八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理14.1.2直角三角形的判定导学案新版华东师大版
八年级数学 第14章 勾股定理14.1 勾股定理 2直角三角形的判定 数学
是否等于最大边的平方。如果是那么哪一个角是直角
Image
12/10/2021
第十七页，共十七页。
B′
全等
第七页，共十七页。
A
A′
5
4
4
C
3
B
在 Rt△A′B′C′中根据(gēnjù)
勾股定理有
C′ 3
B′
A B 2A C 2B C 2 BC 3, AC 4
AB2 32 42 52
AB 5
ABC≌ ABC
C C 90
12/10/2021
第八页，共十七页。
逆定理 勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)的逆命题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。且边C所 对的角为直角。
பைடு நூலகம்勾股定理
互逆命定题理
(dìnglǐ)
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜
边为c，那么 a2 + b2 = c2
12/10/2021
第九页，共十七页。
定理(dìnglǐ)与逆定理(dìnglǐ)
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。
12/10/2021
第五页，共十七页。
勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)的逆命题
如果三角形的三边长a、b、c满足
a2 + b2 = c2
那么这个三角形是直角三角形。
勾股定理(ɡōu ɡǔ dìnɡ lǐ)
互逆命题
如果直角三角形两直角边分别为a，
八年级数学上第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系目标二勾股定理与图形的面积华东师大
方法技巧练 1、书籍是朋友,虽然没有热情,但是非常忠实。2022年3月20日星期日下午2时52分39秒14:52:3922.3.20
2、科学的灵感，决不是坐等可以等来的。如果说，科学上的发现有什么偶然的机遇的话，那么这种‘偶然的机遇’只能给那些学有素养的人，给那 些善于独立思考的人，给那些具有锲而不舍的人。2022年3月下午2时52分22.3.2014:52March 20, 2022
7 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边 分别为a，b，c，则a，b，c满足的关系为_a_2_＋__b_2_＝__c2． (1)分别以Rt△ABC的三边为边作正方形，如图①所示， 你能发现S1，S2，S3之间有什么关系吗？ 解：由题意得S1＝b2，S2＝a2，S3＝c2. 因为a2＋b2＝c2，所以S1＋S2＝S3.
(2)分别以Rt△ABC的三边为直径作半圆，如图②所示， (1)中的结论是否仍成立？请说明理由． 解：仍成立．理由如下： 由题意得 S1＝π8·b2，S2＝π8·a2，S3＝π8·c2. 因为 a2＋b2＝c2，所以 S1＋S2＝S3. 即(1)中的结论仍成立．
(3)分别以Rt△ABC的三边为斜边作等腰直角三角形， 如图③所示，(1)中的结论仍成立吗(直接写出结论， 不需要证明)? 解：仍成立．
【点拨】
根据勾股定理可得a2＋b2＝13，由题意知四 个直角三角形的面积和是 1ab×4＝13－1＝12，
2 即2ab＝12，则(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝13＋12＝
25.
6 如图是由两个直角三角形和三个正方形组成的图形，
其中阴影部分的面积( B )
A．16
武穴市师院附中八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系教案新版华东师大版
第14章勾股定理14.1 勾股定理1.直角三角形三边的关系【基本目标】1.体验勾股定理的探索.2.会用勾股定理求直角三角形的边长.【教学重点】用勾股定理求直角三角形的边长.【教学难点】用拼图法证明勾股定理.一、创设情景，导入新课目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各类图形等.我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长.以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五.”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5.再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长.对于任意的直角三角形也有这个性质吗？二、师生互动，探究新知1.勾股定理的证明.【活动】方法一：如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图的图形，利用面积证明.【分析】左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等.【教学说明】以上两图出示给学生，分两组交流、证明，完成后由学生代表展示.教师归纳板书：勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.求直角三角形的边长.【活动】出示习题：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则AB=____；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=20，则BC=____；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，它的两边是6和8，则它的第三边长是____.【答案】（1）13（2）15（3）10或27【教学说明】先由学生独立完成，再由学生展示，注意（3）要分类，按8为直角边或斜边.最后教师板书：在Rt△ABC中，∠C=90°，三、随堂练习,巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评.四、典例精析，拓展新知例如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高.解：设BD=x，则DC=14-x,由勾股定理得：AB2-BD2=AC2-CD2,即132-x2=152-(14-x)2,解得x=5,∴AD=132-52=12.【教学说明】引导勾股定理可由直角三角形中两边求出第三边，也可以为建立三边之间联系提供依据.设BD=x，可否建立方程关系.五、运用新知，深化理解完成教材P112习题第1、2题.【教学说明】第2题中若学生有困难可引导如何构建直角三角形.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生发言的基础上，教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.新课程标准对勾股定理这部分的教学要求与旧大纲有所不同，新课程标准对勾股定理这部分的教学要求是：体验勾股定理的探索过程，会用勾股定理解决简单实际的问题.本节课教师从引导构造的图形入手，用面积法证明勾股定理难度不大，但面积法在教材中首次用到，基于此教师在教学过程中应给予适当的引导，让学生体会成功的快乐.第十一章 三角形学习目标：1.了解三角形的稳定性.2.了解四边形的不稳定性.3.了解三角形稳定性和四边形的不稳定性在实际生活中的应用.重点：了解三角形稳定性在生产、生活中实际应用,领会三角形的稳定性. 难点：准确使用三角形稳定性与四边形的不稳性与生产生活之中. 课前准备：小木条8个，小钉若干.一、知识回顾 1.什么叫三角形？2.三角形的三边关系是_______________________________________.3.你能用小木条做一个三角形吗？试一试一、要点探究探究点1：三角形的稳定性 活动1：1.用三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？探索思考.2.用四根木条用钉子钉成一个四边形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？3.从上面实验过程你能得出什么结论？与同伴交流交流。
八年级数学上册 14.1 勾股定理 1 直角三角形的三边关系教案2 (新版)华东师大版
直角三角形三边的关系用拼图的方法说明勾股定理的结论正
完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图
．
（图1）（图14.1.5）
思考：用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成什么样的形式呢？如图14.1.4
D
A 4.1.4
两点之间的距离，一个观
点穿过湖到点分清直角边和斜边
飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩头顶上方4000米处，在男孩一直未动的情况下，过了飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？ 教师
准备 教材、教案学生
准备
教材 练习本例1 C
D。
2024-2025学年华师版初中数学八年级(上)教案第14章勾股定理14.1勾股定理(第1课时)
第14章 勾股定理14.1 勾股定理第1课时 直角三角形的三边关系教学目标1.体验勾股定理的探索.2.会用勾股定理求直角三角形的边长.教学重难点重点：用勾股定理求直角三角形的边长. 难点：用拼图法证明勾股定理.教学过程导入新课2002年国际数学家大会在我国北京召开，投影显示本届国际数学家大会的会标：会标中央的图案是一个与“勾股定理”有关的图形，数学家曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号.今天我们就来一同探索勾股定理.（板书课题）我国古代3000多年前有一个叫商高的人，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五.”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5.画一个两直角边长分别为3和4的直角△ABC ，用刻度尺量出斜边的长，再画一个两直角边长分别为5和12的直角△ABC ，用刻度尺量出斜边的长.你是否发现32+42与52的关系，52+122和132的关系，即32+42＝52，52+122＝132，那么就有勾2+股2＝弦2.对于任意的直角三角形也有这个性质吗？探究新知1.勾股定理的证明活动1：如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图所示的图形，利用面积证明.222(),ABCD ABCD S c S ab b a +-正方形正方形＝，＝从而222222(),.c ab a b c a b =+-+即＝活动2：给学生如图所示的图形，利用面积证明.分析：左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等.左边S ＝2214,2ab c S a b ⨯++右边＝() .左边和右边的面积相等，即2214,2ab c a b ⨯++＝（）教学反思222.c a b +化简可得＝教学说明：以上两图出示给学生，分两组交流、证明，完成后由学生代表展示.教师归纳板书：勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.求直角三角形的边长活动：出示习题：（1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝5，BC ＝12，则AB ＝____； （2）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝25，AC ＝20，则BC ＝____； （3）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，它的两边是6和8，则它的第三边长是__________.【答案】（1）13 （2）15 （3）10或教学说明：先由学生独立完成，再由学生展示，注意（3）要分类，分8为直角边长或斜边长两种情况.最后教师板书：在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边长，则c a b【合作探究，解决问题】【小组讨论，师生互学】例1 如图，在Rt △ABC 中，已知∠B ＝90°，AB ＝6， BC ＝8，求AC .解：根据勾股定理，可得AB ²+BC ²＝AC ²，所以AC10.例2 如图，Rt △ABC 的斜边AC 比直角边AB 长2 cm ，另一直角边BC 长为6 cm ，求AC 的长.解：由已知AB ＝AC -2，BC ＝6cm ，根据勾股定理，可得AB ²+BC ²＝（AC -2）²+6²＝AC ²，解得AC ＝10(cm).例3 如图，为了求出湖边两点A ，B 之间的距离，一名观测者在点C 设桩，使△ABC 恰好为直角三角形，通过测量，得到160米，BC 的长为128米，问A ，B 解：Rt △ABC 中，AC ＝100，BC ＝128， 根据勾股定理得教学反思96AB (米).答： A ，B 两点之间距离96米.课堂练习1.在△ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别为∠A ，∠B ，∠C 的对边长. （1）已知a ＝2.4，b ＝3.2，则c ＝_______.（2）已知c ＝17，b ＝15，则△ABC 的面积等于_______. （3）已知∠A ＝45°，c ＝18，则a 2＝______.2.直角三角形三边长是连续偶数，则这三角形的各边长分别为_______.3.△ABC 的周长为40 cm ，∠C ＝90°，BC ∶AC ＝15∶8，则它的斜边长为______.4.直角三角形的两直角边之和为14，斜边为10，则它的斜边上的高为________，两直角边分别为________.5.在Rt △ABC 中，已知两直角边长a ＝1，b ＝3，那么斜边c 的长为（ ）.A.2B.4C.22D.106.直角三角形的两直角边分别为5 cm ，12 cm ，则斜边上的高为（ ）.A.6 cmB.5 cmC.3060cm D.1313cm 参考答案1.（1）4 （2）60 （3）1622.6 8 103.17 cm4.4.8 6和85.D6.D课堂小结教师提问：这一节课我们一起学习了哪些知识和思想方法？ 在学生自由发言的基础上，师生共同总结：知识：勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边长和斜边长，那么222a b c +＝. 方法：（1） 观察——探索——猜想——验证——归纳——应用； （2）“割、补、拼、接”法.思想：（1） 特殊——一般——特殊； （2） 数形结合思想.布置作业请完成本课时对应练习！板书设计直角三角形的三边关系勾股定理直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果用a ，b ，c 分别表示直角三角形的两直角边长和斜边长，那么222a b c +＝.教学反思。
八年级数学上14.1直角三角形三边的关系第2课时勾股定理的验证及简单应用课堂反馈导学课件新版华东师大版
(2)∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∴a2＋b2＝c2.
∵c－a＝4，b＝12，∴a2＋144＝(a＋4)2， 解得a＝16，∴c＝20.
课堂反馈
1．历史上对勾股定理的一种证法采用了如图 38－1 的图形，其 中两个全等的直角三角形的直角边 AE，EB 在一条直线上．证明中 用到的面积相等关系是( D )
图 38－1 A．S△EDA＝S△CEB C． S 四边形 CDAE＝S 四边形 CDEB B．S△EDA＋S△CEB＝S△CDB D． S△EDA＋S△CDE＋S△CEB＝S 四边形 ABCD
2．若直角三角形的两直角边长分别为 a，b，且满足 a－3＋ b－4 ＝0，则该直角三角形斜边的长为________ ． 5
【解析】由 a－3＋ b－4＝0 得 a－3＝0，b－4＝0，解得 a＝3，b＝4.
由勾股定理得斜边的长为 a2＋b2＝ 32＋42＝5.
3．李大爷离开家出门散步，他先向正北走了6 m，接着又向正
10 东走了8 m，此时他离家的直线距离为________ mc.
(1)若a∶b＝3∶4，c＝25，求a，b；
(2)若c－a＝4，b＝12，求a，c.
解：(1)∵在△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且a∶b＝ 3∶4，∴设a＝3x，则b＝4x. ∵a2＋b2＝c2，即(3x)2＋(4x)2＝252，解得x＝5(负值舍去)，∴a＝3x＝15，b＝4x＝20.
秦安县第三中学八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系教案新版华东师大版
第14章勾股定理14.1 勾股定理1.直角三角形三边的关系【基本目标】1.体验勾股定理的探索.2.会用勾股定理求直角三角形的边长.【教学重点】用勾股定理求直角三角形的边长.【教学难点】用拼图法证明勾股定理.一、创设情景，导入新课目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各类图形等.我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长.以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三，股修四，弦隅五.”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边（勾）的长是3，长的直角边（股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5.再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长.对于任意的直角三角形也有这个性质吗？二、师生互动，探究新知1.勾股定理的证明.【活动】方法一：如图，让学生剪4个全等的直角三角形，拼成如图的图形，利用面积证明.【分析】左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等.【教学说明】以上两图出示给学生，分两组交流、证明，完成后由学生代表展示.教师归纳板书：勾股定理:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2.求直角三角形的边长.【活动】出示习题：（1）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，则AB=____；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=20，则BC=____；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，它的两边是6和8，则它的第三边长是____.【答案】（1）13（2）15（3）10或27【教学说明】先由学生独立完成，再由学生展示，注意（3）要分类，按8为直角边或斜边.最后教师板书：在Rt△ABC中，∠C=90°，三、随堂练习,巩固新知完成练习册中本课时对应的课后作业部分，教师巡视，及时点评.四、典例精析，拓展新知例如图，△ABC中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC边上的高.解：设BD=x，则DC=14-x,由勾股定理得：AB2-BD2=AC2-CD2,即132-x2=152-(14-x)2,解得x=5,∴AD=132-52=12.【教学说明】引导勾股定理可由直角三角形中两边求出第三边，也可以为建立三边之间联系提供依据.设BD=x，可否建立方程关系.五、运用新知，深化理解完成教材P112习题第1、2题.【教学说明】第2题中若学生有困难可引导如何构建直角三角形.六、师生互动，课堂小结这节课你学习了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流，在学生发言的基础上，教师归纳总结.完成练习册中本课时对应的课后作业部分.新课程标准对勾股定理这部分的教学要求与旧大纲有所不同，新课程标准对勾股定理这部分的教学要求是：体验勾股定理的探索过程，会用勾股定理解决简单实际的问题.本节课教师从引导构造的图形入手，用面积法证明勾股定理难度不大，但面积法在教材中首次用到，基于此教师在教学过程中应给予适当的引导，让学生体会成功的快乐.函数的表示一个函数一般可以用以下三种方法表示：（1）解析法：把一个函数用一个式子表示，这种表示函数的方法叫做解析法。
八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理14.1.1直角三角形三边的关系教案华东师大版
第14章勾股定理14．1勾股定理14．1。
1直角三角形三边的关系1．体验勾股定理的探索．2．会用勾股定理求直角三角形的边长．重点用勾股定理求直角三角形的边长．难点用拼图法证明勾股定理．一、创设情境下图是我国三国时期数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图和希腊政府为纪念希腊历史上著名的数学家毕达哥拉斯而发行的一张邮票．观察这两个图形，你有什么感想？二、探究新知活动一：问题：如图所示是正方形瓷砖拼成的地面，观察图中用阴影画出的三个正方形，回答下列问题：（1）设每个小正方形的边长为1个单位,则小正方形P的面积＝________，小正方形Q的面积＝________，两者之和＝________，大正方形R的两积＝________.(2)你发现了什么？(3）你能把你的发现与△ABC的三边a,b，c联系起来吗？__________________________________________________ ______________________活动二:观察下图,如果每一小方格表示1平方厘米,用观察到的结果填空：(1）正方形P的面积＝________平方厘米；正方形Q的面积＝________平方厘米；正方形R的面积＝________平方厘米；（2）正方形P,Q，R的面积之间的关系是________;（3)由此得到Rt△ABC的三边的长度之间存在关系________________________．活动三:在练习本上，用三角尺画出两条直角边分别为5 cm、12 cm 的直角三角形,然后用刻度尺量出斜边的长,并验证上述关系式对这个直角三角形是否成立．两条直角边的长为6 cm和8 cm 呢？活动四：(1)根据你所得到的关系式，你能用数学语言把这个结论叙述出来吗？（2）运用此定理的前提条件是什么？(3）公式a2＋b2＝c2的变形公式有哪些?(4）由（3)知在直角三角形中，只要知道________条边，就可以利用________________求出________．三、练习巩固1．（1）在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝5，BC＝12,则AB＝________;（2)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝25,AC＝20，则BC＝________；(3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，它的两边长是6和8，则它的第三边长是________．2．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝14,AC＝15，求BC边上的高．四、小结与作业小结这节课你学到了什么？有何收获？有何困惑？与同伴交流,在学生发言的基础上，教师归纳总结．作业教材第117页习题14.1第1，2,3题．新课程标准对勾股定理这部分教学要求与旧大纲有所不同，新课程标准对勾股定理这部分的教学要求是：体验勾股定理的探索过程，会用勾股定理解决简单的实际问题．本节课教师从引导结构的图形入手,用面积法证明勾股定理难度不大，但面积法在教材中首次用到，基于此教师在教学过程中应给予适当的引导，让学生体会成功的快乐．。
八年级数学上册第14章勾股定理14.1勾股定理1直角三角形三边的关系教案华东师大版
第14章勾股定理14。
1 勾股定理1.直角三角形三边的关系【基本目标】1。
体验勾股定理的探索.2.会用勾股定理求直角三角形的边长.【教学重点】用勾股定理求直角三角形的边长。
【教学难点】用拼图法证明勾股定理。
一、创设情景,导入新课目前世界上许多科学家正在试图寻找其他星球的“人”,为此向宇宙发出了许多信号，如地球上人类的语言、音乐、各类图形等。
我国数学家华罗庚曾建议，发射一种反映勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明人”,那么他们一定会识别这种语言的。
这个事实可以说明勾股定理的重大意义。
尤其是在两千年前，是非常了不起的成就。
让学生画一个直角边为3cm和4cm的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长.以上这个事实是我国古代3000多年前有一个叫商高的人发现的，他说：“把一根直尺折成直角，两段连结得一直角三角形，勾广三,股修四，弦隅五。
”这句话意思是说一个直角三角形较短直角边(勾）的长是3，长的直角边(股）的长是4，那么斜边（弦）的长是5.再画一个两直角边为5和12的直角△ABC，用刻度尺量出AB的长。
对于任意的直角三角形也有这个性质吗？二、师生互动,探究新知1.勾股定理的证明。
【活动】方法一：如图,让学生剪4个全等的直角三角形,拼成如图的图形，利用面积证明.【分析】左右两边的正方形边长相等，则两个正方形的面积相等.【教学说明】以上两图出示给学生，分两组交流、证明，完成后由学生代表展示。
教师归纳板书:勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.2。
求直角三角形的边长。
【活动】出示习题：（1)在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5,BC=12,则AB=____；（2）在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=20，则BC=____；（3)在Rt△ABC中,∠C=90°，它的两边是6和8,则它的第三边长是____。
【答案】(1）13（2）15（3）10或27【教学说明】先由学生独立完成,再由学生展示,注意（3）要分类，按8为直角边或斜边。
14章 勾股定理导学案
§14.1 勾股定理第一课时【学习内容】直角三角形三边的关系(一)【学习目标】1、体验勾股定理的探索过程，掌握勾股定理．2、能利用勾股定理解决实际问题．3、通过观察、操作、想象、推理、交流等活动，发展空间观念、推理能力和有条理地表达能力．【学习重点和难点】1、学习重点：勾股定理的实际运用2、学习难点：探索和验证勾股定理的过程【学习过程】一、知识回顾1、直角三角形的性质：2、三角形三边关系：3、现有四条线段的长度分别为4cm，6cm，8cm，10cm，从中任取三条线段，能组成三角形的个数为（）.A、1个；B、2个；C、3个；D、4个.二、预习导学1的正方形纸片，沿对角线折叠，你知道折痕有多长吗？小明用一边长为cm①这个问题你是怎样想的？请说出你的想法.②若把折叠后的直角三角形纸片放在如图所示的格点图中（每个小正方形边长为1），你能知道斜边的长吗？cm③观察图形，并填空：cm，⑴正方形P的面积为2cm，正方形Q的面积为2正方形R的面积为2cm.⑵你能发现图中正方形P、Q、R的面积之间有什么关系？从中你发现了什么？活动二：动手做一做其它一般的直角三角形，是否也有类似的性质呢？（你打算用什么方法来研究？共同讨论方法后再确立研究方向）（图中每一小方格表示21cm）⑴正方形P的面积为2cm，正方形Q的面积为2cm，正方形R的面积为2cm.⑵正方形P、Q、R的面积之间的关系是什么？⑶你会用直角三角形的边长表示正方形P、Q、R的面积吗？你能发现直角三角形三边长度之间存在什么关系吗？与你的同伴进行交流.由此我们得到结论是：①勾股定理：对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有____________________________________.②用语言怎样叙述？_________________________________________________________. 公式变形：a2=c2－b2a=cc2=a2 + b2二、预习检测认真填一填：三、典例剖析例1：在△ABC中，∠A=90°，BC=a，AC=b，AB=c.(1)若c=10,b=24,求a; （2）若c=9,a=15,求b；（3）若b=12,a=15,求c.例2:如图14.1.4，将长为5.41米的梯子AC斜靠在墙上，ＢＣ长为2.16米，求梯子上端A到墙的底边的垂直距离ＡＢ．（精确到0.01米）Array例3：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c. 若a=6，b=8，求c的长及斜边上的高.四、分层练习A 组1．在Rt △ABC 中，︒=∠90A ，c AB =，a BC =，b AC = ①若8=c ，10=a ，则=b . ②若5=b ，12=c ，则=a .③若4:3:=c b ，15=a ，则=b ，=c .2．若线段a ，b ，c 能构成直角三角形，则它们的比可为 ( ) A ．2：3：4 B ．3：4：6 C ．5：12：13 D ．4：6：73. 如果一个直角三角形的两条直角边长分别为n 2-1、2n(n>0)，那么它的斜边长为 ( )A ．2nB ．n+1C ．n 2-lD ．n 2+14．若直角三角形的三边长分别是3cm 与5cm ，那么这个三角形的周长是________cm. 5．在直角三角形ABC 中，斜边AB=2，则AB 2+BC 2+CA 2=__________． 6．在等腰三角形ABC 中，AB=AC=13，BC=10，则S △ABC =___________．7、如图，矩形纸片ABCD 中，AD=9cm ，AB=3cm ，将其折叠，使点D 与点B 重合，求折叠后BE 的长为多少？设BE=xcm ，则以下 所列方程正确的是（ ）. A ：(9–x)2+x 2=32 B ：(9–x)2+32=x 2 C ：32+x 2=(6–x)2 D ：(6–x)2+x 2=328、如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形 都是直角三角形，其中最大的正方形边长是cm 7， 则正方形A 、B 、C 、D 的面积和是 2cm .9．如图所示，AC=3cm ，AB=4 cm ，BD=12 cm ，求CD 的长.B 组1、如果一个直角三角形的两条边长分别为3cm ，4cm ，则这个三角形的面积是__________. 2．如图，阴影部分是一个半圆，则这个半圆的面积是_________．3．如图，在△ABC 中，AB=AC=13 cm.AD 是高，且AD=5 cm ．(1)图中还有相等的线段吗?如果有，请把它们写出来________； (2)BC=_________cm ；(3)△ABC 的面积是________cm 2．4．如图，在△ABC 中，AB=13，BC=14，AC=15，求BC 边上的高AD 的长．5．已知Rt △ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 的对边分别为a 、b 、c ，设△ABC 的面积为S ，周长为L ．(1)请你完成下面的表格：(2)仔细观察上表中你填写的数据规律，如果a ，b ，c 为已知的正实数，且a+b-c=m ，那么猜想lS__________（用m 表示）； (3)请说明你的猜想的正确性．六、学习心得七、课堂作业八、家庭作业第二课时【学习内容】直角三角形三边的关系（二）【学习目标】1、用拼图的方法说明勾股定理的结论正确2、会应用勾股定理解决实际问题【学习重点和难点】1、学习重点：利用勾股定理解决实际问题2、学习难点：构造直角三角形求解【学习过程】一、知识回顾1. 勾股定理的内容是什么？2.一直角三角形中有两条边的长为1和2，求第三边.二、预习导学剪四个与图14.1.5完全相同的直角三角形，然后将它们拼成如图14.1.6所示的图形．大正方形的面积可以表示为，又可以表示为．对比两种表示方法，看看能不能得到勾股定理的结论．图14.1.5 图14.1.6用上面得到的完全相同的四个直角三角形，还可以拼成如图14.1.7所示的图形，与上面的方法类似，也能说明勾股定理是正确的．由下面几种拼图方法，试一试，能否得出222cba=+的结论.（1）（2）（3）（4））探究点拔：1.将这四个完全相同的直角三角形拼成图（1），（2），（3）中所示的正方形，利用正方形的面积等于各部分面积的和可以得出222cba=+.2.将两个直角三角形拼成图（4）中的梯形，由梯形面积等于三个直角三角形面积的和可以得到222cba=+.3.通过剪接的方法构成如图（5）的正方形，可以证得222cba=+.四、典例剖析例1.如图,为了求出湖两岸的AB两点之间的距离，一个观测者在点C设桩，使△ABC恰好为Rt△，通过测量，得到AC长160米，BC长128米，问从A点穿过湖到点B有多远？例2 .在一棵树的10米高处有两只猴子，其中一只爬下树走向离树20米的池塘，而另一只爬到树顶后直扑池塘.如果两只猴子经过的距离相等，问这棵树有多高？cbac bacba例3．有一个棱长为1米且封闭的正方形盒子（如图），一只蚂蚁从顶点A 向顶点B 爬行，问这只蚂蚁爬行的最短路程为多少米？五、分层练习1．小雨用竹杆扎了一个长80cm 、宽60cm 的长方形框架，由于四边形容易变形，需要用一根竹杆作斜拉杆将四边形定形，则斜拉杆最长需________cm ．2．小杨从学校出发向南走150米，接着向东走了360米到九龙山商场，学校与九龙山商场的距离是 米．3．如图：带阴影部分的半圆的面积是多少？（ 取3）4．已知，如图在ΔABC 中，AB=BC=CA=2cm ，AD 是边BC 上的高．求 ①AD 的长； ②ΔABC 的面积．B ABA5．在直角ΔABC 中，斜边长为2，周长为2+6，求ΔABC 的面积．6．已知：如图，△ABC 中，AB ＞AC ，AD 是BC 边上的高． 求证：AB 2-AC 2=BC(BD-DC)．7．已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高．8． 如图∠B=90º，AB ＝16cm ，BC ＝12cm ，AD ＝21cm,CD=29cm 求四边形ABCD 的面积．9．在加工如图的垫模时，请根据图中的尺寸，求垫模中AB 间的尺寸．D CA六、学习心得七、课堂作业八、家庭作业第三课时【学习内容】直角三角形的判定【学习目标】1、掌握直角三角形的判定条件，并能进行简单应用2、熟记一些勾股数.能对直角三角形的判别条件进行一些综合应用【学习重点和难点】1、学习重点：直角三角形的判别条件及其应用；它可用边的关系来判断一个三角形是否是直角三角形2、学习难点：直角三角形的判别条件判断一个三角形是否是直角三角形及综合应用直角三角形的知识解题.【学习过程】一、知识回顾问题1：直角三角形有什么性质？(1)有一个角是； (2)两个锐角；(3) 勾股定理：如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么问题2：反之,一个三角形满足什么条件，才能是直角三角形呢?（有一个角是直角；两个锐角互余）问题3：猜想：让我们猜想一下，一个三角形各边长数量应满足怎样的关系式时，这个三角形才可能是直角三角形呢？二、预习导学1、古代埃及人作直角：古埃及人曾经用下面的方法画直角：用13个等距的结把一根绳子分成等长的12段，然后用桩钉如图那样钉成一个三角形，他们认为其中一个角便是直角. 他们真的能够得到直角三角形吗？你知道这是什么道理吗？2、画图：试画出三边长度分别为如下数据的三角形,看看它们是一些什么形状的三角形: (1)a=3,b=4,c=5； (2)a=4,b=6,c=8; (3)a=6,b=8,c=10. （4）a=2,b=3,c=4以上各组数据为三边所画的三角形是直角三角形的是；以上各组数据为三边所画的三角形不是直角三角形 .3、结合三角形三边长度的平方关系，你能猜一猜三角形的三边长度与三角形的形状有怎样的关系吗？在以上的各组数据中,满足a2+ b2= c2的是；不满足a2+ b2= c2的是 .3、归纳：勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a、b、c满足 a2 + b2= c2，那么这个三角形是直角三角形.几何语言：∵a2 + b2= c2∴ΔABC为RtΔ强调：满足较短的两边的平方和等于最长边的平方的三角形是直角三角形三、典例剖析例1 设三角形三边长分别为下列各组数，试判断各三角形是否是直角三角形： （1） 7， 24， 25； （2） 12， 35， 37； （3） 13， 11， 9．注意：①先找最大边②再判断三角形是否满足较短的两边的平方和等于最长边的平方（勾股定理的逆定理）例2、一个零件的形状如下图所示，按照规定这个零件中∠A 和∠DBC 都是直角.量得各边尺寸如图所示，这零件符合要求吗？并说明理由.五、分层练习1．分别以下列四组数为一个三角形的边长：（1）6，8，10； （2）5，12，13； （3）8， 15，17； （4）4，5，6其中能构成直角三角形的有（ ）． A ．4组 B ．3组 C ．2组 D ．1组 2．△ABC 中，b=17，c=8，a=15，则∠ABC=_________．3．若一个三角形的周长123c m,一边长为33c m,其他两边之差为3c m,则这个三角形 是______________________．4．将直角三角形的三边扩大相同的倍数后，得到的三角形是 ( )． A.直角三角形 B.锐角三角形 C.钝角三角形 D.不是直角三角形 5．下列命题中是假命题的是( )． A ．△ABC 中,若∠B =∠C －∠A ,则△ABC 是直角三角形. B ．△ABC 中,若a 2=(b +c )(b －c ),则△ABC 是直角三角形. C ．△ABC 中,若∠A ∶∠B ∶∠C =3∶4∶5则△ABC 是直角三角形.413 DCBA 53 12D ．△ABC 中,若a ∶b ∶c =5∶4∶3则△ABC 是直角三角形. 6．在△ABC 中，2:1:1::=c b a ，那么△ABC 是（ ）．A ．等腰三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 7．三角形的三边分别为a 2+b 2，2ab ，a 2-b 2（a ，b 都是正整数）则这个三角形是（ ）． A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定8．木工周师傅做一个长方形桌面，测量得到桌面的长为60cm ，宽为32cm ，对角线为68cm ，这个桌面_______ (填”合格”或”不合格”).9．如图，正方形ABCD 中，F 为DC 的中点，E 为BC 上一点，且BC CE 41=．你能说明∠AFE 是直角吗？六、学习心得七、课堂作业八、家庭作业§14.2 勾股定理的应用第一课时【学习目标】1．能运用勾股定理解决生活中与直角三角形有关的问题；2．能从实际问题中建立数学模型，将实际问题转化为数学问题，同时渗透方程、转化等数学思想.3．进一步发展有条理思考和有条理表达的能力，体会数学的应用价值【学习重点和难点】重点：勾股定理的应用难点：将实际问题转化为数学问题【学习过程】一、知识回顾（1）在Rt △ABC 中，a=8㎝，b=10㎝，90B ∠=，则第三边长c= ．（2）已知△ABC 中，三边长a 、b 、c 为整数，其中a=3㎝，b=4㎝，求第三边c 的长．（3）已知在Rt △ABC 中，两直角边的长为20和15，90BAC ∠=，且BC 边上的高为12，求BD 的长．（4）如图，一块长方形水泥操场，一学生要从A 角走到C 角，至少走 米．二、新知探究问题1. 如图，起重机吊运物体，已知BC=6m,AC=10m,求AB 的长.问题2. 在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形.在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面.请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各为多少？三．例题剖析例1.如图：一圆柱体的底面周长为20cm ，高ＡＢ为4cm ，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A 出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C ，试求出爬行的最短路程．ABC例2.一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要开进厂门形状如图所示的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门？四、反馈提高A 组1．(1)在Rt △ABC 中，∠C=90°,若BC=4,AC=2,则AB=______;若AB=4,BC=2,则AC=_____; (2)一个直角三角形的模具，量得其中两边的长分别为5cm ，3cm ，则第三边的长是______; (3)甲乙两人同时从同一地出发，甲往东走4km ，乙往南走6km ，这时甲乙两人相距____km. 2．如图，圆柱高为8cm ，地面半径为2cm ,一只蚂蚁从点A 爬到点B 处吃食， 要爬行的最短程（ 取3）是( )A ．20cmB ．10cmC ．14cmD ．无法确定3. 一条河的宽度处处相等,小强想从河的南岸横游到北岸去,由于水流影响,小强上岸地点偏离目标地点200m,他在水中实际游了520m,那么该河的宽度为 ( ) A.440 m B.460 m C.480 m D. 500 m ４．P58 练习1、2题Ｂ组1、如图，王大伯家屋后有一块长12m ，宽8m 的矩形空地，他在 以长边BC 为直径的半圆内种菜，他家养的一只羊平时拴A 处的 一棵树上，为了不让羊吃到菜，拴羊的绳长可以选用（ ）. A 、 3 m B 、 5 m C 、6 m D 、7 m2、如图，笔直的公路上A 、B 两点相距25km ，C 、D 为两村庄，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，已知DA=15km ，CB=10km ，现在要在公路的AB 段上建一个土特产品收购站E ，使得C 、D 两村到收购站E 的距离相等，则收购站E 应建在离A 点多远处？3．有一圆柱形食品盒,它的高等于16cm,底面直径为20cm, 蚂蚁爬行的速度为2cm/s.⑴如果在盒内下底面的A 处有一只蚂蚁,它想吃到盒内对面中部点B 处的食物,那么它至少需要多少时间? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计,结果可含π)⑵如果在盒外下底面的A 处有一只蚂蚁,它想吃到盒内对面中部点B 处的食物,那么它至少需要多少时间? (盒的厚度和蚂蚁的大小忽略不计,结果可含π六．学习收获：七．课堂作业：八．课后反思A D EB C第二课时【学习目标】1、会用勾股定理解决较综合的问题.2、树立数形结合的思想.【学习重点和难点】重点：勾股定理的综合应用. 难点：勾股定理的综合应用.【学习过程】一．预习练习1. 一根32厘米的绳子被折成如图所示的形状钉在P 、Q 两点， PQ=16厘米，且RP ⊥PQ ，则RQ= 厘米.2. 已知：如图，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，CD=2.求：四边形ABCD 的面积.二．例题剖析1. 如图14.2.5，在５×５的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在给定网格中按下列要求画出图形：（1） 从点A 出发画一条线段ＡＢ，使它的另一个端点Ｂ在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为22；（2） 画出所有的以（1）中的ＡＢ为边的等腰三角形， 使另一个顶点在格点上，且另两边的长度都是无理数．P QB C2.如图，已知CD ＝６m ， AD ＝８m ， ∠ADC ＝９０°， BC ＝２４m ， ＡＢ＝２６m ．求图中阴影部分的面积．三．反馈提高Ａ组1. P60练习1.2题2. 已知，如图，一轮船以16海里/时的速度从港口A 出发向东北方 向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A 出发向东南方 向航行，离开港口2小时后，则两船相距（ ）海里. A 、25 B 、 30 C 、35 D 、403. 求知中学有一块四边形的空地ABCD ，如下图所示，学校计划在空地上种植草皮，经测量∠A=90°，AB=3m ，BC=12m ，CD=13m ，DA=4m ，若每平方米草皮需要200天，问学校需要投入多少资金买草皮？DCBAＢ组1、 如图，设正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为1，黑、白两 个甲壳虫同时从A 点出发，以相同的速度分别沿棱向前爬行， 黑甲壳虫爬行的路线是：AA 1⇒A 1D 1⇒D 1C 1⇒C 1C ⇒CB ⇒BA ⇒AA 1⇒A 1D 1…，白甲壳虫爬行的路线是：AB ⇒BB 1⇒B 1C 1⇒ C 1D 1⇒D 1A 1⇒A 1A ⇒AB ⇒BB 1…，那么当黑、白两个甲壳虫各 爬行完第2008条棱分别停止在所到的正方体顶点处时，它们 之间的距离是 .2. 如图所示，折叠矩形的一边AD ，使点D 落在BC 边上的点F 处，已知AB=8cm ，BC=10cm ，求EC 的长.3. 如图，A 、B 两座城市相距100千米，现计划要在两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段AB ）．经测量，森林保护区中心P 点在A 城市的北偏东30°方向，B 城市的北偏西45°方向上．已知森林保护区的范围在以P 为圆心，50千米为半径的圆形区域内．请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越森林保护区？为什么？四．学习收获： 五．课堂作业： 六．课后反思。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
1
14.1.2 直角三角形的判定
【学习目标】
1、探索并掌握勾股定理逆定理；
2、会应用勾股逆定理判别一个三角形是否是直角三角形；
3、通过三角形三边的数量关系来判断它是否为直角三角形，体会数形结合的思想。
【学习重难点】
1、探索并掌握勾股定理逆定理
2、会应用勾股逆定理判别一个三角形是否是直角三角形
【学习过程】
一、课前准备
1、（回忆）直角三角形的性质：
（1）有一个角是 ， （2）两个锐角的和为 （互余）；
（3） 的平方和等于 的平方，即： 。
2、在△ABC中，∠C=90（1）若5a，12b，则c=____；
（2）若7a，4c，则b=____；
3、以小组为单位，准备长度分别5 cm、6 cm、9 cm、12cm、13cm、15cm的小棒。
二、学习新知
自主学习：
1、拼三角形：
从长度分别为3cm、 4cm 、5 cm、6 cm、9 cm、12cm、13cm、15cm的小棒中选出三根：
2
（1）6、9、13；（2）9、12、 15；（3）5、12、13拼出三个三角形。
2、按要求填表：（用直角三角板判断三角形的形状）
三边的长 三边的关系（计算） 三角形的形状
较短边a 较短边b 最长边c 两条较短的边的平方和 最长边的平方 三角形的两条较短的边的平方和与最长边的平方的关系（ “≠”或“=”） 直角三角形（填“是”或“不是”） 哪边对直角
（填字
母）
3 4 5
6 9 13
9 12 15
5 12 13
3、按你们拼图得到的猜想填空：
（1）三角形的两条较短的边的平方和与最长边的平方满足 时，这个三
角形是直角三角形； 边所对的角是直角。
（2）你们的结论：三角形的三边长a、b、c有 关系时，这个三
角形是直角三角形。
4、思考：如果三角形的两条较短的边的平方和不等于最长边的平方，那么这个三角形
还是直角三角形吗？
5、归纳总结：在一个三角形中：只要 的平方和等于 的平方，这
个三角形就是直角三形，其中 所对的角是直角。
实例分析：
例1、已知，在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，222cba，求证：∠C=90°
例2、已知△ABC，AB=12n，BC=2n，AC=12n(n为大于1的正整数).试问△ABC是
直角三角形吗？
3
【随堂练习】
1、判断
（1）由于0.3，0.4，0.5不是勾股数，所以以0.3，0.4，0.5•为边的三角形不是直角
三角形．（ ）
（2）由于以0.5，1.2，1.3为边长的三角形是直角三角形，所以0.5，1.2，1.3.是勾
股数。（ ）
2．请完成以下未完成的勾股数：
（1）8，15，______； （2）15，12，______；
（3）10，26，_______； （4）7，24，______．
3．木工周师傅做一个长方形桌面，测量得到桌面的长为60cm，宽为32cm，对角线为
68cm，这个桌面_______ (填”合格”或”不合格”)。
4．三角形的三边分别为a2+b2，2ab，a2-b2（a，b都是正整数）则这个三角形是（ ）．
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
5．以下各组数为三边的三角形中不是直角三角形的有（ ）．
A．7，24，25 B．4，712，812 C．12，16，20 D．312，412，5
6．在△ABC中，AC=21cm，BC=28cm，AB=35cm，求△ABC的面积．
【中考连线】
一个零件的形状如图，按规定这个零件中∠A 与∠DBC都应为直角，工人师傅量得零件
各边尺寸：AD = 4，AB = 3, DC = 13 , BC=12，这个零件符合要求吗？
A
B
C
D
4
5
3
12
13
【参考答案】
随堂练习
4
1、（1）．× （2）．× 2.略 3．合格 4．A 5．D. 6．294cm
中考连线
在△ABD中，222222516943BDADAB
所以△ABD为直角三角形 ∠A =90°
在△BDC中,
222222
1316914425125DCBCBD
所以△BDC是直角三角形∠CBD =90°
因此这个零件符合要求。