信号分析与处理——傅里叶变换性质.ppt
信号分析与处理基础PPT课件 共90页
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被测对象
传感器
信号调理
显示记录 装置
信息输入 系统 信息输出
2
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物理上：信号是信息的载体，是信息的一种表现形 式，在测试技术中常常通过波形体现。
A 0
t
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第2章 信号分析与处理基础
主要内容如下：
一、信号的分类与描述 二、周期信号和离散频谱（傅里叶级数） 三、瞬态非周期信号和连续频谱（傅里叶变换） 四、随机信号分析
3）从信号的能量上 --能量信号与功率信号。
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1） 确定性信号和随机信号 可以用明确数学关系式描述的信号称为确定性信号。 不能用数学关系式描述的信号称为随机信号。
随机信号
6
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a) （确定性信号）周期信号：经一定时间间隔可重复出现的
信号 b)
x ( t ) = x ( t + nT0 ) (n =1，2，3….)
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第三节 瞬态非周期信号与连续频谱
离散频谱所对应的时域信号是否一定是周期信号
具有离散频谱的信号不一定是周期信号。 只有其各简谐分量的频率具有一个公约数（即频率 比为有理数）—基频，它们才能在某个时间间隔后 周而复始，合成后的信号才是周期信号。 把具有离散频谱的非周期信号称准周期信号。
0 30 50 ()
5 /2
0 30 50
/2
0 30 50
在频域中每个信号都需同时用幅频谱和相频谱来描述 15
傅里叶变换教材
傅里叶变换教材第一章: 傅里叶级数1.1 引言傅里叶级数是分析周期性信号的一个重要工具。
本章将介绍傅里叶级数的定义、性质以及在信号处理中的应用。
1.2 傅里叶级数的定义在信号处理领域，周期信号通常使用傅里叶级数来描述。
傅里叶级数可以将一个周期信号分解为一系列正弦和余弦函数的和。
数学上，一个周期为T的连续信号f(t)可以表示为以下形式的傅里叶级数：f(t) = a₀ + ∑[aₙcos(nω₀t) + bₙsin(nω₀t)]其中，a₀、aₙ、bₙ是系数，ω₀=2π/T是基础频率。
1.3 傅里叶级数的性质傅里叶级数具有以下几个重要性质：- 线性性: 傅里叶级数是线性的，即若f(t)和g(t)分别有傅里叶级数表示，那么αf(t) + βg(t)也有傅里叶级数表示，其中α和β是常数。
- 对称性: 若f(t)为实函数，则对应的傅里叶级数满足aₙ和bₙ的共轭对称关系。
- 周期性: 若f(t)为周期信号，并且其周期满足T₂ = nT₁（其中n为整数），则对应的傅里叶级数也具有周期性，且周期为T₂。
傅里叶级数在信号处理中有广泛的应用，包括但不限于以下几个方面：- 信号分析: 傅里叶级数能够将信号分解为各种频率的成分，从而方便对信号进行分析和处理。
- 信号合成: 傅里叶级数的正弦和余弦函数可以通过调整系数的大小和相位来合成各种形状的周期信号。
- 信号压缩: 傅里叶级数可以用较少的系数表示一个周期信号，从而实现对信号进行压缩存储。
第二章: 傅里叶变换2.1 引言傅里叶级数适用于周期信号的分析，对于非周期信号，我们需要使用傅里叶变换。
本章将介绍傅里叶变换的定义、性质以及在信号处理中的应用。
2.2 傅里叶变换的定义傅里叶变换将一个连续信号f(t)转换为一个连续频谱F(ω)，其中ω表示频率。
数学上，傅里叶变换可以表示为以下形式：F(ω) = ∫[f(t)e^(-jωt)]dt其中，e^(-jωt)是指数项，j为虚数单位。
(完整版)傅里叶变换分析
第一章 信号与系统的基本概念1．信号、信息与消息的差别？信号：随时间变化的物理量；消息：待传送的一种以收发双方事先约定的方式组成的符号，如语言、文字、图像、数据等信息：所接收到的未知内容的消息，即传输的信号是带有信息的。
2．什么是奇异信号？函数本身有不连续点或其导数或积分有不连续点的这类函数统称为奇异信号或奇异函数。
例如：单边指数信号 （在t =0点时，不连续），单边正弦信号 （在t =0时的一阶导函数不连续）。
较为重要的两种奇异信号是单位冲激信号δ(t )和单位阶跃信号u(t )。
3．单位冲激信号的物理意义及其取样性质？冲激信号：它是一种奇异函数，可以由一些常规函数的广义极限而得到。
它表达的是一类幅度很强，但作用时间很短的物理现象。
其重要特性是筛选性，即：()()()(0)(0)t x t dt t x dt x δδ∞∞-∞-∞==⎰⎰ 4．什么是单位阶跃信号？单位阶跃信号也是一类奇异信号，定义为：10()00t u t t >⎧=⎨<⎩它可以表示单边信号，持续时间有限信号，在信号处理中起着重要的作用。
5．线性时不变系统的意义同时满足叠加性和均匀性以及时不变特性的系统，称为线性时不变系统。
即：如果一个系统，当输入信号分别为1()x t 和2()x t 时，输出信号分别是1()y t 和2()y t 。
当输入信号()x t 是1()x t 和2()x t 的线性叠加，即：12()()()x t ax t bx t =+，其中a 和b 是任意常数时，输出信号()y t 是1()y t 和2()y t 的线性叠加，即：12()()()y t ay t by t =+；且当输入信号()x t 出现延时，即输入信号是0()x t t -时， 输出信号也产生同样的延时，即输出信号是0()y t t -。
其中，如果当12()()()x t x t x t =+时，12()()()y t y t y t =+，则称系统具有叠加性；如果当1()()x t ax t =时，1()()y t ay t =则称系统具有均匀性。
傅里叶分析与信号处理
傅里叶分析与信号处理傅里叶分析是一种重要的数学工具，广泛应用于信号处理领域。
通过将信号分解成一系列基础频率的正弦和余弦波，傅里叶分析可以帮助我们理解信号的频域特性以及对信号进行处理和改变。
一、傅里叶级数与傅里叶变换傅里叶分析的基础是傅里叶级数与傅里叶变换。
傅里叶级数是将周期信号分解为一系列正弦和余弦波的和，而傅里叶变换则是将非周期信号分解为连续的频谱。
傅里叶级数和傅里叶变换的数学表达式为：傅里叶级数：f(t) = a0/2 + Σ(an*cos(nωt) + bn*sin(nωt))傅里叶变换：F(ω) = ∫[f(t)*e^(-jωt)]dt其中，f(t)为原始信号，F(ω)为信号的频谱，an和bn为傅里叶系数，ω为频率。
二、频域与时域傅里叶分析将信号从时域转换到频域，使得我们可以观察信号的频谱特性。
时域表示信号随时间变化的情况，而频域则表示信号在不同频率上的能量分布。
通过傅里叶分析，我们可以获得信号的频率成分、频率分布以及频域特性。
三、滤波与去噪傅里叶分析在信号处理中的应用非常广泛，其中最常见的是滤波与去噪。
通过傅里叶变换，我们可以将信号从时域转换到频域，然后对频域信号进行滤波处理，去除不需要的频率成分，从而实现信号的滤波和去噪。
滤波可以分为低通滤波、高通滤波、带通滤波和带阻滤波等不同类型。
低通滤波器可以通过去除高频成分来平滑信号，高通滤波器则可以去除低频成分，突出信号中的变化。
带通滤波器可以保留某一频率范围内的信号，而带阻滤波器则可以去除某一频率范围内的信号。
四、信号合成与分析傅里叶分析还可以用于信号的合成与分析。
通过傅里叶级数，我们可以将不同频率的正弦和余弦波合成为一个复杂的信号。
这种合成可以用于音频合成、图像合成等领域。
同时，我们也可以通过傅里叶分析来分析信号中的各个频率成分，了解信号的频率特性以及对信号进行特定的处理。
五、傅里叶变换的应用傅里叶变换在信号处理领域有着广泛的应用。
在音频处理中，傅里叶变换可以用于音频压缩、音乐合成、音频特效等。
傅里叶分析与信号处理
傅里叶分析与信号处理绪论：傅里叶分析与信号处理是一种基于傅里叶变换的数学方法，用于分析和处理各种信号。
该方法由法国数学家傅里叶发展而来，是一种将时域信号转化为频域信号的技术。
通过傅里叶分析，我们可以理解信号的频谱结构，并对信号进行滤波、变换和重建等操作。
在科学、工程和通信领域中，傅里叶分析与信号处理被广泛应用于音频处理、图像处理、通信系统和控制系统等领域。
一、傅里叶分析的原理傅里叶分析是一种将时域信号转化为频域信号的方法。
在时域中，信号可以表示为一个函数关于时间的函数，而在频域中，信号可以表示为频率的函数。
傅里叶分析的核心思想是将信号拆分为多个频率成分，从而分析信号中不同频率成分的贡献。
傅里叶分析基于傅里叶级数展开或傅里叶变换实现信号的频域表示。
傅里叶级数展开适用于周期信号，将周期信号表示为正弦与余弦信号的叠加。
傅里叶变换则适用于非周期信号，将非周期信号在整个时间域上进行变换，得到频域上的表示。
傅里叶变换可以分为离散傅里叶变换（DFT）和连续傅里叶变换（CTFT）两种方式，其中DFT用于处理离散时间信号，CTFT用于处理连续时间信号。
二、傅里叶分析在信号处理中的应用1. 音频处理：在音频处理中，傅里叶分析广泛应用于音频信号的频谱分析、降噪和增强等领域。
例如，通过傅里叶变换，我们可以将音频信号从时域转换为频域，进而分析音频中不同频率的成分，用于音乐合成和声音识别中。
此外，傅里叶变换还可以用于音频信号的滤波，去除信号中的噪声和杂音。
2. 图像处理：傅里叶分析在图像处理中起着重要作用。
通过将图像进行二维傅里叶变换，我们可以得到图像的频谱信息。
这使得我们能够进行图像滤波、图像增强和图像恢复等操作。
傅里叶分析还与图像压缩紧密相关，通过对图像频谱进行高频信息的截断，可以实现图像压缩和传输。
3. 通信系统：傅里叶分析在通信系统中扮演着重要角色。
通过将信号进行傅里叶变换，我们可以将信号转化为频域上的码元，实现信号的调制和解调。
第一章 傅里叶分析
第一章主要内容
1、常用函数
2、卷积和相关 3、空间频率及空间频谱 4、傅里叶级数 5、傅里叶变换
本章教学目标
1、本章及下一章内容都将介绍傅里叶光学中基础理论， 包括常用函数、常见的光学运算，以及傅里叶变换方 法和线性系统理论。
圆孔光瞳的非相干脉冲响应 以及圆孔的夫琅和费衍射图样
1、一些常用函数
需要特别说明的是，上面提到的常用函数有的本身就是二维函
数，而那些只给出一维形式的函数也具有二维形式，这里不再赘 述，只给出这些常用二维函数的图形化表示。 二维矩形函数
x x0 y y 0 x x0 y y0 rect ( , ) rect ( )rect ( ) b d b d
x y Circ r0
2 2
应用
1 0 x 2 y 2 r0 others
常用来表示圆孔的透过率。
1、一些常用函数 * 8）斜坡函数( Ramp function) 定义 应用
x x0 常用来表示边界透过率的灰阶变化。 0, x x0 b b ram p( ) x x0 x x0 b , b b b
( x n, y m) comb x comb y
n m
( x na, y mb)
1 x y comb comb ab a b
应用 常用二维梳状函数表示点 光源阵列或小孔阵列的透 过率函数。
1、一些常用函数
二维高斯函数
Gauss( x x0 y y0 x x0 y y0 , ) Gauss( )Gaus( ) b d b d
信号分析与处理12
n
n 1
1 a u( n) ，a 1 1 ae j
n
G2 N1 1 ( n)
( 2 N1 1) 1 z zN ，z 0, 1 1 z
1
G2 N1 1 ( n) sin( N1 1 / 2) sin / 2
k 0 N 1 k 0
N 1
j (k N )
2 n N
Xke
k 0 N 1 k 0
N 1
jk
2 n N
X kN e
jk
jk
2 n N
N 1 k 0
X k X k N e
2 n N
: ak e
jk
2 n N
N 1
N
( n )e
jk N
2 n N
1 N
x
n 0
N 1
N
( n)e
jk
2 n N
3)离散周期信号的傅里叶系数 是周期的
11
离散傅里叶级数表达式为 :
2 N 1 jk n N x ( n ) a e N k k 0 2 N 1 jk n a 1 N x N ( n )e k N n0 DFS 记作： xN (n) ak
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DTFT：是单位圆上的ZT
jn X x n e n n X z x n z n X X z |z e j
当ZT的收敛域含单位圆，二者互推出
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变换对照表
n 1, 全平面
xN (n)
xN (t )
傅里叶分析与信号处理
傅里叶分析与信号处理傅里叶分析是一种对周期性信号以及非周期性信号进行频谱分析的数学工具，它是由法国数学家傅里叶提出的，具有广泛的应用价值。
在信号处理领域，傅里叶分析被广泛应用于音频、图像处理以及通信系统等各个领域。
一、傅里叶级数展开傅里叶级数展开是指将周期性信号表示为无穷级数的形式，其中包含了不同频率的正弦和余弦函数。
对于一个周期为T的周期性信号f(t)，傅里叶级数展开的表达式如下：f(t) = a0 + Σ(an*cos(nω0*t) + bn*sin(nω0*t))其中，a0为信号的直流分量，an和bn为信号的谐波分量，ω0 =2π/T为信号的基频。
傅里叶级数展开的好处是可以用有限个谐波分量来逼近周期性信号，从而简化信号的分析和处理过程。
通过傅里叶级数展开，可以得到信号的频谱分布情况，从而进一步分析信号的特性。
二、傅里叶变换对于非周期性信号，无法使用傅里叶级数展开的方法进行表示。
这时候就需要引入傅里叶变换，它可以将非周期性信号分解为不同频率的正弦和余弦信号的叠加。
傅里叶变换的表达式如下：F(ω) = ∫f(t)e^(-jωt)dt其中，F(ω)为信号的频谱表达式，f(t)为原始信号，j为虚数单位，ω为频率。
傅里叶变换将信号从时域转换到频域，通过分析信号在不同频率下的能量分布情况，可以得到信号的频谱特性。
傅里叶变换在音频、图像处理以及通信系统等领域有着广泛的应用。
三、离散傅里叶变换在实际应用中，信号通常是以离散的形式进行采样和处理的。
为了适应这种情况，引入了离散傅里叶变换（DFT），它将连续时间信号转换为离散频域信号。
离散傅里叶变换的表达式如下：X(k) = Σx(n)e^(-j2πkn/N)其中，X(k)为频域上的离散信号，x(n)为时域上的离散信号，N为采样点数，k为频域的离散频率。
离散傅里叶变换可以通过将离散信号进行快速傅里叶变换（FFT）来高效地计算，从而在实际应用中得到广泛使用。
四、傅里叶分析在信号处理中的应用傅里叶分析作为一种强大的信号处理工具，在实际应用中有着广泛的应用。