湖南省衡阳市衡阳县三中2014-2015学年高二第二学期期末数学试卷(文科) Word版含解析
湖南省衡阳四中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷 Word版含解析
湖南省衡阳四中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上1．下列给出的赋值语句中正确的是（）A．4=M B．B=A=3 C．x+y=0 D．M=﹣M2．的值等于（）A．B．C．D．3．如图程序图输出的结果是（）A．2，1 B．2，2 C．1，2 D．1，14．化简﹣+﹣得（）A．B．C．D．5．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”6．已知x与y之间的一组数据：x 0 1 2 3y 1 3 5 7则x与y的线性回归方程为必过点（）A．（1，2）B．（1.5，4）C．（2，2）D．（1.5，0）7．已知向量=（1﹣sinθ，1），=（，1+sinθ），若∥，则锐角θ等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°8．函数的图象（）A．关于原点对称B．关于点（﹣，0）对称C．关于y轴对称D．关于直线x=对称9．已知||=2，||=1，与的夹角为，那么|﹣4|等于（）A．2B．2C．6D．1210．α，β都是锐角，且，，则sinβ的值是（）A．B．C．D．二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡上的相应横线上. 11．将二进制数101101（2）化为八进制数，结果为．12．若扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，则该扇形圆心角的弧度数是．13．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随即投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是．14．若，则tanα的值为．15．已知程序框图如图：如果程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入．三．解答题（本大题共5小题，共40分，答题时应写出文字说明、证明过程或和演算步骤）16．已知sin（3π+θ）=，（1）求cos2θ的值（2）求+的值．17．已知向量=（1，y），=（1，﹣3），且满足（2+）⊥．（1）求向量的坐标；（2）求向量与的夹角．18．某校100名学生期2015届中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：组号第一组第二组第三组第四组第五组分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生期2015届中考试数学成绩的平均数．19．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中2014-2015学年高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的2014-2015学年高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率；（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如上图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．20．已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合；（3）求函数f（x）的单调递增区间．湖南省衡阳四中2014-2015学年高一下学期期末数学试卷一．选择题：本大题共10小题，每小题4分，共计40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请把正确答案的代号填在答题卡上1．下列给出的赋值语句中正确的是（）A．4=M B．B=A=3 C．x+y=0 D．M=﹣M考点：赋值语句．专题：算法和程序框图．分析：根据赋值语句的功能，分析选项中的语句是否满足：左边为一个合法的变量名，右边为一个合法的表达式．解答：解：对于A，4=M，赋值符号左边不是变量，∴不正确；对于B，B=A=3，赋值语句不能连续直接对两个变量赋值，∴不正确；对于C，x+y=0，赋值符号左边不是变量，∴不正确；对于D，M=﹣M，左边为一个合法的变量名，右边为一个合法的表达式，∴正确．故选：D．点评：本题考查了赋值语句的应用问题，解题的关键是理解赋值语句的特点，抓住赋值语句的特定形式，是基础题目．2．的值等于（）A．B．C．D．考点：运用诱导公式化简求值．分析：先根据诱导公式一将角度变为正值，再将角进行缩小．解答：解：∵sin（﹣）=sin（﹣+4π）=sin=sin（）=sin=故选A．点评：本题主要考查运用三角函数的诱导公式化简求值的问题．属基础题．对于三角函数的诱导公式一定要强化记忆．3．如图程序图输出的结果是（）A．2，1 B．2，2 C．1，2 D．1，1考点：顺序结构．专题：算法和程序框图．分析：根据已知中的程序框图，逐步分析执行完相应语句后的变量的值，可得答案．解答：解：执行A=1，B=2后：A=1，B=2；执行T=A后：A=1，B=2，T=1；执行A=B后：A=2，B=2，T=1；执行B=T后：A=2，B=1，T=1；执行PRINT A，B后，输出的结果为2，1，故选：A点评：本题考查的知识点是程序框图，顺序结构，难度不大，属于基础题．4．化简﹣+﹣得（）A．B．C．D．考点：向量加减混合运算及其几何意义．专题：计算题．分析：本题考查的知识点是向量加减混合运算及其几何意义，根据向量加法及减法的三角形法则，我们易得﹣+﹣的值．解答：解：﹣+﹣=﹣﹣=﹣=故选D点评：向量加法的三角形法则，可理解为“首尾相接”，向量减法的三角形法则，可理解为“同起点，连终点，方向指被减．”或是“同终点，连起点，方向指向减．”5．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（）A．“至少有一个红球”与“都是黑球”B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”考点：互斥事件与对立事件．专题：概率与统计．分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可解答：解：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，∴D正确故选D点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题6．已知x与y之间的一组数据：x 0 1 2 3y 1 3 5 7则x与y的线性回归方程为必过点（）A．（1，2）B．（1.5，4）C．（2，2）D．（1.5，0）考点：线性回归方程．专题：计算题．分析：先求出横标和纵标的平均数，写出这组数据的样本中心点，根据线性回归直线过样本中心点，得到本题要选的点是样本中心点．解答：解：∵=1.5，=4，∴这组数据的样本中心点是（1.5，4）∵线性回归直线必过样本中心点，∴x与y的线性回归方程为必过点（1.5，4）故选B．点评：本题考查样本中心点，是一个基础题，这种题目解决的关键是写出正确的平均数，进而得到样本中心点，不需要大量的运算．7．已知向量=（1﹣sinθ，1），=（，1+sinθ），若∥，则锐角θ等于（）A．30°B．45°C．60°D．75°考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：利用向量平行推出关系式，然后求解角的值．解答：解：向量=（1﹣sinθ，1），=（，1+sinθ），若∥，则：（1﹣sinθ）（1+sinθ）=．∴cos2θ=，∵θ是锐角，∴cosθ=，∴θ=60°故选：C．点评：本题考查向量的平行的充要条件的应用，三角函数值的求法，基本知识的考查．8．函数的图象（）A．关于原点对称B．关于点（﹣，0）对称C．关于y轴对称D．关于直线x=对称考点：正弦函数的对称性．分析：将题中角：看成一个整体，利用正弦函数y=sinx的对称性解决问题．解答：解：∵正弦函数y=sinx的图象如下：其对称中心必在与x轴的交点处，∴当x=﹣时，函数值为0．∴图象关于点（﹣，0）对称．故选B．点评：本题主要考查正弦函数的图象与性质，其解法是利用正弦曲线的对称性加以解决．9．已知||=2，||=1，与的夹角为，那么|﹣4|等于（）A．2B．2C．6D．12考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：由题意利用两个向量的数量积的定义可得=1，再根据|﹣4|==，计算求的结果．解答：解：由题意可得=2×1×cos=1，那么|﹣4|=====2，故选：B．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求向量的模，属于基础题．10．α，β都是锐角，且，，则sinβ的值是（）A．B．C．D．考点：角的变换、收缩变换；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的正弦函数．专题：计算题．分析：将β化为（α+β）﹣α，再利用两角和与差三角函数公式计算即可．解答：解：α，β都是锐角，∴α+β∈（0，π），∵∴cosα===，∵∴sin（α+β）===∴sinβ=sin[（α+β）﹣α]=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα==故选C．点评：本题考查两角和与差三角函数公式，同角的三角函数基本关系式．考查转化、计算能力．属于中档题．二．填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡上的相应横线上. 11．将二进制数101101（2）化为八进制数，结果为55．考点：排序问题与算法的多样性．专题：计算题．分析：利用2进制化为十进制和十进制化为其它进制的“除8取余法”方法即可得出．解答：解：∵101101（2）=1×25+0+1×23+1×22+0+1×20=45（10）．再利用“除8取余法”可得：45（10）=55（8）．故答案为55．点评：熟练掌握其它进制化为十进制和十进制化为其它进制的方法是解题的关键．12．若扇形OAB的面积是1cm2，它的周长是4cm，则该扇形圆心角的弧度数是2．考点：弧度制．专题：计算题．分析：设该扇形圆心角的弧度数是α，半径为r，由扇形的面积与弧长公式，可得关系式，求解可得答案．解答：解：设该扇形圆心角的弧度数是α，半径为r，根据题意，有，解可得，α=2，r=1，故答案为：2．点评：本题考查弧度制下，扇形的面积及弧长公式的运用，注意与角度制下的公式的区别与联系．13．为了测算如图阴影部分的面积，作一个边为6的正方形将其包含在内，并向正方形内随即投掷800个点，已知恰有200个点落在阴影部分内，据此，可估计阴影部分的面积是9．考点：模拟方法估计概率；几何概型．专题：计算题．分析：根据几何概率的计算公式可求，向正方形内随机投掷点，落在阴影部分的概率P（A）=，根据公式=可求．解答：解：本题中向正方形内随机投掷800个点，相当于800个点均匀分布在正方形内，而有200个点落在阴影部分，可知阴影部分的面=．故答案为：9．点评：本题考查的是一个关于几何概型的创新题，属于基础题．解决此类问题的关键是读懂题目意思，然后与学过的知识相联系转化为熟悉的问题．14．若，则tanα的值为﹣2．考点：同角三角函数间的基本关系．专题：计算题．分析：已知等式左边分子分母除以cosα，利用同角三角函数间的基本关系变形后，整理即可求出tanα的值．解答：解：∵==10，∴tanα=﹣2．故答案为：﹣2点评：此题考查了同角三角函数间的基本关系，熟练掌握基本关系是解本题的关键．15．已知程序框图如图：如果程序运行的结果为S=132，那么判断框中应填入k≤10或k＜11．考点：程序框图．专题：计算题．分析：按照程序框图依次执行，直到s=132，求出此时的k，进一步确定判断框内的条件即可．解答：解：按照程序框图依次执行：k=12，s=1；进入循环，s=1×12=12，k=11；s=12×11=132，k=10，跳出循环，故k=10满足判断框内的条件，而k=11不满足，故判断框内的条件应为k≤10或k＜11故答案为：k≤10或k＜11点评：本题考查循环结构的程序框图，弄清进入循环体和跳出循环体的条件是解决问题的关键．三．解答题（本大题共5小题，共40分，答题时应写出文字说明、证明过程或和演算步骤）16．已知sin（3π+θ）=，（1）求cos2θ的值（2）求+的值．考点：三角函数的化简求值；运用诱导公式化简求值．专题：三角函数的求值．分析：由已知求出isnθ，然后了基本关系式以及诱导公式求值．解答：解：由已知sin（3π+θ）=，所以sinθ=﹣，（1）cos2θ=﹣1sin2θ=1﹣=；（2）+=====32．点评：本题考查了三角函数的诱导公式以及基本关系式的混合运用；注意三角函数的名称以及符号．17．已知向量=（1，y），=（1，﹣3），且满足（2+）⊥．（1）求向量的坐标；（2）求向量与的夹角．考点：数量积表示两个向量的夹角；平面向量的坐标运算；平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：（1）由条件利用两个向量垂直的性质、两个向量的数量积公式求得y的值，可得向量的坐标．（2）设向量与的夹角为θ，求得cosθ=的值，可得θ的值．解答：解：（1）∵已知向量=（1，y），=（1，﹣3），且满足（2+）⊥，∴（2+）•=2+=2（1﹣3y）+10=0，求得y=2，可得向量=（1，2）．（2）设向量与的夹角为θ，∵cosθ===﹣，∴θ=．点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两个向量的数量积公式，两个向量垂直的性质，属于基础题．18．某校100名学生期2015届中考试数学成绩的频率分布直方图如图，其中成绩分组区间如下：组号第一组第二组第三组第四组第五组分组[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]（1）求图中a的值；（2）根据频率分布直方图，估计这100名学生期2015届中考试数学成绩的平均数．考点：频率分布直方图．专题：概率与统计．分析：（1）根据所以概率的和为1，即所求矩形的面积和为1，建立等式关系，可求出所求；（2）均值为各组组中值与该组频率之积的和；解答：解：（1）由题意得10a+0.01×10+0.02×10+0.03×10+0.035×10=1，所以a=0.005．（2）由直方图分数在[50，60]的频率为0.05，[60，70]的频率为0.35，[70，80]的频率为0.30，[80，90]的频率为0.20，[90，100]的频率为0.10，所以这100名学生期2015届中考试数学成绩的平均分的估计值为：55×0.05+65×0.35+75×0.30+85×0.20+95×0.10=74.5点评：本题主要考查频率分布直方图，平均数的求法．难度不大，属于基础题．19．某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，2014-2015学年高一、2014-2015学年高二、2015届高三各代表队人数分别为120人、120人、n人．为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中2014-2015学年高二代表队有6人．（1）求n的值；（2）把在前排就坐的2014-2015学年高二代表队6人分别记为a，b，c，d，e，f，现随机从中抽取2人上台抽奖．求a和b至少有一人上台抽奖的概率；（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0，1]之间的均匀随机数x，y，并按如上图所示的程序框图执行．若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率．考点：几何概型；列举法计算基本事件数及事件发生的概率；程序框图．专题：综合题；概率与统计．分析：（1）根据分层抽样可得，故可求n的值；（2）求出2014-2015学年高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件，确定a和b 至少有一人上台抽奖的基本事件，根据古典概型的概率公式，可得a和b至少有一人上台抽奖的概率；（3）确定满足0≤x≤1，0≤y≤1点的区域，由条件得到的区域为图中的阴影部分，计算面积，可求该代表中奖的概率．解答：解：（1）由题意可得，∴n=160；（2）2014-2015学年高二代表队6人，从中抽取2人上台抽奖的基本事件有（a，b），（a，c），（a，d），（a，e），（a，f），（b，c），（b，d），（b，e），（b．f），（c，d），（c，e），（c，f），（d，e），（d，f），（e，f）共15种，其中a和b至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，∴a和b至少有一人上台抽奖的概率为=；（3）由已知0≤x≤1，0≤y≤1，点（x，y）在如图所示的正方形OABC内，由条件得到的区域为图中的阴影部分由2x﹣y﹣1=0，令y=0可得x=，令y=1可得x=1∴在x，y∈[0，1]时满足2x﹣y﹣1≤0的区域的面积为=∴该代表中奖的概率为=．点评：本题考查概率与统计知识，考查分层抽样，考查概率的计算，确定概率的类型是关键．20．已知函数（1）求函数f（x）的最小正周期；（2）求函数f（x）的最大值及取得最大值时x的取值集合；（3）求函数f（x）的单调递增区间．考点：正弦函数的单调性；两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的定义域和值域．专题：计算题．分析：（1）先运用三角函数的两角和与差的正弦公式及二倍角公式将函数化简为y=Asin （wx+ρ）+b的形式，根据T=可求出最小正周期；（2）因为f（x）取最大值时应该有sin（2x﹣）=1成立，即2x﹣=2kπ+，k∈Z，可得答案．（3）将2x﹣看做一个整体，根据正弦函数的性质可得，进而求出x的范围，得到答案．解答：解：（1）∵∴f（x）===．∵，即函数f（x）的最小正周期为π．（2）当即时，f（x）取最大值1因此f（x）取最大值时x的集合是（3）f（x）=．再由，解得．所以y=f（x）的单调增区间为．点评：本题主要考查三角函数最小正周期的求法、正弦函数的定义域和值域和单调区间的求法，一般都是将函数化简为y=Asin（wx+ρ）的形式，再根据三角函数的图象和性质解题．。
湖南省怀化三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析
湖南省怀化三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知等差数列{a n}中，a n=4n﹣3，则首项a1和公差d的值分别为（）A．1，3 B．﹣3，4 C．1，4 D．1，22．（5分）“a=1”是“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知x，y满足，则z=x﹣y的最大值是（）A．﹣1 B．1C．2D．﹣24．（5分）下列求导运算正确的是（）A．（cosx）′=sinx B．C． D．5．（5分）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4B．3C．2D．16．（5分）若不等式ax2+bx+2＞0的解集，则a﹣b值是（）A．﹣10 B．﹣14 C．10 D．147．（5分）在△ABC中，若，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形8．（5分）函数y=x4﹣4x+3在区间上的最大值为（）A．11 B．8C．12 D．09．（5分）设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．10．（5分）把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设a i，j（i、j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a4，2=8．若a i，j=2006，则i、j的值分别为（）A．64，53 B．63，53 C．63，54 D．64，54二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将正确答案填空在答题卡上）11．（5分）命题“∃x∈R，x2+x≤0”的否定是．12．（5分）曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为．13．（5分）在△ABC中，若，则最大角的余弦值等于．14．（5分）已知数列{a n}满足a n=+1（n≥2），若a7=，则a5=．15．（5分）抛物线y2=2x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x﹣4y+9=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为．三、解答题（本大题共6小题，16-18每题12分，19-21每题13分，共75分.请将详细解答过程写在答题卡上）16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=，cosA=，b=，（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．17．（12分）已知p：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负数根q：关于x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根；如果复合命题“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．18．（12分）已知x＞0，y＞0，且lg2x+lg8y=lg4，求z=的最小值．19．（13分）设椭圆C：+=1 （a＞b＞0）的离心率为，若左焦点为F（﹣1，0）（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F且倾斜角为的直线l交椭圆C于A，B两点，求弦长|AB|．20．（13分）已知函数在x=1时取得极值．（1）求b的值；（2）求f（x）的单调减区间．21．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+1=0上．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式a n和b n；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n，并求T n的最小值．湖南省怀化三中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（5分）已知等差数列{a n}中，a n=4n﹣3，则首项a1和公差d的值分别为（）A．1，3 B．﹣3，4 C．1，4 D．1，2考点：等差数列的通项公式．专题：等差数列与等比数列．分析：利用等差数列的通项公式及其首项a1和公差d的意义即可得出．解答：解：∵等差数列{a n}中，a n=4n﹣3，∴a1=4×1﹣3=1，a2=4×2﹣3=5．∴公差d=a2﹣a1=5﹣1=4．∴首项a1和公差d的值分别为1，4．故选：C．点评：本题考查了等差数列的通项公式及其首项a1和公差d的求法，属于基础题．2．（5分）“a=1”是“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：阅读型．分析：判断出“a=1”成立能推出“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立，反之“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立，推不出“a=1”一定成立，利用充要条件的有关定义得到选项．解答：解：若“a=1”成立则有“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立，反之若“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立，得到a=1或a=2，推不出“a=1”一定成立，所以“a=1”是“（a﹣1）（a﹣2）=0”成立的充分不必要条件，故选A．点评：本题考查判断一个命题是另一个命题的什么条件，应该先化简各个命题，然后前后相互推一下，利用充要条件的有关定义进行判断，属于基础题．3．（5分）已知x，y满足，则z=x﹣y的最大值是（）A．﹣1 B．1C．2D．﹣2考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：作出可行域，平移直线y=x可知当直线经过点A（1，0）时，目标函数取最大值，代值计算可得．解答：解：作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），变形目标函数可得y=x﹣z，平移直线y=x可知当直线经过点A（1，0）时，目标函数取最大值，代值可得z=x﹣y的最大值为1﹣0=1，故选：B点评：本题考查简单线性规划，准确作图是解决问题的关键，属中档题．4．（5分）下列求导运算正确的是（）A．（cosx）′=sinx B．C． D．考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：利用求导公式对四个选项分别分析，选择正确答案．解答：解：对于A，（cosx）′=﹣sinx；A错误；对于B，（sin）′=0；B错误；对于C，；C错误；对于D，；D正确；故选D．点评：本题考查了求导公式的运用；对于根式形式的求导，一般化为幂的形式再求导．5．（5分）设双曲线的渐近线方程为3x±2y=0，则a的值为（）A．4B．3C．2D．1考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题意，，即可求出a的值．解答：解：由题意，，∴a=2，故选：C．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．6．（5分）若不等式ax2+bx+2＞0的解集，则a﹣b值是（）A．﹣10 B．﹣14 C．10 D．14考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系．专题：计算题．分析：先根据不等式的解集得到方程的解为，进而求出a与b的数值，即可得到答案．解答：解：由题意可得：不等式ax2+bx+2＞0的解集，所以方程ax2+bx+2=0的解为，所以a﹣2b+8=0且a+3b+18=0，所以a=﹣12，b=﹣2，所以a﹣b值是﹣10．故选A．点评：解决此类问题的关键是熟练掌握不等式的解集与方程的解之间的关系，并且结合正确的运算．7．（5分）在△ABC中，若，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等边三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形考点：正弦定理；三角形的形状判断．专题：计算题．分析：利用正弦定理化简已知等式，变形后利用二倍角的正弦函数公式化简，得到A与B 相等或互余，即可判断出三角形ABC的形状．解答：解：由正弦定理得：==，∴sinAcosA=sinBcosB，即sin2A=sin2B，∴sin2A=sin2B，∴2A=2B或2A+2B=180°，即A=B或A+B=90°，则△ABC为等腰三角形或直角三角形．故选D点评：此题考查了正弦定理，以及三角形形状的判断，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．8．（5分）函数y=x4﹣4x+3在区间上的最大值为（）A．11 B．8C．12 D．0考点：利用导数求闭区间上函数的最值．专题：导数的综合应用．分析：先对函数进行求导，然后判断函数在上的单调性，进而确定最值．解答：解：∵y=x4﹣4x+3，∴y′=4x3﹣4当y′=4x3﹣4≥0，即x≥1时，函数y=x4﹣4x+3单调递增，∴在区间上，当x=2时函数取到最大值11，当y′=4x3﹣4＜0，即x＜1时，函数y=x4﹣4x+3单调递减∴在上，当x=﹣1时函数取到最大值8．∴函数y=x4﹣4x+3在区间上的最大值为11．故选：A．点评：本题主要考查利用导数求函数的最值的问题．属基础题．9．（5分）设F1，F2为椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点P满足∠F1PF2=120°，则椭圆的离心率的取值范围是（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先根据椭圆定义可知|PF1|+|PF2|=2a，再利用余弦定理化简整理得cos∠PF1F2=﹣1，进而根据均值不等式确定|PF1||PF2|的范围，进而确定cos∠PF1F2的最小值，求得a和b的关系，进而求得a和c的关系，确定椭圆离心率的取值范围．解答：解：F1（﹣c，0），F2（c，0），c＞0，设P（x1，y1），则|PF1|=a+ex1，|PF2|=a﹣ex1．在△PF1F2中，由余弦定理得cos120°==，解得x12=．∵x12∈（0，a2]，∴0≤＜a2，即4c2﹣3a2≥0．且e2＜1∴e=≥．故椭圆离心率的取范围是e∈．故选A．点评：本题主要考查了椭圆的应用．当P点在短轴的端点时∠F1PF2值最大，这个结论可以记住它．在做选择题和填空题的时候直接拿来解决这一类的问题．10．（5分）把正整数按上小下大、左小右大的原则排成如图三角形数表（每行比上一行多一个数）：设a i，j（i、j∈N*）是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a4，2=8．若a i，j=2006，则i、j的值分别为（）A．64，53 B．63，53 C．63，54 D．64，54考点：归纳推理．专题：规律型；等差数列与等比数列．分析：第一行有一个数，第二行有两个数…，第n行有n个数字，这样每一行的数字个数组成一个等差数列，表示出等差数列的前项和，使得和大于或等于2006，解出不等式，做出n 的值，在满足条件的数字附近检验，得到结果．解答：解：由题意可知，第一行有一个数，第二行有两个数，第三行有三个数，…，第62行有62个数，第63行有63个数，第n行有n个数字，这样每一行的数字个数组成一个等差数列，∴前n项的和是，∴≥2006，∴（n+64）（n﹣63）≥0∴n≥63或n≤﹣64（舍去）当n=63时，=2016∴a63，53=（1+2+3+…+62）+53=（1+62）+53=2006．故i、j的值分别为：63；53，故选：B点评：本题考查数列的性质和应用，本题解题的关键是看出所形成的数列是一个等差数列，后面的问题按照等差数列来解题．二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，请将正确答案填空在答题卡上）11．（5分）命题“∃x∈R，x2+x≤0”的否定是∀x∈R，x2+x＞0．考点：命题的否定．专题：常规题型．分析：根据命题“∃x∈R，x2+x≤0”是特称命题，其否定为全称命题，将“存在”改为“任意”，“≤“改为“＞”即可得答案．解答：解：∵命题“∃x∈R，x2+x≤0”是特称命题∴命题的否定为：∀x∈R，x2+x＞0故答案为：∀x∈R，x2+x＞0．点评：这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．12．（5分）曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线方程为y=﹣3x+2．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题．分析：求出函数y=x3﹣3x2+1在x=1处的导数值，这个导数值即函数图象在该点处的切线的斜率，然后根据直线的点斜式方程求解即可．解答：解：由曲线y=x3﹣3x2+1，所以y′=3x2﹣6x，曲线y=x3﹣3x2+1在点（1，﹣1）处的切线的斜率为：y′|x=1=3（1）2﹣6=﹣3．此处的切线方程为：y+1=﹣3（x﹣1），即y=﹣3x+2．故答案为：y=﹣3x+2．点评：本题考查导数的几何意义、关键是求出直线的斜率，正确利用直线的点斜式方程，考查计算能力．13．（5分）在△ABC中，若，则最大角的余弦值等于﹣．考点：余弦定理．专题：解三角形．分析：根据已知比值设出a，b，c，利用大边对大角得到C为最大角，利用余弦定理表示出cosC，将设出的三边长代入求出cosC的值即可．解答：解：根据题意设a=k，b=2k，c=k，∴最大角为C，利用余弦定理得：cosC===﹣，则最大角的余弦值为﹣．故答案为：﹣点评：此题考查了余弦定理，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．14．（5分）已知数列{a n}满足a n=+1（n≥2），若a7=，则a5=．考点：数列递推式．专题：等差数列与等比数列．分析：由已知得，解得a6=，再由+1，能求出a5=．解答：解：∵数列{a n}满足a n=+1（n≥2），a7=，∴，解得a6=，∴+1，解得a5=．故答案为：．点评：本题考查数列的第5项的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数列的递推公式的合理运用．15．（5分）抛物线y2=2x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，到直线3x﹣4y+9=0的距离为d2，则d1+d2的最小值为．考点：点到直线的距离公式．专题：直线与圆．分析：由抛物线的定义可得d1+d2的最小值为抛物线的焦点（，0）到直线3x﹣4y+9=0的距离，由点到直线的距离公式计算可得．解答：解：∵抛物线y2=2x上的点P到抛物线的准线的距离为d1，∴点P到抛物线焦点（，0）的距离为d1，又点P到直线3x﹣4y+9=0的距离为d2，∴d1+d2的最小值为点（，0）到直线3x﹣4y+9=0的距离，由点到直线的距离公式可得=故答案为：．点评：本题考查点到直线的距离公式，涉及抛物线的定义，转化是解决问题的关键，属基础题．三、解答题（本大题共6小题，16-18每题12分，19-21每题13分，共75分.请将详细解答过程写在答题卡上）16．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，B=，cosA=，b=，（1）求sinC的值；（2）求△ABC的面积．考点：正弦定理．专题：解三角形．分析：（1）首先根据同角三角函数的关系求出sinA的值，然后由sinC=sin（A+B）利用两角和与差展开，并将值代入即可；（2）根据正弦定理求出a的值，然后由三角形的面积公式即可得出结果．解答：解：（1）∵，∴∴…（6分）（2）由正弦定理得∴…（12分）点评：此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．17．（12分）已知p：关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的负数根q：关于x的方程4x2+4（m﹣2）x+1=0无实根；如果复合命题“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：计算题．分析：先求出两个命题参数所满足的范围，再根据“p或q”为真，p且q”为假判断出两命题的真假情况，然后求出实数m的取值范围．解答：解：当P为真时，有，即m2＞0且﹣m＜0，解得m＞2（4分）当q为真时，有△=16（m﹣2）2﹣16＜0得，1＜m＜3 （6分）由题意：“P或Q”真，“P且Q”为假等价于（1）P真q假：得m≥3 （8分）（2）q真P假：，得1＜m≤2（11分）综合（1）（2）m的取值范围是{m|1＜m≤2或m≥3}（12分）点评：本题考查命题的真假判断与应用，解题的关键是对两个命题时行化简，以及正确理解“p或q”为真，p且q”为假的意义．本题易因为对此关系判断不准出错．18．（12分）已知x＞0，y＞0，且lg2x+lg8y=lg4，求z=的最小值．考点：基本不等式在最值问题中的应用；对数的运算性质；基本不等式．专题：不等式的解法及应用．分析：利用对数运算法则求出x+3y=2，然后利用基本不等式求解z的最小值即可．解答：解：由lg2x+lg8y=lg4可得xlg2+3ylg2=2lg2∴x+3y=2则“=”在即时成立．z=的最小值：2+．点评：本题考查基本不等式的应用，对数的运算法则，考查计算能力．19．（13分）设椭圆C：+=1 （a＞b＞0）的离心率为，若左焦点为F（﹣1，0）（1）求椭圆C的方程；（2）若过点F且倾斜角为的直线l交椭圆C于A，B两点，求弦长|AB|．考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）利用已知条件求出椭圆的几何量，即可求椭圆C的方程；（2）写出过点F且倾斜角为的直线l的方程，与椭圆C联立，通过韦达定理利用弦长公式求解弦长|AB|．解答：解：（1）∵左焦点为F（﹣1，0）∴c=1又∵，∴∴椭圆C的方程为（2）直线l的方程为y=x+1由消去y，得9x2+10x﹣15=0设A（x1，y1），B（x2，y2），则∴点评：本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的相交的性质，弦长公式的应用，考查计算能力．20．（13分）已知函数在x=1时取得极值．（1）求b的值；（2）求f（x）的单调减区间．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：导数的概念及应用．分析：（1）依题意，得f′（x）=ax2﹣（a+1）x+b由于x=1为函数的一个极值点，则f′（1）=0，得b=1．（2）由（1）得；f′（x）=ax2﹣（a+1）x+1，①当0＜a＜1时，，②当a＞1时，，令f′（x）＜0，解不等式求出即可．解答：解：（1）依题意，得f′（x）=ax2﹣（a+1）x+b由于x=1为函数的一个极值点，则f′（1）=0，解得b=1．（2）由（1）得；f′（x）=ax2﹣（a+1）x+1，①当0＜a＜1时，，令f′（x）＜0，∴不等式的解集为；②当a＞1时，，令f′（x）＜0，∴不等式的解集为；综上，当0＜a＜1时，f（x）的单调减区间为（1，）；当a＞1时，f（x）的单调减区间为（，1）．点评：本题考察了函数的单调性，导数的应用，是一道基础题．21．（13分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n=，数列{b n}中，b1=1，点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+1=0上．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式a n和b n；（2）设c n=a n•b n，求数列{c n}的前n项和T n，并求T n的最小值．考点：等差数列与等比数列的综合；数列的求和；数列与函数的综合．专题：等差数列与等比数列．分析：（1）利用已知条件求出数列{a n}首项，判断是等比数列，即可求出通项公式，利用P（b n，b n+1）在直线x﹣y+1=0上，图象数列是等差数列，即可求解{b n}的通项公式b n；（2）化简c n=a n•b n，利用错位相减法直接数列{c n}的前n项和T n，通过单调性即可求T n的最小值．解答：解：（1）∵S n=，当n=1 时S1=a1=，解得a1=3；当n≥2时，得，又a2=3a1=9，所以；…（4分）∵点P（b n，b n+1）在直线x﹣y+1=0上，∴b n﹣b n+1+1=0，即b n+1﹣b n=1，所以数列{b n}是等差数列，又b1=1可得b n=n．…（6分）（2）∵，∴，，两式相减得，即，因此：…．（11分）∵T n单调递增∴当n=1时{T n}最小值为3…（13分）点评：本题考查等比数列与等差数列的综合应用，数列求和的方法错位相减法的应用，基本知识的考查．。
湖南省衡阳市衡阳县四中2014-2015学年高二上学期模块数学试卷Word版含解析
2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（上）模块数学试卷一．选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的）1．设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为：|x﹣2|＜3，则甲是乙的（） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件2．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨q B． p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）3．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tan α≠1 B．若α=，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α=4．双曲线的渐近线方程为（）A． y=± B． y=±x C． y=±2x D． y=±4x5．已知f（x）=xln x，若f′（x0）=2，则x0等于（）A． e2 B． e C． D． ln 26．双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A． B． 2 C． 3 D． 67．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 38．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B． C． D．9．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A． 2 B． 3 C． D．10．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是（）A．﹣=1 B．=1C．﹣=1（x＞3） D．=1（x＞4）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．若a≤b，则ac2≤bc2，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是．12．“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的条件．13．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且过点P（﹣2，2），则抛物线的方程为．14．若函数存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是．15．椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，∠F1PF2的大小为．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x ﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．17．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点．（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值．18．已知椭圆上的点P到左右两焦点F1，F2的距离之和为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点，若y轴上一点满足|MA|=|MB|，求直线l的斜率k的值．19．已知二次函数f（x）满足：①在x=1时有极值；②图象过点（0，﹣3），且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（x2）的单调递增区间．20．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值为，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．21．已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县四中高二（上）模块数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本题10小题，每小题5分，共50分，只有一项是符合题目要求的）1．设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为：|x﹣2|＜3，则甲是乙的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．分析：如果能从命题甲推出命题乙，且能从命题乙推出命题甲，那么条件乙与条件甲互为充分必要条件，简称充要条件，如果只是其中之一，则是充分不必要条件或是必要不充分条件．解答：解：∵：|x﹣2|＜3，∴﹣1＜x＜5，显然，甲⇒乙，但乙不能⇒甲，故甲是乙的充分不必要条件．故选A．点评：本题主要考查了充要条件，以及绝对值不等式的解法，属于基础题．如果能从命题p 推出命题q，且能从命题q推出命题p，那么条件q与条件p互为充分必要条件，简称充要条件．2．已知命题p：所有有理数都是实数，命题q：正数的对数都是负数，则下列命题中为真命题的是（）A．（￢p）∨q B． p∧q C．（￢p）∧（￢q） D．（￢p）∨（￢q）考点：复合命题的真假．分析：先判断命题p和命题q的真假，命题p为真命题，命题q为假命题，再由真值表对照答案逐一检验．解答：解：不难判断命题p为真命题，命题q为假命题，从而¬p为假命题，¬q为真命题，所以A、B、C均为假命题，故选D．点评：本题考查复合命题的真值判断，属基本题．3．命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是（）A．若α≠，则tan α≠1 B．若α=，则tan α≠1C．若tan α≠1，则α≠ D．若tan α≠1，则α=考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：根据命题“若p，则q”的逆否命题是“若￢q，则￢p”，直接写出它的逆否命题即可．解答：解：命题“若α=，则tan α=1”的逆否命题是“若tan α≠1，则α≠”．故选：C．点评：本题考查了命题和它的逆否命题之间的关系的应用问题，解题时应根据四种命题之间的关系进行解答，是基础题．4．双曲线的渐近线方程为（）A． y=± B． y=±x C． y=±2x D． y=±4x考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：把双曲线，其渐近线方程是，整理后就得到双曲线的渐近线方程．解答：解：双曲线，其渐近线方程，整理得y=±．故选：A．点评：本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，令标准方程中的“1”为“0”即可求出渐近线方程．5．已知f（x）=xln x，若f′（x0）=2，则x0等于（）A． e2 B． e C． D． ln 2考点：导数的运算．专题：导数的概念及应用．分析：先对函数进行求导，然后根据f′（x0）=2，建立等式关系，解之即可求得答案．解答：解：∵f（x）=xln x，（x＞0）∴f′（x）=lnx+1，∵f′（x0）=2，∴f′（x0）=lnx0+1=2，解得x0=e，∴x0的值等于e．故选：B．点评：本题主要考查了导数的运算，以及函数求值和对数方程的求解，同时考查了运算求解的能力，注意函数的定义域，属于基础题．6．双曲线﹣=1的渐近线与圆（x﹣3）2+y2=r2（r＞0）相切，则r=（）A． B． 2 C． 3 D． 6考点：双曲线的简单性质；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：求出渐近线方程，再求出圆心到渐近线的距离，根据此距离和圆的半径相等，求出r．解答：解：双曲线的渐近线方程为y=±x，即x±y=0，圆心（3，0）到直线的距离d==，∴r=．故选A．点评：本题考查双曲线的性质、点到直线的距离公式．7．设F1，F2分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，则该双曲线的离心率为（）A． B． C． D． 3考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：不妨设右支上P点的横坐标为x，由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，结合条件可得a=b，从而c==b，即可求出双曲线的离心率．解答：解：不妨设右支上P点的横坐标为x由焦半径公式有|PF1|=ex+a，|PF2|=ex﹣a，∵|PF1|+|PF2|=3b，|PF1|•|PF2|=ab，∴2ex=3b，（ex）2﹣a2=ab∴b2﹣a2=ab，即9b2﹣4a2﹣9ab=0，∴（3b﹣4a）（3b+a）=0∴a=b，∴c==b，∴e==．故选：B．点评：本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了双曲线的第二定义的灵活运用，属于中档题．8．设椭圆C：=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，P是C上的点PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，则C的离心率为（）A． B． C． D．考点：椭圆的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设|PF2|=x，在直角三角形PF1F2中，依题意可求得|PF1|与|F1F2|，利用椭圆离心率的性质即可求得答案．解答：解：|PF2|=x，∵PF2⊥F1F2，∠PF1F2=30°，∴|PF1|=2x，|F1F2|=x，又|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c∴2a=3x，2c=x，∴C的离心率为：e==．故选D．点评：本题考查椭圆的简单性质，求得|PF1|与|PF2|及|F1F2|是关键，考查理解与应用能力，属于中档题．9．已知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（）A． 2 B． 3 C． D．考点：直线与圆锥曲线的关系；点到直线的距离公式．专题：计算题．分析：先确定x=﹣1为抛物线y2=4x的准线，再由抛物线的定义得到P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F（l2，0）的距离，进而转化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F（l2，0）和直线l2的距离之和最小，再由点到线的距离公式可得到距离的最小值．解答：解：直线l2：x=﹣1为抛物线y2=4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F（l2，0）的距离，故本题化为在抛物线y2=4x上找一个点P使得P到点F（l2，0）和直线l2的距离之和最小，最小值为F（l2，0）到直线l2：4x﹣3y+6=0的距离，即d=，故选A．点评：本小题考查抛物线的定义、点到直线的距离，考查基础知识的综合应用．圆锥曲线是高考的热点也是难点问题，一定要强化复习．10．△ABC的顶点A（﹣5，0），B（5，0），△ABC的内切圆圆心在直线x=3上，则顶点C的轨迹方程是（）A．﹣=1 B．=1C．﹣=1（x＞3） D．=1（x＞4）考点：轨迹方程．专题：计算题；数形结合．分析：根据图可得：|CA|﹣|CB|为定值，利用根据双曲线定义，所求轨迹是以B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，从而写出其方程即得．解答：解：如图设△ABC与圆的切点分别为D、E、F，则有|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2，|CD|=|CF|，所以|CA|﹣|CB|=8﹣2=6．根据双曲线定义，所求轨迹是以B为焦点，实轴长为6的双曲线的右支，方程为﹣=1（x＞3）．故选C点评：本题考查轨迹方程，利用的是定义法，定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11．若a≤b，则ac2≤bc2，则命题的原命题、逆命题、否命题和逆否命题中正确命题的个数是 2 ．考点：四种命题．专题：简易逻辑．分析：首先，判断原命题为假命题，然后，分别写出它的其它三种形式的命题，然后，分别判断真假．解答：解：若a≤b，则ac2≤bc2，为真命题；逆命题为：若ac2≤bc2，则a≤b，为假命题；否命题：若a＞b，则ac2＞bc2，为假命题；逆否命题：若ac2＞bc2，则a＞b，为真命题；故正确命题的个数为2，故答案为：2．点评：本题重点考查了四种命题的真假判断，属于中档题．12．“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据复合命题之间的关系进行判断即可．解答：解：若“p或q”为真命题，则p，q至少有一个为真，则此时“p且q”不一定为真命题，若“p且q”为真命题，则p，q同时为真，必要性成立，故“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的必要不充分条件，故答案为：必要不充分点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据复合命题之间的关系是解决本题的关键．13．已知抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为x轴，且过点P（﹣2，2），则抛物线的方程为y2=﹣4x ．考点：抛物线的标准方程．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：设抛物线方程为y2=mx，代入P（﹣2，2），得到方程，解方程即可得到所求抛物线方程．解答：解：设抛物线方程为y2=mx，代入P（﹣2，2），可得，8=﹣2m，即有m=﹣4，则抛物线的方程为y2=﹣4x．故答案为：y2=﹣4x．点评：本题考查抛物线的方程的求法，考查待定系数法的运用，考查运算能力，属于基础题．14．若函数存在垂直于y轴的切线，则实数a的取值范围是[2，+∞）．考点：导数的几何意义．分析：先对函数f（x）求导，然后令导函数等于0得到关于a，x的关系式，再由基本不等式可求出a的范围．解答：解：∵∴f'（x）=x﹣a+由题意可知存在实数x＞0使得f'（x）=x﹣a+=0，即a=x+成立∴a=x+≥2（当且仅当x=，即x=1时等号取到）故答案为：[2，+∞）点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于切点为该点的切线的斜率．15．椭圆的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若|PF1|=4，∠F1PF2的大小为120°．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由|PF1|+|PF2|=6，且|PF1|=4，易得|PF2|，再利用余弦定理，即可求得结论．解答：解：∵|PF1|+|PF2|=2a=6，|PF1|=4，∴|PF2|=6﹣|PF1|=2．在△F1PF2中，cos∠F1PF2==﹣，∴∠F1PF2=120°．故答案为：120°点评：本题主要考查椭圆定义的应用及焦点三角形问题，考查余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于基础题．三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．命题p：实数x满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＜0；命题q：实数x满足x2﹣x﹣6≤0或x2+2x ﹣8＞0；若￢p是￢q的必要不充分条件，求a的取值范围．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；命题的否定；一元二次不等式的应用．专题：计算题．分析：利用不等式的解法求解出命题p，q中的不等式范围问题，结合二者的关系得出关于字母a的不等式，从而求解出a的取值范围．解答：解：x2﹣4ax+3a2=0对应的根为a，3a；由于a＜0，则x2﹣4ax+3a2＜0的解集为（3a，a），故命题p成立有x∈（3a，a）；由x2﹣x﹣6≤0得x∈[﹣2，3]，由x2+2x﹣8＞0得x∈（﹣∞，﹣4）∪（2，+∞），故命题q成立有x∈（﹣∞，﹣4）∪[﹣2，+∞）．若¬p是¬q的必要不充分条件，即p是q的充分不必要条件，因此有（3a，a）⊊（﹣∞，﹣4）或（3a，a）⊊[﹣2，+∞），又a＜0，解得a≤﹣4或；故a的范围是a≤﹣4或．点评：本题考查一元二次不等式的解法，考查二次不等式与二次函数的关系，注意数形结合思想的运用．17．如图，直线y=x与抛物线y=x2﹣4交于A、B两点，线段AB的垂直平分线与直线y=﹣5交于Q点．（1）求点Q的坐标；（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时，求△OPQ面积的最大值．考点：抛物线的应用；直线与圆锥曲线的综合问题．专题：计算题．分析：（1）把直线方程抛物线方程联立求得交点A，B的坐标，则AB中点M的坐标可得，利用AB的斜率推断出AB垂直平分线的斜率，进而求得AB垂直平分线的方程，把y=﹣5代入求得Q的坐标．（2）设出P的坐标，利用P到直线0Q的距离求得三角形的高，利用两点间的距离公式求得QO的长，最后利用三角形面积公式表示出三角形OPQ，利用x的范围和二次函数的单调性求得三角形面积的最大值．解答：解：（1）解方程组得或即A（﹣4，﹣2），B（8，4），从而AB的中点为M（2，1），由k AB═，直线AB的垂直平分线方程y﹣1=﹣2（x﹣2）．令y=﹣5，得x=5，∴Q（5，﹣5）．（2）直线OQ的方程为x+y=0，设P（x，x2﹣4）．∵点P到直线OQ的距离d==．，∴S△OPQ=|OQ|d=∵P为抛物线上位于线段AB下方的点，且P不在直线OQ上，∴﹣4≤x＜4﹣4或4﹣4＜x≤8．∵函数y=x2+8x﹣32在区间[﹣4，8]上单调递增，∴当x=8时，△OPQ的面积取到最大值30．点评：本题主要考查了抛物线的应用，点到直线的距离公式．考查了对解析几何基础知识的灵活运用．18．已知椭圆上的点P到左右两焦点F1，F2的距离之和为，离心率为．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）过右焦点F2的直线l交椭圆于A、B两点，若y轴上一点满足|MA|=|MB|，求直线l的斜率k的值．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（Ⅰ）利用椭圆的定义求出a，根据离心率为，求出c，从而可求b，即可求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为y=k（x﹣1），联立直线与椭圆的方程，可得AB的中点坐标，确定AB 的中垂线方程，利用|MA|=|MB|，即可求直线l的斜率k的值．解答：解：（Ⅰ），∴﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）∵，∴，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）∴b2=a2﹣c2=2﹣1=1﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（3分）∴椭圆的标准方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）（Ⅱ）已知F2（1，0），设直线的方程为y=k（x﹣1），A（x1，y1）B（x2，y2）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）联立直线与椭圆的方程，化简得：（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣2=0﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）∴，∴AB的中点坐标为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）①当k≠0时，AB的中垂线方程为﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）∵|MA|=|MB|，∴点M在AB的中垂线上，将点M的坐标代入直线方程得：，即，解得或﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）②当k=0时，AB的中垂线方程为x=0，满足题意．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）∴斜率k的取值为．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）点评：本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．19．已知二次函数f（x）满足：①在x=1时有极值；②图象过点（0，﹣3），且在该点处的切线与直线2x+y=0平行．（1）求f（x）的解析式；（2）求函数g（x）=f（x2）的单调递增区间．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数研究函数的单调性；函数在某点取得极值的条件．专题：计算题．分析：（1）先根据函数模型设出函数解析式，然后对函数f（x）求导，令f'（1）=0，f'（0）=﹣2，f（0）=﹣3建立方程组，解之即可得到答案；（2）将函数f（x）的解析式代入求出函数g（x）的解析式后求导，令导函数大于0求出x的范围即可求出函数g（x）的单调递增区间．解答：解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f¢（x）=2ax+b．由题设可得：即解得所以f（x）=x2﹣2x﹣3．（2）g（x）=f（x2）=x4﹣2x2﹣3， g′（x）=4x3﹣4x=4x（x﹣1）（x+1）．列表：x （﹣∞，﹣1）﹣1 （﹣1，0） 0 （0，1） 1 （1，+∞）f′（x）﹣ 0 + 0 ﹣ 0 +f（x）↘↗↘↗由表可得：函数g（x）的单调递增区间为（﹣1，0），（1，+∞）．点评：本题主要考查导数的几何意义、导数的正负情况和原函数的增减性的关系，属基础题．20．若函数f（x）=ax3﹣bx+4，当x=2时，函数f（x）有极值为，（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若f（x）=k有3个解，求实数k的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；综合题．分析：（1）先对函数进行求导，然后根据f（2）=﹣．f'（2）=0可求出a，b的值，进而确定函数的解析式．（2）根据（1）中解析式然后求导，然后令导函数等于0求出x的值，然后根据函数的单调性与其导函数的正负之间的关系确定单调性，进而确定函数的大致图象，最后找出k的范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3ax2﹣b由题意；，解得，∴所求的解析式为（Ⅱ）由（1）可得f′（x）=x2﹣4=（x﹣2）（x+2）令f′（x）=0，得x=2或x=﹣2，∴当x＜﹣2时，f′（x）＞0，当﹣2＜x＜2时，f′（x）＜0，当x＞2时，f′（x）＞0因此，当x=﹣2时，f（x）有极大值，当x=2时，f（x）有极小值，∴函数的图象大致如图．由图可知：．点评：本题主要考查函数的单调性、极值与其导函数之间的关系．导数是高等数学下放到高中的内容，是高考的热点问题，每年必考，要给予充分重视．21．已知x=1是函数f（x）=mx3﹣3（m+1）x2+nx+1的一个极值点，其中m，n∈R，m＜0．（Ⅰ）求m与n的关系表达式；（Ⅱ）求f（x）的单调区间；（Ⅲ）当x∈[﹣1，1]时，函数y=f（x）的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．考点：利用导数研究函数的极值；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性．分析：（Ⅰ）求出f′（x），因为x=1是函数的极值点，所以得到f'（1）=0求出m与n的关系式；（Ⅱ）令f′（x）=0求出函数的极值点，讨论函数的增减性确定函数的单调区间；（Ⅲ）函数图象上任意一点的切线斜率恒大于3m即f′（x）＞3m代入得到不等式即3m（x﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，又因为m＜0，分x=1和x≠1，当x≠1时g（t）=t﹣，求出g（t）的最小值．要使＜（x﹣1）﹣恒成立即要g（t）的最小值＞，解出不等式的解集求出m的范围．解答：解：（Ⅰ）f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+n．因为x=1是f（x）的一个极值点，所以f'（1）=0，即3m﹣6（m+1）+n=0．所以n=3m+6．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3mx2﹣6（m+1）x+3m+6=3m（x﹣1）[x﹣（1+）]当m＜0时，有1＞1+，当x变化时f（x）与f'（x）的变化如下表：x （﹣∞，1+） 1+（1+，1） 1 （1，+∞）f′（x）＜0 0 ＞0 0 ＜0f（x）单调递减极小值单调递增极大值单调递减由上表知，当m＜0时，f（x）在（﹣∞，1+）单调递减，在（1+，1）单调递增，在（1，+∞）单调递减．（Ⅲ）由已知，得f′（x）＞3m，即3m（x﹣1）[x﹣（1+）]＞3m，∵m＜0．∴（x﹣1）[x﹣1（1+）]＜1．（*）10x=1时．（*）式化为0＜1怛成立．∴m＜0．20x≠1时∵x∈[﹣1，1]，∴﹣2≤x﹣1＜0．（*）式化为＜（x﹣1）﹣．令t=x﹣1，则t∈[﹣2，0），记g（t）=t﹣，则g（t）在区间[﹣2，0）是单调增函数．∴g（t）min=g（﹣2）=﹣2﹣=﹣．由（*）式恒成立，必有＜﹣⇒﹣＜m，又m＜0．∴﹣＜m＜0．综上10、20知﹣＜m＜0．点评：考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，利用导数研究函数极值和单调性的能力，以及掌握不等式恒成立的条件．。
湖南省衡阳八中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷(理科)(Word版含解析)
湖南省衡阳八中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）抛物线x2=4y的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（0，﹣1）2．（3分）双曲线=1的渐近线的方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x3．（3分）“若x2=1，则x=1或x=﹣1”的否命题是（）A．若x2≠1，则x=1或x=﹣1 B．若x2=1，则x≠1且x≠﹣1C．若x2≠1，则x≠1或x≠﹣1 D．若x2≠1，则x≠1且x≠﹣14．（3分）若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A．B．C．D．5．（3分）已知椭圆上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为（）A．2B．3C．5D．76．（3分）在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（）A．B．1C．2D．47．（3分）已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件8．（3分）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A．B．C． D．9．（3分）已知定点F1（﹣2，0），F2（2，0），N是圆O：x2+y2=1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是（）A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．圆10．（3分）已知动点p（x，y）在椭圆上，若A点坐标为（3，0），||=1，且=0则||的最小值是（）A．B．C．2D．3二、填空题：（每小题3分，共15分，请将答案填在答题卡的区域内）11．（3分）双曲线的离心率为．12．（3分）已知命题p：∀x＞2，x3﹣8≥0，那么¬p是．13．（3分）已知=（1，1，2），=（﹣1，﹣1，3），且（k+）∥（），则k=．14．（3分）在底面边长为2，高为1的正四梭柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BC，C1D1的中点．则异面直线A1E，CF所成的角为．15．（3分）已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x﹣y+4=0，在抛物线上有一动点P 到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为．三、解答题16．（7分）命题P：函数y=（a2﹣4a）x为减函数；命题Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根．若P和Q有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围．17．（8分）设直线y=2x﹣4与抛物线y2=4x交于A，B两点．（1）求线段AB的中点；（2）若F为抛物线的焦点，求△FAB的面积．18．（9分）已知抛物线的顶点在原点，准线过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，又抛物线与双曲线的一个交点为．（1）求抛物线与双曲线的方程．（2）已知直线y=ax+1与双曲线交于A，B两点，求实数a的范围．19．（9分）如图所示，已知在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，E为C1C上的点，且CE=1，（1）求证：A1C⊥平面BDE；（2）求A1B与平面BDE所成的角的正弦值．20．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥ABCD，ABCD为正方形．AD=PD=2，E，F，GPC，PD，CB，AP∥EGF，求二面角G﹣EF﹣D的大小．21．（12分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，若椭圆C的一个焦点为F2（，0），其短轴上的一个端点到F2的距离为（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程（Ⅱ）过椭圆C的“伴随圆”上的一动点Q作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个公共点，求证：l1⊥l2．湖南省衡阳八中2014-2015学年高二上学期期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（3分）抛物线x2=4y的焦点坐标为（）A．（1，0）B．（﹣1，0）C．（0，1）D．（0，﹣1）考点：抛物线的简单性质．专题：计算题．分析：先根据标准方程求出p值，判断抛物线x2=4y的开口方向及焦点所在的坐标轴，从而写出焦点坐标．解答：解：∵抛物线x2 =4y 中，p=2，=1，焦点在y轴上，开口向上，∴焦点坐标为（0，1 ），故选C．点评：本题考查抛物线的标准方程和简单性质的应用，抛物线x2=2p y 的焦点坐标为（0，），属基础题．2．（3分）双曲线=1的渐近线的方程是（）A．y=±x B．y=±x C．y=±x D．y=±x考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得此双曲线的渐近线方程．解答：解：在双曲线的标准方程中，把1换成0，即得的渐近线方程为=0，化简可得，故选C．点评：本题主要考查双曲线的标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题．3．（3分）“若x2=1，则x=1或x=﹣1”的否命题是（）A．若x2≠1，则x=1或x=﹣1 B．若x2=1，则x≠1且x≠﹣1C．若x2≠1，则x≠1或x≠﹣1 D．若x2≠1，则x≠1且x≠﹣1考点：四种命题．专题：阅读型．分析：若p则q命题的否定要注意对p和q同时否定，还要注意x=1或x=﹣1的否定为x≠1且x≠﹣1．解答：解：x2=1的否定为x2≠1，x=1或x=﹣1的否定为“x≠1且x≠﹣1”．故命题“若x2=1，则x=1或x=﹣1”的否命题是：“若x2≠1，则“x≠1且x≠﹣1”故选D点评：本题考查若p则q命题的否定，属基础题．4．（3分）若焦点在x轴上的椭圆的离心率为，则m=（）A．B．C．D．考点：椭圆的简单性质．专题：计算题．分析：先根据椭圆的标准方程求得a，b，c，再结合椭圆的离心率公式列出关于m的方程，解之即得答案．解答：解：由题意，则，化简后得m=1.5，故选A点评：本题考查椭圆的性质与其性质的应用，注意根据椭圆的标准方程求得a，b，c，进而根据题意、结合有关性质，化简、转化、计算，最后得到结论．5．（3分）已知椭圆上的点P到椭圆一个焦点的距离为7，则P到另一焦点的距离为（）A．2B．3C．5D．7考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由椭圆方程找出a的值，根据椭圆的定义可知椭圆上的点到两焦点的距离之和为常数2a，把a的值代入即可求出常数的值得到P到两焦点的距离之和，由P到一个焦点的距离为7，求出P到另一焦点的距离即可．解答：解：由椭圆，得a=5，则2a=10，且点P到椭圆一焦点的距离为7，由定义得点P到另一焦点的距离为2a﹣3=10﹣7=3．故选B点评：此题考查学生掌握椭圆的定义及简单的性质，是一道中档题．6．（3分）在抛物线y2=2px上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p的值为（）A．B．1C．2D．4考点：抛物线的应用．专题：计算题．分析：由抛物线方程可求得准线方程，进而根据其定义得知4+=5，求得p．解答：解：抛物线的准线方程为x=﹣，由抛物线的定义知4+=5，解得P=2．故选C点评：本题主要考查了抛物线的简单性质．属基础题．7．（3分）已知a∈R，则“a＞2”是“a2＞2a”成立的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论．解答：解：由a2＞2a得a＞2或a＜0，则“a＞2”是“a2＞2a”成立充分不必要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键．我们得规律是充分条件范围要小，必要条件范围要大．8．（3分）如图：在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为A1C1与B1D1的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（）A ．B ．C ．D ．考点： 空间向量的基本定理及其意义． 专题： 计算题．分析： 利用向量的运算法则：三角形法则、平行四边形法则表示出．解答： 解：∵====故选A点评： 本题考查利用向量的运算法则将未知的向量用已知的基底表示从而能将未知向量间的问题转化为基底间的关系解决．9．（3分）已知定点F 1（﹣2，0），F 2（2，0），N 是圆O ：x 2+y 2=1上任意一点，点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P ，则点P 的轨迹是（） A ． 椭圆 B ． 双曲线 C ． 抛物线 D ．圆考点： 双曲线的定义． 专题： 计算题．分析： 由N 是圆O ：x 2+y 2=1上任意一点，可得ON=1，且N 为MF 1的中点可求MF 2，结合已知由垂直平分线的性质可得PM=PF 1，从而可得|PF 2﹣PF 1|=|PF 2﹣PM|=MF 2=2为定值，由双曲线的定义可得点P 得轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线解答： 解：连接ON ，由题意可得ON=1，且N 为MF 1的中点∴MF 2=2 ∵点F 1关于点N 的对称点为M ，线段F 1M 的中垂线与直线F 2M 相交于点P 由垂直平分线的性质可得PM=PF 1 ∴|PF 2﹣PF 1|=|PF 2﹣PM|=MF 2=2＜F 1F 2由双曲线的定义可得点P 得轨迹是以F 1，F 2为焦点的双曲线 故选：B点评：本题以圆为载体，考查了利用双曲线的定义判断圆锥曲线的类型的问题，解决本题的关键是由N为圆上一点可得ON=1，结合N为MF1的中点，由三角形中位线的性质可得MF2=2，还要灵活应用垂直平分线的性质得到解决本题的第二个关键点|PF2﹣PF1|=|PF2﹣PM|=MF2=2＜F1F2，从而根据圆锥曲线的定义可求解，体现了转化思想的应用．10．（3分）已知动点p（x，y）在椭圆上，若A点坐标为（3，0），||=1，且=0则||的最小值是（）A．B．C．2D．3考点：椭圆的简单性质．专题：计算题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由题设条件，结合向量的性质，得到||2=||2﹣||2=||2﹣1，||越小，||越小，结合图形可知，当P点为椭圆的右顶点时，即可得到最小值．解答：解：∵=0，∴，∴||2=||2﹣||2=||2﹣1，∴点M的轨迹为以为以点A为圆心，1为半径的圆，∵||2=||2﹣1，||越小，||越小，结合图形知，当P点为椭圆的右顶点时，||取最小值a﹣c=5﹣3=2，∴||最小值是=．故选：B．点评：本题主要考查椭圆上的线段长的最小值的求法，考查平面向量的数量积的性质和运用，解题时要认真审题，要熟练掌握椭圆的性质，是中档题．二、填空题：（每小题3分，共15分，请将答案填在答题卡的区域内）11．（3分）双曲线的离心率为．考点：双曲线的简单性质．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：通过双曲线方程求出a，b，c的值然后求出离心率即可．解答：解：因为双曲线，所以a=4，b=3，所以c=，所以双曲线的离心率为：e=．故答案为：．点评：本题考查双曲线的基本性质的应用，离心率的求法，考查计算能力．12．（3分）已知命题p：∀x＞2，x3﹣8≥0，那么¬p是∃x0＞2，x03﹣8＜0．考点：命题的否定．专题：简易逻辑．分析：直接利用全称命题的否定是特称命题，写出结果即可．解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题p：∀x＞2，x3﹣8≥0，那么¬p是：∃x0＞2，x03﹣8＜0．故答案为：∃x0＞2，x03﹣8＜0．点评：本题考查命题的否定特称命题与全称命题的否定关系，基本知识的考查．13．（3分）已知=（1，1，2），=（﹣1，﹣1，3），且（k+）∥（），则k=﹣1．考点：向量的数量积判断向量的共线与垂直．专题：计算题．分析：带有字母系数的两个向量平行，首先要表示出向量，再代入向量平行的坐标形式的充要条件，得到关于字母系数的方程，解方程即可．解答：解：∵=（1，1，2），=（﹣1，﹣1，3），故k+=k（1，1，2）+（﹣1，﹣1，3）=（k﹣1，k﹣1，2k+3），=（2，2，﹣1）∵（k+）∥（），∴（k+）=λ（），∴k﹣1=2λ且2k+3=﹣λ，解得k=﹣1，故答案为：﹣1．点评：此题是个基础题．考查向量共线的坐标表示，同时考查学生的计算能力．14．（3分）在底面边长为2，高为1的正四梭柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为BC，C1D1的中点．则异面直线A1E，CF所成的角为．考点：异面直线及其所成的角．专题：计算题；空间角．分析：以D为原点建立空间直角坐标系，求出各点坐标，进而求出异面直线A1E，CF的方向向量，代入向量夹角公式，可得求异面直线A1E，CF所成的角．解答：解：以D为原点建立空间直角坐标系，则A1（2，0，1），E（1，2，0），C（0，2，0），F（0，1，1），∴=（﹣1，2，﹣1），=（0，﹣1，1），设异面直线A1E，CF所成的角为θ，则cosθ==，所以θ=，所求异面直线的夹角为．故答案为：．点评：本题考查异面直线及其所成的角，建立空间坐标系，将空间异面直线夹角问题转化为向量夹角问题是解答的关键．15．（3分）已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x﹣y+4=0，在抛物线上有一动点P 到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，则d1+d2的最小值为﹣1．考点：抛物线的简单性质；点到直线的距离公式．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：连接PF，过点P作PA⊥l于点A，作PB⊥y轴于点B，PB的延长线交准线x=﹣1于点C．由抛物线的定义，得到d1+d2=（PA+PF）﹣1，再由平面几何知识可得当P、A、F 三点共线时，PA+PF有最小值，因此算出F到直线l的距离，即可得到d1+d2的最小值．解答：解：如图，过点P作PA⊥l于点A，作PB⊥y轴于点B，PB的延长线交准线x=﹣1于点C连接PF，根据抛物线的定义得PA+PC=PA+PF∵P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，∴d1+d2=PA+PB=（PA+PC）﹣1=（PA+PF）﹣1根据平面几何知识，可得当P、A、F三点共线时，PA+PF有最小值∵F（1，0）到直线l：x﹣y+4=0的距离为=∴PA+PF的最小值是，由此可得d1+d2的最小值为﹣1故答案为：﹣1点评：本题给出抛物线和直线l，求抛物线上一点P到y轴距离与直线l距离之和的最小值，着重考查了点到直线的距离公式、抛物线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．三、解答题16．（7分）命题P：函数y=（a2﹣4a）x为减函数；命题Q：关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根．若P和Q有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围．考点：复合命题的真假．专题：函数的性质及应用．分析：根据一次函数的单调性与一次项系数的关系，可求出命题P为真时实数a的取值范围，根据二次方程根的个数与判别式的关系，可求出命题Q为真时实数a的取值范围，进而结合P和Q有且只有一个为真命题，分类讨论后，综合讨论结果可得答案．解答：解：若函数y=（a2﹣4a）x为减函数则a2﹣4a＜0解得：0＜a＜4即命题P为真时：0＜a＜4若关于x的方程x2﹣x+a=0有实数根则1﹣4a≥0解得：a≤即命题Q为真时：a≤∵P和Q有且只有一个为真命题当p真q假时，＜a＜4当p假q真时，a≤0综上实数a的取值范围为（﹣∞，0]∪（，4）点评：本题以复合命题的真假判断为载体考查了函数的单调性及二次方程根的个数与判别式的关系，难度不大，属于基础题．17．（8分）设直线y=2x﹣4与抛物线y2=4x交于A，B两点．（1）求线段AB的中点；（2）若F为抛物线的焦点，求△FAB的面积．考点：直线与圆锥曲线的关系．专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：（1）直线y=2x﹣4与抛物线y2=4x联立可得x2﹣5x+4=0，求出A，B的坐标，可得线段AB的中点坐标；（2）求出|AB|，F到直线AB的距离，即可求△FAB的面积．解答：解：（1）直线y=2x﹣4与抛物线y2=4x联立可得x2﹣5x+4=0，∴x=1或4，∴A（1，﹣2），B（4，4），∴线段AB的中点（2.5，1）；（2）|AB|==3，F到直线AB的距离为d=，∴△FAB的面积S==3．点评：本题考查直线与抛物线的位置关系，考查学生的计算能力，比较基础．18．（9分）已知抛物线的顶点在原点，准线过双曲线=1（a＞0，b＞0）的一个焦点，且与双曲线实轴垂直，又抛物线与双曲线的一个交点为．（1）求抛物线与双曲线的方程．（2）已知直线y=ax+1与双曲线交于A，B两点，求实数a的范围．考点：直线与圆锥曲线的关系；双曲线的标准方程．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）由题意可设抛物线方程为y2=2px（p＞0），将交点代入得p的值，可得抛物线方程以及它的准线方程，可得c=2．再由点在双曲线上，a2+b2=c2，因此可以解得a2和b2的值，可得双曲线的方程．（2）将直线y=ax+1代入双曲线的方程，化为关于x的一元二次方程，再根据一元二次方程有2个实数根的条件求得a的范围．解答：解：（1）由题意知，抛物线焦点在x轴上，开口方向向右，可设抛物线方程为y2=2px （p＞0），将交点代入得p=4，故抛物线方程为y2=8x，它的准线方程为x=﹣2，可得双曲线的一个焦点坐标为（2，0），则c=2．又点也在双曲线上，因此有．又a2+b2=4，因此可以解得a2=1，b2=3，因此，双曲线的方程为．（2）将直线y=ax+1代入双曲线的方程可得（3﹣a2）2 x2﹣2ax﹣4=0，由求得﹣2＜a＜2，且a≠±．点评：本题主要考查抛物线和双曲线的性质、标准方程的应用，直线和圆锥曲线的位置关系，属于基础题．19．（9分）如图所示，已知在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长AB=2，侧棱BB1的长为4，E为C1C上的点，且CE=1，（1）求证：A1C⊥平面BDE；（2）求A1B与平面BDE所成的角的正弦值．考点：直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定．专题：综合题；空间位置关系与距离；空间角．分析：（1）建立空间直角坐标系，利用向量的数量积，可证得直线A1C与BE，BD均垂直，再由线面垂直的判定定理得到A1C⊥平面BED；（2）由（1）中结论，我们可得是平面BDE的一个法向量，再求出直线A1B的方向向量，代入向量夹角公式，即可得到A1B与平面BDE所成角的正弦值的大小．解答：（1）证明：以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz则D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4），E（0，2，1），∴=（﹣2，0，1）．∵=（﹣2，2，﹣4），=（2，2，0），∴•=4+0﹣4=0且•=﹣4+4+0=0，∴⊥且⊥，∵DB∩BE=B∴A1C⊥平面BDE；（2）解：由（1）知=（﹣2，2，﹣4）是平面BDE的一个法向量，∵=（0，2，﹣4），∴cos＜，＞==，∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为．点评：本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，向量语言表述线面的垂直、平行关系，其中建立空间坐标系，将空间线面的夹角及垂直、平行问题转化为向量夹角问题是解答此类问题的关键．20．（10分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥ABCD，ABCD为正方形．AD=PD=2，E，F，GPC，PD，CB，AP∥EGF，求二面角G﹣EF﹣D的大小．考点：二面角的平面角及求法．专题：空间位置关系与距离；空间角．分析：首先建立空间直角坐标系，进一步求出平面EFG的法向量，再利用，利用向量的数量积求出二面角的大小．解答：解：建立空间直角坐标系D﹣xyz，则P（0，0，2），C（0，2，0），G（1，2，0），E（0，1，1），F（0，0，1），A（2，0，0）．∴，，设平面EFG的法向量为：所以：解得：∵底面ABCD是正方形∴AD⊥CD∵PD⊥ABCD∴AD⊥PD∴AD⊥平面PCD∴，所以：=所以：二面角G﹣EF﹣D的大小为45°点评：本题考查的知识要点：空间直角坐标系的建立，法向量，向量的数量积，二面角的求法及相关的运算．21．（12分）给定椭圆C：+=1（a＞b＞0），称圆心在坐标原点O，半径为的圆是椭圆C的“伴随圆”，若椭圆C的一个焦点为F2（，0），其短轴上的一个端点到F2的距离为（Ⅰ）求椭圆C及其“伴随圆”的方程（Ⅱ）过椭圆C的“伴随圆”上的一动点Q作直线l1，l2，使得l1，l2与椭圆C都只有一个公共点，求证：l1⊥l2．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（Ⅰ）利用椭圆标准方程及其a、b、c的关系即可得出椭圆方程，进而得到“伴椭圆”的方程；（Ⅱ）利用点到直线的距离公、直线与椭圆相切的性质及点Q的坐标满足“伴椭圆”的方程即可证明．解答：（Ⅰ）由题意可知：c=，a=，∴b2=a2﹣c2=1．∴椭圆方程为：=1，=2，∴椭圆C的“伴椭圆”方程为：x2+y2=4．（Ⅱ）设直线方程为：y=kx+m∵截椭圆C的“伴随圆”所得的弦长为2，∴圆心到直线的距离d=，∵，∴d2=2，∴m2=2（1+k2）．（*）又，得（1+3k2）x2+6mkx+3m2﹣3=0，∵直线l与椭圆相切，∴△=1+3k2﹣m2=0，设Q（x0，y0），直线y﹣y0=k（x﹣x0），1+3k2﹣m2=1+3k2﹣（y0﹣kx0）2=0，即（3﹣）k2+=0，∴，又∵Q（x0，y0）在“伴椭圆”上，∴，∴．∴k1k2=﹣1，∴l1⊥l2．点评：熟练掌握椭圆标准方程及其a、b、c的关系、点到直线的距离公式、、及直线与椭圆相切的性质、“伴椭圆”的定义是解题的关键．。
2015年湖南省衡阳市高考数学三模试卷(文科)
2015年湖南省衡阳市高考数学三模试卷（文科）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共10小题，共50.0分)1.一种集合A={3，5，x}，B={2}，若A∪B=A，则实数x的值为（）A.-2B.2C.3D.5【答案】B【解析】解：因为A∪B=A，所以2∈A，而A={3，5，x}，故x=2．故选B．根据并集的意义，由A∪B=A得到集合B中的元素都属于集合A，求解即可．此题考查了并集的意义，以及集合中元素的特点．集合中元素有三个特点，即确定性，互异性，无序性．学生做题时注意利用元素的特点判断得到满足题意的a的值2.“x2-2x＜0”是“|x|＜2”成立的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件【答案】A【解析】解：由x2-2x＜0得0＜x＜2，此时满足|x|＜2，由|x|＜2，得-2＜x＜2，取x=-1时，x2-2x ＞0，所以“x2-2x＜0”是“|x|＜2”成立的充分不必要条件．故选A．解出不等式x2-2x＜0和|x|＜2的解集，分析它们之间的包含关系即可得出结论．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．3.若一个几何体的正视图和侧视图是两个全等的正方形，则这个几何体的俯视图不可能是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】解：正方体的三视图满足A；B是半圆柱的俯视图，所以B不满足题意；等边圆柱的三视图，C正确；D可以是正方体的一半，即三棱柱，正确；故选：B．通过几何体的三视图判断选项即可．本题考查简单几何体的三视图的应用，考查基本知识的应用．4.在△ABC内部随机取一点P，则事件“△PBC”的面积不大于△ABC面积的”的概率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解：作出△ABC的高AO，当“△PBC的面积等于△ABC面积的”时，此时OP=OA，要使““△PBC的面积不大于△ABC面积的”，则P位于阴影部分，则△AEF的面积S1=（）2S=S，则阴影部分的面积为S-S=S，则根据几何概型的概率公式可得“△PBC的面积小于不大于△ABC面积的”的概率是：；故选：A先求出“△PBC的面积等于△ABC面积的时，对应的位置，然后根据几何概型的概率公式求相应的面积，即可得到结论本题主要考查几何概型的概率公式的计算，根据面积之间的关系是解决本题的关键．5.执行如图所示的程序框图，输出的i值为（）A.2B.3C.4D.5【答案】C【解析】解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0不满足条件S＞1，i=2，S=lg2不满足条件S＞1，i=3，S=lg2+lg3=lg6不满足条件S＞1，i=4，S=lg6+lg4=lg24＞lg10=1满足条件S＞1，退出循环，输出i的值为4，故选：C模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的i，S的值，当S=lg24时，满足条件S＞1，退出循环，输出i的值为4．本题主要考查了循环结构的程序框图，考查了对数的运算法则的应用，属于基础题．6.函数y=，＜，（0＜φ＜）的图象如图，则（）A.k=，ω=，φ=B.k=，ω=，φ=C.k=-，ω=2，φ=D.k=-2，ω=2，φ=【答案】A【解析】解：把（-2，0）代入y=kx+1，求得k=．再根据•=-=π，可得ω=．再根据五点法作图可得×+φ=π，求得φ=，故选：A．用待定系数法求出k的值，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式．本题主要考查由函数y=A sin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于基础题．7.正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，若存在a m，a n，使得a m•a n=16a12，则的最小值为（）A.2B.16C.D.【答案】C【解析】解：∵正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，∴a1q2=a1q+2a1，即：q2=q+2，解得q=-1（舍），或q=2，∵存在a m，a n，使得a m a n=16a12，∴a12•2m+n-2=16a12，∴m+n=6，∴=（m+n）（）=（10++）≥（10+2）=∴的最小值为．故选：C．正项等比数列{a n}满足：a3=a2+2a1，知q=2，由存在两项a m，a n，使得a m a n=16a12，知m+n=6，由此问题得以解决．本题考查等比数列的通项公式的应用，解题时要认真审题，仔细解答．注意不等式也是高考的热点，尤其是均值不等式和一元二次不等式的考查，两者都兼顾到了．8.设x，y满足约束条件，则取值范围是（）A.[1，5]B.[2，6]C.[3，10]D.[3，11]【答案】D【解析】解：根据约束条件画出可行域，∵设k==1+，整理得（k-1）x-2y+k-3=0，由图得，k＞1．设直线l0=（k-1）x-2y+k-3，当直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3．故选D．再根据约束条件画出可行域，利用几何意义求最值，只需求出直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0））时l0最小，k也最小为3即可．本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题．9.已知双曲线C：-=1（a＞0，b＞0）的两条渐近线与抛物线y2=2px（p＞0）的准线分别交于A，B两点，O为坐标原点，若双曲线C的离心率为2，△AOB的面积为，则△AOB的内切圆半径为（）A.-1B.+1C.2-3D.2+3【答案】C【解析】解：由e====2，可得=．由，求得A（-，），B（-，-），所以S△AOB=••=．将=代入，得p2=4，解得p=2．所以A（-1，），B（-1，-），则△AOB的三边分别为2，2，2，设△AOB的内切圆半径为r，由（2+2+2）r=，解得r=2-3，故选C．由双曲线的离心率公式及a，b，c的关系可得b=a，由双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程解得A，B，求出三角形AOB的面积，进而解得p=2，即有A，B的坐标，进而得到三角形AOB的三边，再由内切圆的半径与三角形的面积之间的关系，计算即可得到r．本题考查双曲线和抛物线的综合应用．求解这类问题关键是结合两个曲线的位置关系，找到它们对应的几何量，然后利用图形中的平面几何性质解答问题．10.定义：如果函数f（x）在[a，b]上存在x1，x2（a＜x1＜x2＜b），满足f′（x1）=，f′（x2）=′′，则称数x1，x2为[a，b]上的“对望数”函数f（x）为[a，b]上的“对望函数”，已知函数f（x）=是[0，m]上的“对望函数”，则实数m的取值范围是（）A.（1，）B.（1，）∪（，3）C.（2，3）D.（，3）【答案】D【解析】解：由题意可知，在区间[0，m]存在x1，x2（0＜x1＜x2＜m），满足f′（x1）===m2-m，∵f（x）=x3-x2+m，∴f′（x）=x2-2x，∴方程x2-2x=m2-m在区间（0，m）有两个解．令g（x）=x2-2x-m2+m，（0＜x＜m）则＞＞＞＞，解得＜m＜3，∴实数m的取值范围是（，3）．故选：D．由新定义可知f′（x1）=f′（x2）=m2-m，即方程x2-2x=m2-m在区间（0，m）有两个解，利用二次函数的性质可知实数m的取值范围．本题主要考查了导数的几何意义，二次函数的性质与方程根的关系，属于中档题．二、填空题(本大题共5小题，共25.0分)11.已知（1+i）2=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），则a+b= ______ ．【答案】2【解析】解：（1+i）2=1+2i+i2=2i，∵（1+i）2=a+bi（a，b∈R，i为虚数单位），∴，∴a+b=2，故答案为：2．通过题意直接计算即可．本题考查复数的相关知识，注意解题方法的积累，属于基础题．12.已知点A（1，1），B（2，3），C（0，2），D（5，5）则向量在方向上的投影为______ ．【答案】-【解析】解：由题意可得向量=（-1，1），=（3，2），∴||=，||==．设向量与的夹角为θ，则cosθ===-．故向量在方向上的投影为||•cosθ=-=-，故答案为：-．设向量与的夹角为θ，由条件求得cosθ=的值，再根据向量在方向上的投影为||•cosθ，计算求得结果．本题主要考查两个向量的数量积的运算，求一个向量在另一个向量上的投影，属于基础题．13.直角坐标系x O y中，点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）上，则|AB|的最大值为______ ．【答案】2【解析】解：曲线C1：（θ为参数）化为（x-3）2+（y-4）2=1，因此|AB|的最大值为直径2，．故答案为：2．利用sin2θ+cos2θ=1即可把参数方程化为直角坐标方程，即可得出．本题考查了同角三角函数基本关系式、把参数方程化为直角坐标方程、圆的性质，考查了计算能力，属于基础题．14.某学校从A、B两个班级中各选出7名学生参加市级比赛，他们去得的成绩（满分100分）的茎叶如图所示，其中A班学生成绩的众数是85，B班学生成绩的中位数是83．则x+y的值为______ ．【答案】8【解析】解：∵A班学生成绩的众数是85，∴x=5，∵B班学生成绩的中位数是83，∴y=3，故x+y=5+3=8，故答案为：8根据茎叶图以及众数和中位数的定义求出x，y即可．本题主要考查茎叶图的应用，以及中位数和众数的概念，比较基础．15.设满足条件x2+y2≤1的点（x，y）构成的平面区域的面积为S1，满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x，y）构成的平面区域的面积为S2（其中[x]，[y]分别表示不大于x，y的最大整数，例如[-0.3]=-1，[1.2]=1），给出下列结论：①点（S1，S2）在直线y=x左上方的区域内；②点（S1，S2）在直线x+y=7左下方的区域内；③S1＜S2；④S1＞S2．其中所有正确结论的序号是______ ．【答案】①③【解析】解：满足条件x2+y2≤1的点（x，y）构成的平面区域为一个圆，其面积为：π当0≤x＜1，0≤y＜1时，满足条件[x]2+[y]2≤1；当0≤x＜1，1≤y＜2时，满足条件[x]2+[y]2≤1；当0≤x＜1，-1≤y＜0时，满足条件[x]2+[y]2≤1；当-1≤x＜0，0≤y＜1时，满足条件[x]2+[y]2≤1；当0≤y＜1，1≤x＜2时，满足条件[x]2+[y]2≤1；∴满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x，y）构成的平面区域是五个边长为1的正方形，其面积为：5综上得：S1与S2的关系是S1＜S2，点（S1，S2）一定在直线y=x左上方的区域内故答案为：①③．先把满足条件x2+y2≤1的点（x，y）构成的平面区域，满足条件[x]2+[y]2≤1的点（x，y）构成的平面区域表达出来，然后看二者的区域的面积，再求S1与S2的关系．本题考查平面区域，处理两个不等式的形式中，第二个难度较大，[x]2+[y]2≤1的平面区域不易理解．三、解答题(本大题共6小题，共75.0分)16.在△ABC中，角A、B、C所对的边为a、b、c，且满足cos2A-cos2B=（1）求角B的值；（2）若且b≤a，求的取值范围．【答案】解：（1）在△ABC中，∵cos2A-cos2B==2（cos A+sin A）（cos A-sin A）=2（cos2A-sin2A）=cos2A-sin2A=-2sin2A．又因为cos2A-cos2B=1-2sin2A-（2cos2B-1）=2-2sin2A-2cos2B，∴2-2sin2A-2cos2B=-2sin2A，∴cos2B=，∴cos B=±，∴B=或．（2）∵b=≤a，∴B=，由正弦====2，得a=2sin A，c=2sin C，故a-c=2sin A-sin C=2sin A-sin（-A）=sin A-cos A=sin（A-），因为b≤a，所以≤A＜，≤A-＜，所以a-c=sin（A-）∈[，）．【解析】（1）由条件利用三角恒等变换化简可得2-2sin2A-2cos2B=-2sin2A，求得cos2B的值，可得cos B的值，从而求得B的值．（2）由b=≤a，可得B=60°．再由正弦定理可得．本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，三角恒等变换，属于中档题．17.有2000名网购者在11月11日当天于某购物网站进行网购消费（每人消费金额不超过1000元），其中有女士1100名，男士900名，该购物网站为优化营销策略，根据性别采用分层抽样的方法从这2000名网购者中抽取200名进行分折，如下表（消费金額卑位：元）女士消费情况：（1）计算算，的值；在抽出的200名且消费金额在[800，1000]（单位：元）的网购者中随机选出两名发放网购红包，求选出的两名网购者都是男士的概率；（2）若消费金额不低于600元的网购者为“网购达人，低于600元的网购者为“非网购达人”根据以上统计数据填写答题卡中的2×2列联表，并冋答能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“是否为网购达人与性别有关？”（K2=，n=a+b+c+d）【答案】解：（1）根据题意，样本中应抽取女士200×=110人，男士200-110=90人；∴x=110-（10+25+35+30）=10，y=90-（15+30+25+5）=15；∴消费金额在[800，1000]（单位：元）的网购者有女士10人，男士5人，从中任选2名，基本事件为=105种，其中选出的2名都是男士的基本事件为=10种，∴所求的概率为P==．（2）把“网购达人与非网购达人”根据男、女性别填写2×2列联表，如下；∴K2==≈4.72＞3.841，∴在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“网购达人与性别有关”．【解析】（1）根据分层抽样方法求出x、y的值，利用组合数计算基本事件数，求出对应的概率；（2）列出2×2列联表，计算观测值K2，对照表中数据，判断结论是否成立即可．本题考查了分层抽样方法的应用问题，也考查了2×2列联表的应用问题，是基础题目．18.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为等腰梯形，且满足AB∥CD，AD=DC=AB，PA⊥平面ABCD．（Ⅰ）求证：平面PBD⊥平面PAD；（Ⅱ）若PA=AB，求直线PC与平面PAD所成角的正弦值．【答案】（Ⅰ）证明：取AB的中点，连接CE，则由题意知：△BCE为正三角形，所以：∠ABC=60°，由等腰梯形知：∠BCD=120°，设AD=CD=BC=2，则：AB=4，BD=2，故：AD2+BD2=AB2，即得：∠ADB=90°，所以：AD⊥BD，又因为：PA⊥平面ABCD，所以：PA⊥BD，则：BD⊥平面PAD，且BC⊂平面PBD，所以：平面PBD⊥平面PAD．（Ⅱ）在平面ABCD中，过点C作CH∥BD交AD的延长线于点H，由（Ⅰ）知：BD⊥平面PAD，所以：CH⊥平面PAD，连接PH，则：∠CPH即为所求的角．在R t△CHD中，CD=2，∠CDH=60°，所以：CH=，在R t△PHC中，PC=，所以：在R t△PHC中，sin∠CPH==．即：直线PC与平面PAD所成角的正弦值为．【解析】（Ⅰ）首先利用中点得到△BCE为正三角形，进一步利用勾股定理的逆定理得到线线垂直，再利用线面垂直的判定定理证得：线面垂直．最后转化成面面垂直．（Ⅱ）首先作出直线与平面的夹角的平面角，进一步利用解直角三角形知识求得结果．本题考查的知识要点：勾股定理逆定理的应用，现面向垂直的判定和性质定理的应用，面面垂直的判定定理的应用，线面的夹角的应用．主要考查学生的空间想象能力和应用能力．19.在数列{a n}中，已知a1=，，．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）求证：数列{b n}是等差数列；（Ⅲ）设数列{c n}满足c n=（-1）n+1b n b n+1，且{c n}的前n项和S n，若S n≥tn2对n∈N*恒成立，求实数t取值范围．【答案】解：（I）∵，∴数列{a n}是首项为，公比为的等比数列，∴．（II）∵∴．∴b1=1，公差d=3∴数列{b n}是首项b1=1，公差d=3的等差数列．（III）由（1）知，，，当n为偶数时，S n=b1b2-b2b3+b3b4-…+b n-1b n-b n b n+1=b2（b1-b3）+b4（b3-b5）+…+b n（b n-1-b n+1）==，即对n取任意正偶数都成立．∴t≤-6．当n为奇数时，偶数时，S n=b1b2-b2b3+b3b4-…+b n-1b n-b n b n+1==＞对t≤-6时恒成立，综上：t≤-6．【解析】（I）利用等比数列的通项公式即可得出；（II）利用对数的运算性质、等差数列的定义即可证明；（III）对n分奇数与偶数讨论，利用等差数列的前n项和公式、分离参数、基本不等式的性质即可得出．本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、分类讨论方法，考查了恒成立问题的等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.已知F1、F2分别是椭圆C：+=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，椭圆C过点（-，1）且与抛物线y2=-8x有一个公共的焦点，直线l过右焦点F2且与椭圆交于A、B两点（1）求椭圆C方程；（2）P为直线x=3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．【答案】解：（1）∵椭圆C过点（-，1）且与抛物线y2=-8x有一个公共的焦点，且y2=-8x焦点坐标为（-2，0），∴c=2，即a2-b2=4，把（-，1）代入椭圆方程得：+=+=1，整理得：a4-8a2+12=0，解得：a2=6或a2=2（舍去），b2=2，则椭圆方程为+=1；（2）设直线l的方程为y=k（x-2），联立得：，消去y得：（3k2+1）x2-12k2x+12k2-6=0，利用韦达定理得：x1+x2=，x1x2=，∴|AB|=|x1-x2|==，设AB的中点为M（x0，y0），则有x0=，y0=-，∵直线MP的斜率为-，且P的横坐标为3，∴|MP|=|x0-x P|=•，当△ABP为等边三角形时，|MP|=|AB|，∴•=•，解得：k=±1，则直线l方程为x-y-2=0或x+y-2=0．【解析】（1）根据题意确定出椭圆的焦点坐标，求出c的值，利用椭圆的简单性质表示出b，将已知点坐标代入求出a与b的值，即可确定出椭圆方程；（2）设直线l解析式为y=k（x-2），与椭圆方程联立，消去y得到关于x的一元二次方程，利用韦达定理表示出两根之和与两根之积，进而表示出|AB|，设AB的中点为M（x0，y0），表示出中点坐标，进而表示出|MP|，根据|MP|=|AB|，求出k的值，即可确定出直线l方程．此题考查了直线与圆锥曲线的关系，椭圆的标准方程，韦达定理，以及椭圆的简单性质，熟练掌握椭圆的简单性质是解本题第一问的关键．21.已知函数f（x）=e x，g（x）=mx+n．（1）设h（x）=f（x）-g（x）．①若函数h（x）在x=0处的切线过点（1，0），求m+n的值；②当n=0时，若函数h（x）在（-1，+∞）上没有零点，求m的取值范围；（2）设函数r（x）=+，且n=4m（m＞0），求证：当x≥0时，r（x）≥1．【答案】解：（1）①h（x）=f（x）-g（x）=e x-mx-n．则h（0）=1-n，函数的导数h′（x）=e x-m，则h′（0）=1-m，则函数在x=0处的切线方程为y-（1-n）=（1-m）x，∵切线过点（1，0），∴-（1-n）=1-m，即m+n=2．②当n=0时，h（x）=f（x）-g（x）=e x-mx．若函数h（x）在（-1，+∞）上没有零点，即e x-mx=0在（-1，+∞）上无解，若x=0，则方程无解，满足条件，若x≠0，则方程等价为m=，设g（x）=，则函数的导数g′（x）=，若-1＜x＜0，则g′（x）＜0，此时函数单调递减，则g（x）＜g（-1）=-e-1，若x＞0，由g′（x）＞0得x＞1，由g′（x）＜0，得0＜x＜1，即当x=1时，函数取得极小值，同时也是最小值，此时g（x）≥g（1）=e，综上g（x）≥e或g（x）＜-e-1，若方程m=无解，则-e-1≤m＜e．（2）∵n=4m（m＞0），∴函数r（x）=+=+=+，则函数的导数r′（x）=-+=，设h（x）=16e x-（x+4）2，则h′（x）=16e x-2（x+4）=16e x-2x-8，[h′（x）]′=16e x-2，当x≥0时，[h′（x）]′=16e x-2＞0，则h′（x）为增函数，即h′（x）＞h′（0）=16-8=8＞0，即h（x）为增函数，∴h（x）≥h（0）=16-16=0，即r′（x）≥0，即函数r（x）在[0，+∞）上单调递增，故r（x）≥r（0）=，故当x≥0时，r（x）≥1成立．【解析】（1）求出函数的导数，利用导数的几何意义即可得到结论．（2）求出r（x）的表达式，求函数的导数，利用导数研究函数的单调性即可．本题主要考查导数的几何意义的应用，以及利用导数研究函数单调性，在判断函数的单调性的过程中，多次使用了导数来判断函数的单调性是解决本题的关键，难度较大．。
湖南省衡阳县第一中学2015-2016学年高二下学期期末考试数学(文)试题 扫描版含答案
参考答案13. 414. []6,215. 216. ③④三、解答题17.18.19.20.(2)当x l ⊥轴时,)334,1(P ,)334,1(-Q , 又)0,3(1-A , )0,3(2A)3(33:1+=x y l P A , )3(332:2-=x y l Q A , 联立解得)34,9(S . 当l 过椭圆的上顶点时, x y 66-=,)6,0(P , )564,59(-Q)3(36:1+=x y l P A , )3(362:2-=x y l Q A ,联立解得)64,9(S . 若定直线存在,则方程应是9=x .下面给予证明.21. 解答：（1）),0(,111)(2/+∞∈++-=+-=x x x x x x x f ，由0)(/>x f 得：⎩⎨⎧>>++-0012x x x ，解得2150+<<x ，故)(x f 的单调递增区间)215,0(+；（2）令),0(),1()()(+∞∈--=x x x f x F ，则有xx x F 2/1)(-=，当),1(+∞∈x 时,0)(/<x F ,所以)(x F 在[1,+∞)上单调递减， 故当1>x 时,0)1()(=<F x F ,即当1>x 时,1)(-<x x f ；（3）由（2）知,当1=k 时,不存在10>x 满足题意， 当1>k 时,对于1>x ,有)1(1)(-<-<x k x x f ， 则)1()(-<x k x f ,从而不存在x 使10>x 满足题意， 当1<k 时,令),0(),1()()(+∞∈--=x x k x f x G ，则有xx k x k x x x G 1)91)1(1)(2/+-+-=---=，由0)(/=x G 得：01)1(2=+-+-x k x 解得024)1(121<+---=k k x ，124)1(122>+-+-=k k x当),1(2x x ∈时, 0)(/>x G ,故)(x G 在),1(2x 内单调递增， 从而当),1(2x x ∈时,0)1()(=>G x G ,即)1()(->x k x f ， 综上所述k 的取值范围是(−∞,1). 22.解 1）∵AC 为圆O 的切线， ∴∠B=∠EAC,又CD 是∠ACB 的平分线，∴∠ACD=∠DCB, ∴∠B+∠DCB=∠EAC+∠ACD, 即∠ADF=∠AFD.又∵BE 为圆O 的直径，∴∠BAE=90°, ∴∠ADF=（180°—∠BAE ）=45 2) ∵∠B=∠EAC,∠ACE=∠BCA, ∴△ACE ∽△BCA又∵AB=AC,∴∠B=∠ACB, ∴∠B=∠ACB=∠EAC,由∠BAE=90°及三角形内角和知，∠B=30,∴在Rt △ABE 中，3330tan ===︒BA AE BC AC23.解由曲线C 的极坐标方程为θρc o s 4=得曲线C 的平面直角坐标方程是0422=-+x y x ，由直线l 的参数方程⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=t y t x 22122代入得0322=--t t 则3,22121-==+t t t t ，由直线参数方程的参数几何意义的弦长144)(2122121=-+=-=t t t t t t l 。
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2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县三中高二（下）期末数学试卷（文科）
一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1．已知i是虚数单位，则2i（1+i）=（ ） A． ﹣2+2i B． 2+2i C． 2i D． ﹣2i
2．已知α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点的值为（ ） A． B． C． D．
3．曲线y=2x3﹣3x+1在点（1，0）处的切线方程为（ ） A． y=4x﹣5 B． y=﹣3x+2 C． y=﹣4x+4 D． y=3x﹣3
4．已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则（ ） A． ￢p：∃x∈R，cosx≥1 B． ￢p：∃x∈R，cosx＜1 C． ￢p：∃x∈R，cosx≤1 D． ￢p：∃x∈R，cosx＞1
5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
A． 1 B． C． D． 2 6．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是（ ） A． {a|1≤a≤3或a＞5} B． {a|1＜a≤3或a≥5} C． {a|1＜a≤5} D． {a|3≤a≤5} 7．已知定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=﹣3，且当x≥﹣3时，f（x）=2x﹣3．若函数f（x）在区间（k﹣1，k）（k∈Z）上有零点，则k的值为（ ） A． 2或﹣7 B． 2或﹣8 C． 1或﹣7 D． 1或﹣8
8．设=（1，2），=（1，1），=+k，若，则实数k的值等于（ ） A． ﹣ B． ﹣ C． D．
9．当x∈[﹣2，1]时，不等式ax3﹣x2+4x+3≥0恒成立，则实数a的取值范围是（ ） A． [﹣5，﹣3] B． [﹣6，﹣] C． [﹣6，﹣2] D． [﹣4，﹣3]
10．已知直线y=mx与函数y=f（x）=的图象恰好有3个不同的公共点，则实数m的取值范围是（ ） A． （，4） B． C． D．
二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） 11．已知集合A={1，2，3}，B={2，4，5}，则集合A∪B中元素的个数为 ．
12．在等差数列{an}中，若a3+a4+a5+a6+a7=25，则a2+a8= ． 13．在△ABC中，a=3，b=，∠A=，则∠B= ． 14．不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是 ． 15．已知M（x0，y0）是双曲线C：﹣y2=1上的一点，F1、F2是C上的两个焦点，若•＜0，则y0的取值范围是 ．
三、解答题 16．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x （1）求f（x）最小正周期；
（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值． 17．已知等差数列{an}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2 （1）求{an}的通项公式； （2）设等比数列{bn}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{an}的第几项相等？
18．如图，在三棱锥V﹣ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC=BC=，O，M分别为AB，VA的中点． （1）求证：VB∥平面MOC； （2）求证：平面MOC⊥平面VAB （3）求三棱锥V﹣ABC的体积．
19．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100] （1）求频率分布图中a的值； （2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率； （3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．
20．设函数f（x）=﹣klnx，k＞0． （1）求f（x）的单调区间和极值； （2）证明：若f（x）存在零点，则f（x）在区间（1，）上仅有一个零点．
21．如图，点F1（﹣c，0）、F2（c，0）分别是椭圆 C：的左、右焦点，过点F1作x轴的垂线，交椭圆C的上半部分于点P，过点F2作PF2的垂线交直线于点Q． （1）如果点Q的坐标为（4，4），求椭圆C的方程； （2）试判断直线PQ与椭圆C的公共点个数，并证明你的结论． 2014-2015学年湖南省衡阳市衡阳县三中高二（下）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分） 1．已知i是虚数单位，则2i（1+i）=（ ） A． ﹣2+2i B． 2+2i C． 2i D． ﹣2i
考点： 复数代数形式的乘除运算． 专题： 数系的扩充和复数． 分析： 根复数的基本运算进行求解即可． 解答： 解：2i（1+i）=2i+2i2=﹣2+2i， 故选：A 点评： 本题主要考查复数的基本运算，比较基础．
2．已知α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点的值为（ ） A． B． C． D．
考点： 任意角的三角函数的定义． 专题： 计算题． 分析： 求出角的终边上的点到原点的距离，利用任意角的三角函数公式求出α的余弦值． 解答： 解：∵α的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合
又终边过点，此点到原点的距离为1
∴ 故选D 点评： 解决角的终边上的点的问题，一般考虑任意角的三角函数公式．
3．曲线y=2x3﹣3x+1在点（1，0）处的切线方程为（ ） A． y=4x﹣5 B． y=﹣3x+2 C． y=﹣4x+4 D． y=3x﹣3
考点： 利用导数研究曲线上某点切线方程． 专题： 导数的概念及应用；直线与圆． 分析： 求出函数的导数，求得切线的斜率，由点斜式方程，即可得到切线方程． 解答： 解：y=2x3﹣3x+1的导数为y′=6x2﹣3， 在点（1，0）处的切线斜率为k=3， 则在点（1，0）处的切线方程为y﹣0=3（x﹣1）， 即为y=3x﹣3． 故选D． 点评： 本题考查导数的运用：求切线方程，主要考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键．
4．已知命题p：∀x∈R，cosx≤1，则（ ） A． ￢p：∃x∈R，cosx≥1 B． ￢p：∃x∈R，cosx＜1 C． ￢p：∃x∈R，cosx≤1 D． ￢p：∃x∈R，cosx＞1
考点： 命题的否定． 专题： 阅读型． 分析： 本题中所给的命题是一个全称命题，故其否定是一个特称命题，将量词改为存在量词，否定结论即可 解答： 解：命题p：∀x∈R，cosx≤1，是一个全称命题 ∴￢p：∃x∈R，cosx＞1， 故选D． 点评： 本题考查了“含有量词的命题的否定”，属于基础题．解决的关键是看准量词的形式，根据公式合理更改，同时注意符号的书写．
5．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（ ）
A． 1 B． C． D． 2 考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 开放型；空间位置关系与距离． 分析： 几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直，结合直观图求相关几何量的数据，可得答案 解答： 解：由三视图知：几何体是四棱锥，且四棱锥的一条侧棱与底面垂直， 底面为正方形如图： 其中PB⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形 ∴PB=1，AB=1，AD=1， ∴BD=，PD==． PC== 该几何体最长棱的棱长为： 故选：C． 点评： 本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题，根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键
6．若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是（ ） A． {a|1≤a≤3或a＞5} B． {a|1＜a≤3或a≥5} C． {a|1＜a≤5} D． {a|3≤a≤5} 考点： 简单线性规划． 专题： 不等式的解法及应用． 分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用平面区域为三角形，建立条件关系即可求m的取值范围．
解答： 解：先作出不等式组对应的平面区域如图：（△ABC）， ∵不等x+y≤a表示的平面区域为直线x+y=a的左下面． ∴要使不等式组表示的平面区域是一个三角形， ①当A（1，4）在直线x+y=a的下方时，满足条件， 即此时1+4≤a，即a≥5． ②当直线x+y=a经过BC线段时，也满足条件， 此时满足B（1，0）在直线x+y=a的下方， 同时C（3，0）在x+y=a的上方或在直线上，
即，即1＜a≤3， 综上1＜a≤3或a≥5， 故选：B． 点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用二元一次不等式组和平面区域之间的关系是解决本题的关键，注意利用数形结合．
7．已知定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=﹣3，且当x≥﹣3时，f（x）=2x﹣3．若函数f（x）在区间（k﹣1，k）（k∈Z）上有零点，则k的值为（ ） A． 2或﹣7 B． 2或﹣8 C． 1或﹣7 D． 1或﹣8
考点： 根的存在性及根的个数判断． 专题： 函数的性质及应用． 分析： 先作出当x≥﹣3时函数f（x）=2x﹣3的图象，观察图象的交点所在区间，再根据对称性得出另一个交点所在区间即可． 解答： 解：作出当x≥﹣3时函数f（x）=2x﹣3的图象，观察图象的交点所在区间在（1，2）． ∵f（1）=21﹣3=﹣1＜0， f（2）=22﹣3=1＞0， ∴f（1）•f（2）＜0，∴有零点的区间是（1，2）， 因定义在R上的函数f（x）的对称轴为x=﹣3， 故另一个零点的区间是（﹣8，﹣7）， 则k的值为2或﹣7． 故选A．