衡水中学高考数学专题分类汇编：专题02 函数(第02期)(原卷版与解析卷合集)

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(专题密卷)河北省衡水中学高考数学万卷检测函数

函数本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

考试时间120分钟，满分150分。

考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答,在试题卷上作答无效。

第I 卷一、选择题1.已知集合A=1{|,Z}x x a a =+∈，B={x|x=1,Z b b -∈}，C={1{|,Z}c x x c =+∈},则A.B.C之间的关系是( )A.A B C =⊂≠B. A B C ⊂=≠C. A B C ⊂⊂≠≠D.B C A ⊂=≠2.设函数y =的定义域为A ，B={|||x x m -6}<且A B =R ∪,则实数m 的取值范围为( )A.14m -<< B .13m -<< C.14m << D.13m <<3.已知:sin f x x →-是集合([0,2])A A π⊆到集合{0,}12B =的一个映射,则集合A 中的元素个数最多有( )A.4个B.5个C.6个D.7个4.设-1()f x 为函数()f x = ）(A) 1(2)2f-= (B) 1(2)4f -= (C) 1(4)2f-= (D) 1(4)4f -=5.函数2sin 2xy x =-的图像大致是( )6.已知函数f(x)满足22log||f x x ⎛⎫= ⎪+⎝⎭则f(x)的解析式是( )A.2()log f x x =B.2()log f x x =-C.()2x f x -=D.2()f x x -=第Ⅱ卷二、填空题7.已知集合A={|||2x x <},B={1|01x x >+},则A B=8.集和M={|x y =,集合N=2{|1y y x =-,x ∈R },则M N 等于_____________9.新定义函数,00,0,,0x guox x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩11则不等式()2x guox +>1的解集是10.函数2log (3)y x x =-的定义域11.若函数2()2f x mx lnx x =+-在定义域内是增函数，则实数m 的取值范围是。

2024年高考数学真题分类汇编(三角函数篇,解析版)

专题三角函数1(新课标全国Ⅰ卷)已知cos (α+β)=m ,tan αtan β=2，则cos (α-β)=()A.-3mB.-m3C.m 3D.3m【答案】A【分析】根据两角和的余弦可求cos αcos β,sin αsin β的关系，结合tan αtan β的值可求前者，故可求cos α-β 的值.【详解】因为cos α+β =m ，所以cos αcos β-sin αsin β=m ，而tan αtan β=2，所以=12×2b ×kb ×sin A 2+12×kb ×b ×sin A2，故cos αcos β-2cos αcos β=m 即cos αcos β=-m ，从而sin αsin β=-2m ，故cos α-β =-3m ，故选：A .2(新课标全国Ⅰ卷)当x ∈[0,2π]时，曲线y =sin x 与y =2sin 3x -π6 的交点个数为()A.3B.4C.6D.8【答案】C【分析】画出两函数在0,2π 上的图象，根据图象即可求解【详解】因为函数y =sin x 的的最小正周期为T =2π，函数y =2sin 3x -π6 的最小正周期为T =2π3，所以在x ∈0,2π 上函数y =2sin 3x -π6有三个周期的图象，在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示：由图可知，两函数图象有6个交点.故选：C3(新课标全国Ⅱ卷)设函数f (x )=a (x +1)2-1，g (x )=cos x +2ax ，当x ∈(-1,1)时，曲线y =f (x )与y =g (x )恰有一个交点，则a =()A.-1B.12C.1D.22024年高考数学真题分类汇编——三角函数篇【分析】解法一：令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，分析可知曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y 轴上，即可得a =2，并代入检验即可；解法二：令h x =f (x )-g x ,x ∈-1,1 ，可知h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即可得a =2，并代入检验即可.【详解】解法一：令f (x )=g x ，即a (x +1)2-1=cos x +2ax ，可得ax 2+a -1=cos x ，令F x =ax 2+a -1,G x =cos x ，原题意等价于当x ∈(-1,1)时，曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，注意到F x ,G x 均为偶函数，可知该交点只能在y 轴上，可得F 0 =G 0 ，即a -1=1，解得a =2，若a =2，令F x =G x ，可得2x 2+1-cos x =0因为x ∈-1,1 ，则2x 2≥0,1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，可得2x 2+1-cos x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，则方程2x 2+1-cos x =0有且仅有一个实根0，即曲线y =F (x )与y =G (x )恰有一个交点，所以a =2符合题意；综上所述：a =2.解法二：令h x =f (x )-g x =ax 2+a -1-cos x ,x ∈-1,1 ，原题意等价于h x 有且仅有一个零点，因为h -x =a -x 2+a -1-cos -x =ax 2+a -1-cos x =h x ，则h x 为偶函数，根据偶函数的对称性可知h x 的零点只能为0，即h 0 =a -2=0，解得a =2，若a =2，则h x =2x 2+1-cos x ,x ∈-1,1 ，又因为2x 2≥0,1-cos x ≥0当且仅当x =0时，等号成立，可得h x ≥0，当且仅当x =0时，等号成立，即h x 有且仅有一个零点0，所以a =2符合题意；故选：D .4(全国甲卷数学(理)(文))已知cos αcos α-sin α=3，则tan α+π4=()A.23+1 B.23-1C.32D.1-3【答案】B【分析】先将cos αcos α-sin α弦化切求得tan α，再根据两角和的正切公式即可求解.【详解】因为cos αcos α-sin α=3，所以11-tan α=3，⇒tan α=1-33，所以tan α+π4 =tan α+11-tan α=23-1，故选：B .5(新高考北京卷)已知f x =sin ωx ω>0 ，f x 1 =-1，f x 2 =1，|x 1-x 2|min =π2，则ω=()A.1B.2C.3D.4【分析】根据三角函数最值分析周期性，结合三角函数最小正周期公式运算求解.【详解】由题意可知：x 1为f x 的最小值点，x 2为f x 的最大值点，则x 1-x 2 min =T 2=π2，即T =π，且ω>0，所以ω=2πT=2.故选：B .6(新高考天津卷)已知函数f x =sin3ωx +π3ω>0 的最小正周期为π．则函数在-π12,π6 的最小值是()A.-32B.-32C.0D.32【答案】A【分析】先由诱导公式化简，结合周期公式求出ω，得f x =-sin2x ，再整体求出x ∈-π12,π6时，2x 的范围，结合正弦三角函数图象特征即可求解.【详解】f x =sin3ωx +π3 =sin 3ωx +π =-sin3ωx ，由T =2π3ω=π得ω=23，即f x =-sin2x ，当x ∈-π12,π6 时，2x ∈-π6,π3，画出f x =-sin2x 图象，如下图，由图可知，f x =-sin2x 在-π12,π6上递减，所以，当x =π6时，f x min =-sin π3=-32故选：A7(新高考上海卷)下列函数f x 的最小正周期是2π的是()A.sin x +cos xB.sin x cos xC.sin 2x +cos 2xD.sin 2x -cos 2x【答案】A【分析】根据辅助角公式、二倍角公式以及同角三角函数关系并结合三角函数的性质一一判断即可 .【详解】对A ，sin x +cos x =2sin x +π4，周期T =2π，故A 正确；对B ，sin x cos x =12sin2x ，周期T =2π2=π，故B 错误；对于选项C ，sin 2x +cos 2x =1，是常值函数，不存在最小正周期，故C 错误；对于选项D ，sin 2x -cos 2x =-cos2x ，周期T =2π2=π，故D 错误，故选：A ．8(新课标全国Ⅱ卷)对于函数f(x)=sin2x和g(x)=sin2x-π4，下列说法正确的有() A.f(x)与g(x)有相同的零点 B.f(x)与g(x)有相同的最大值C.f(x)与g(x)有相同的最小正周期D.f(x)与g(x)的图像有相同的对称轴【答案】BC【分析】根据正弦函数的零点，最值，周期公式，对称轴方程逐一分析每个选项即可.【详解】A选项，令f(x)=sin2x=0，解得x=kπ2,k∈Z，即为f(x)零点，令g(x)=sin2x-π4=0，解得x=kπ2+π8,k∈Z，即为g(x)零点，显然f(x),g(x)零点不同，A选项错误；B选项，显然f(x)max=g(x)max=1，B选项正确；C选项，根据周期公式，f(x),g(x)的周期均为2π2=π，C选项正确；D选项，根据正弦函数的性质f(x)的对称轴满足2x=kπ+π2⇔x=kπ2+π4,k∈Z，g(x)的对称轴满足2x-π4=kπ+π2⇔x=kπ2+3π8,k∈Z，显然f(x),g(x)图像的对称轴不同，D选项错误.故选：BC9(新课标全国Ⅱ卷)已知α为第一象限角，β为第三象限角，tanα+tanβ=4，tanαtanβ=2+1，则sin(α+β)=.【答案】-22 3【分析】法一：根据两角和与差的正切公式得tanα+β=-22，再缩小α+β的范围，最后结合同角的平方和关系即可得到答案；法二：利用弦化切的方法即可得到答案.【详解】法一：由题意得tanα+β=tanα+tanβ1-tanαtanβ=41-2+1=-22，因为α∈2kπ,2kπ+π2,β∈2mπ+π,2mπ+3π2，k,m∈Z，则α+β∈2m+2kπ+π,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，又因为tanα+β=-22<0，则α+β∈2m+2kπ+3π2,2m+2kπ+2π，k,m∈Z，则sinα+β<0，则sinα+βcosα+β=-22，联立sin2α+β+cos2α+β=1，解得sinα+β=-223.法二：因为α为第一象限角，β为第三象限角，则cosα>0,cosβ<0,cosα=cosαsin2α+cos2α=11+tan2α，cosβ=cosβsin2β+cos2β=-11+tan2β，则sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ=cosαcosβ(tanα+tanβ)=4cosαcosβ=-41+tan2α1+tan2β=-4(tanα+tanβ)2+(tanαtanβ-1)2=-442+2=-223故答案为：-22 3.10(全国甲卷数学(文))函数f x =sin x-3cos x在0,π上的最大值是．【答案】2【分析】结合辅助角公式化简成正弦型函数，再求给定区间最值即可.【详解】f x =sin x -3cos x =2sin x -π3 ，当x ∈0,π 时，x -π3∈-π3,2π3，当x -π3=π2时，即x =5π6时，f x max =2.故答案为：2一、单选题1(2024·宁夏石嘴山·三模)在平面直角坐标系中，角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P 1,2 ，则7cos 2θ-2sin2θ=()A.-15B.15C.-2D.2【答案】A【分析】由题意可知：tan θ=2，根据倍角公式结合齐次化问题分析求解.【详解】由题意可知：tan θ=2，所以7cos 2θ-2sin2θ=7cos 2θ-4sin θcos θsin 2θ+cos 2θ=7-4tan θtan 2θ+1=7-4×222+1=-15.故选：A .2(2024·广东茂名·一模)已知cos α+π =-2sin α，则sin 2α-3cos α+π2cos αcos2α+1=()A.-1B.-25C.45D.78【答案】D【分析】根据给定条件，求出tan α，再结合诱导公式及二倍角的余弦公式，利用正余弦齐次式法计算得解.【详解】由cos α+π =-2sin α，得cos α=2sin α，则tan α=12，所以sin 2α-3cos α+π2 cos αcos2α+1=sin 2α+3sin αcos α2cos 2α=12tan 2α+32tan α=18+34=78.故选：D3(2024·河北保定·二模)函数f (x )=1-e x1+e xcos2x 的部分图象大致为()A. B.C. D.【答案】A【分析】根据函数的奇偶性判断即可.【详解】设g x =1-e x1+e x，则g-x=1-e-x1+e-x=e x-11+e x=-g x ，所以g x 为奇函数，设h x =cos2x，可知h x 为偶函数，所以f x =1-e x1+e xcos2x为奇函数，则B，C错误，易知f0 =0，所以A正确，D错误．故选：A.4(2024·山东济宁·三模)已知函数f(x)=(3sin x+cos x)cos x-12，若f(x)在区间-π4,m上的值域为-3 2,1，则实数m的取值范围是()A.π6,π2B.π6,π2C.π6,7π12D.π6,7π12【答案】D【分析】利用二倍角公式、辅助角公式化简函数f(x)，再借助正弦函数的图象与性质求解即得.【详解】依题意，函数f(x)=3sin x cos x+cos2x-12=32sin2x+12cos2x=sin2x+π6，当x∈-π4,m时，2x+π6∈-π3,2m+π6，显然sin-π3=sin4π3=-32,sinπ2=1，且正弦函数y=sin x在π2,4π3上单调递减，由f(x)在区间-π4,m上的值域为-32,1，得π2≤2m+π6≤4π3，解得π6≤m≤7π12，所以实数m的取值范围是π6,7π12.故选：D5(2024·江西景德镇·三模)函数f x =cosωx x∈R在0,π内恰有两个对称中心，fπ=1，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数g x 的图象.若fα +gα =35，则cos4α+π3=()A.725B.1625C.-925D.-1925【答案】A【分析】根据y轴右边第二个对称中心在0,π内，第三个对称中心不在0,π内可求得32≤ω<52，结合fπ=1可得ω=2，再利用平移变换求出g x ，根据三角变换化简fα +gα =35可得sin2α+π6=35，然后由二倍角公式可解.【详解】由x∈0,π得ωx∈0,ωπ，因为函数f x 在0,π内恰有两个对称中心，所以3π2≤ωπ5π2>ωπ，解得32≤ω<52，又fπ=cosωπ=1，所以ωπ=kπ,k∈Z，即ω=k,k∈Z，所以ω=2，将函数f x 的图象向右平移π3个单位得到函数y=cos2x-π3=cos2x-2π3，即g x =cos2x-2π3，因为fα +gα =cos2α+cos2α-2π3=32sin2α+12cos2α=sin2α+π6=35，所以cos4α+π3=1-2sin22α+π6=1-2×35 2=725.故选：A6(2024·安徽马鞍山·三模)已知函数f(x)=sin2ωx+cos2ωx(ω>1)的一个零点是π2，且f(x)在-π6,π16上单调，则ω=()A.54B.74C.94D.114【答案】B【分析】整理可得f(x)=2sin2ωx+π4，以2ωx+π4为整体，根据单调性分析可得1<ω≤2，再结合零点分析求解.【详解】因为f(x)=sin2ωx+cos2ωx=2sin2ωx+π4，x∈-π6,π16，且ω>1时，可得2ωx+π4∈-π3ω+π4,π8ω+π4，且-π3ω+π4<0<π8ω+π4，若f(x)在-π6,π16上单调，则-π3ω+π4≥-π2π8ω+π4≤π2，解得1<ω≤2，又因为f(x)的一个零点是π2，则πω+π4=kπ,k∈Z，解得ω=k-14,k∈Z，所以k=2,ω=7 4 .故选：B.7(2024·山东临沂·二模)已知函数f x =sin2x+φϕ <π2图象的一个对称中心为π6,0，则()A.f x 在区间-π8,π3上单调递增B.x=5π6是f x 图象的一条对称轴C.f x 在-π6,π4上的值域为-1,32D.将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，得到的函数图象关于y轴对称【答案】D【分析】借助整体代入法结合正弦函数的性质可得A、B；结合正弦函数最值可得C；得到平移后的函数解析式后借助诱导公式即可得D.【详解】由题意可得2×π6+φ=kπk∈Z，解得φ=-π3+kπk∈Z，又ϕ <π2，故φ=-π3，即f x =sin2x-π3；对A ：当x ∈-π8,π3 时，2x -π3∈-7π12,π3，由函数y =sin x 在-7π12,π3上不为单调递增，故f x 在区间-π8,π3上不为单调递增，故A 错误；对B ：当x =5π6时，2x -π3=4π3，由x =4π3不是函数y =sin x 的对称轴，故x =5π6不是f x 图象的对称轴，故B 错误；对C ：当x ∈-π6,π4 时，2x -π3∈-2π3,π6，则f x ∈-1,12，故C 错误；对D ：将f x 图象上的所有点向左平移5π12个长度单位后，可得y =sin 2x +2×5π12-π3 =sin 2x +π2=cos2x ，该函数关于y 轴对称，故D 正确.故选：D .8(2024·广东广州·二模)已知函数f (x )=2sin (ωx +φ)ω>0,|φ|<π2的部分图象如图所示，若将函数f (x )的图象向右平移θ(θ>0)个单位后所得曲线关于y 轴对称，则θ的最小值为()A.π8B.π4C.3π8D.π2【答案】A【分析】根据给定的图象特征，结合五点法作图列式求出ω和φ，再根据图象的平移变换，以及图象的对称性即可得解.【详解】由f π4=1，得sin π4ω+φ =22，又点π4,1 及附近点从左到右是上升的，则π4ω+φ=π4+2k π,k ∈Z ，由f 5π8 =0，点5π8,0 及附近点从左到右是下降的，且上升、下降的两段图象相邻，得5π8ω+φ=π+2k π,k ∈Z ，联立解得ω=2，φ=-π4+2k π,k ∈Z ，而|φ|<π2，于是φ=-π4，f (x )=2sin 2x -π4，若将函数f (x )的图像向右平移θ(θ>0)个单位后，得到y =sin 2x -2θ-π4，则-2θ-π4=π2-k π,k ∈Z ，而θ>0，因此θ=-3π8+k π2,k ∈N ，所以当k =1时，θ取得最小值为π8.故选：A9(2024·四川雅安·三模)已知函数f x =sin ωx +3cos ωx (ω>0)，则下列说法中正确的个数是()①当ω=2时，函数y =f x -2log πx 有且只有一个零点；②当ω=2时，函数y =f x +φ 为奇函数，则正数φ的最小值为π3；③若函数y =f x 在0,π3 上单调递增，则ω的最小值为12；④若函数y =f x 在0,π 上恰有两个极值点，则ω的取值范围为136,256.A.1 B.2C.3D.4【答案】B【分析】利用辅助角公式化简函数，由图象分析判断①；由正弦函数的性质判断②③；由极大值的意义结合正弦函数的性质判断④.【详解】依题意，ω>0，函数f (x )=212sin ωx +32cos ωx =2sin ωx +π3，对于①：f (x )=2sin 2x +π3，令y =f x -2log πx =0，即f x =2log πx ，作出函数y =f (x )和函数y =2log πx 的图象，如图，观察图象知，两个函数在0,7π12 上只有一个零点，f 13π12 =2sin 5π2=2，当x =13π12时，y =2log π13π12=2log π1312+2log ππ=2+2log π1312>2，当x >13π12时，2log πx >2≥f (x )，因此函数y =f x 与函数y =2log πx 的图象有且只有一个交点，①正确；对于②：f (x +φ)=2sin 2x +2φ+π3 为奇函数，则2φ+π3=k π,k ∈Z ，φ=-π6+k π2,k ∈Z ，即正数φ的最小值为π3，②正确；对于③：当x ∈0,π3 时，ωx +π3∈π3,π(ω+1)3，由y =f x 在0,π3 上单调递增，得π(ω+1)3≤π2ω>0，解得0<ω≤12，正数ω有最大值12，③错误；对于④：当x ∈(0,π)时，ωx +π3∈π3,ωπ+π3，而y =f x 在(0,π)上恰有两个极值点，由正弦函数的性质得3π2<ωπ+π3≤5π2，解得76<ω≤136，因此ω的取值范围是76,136，④错误.综上，共2个正确，故选：B .10(2024·河北保定·二模)已知tan α=3cos αsin α+11，则cos2α=()A.-78B.78C.79D.-79【答案】B【分析】利用切化弦和同角三角函数的关系，解出sin α，再结合二倍角公式即可求解.【详解】因为sin αcos α=3cos αsin α+11，所以4sin 2α+11sin α-3=0，解得sin α=14或sin α=-3(舍去)，所以cos2α=1-2sin 2α=78．故选：B .11(2024·河北衡水·三模)已知sin (3α-β)=m sin (α-β)，tan (2α-β)=n tan α，则m ，n 的关系为()A.m =2nB.n =m +1mC.n =m m -1D.n =m +1m -1【答案】D【分析】利用和差角的正弦公式化简，结合已知列出方程即可求解.【详解】依题意，sin (3α-β)=sin [(2α-β)+α]=sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α，sin (α-β)=sin [(2α-β)-α]=sin (2α-β)cos α-cos (2α-β)sin α，则sin (2α-β)cos α+cos (2α-β)sin α=m sin (2α-β)cos α-m cos (2α-β)sin α，即sin (2α-β)cos αcos (2α-β)sin α=m +1m -1，即tan (2α-β)tan α=m +1m -1=n .故选：D12(2024·辽宁沈阳·三模)已知tan α2=2，则sin 2α2+sin α的值是()A.25B.45C.65D.85【答案】D【分析】利用二倍角公式和同角之间的转化，进行求解判断选项【详解】当tan α2=2，则sin 2α2+sin α=sin 2α2+2sin α2cos α2sin 2α2+cos 2α2=tan 2α2+2tan α2tan 2α2+1=22+2×222+1=85故选：D13(2024·贵州黔东南·二模)已知0<α<β<π，且sin α+β =2cos α+β ，sin αsin β-3cos αcos β=0，则tan α-β =()A.-1 B.-32C.-12D.12【答案】C【分析】找出tan α和tan β的关系，求出tan α和tan β即可求解.【详解】∵sin αsin β-3cos αcos β=0，∴sin αsin β=3cos αcos β，∴tan αtan β=3①，∵sin α+β =2cos α+β ，∴tan α+β =2⇒tan α+tan β1-tan αtan β=2⇒tan α+tan β1-3=2，∴tan α+tan β=-4②，由①②解得tan α=-1tan β=-3或tan α=-3tan β=-1 ，∵0<α<β<π，∴tan α<tan β，∴tan α=-3tan β=-1 ，∴tan α-β =tan α-tan β1+tan αtan β=-12.故选：C .二、多选题14(2024·河北张家口·三模)已知函数f (x )=23cos 2x +2sin x cos x ，则下列说法正确的是()A.函数f (x )的一个周期为2πB.函数f (x )的图象关于点π3,0 对称C.将函数f (x )的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度，得到函数g (x )的图象，若函数g (x )为偶函数，则φ的最小值为5π12D.若f 12α-5π24 -3=12，其中α为锐角，则sin α-cos α的值为6-308【答案】ACD【分析】利用三角恒等变换公式化简，由周期公式可判断A ；代入验证可判断B ；根据平移变化求g (x )，由奇偶性可求出φ，可判断C ；根据已知化简可得sin α-π12 =14，将目标式化为2sin α-π12 -π6 ，由和差角公式求解可判断D .【详解】对于A ，因为f (x )=31+cos2x +sin2x =2sin 2x +π3+3，所以f (x )的最小值周期T =2π2=π，所以2π是函数f (x )的一个周期，A 正确；对于B ，因为f π3 =2sin 2×π3+π3 +3=3，所以，点π3,0 不是函数f (x )的对称中心，B 错误；对于C ，由题知，g x =f (x -φ)=2sin 2(x -φ)+π3 +3=2sin 2x +π3-2φ +3，若函数g (x )为偶函数，则π3-2φ=π2+k π,k ∈Z ，得φ=-π12-k π2,k ∈Z ，因为φ>0，所以φ的最小值为5π12，C 正确；对于D ，若f 12α-5π24-3=2sin 212α-5π24 +π3 =2sin α-π12 =12，则sin α-π12 =14，因为α为锐角，-π12<α-π12<5π12，所以cos α-π12 =154，所以sin α-cos α=2sin α-π4 =2sin α-π12 -π6=232sin α-π12 -12cos α-π12=232×14-12×154=6-308，D 正确.故选：ACD 15(2024·辽宁鞍山·模拟预测)已知函数f x =sin x ⋅cos x ，则()A.f x 是奇函数B.f x 的最小正周期为2πC.f x 的最小值为-12D.f x 在0,π2上单调递增【答案】AC【分析】首先化简函数f x =12sin2x ，再根据函数的性质判断各选项.【详解】f x =sin x ⋅cos x =12sin2x ，函数的定义域为R ，对A ，f -x =-12sin2x =-f x ，所以函数f x 是奇函数，故A 正确；对B ，函数f x 的最小正周期为2π2=π，故B 错误；对C ，函数f x 的最小值为-12，故C 正确；对D ，x ∈0,π2 ，2x ∈0,π ，函数f x 不单调，f x 在0,π4 上单调递增，在π4,π2上单调递减，故D 错误.故选：AC16(2024·安徽·三模)已知函数f x =sin x -3cos x ，则()A.f x 是偶函数B.f x 的最小正周期是πC.f x 的值域为-3,2D.f x 在-π,-π2上单调递增【答案】AC【分析】对于A ，直接用偶函数的定义即可验证；对于B ，直接说明f 0 ≠f π 即可否定；对于C ，先证明-3≤f x ≤2，再说明对-3≤u ≤2总有f x =u 有解即可验证；对于D ，直接说明f -5π6>f -2π3 即可否定.【详解】对于A ，由于f x 的定义域为R ，且f -x =sin -x -3cos -x =-sin x -3cos x =sin x -3cos x =f x ，故f x 是偶函数，A 正确；对于B ，由于f 0 =sin0 -3cos0=-3，f π =sinπ -3cosπ=3，故f 0 ≠f π ，这说明π不是f x 的周期，B 错误；对于C ，由于f x =sin x -3cos x ≤sin x +3cos x =sin x +3cos x 2≤sin x +3cos x 2+3sin x -cos x 2=sin 2x +3cos 2x +23sin x cos x +3sin 2x +cos 2x -23sin x cos x =4sin 2x +4cos 2x =4=2，且f x =sin x -3cos x ≥-3cos x ≥-3，故-3≤f x ≤2.而对-3≤u ≤2，有f 0 =-3≤u ，f 5π6 =2≥u ，故由零点存在定理知一定存在x ∈0,5π6使得f x =u .所以f x 的值域为-3,2 ，C 正确；对于D ，由于-π<-5π6<-2π3<-π2，f -5π6 =2>3=f -2π3 ，故f x 在-π,-π2上并不是单调递增的，D 错误.故选：AC .17(2024·山西太原·模拟预测)已知函数f x =sin 2x +φ 0<φ<π2 的图象关于直线x =π12对称，且h x =sin2x -f x ，则()A.φ=π12B.h x 的图象关于点π6,0中心对称C.f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称 D.h x 在区间π6,5π12内单调递增【答案】BCD【分析】根据正弦函数的对称性求解φ判断A ，先求出h x =sin 2x -π3，然后利用正弦函数的对称性求解判断B ，根据对称函数的性质判断C ，结合正弦函数的单调性代入验证判断D .【详解】由题意得2×π12+φ=π2+k π，k ∈Z ，解得φ=π3+k π，k ∈Z ，又因为0<φ<π2，所以φ=π3，A 错误；由φ=π3可知f x =sin 2x +π3，则h x =sin2x -sin 2x +π3 =12sin2x -32cos2x =sin 2x -π3，令2x -π3=k π，k ∈Z ，解得x =π6+k π2，k ∈Z ，令k =0，得x =π6，所以点π6,0 是曲线y =h x 的对称中心，B 正确；因为f π2-x =sin 2π2-x +π3 =sin 4π3-2x =sin 2x -π3=h x ，所以f x 与h x 的图象关于直线x =π4对称，C 正确；当x ∈π6,5π12 时，2x -π3∈0,π2 ，故h x 在区间π6,5π12内单调递增，D 正确.故选：BCD 18(2024·浙江金华·三模)已知函数f x =sin2ωx cos φ+cos2ωx sin φω>0,0<φ<π2的部分图象如图所示，则()A.φ=π6B.ω=2C.f x +π6为偶函数 D.f x 在区间0,π2的最小值为-12【答案】ACD【分析】先由正弦展开式，五点法结合图象求出f x =sin 2x +π6，可得A 正确，B 错误；由诱导公式可得C 正确；整体代入由正弦函数的值域可得D 正确.【详解】由题意得f x =sin 2ω+φ ，由图象可得f 0 =12⇒sin φ=12，又0<φ<π2，所以φ=π6，由五点法可得ω×4π3+π6=3π2⇒ω=1，所以f x =sin 2x +π6 .A ：由以上解析可得φ=π6，故A 正确；B ：由以上解析可得ω=1，故B 错误；C ：f x +π6 =sin 2x +π6 +π6=cos2x ，故C 正确；D ：当x ∈0,π2 ⇒2x +π6∈π6,7π6 时，sin 2x +π6 ∈-12,1，所以最小值为-12，故D 正确；故选：ACD .19(2024·浙江温州·二模)已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，P -3,4 为其终边上一点，若角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，则()A.cos π+α =35B.β=2k π+π2+2αk ∈Z C.tan β=724D.角β的终边在第一象限【答案】ACD【分析】根据三角函数的定义，可求角α的三角函数，结合诱导公式判断A 的真假；利用二倍角公式，求出2α的三角函数值，结合三角函数的概念指出角2α的终边与单位圆的交点，由对称性确定角β终边与单位圆交点，从而判断BCD 的真假.【详解】因为角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点P -3,4 ，所以：OP =5，所以sin α=45，cos α=-35，所以cos π+α =-cos α=35，故A 对；又sin2α=2sin α⋅cos α=2×45×-35 =-2425，cos2α=cos 2α-sin 2α=-35 2-45 2=-725，所以2α的终边与单位圆的交点坐标为：-725,-2425 ，因为角β的终边与角2α的终边关于直线y =-x 对称，所以角β的终边与单位圆的交点为2425,725，所以tan β=724，且β的终边在第一象限，故CD 正确；又因为终边在直线y =-x 的角为：k π-π4,k ∈Z ，角2α的终边与角β的终边关于y =-x 对称，所以2α+β2=k π-π4⇒β=2k π-π2-2αk ∈Z ，故B 错误.故选：ACD20(2024·广东佛山·二模)已知函数f x =sin x +cos2x 与g x =sin2x +cos x ，记h x =λf x +μg x ，其中λ，μ∈R 且λ2+μ2≠0．下列说法正确的是()A.h x 一定为周期函数B.若λ⋅μ>0，则h x 在0,π2上总有零点C.h x 可能为偶函数 D.h x 在区间0,2π 上的图象过3个定点【答案】ABD【分析】对于A ：计算h x +2π ，化简即可；对于B ：求出h x ，然后计算h 0 h π2的正负即可；对于C ：计算h x ,h -x 是否恒相等即可；对于D ：令f x =0g x =0，求解x 即可.【详解】对于A ，∀x ∈R ，h x +2π =λf x +2π +μg x +2π =λf x +μg x =h x ，A 正确；对于B ，h x =λcos x -2sin2x +μ2cos2x -sin x ，则h 0 =λ+2μ，h π2=-3μ，因为λμ>0，即λ，μ同号，所以h 0 h π2<0，由零点存在定理知h x 在0,π2上总有零点，故B 正确；对于C ，h x =λsin x +λcos2x +μsin2x +μcos x ，h -x =-λsin x +λcos2x -μsin2x +μcos x ，由h x =h -x 得2λsin x +2μsin2x =2λsin x +2μ⋅2sin x cos x =2sin x λ+2μcos x =0对x ∈R 恒成立，则λ=μ=0与题意不符，故C 错误；对于D ，令f x =0g x =0 ，则sin x +cos2x =1-2sin 2x +sin x =-sin x -1 2sin x +1 =0sin2x +cos x =cos x 2sin x +1 =0 ⇒sin x =1或sin x =-12cos x =0或sin x =-12，即x ∈-π6+2k π,π2+2k π,7π6+2k π ，k ∈Z ，故所有定点坐标为-π6+2k π,0 ，π2+2k π,0 ，7π6+2k π,0 ，k ∈Z ，又因为x ∈0,2π ，所以函数h x 的图象过定点π2,0 ，7π6,0 ，11π6,0 ，故D 正确；故选：ABD ．21(2024·湖南·二模)已知函数f x =12cos 2x -π3 ，把y =f x 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x 的图象，以下说法正确的是()A.x =π6是y =f x 图象的一条对称轴B.f x 的单调递减区间为k π+π6,k π+2π3k ∈Z C.y =g x 的图象关于原点对称D.f x +g x 的最大值为12【答案】ABD【分析】根据题意，求得g x =-12cos2x 的图象，结合三角函数的图象与性质，以及两角差的正弦公式，逐项判定，即可求解.【详解】将函数f x =12cos 2x -π3 的图象向右平移π3个单位长度，得到函数y =g x =12cos 2x -π =-12cos2x 的图象，对于A 中，令x =π6，求得f x =12，即为函数y =f x 最大值，所以直线x =π6是函数f x 图象的一条对称轴，所以A 正确；对于B 中，令2k π≤2x -π3≤2k π+π,k ∈Z ，解得k π+π6≤x ≤k π+2π3,k ∈Z ，可得f x 的单调减区间为k π+π6,k π+2π3,k ∈Z ，所以B 正确.对于C 中，由于g x =-12cos2x 是偶函数，可得函数g x 的图象关于y 轴对称，所以C 错误.对于D 中，由f x +g x =12cos 2x -π3 +-12cos2x =1212cos2x +32sin2x -12cos2x =34sin2x -14cos2x =12sin 2x -π6 ≤12，即f x +g x 的最大值为12，所以D 正确.故选：ABD .22(2024·广东江门·一模)已知函数f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3(ω>0)，则下列结论正确的是()A.若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则ω=2B.当ω=1，x ∈0,π2时，f x 的值域为-3,2 C.当ω=1时，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为y =2cos 2x +π6D.若f x 在区间0,π6上有且仅有两个零点，则5≤ω<8【答案】BCD【分析】根据三角恒等变换化简f x =2sin 2ωx +π3，进而根据周期可判断A ，根据整体法求解函数的值域判断B ，根据函数图象的平移可判断C ，根据零点个数确定不等式满足的条件可判断D .【详解】f (x )=sin 2ωx +π3 +sin 2ωx -π3+23cos 2ωx -3=sin2ωx cos π3+cos2ωx sin π3+sin2ωx cos π3-cos2ωx sin π3+3cos2ωx=sin2ωx +3cos2ωx =2sin 2ωx +π3，对于A ，若f x 相邻两条对称轴的距离为π2，则T =2×π2=π=2π2ω,故ω=1，A 错误，对于B ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3 ，当x ∈0,π2 时，2x +π3∈π3,4π3，则f x 的值域为-3,2 ，B 正确，对于C ，当ω=1，f x =2sin 2x +π3，f x 的图象向左平移π6个单位长度得到函数解析式为f x +π6 =2sin 2x +π6 +π3 =2sin 2x +2π3 =2cos 2x +π6，C 正确，对于D ，当x ∈0,π6 时，2ωx +π3∈π3,2ωπ6+π3，若f x 在区间0,π6 上有且仅有两个零点，则2π≤2ωπ6+π3<3π，解得5≤ω<8，故D 正确，故选：BCD 三、填空题23(2024·北京·三模)已知函数f (x )=sin x cos ωx ,x ∈R ．①若ω=1，则f (x )的最小正周期是；，②若ω=2，则f (x )的值域是．【答案】π[-1,1]【分析】把ω=1代入，t 明智二倍角的正弦，结合正弦函数的周期求出f (x )的最小正周期；把ω=2代入，利用二倍角的余弦公式，借助换元法，利用导数求出f (x )的值域.【详解】当ω=1时，f (x )=sin x cos x =12sin2x ，函数f (x )的最小正周期为2π2=π；当ω=2时，f (x )=sin x cos2x =sin x (1-2sin 2x )，令sin x =t ∈[-1,1]，g (t )=t (1-2t 2)=-2t 3+t ，求导得g (t )=-6t 2+1，当-1≤t <-66或66<t ≤1时，g (t )<0，当-66<t <66时，g (t )>0，函数g (t )在-1,-66 ，66,1 上单调递减，在-66,66上单调递增，g (-1)=1,g 66 =69，g (1)=-1,g -66 =-69，所以g (t )min =-1,g (t )max =1，f (x )的值域是[-1,1].故答案为：π；[-1,1]24(2024·北京·模拟预测)已知函数f (x )=sin ωx -2cos ωx (ω>0)，且f α+x =f α-x .若两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，则sin4α=.【答案】-45/-0.8【分析】利用辅助角公式化简f (x )的解析式，再由题意可得函数关于x =α对称，且最小正周期T =π，即可求出ω的值，从而得到2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，再由二倍角公式及同角三角函数的基本关系计算可得．【详解】因为f (x )=sin ωx -2cos ωx =5sin ωx -φ ，其中tan φ=2，由f α+x =f α-x ，可得f x 关于x =α对称，又两个不等的实数x 1,x 2满足f x 1 f x 2 =5且x 1-x 2 min =π，所以f x 的最小正周期T =π，又ω>0，所以2πω=π，解得ω=2，所以f x =5sin 2x -φ ，所以2α-φ=π2+k π,k ∈Z ，则2α=φ+π2+k π,k ∈Z ，所以sin4α=sin2φ+π2+k π =sin 2φ+π+2k π =-sin2φ=-2sin φcos φsin 2φ+cos 2φ=-2tan φtan 2φ+1=-2×222+1=-45.故答案为：-4525(2024·湖北荆州·三模)设0<α<β<π2，tan α=m tan β，cos α-β =35，若满足条件的α与β存在且唯一，则m =，tan αtan β=.【答案】191【分析】由tan α=m tan β得到sin αcos β=m cos αsin β，再结合cos α-β =35，利用sin α-β =-45，得到cos αsin β=-45m -1 ，sin αcos β=-4m5m -1 ，从而sin α+β =-4m +1 5m -1，再由满足条件的α与β存在且唯一，得到α+β唯一，从而sin α+β =-4m +15m -1=1，求得m 即可.【详解】解：由tan α=m tan β，得sin αcos α=m sin βcos β，即sin αcos β=m cos αsin β，因为0<α<β<π2，tan α=m tan β，所以-π2<α-β<0，0<m <1，又cos α-β =35，所以sin α-β <0，从而sin α-β =sin αcos β-cos αsin β=m -1 cos αsin β=-45，所以cos αsin β=-45m -1，所以sin αcos β=m cos αsin β=-4m5m -1，所以sin α+β =sin αcos β+cos αsin β=-4m +15m -1，因为α,β∈0,π2，所以α+β∈0,π ，因为满足条件的α与β存在且唯一，所以α+β唯一，所以sin α+β =-4m +1 5m -1=1，所以m =19，经检验符合题意，所以tan α=19tan β，则tan α-β =-43=tan α-tan β1+tan αtan β=tan α-9tan α1+9tan 2α，解得tan α=13，所以tan αtan β=9tan 2α=1.故答案为：19，1【点睛】关键点点睛：关键是结合已知得出sin α+β =-4m +15m -1 =1，求出m ，由此即可顺利得解.。

衡水中学高考数学专题分类汇编：专题13 选讲部分(原卷版与解析卷合集)

高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版) 专题13 选讲部分一、解答题1. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程是4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线12,C C 的直角坐标方程；（2）设曲线12,C C 交于点,A B ，曲线2C 与x 轴交于点E ，求线段AB 的中点到点E 的距离.2. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】已知函数()f x x a a =--+，()2124g x x x =-++．（Ⅰ）解不等式()6g x <；（Ⅱ）若对任意的1x R ∈，存在2x R ∈，使得()()12g x f x -=，求实数a 的取值范围．3. 【河北省衡水市2019届高三四月大联考】在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：22(1)1x y -+=，直线1l ：3y x =，直线2l 过点(2,1)P -，倾斜角为23π，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出直线1l 与圆C 的交点极坐标及直线2l 的参数方程；（2）设直线2l 与圆C 交于E ，F 两点，求PE PF ⋅的值. 4．【河北省衡水市2019届高三四月大联考】已知函数()21()f x x x a a R =+--∈.（1）当2a =时，作出函数()f x 的图象，并写出不等式()6f x ≥的解集；（2）当[1,1]x ∈-时，若不等式()2f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围.5.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为（为参数，）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程是.（1）若直线与圆有公共点，试求实数的取值范围；（2）当时，过点且与直线平行的直线交圆于两点，求的值.6. 【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】已知函数.（1）解不等式；（2）若函数，若对于任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.7. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】设函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)当的取值范围．8. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】在直角坐标系中，直线l 的参数方程为(t 为参数，)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为.(1)当时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；(2)已知点，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定的取值范围．9. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若，分别是曲线和曲线上的动点，求的最小值.10. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】已知.（1）当时，解不等式. （2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.11. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.12. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】已知，（1）解不等式；（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.13. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线()2:cos cos C ρρθθ=⋅+⋅.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C 的参数方程为122{32x ty =-=（t 为参数）. （1）求12,C C 的直角坐标方程；（2）C 与12,C C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为,,,H I J K ，求HI JK -的值. 14. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】已知,a b 为任意实数.（1）求证： ()42242264a a b b ab a b++≥+；（2）求函数()()()4224332162221f x x a a b bx a b ab=-+--+-+-的最小值.15. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为 (为参数，).（1）当时，若曲线上存在两点关于点成中心对称，求直线的斜率；（2）在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，极坐标方程为的直线与曲线相交于两点,若，求实数的值.16. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】已知函数，.（1）解不等式；（2）设，求证：.17. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点.（1）求圆的直角坐标方程及弦的长；（2）动点在圆上（不与，重合），试求的面积的最大值.18. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知函数.（1）求函数的值域；（2）若，试比较，，的大小.19. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.20. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】已知()11f x x =-+， ()(),3{ 123,3f x x F x x x ≤=->.（1）解不等式()23f x x ≤+；（2）若方程()F x a =有三个解，求实数a 的取值范围. 21. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；（2）当时，两曲线相交于，两点，求. 22. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】已知函数.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数的图象，并由图象找出满足不等式的解集；（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.23. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于，两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若点的极坐标为，，求的值.24. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若函数的值域为，求实数的取值范围.25. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】在极坐标系中，已知三点，，.（1）求经过，，三点的圆的极坐标方程；（2）以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，圆的参数方程为，（是参数），若圆与圆外切，求实数的值.26. 【河北省衡水中学2019届高三上学期六调考试】已知函数.（1）当时，求的解集；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版) 专题13 选讲部分一、解答题1. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程是4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为sin 26πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭. （1）求曲线12,C C 的直角坐标方程；（2）设曲线12,C C 交于点,A B ，曲线2C 与x 轴交于点E ，求线段AB 的中点到点E 的距离. 【答案】（1）2240x y y +-=，40x -=；（2）1 【解析】（1）曲线1C 的极坐标方程可以化为：24sin 0ρρθ-=，所以曲线1C 的直角坐标方程为：2240x y y +-=，曲线2C的极坐标方程可以化为：1sin cos 22ρθρθ+⋅=，所以曲线2C的直角坐标方程为：40x +-=；（2）因为点E 的坐标为()4,0，2C 的倾斜角为56π, 所以2C的参数方程为：412x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数），将2C 的参数方程代入曲线1C的直角坐标方程得到：2242024t t ⎛⎫-+-= ⎪ ⎪⎝⎭，整理得：()22160t t -+=，判别式0∆>，中点对应的参数为1，所以线段AB 中点到E点距离为1.2. 【河北省衡水市2019届高三下学期第三次质量检测】已知函数()f x x a a =--+，()2124g x x x =-++．（Ⅰ）解不等式()6g x <；（Ⅱ）若对任意的1x R ∈，存在2x R ∈，使得()()12g x f x -=，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）93,44⎛⎫- ⎪⎝⎭（Ⅱ）[)5,-+∞ 【解析】试题分析:(1)零点分区间去掉绝对值，分段求解；（2）原题等价于()f x 的值域包含()g x -的值域，()(],f x a ∈-∞，()(],5g x -∈-∞-，所以5a ≥-.详解：（Ⅰ）由21246x x -++<，①当2x ≤-时，21246x x -+--<，得94x >-，即924x -<≤-； ②当122x -<<时，21246x x -+--<，得56<，即122x -<<；③当12x ≥时，21246x x -++<，得34x <，即1324x ≤<；综上：不等式()6g x <的解集是93,44⎛⎫- ⎪⎝⎭；（Ⅱ）对任意的1x R ∈，存在2x R ∈，使得()()12g x f x -=成立，即()f x 的值域包含()g x -的值域，由()f x x a a =--+知，()(],f x a ∈-∞，由()()()212421245g x x x x x =-++≥--+=，且等号能成立，所以()(],5g x -∈-∞-，所以5a ≥-，即a 的取值范围为[)5,-+∞.3. 【河北省衡水市2019届高三四月大联考】在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：22(1)1x y -+=，直线1l ：y =，直线2l 过点(2,1)P -，倾斜角为23π，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. （1）写出直线1l 与圆C 的交点极坐标及直线2l 的参数方程；（2）设直线2l 与圆C 交于E ，F 两点，求PE PF ⋅的值.【答案】（1）122{1x ty =-=-+（2）1【解析】（1）联立方程()2211x y y ⎧-+=⎪⎨=⎪⎩ 220x x ⇒-=，解得10x =，212x =.所以当10x =时，10y =；当212x =时，2y = 所以交点的直角坐标分别为()0,0，12⎛ ⎝⎭，则对应的极坐标为()0,0，1,3π⎛⎫ ⎪⎝⎭. 由题得，直线2l的参数方程为12212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）.（2）将2l的参数方程12212x t y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩代入圆的方程()2211x y -+=中，得22121112t ⎛⎫⎛⎫--+-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，化简整理，得(2110t t -++=，且0∆>，设点E ，F 分别对应参数1t ，2t ，所以121t t =，又由1t ，2t 的几何意义可知，121PE PF t t ⋅==. 4．【河北省衡水市2019届高三四月大联考】已知函数()21()f x x x a a R =+--∈.（1）当2a =时，作出函数()f x 的图象，并写出不等式()6f x ≥的解集；（2）当[1,1]x ∈-时，若不等式()2f x ≤恒成立，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2）(,1][3,)-∞-+∞ 【解析】（1）当2a =时，()4,12123,124,2x x f x x x x x x x --<-⎧⎪=+--=-≤≤⎨⎪+>⎩，作出的函数图象如下：从图中可知，不等式()6f x ≥的解集为][(),102,-∞-⋃+∞. （2）因为[]1,1x ∈-，所以()2122f x x x a x x a =+--=+--，所以()2f x ≤转化为222x x a +--≤，即得2x a x -≥对[]1,1x ∈-恒成立，即2x a x -≥或2x a x -≤-，也就是a x ≤-或3a x ≥对[]1,1x ∈-恒成立，所以1a ≤-或3a ≥，故实数a 的取值范围为][(),13,-∞-⋃+∞.5.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】在平面直角坐标系中，已知圆的参数方程为（为参数，）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程是.（1）若直线与圆有公共点，试求实数的取值范围；（2）当时，过点且与直线平行的直线交圆于两点，求的值.【答案】(1) (2)【解析】（1）由，得，即，故直线的直角坐标方程为.由得所以圆的普通方程为.若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，即，故实数的取值范围为.（2）因为直线的倾斜角为，且过点，所以直线的参数方程为（为参数），①圆的方程为，②联立①②，得，设两点对应的参数分别为，则，，故.6.【河北省衡水中学2018届高三毕业班模拟演练一】已知函数.（1）解不等式；（2）若函数，若对于任意的，都存在，使得成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】（1）依题意，得由，得或或解得.即不等式的解集为.（2）由（1）知，，，则，解得，即实数的取值范围为.7. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】设函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)当的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）当a=1时，，可得的解集为（2）当时，,因为，所以.所以，所以.所以a的取值范围是[-3，-1]8. 【河北衡水金卷2019届高三12月第三次联合质量测评数学（理)试题】在直角坐标系中，直线l的参数方程为(t为参数，)，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.(1)当时，写出直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；(2)已知点，设直线l与曲线C交于A，B两点，试确定的取值范围．【答案】（1），；（2）【解析】（1）当时，直线的参数方程为.消去参数t得.由曲线C的极坐标方程为.得，将，及代入得，即（2）由直线的参数方程为（为参数，）可知直线是过点P（-1，1）且倾斜角为的直线，又由（1）知曲线C为椭圆，所以易知点P（-1，1）在椭圆C内，将代入中并整理得，设A，B两点对应的参数分别为，则所以因为，所以，所以所以的取值范围为.9. 【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】在极坐标系中，曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴正半轴（两坐标系取相同的单位长度）的直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数）.（1）求曲线的直角坐标方程与曲线的普通方程；（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线，若，分别是曲线和曲线上的动点，求的最小值.【答案】(1) (2)【解析】（1）∵的极坐标方程是，∴，整理得，∴的直角坐标方程为.曲线：，∴，故的普通方程为.（2）将曲线经过伸缩变换后得到曲线的方程为，则曲线的参数方程为（为参数）.设，则点到曲线的距离为.当时，有最小值，所以的最小值为.10.【河北省衡水中学2018届高三第十次模拟考试数学（理)试题】已知.（1）当时，解不等式.（2）若不等式对恒成立，求实数的取值范围.【答案】(1) (2)【解析】（1）当时，等式，即，等价于或或，解得或，所以原不等式的解集为；（2）设，则，则在上是减函数，在上是增函数，∴当时，取最小值且最小值为，∴，解得，∴实数的取值范围为.11. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.【答案】(1)见解析;(2).【解析】（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）设直线的参数方程为（为参数）又直线与曲线：存在两个交点，因此.联立直线与曲线：可得则联立直线与曲线：可得，则即12. 【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试数学（理)试题】已知，（1）解不等式；（2）若方程有三个解，求实数的取值范围.【答案】(1);(2).【解析】（1）不等式，即为.当时，即化为，得，此时不等式的解集为，当时，即化为，解得，此时不等式的解集为.综上，不等式的解集为.（2）即.作出函数的图象如图所示，当直线与函数的图象有三个公共点时，方程有三个解，所以. 所以实数的取值范围是.13. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】在极坐标系中，曲线1:2cos C ρθ=，曲线()2:cos cos C ρρθθ=⋅+⋅.以极点为坐标原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系xOy ，曲线C的参数方程为122{x ty =-=（t 为参数）. （1）求12,C C 的直角坐标方程；（2）C 与12,C C 交于不同四点，这四点在C 上的排列顺次为,,,H I J K ，求HI JK -的值. 【答案】（1）()2211x y -+=,24y x =（2）113【解析】解：（Ⅰ）因为cos x ρθ=， sin y ρθ=，由2cos ρθ=，得22cos ρρθ=，所以曲线1C 的直角坐标方程为()2211x y -+=；由()cos 4cos ρρθθ=⋅+⋅，得22sin 4cos ρθρθ=，所以曲线2C 的直角坐标方程为24y x =.（Ⅱ）如图，四点在直线l 上的排列顺序从下到上依次为H ， I ， J ， K ，它们对应的参数分别为1t ，2t ， 3t ， 4t .连接1C J ，则1C IJ ∆为正三角形，所以1IJ =.HI JK HI IK IJ -=-+= ()141411t t t t -+=-++，将122{x ty =-=代入24y x =，得： 23824t t =-, 即238320t t +-=，故1483t t +=-，所以113HI JK -=.14. 【河北省衡水中学2018年高考押题(三)】已知,a b 为任意实数.（1）求证： ()42242264a a b b ab a b++≥+；（2）求函数()()()4224332162221f x x a a b bx a b ab=-+--+-+-的最小值.【答案】（1）见解析（2）1 【解析】（1）()42242264a a b b ab a b++-+= ()()222222244ab ab a b a b +-++⋅= ()2222a b ab +-()4a b =-，因为()40a b -≥，所以()42242264a a b b ab a b++≥+.（2）()()4224216f x x a a b b=-+-- ()332221x a b ab +-+-= ()4224216x a a b b -+--+()3322221x a b ab -+-≥()33|22221x a b ab ⎡⎤-+--⎣⎦()4224216|x a a b b ⎡⎤-+--=⎣⎦()411a b -+≥.即()max 1f x =.15. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为 (为参数，).（1）当时，若曲线上存在两点关于点成中心对称，求直线的斜率；（2）在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，极坐标方程为的直线与曲线相交于两点,若，求实数的值.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）当时，曲线的参数方程为(为参数)，消去参数得，∴圆心的坐标为．∵曲线上存在两点关于点成中心对称，∴，又，∴直线的斜率．（2）由(为参数，)消去参数得曲线的普通方程为，∴圆心的坐标为，半径为．又直线的极坐标方程可化为，故其直角坐标方程为，又，∴，解得．∴实数的值为．16. 【河北省衡水中学2018届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】已知函数，.（1）解不等式；（2）设，求证：.【答案】（1）；（2）证明见解析.【解析】（1）由题意得原不等式为，等价于或或，解得或或，综上可得．∴原不等式的解集为．（2），当且仅当时等号成立．17. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，直线与圆交于，两点.（1）求圆的直角坐标方程及弦的长；（2）动点在圆上（不与，重合），试求的面积的最大值.【答案】(1) .(2) .【解析】（1）由得，所以，所以圆的直角坐标方程为.将直线的参数方程代入圆，并整理得，解得，.所以直线被圆截得的弦长为.（2）直线的普通方程为.圆的参数方程为（为参数），可设曲线上的动点，则点到直线的距离，当时，取最大值，且的最大值为.所以，即的面积的最大值为.18. 【河北省衡水中学2018届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知函数.（1）求函数的值域；（2）若，试比较，，的大小.【答案】(1) .(2) .【解析】（1）根据函数的单调性可知，当时，.所以函数的值域.（2）因为，所以，所以.又，所以，知，，所以，所以，所以.19. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求的普通方程和的直角坐标方程；（2）若过点的直线与交于，两点，与交于，两点，求的取值范围.【答案】(1)见解析;(2).【解析】（1）曲线的普通方程为，曲线的直角坐标方程为；（2）设直线的参数方程为（为参数）又直线与曲线：存在两个交点，因此.联立直线与曲线：可得则联立直线与曲线：可得，则即20. 【河北省衡水中学2018届高三十六模】已知()11f x x =-+， ()(),3{ 123,3f x x F x x x ≤=->.（1）解不等式()23f x x ≤+；（2）若方程()F x a =有三个解，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭；（2）()1,3. 【解析】（1）不等式()23f x x ≤+即为1123x x -+≤+. 当1x ≥时，即化为1123x x -+≤+，得3x ≥-，此时不等式的解集为1x ≥.当1x <时，即化为()1123x x --+≤+，解得13x ≥-，此时不等式的解集为113x -≤<. 综上，不等式()23f x x ≤+的解集为1,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭.（2）()11,3{123,3x x F x x x -+≤=->，即()2,1{,13 123,3x x F x x x x x -<=≤≤->. 作出函数()F x 的图像如图所示，当直线y a =与函数()y F x =的图像有三个公共点时，方程()F x a =有三个解，所以13a <<. 所以实数a 的取值范围是()1,3.21. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】在直角坐标系中，曲线：（为参数，），在以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线：.（1）试将曲线与化为直角坐标系中的普通方程，并指出两曲线有公共点时的取值范围；（2）当时，两曲线相交于，两点，求.【答案】（1）的取值范围为；（2）.【解析】（1）曲线：消去参数可得普通方程为.曲线：，两边同乘.可得普通方程为.把代入曲线的普通方程得：，而对有，即，所以故当两曲线有公共点时，的取值范围为.（2）当时，曲线：，两曲线交点，所在直线方程为.曲线的圆心到直线的距离为，所以.22. 【河北省衡水中学2018年高考押题(二)】已知函数.（1）在下面给出的直角坐标系中作出函数的图象，并由图象找出满足不等式的解集；（2）若函数的最小值记为，设，且有，试证明：.【答案】（1）解集为；（2）见解析见解析.【解析】（1）因为所以作出图象如图所示，并从图可知满足不等式的解集为.（2）证明：由图可知函数的最小值为，即.所以，从而，从而.当且仅当时，等号成立，即，时，有最小值，所以得证.23. 【河北省衡水中学2019届高三第一次摸底考试】在平面直角坐标系中，以为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为；直线的参数方程为（为参数），直线与曲线分别交于，两点.（1）写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；（2）若点的极坐标为，，求的值.【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为即，直线的普通方程为；（2）.【解析】（1）由，得，所以曲线的直角坐标方程为，即，直线的普通方程为.(2)将直线的参数方程代入并化简、整理，得.因为直线与曲线交于，两点。

高考数学压轴专题衡水备战高考《函数与导数》真题汇编含解析

新数学《函数与导数》专题解析(1)一、选择题1．已知函数()()1110x x e f x x e++-=<与()()1ln x xg x e x ae =+-的图象上存在关于y 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（）A ．1,1e ⎛⎫-∞+ ⎪⎝⎭B ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,1e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．11,e⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】D 【解析】【分析】先求得()f x 关于y 轴对称的函数()h x ,则()()h x g x =,整理可得()11ln 1e ex x a ++-=在()0,∞+上有解,设()()11ln 1e ex x x ϕ=++-,可转化问题为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,再利用导函数求得()x ϕ的范围,进而求解.【详解】由()f x 关于y 轴对称的函数为()()()1111e e 10ex x x h x f x x -+--+-=-==->, 令()()h x g x =,得()1e 1e ln 1e x x x x a --=+-()0x >,则方程()1e 1e ln 1e x x x x a --=+-在()0,∞+上有解,即方程()11ln 1e ex x a ++-=在()0,∞+上有解, 设()()11ln 1e ex x x ϕ=++-, 即可转化为()y x ϕ=与y a =的图象在()0,∞+上有交点,()()11e 1e 1e 1x x x x x x x ϕ--=-+='++Q ,令()=e 1xm x x --，则()=e 10xm x '->在()0,∞+上恒成立，所以()=e 1xm x x --在()0,∞+上为增函数，∴()()00m x m >=，即()0x ϕ'>Q 在()0,∞+上恒成立， ∴()x ϕ在()0,∞+上为增函数,当0x >时,则()()101x eϕϕ>=-, 所以11ea >-,【点睛】本题考查利用导函数判断函数单调性,考查利用导函数处理函数的零点问题,考查转化思想.2．已知3215()632f x x ax ax b =-++的两个极值点分别为()1212,x x x x ≠，且2132x x =，则函数12()()f x f x -=（） A ．1- B ．16C ．1D ．与b 有关【答案】B 【解析】【分析】求出函数的导数，利用韦达定理得到12,,a x x 满足的方程组，解方程组可以得到12,,a x x ，从而可求()()12f x f x -．【详解】()2'56f x x ax a =-+，故125x x a +=，126x x a =，且225240a a ->，又2132x x =，所以122,3x a x a ==，故266a a =，解得0a =（舎）或者1a =．此时122,3x x ==， ()3215632f x x x x b =-++，故()()()()()1215182749623326f x f x -=⨯---+-= 故选B ．【点睛】如果()f x 在0x 处及附近可导且0x 的左右两侧导数的符号发生变化，则0x x =必为函数的极值点且()00f x =．极大值点、极小值点的判断方法如下：（1）在0x 的左侧附近，有()'0f x >，在0x 的右侧附近，有()'0f x <，则0x x =为函数的极大值点；（2）在0x 的左侧附近，有()'0f x <，在0x 的右侧附近()'0f x >，有，则0x x =为函数的极小值点．3．已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若21log 5a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()2log 4.1b f =，()0.82c f =，则,,a b c 的大小关系为( )A ．a b c <><<，据此：0.822log 5log 4.12>>，结合函数的单调性有：()()()0.822log 5log 4.12f f f >>，即,a b c c b a >><<. 本题选择C 选项.【考点】指数、对数、函数的单调性【名师点睛】比较大小是高考常见题，指数式、对数式的比较大小要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性进行比较大小，特别是灵活利用函数的奇偶性和单调性数形结合不仅能比较大小，还可以解不等式.4．已知()ln xf x x=，则下列结论中错误的是（） A ．()f x 在()0,e 上单调递增 B ．()()24f f = C ．当01a b <<<时，b a a b < D ．20192020log 20202019>【答案】D 【解析】【分析】根据21ln (),(0,)xf x x x-'=∈+∞，可得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，进而判断得出结论. 【详解】21ln (),(0,)xf x x x-'=∈+∞Q ∴对于选项A ，可得()f x 在()0,e 上单调递增，在(),e +∞上单调递减，故A 正确；对于选项B ，()2ln 4ln 2ln 24(2)442f f ====，故B 正确；对于选项C ，由选项A 知()f x 在()0,1上也是单调递增的，01a b <<<Q ，ln ln a ba b∴<，可得b a a b <，故选项C 正确；对于选项D ，由选项A 知()f x 在(),e +∞上单调递减，(2019)(2020)f f ∴>，即ln 2019ln 202022019020>⇒20192020ln 2020log 2020ln 02019219>=，故选项D 不正确. 故选：D 【点睛】本题考查导数与函数单调性、极值与最值的应用及方程与不等式的解法，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.5．已知21()cos 4f x x x =+，'()f x 为()f x 的导函数，则'()f x 的图像是（） A ． B ．C ．D ．【答案】A 【解析】Q ()21f cos 4x x x =+，()()1'sin ,'2f x x x y f x ∴=-=为奇函数，∴图象关于原点对称，排除,B D ，又()'10f <Q ，可排除C ，故选A.【方法点晴】本题通过对多个图象的选择主要考查考查函数的图象与性质，属于中档题. 这类题型也是近年高考常见的命题方向，该题型的特点是综合性较强较强、考查知识点较多，但是并不是无路可循.解答这类题型可以从多方面入手，根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、特殊点以及0,0,,x x x x +-→→→+∞→-∞时函数图象的变化趋势，利用排除法，将不合题意的选项一一排除.6．已知定义在R 上的可导函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立，且当()0,x ∈+∞时，都有()'f x x >成立，若()()112f a f a a -≥+-，则实数a 的取值范围为（） A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．(],2-∞D ．[)2,+∞【答案】A 【解析】【分析】构造函数21()()2g x f x x =-，可判断函数()g x 为奇函数且在R 上是增函数，由函数的性质可得a 的不等式，解不等式即可得答案. 【详解】令21()()2g x f x x =-，则()()g x f x x ''=-， ()0,x ∈+∞Q 时，都有()'f x x >成立，即有()0g x '>，∴在()0,∞+，()g x 单调递增,Q 定义在R 上的函数()f x ，对于任意实数x ，都有()()2f x f x x -+=成立,所以(0)0f =，2222111()()()()()222g x f x x x f x x x f x g x ⎡⎤∴-=--=--=-=-⎣⎦， ()g x ∴是定义在R 上的奇函数，又(0)(0)0g f == ∴在R 上()g x 单调递增.又()()112f a f a a -≥+-Q ()()()2211111222g a a g a a a ∴-+-≥++-，即()()1112g a g a a a a -≥⇒-≥⇒≤. 因此实数a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.故选：A 【点睛】本题考查构造函数、奇函数的判断，及导数与单调性的应用，且已知条件构造出21()()2g x f x x =-是解决本题的关键，考查了理解辨析能力与运算求解能力，属于中档题.7．曲线21x y e -=+在点(0,2)处的切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积( ) A ．1 B ．13C ．23D ．12【答案】B 【解析】【分析】利用导数的几何意义，求得曲线在点(0,2)处的切线方程，再求得三线的交点坐标，利用三角形的面积公式，即可求解，得到答案．【详解】由题意，曲线21xy e -=+，则22x y e -'=-，所以200|2|2x x x y e -=='=-=-，所以曲线21xy e-=+在点(0,2)处的切线方程为22(0)y x -=--，即220x y +-=，令0y =，解得1x =，令y x =，解得23x y ==，所以切线与直线y 0=和y x =所围成图形的面积为1211233⨯⨯=，故选B ．【点睛】本题主要考查了利用导数研究曲线在某点处的切线方程，以及两直线的位置关系的应用，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．8．已知全集U =R ，函数()ln 1y x =-的定义域为M ，集合{}2|0?N x x x =-<，则下列结论正确的是 A ．M N N =I B ．()U M N =∅I ð C ．M N U =U D ．()U M N ⊆ð【答案】A 【解析】【分析】求函数定义域得集合M ，N 后，再判断．【详解】由题意{|1}M x x =<，{|01}N x x =<<，∴M N N =I ．故选A ．【点睛】本题考查集合的运算，解题关键是确定集合中的元素．确定集合的元素时要注意代表元形式，集合是函数的定义域，还是函数的值域，是不等式的解集还是曲线上的点集，都由代表元决定．9．函数()1ln f x x x ⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象大致是（） A ． B ．C ．D ．【答案】B 【解析】【分析】通过函数在2x =处函数有意义，在2x =-处函数无意义，可排除A 、D ；通过判断当1x >时，函数的单调性可排除C ，即可得结果.【详解】当2x =时，110x x-=>，函数有意义，可排除A ；当2x =-时，1302x x -=-<，函数无意义，可排除D ；又∵当1x >时，函数1y x x=-单调递增，结合对数函数的单调性可得函数()1ln f x x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增，可排除C ；故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的图象，考查同学们对函数基础知识的把握程度以及数形结合与分类讨论的思维能力，属于中档题.10．函数log (3)1a y x =-+（0a >且1a ≠）的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny +-=上，其中·0m n >，则41m n+的最小值为（） A ．16 B ．24C ．50D ．25【答案】D 【解析】【分析】由题A （4，1），点A 在直线上得4m+n ＝1，用1的变换构造出可以用基本不等式求最值的形式求最值．【详解】令x ﹣3＝1，解得x ＝4，y ＝1，则函数y ＝log a （x ﹣3）+1（a ＞0且a≠1）的图象恒过定点A （4，1）， ∴4m+n ＝1， ∴41m n +=（41m n +）（4m+n ）＝16+14n 4m m n++=17+8＝25，当且仅当m ＝n 15=时取等号，故则41m n +的最小值为25，故选D ．【点睛】本题考查均值不等式，在应用过程中，学生常忽视“等号成立条件”，特别是对“一正、二定、三相等”这一原则应有很好的掌握．11．在平面直角坐标系中，若P ，Q 满足条件：（1）P ,Q 都在函数f （x ）的图象上；（2）P ,Q 两点关于直线y=x 对称，则称点对{P ,Q}是函数f(x)的一对“可交换点对”.（{P ,Q}与{Q,P}看作同一“可交换点”.试问函数2232(0)(){log (0)x x x f x x x ++≤=>的“可交换点对有（）A ．0对B ．1对C ．2对D ．3对【答案】C 【解析】试题分析：设p （x ，y ）是满足条件的“可交换点”,则对应的关于直线y=x 的对称点Q 是（y ，x ），所以232x x ++=2x ,由于函数y=232x x ++和y=2x 的图象由两个交点，因此满足条件的“可交换点对”有两个，故选C. 考点：函数的性质12．已知函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩，若不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是（） A ．(],1-∞ B ．[)1,+∞C ．[)0,1D ．(]1,0-【答案】A 【解析】【分析】先求出函数()f x 在(1,0)处的切线方程，在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象，利用数形结合进行求解即可.【详解】当1x ≥时，()''1ln ,()(1)1f x x f x f x=⇒=⇒=，所以函数()f x 在(1,0)处的切线方程为：1y x =-，令()g x x k =-，它与横轴的交点坐标为(,0)k . 在同一直角坐标系内画出函数()0,1ln ,1x f x x x <⎧=⎨≥⎩和()g x x k =-的图象如下图的所示：利用数形结合思想可知：不等式()≤-f x x k 对任意的x ∈R 恒成立，则实数k 的取值范围是1k ≤. 故选：A 【点睛】本题考查了利用数形结合思想解决不等式恒成立问题，考查了导数的应用，属于中档题.13．三个数0.377,0.3,ln 0.3a b c ===大小的顺序是（） A ．a c b >> B ．a b c >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】B 【解析】试题分析：根据指数函数和对数函数的单调性知：0.30771a =>=，即1a >；7000.30.31b <=<=，即01b <<；ln0.3ln10c =<=，即0c <；所以a b c >>，故正确答案为选项B ．考点：指数函数和对数函数的单调性；间接比较法．14．[]0x a,b ∃∈使得()f x m ≥成立，等价于[]()0x a,b ,[f x ]m max ∈≥15．[]()x a,b ,f x m ∀∈≥恒成立，等价于[]()x a,b ,[f x ]m min ∈≥16．已知函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b =，则22a b a b+-的最小值等于（）．A 5B ．3C ．23D ．22【答案】D【解析】试题分析：因为函数()lg f x x =，0a b >>，()()f a f b = 所以lg lg a b =- 所以1a b=，即1ab =，0a b >>22a ba b+-22()2()22()a b ab a b a b a b a b a b -+-+===-+---≥=当且仅当2a b a b-=-，即a b -=时等号成立所以22a b a b +-的最下值为故答案选D考点：基本不等式．17．已知函数()f x 的导函数为()f x '，在()0,∞+上满足()()xf x f x '>，则下列一定成立的是（）A ．()()2019202020202019f f >B ．()()20192020f f >C ．()()2019202020202019f f <D ．()()20192020f f <【答案】A 【解析】【分析】构造函数()()f xg x x=，利用导数判断函数()y g x =在()0,∞+上的单调性，可得出()2019g 和()2020g 的大小关系，由此可得出结论.【详解】令()()()0f x g x x x =>，则()()()2xf x f x g x x'-'=. 由已知得，当0x >时，()0g x '>.故函数()y g x =在()0,∞+上是增函数，所以()()20202019g g >，即()()2020201920202019f f >，所以()()2019202020202019f f >. 故选：A. 【点睛】本题考查利用构造函数法得出不等式的大小关系，根据导数不等式的结构构造新函数是解答的关键，考查推理能力，属于中等题.18．设123log 2,ln 2,5a b c -===则A ．a b c <==<=可比较大小. 【详解】 ∵2031a ln ln =＞，＞，∴ln 2ln 2ln 3a b =<=，即a b <．又3311log 2log 3,2254a c =>==<=．∴a c >．综上可知：c a b << 故选C.【点睛】本题主要考查了指数与对数的运算性质及对数函数的单调性比较大小，属于中档题.19．函数2ln x xy x =的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据函数为偶函数排除B ,当0x >时,利用导数得()f x 在1(0,)e 上递减,在1(,)e+∞上递增,根据单调性分析,A C 不正确,故只能选D .【详解】令2ln ||()||x x f x x =,则2()ln ||()()||x x f x f x x ---==-, 所以函数()f x 为偶函数,其图像关于y 轴对称,故B 不正确,当0x >时,2ln ()ln x x f x x x x==,()1ln f x x '=+, 由()0f x '>,得1x e >,由()0f x '<,得10x e<<, 所以()f x 在1(0,)e上递减,在1(,)e +∞上递增,结合图像分析,,A C 不正确.故选:D【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性判断函数的图象,考查了利用导数研究函数的单调性,利用单调性判断函数的图象,属于中档题.20．已知函数()2ln 2xx f x e x =+-的极值点为1x ，函数()2x g x e x =+-的零点为2x ，函数()ln 2x h x x=的最大值为3x ，则（） A ．123x x x >>B ．213x x x >>C ．312x x x >>D ．321x x x >> 【答案】A【解析】【分析】根据()f x '在()0,∞+上单调递增，且11024f f ⎛⎫⎛⎫''⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，可知导函数零点在区间11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭内，即()f x 的极值点111,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；根据()g x 单调递增且11024g g ⎛⎫⎛⎫⋅< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭可知211,42x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；通过判断()()12g x g x >，结合()g x 单调性可得12x x >；利用导数可求得()max 1124h x e =<，即314x <，从而可得三者的大小关系. 【详解】 ()1x f x e x x'=+-Q 在()0,∞+上单调递增且1213022f e ⎛⎫'=-> ⎪⎝⎭，14115044f e ⎛⎫'=-< ⎪⎝⎭ 111,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭且11110x e x x +-= Q 函数()2x g x e x =+-在()0,∞+上单调递增且1213022g e ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，14112044g e ⎛⎫=+-< ⎪⎝⎭ 211,42x ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭ 又()()11111211112220x g x e x x x g x x x ⎛⎫=+-=-+-=->= ⎪⎝⎭ 且()g x 单调递增 12x x ∴>由()21ln 2x h x x-'=可得：()()max 12h x h e e ==，即31124x e =< 123x x x ∴>>本题正确选项：A【点睛】本题考查函数极值点、零点、最值的判断和求解问题，涉及到零点存在定理的应用，易错点是判断12,x x 大小关系时，未结合()g x 单调性判断出()()12g x g x >，造成求解困难.。

专题03 导数(2)(第02期)-2021年高三数学(理)最新模拟调研试题精选分项汇编(解析版)

一．基础题组1.【河北衡水中学2017届上学期一调，8】定义在R 上的函数()f x 满足()()1f x f x '+>，()04f =，则不等式()e e 3x x f x >+（其中e 为自然对数的底数）的解集为（）A ．()0,+∞B ．()(),03,-∞+∞C ．()(),00,-∞+∞D ．()3,+∞【答案】A2.【河北衡水中学2017届上学期一调，9】若实数a ，b ，c ，d 满足()()2223ln 20b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为（） A 2 B ．2C ．22D ．8【答案】D 【解析】考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程及其应用．3.【河北衡水中学2017届上学期一调，11】设函数()32133f x x x x =+-，若方程()()210f x t f x ++=有12个不同的根，则实数t 的取值范围为（） A ．10,23⎛⎫-- ⎪⎝⎭B ．(),2-∞-C ．34,215⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．()1,2-【答案】C考点：根的存在性及根的个数判断．4.【湖北2017届百所重点校高三联考，3】已知函数()2111x f x x ++=+，则曲线()y f x =在点()()1,1f 处切线的斜率为（）A ．1B ．-1C ．2D ．-2 【答案】A考点：导数的几何意义及运用.5.【四川巴中市2017届“零诊”，5】函数x x x f sin )(=，)('x f 为)(x f 的导函数，则)('x f 的图象是（）【答案】D. 【解析】试题分析：'()sin cos f x x x x =+，∴'()f x 是奇函数，故排除B ，取x π=，'()0f ππ=-<，排除A ，取2x π=，'()102f π=>，排除C ，故选D.考点：导数的运用.6.【河北衡水中学2017届上学期一调，14】函数e x y mx =-在区间(]0,3上有两个零点，则m 的取值范围是_________．【答案】3e e,3⎛⎤ ⎥⎝⎦考点：利用导数研究函数的单调性及极值（最值）．7.【河北衡水中学2017届上学期一调，15】已知函数()3223f x x mx nx m =+++在1x =-时有极值0，则m n +=_________．【答案】11 【解析】试题分析：因为()3223f x x mx nx m =+++，所以()236f x x mx n '=++，所以(1)0(1)0f f -=⎧⎨'-=⎩2130360m n m m n ⎧-+-+=⇒⎨-+=⎩，解得29m n =⎧⎨=⎩或13m n =⎧⎨=⎩，当1,3m n ==时，函数()32331f x x x x =+++，则()223633(1)0f x x x x '=++=+≥，函数在R 单调递增，函数无极值，所以m n +=11．考点：利用导数研究函数的极值．二．能力题组1.【河北唐山市2017届上学期高三摸底考，12】设函数()()3213853f x x x a x a =-+---，若存在唯一的正整数0x ，使得()00f x <，则a 的取值范围是（） A ．11,156⎛⎤⎥⎝⎦ B ．11,154⎛⎤ ⎥⎝⎦ C ．11,64⎛⎤ ⎥⎝⎦ D ．15,418⎛⎤⎥⎝⎦【答案】A .考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数研究函数的极值；3、导数的综合应用.2.【河北衡水中学2017届上学期一调，12】设曲线()e x f x x =--（e 为自然对数的底数）上任意一点处的切线为1l ，总存在曲线()32cos g x ax x =+上某点处的切线2l ，使得12l l ⊥，则实数a 的取值范围为（） A ．[]1,2- B ．()3,+∞ C ．21,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ D ．12,33⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【答案】D考点：利用导数研究曲线在某点的切线方程．3.【河南百校联考2017届高三9月质检，12】已知函数()2ln 2,03,02xx x x f x x x x ->⎧⎪=⎨+≤⎪⎩的图象上有且仅有四个不同的点关于直线1y =-的对称点在1y kx =-的图象上，则实数k 的取值范围是（）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭ B ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭ C ．1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ D ．1,22⎛⎫⎪⎝⎭【答案】A考点：函数零点(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.4.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，12】设函数()f x 是定义在(0,)+∞上的可导函数，其导函数为'()f x ，且有'22()()f x xf x x +>，则不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f --->的解集为（）A ．(2012,)+∞B ．(0,2012)C ．(0,2016)D ．(2016,)+∞ 【答案】D 【解析】试题分析：由'22()()f x xf x x +>且0x >，得2'32()()0xf x x f x x +>>．令2()()g x x f x =(0)x >，则2'()2()()0g x xf x x f x '=+>，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增．因为(2)4(2)g f =，(2014)g x -＝2(2014)(2014)x f x --，所以不等式2(2014)(2014)4(2)0x f x f --->等价于(2014)(2)g x g ->，所以20142x ->，解得2016x >，故选D ．考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的解法．5.【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，11】已知函数()21,g x a x x e e e ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭为自然对数的底数与()2ln h x x =的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（） A ．211,2e ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦ B ．21,2e ⎡⎤-⎣⎦ C ．2212,2e e ⎡⎤+-⎢⎥⎣⎦D ．)22,e ⎡-+∞⎣ 【答案】B6.【湖北2017届百所重点校高三联考，12】若存在两个正实数,x y ，使得等式()()324ln ln 0x a y ex y x +--=成立，其中e 为自然对数的底数，则实数a 的取值范围是（）A ．(),0-∞B ．30,2e ⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ D ．()3,0,2e ⎡⎫-∞+∞⎪⎢⎣⎭【答案】D 【解析】试题分析：由()()324ln ln 0x a y ex y x +--=可得0ln )42(3=-+x y e x y a ,令t xy=,则原方程可化为0ln )2(23=-+t e t a ,若0=a ,等式不成立,故0≠a ,所以t e t aln )2(23-=-,令t e t t h ln )2()(-=,则t e t t h 21ln )(/-+=,故021)(2//>+=t e t t h ,即tet t h 21ln )(/-+=是增函数,所以当e t >时, 02221ln )()(//>->-+=>t et e t e h t h ,函数t e t t h ln )2()(-=是单调递增函数,当et <<0时,02221ln )()(//<-<-+=<tet e t e h t h , 函数t e t t h ln )2()(-=是单调递减函数,所以当e t =时,函数t e t t h ln )2()(-=取最小值e e e e e h -=-=ln )2()(,即e a -≥-23,也即e a≤23.当0<a 时,成立;当0>a 时,则e a 23≥,综上所求实数a 的取值范围是),23[)0,(+∞-∞e ,应选D.考点：函数方程思想综合运用.【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值问题的重要工具,也高考和各级各类考试的重要内容和考点.解答本题时充分利用题设中提供的有关信息,先运用换元法将问题0ln )42(3=-+xye x y a 进行化归和转化为t e t aln )2(23-=-,再构造函数t e t t h ln )2()(-=运用求导法则求导,判断函数t e t t h ln )2()(-=的单调性,利用最小值建立不等式e a -≥-23,最后通过解不等式e a-≥-23求出a 的范围是),23[)0,(+∞-∞e.7.【四川巴中市2017届“零诊”，12】已知函数||)(xxe x f =，方程)(01)()(2R t x tf x f ∈=+-有四个实数根，则t 的取值范围为（）A ．),1(2+∞+e eB ．)1,(2e e +--∞C ．2),1(2-+-e eD ．)1,2(2ee + 【答案】A.考点：函数与方程.8.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，16】若直线y kx b =+是曲线ln 1y x =+的切线，也是曲线ln(2)y x =+的切线，则b =_________. 【答案】ln 29.【河北邯郸2017届9月联考，16】函数()ln f x x =在点00(,())P x f x 处的切线l 与函数()x g x e =的图象也相切，则满足条件的切点P 的个数有_______个. 【答案】2.考点：1、导数的几何意义；2、函数的图像及其性质.10.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，12】定义在R 上的可导函数()f x ，已知()f x y e =′的图象如图所示，则()y f x =的增区间是 ▲ ．【答案】（﹣∞，2）【解析】考点：函数单调区间11.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，13】若实数,,,a b c d 满足24ln 220b a a c d +-+-+=，则()()22a cb d -+-的最小值为 ▲ ．【答案】5考点：利用导数求最值【方法点睛】利用导数解答函数最值的一般步骤：第一步：利用f′(x)＞0或f′(x)＜0求单调区间；第二步：解f′(x)＝0得两个根x 1、x 2；第三步：比较两根同区间端点的大小；第四步：求极值；第五步：比较极值同端点值的大小．12.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，14】已知函数()()31,ln 4f x x mxg x x =++=-.{}min ,a b 表示,a b 中的最小值，若函数()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，则实数m 的取值范围是 ▲ ．【答案】()53,44--xy 121 O【解析】试题分析：()23f x x m '=+，因为()10g =，所以要使()()(){}()min ,0h x f x g x x =>恰有三个零点，须满足()10,()0,03m f f m -><<，解得5153,43244m m m ->->⇒-<<-13.【四川巴中市2017届“零诊”，16】设函数222)2(ln )()(a x a x x f -+-=，其中0>x ，R a ∈，若存在0x 使得54)(0≤x f 成立，则实数a 的值是 . 【答案】15. 【解析】试题分析：由题意得，问题等价于min 4()5f x ≤，而()f x 的集合意义为函数2()ln (0)g x x x =>上任意一考点：1.导数的综合运用；2.数形结合的数学思想；3.转化的数学思想.三．拔高题组1.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，17】(本小题满分14分)已知函数()1ln ,f x a x a R x=+∈． (1) 求函数()f x 的单调递减区间；(2) 当1,12x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()f x 的最小值是0，求实数a 的值．【答案】(1) 0a ≤时，()f x 的单调递减区间为()0,+∞，0a >时，()f x 的单调递减区间为10,a ⎛⎫⎪⎝⎭．(2) 2ln 2a =考点：利用导数求函数单调区间，利用导数研究函数最值【思路点睛】导数与函数的单调性(1)函数单调性的判定方法：设函数y＝f(x)在某个区间内可导，如果f′(x)＞0，则y＝f(x)在该区间为增函数；如果f′(x)＜0，则y＝f(x)在该区间为减函数.2.【河南百校联考2017届高三9月质检，22】（本小题满分12分）设函数()ln af x x x x=+-．（1）当2a =-时，求()f x 的极值；（2）当1a =时，证明：()10x f x x e-+>在()0,+∞上恒成立．【答案】（1）()f x 在2x =处取得极大值()()2ln 23,f f x =-无极小值（2）详见解析考点：利用导数求函数极值，利用导数证明不等式【方法点睛】函数极值问题的常见类型及解题策略(1)知图判断函数极值的情况.先找导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号. (2)已知函数求极值.求f ′(x )―→求方程f ′(x )＝0的根―→列表检验f ′(x )在f ′(x )＝0的根的附近两侧的符号―→下结论.(3)已知极值求参数.若函数f (x )在点(x 0，y 0)处取得极值，则f ′(x 0)＝0，且在该点左、右两侧的导数值符号相反.3.【河北邯郸2017届9月联考，21】（本小题满分12分）设函数22()(2)ln f x x ax x bx =-+，,a b R ∈.（Ⅰ）当1a =，1b =-时，设2()(1)ln g x x x x =-+，求证：对任意的1x >，2()()xg x f x x x e e ->++-；（Ⅱ）当2b =时，若对任意[1,)x ∈+∞，不等式22()3f x x a >+恒成立.求实数a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）(,1)-∞. 【解析】试题分析：（Ⅰ）首先将所证问题“对任意的1x >，2()()xg x f x x x e e ->++-”转化为“2()()x g x f x x x e e ->++-”，进而转化为“ln 0x e x e +->”，然后令()ln xh x e x e =+-，并求出其导函数并判断其函数的单调性，进而得出所证的结果；（Ⅱ）首先将问题“对任意[1,)x ∈+∞，不等式22()3f x x a >+恒成立”转化为“22(24)ln 0x ax x x a -+->”，然后构造函数22()(24)ln p x x ax x x a =-+-，[1,)x ∈+∞，并求出导函数并进行分类讨论：当1a ≤时和当1a >时，并分别求出其导函数并判断其单调性，最后结合已知条件即可得出所求的结果．试题解析：（Ⅰ）当1a =，1b =-时，22()(2)ln f x x x x x =--，所以2()()xg x f x x x e e ->++-等价于ln 0x e x e +->. 令()ln xh x e x e =+-，则1'()0x h x e x=+>，可知函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)h x h >，即ln x e x e +>，亦即ln 0x e x e +->，所以2()()xg x f x x x e e ->++-.所以()q a 在(1,)+∞上单调递减.又(1)0q =，所以()(1)0q a q <=与条件矛盾.综上可知，实数a 的取值范围为(,1)-∞.考点：1.利用导函数判断函数的单调性与极值；2.构造函数.【方法点睛】本题考查导致与函数单调性的关系、不等式的证明与恒成立问题，以及逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力、分类讨论的思想与转化思想.利用导数处理不等式问题.在解答题中主要体现为不等式的证明与不等式的恒成立问题.常规的解决方法是首先等价转化不等式，然后构造新函数，利用导数研究新函数的单调性和最值来解决，当然要注意分类讨论思想的应用.4.【广西南宁二中、柳州高中、玉林高中2017届高三8月联考，21】（本小题满分12分）已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-（a R ∈）. （1）当12a ≤时，讨论函数()f x 的单调性；（2）设24()23g x x bx =-+，当13a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在2[1,3]x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 的取值范围.【答案】（1）当0a ≤时，增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)；当102a <<时，增区间为1(1,)aa-，减区间为(0,1)和1(,)a a -+∞；当12a =时，减区间为(0,)+∞；（2）2b ≥．（2）当13a =时，由（1）知()f x 在(0,2)，min 2(1)3f f ==-，依题意有2min 2()3g x f ≤=-， ∵2[1,3]x ∈⇒2222b x x ≥+在2[1,3]x ∈上有解，令2()h x x x=+，知()h x 在2)单调递减，在2,3)单调递增， ∴min ()(2)22h x h ==∴min 2()222b h x b ≥=⇒，∴b 的取值范围为2b ≥或用min min ()()f x g x ≥，而min 2(1)3f f ==-，对min ()g x 分三种情况： ①min 172()(1)233b g x g b ≤⎧⎪⎨==-≤-⎪⎩⇒无解；②2min 1342()()33b g x g b b <<⎧⎪⎨==-≤-⎪⎩ ⇒23b ≤<；③min 3312()(3)633b g x g b ≤⎧⎪⎨==-≤-⎪⎩⇒3b ≤.综上：∴b 的取值范围为2b ≥考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式恒成立问题；3、函数的最值．5.【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，20】（本小题满分12分）已知函数()()()()212ln f x a x x a R =---∈．（1）若曲线 ()()g x f x x =+上点()()1,g 1处的切线过点()0,2，求函数()g x 的单调减区间；（2）若函数()y f x =在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，求a 的最小值．【答案】（1）()0,2；（2）24ln 2-．（2）因为()0f x <在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上恒成立不可能，故要使函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，只要对任意的()10,,02x f x ⎛⎫∈> ⎪⎝⎭恒成立，即对12ln 0,,221xx a x ⎛⎫∈>- ⎪-⎝⎭恒成立．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分令()2ln 12,0,12x I x x x ⎛⎫=-∈ ⎪-⎝⎭，则()()()()222212ln 2ln 211x x x x x I x x x --+-'==--．．．．．．．．．．．．．．．．．10分再令()212ln 2,0,2m x x x x ⎛⎫=+-∈ ⎪⎝⎭，则()()2221220x m x x x x--'=-+=<，故()m x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数，于是()122ln 202m x m ⎛⎫>=->⎪⎝⎭，从而，()0I x '>，于是()I x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上为增函数，所以()124ln 22I x I ⎛⎫<=- ⎪⎝⎭，故要使2ln 21xa x >--恒成立，只要[)24ln 2,a ∈-+∞，综上，若函数()f x 在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上无零点，则a 的最小值为24ln 2-．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、函数的零点；2、导数的几何意义；3、利用导数研究函数的单调性．【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，()f x a ≥恒成立，只需()min f x a ≥即可；()f x a ≤恒成立，只需max ()f x a ≤即可；（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解．6.【河北省衡水中学2017届高三上学期第三次调，21】（本小题满分12分）已知()(),,,1p x m q x a ==+，二次函数()1f x p q =+，关于x 的不等式()()2211f x m x m >-+-的解集为()(),1,m m -∞++∞，其中m 为非零常数，设()()1f xg x x =-．（1）求a 的值；（2）若存在一条与y 轴垂直的直线和函数()()ln x g x x x Γ=-+的图象相切，且切点的横坐标0x 满足0013x x -+>，求实数m 的取值范围；（3）当实数k 取何值时，函数()()()ln 1x g x k x ϕ=--存在极值？并求出相应的极值点．【答案】（1）2a =-；（2）12m >；（3）若0m >时，k ∈R ，函数()x ϕ极小值点为2x ；若0m <时，当2k m >-时，函数()x ϕ极小值点为2x ，极大值点为1x （其中2124k k mx +-+=，2224k k m x +++=）（2）由（1）得()()()2211111f x x x m mg x x x x x -++===-+---，∴()()()()21ln ln 1,11mmx g x x x x x x x x Γ=-+=-+Γ=---，∵存在一条与y 轴垂直的直线和()x Γ的图象相切，且切点的横坐标为0x ，∵0013x x -+>，∴02x >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．5分令()()122h x x x x =+->，则()()()221111x x h x x x +-'=-=，当2x >时，()()()2211110x x h x x x +-'=-=>，∴()12h x x x =+-在()2,+∞上为增函数，从而()()00011+222h x x h x =->=，∴12m >．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．7分（3）()()()()()ln 11ln 11mx g x k x x k x x ϕ=--=-+---的定义域为()1,+∞，∴()()()()222211111x k x k m m k x x x x ϕ-++-+'=--=---方程()2210x k x k m -++-+= （*）的判别式()()222414k k m k m ∆=+--+=+．下面只需考虑0∆>的情况，由0∆>，得2k m <--或2k m >-，当2k m <--221224241,1k k m k k m x x +-++++=<=<，故()1,x ∈+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()1,+∞上单调递增，∴函数()x ϕ没有极值．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分当2k m >-221224241,1k k m k k m x x +-++++=>=>，则()11,x x ∈时，()()120;,x x x x ϕ'>∈时，()()20;,x x x ϕ'<∈+∞时，()0x ϕ'>，∴函数()x ϕ在()11,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，此时函数()x ϕ存在极大值和极小值，极小值点2x ，有极大值点1x ．综上所述，若0m >时，k 可取任意实数，此时函数()x ϕ有极小值且极小值点为2x ；若0m <时，当2k m >-()x ϕ有极大值和极小值，此时极小值点为2x ，极大值点为1x （其中22122424k k m k k m x x +-++++==）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分考点：1、不等式的解法；2、方程的根；3、导数的几何意义；4、函数极值与导数的关系．7.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，18】(本小题满分16分)在互联网时代，网校培训已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量()h x （单位：千套）与销售价格x （单位：元/套）满足的关系式()()()h x f x g x =+（37x <<，m 为常数），其中()f x与()3x -成反比，()g x 与()7x -的平方成正比，已知销售价格为5元/套时，每日可售出套题21千套，销售价格为3.5元/套时，每日可售出套题69千套.(1) 求()h x 的表达式；(2) 假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题3元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格x 的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大．（保留1位小数）【答案】(1) ()()210473h x x x =+-- （37x <<）(2) 13 4.33x =≈(2) 由（1）可知，套题每日的销售量()()210473h x x x =+--，设每日销售套题所获得的利润为()F x 则()()()()()2210347104733F x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--⎢⎥-⎣⎦32468364578x x x =-+- ………………………………………10分考点：利用导数求函数最值8.【江苏南通市如东县、徐州丰县2017届10月联考，20】(本小题满分16分)给出定义在()+∞,0上的两个函数2()ln f x x a x =-,()g x x a x =-.（1）若()f x 在1=x 处取最值．求a 的值；（2）若函数2()()()h x f x g x =+在区间(]0,1上单调递减，求实数a 的取值范围；（3）试确定函数()()()6m x f x g x =--的零点个数，并说明理由．【答案】(1) 2a = (2) a ≥2（3）两个零点．【解析】试题分析：(1) 开区间的最值在极值点取得，因此()f x 在1=x 处取极值，即(1)0f =′，解得2a = ，需验证(2) ()h x 在区间(]0,1上单调递减，转化为()0h x ′≤在区间(]0,1上恒成立，再利用变量分离转化为对应函数最值：241x a x +≥的最大值，根据分式函数求最值方法求得()241x F x x =+最大值2（3）先利用导数研究函数()x m 单调性：当()1,0∈x 时，递减，当()+∞∈,1x 时，递增；再考虑区间端点函数值的符号：()10m <， 4)0m e ->（， 4()0m e >，结合零点存在定理可得零点个数试题解析：(1) ()2a f x x x=-′ 由已知，(1)0f =′即: 20a -=, 解得：2a = 经检验 2a = 满足题意所以 2a = ………………………………………4分(2) ()2222()()()ln 2ln h x f x g x x a x x ax x a x x =+=-+-=-+（3）函数()()()6m x f x g x =--有两个零点．因为()22ln 26m x x x x x =--+所以())()2122222221x x x x x x x x m x x x x x --+=--+==′ ………12分当()1,0∈x 时，()0<'x m ，当()+∞∈,1x 时，()0>'x m所以()()min 140m x m ==-<， ……………………………………14分3241-e)(1+e+2e )(=0e m e -<（），8424812(21))0e e e m e e -++-=>（ 4442()1)2(7)0m e e e e =-+->（故由零点存在定理可知：函数()x m 在4(,1)e - 存在一个零点，函数()x m 在4(1,)e 存在一个零点，所以函数()()()6m x f x g x =--有两个零点． ……………………………………16分考点：函数极值与最值，利用导数研究函数零点，利用导数研究函数单调性【思路点睛】对于方程解的个数(或函数零点个数)问题，可利用函数的值域或最值，结合函数的单调性、草图确定其中参数范围．从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．9.【湖南永州市2017届高三第一次模拟，21】（本小题满分12分）已知函数()x f x e ax a =+-，()2x g x xe =．（Ⅰ）讨论函数()y f x =的单调性；（Ⅱ）若不等式()()f x g x >有唯一正整数解，求实数a 的取值范围．【答案】（Ⅰ）当0a ≥时，()f x 在R 上单调递增，当0a <时，()f x 在()()ln ,a -+∞上单调递增，在()(),ln a -∞-上单调递减；（Ⅱ）32532e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，.（Ⅱ）由()()f x g x >得：()()121x a x e x ->-当1x =时，不等式显然不成立，又x 为正整数，所以1x >，()211x e x a x ->-，………………………………………………………………………………7分记()()211x e x x x ϕ-=-，则()()()223'1x e x x x x ϕ-=-，∴()x ϕ在区间312⎛⎫ ⎪⎝⎭，上单调递减，在区间32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭，上单调递增，…………………………10分且32342e a ϕ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，所以()()23a aϕϕ⎧<⎪⎨≥⎪⎩，解得3 25 32e e a<≤，综上所述，a的取值范围为32532ee⎛⎫⎪⎝⎭，．…………………………………………………………12分考点：导数的应用．【方法点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：（一）函数单调性的讨论：运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出)('xf，有)('xf的正负，得出函数)(xf的单调区间；（二）函数的最值（极值）的求法：由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数)(xf极值或最值.10.【四川巴中市2017届“零诊”，21】(本小题满分12分)已知函数23)(bxaxxf+=在1=x处取得极值61.（1）求ba，的值；（2）若对任意的),0[+∞∈x，都有)1ln()('+≤xkxf成立(其中)('xf是函数)(xf的导函数)，求实数k的最小值；（3）证明：11ln(1)2nini=<++∑(*∈Nn).【答案】（1）31-=a，21=b；（2）1k=；（3）详见解析.考点：1.导数的综合运用；2.等价转化的数学思想.【思路点睛】1.可导函数在某点处取得极值的充要条件；2.用求导法、分类讨论思想探寻恒成立有关的逆向求参问题；3.用特殊赋值法构造“零件”不等式，然后通过叠加、放缩证明难度较大的数列不等式. 11.【河南濮阳市一高2017届高三上学期第二次检测，20】（本小题满分12分）已知函数()sin 2cos f x x a x x =++在点6x π=处取得极值. （1）求实数a 的值；（2）当7[,]66x ππ∈-时，求函数()f x 的最大值.【答案】（1）4a =；（2）536π+.（2）()sin 24cos f x x x x =++，22'()2cos 24sin 12(12sin )4sin 14sin 4sin 3(2sin 3)(2sin 1)f x x x x x x x x x =-+=--+=--+=-+-∵7[,]66x ππ∈-，∴5'()0(,)66f x x ππ<⇒∈，57'()0[,)(,]6666f x x ππππ>⇒∈-， ∴()f x 在[,]66ππ-，57[,]66ππ上都是增函数，在5[,]66ππ上是减函数，又353()23666f πππ=+=+，737733()23666f πππ=-=， 7()()43066f f πππ-=>， ∴7()()66f f ππ>，()f x 在7[,]66x ππ∈-536π+. 考点：1、利用导数研究函数的极值；2、利用导数研究函数的单调性及最值. 12.【江西九江地区2017届高三七校联考，20】（本小题满分12分）某店销售进价为2元/件的产品A ，假设该店产品A 每日的销售量y （单位：千件）与销售价格x （单位：元/件）满足的关系式2104(6)2y x x =+--，其中26x <<. （1）若产品A 销售价格为4元/件，求该店每日销售产品A 所获得的利润；（2）试确定产品A 销售价格x 的值，使该店每日销售产品A 所获得的利润最大.（保留1位小数点）【答案】（1）42（2）3.3（2）该店每日销售产品A 所获得的利润223210()(2)[4(6)]104(6)(2)456240278(26)2f x x x x x x x x x x =-+-=+--=-+-<<- 从而2'()121122404(310)(6)(26)f x x x x x x =-+=--<<.………………8分令'()0f x =，得103x =，且在10(2,)3上，'()0f x >，函数()f x 单调递增；在10(,6)3上，'()0f x <，函数()f x 单调递减，………………10分所以103x =是函数()f x 在(2,6)内的极大值点，也是最大值点，………………11分所以当10 3.33x =≈时，函数()f x 取得最大值. 故当销售价格为3.3元/件时，利润最大.………………12分考点：利用导数求函数最值13.【湖北2017届百所重点校高三联考，21】（本小题满分12分）已知函数()()1ln 0a x f x a x a x a a ⎛⎫=+--> ⎪⎝⎭．（1）求函数()f x 的单调区间和极值；（2）证明：当1,22a ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，函数()f x 没有零点（提示：ln 20.69≈）．【答案】(1)单调增区间为()2,a +∞，单调减区间为()20,a ，极小值为()()2222111ln f a a a a a ⎡⎤=+--⎣⎦；(2)证明见解析.（2）由（1）可知：当2x a =时，()f x 取得极小值，亦即最小值()()2222111ln f a a a a a ⎡⎤=+--⎣⎦，又因为122a ≤≤，所以2144a ≤≤，设()()111ln 44g x x x x x ⎛⎫=+--≤≤ ⎪⎝⎭，则()1ln g x x x '=-，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 7分因为()g x '在1,44⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，且()()10,20g g ''><，所以()g x '有唯一的零点()1,2m ∈，使得()g x 在1,4m ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，在(],4m 上单调递减，．．．．．9分又由于()156ln 20,456ln 2044g g -⎛⎫=>=-> ⎪⎝⎭，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分所以()0g x >恒成立，从而()()2222111ln 0f a a a a a ⎡⎤=+-->⎣⎦恒成立，则()0f x >恒成立，考点：导数的知识和函数的零点等有关知识的综合运用．14.【湖北2017届百所重点校高三联考，22】（本小题满分12分）已知函数()()ln ,,0x ae b x f x a b R a x+=∈≠且．（1）若曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线与y 轴垂直，且()f x 有极大值，求实数a 的取值范围；（2）若1a b ==，试判断()f x 在()0,+∞上的单调性，并加以证明．（提示：2334169,94e e ><）．【答案】(1)(),0-∞；(2)证明见解析.（2）当1a b ==时，()ln x e x f x x+=，则()()211ln x e x x f x x -+-'=，设()()11ln x g x e x x =-+-，则()21x g x x e x ⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，考点：导数的知识及函数的性质等有关知识的综合运用．【易错点晴】导数是研究函数的单调性和极值最值问题的重要而有效的工具.本题就是以含参数b a ,的函数解析式为背景,考查的是导数知识在研究函数单调性和极值等方面的综合运用和分析问题解决问题的能力.本题的第一问求解时借助题设中有极大值这一信息,对参数a 进行分类分析极大值取得的条件,从而求出参数a 的取值范围是(),0-∞；第二问中的推证过程中先构造函数()()11ln x g x e x x =-+-,然后再借助导数,运用导数的知识推证出()0g x >,进而得到()0f x '>,从而证得()f x 在()0,+∞上递增,使得问题简捷巧妙获解.。

高考数学真题分项汇编专题04 函数解答题(理科)(原卷版)

十年（2014－2023）年高考真题分项汇编—函数解答题目录题型一：函数概念及其性质 ........................................... 1 题型二：函数的零点问题 ............................................. 2 题型三：函数的应用 ................................................ 3

题型一：函数概念及其性质 1．(2020江苏高考·第19题)已知关于

的函数(),()yfxygx=与()(,)hxkxbkb=+∈R在区间D上恒有

()()()fxhxgx≥≥．

(1)若()()222 2()fxxxgxxxD=+=−+=∞−∞+，，，，求

()hx

的表达式；

(2)若2 1 ln ,()()()(0) xxgkxhkxkDfxxx=−+==−=+∞，，，，求k的取值范围；

(3)若()422242() 2() (48 () 4 3 0)2 2fxxxgxxhxttxttt=−=−=−−+<，，≤，

[] , 2,2Dmn=⊆−，

求证：7nm−≤．

2．(2014高考数学上海理科·第20题)设常数0a≥，函数

()

−．

(1)若4a=，求函数()yfx=的反函数()1yfx−=；

(2)根据a的不同取值，讨论函数()yfx=的奇偶性，并说明理由．

3．(2014高考数学广东理科·第21题)设函数222

1()

(2)2(2)3fx

xxkxxk=

+++++−，其中2k<−，

(1)求函数()fx的定义域D；(用区间表示)

(2)讨论()fx在D上的单调性；

(3)若6k<−，求D上满足条件()(1)fxf>的x的集合(用区间表示)．

4．(2015高考数学浙江理科·第18题)(本题满分15分)已知函数2()(,)fxxaxbab=++∈R

，记(,)Mab

衡水中学2020届高考数学(理)二轮专题训练：专题2 充分条件与必要条件专项训练(解析版)

专题2 充分条件与必要条件专项训练1.已知2:31,:60p x q x x -<+->，则p 是q 的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】考虑利用集合求解.分别解不等式得到对应集合。

31131x x -<⇒-<-<，解得.24x <<，即{}|24P x x =<<；2603x x x +->⇒<-或2x >，即{}|32Q x x x =<->或。

所以PQ ，进而p 是q 的充分不必要条件2.已知,a b R ∈，那么1122log log a b >是33a b<的（）A. 充要条件B. 必要不充分条件C. 充分不必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】本题若觉得不方便从条件中直接找到联系，可先从一个条件入手推出其等价条件，再进行判断，比如“33a b<”等价于a b <，所以只需判断1122log log a b >与a b <的关系即可。

根据12log y x =的单调性可得.如果1122log log a b >，则a b <，但是若a b <，在,a b 大于零的前提下，才有1122log log a b >，而题目中仅说明,a b R ∈。

所以不能推出。

综上可判断1122log log a b >是33a b <的充分不必要条件 3.已知3:,:11p x k q x ≥<+，如果p 是q 的充分不必要条件，则k 的取值范围是_____ 【答案】2k >【解析】设{}{}3|,|1|121P x x k Q x x x x x ⎧⎫=≥=<=<->⎨⎬+⎩⎭或，因为p 是q 的充分不必要条件，所以PQ ，利用数轴可而判断出2k >4.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是（）A. 1a b >+B. 1a b >-C. 22a b > D. 33a b > 【答案】A【解析】求a b >的充分不必要条件，则这个条件能够推出a b >，且不能被a b >推出。

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高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版) 专题02 函数一、选择题1. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】已知定义在R 上的函数()2x f x x =⋅，3(log 5)a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>2. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】函数2cos 1()22x xx f x --=-的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．3. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．4. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知()22,026ln ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则()y f x =与y x =的交点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．45. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】若函数()1y f x =+为偶函数，且1x ≥时，()2xf x x e =-则不等式()()3f x f ≥的解集为( ) A ．[]3,-+∞ B ．[]1,3-C ．(][),13,-∞-+∞D ．(][),22,-∞-+∞6. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>7. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】设定义在R 上的奇函数()y f x =满足：对任意的x ∈R ，总有(4)f x -(4)f x =+，且当(0,4)x ∈时，2()cos 2x f x e x π-=+-．则函数()f x 在区间[)8,16-上的零点个数是（） A ．6B ．9C ．12D ．138. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】“互倒函数”的定义如下：对于定义域内每一个x ，都有()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭成立，若现在已知函数()f x 是定义域在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的“互倒函数”，且当[]1,2x ∈时，()2112f x x =+成立.若函数()()21y f f x a =--（0a ≥）都恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．120,42⎧⎫⎪⎪⎡⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭B ．10,4⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,42⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭9. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（） A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>10. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x b f x m m m -=->≠且的图象所经过的定点，则b 的值等于（） A ．12±B ．±C ．2D ．2±11. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数()22211315x x f x x x x ，，⎧+-<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，若关于x 的方程()102f x kx -=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．(220625⎛⎤⋃-- ⎥⎝⎦，，B ．(110325⎛⎤⋃-- ⎥⎝⎦，，C ．(](013⋃--，， D ．(](026⋃--，，12. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】设()f x 为奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则116f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．2-B ．12C ．4-D ．1413. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】若2,,aa a ab ac a π-===，则,,a b c 的大小关系为（） A ．c b a >>B ．b c a >> C ．b a c >> D ．a b c >>14. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（） A ． B ．C ．D ．15. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】对于任意的实数[1,e]x ∈，总存在三个不同的实数[1,5]y ∈-，使得21ln 0y y xe ax x ---=成立，则实数a 的取值范围是( )A ．24251(,]e e e- B ．4253[,)e eC ．425(0,]eD ．24253[,)e e e- 16. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】已知1a >，设函数()2x f x a x =+-的零点为m ，()log 2a g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的取值范围是（） A ．(2,)+∞B ．7,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．(4,)+∞D ．9,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭17. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】已知函数()31sin f x x x x =+++，若()()2122f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是( )A ．3[1,]2-B ．3[,1]2- C ．1[1]2-，D ．1[,1]2-18. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】设函数()tan2xf x =，若()3log 2a f =，()5log 2b f =，()0.22c f =，则（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<19. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】当x 为实数时，trunc()x 表示不超过x 的最大整数，如trunc(3.1)3=.已知函数()trunc()f x x =（其中x ∈R ），函数()g x 满足()()6g x g x =-，()()11g x g x +=-，且[0,3]x ∈时()22g x x x =-，则方程()()f x g x =的实根的个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．720. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】设函数()13log f x x =，若()3log 2a f =，()5log 2b f =，()0.22c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．b c a <<C ．c a b <<D ．b a c <<21. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（） A ．()()0.63(3)log 132f f f -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C ．()()0.632log 13(3)ff f <-<- D ．()()0.632(3)log 13ff f <-<-22. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】函数()2sin 2xf x x x x=+-的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．23. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是( ) A ．ln y x =B ．2y x =-C ．x y e =D ．cos y x =24. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（文)】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（）A ．(sin 2)sin f x x =B ．2(sin 2)f x x x =+C ．2(1)1f x x +=+D ．2(2)1f x x x +=+25. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】函数11()212x f x =+-的大致图象为（） A ． B ．C ．D ．26. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】设函数1()44,()ln xf x e xg x x x=+-=-，若()()120f x g x ==，则（） A ．()()120g x f x <恒成立（其中 2.71828e =是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（）A ．2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， B ．1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．1,2e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．24e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，28. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】已知()f x 是定义在[)0,+∞的函数，满足()()3f x f x +=-，当[)0,3x ∈时，()2xf x =，则()2log 192f =（）A ．12B ．13C ．2D ．329. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】已知函数(2),1()1,11f x x f x x x ->⎧=⎨--≤≤⎩，关于x 的方程()log (1)a f x x =+恰有5个解，则a 的取值范围为（） A ．1175a ≤< B ．1175a << C ．1164a << D ．1164a ≤< 30. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第八次调研（文)】已知函数()()()()()22213122x x f x a a e a x e x =---+++有4个不同的零点，则实数a 的取值范围为( )A ．1,2e ⎛⎫⎪⎝⎭B ．11,22e +⎛⎫⎪⎝⎭C ．()1,11,2e ⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,11,22e +⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭31. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】函数()||()af x x a R x=-∈的图象不可能是( )A ．B ．C ．D ．32. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第九次调研（理)】设01a b <<<，b x a =，a yb =，log b z a =，则（） A ．x y z < ⎪⎝⎭的图象的相邻两个交点的距离为2π，若()f x 在()(),0m m m ->上是增函数，则m 的取值范围是（） A ．(0,]4πB ．(0,]2πC ．3(0,]4π D ．3(0,]2π34. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】函数()()33ln ||x xf x x -=+的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．35. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】已知函数()g x 是R 上的奇函数．当0x <时，()()ln 1g x x =--，且()()2,0,0x x f x g x x ⎧-≤⎪=⎨>⎪⎩，若()()22f x f x ->，则实数x 的取值范围为（）A ．()1,2-B ．()1,2C ．()2,1--D ．()2,1-36. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三下学期第七次调研（文)】已知函数()2f x x =，函数()g x 与()1ln(2)p x x =+--的图象关于点(1,0)-对称，若12()()f x g x =，则12x x +的最小值为（）A ．2B ．ln 212- C ．ln 2 D ．1ln 2237. 【河北省衡水中学2019届高三下学期2月月考（理)】函数21()x xe f x xe+=的图象大致为（） A ． B ．C ．D ．38. 【河北省衡水中学2019届高三下学期四调（理)】函数()·ln xf x e x =的大致图象为（） A ． B ．C ．D ．39. 【河北省衡水中学2019届高三下学期四调（理)】已知函数()()2x x,x 0f x ln x 1,x 0-≤⎧⎪=+>⎨⎪⎩，若存在0x R ∈使得()00f x ax 1≤-，则实数a 的取值范围是( ) A ．()0,∞+B ．[]3,0-C ．][(),33,∞∞--⋃+ D ．(],3(0∞--⋃，)∞+40. 【河北省衡水中学2020届高三下学期3月月考（理)】已知函数1()22xf x b ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的两个零点分别为12,x x ()12x x <，则下列结论正确的是（） A ．121x -<<-， 122x x +>- B ．121x -<<-，121x x +>- C ．12x ≤-， 122x x +>- D ．12x <-，121x x +>-二、填空题1. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知:p 指数函数()(1)x f x t =-在(),-∞+∞上为减函数；:q x ∃∈R ，221x t x +≤+.则使“p 且q ”为真命题的实数t 的取值范围为______．2. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知:p 指数函数()(1)x f x t =-在(),-∞+∞上为减函数；:q x ∃∈R ，221x t x +≤+.则使“p 且q ”为真命题的实数t 的取值范围为______．3. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知2()f x x =，1()()2xg x m =-，若对1[1,3]x ∀∈-，2[0,2]x ∃∈，12()()f x g x ≥，则实数m 的取值范围是 .4. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知方程2()()10f x kf x -+=恰有四个不同实数根，当函数2()x f x x e =时，实数k 的取值范围是_______.5. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】()f x 是定义域为R 的偶函数，对x R ∀∈，都有()()4f x f x +=-，当02x ≤≤时，()221,01,log 1,12x x f x x x ⎧-≤<=⎨+≤≤⎩，则()9212f f ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭________. 6. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（理)】已知函数()2log ,042,0xx x f x x ->⎧=⎨-≤⎩，则18f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭______. 三、解答题1. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本()C x 万元，当年产量小于7万件时，21()23C x x x =+（万元）；当年产量不小于7万件时，3()6ln 17e C x x x x=++-（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润()P x （万年）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取320e =）.2. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】某同学大学毕业后，决定利用所学专业进行自主创业，经过市场调查，生产一小型电子产品需投入固定成本2万元，每生产x 万件，需另投入流动成本()C x 万元，当年产量小于7万件时，21()23C x x x =+（万元）；当年产量不小于7万件时，3()6ln 17e C x x x x=++-（万元）.已知每件产品售价为6元，假若该同学生产的商品当年能全部售完.（1）写出年利润()P x （万年）关于年产量x （万件）的函数解析式；（注：年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）当年产量约为多少万件时，该同学的这一产品所获年利润最大？最大年利润是多少？（取320e =）.高三数学百所名校好题分项解析汇编之衡水中学专版(2020版) 专题02 函数一、选择题1. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】已知定义在R 上的函数()2x f x x =⋅，3(log 5)a f =，31(log )2b f =-，(ln 3)c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．c a b >>【答案】D【解析】当0x >时，'()22()2ln 220xx x x f x x x f x x =⋅=⋅⇒=+⋅⋅>，函数()f x 在0x >时，是增函数.因为()22()xx f x x x f x --=-⋅=-⋅=-，所以函数()f x 是奇函数，所以有33311(log )(log )(log 2)22b f f f =-=-=，因为33log 5lo ln31g 20>>>>，函数()f x 在0x >时，是增函数，所以c a b >>，故本题选D.2. 【2020届河北省衡水中学高三年级上学期五调】函数2cos 1()22x xx f x --=-的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】因为2cos 1()22x x x f x --=-，所以()()f x f x -=-，所以()f x 是奇函数，图象关于原点对称，所以B ，D 错误，当03x π<<时，()0f x >，所以C 错误.故选：A.3. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)()f x f x f x f x -=+=，则()y f x =的图像可能是A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．4. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知()22,026ln ,0x x f x x x x ⎧-≤=⎨-+>⎩，则()y f x =与y x =的交点个数为( ) A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】要求()y f x =与y x =的交点，则令()f x x =，设()()g x f x x =-，即求()g x 的零点个数，所以()22,06ln ,0x x x g x x x x ⎧--≤=⎨-+>⎩，当0x ≤时，220x x --=，解得1x =-，2x =（舍），所以0x ≤时，()g x 有且仅有一个零点；当0x >，()6ln g x x x =-+，()110g x x'=+>，所以()g x 在()0,∞+上单调递增，而()150g =-<，()6ln60g =>，由零点存在定理可知()g x 在()0,∞+上有且仅有一个零点；综上所述，()g x 有且仅有两个零点，所以()y f x =与y x =的交点个数为2. 故选：B.5. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】若函数()1y f x =+为偶函数，且1x ≥时，()2xf x x e=-则不等式()()3f x f ≥的解集为( ) A ．[]3,-+∞ B ．[]1,3-C ．(][),13,-∞-+∞D ．(][),22,-∞-+∞【答案】B【解析】因为函数函数()1y f x =+为偶函数，所以可得()f x 关于1x =成轴对称，所以()()31f f =-，当1x ≥时，()2xf x x e =-，所以()2xf x x e '=-设()2xg x x e =-，则()2xg x e '=-，当1x ≥，()0g x '<，()g x 单调递减，()()120g x g e ≤=-<，即()0f x '<，所以()f x 在[)1,x ∈+∞上单调递减，在(],1x ∈-∞上单调递增，所以不等式()()3f x f ≥的解集为[]1,3-. 故选：B.6. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】B【解析】因为327lg 64log 4log 64lg 27b ===，525lg 64log 8log 64lg 25c ===，又因为lg 640>，0lg 25log 27<<，所以b c <.又因为223233log 3log 22-=，因3232>，故32312>，所以23log 302->即. 32a > 又553233log 8log 25-=，因3285<，故328015<<，所以53log 802-<.即32c < 所以a c > 故a c b >>. 故选：B.7. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】设定义在R 上的奇函数()y f x =满足：对任意的x ∈R ，总有(4)f x -(4)f x =+，且当(0,4)x ∈时，2()cos 2x f x e x π-=+-．则函数()f x 在区间[)8,16-上的零点个数是（） A ．6 B ．9C ．12D ．13【答案】C【解析】因为函数为R 上的奇函数，所以必有f （0）=0．由()4f x - ()4f x =+，易得：()f x ()8f x =+，故函数周期为8， ∴f （0）=f （-8）=f （8）=0当()0,4x ∈时，()2cos 2x f x ex π-=+-，有唯一零点2π. 又函数为奇函数且周期为8，易得：f （2π）=f （- 2π）=f(2π-8)=f(2π+8)=f(- 2π+8)=f(- 2π+16)当x =-4时，由()f x ()8f x =+知()f 4- ()48f =-+，又f （x ）为奇函数，可得f(4)=0,从而可知f(4)=f （-4）=f （12）. 所以共有12个零点．故选C ．8. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】“互倒函数”的定义如下：对于定义域内每一个x ，都有()1f x f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭成立，若现在已知函数()f x 是定义域在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的“互倒函数”，且当[]1,2x ∈时，()2112f x x =+成立.若函数()()21y f f x a =--（0a ≥）都恰有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．120,42⎧⎫⎪⎪⎡⎫⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭B ．10,4⎛⎤⎥⎝⎦ C ．10,4⎛⎫⎪⎝⎭D ．10,42⎡⎤⋃⎢⎥⎣⎦⎪⎪⎩⎭【答案】A【解析】函数()f x 是定义域在1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦的“互倒函数”当1,12x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，则(]11,2x∈，因为()1f x f x ⎛⎫=⎪⎝⎭，且当[]1,2x ∈时，()2112f x x =+，所以()2112f x f x x ⎛⎫==+⎪⎝⎭，所以()2211,12211,122x x f x x x ⎧+≤<⎪⎪=⎨⎪+≤≤⎪⎩，函数()()21y f f x a=--都恰有两个不同的零点，等价于()()21ff x a=+有两个不等的实根，作出()f x 的大致图像，如图所示，可得()max 32f x =，()min 34f x =，317218f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，317416f ⎛⎫= ⎪⎝⎭. 设()t f x =，则①当23171,416a ⎡⎫+∈⎪⎢⎣⎭时，()21f t a =+有两个解1t ，2t ，其中11324t ≤<，2312t ≤<， ()1f x t =无解，()2f x t =有两个解，符合题意；②当217116a +=时，由()21f t a =+得134t =，243t =，由图可知此时()f x t =有四个解，不符合题意；③当21731162a <+<时，()21f t a =+有两个解1t ，2t ，其中1314t <<，2413t <<，由图可知此时()f x t =有四个解，不符合题意；④当2312a +=时，由()32f t =，得121t t ==，由图可知()1f x =有两个解，符合题意；⑤当2312a +>时，由()21f t a =+，得t 无解，不符合题意. 综上所述，2312a +=或23171416a ≤+<符合题意，而0a >，所以解得22a =或10,4a ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 即实数a 的取值范围为120,42a ⎧⎫⎪⎪⎡⎫∈⎨⎬⎪⎢⎣⎭⎪⎪⎩⎭.故选：A.9. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】设2log 3a =，3log 4b =，5log 8c =，则（） A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．c b a >>【答案】B【解析】因为327lg 64log 4log 64lg 27b ===，525lg 64log 8log 64lg 25c ===，又因为lg 640>，0lg 25log 27<<，所以b c <. 又因为223233log 3log 22-=，因3232>，故32312>，所以23log 302->即. 32a > 又553233log 8log 25-=，因3285<，故328015<<，所以53log 802-<.即32c < 所以a c > 故a c b >>. 故选：B.10. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知幂函数1()(21)a g x a x +=-的图象过函数1()(0,1)2x b f x m m m -=->≠且的图象所经过的定点，则b 的值等于（） A ．12±B．±C ．2D ．2±【答案】B【解析】由于1()(21)a g x a x +=-为幂函数，则211a -=，解得：1a =，函数1()2x bf x m -=-，(0,m >且1)m ≠，当x b =时，11()22b bf b m -=-= ，故()f x 的图像所经过的定点为1(,)2b ，所以1()2g b =，即212b =，解得：22b =±, 故答案选B11. 【2020届河北省衡水中学高三年级小二调】已知函数()22211315x x f x x x x ，，⎧+-<≤⎪=⎨+-<≤⎪⎩，若关于x 的方程()102f x kx -=有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是（）A ．()22064225⎛⎤⋃-- ⎥⎝⎦，，B ．()11032225⎛⎤⋃-- ⎥⎝⎦，，C ．(]()01322⋃--，， D ．(]()02642⋃--，，【答案】A【解析】画出函数()f x 与12y kx =的图像如下图所示，其中115,5A ⎛⎫⎪⎝⎭,由图可知，当(]10,2OA k k ∈时，两个函数图像有两个不同的交点.11115525OAk ==，故111220,,0,22525k k ⎛⎤⎛⎤∈∈ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦.注意到()1,2OA OD k k k ∈，即11122,1,,222525k k ⎛⎫⎛⎫∈∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭时，两个函数图像只有一个交点，不符合题意，由此排除B,C,D 三个选项.故本小题选A.12. 【2020届河北省衡水中学高三上学期七调】设()f x 为奇函数，当0x >时，2()log f x x =，则116f f ⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（） A ．2- B ．12C ．4-D ．14【答案】A【解析】由题意()()2211log 44log 421616f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A.13. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】若2,,aa a ab ac a π-===，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c b a >>B ． b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>【答案】B【解析】由题意可知：()2210,1a ππ-==∈，即1a <函数()xf x a =单调递减，则1a a a >，即a a a >，由于a a a >，结合函数的单调性可得：aa a a a <，即bc >，由于01a <<，故1a a <，结合函数的单调性可得：1aa a a >，即c a >，综上可得：,,a b c 的大小关系为b c a >> . 本题选择B 选项.14. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】函数2()1cos 1xf x x e ⎛⎫=-⎪+⎝⎭图象的大致形状是（） A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】因为21()1cos cos 11x x x e f x x x e e ⎛⎫-⎛⎫=-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以()()111()cos cos cos 111x x x x x xe e ef x x x x f x e e e --⎛⎫----=-===- ⎪+++⎝⎭，所以函数()f x 是奇函数，可排除A 、C ；又当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，()0f x <，可排除D ；故选：B.15. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】对于任意的实数[1,e]x ∈，总存在三个不同的实数[1,5]y ∈-，使得21ln 0y y xe ax x ---=成立，则实数a 的取值范围是( )A ．24251(,]e e e- B ．4253[,)e eC ．425(0,]e D ．24253[,)e e e- 【答案】B 【解析】0x ≠，∴原式可化为21ln y xy e a x-=+，令()[]ln ,1,x f x a x e x =+∈时()()1ln '0,xf x f x x -=≥递增，故()1,f x a a e⎡⎤∈+⎢⎥⎣⎦，令()[]21,1,5yg y y e y -=∈-，故()()1211'22yy y g y y ey e y y e ---=⋅-=-，故()g y 在()1,0-上递减，在()0,2上递增，在()2,5上递减，而()()()()244251,00,2,5g e g g g e e-====，要使总存在三个不同的实数[]1,5y ∈-，使得21ln 0y y xe ax x ---=成立，即41254,,a a e e e ⎡⎤⎡⎤+⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，故42514a e a e e ⎧≥⎪⎪⎨⎪+<⎪⎩，故4253a e e ≤<，实数a 的取值范围是4253,e e ⎡⎫⎪⎢⎣⎭，故选B. 16. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】已知1a >，设函数()2x f x a x =+-的零点为m ，()log 2a g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的取值范围是（） A ．(2,)+∞ B ．7,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭ C ．(4,)+∞D ．9,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭【答案】A【解析】函数()2x f x a x =+-的零点为函数x y a =与2y x =-图像的交点A 的横坐标，函数()log 2a g x x x =+-的零点为函数log a y x =与2y x =-图像的交点B 的横坐标10,0a m n >∴>>由于指数函数与对数函数互为反函数，其图像关于y x =对称，直线2y x =-与y x =垂直故两直线的交点(1,1)即是A ，B 的中点，2,0,0m n m n ∴+=>>111111()()(2)(22222m n n m m n m n m n +∴+=+=++≥+= 当且仅当：1m n ==时等号成立而m n ≠，故112m n+> 故选：A17. 【2020届河北省衡水中学高三下学期一调】已知函数()31sin f x x x x =+++，若()()2122f a f a -+≤，则实数a 的取值范围是( )A ．3[1,]2- B ．3[,1]2-C ．1[1]2-，D ．1[,1]2-【答案】C【解析】因为()31sin f x x x x =+++设()()31sin g x f x x x x =-=++，定义域x ∈R()()3sin g x x x x g x -=---=-，所以()g x 为奇函数， ()231cos 0g x x x '=++≥，所以()g x 单调递增，不等式()()2122f a f a -+≤()()21121f a f a ⎡⎤--≤--⎣⎦()()212g g a a ≤-- ()()212g g a a ≤--2a 12a -≤-解得112x ≤≤- 故选C 项.18. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】设函数()tan2xf x =，若()3log 2a f =，()5log 2b f =，()0.22c f =，则（）A ．a b c <>>，而0.20221>=，且0.2122π<<，于是得0.2530log 2log 22<<<，所以()()()0.253log 2log 22f f f <<，即b a c <<.故选：D.19. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】当x 为实数时，trunc()x 表示不超过x 的最大整数，如trunc(3.1)3=.已知函数()trunc()f x x =（其中x ∈R ），函数()g x 满足()()6g x g x =-，()()11g x g x +=-，且[0,3]x ∈时()22g x x x =-，则方程()()f x g x =的实根的个数为（）A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】C【解析】由()(6)g x g x =-，(1)(1)g x g x +=-，得函数()g x 的图象关于直线1x =及直线3x =对称，且()(6)(2)g x g x g x =-=-，令2t x =-，则()(4)g t g t =+，即()g x 为周期函数，且最小正周期为4.对于()f x ，当[0,1)x ∈时，()0f x =；当[1,2)x ∈时，()1f x =；当[2,3)x ∈时，()2f x =；当[3,4)x ∈时，()3f x =；当[4,5)x ∈时，()4f x =；…；当[1,0)x ∈-时，()1f x =；当[2,1)x ∈--时，()2f x =；当[3,2)x ∈--时，()3f x =；当[4,3)x ∈--时，()4f x =；当[5,4)x ∈--时，()5f x =；….结合已知条件可在同一直角坐标系内画出函数()f x 及()g x 的图象，由图可知，函数()f x 与函数()g x 共有6个交点，即方程()()g x f x =的根的个数为6. 故选：C.20. 【河北省衡水市2019届高三下学期五月大联考】设函数()13log f x x =，若()3log 2a f =，()5log 2b f =，()0.22c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <>>， 0.20221>=，于是得0.2530log 2log 22<<<，所以()()()0.253log 2log 22f f f >>，即c a b <<. 故选：C.21. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且在(0,)+∞上单调递增，则（） A ．()()0.63(3)log 132f f f -<-<B ．()()0.63(3)2log 13f f f -<<-C ．()()0.632log 13(3)ff f <-<- D ．()()0.632(3)log 13ff f <-<-【答案】C【解析】根据题意，函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则()()33f f -=，()()33log 13log 13f f -=，有0.63322log 13log 273<<<=，又由()f x 在()0,∞+上单调递增，则有()()()0.632log 133f f f <-<-，故选C. 22. 【河北省衡水市2020届高三下学期3月第五次调研数学（理)】函数()2sin 2xf x x x x=+-的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】()1sin112sin110f =+-=-<，排除，B ，C ，当0x =时，sin 0x x ==，则0x →时，sin 1xx→，()101f x →+=，排除A ，故选：D ．23. 【河北省衡水市衡水中学2019-2020学年高三上学期期中（文)】下列函数中，既是偶函数又在()0,+∞上单调递增的是( ) A ．ln y x = B ．2y x =- C ．x y e =D ．cos y x =【答案】A【解析】根据偶函数的定义()()f x f x =-，可得A ，B ，D 是偶函数，B 在()0,+∞上单调递减，D 在()0,+∞上有增有减，A 在()0,+∞上单调递增，故选A ．24. 【河北省衡水中学2019-2020学年度高三年级上学期四调考试（文)】存在函数()f x 满足，对任意x R ∈都有（）A ．(sin 2)sin f x x =B ．2(sin 2)f x x x =+C ．2(1)1f x x +=+ D ．2(2)1f x x x +=+【答案】D 【解析】A ：取，可知，即，再取，可知，即，矛盾，∴A 错误；同理可知B 错误，C ：取，可知，再取，可知，矛盾，∴C 错误，D ：令，∴，符合题意，故选D.25. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】函数11()212x f x =+-的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】要使函数有意义，则210x -≠即0x ≠．函数定义域为{|0}x x ≠，所以定义域关于原点对称．因为1121211111()1212122212212x x x x x xf x --+-=+=+=-+=--+---- 121x=---12()f x =-，所以11()212x f x =+-是奇函数，排除B ，D ；又111(1)212f =+-302=>排除A . 故选：C ．26. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】设函数1()44,()ln xf x e xg x x x=+-=-，若()()120f x g x ==，则（） A ．()()120g x f x <，且()10f x =由零点存在定理，可知101x <<．由1()ln g x x x=-，易知函数()y g x =为增函数因为(1)0g <，1(2)ln 202g =->．且()20g x = ∴由零点存在定理，可知21<x <2．()2f x ∴()1(1)0,(1)0f g x g >><<，因此()()120g x f x <<，故选：B.27. 【河北省衡水中学2019-2020学年高三上学期六调（文)】已知对任意21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦等式2ax e x >恒成立（其中 2.71828e =是自然对数的底数），则实数a 的取值范围是（）A ．2e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， B ．1e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭， C ．1,2e ⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．24e ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭，【答案】A【解析】由2ax e x >，两边取对数则2ln l 2ln n ax e x ax x ⇒>>，因为定义域为()0,∞+，故2ln xa x>，令2ln ()xg x x =，则222122ln 22ln 2(1ln )'()=x xx x x g x x x x ⋅⋅---==，令'()0g x =则有=x e ，所以在区间1e e ⎛⎫ ⎪⎝⎭，上'()0g x >，()g x 单调递增；在区间()2e e ，上)'(0g x <，()g x 单调递减。