习题向量的方法求二面角
立体几何二面角的求法
立体几何二面角的求法立体几何是数学的一个重要分支，研究的是空间中的图形和其性质。
其中，二面角是立体几何中的一个重要概念，它是由两个平面所围成的角。
本文将介绍二面角的定义、性质以及求法。
一、二面角的定义二面角是由两个平面所围成的角，其中一个平面称为顶面，另一个平面称为底面，二面角的两个边分别位于顶面和底面上。
二面角常用字母α表示。
二、二面角的性质1. 二面角的大小是以顶点为中心，两个边所围成的平面角的大小，即α=∠POQ。
2. 二面角的大小是由顶面和底面的位置关系决定的，与边的长度无关。
3. 二面角的度量范围是0到180度。
4. 如果两个平面平行，则它们所围成的二面角为0度。
5. 如果两个平面相互垂直，则它们所围成的二面角为90度。
6. 如果两个平面相交于一条直线，则它们所围成的二面角为180度。
三、二面角的求法1. 通过向量法求解二面角：设顶面的法向量为n1，底面的法向量为n2，二面角的余弦值可以通过两个法向量的点乘公式求解：cosα=n1·n2/(|n1||n2|)，其中·表示点乘，|n1|和|n2|分别表示n1和n2的模。
2. 通过平面法向量求解二面角：设顶面的法向量为n1，底面的法向量为n2，二面角的余弦值等于两个法向量的模的乘积与它们的点乘的商：cosα=(|n1|·|n2|)/(n1·n2)。
3. 通过平面方程求解二面角：设顶面的平面方程为Ax+By+Cz+D1=0，底面的平面方程为Ax+By+Cz+D2=0，二面角的余弦值等于两个平面方程的D1、D2的差值与它们的模的乘积的商：cosα=(D1-D2)/(√(A^2+B^2+C^2)·√(A^2+B^2+C^2))。
四、二面角的应用1. 二面角常用于计算空间中的体积和表面积。
2. 在物理学中，二面角常用于描述力的方向和大小。
3. 在几何光学中，二面角常用于计算光的反射和折射。
4. 在工程中，二面角常用于计算材料的强度和稳定性。
求二面角的六种方法
求二面角的六种方法求解二面角是空间几何学中常见的问题，它在多个领域如物理学、化学和工程学中都有广泛的应用。
本文将介绍六种求解二面角的方法，包括向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。
一、向量法向量法是一种简便的求解二面角的方法。
它利用向量的夹角来表示二面角。
首先，我们需要确定两个平面的法向量，然后计算它们之间的夹角。
通过向量的点积和模长运算，可以得到二面角的大小。
二、坐标法坐标法是一种常用的求解二面角的方法。
它利用坐标系中的点来表示二面角。
我们可以通过给定的坐标点，计算两个平面的法向量，然后利用向量夹角的公式求解二面角。
三、三角法三角法是一种基于三角函数的求解二面角的方法。
它利用三角函数的性质来计算二面角的大小。
通过已知的边长和角度，可以利用正弦定理、余弦定理等公式求解二面角。
四、平面几何法平面几何法是一种利用平面几何关系求解二面角的方法。
它通过已知的平面形状和角度关系，利用平面几何的知识来求解二面角的大小。
例如，可以利用平行线的性质、垂直线的性质等来计算二面角。
五、球面几何法球面几何法是一种利用球面几何关系求解二面角的方法。
它通过已知的球面形状和角度关系，利用球面几何的知识来求解二面角的大小。
例如，可以利用球面上的弧长、球面上的角度等来计算二面角。
六、投影法投影法是一种利用投影关系求解二面角的方法。
它通过已知的投影长度和角度关系，利用投影几何的知识来求解二面角的大小。
例如，可以利用平面上的投影线段、平面上的角度等来计算二面角。
通过以上六种方法，我们可以灵活地求解二面角的大小。
不同的问题和场景可能适用不同的方法，我们可以根据具体情况选择合适的方法来解决问题。
这些方法在实际应用中具有重要的意义，能够帮助我们更好地理解和解决相关问题。
总结起来，求解二面角的六种方法分别是向量法、坐标法、三角法、平面几何法、球面几何法和投影法。
每种方法都有其特点和适用场景，我们可以根据具体问题选择合适的方法来求解二面角。
向量法求二面角大小洋葱数学
向量法求二面角大小洋葱数学【原创实用版】目录一、引言二、向量法求二面角大小的基本原理1.求出所求二面角两个面上的法向量2.计算 cos（法向量 1 法向量 2）/（法向量 1 的模长法向量 2 的模长）3.根据图形判断是锐二面角还是钝二面角4.确定 cos 的符号5.用反三角函数表示这个角三、结论正文一、引言在数学中，二面角是指两个平面之间的夹角，它是一个非常重要的概念。
在实际应用中，求解二面角大小有着广泛的应用，而向量法是求解二面角大小的一种常用方法。
本文将从向量法的角度出发，详细介绍如何求解二面角大小。
二、向量法求二面角大小的基本原理1.求出所求二面角两个面上的法向量在求解二面角大小时，首先需要找到两个平面上的法向量。
法向量是垂直于平面的向量，它可以通过计算平面上两个向量的叉积得到。
假设平面 1 的法向量为 A，平面 2 的法向量为 B，则可以通过计算向量 A 和向量 B 的叉积得到法向量 C。
2.计算 cos（法向量 1 法向量 2）/（法向量 1 的模长法向量 2 的模长）接下来，需要计算二面角大小所对应的 cos 值。
根据向量内积的定义，可以得到 cos（法向量 1 法向量 2）=（法向量 1·法向量 2）/（法向量 1 的模长*法向量 2 的模长）。
其中，法向量 1·法向量 2 表示法向量 1 和法向量 2 的内积，法向量 1 的模长和法向量 2 的模长分别表示它们的模长。
3.根据图形判断是锐二面角还是钝二面角在计算出 cos 值后，需要根据图形来判断这个二面角是锐二面角还是钝二面角。
如果 cos 值为正，那么这个二面角就是锐二面角；如果 cos 值为负，那么这个二面角就是钝二面角。
4.确定 cos 的符号在计算 cos 值时，需要注意 cos 值的符号。
如果法向量 1 和法向量 2 的内积为正，那么 cos 值为正；如果内积为负，那么 cos 值为负。
在实际计算中，需要根据具体情况来确定 cos 值的符号。
求二面角的六种方法
求二面角的六种方法一、引言二面角是几何学中的一个重要概念，它用于描述两个平面的夹角。
求解二面角的方法有多种，本文将介绍六种常用的方法，包括向量法、三角函数法、三边长法、内外法、旋转法和平行四边形法。
对于每种方法，我们将详细介绍其原理和具体步骤，并给出相关的实例来加深理解。
二、向量法向量法是最常用的求解二面角的方法之一，其基本原理是通过两个平面的法向量来计算二面角。
具体步骤如下：2.1 确定两个平面首先，我们需要确定需要求解的两个平面。
平面可以由三个不共线的点或者法向量和过点的方程来确定。
2.2 求解法向量找到两个平面的法向量，分别记作n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 。
2.3 计算二面角的余弦值通过法向量n1⃗⃗⃗⃗ 和n2⃗⃗⃗⃗ 的点积计算二面角的余弦值：cosθ=n1⃗⃗⃗⃗ ⋅n2⃗⃗⃗⃗ ∥n1⃗⃗⃗⃗ ∥∥n2⃗⃗⃗⃗ ∥2.4 计算二面角通过余弦值反函数（如反余弦函数）计算二面角的值：θ=arccos(cosθ)三、三角函数法三角函数法是另一种常用的求解二面角的方法，主要基于三角函数的关系来计算二面角。
具体步骤如下：3.1 确定两个平面同样，我们首先需要确定需要求解的两个平面。
3.2 求解法向量和对应边长求解两个平面的法向量n 1⃗⃗⃗⃗ 和n 2⃗⃗⃗⃗ ，以及两个平面上的边长。
3.3 计算三角函数的值根据边长和法向量的乘积，分别计算sinα=∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ×n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥和cosα=n1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ∥∥n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ∥，其中α为两个边向量构成的夹角。
3.4 计算二面角通过三角函数的反函数（如反正弦函数、反余弦函数）计算夹角α的值，即得到二面角的值。
四、三边长法三边长法是一种适用于三角形的方法，其原理是利用给定的三边长计算三角形的角度，进而求得二面角。
具体步骤如下：4.1 确定三个边长根据具体情况，确定三个边长a 、b 和c 。
高中数学求二面角技巧
高中数学求二面角技巧
高中数学中，求解二面角是一项重要的技巧。
二面角是指两个平面相交而形成的角度，常常出现在几何题目中。
以下是一些求解二面角的技巧：
1. 使用向量法求解二面角
向量法是求解二面角的常用方法。
假设有两个平面AB和CD，且它们相交于一条直线EF。
设向量AB=n，向量CD=m，向量EF=a，则二面角θ的余弦值为：
cosθ=(n·m)/( |n|·|m| )
其中，n·m表示n和m的数量积，|n|和|m|表示向量n和向量m 的模长。
2. 利用三角函数求解二面角
如果已知二面角的两个面的斜率，可以使用三角函数求解二面角。
设两个平面的斜率分别为k1和k2，则二面角的正切值为：
tanθ=(k1-k2)/(1+k1k2)
可以使用反正切函数求解出二面角的值。
3. 利用平面几何知识求解二面角
通过平面几何知识，可以求解出两个平面的交线与一个球面的交线，从而求解二面角。
设两个平面在点O处相交，交线为AB和CD，球心为O，球面与交线AB和CD的交点分别为P和Q，则二面角θ等
于∠POQ。
以上是求解二面角的一些常用技巧，希望对高中数学学习有所帮
助。
求二面角的方法
求二面角的方法求二面角的方法二面角是一个非常重要的概念，在数学、物理、化学等领域都有广泛的应用。
它是指两个平面或曲面之间的夹角，也可以理解为一个三维图形中相邻两个面之间的夹角。
在这里，我们将介绍几种求二面角的方法。
方法一：向量法向量法是一种比较简单易懂的方法。
首先，我们需要找到两个平面或曲面上的法向量，然后计算它们之间的夹角即可得到二面角。
具体步骤如下：1. 找到两个平面或曲面上的法向量。
2. 计算这两个法向量之间的夹角，可以使用余弦定理或内积公式进行计算。
3. 将得到的结果转换为度数制即可得到二面角。
例如，假设我们要求一个正四棱锥中底面和侧棱所在平面之间的二面角。
首先，我们需要找到底面和侧棱所在平面上的法向量。
底面上任意一点处垂直于底面且指向外部的单位法向量为(0,0,-1)，而侧棱所在平面上任意一点处垂直于该平面且指向内部的单位法向量为(1/√2,0,-1/√2)。
然后，我们可以使用余弦定理计算它们之间的夹角，即cosθ=（0×1/√2+0×0+（-1）×（-1/√2））÷（√（0²+0²+1²）×√（（1/√2）²+0²+（-1/√2）²）），得到cosθ=1/3。
将其转换为度数制，即θ≈70.53°，即可得到二面角。
方法二：三角形面积法三角形面积法是另一种求解二面角的方法。
它需要先求出相邻两个面所在平面上的三个顶点，然后计算这三个顶点构成的三角形面积，最后根据正弦定理求出二面角。
具体步骤如下：1. 找到相邻两个面所在平面上的三个顶点。
2. 计算这三个顶点构成的三角形的面积。
3. 根据正弦定理计算出二面角。
例如，假设我们要求一个立方体中相邻两个正方形所在平面之间的二面角。
首先，我们需要找到这两个正方形所在平面上的三个顶点。
可以选择其中一个正方形上任意一点作为第一个顶点，然后在该正方形上选择任意两个相邻的点作为第二和第三个顶点。
向量法求二面角
2 2 B 1 ( 0 , a , b ), D ( 3 a , 1 a , 0) 4r uuuu r 3 1 4 uuuu
10
立体几何中的向量方法三
异面直线所成的角
rr 设异面直线a、b的方向向量为a、 b，所成的角为θ， 则有
r r a ⋅b rr cos θ =cos a， = r r b a b
斜线与平面所成的角
r r 设平面α的一个法向量为n，斜线AB的一个方向向量为a， AB与α 所成的角为θ，则有
r r n ⋅a rr sin θ = cos a， = r r n n a
例2、在正方体 1中，E是BB1中点，求 、在正方体AC 是 中点， 的大小； （1）二面角 ）二面角A-DE-B的大小； 的大小
(2 ) 面 A D E 与 面 B 1C 1 E 所 成 二 面 角 的 余 ( 3) 求面ADE与面A1DE所成二面角的大小； Z D1 C1
弦 ；
A1 D A X
二面角及其平面角
B
α
l
o
A
β
例1：（1）已知二面角α -l-β的大小为1200，AC ⊂ α， BD ⊂ β , AC ⊥ l，BD ⊥ l , B、A为垂足， AC = 1, AB = 1, BD = 1, 求CD的长；
D1 A1 B1C1D Fra bibliotek BC
（2）已知二面角α -l-β中，AC ⊂ α，BD ⊂ β , AC ⊥ l， BD ⊥ l , B、A为垂足， AC = 1, BA = 1, BD = 1, CD =2； 求二面角α -l-β的大小；
向量法求二面角的大小
向量投影的计算方法：先求出两个向量的点积和模长然后根据定义计算投影长度。
向量投影的应用：在几何、物理和工程等领域中向量投影是重要的概念用于描述方向、速度和力等物理量在某个 方向上的分量。
向量投影的定义：向量的投影是该向量在给定平面上的正交投影长度。
向量法在二面角计算中的步 骤
向量法的基本原理
ห้องสมุดไป่ตู้
向量法在二面角计算中的优 势
向量法在二面角计算中的注 意事项
向量法求二面角大 小的步骤
确定原点：选择一个方便的点作为 原点通常选择二面角的顶点
确定坐标：根据需要在x轴和y轴上 选择单位长度并确定其他点的坐标
添加标题
添加标题
添加标题
添加标题
确定轴：选择两个垂直的向量作为 x轴和y轴通常选择二面角的两个法 向量
向量投影的性质：投影长度总是非负的且与原向量平行。
向量投影的计算方法：先求出原向量与给定平面的法向量的点积再除以法向量的模的平 方。
向量投影的应用：在求解二面角的大小、向量的模等问题中可以通过计算向量投影来简 化计算。
向量法求二面角大 小的原理
单击此处添加标题
向量法定义：利用向量的数量积、向量积和向量的混合积计算二面角的大小。
向量的模定义：向 量的大小或长度记 作||计算公式为|| = √(x^2 + y^2)。
向量的数量积定义： 两个向量的点乘记 作 ·b 计 算 公 式 为 ·b = ||·|b|·cosθ其中 θ为两向量之间的 夹角。
向量的数量积性 质 ： ·b = b ·即 点 乘 满足交换律；分配 律 ： ( + b ) ·c = ·c + b ·c 。
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又由题设，平面ACD的一个法向量v=(0,0,1).
所以, cos u, v uv 0 0 1 3 . | u || v | 以其余弦值为
3 . 3
课后作业：第111页A组：6、8
•谢谢
练一练
∴两平面所成二面角为45°或135°.
练习: 1. 若 两 个 平 面 , 的 法 向 量 分 别 是 u (1, 0,1), v ( 1, 1, 0) , 则这两个平面所成的锐二面 60 角的度数是________.
2、已知两平面的法向量分别m=(0,1,0),n=(0,1,1)， 则两平面所成的钝二面角为______ 1350 .
避免了繁难的作、证二面角的过程，将几 何问题转化为数值计算。
2.利用法向量求二面角大小的关键：
确定相关平面的法向量。
3.利用法向量求二面角大小的缺点：
计算量相对比较大。
课后思考
（2009·天津理，19）
如图，在五面体ABCDEF中，FA⊥ 平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥
1 AD，M为EC的中点，AF=AB=BC=FE= AD 2
又AM∩AD=A，故CE⊥平面AMD.而CE平面
CDE，所以平面AMD⊥平面CDE.
(3)解
设平面CDE的法向量为u=（x,y,z)，
x z 0, u CE 0, 则 于是 y z 0. u DE 0.
令x=1,可得u=(1,1,1).
AD n
1
结论： 利用法向量求二面角的平面角避免了繁难的作、 证二面角的过程。解题的关键是确定相关平面的法向 量，如果图中的法向量没有直接给出，那么必须先创 设法向量。
利用法向量求二面角的平面角的一般步骤： 建立坐标系
找点坐标
求法向量坐标
定值
求两法向量夹角
小结：
1.利用法向量求二面角大小的优势：
温故知新
1、二面角的定义： 四、教学过程的设计与实施 从一条直线出发的两个半平面所组成 的图形叫做 二面角 ，这条直线叫做 二面角的棱 ， 这两个半平面叫做 二面角的面 .
2、如何作二面角α—l—β的平面角？
B O A
l
1 又SA 面ABCD, SA AB BC 1, AD , 2 求面 SCD与面 SAB 所成的二面角的余弦值。
解： 以D为原点建立如图所示的空间直 角坐标系， 则D (0,0,0), A( 2,0,0), A1 ( 2,0,2), Q (1,2,0) 设平面A1 DQ的一个法向量 n （x , y, z ), 则 n DA1 ，n DQ DA1 （ 2， 0， 2） 2 x 2 z 0 DQ （ 1， 2， 0） x 2y 0 1 令x 1, y , z 1 2 1 n (1, ,1) AA1 平面ADQ 2
z
y x
AA1 是平面ADQ的一个法向量 AA1 （ 0， 0， 2） cos n , AA1
n AA1
n AA1
2 2 3 1 1 1 2 4
2 观察图形可知二面角的平面是锐角 二面角A DQ A1的平面角的余弦值是 。 3
思考题.如图,PA⊥平面 ABC,
z
y
AC⊥BC,PA=AC=1,BC= 2 , 求二面角 A-PB-C 的余弦值.
x
巩固练习：
正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点Q是BC 的中点，求锐二面角A—DQ—A1的余弦值．
解： 以D为原点建立如图所示的空间直 角坐标系， 则D (0,0,0), A( 2,0,0), A1 ( 2,0,2), Q (1,2,0) 设平面A1 DQ的一个法向量 n （x , y, z ), 则 n DA1 ，n DQ DA1 （ 2， 0， 2） 2 x 2 z 0 DQ （ 1， 2， 0） x 2y 0 1 令x 1, y , z 1 2 1 n (1, ,1) AA1 平面ADQ 2
DC1 (1, 0,1)
D
A y
B
x
C
二面角A-BD1 -C的大小为120.
6.正方体中ABCD-A1B1C1D1中E为A1D1的
中点, 则二面角E-BC-A的大小是________ 45
z
D1 E
B1
0
A1
C1
D
A y
B
x
C
巩固练习：
正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2，点Q是BC 的中点，求锐二面角A—DQ—A1的余弦值．
练习
的棱长为 1.
求二面角A-BD1 -C的大小.
解1 建立直角坐标系.
z
D1
平面PBD1的一个法向量为
DA1 (0,1,1)
C1
A1
B1
平面CBD1的一个法向量为
cos DA1 , DC1 1 / 2
cos 1/ 2, 120
z
y x
AA1 是平面ADQ的一个法向量 AA1 （ 0， 0， 2） cos n , AA1
n AA1
n AA1
2 2 3 1 1 1 2 4
2 观察图形可知二面角的平面是锐角 二面角A DQ A1的平面角的余弦值是 。 3
BF (1,0,1), DE (0,1,1), 0 0 1 1 于是 cos BF , DE . 2 2 2 | BF || DE | BF DE
所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°.
1 1 由 AM ( ,1, ), CE (1,0,1), AD (0,2,0), (2)证明 2 2 可得CE AM 0， CE AD 0.因此CE AM , CE AD.
S
如图， ABC BAD 90, ABCD是直角梯形，
你能找到所求 二面角的棱吗？
A
B
C
D
探究新知
问题：
二面角的平面角与两个半平面的法向量的夹角有没
有关系？
n1
n2
l
探究新知
n1 , n2
探究新知
n1 , n2
探究新知
• 问题： 法向量的夹角与二面角的大小是相等或互 补。 • 再次演示课件
的夹角解决体现了向量求解立体几何问题的优越性
启示：
求二面角的平面角可转化为求两法向量的夹角。
1 又SA 面ABCD, SA AB BC 1, AD , 求面 SCD 2 与面SAB 所成的二面角的余弦值。
如图，ABCD是直角梯形，ABC BAD 90,
解：建立如图所示的空间直角坐标系 A xyz, 则 A(0,0,0), D( 1 ,0,0), C (1,1,0), S (0,0,1), z S 2 设n ( x, y, z )是面SCD的法向量， 则 y B n DC , n SD. 1 1 A D DC ( 2 ,1,0), SD ( 2 ,0,1),
C
x
1 x y 0 2 1 x z 0 2
x 2 令z=1解之得 y 1
z
n (2,1,1)
S
AD 面SAB
B
1 AD ( ,0,0)是平面SAB的法向量， 2
y
C
A
D
x
6 cos AD, n 3 | AD || n | 1 6 2 AD, n 就是二面角的平面角， 6 所求锐二面角的余弦值为： 3
利用法向量求二面角
尝试：已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0）， n=（0，1，1）,则两平面所成的二面角为( C ) A.45° C.45°或135°
| m || n |
B.135° D.90°
1 2 2
解析 cos m , n m n 1 2 ,
即〈m,n〉=45°，其补角为135°.
细心想一想， 你将有新发现！！
例题精讲
如图， ABCD是直角梯形，
S
ABC BAD 90,
又SA 面ABCD,
B
C
SA AB BC 1, AD A D 求面 SCD与面 SAB 所成的锐二面角的余弦值。
1 , 2
【审题指导】本题是求二面角的余弦值，可重点关注向量法求二面角 的余弦值.本题的特点是图中没有出现两个平面的交线，不能直接 利用二面角的平面角或者垂直于棱的向量的夹角解决，利用法向量
.
(1)求异面直线BF与DE所成的角的大小；
(2)证明：平面AMD⊥平面CDE; (3)求锐二面角A—CD—E的余弦值. (1)解 如图所示，建立空间直 角坐标系，点A为坐标原点，设
AB=1，依题意得B(1,0,0),
C(1,1,0)，D(0,2,0),E(0,1,1),F(0,0,1)，
1 1 M ( ,1, ). 2 2