的大小为π。
4.二面角的大小与两个面之间的夹角有关，夹角小，二面角大；夹角大，二面角小。
三、二面角的应用：1.几何推理：在解决空间几何题目时，常常需要运用二面角的概念进行证明与推理。
2.几何计算：在三角学和立体几何的计算中，常常需要求解二面角的大小以完成问题的解答。
3.坐标几何：通过给定点的坐标，可以确定射线的方向，进而求解二面角的大小。
四、二面角的解题方法：1.直接法：通过已知条件，利用二面角的定义直接计算得出二面角的大小。
2.投影法：将二面角所在的两个平面进行坐标投影，然后利用向量的内积关系来求解二面角的大小。
3.解析法：利用解析几何的相关知识，将二面角所在的两个平面转化为方程，然后通过求解方程组来求解二面角的大小。
在具体的解题过程中，我们需要根据题目的要求选择合适的解题方法，然后通过运用相应的数学知识和技巧来计算和推导。
总之，二面角是高中数学中的重要知识点之一，理解二面角的定义、性质和应用，掌握求解二面角的解题方法，对于解决相关问题具有重要的意义。
通过深入学习和实践应用，相信同学们对于二面角的理解和运用能力会有所提高。
六种方法求二面角的大小
六种方法求二面角的大小河北省武邑县职教中心 053400 李凤迎 李洪涛求二面角的大小是高考立体几何题中的重要题型，它几乎涉及到了立体几何中的所有知识点，考查到了所有思想和方法，具有很强的综合性.我们要根据题目环境条件的不同灵活地采用适当的方法.下面总结一下二面角的常见求法，以供大家学习和参考.一、定义法例1. 在三棱锥A BCD -中，AB AC AD BC ===，CD BD =，90BAC ∠=，90BDC ∠=，求二面角A BC D --的大小.分析 因为ABC ∆和BCD ∆是有公共边的等腰三角形，此时宜采用“定义法”.解答 取BC 的中点O ，连接OA 、OD ，因为OA 、OD 分别为等腰ABC ∆和BCD ∆的中线，所以AO BC ⊥，DO BC ⊥，则AOD ∠即为所求二面角A BC D --的平面角.设AB a =，则AD a =，AO =，2OD a =，在AOD ∆中，因为2222a a ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222AO OD AD +=，所以90AOB ∠=，所以二面角A BC D --大小为90.说明 当二面角的两个面是有公共边的等腰三角形和矩形的组合时，可采用“定义法”；当二面角的两个面是关于公共边对称的两个全等三角形时，同时取公共边上的高，由定义可作出二面角的平面角.变式训练1 （2008年高考题）在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =, CD =,AB AC =.设侧面ABC 为等边三角形，求二面角C AD E --的大小. 二、三垂线定理法例2. 在三棱锥P ABC -中，AP BP BC==，90APB ABC ∠=∠=，面APB ⊥面PBC .（1）求证：APB ABC ⊥面面；（2）求二面角P AC B --的大小.分析 由（1）中APB ABC ⊥面面可知，此时宜采用“三垂线定理法”作出二面角P AC B --的平面角.只需过P 作PO AB ⊥于O ，过O 作OH AC ⊥于H ，连接PH ，则PHO∠即为所求. 解答 （1）略.（2）过P 作PO AB ⊥于O ，过O 作OH AC ⊥于H ，连接PH .因为APB ABC ⊥面面，=APB ABC AB 面面，PO APB ⊂面，PO AB ⊥，所以DCO ABO HCA B PEGOB DCAPO ABC ⊥面，则OH 为斜线PH 在面ABC 内的射影.又因为AC OH ⊥，所以AC PH ⊥（三垂线定理），则PHO ∠即为所求.设AP a =，则PB BC a ==.在Rt APB ∆中2PO AO a ==，在Rt ABC ∆中AC =，由Rt AOH ∆∽Rt ABC ∆得OH BC AO AC=，所以BC OH AO AC =⋅2a ==，又因为PO ABC ⊥面，OH ABC ⊂面，所以PO OH ⊥，则在Rt ABC ∆中，tan PO PHO HO ∠===60PHO ∠=，即二面角P AC B --的大小为60.说明 当题目中有一条从一个半平面内的一点到另一个半平面的垂线段时，可采用“三垂线定理法”.垂线段可由题目中的线面垂直、面面垂直等条件作出.变式训练2 如图，三棱柱111ABC A B C -，底面是边长为的正三角形，点1A 在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点.若侧棱1AA 和底面ABC 所成的角为45时，求二面角1A AC B --的正切值.三、垂面法例3. 已知P 为二面角l αβ--内一点，PA α⊥于A ，PB β⊥于B ，且3PA =，4PB =若ABC S ∆=l αβ--的度数为______.分析 由已知得l PAB ⊥面.设PAB l O =面，连接,OA OB ，则l OA ⊥，l OB ⊥，则AOB ∠即为二面角l αβ--的平面角，且180AOB P ∠+∠=.要想求AOB ∠，只需由ABC ∆的面积公式求出P ∠即可.解答 因为1sin 2ABC S PA PB P ∆=⋅⋅⋅∠134sin 2P =⋅⋅⋅∠=所以sin 2P ∠=，所以60P ∠=或120，又因为180AOB P ∠+∠=，从而=120AOB ∠或60.说明 180AOB P ∠+∠=可作为结论使用.若给出ABP ∆的三边，则可通过余弦定理l OA BPβαHC 1B 1A 1OC B A求出P ∠的度数.变式训练 3 已知P 为二面角l αβ--内一点，PA α⊥于A ，PB β⊥于B ，且7PA =，8PB =，13AB =，则二面角l αβ--的度数为______.四、面积射影法例4. 在三棱锥中P ABC -，,D E 分别为PBC ∆、ABC ∆的重心，若DE ABC ⊥∆面，PBC ABC ∆∆=S ，则二面角P BC A --的大小为______.分析 易证DE ∥PA ，则PA ABC ⊥面，则PBC ∆的射影为ABC ∆，此时宜采用“面积射影法”.解答 设二面角为θ，因为,D E 分别为PBC ∆、ABC ∆的重心，则可得=MD MEDP EA，所以DE ∥PA .又因为DE ABC ⊥面，所以PA ABC ⊥面.因为cos ABC PBC S θ∆∆=S ==45θ=. 说明 当题目中涉及斜面三角形面积和相应射影三角形面积时，可采用“面积射影法”求二面角的大小.变式训练4 若一正四棱锥的表面积与其底面积满足关系式21=x x S S x++表底，则其侧面与底面所成的二面角的范围是______.五、三正弦定理法例5. （2012年全国新课标卷）在直三棱柱ABC A B C '''-中，12AC BC AA '==，D 是棱AA '的中点，DC BD '⊥.（1）证明：DC BC '⊥；（2）求二面角A BD C ''--的大小.分析 考察面BDC '内的直线DC '，易求90BDC '∠=，即2sin 1θ=；取A B ''的中点N ，则C N ABB A '''⊥面，则C DN '∠即为直线DC '与ABB A ''面所成的角，且1sin 2C DN '∠=，即11sin 2θ=，最后代入公式即可求出二面角的大小.解答 因为DA C ''∆和DAC ∆均为等腰直角三角形，所以DC DC '⊥.又因为DC BC '⊥，所以DC DBC '⊥面，从而DC DB '⊥，即2sin sin 901θ==；取A B ''的中点N ，连接DN ，则C N A B '''⊥.又因为AA C N ''⊥，所以C N ABB A '''⊥面，则C DN'∠M EDC BAPB B'A'C'AD N即为直线DC '与ABB A ''面所成的角.设2AA a '=，则AC BC a ==，因为2C N a '=，D C '=，即11sin sin 2C N C DN CD θ''=∠==.由12sin sin sin θθθ=得1sin 2θ=，又据题意知所求二面角为锐二面角，所以30θ=.说明 当其中一个半平面内的一条直线与另一个半平面、二面角的棱所成的角的正弦值容易求出时，可采用“三正弦定理法”.变式训练 5 如图，平面角为锐角的二面角EF αβ--，若A EF ∈，AG α⊂，45GAE ∠=，若AG 与β所成的角为30，则该二面角的大小为______.六、向量法例6. 题目同例5.分析 由（1）可证BC CC A A ''⊥面，则BC CA ⊥，所以,,CA CB CC '两两互相垂直，此时可以采用“向量法”求二面角的大小.解答 (1) 略.（2）建立如图所示的空间直角坐标系.设所求二面角为θ，平面BDC '的法向量为()1,,n x y z =，又因为()101DC '=-，，，()012BC '=-，，，则1100DC n BC n ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即020x z y z -+=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则2y =，1z =，所以()11,2,1n =；同理设平面ABB A ''的法向量为2n ，取AB 的中点M ，则可知CM ABB A ''⊥面，所以取211==,022n CM ⎛⎫⎪⎝⎭，，又因为121212cos ,n n n n nn ⋅=32==，由题意知所求二面角为锐二面角，所以30θ=. 说明 向量法又俗称“万能法”.当题目中出现三条线段具有或可以证明存在两两互相垂直的位置关系时，可采用“向量法”.但计算时一定要认真，并且要根据所求二面角是锐二面角还是钝二面角合理取舍.变式训练 6 如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点.求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值.βαGE FA（参考答案：1.π- 2. 2；3.60；4.6090θ≤<；5.45；6.sinθ=.）。
六种方法求二面角的大小
六种方法求二面角的大小河北省武邑县职教中心 053400 李凤迎 李洪涛求二面角的大小是高考立体几何题中的重要题型，它几乎涉及到了立体几何中的所有知识点，考查到了所有思想和方法，具有很强的综合性.我们要根据题目环境条件的不同灵活地采用适当的方法.下面总结一下二面角的常见求法，以供大家学习和参考.一、定义法例1. 在三棱锥A BCD -中，AB AC AD BC ===，CD BD =，90BAC ∠=，90BDC ∠=，求二面角A BC D --的大小.分析 因为ABC ∆和BCD ∆是有公共边的等腰三角形，此时宜采用“定义法”.解答 取BC 的中点O ，连接OA 、OD ，因为OA 、OD 分别为等腰ABC ∆和BCD ∆的中线，所以AO BC ⊥，DO BC ⊥，则AOD ∠即为所求二面角A BC D --的平面角.设AB a =，则AD a =，AO =，2OD a =，在AOD ∆中，因为2222a a ⎫⎛⎫+=⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即222AO OD AD +=，所以90AOB ∠=，所以二面角A BC D --大小为90.说明 当二面角的两个面是有公共边的等腰三角形和矩形的组合时，可采用“定义法”；当二面角的两个面是关于公共边对称的两个全等三角形时，同时取公共边上的高，由定义可作出二面角的平面角.变式训练1 （2008年高考题）在四棱锥A BCDE -中，底面BCDE 为矩形，侧面ABC ⊥底面BCDE ，2BC =, CD =,AB AC =.设侧面ABC 为等边三角形，求二面角C AD E --的大小. 二、三垂线定理法例2. 在三棱锥P ABC -中，AP BP BC==，90APB ABC ∠=∠=，面APB ⊥面PBC .（1）求证：APB ABC ⊥面面；（2）求二面角P AC B --的大小.分析 由（1）中APB ABC ⊥面面可知，此时宜采用“三垂线定理法”作出二面角P AC B --的平面角.只需过P 作PO AB ⊥于O ，过O 作OH AC ⊥于H ，连接PH ，则PHO∠即为所求. 解答 （1）略.（2）过P 作PO AB ⊥于O ，过O 作OH AC ⊥于H ，连接PH .因为APB ABC ⊥面面，=APB ABC AB 面面，PO APB ⊂面，PO AB ⊥，所以DCO ABO HCA B PEGOB DCAPO ABC ⊥面，则OH 为斜线PH 在面ABC 内的射影.又因为AC OH ⊥，所以AC PH ⊥（三垂线定理），则PHO ∠即为所求.设AP a =，则PB BC a ==.在Rt APB ∆中2PO AO a ==，在Rt ABC ∆中AC =，由Rt AOH ∆∽Rt ABC ∆得OH BC AO AC=，所以BC OH AO AC =⋅2a ==，又因为PO ABC ⊥面，OH ABC ⊂面，所以PO OH ⊥，则在Rt ABC ∆中，tan PO PHO HO ∠===60PHO ∠=，即二面角P AC B --的大小为60.说明 当题目中有一条从一个半平面内的一点到另一个半平面的垂线段时，可采用“三垂线定理法”.垂线段可由题目中的线面垂直、面面垂直等条件作出.变式训练2 如图，三棱柱111ABC A B C -，底面是边长为的正三角形，点1A 在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点.若侧棱1AA 和底面ABC 所成的角为45时，求二面角1A AC B --的正切值.三、垂面法例3. 已知P 为二面角l αβ--内一点，PA α⊥于A ，PB β⊥于B ，且3PA =，4PB =若ABC S ∆=l αβ--的度数为______.分析 由已知得l PAB ⊥面.设PAB l O =面，连接,OA OB ，则l OA ⊥，l OB ⊥，则AOB ∠即为二面角l αβ--的平面角，且180AOB P ∠+∠=.要想求AOB ∠，只需由ABC ∆的面积公式求出P ∠即可.解答 因为1sin 2ABC S PA PB P ∆=⋅⋅⋅∠134sin 2P =⋅⋅⋅∠=所以sin 2P ∠=，所以60P ∠=或120，又因为180AOB P ∠+∠=，从而=120AOB ∠或60.说明 180AOB P ∠+∠=可作为结论使用.若给出ABP ∆的三边，则可通过余弦定理l OA BPβαHC 1B 1A 1OC B A求出P ∠的度数.变式训练 3 已知P 为二面角l αβ--内一点，PA α⊥于A ，PB β⊥于B ，且7PA =，8PB =，13AB =，则二面角l αβ--的度数为______.四、面积射影法例4. 在三棱锥中P ABC -，,D E 分别为PBC ∆、ABC ∆的重心，若DE ABC ⊥∆面，PBC ABC ∆∆=S ，则二面角P BC A --的大小为______.分析 易证DE ∥PA ，则PA ABC ⊥面，则PBC ∆的射影为ABC ∆，此时宜采用“面积射影法”.解答 设二面角为θ，因为,D E 分别为PBC ∆、ABC ∆的重心，则可得=MD MEDP EA，所以DE ∥PA .又因为DE ABC ⊥面，所以PA ABC ⊥面.因为cos ABC PBC S θ∆∆=S ==45θ=. 说明 当题目中涉及斜面三角形面积和相应射影三角形面积时，可采用“面积射影法”求二面角的大小.变式训练4 若一正四棱锥的表面积与其底面积满足关系式21=x x S S x++表底，则其侧面与底面所成的二面角的范围是______.五、三正弦定理法例5. （2012年全国新课标卷）在直三棱柱ABC A B C '''-中，12AC BC AA '==，D 是棱AA '的中点，DC BD '⊥.（1）证明：DC BC '⊥；（2）求二面角A BD C ''--的大小.分析 考察面BDC '内的直线DC '，易求90BDC '∠=，即2sin 1θ=；取A B ''的中点N ，则C N ABB A '''⊥面，则C DN '∠即为直线DC '与ABB A ''面所成的角，且1sin 2C DN '∠=，即11sin 2θ=，最后代入公式即可求出二面角的大小.解答 因为DA C ''∆和DAC ∆均为等腰直角三角形，所以DC DC '⊥.又因为DC BC '⊥，所以DC DBC '⊥面，从而DC DB '⊥，即2sin sin 901θ==；取A B ''的中点N ，连接DN ，则C N A B '''⊥.又因为AA C N ''⊥，所以C N ABB A '''⊥面，则C DN'∠M EDC BAPB B'A'C'AD N即为直线DC '与ABB A ''面所成的角.设2AA a '=，则AC BC a ==，因为2C N a '=，D C '=，即11sin sin 2C N C DN CD θ''=∠==.由12sin sin sin θθθ=得1sin 2θ=，又据题意知所求二面角为锐二面角，所以30θ=.说明 当其中一个半平面内的一条直线与另一个半平面、二面角的棱所成的角的正弦值容易求出时，可采用“三正弦定理法”.变式训练 5 如图，平面角为锐角的二面角EF αβ--，若A EF ∈，AG α⊂，45GAE ∠=，若AG 与β所成的角为30，则该二面角的大小为______.六、向量法例6. 题目同例5.分析 由（1）可证BC CC A A ''⊥面，则BC CA ⊥，所以,,CA CB CC '两两互相垂直，此时可以采用“向量法”求二面角的大小.解答 (1) 略.（2）建立如图所示的空间直角坐标系.设所求二面角为θ，平面BDC '的法向量为()1,,n x y z =，又因为()101DC '=-，，，()012BC '=-，，，则1100DC n BC n ⎧'⋅=⎪⎨'⋅=⎪⎩，即020x z y z -+=⎧⎨-+=⎩，取1x =，则2y =，1z =，所以()11,2,1n =；同理设平面ABB A ''的法向量为2n ，取AB 的中点M ，则可知CM ABB A ''⊥面，所以取211==,022n CM ⎛⎫⎪⎝⎭，，又因为121212cos ,n n n n nn ⋅=32==，由题意知所求二面角为锐二面角，所以30θ=. 说明 向量法又俗称“万能法”.当题目中出现三条线段具有或可以证明存在两两互相垂直的位置关系时，可采用“向量法”.但计算时一定要认真，并且要根据所求二面角是锐二面角还是钝二面角合理取舍.变式训练 6 如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB AC ⊥，2AB AC ==，14AA =，点D 是BC 的中点.求平面1ADC 与平面1ABA 所成二面角的正弦值.βαGE FA（参考答案：1.π- 2. 2；3.60；4.6090θ≤<；5.45；6.sinθ=.）。
SXB141高考数学必修_二面角的几何求解思路
二面角的几何求解思路求二面角大小是立体几何，乃至整个高中数学的重点和难点内容之一，也是高考考察的热点.本文介绍二面角的几种几何求解思路，希望同学们能熟练掌握并能合理的加以选择.一、直接法用直接法求二面角时,应按“一作、二证、三求”的步骤进行.即根据已知条件, 先作出平面角，证 其即为所求二面角的平面角，再求平面角大小的方法.作二面角平面角的方法有:1.定义法:在棱上取一点,过该点分别在两个半平面内作垂直于棱的射线,则这两条射线所成的角即为二面角的平面角.2.垂面法:即找棱的垂面,则该垂面与两个半平面的交线所成的角即为二面角的平面角.3.三垂线定理法:过二面角的一个半平面内一点向另一个半平面作垂线,利用三垂线定理或其逆定理得其平面角.一般情况下，以上三种方法在解题中的选用顺序为:优先考虑“找棱的垂面”，若不行，则考虑三垂线定理，最后考虑定义法.典例分析例 1.如图1,在三棱锥,,,,S ABC SA ABC AB BC DE SC -⊥⊥中平面垂直平分分别交,AC SC 于D,E 两点,且,,SA AB SB BC E BD C ==--求二面角的大小.图1C 图1（1）C分析一:先找棱BD 的垂面,从BD 的垂线找起.解法一: ∵,DE SC 垂直平分且SB=BC ∴BE ⊥SC 又DE ⊥SC∴SC ⊥面BDE ∴BD ⊥SC又易证BD ⊥SA, ∴BD ⊥面ASC,即面ASC 为BD 的一个垂面 又,SAC BDE DE SAC BDC DC ==面面面面 ∴∠EDC 即为E BD C --二面角的平面角. 设SA=SB=a,则a,由,SA ABC ⊥平面得,SA BC ⊥又,BC AB ⊥ ∴BC SAB ⊥平面，故BC SB ⊥，故在SBC ∆中，SC =2a.在Rt SAC ∆中，SA=a, SC =2a,故SCA ∠=300.∴在Rt DEC ∆中，∠EDC=600.分析二: 若找不到BD 的垂面,则可考虑三垂线定理.解法二: 如图1(1),取AC 中点F,连结EF,则EF ⊥面BCD ， 过点F 作FG ⊥BD 于点G,连结EG,则EG ⊥BD ， ∴∠EGF 为E BD C --二面角的平面角. 余解略.例2.如图2,正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1,P 是AD 的中点,求二面角A-BD 1-P 的大小.图2BB 1图2（1）BB 1图2（3）B1分析一:找到棱BD 1的垂面ACB 1，但面ACB 1与面ABD 1、面PBD 1的交线不易确定，故放弃该法,考虑三垂线定理. 解法一:如图2（1）,∵AB ⊥面AD 1 ∴面AD 1⊥面ABD 1， 又面AD 1与面ABD 1的交线为AD 1,且点P 在面面AD 1内，∴过点P 作PM ⊥AD 1于M,则PM ⊥面ABD 1，过点M 作MN ⊥BD 1与N ，连结PN ，则PN ⊥BD 1， ∴∠MNP 即为二面角A-BD 1-P 的平面角. 余解略.分析二: 本题也可以考虑定义法.解法二:如图2（3）,作PE ⊥BD 1于点E,则可证E 为BD 1的中点, 过点E 作EF ⊥AD 1于点F,垂足为E, 则∠PEF 即为二面角A-BD 1-P 的平面角. 余解略.计算过程比解法一麻烦. 评注:1.找棱的垂面是作二面角平面角的第一思路，其要点为:①,先找到棱的垂面；②,确定该垂面与两个半平面的交线.若找不到棱的垂面，或虽能找到棱的垂面但不易确定该垂面与两个半平面的交线，则应放弃该思路，转而考虑三垂线定理.2.利用三垂线定理求作二面角的平面角时，通常需观察、分析二面角的两个半平面，考察哪个半平面我们更熟悉，通常过不熟悉的半平面内的一特殊点向另一个相对熟悉的平面作垂线，然后在利用三垂线定理作出二面角的平面角.作线面垂直最关键.例3.已知如图,∠APB=∠APC=450,∠BPC=600,求二面角B －PA －C 的大小.分析:找棱的垂面或利用三垂线定理均不够直观，故考虑定义法.解:如图3,在棱AP 上取点D,作DE ⊥AP 于点D,交PB 与点E ，作DF ⊥PA 于点D,交PC 于点F,连结EF ， 则∠EDF 即为二面角B －PA －C 的平面角. 余解略.二、间接法 所谓间接法，就是不直接作出二面角的平面角.常利用面积射影定理（设二面角l αβ--的大小为θ,面α内有一个面积为S 的封闭图形, 该图形在面β内的射影面积为S ’,则|cos θ|=SS '）来求，有时也可先求其补角. 图4EC 1FO图5BCAEDD 1C 1B 1A 1例4.如图4，设E 为正方体的边CC 1的中点，则平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1所成角的余弦值为________.分析:图中并没有直接画出平面AB 1E 和底面A 1B 1C 1D 1的交线,即二面角的棱不明确,要作出二面角的平面角,必须先求作二个平面的交线,这给解题带来一定的难度,所以不妨利用面积射影定理求解.略解:显然△AB 1E 在底面A 1B 1C 1D 1上的射影为△A 1B 1C 1,故这两个平面所成二面角的平面角的余弦值为111123A B C AB ES S ∆∆=.例5.如图5,在正方体AC 1中,E ，F 分别为对角线BD1与棱CC 1的中点,求平面EFD 1与底面所成锐角的余弦值.解:11,,,,,1,2D E F D O CE EF D F ===1在下底面的射影分别为设正方体的棱长为易求得:D1111,,41cos D EF DOC DOC D EF D EF S S S S θθ∆∆∆∆∴∆====为直角三角形设所求的角为则 也可以先延长D 1F 交DC 的延长线于点Q,连接BQ,则BQ 为所求二面角的棱,再借助于直接法作出二面角的平面角,解略.评注: 例4,例5均属无棱二面角类型. 解法有:1.找或作出二面角的棱,将问题转化为有棱二面角,通过作出其平面角来求解(如例5).2.利用面积射影定理（cos α=SS '）来求(如例4,例5). 例6.如右图，正方体1111D C B A ABCD -中，E 为1AA 的中点，求二面角B DE B --1的大小。
高中数学解题方法---二面角大小的几种求法
∴∠EDF= 3a2
+ 3a 2 − 8a 2 2 ⋅ 3a 2
=
1 3
1. 在三棱锥 P-ABC 中，∠ APB= ∠ BPC= ∠ CPA=600，求二面角 A-PB-C 的
余弦值。
Pபைடு நூலகம்
Q N
B
M A
2 / 14
C
2. 如图，已知二面角 α-а-β 等于 120°，PA⊥α，A∈α，PB⊥β，B∈β，求 ∠APB 的大小。
5 / 14
A
α
为 A1，点 B 在 l 的射影为 B1，已知 AB=2，AA1=1，BB1= 2，求：二面角 A1 －AB－B1 的大小。
三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半 平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱 垂直。
例 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA⊥平面 ABCD，PA=AB=a，
二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线 定理或逆定理作出二面角的平面角。
三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半 平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱 垂直。
II. 寻找无棱二面角的平面角的方法 ( 射影面积法、平移或延长(展) 线(面)法 )
P
A
O B
3. 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA⊥平面 ABCD，PA=AB=a，
求二面角 B-PC-D 的大小。
P
H
jA
D
B
C
二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线
定理或逆定理作出二面角的平面角。
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二面角大小的求法的归类分析
一、定义法：直接在二面角的棱上取一点（特殊点），分别在两个半平面内作棱的垂线，得出平面角，用定义法时，要认真观察图形的特性； 例1 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形， PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ， 求二面角B-PC —-D 的大小。
二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角；
例2 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是平 行四边形，PA ⊥平面ABCD ，PA=AB=a ， ∠ABC=30°，求二面角P-BC-A 的大小。
三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直；
例3 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 是正方形，
PA⊥平面ABCD ，PA=AB=a ，求B-PC-D 的大小。
四、射影法：利用面积射影公式S 射＝S 原cos θ,其中θ为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角；
例3 在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ，求平面PBA 与平面PDC 所成二面角的大小。
五、:对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个半平面， 使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法）。
例5、在四棱锥P-ABCD 中，ABCD 为正方形， PA ⊥平面ABCD ，PA ＝AB ＝a ， 求平面PBA 与平面PDC 所成二面角 的大小。
（补形化为定义法）
由此可见，二面角的类型和求法可用框图展现如下：
p
A B
D L H
A
D P H
A
D
P
H A
B P
[基础练习]
1．二面角是指 （ ） A 两个平面相交所组成的图形
B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形
C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形
D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形
2．平面α与平面β、γ都相交，则这三个平面可能有 （ ） A 1条或2条交线 B 2条或3条交线
C 仅2条交线
D 1条或2条或3条交线
3．在300的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是10，则它到棱的距离是( )
A 5
B 20
C 210
D 22
5
4．在直二面角α-l-β中，Rt ΔABC 在平面α内，斜边BC 在棱l 上，若AB 与面β所成的角为600，则AC 与平面β所成的角为 （ ） A 300 B 450 C 600 D 1200 5．如图，射线BD 、BA 、BC 两两互相垂直，AB=BC=1，BD=2
6
， 则弧度数为3
π的二面角是（ ）
A D-AC-
B B A-CD-B
C A-BC-
D D A-BD-C 6．△ABC 在平面α的射影是△A 1B 1C 1，如果△ABC 所在平面和平面α成θ角，有 A S △A1B1C1=S △ABC ·sinθ B S △A1B1C1= S △ABC ·cosθ C S △ABC =S △A1B1C1·sinθ D S △ABC =S △A1B1C1·cosθ 7．如图，若P 为二面角M-l-N 的面N 内一点，PB ⊥
l ，B 为垂足， A 为l 上一点，且∠PAB=α，PA 与平面
M 所成角为β，二面 角M-l-N 的大小为γ，则有 （ ） A sin α=sin βsin γ B sin β=sin αsin γ C sin γ=sin αsin β D 以上都不对 8．在600的二面角的棱上有两点A 、B ，AC 、BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于AB 的线段，已知：AB=6，AC=3，BD=4，则CD= 。
9．已知△ABC 和平面α，∠A=300，∠B=600，AB=2，AB ⊂α，且平面ABC 与α所成角为300
，则点C 到平面α的距离为 。
10．正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，平面AA 1C 1C 和平面A 1BCD 1所成的二面角（锐角）为 。
11．已知菱形的一个内角是600，边长为a ，沿菱形较短的对角线折成大小为600
的二面角，则菱形中含600角的两个顶点间的距离为 。
12．如图，△ABC 在平面α内的射影为△ABC 1，若∠ABC 1=θ，BC 1=a,且 平面ABC 与平面α所成的角为ψ，求点C 到平面α的距离
13．在二面角α-AB-β的一个平面α内，有一直线AC ，它与棱AB 成450角，AC 与平面β成300角，求二面角α-AB-β的度数。
[深化练习] 14．若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为a 和a 2，到棱的距离为
2a ，则此二面角的度数是 。
15．把等腰直角三角形ABC 沿斜边BC 上的高AD 折成一个二面角，若∠BAC=600，
则此二面角的度数是 。
16．如图，已知正方形ABCD 和正方形ABEF 所在平面成600的二面角，求直线BD 与平面ABEF 所成角的正弦值。
17．如图，在棱长为a 的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，求：（1）面A 1ABB 1与面ABCD 所成角的大小；（2）二面角C 1—BD —C 的正切值。
A
B C
D
A B M
N
P l A B
C D
A D C B
N 二面角大小的求法答案
1.、AB=AD=a
PA AB
PA AD PB PD
AB AD a
⊥⎫
⎪
⊥⇒=
⎬
⎪
==⎭
，
PB PD
BC DC PBD PDC
PC PC
=⎫
⎪
=⇒∆≅∆
⎬
⎪
=⎭
过B作BH⊥PC于H，连结DH
DH⊥PC故∠BHD为二面角B-PC-D的平面角
因
1
2
PB·BC=S△PBC=
1
2
PC·BH
则
又
在△BHD中由余弦定理，得：
cos∠BHD
＝
)
22
2
2221
22
a
BH DH BD
BH BD
⎫⎫
+-
⎪⎪
+-
==-
又0＜∠BHD＜π 则∠BHD=
2
3
π
，二面角B-PC-D的大小是
2
3
π。
2解：（三垂线法）如图PA⊥平面BD，过A作AH⊥BC于H，连结PH，则PH⊥BC
又AH⊥BC，故∠PHA是二面角P-BC-A的平面角，
在Rt△ABH中，AH=ABsin∠ABC=aSin30°=
2
a
在Rt△PHA中，tan∠PHA=PA/AH=2
2
a
a
=，则∠PHA=arctan2.
3解（垂面法）如图PA⊥平面BD BD⊥AC
BD⊥BC
过BD作平面BDH⊥PC于H
PC⊥DH、BH
∠BHD为二面角B-PC-D的平面角，
因
1
2
PB·BC=S△PBC=
1
2
PC·BH
则，又在△BHD中由余弦定理，得：
cos∠BHD＝
)
22
2
2221
22
BH DH BD
BH BD
⎫⎫
+-
⎪⎪
+-
==-
又0＜∠BHD＜π 则∠BHD=
2
3
π
，二面角B-PC-D的大小是
2
3
π。
4 解（面积法）如图
AD PA
AD AB AD PBA A
PA AB A
⊥⎫
⎪
⊥⇒⊥
⎬
⎪
=⎭
于
同时，BC⊥平面BPA于B ，故△PBA是△PCD在平面PBA上的射影
设平面PBA与平面PDC所成二面角大小为θ，则cosθ=PBA
PCD
s
S
∆
∆
=θ=45°
5解（补形化为定义法）如图
将四棱锥P-ABCD补形得正方体ABCD-PQMN，
则PQ⊥PA、PD，
于是∠APD是两面所成二面角的平面角。
在Rt△PAD中，PA=AD，则∠APD=45°。
即平面BAP与平面PDC所成二面角的大小为45°
[参考答案]
1—7 DDBA ABB 8. 7cm 9.
4
3
10.
3
π
11.a
2
3
12.ϕ
θtg
a sin 13. 450 14. 700或1650 15. 900
16.正弦值为
4
6
17.(1)900 (2)正切值为2
A
P
l
A
B
D
P。