量子力学第二章波函数
量子力学2
在 t 时刻 r 点，单位体积内找到粒子的几率是： ω(r,t)=dW(r,t)/dτ=C |Φ(r,t)|2 称为几率密度。
在体积V内，t 时刻找到粒子的几率为：
W(t) = ∫V dW = ∫Vω( r, t ) dτ= C∫V |Φ(r,t)|2 dτ
6
（2 ）
平方可积
由于粒子在空间总要出现（不考虑粒子产生和湮灭情 况），所以在全空间找到粒子的几率总合应为1，即：
本质在于波的叠加性，即可相加性，两个相加波干涉的结
果产生衍射。因此，同光学中波的叠加原理一样，量子力 学中也存在波叠加原理。因为量子力学中的波，即波函数
决定体系的状态，称波函数为状态波函数，所以量子力学
的波叠加原理称为态叠加原理。
10
一般情况下，如果Ψ1和Ψ2 是体系的可能状态，那末它们 的线性叠加 Ψ = C1Ψ1 + C2Ψ2 也是该体系的一个可能状态.
几率密度是
dW (r , t ) r , t d
w(r, t ) r, t
r , t d 1
满足上式的波函数称为归一化波函数，该式称为归一化条件。把Φ 换成Ψ的步骤称为归一化。常数 C 称为归一化常数。
8
由于粒子在全空间出现的几率等于1，所以粒子在空间各点出 现的几率只取决于波函数在空间各点强度的相对比例，而不取 决于强度的绝对大小。因而，将波函数乘上一个常数后，所描 写的粒子状态不变。
（ 4）
将（3）、（4）两式代入（2）式中，有
•
i ( * * ) 2
令 则
J i ( * * ) 2
（ 5）
（ 6） （ 7）
w J 0 t
量子力学习题及答案
(7)代入(6)
csin2kk22a?dcos2k2a??kccos2k2a?
k21
kdsin2k2a
1
利用(4)、(5)，得
k1k2kasin2k2a?acos2k2a??acos2k2a?2kdsin2k2a
1
a[(
k1k2k?2k)sin2k2a?2cos2k2a]?0
1?a?0
?
2
2?
??4
??0?e?4(b?x)对于区域Ⅰ，u(x)??，粒子不可能到达此区域，故?1(x)?0
而. ????2? (u0?e)
2
0?
2
?2?①
??2? (u1?e)
3
???
2
?3?0 ②
??2?e4
???
2
?
4
?0
对于束缚态来说，有?u?e?0
∴ ????k21?2?0 k22? (u0?e)
因此k1x
??1?ae ?
3
?fe
?k
1x
由波函数的连续性，有
?1(0)??2(0),?a?d(4)
?1?(0)???2
(0),?k1a?k2c (5)??(2a)??1a
3?(2a),?k2ccos2k2a?k2dsin2k2a??k?2k2
1fe(6)
?1a
2(2a)??3(2a),?csin2k2a?dcos2k2a?fe
1???k1?1?1?2?(u0?e)?????2??k22?2?0 (2) k22?2?e?2
束缚态0＜e＜u0 ??
??3??k2
1?3?0 (3)?1x
1?ae
?k?be
?k1x
第二章 波函数和薛定谔方程b
第二章 波函数和薛定谔方程§2.1 学习指导本章主要介绍微观粒子运动状态的描述方法、演化规律以及由此带来的新特点，并以一维情况作例子进行具体说明。
根据实验，微观粒子具有波粒二象性。
经典波一般用振幅(,)A r t v 与位相(,)r t ϕv来描述，它们可以统一写为(,)(,)(,)i rt r t A r t e ϕψ=v v v ，在量子力学中沿用坐标与时间的复值函数(,)r t ψv 来描述微观粒子的运动状态，称为波函数。
经典情况下，模方2|(,)|r t ψv表示波的强度；量子情况下，2|(,)|r t ψv表示粒子出现的概率密度，因此需要把波函数归一化。
波函数随时间的变化由薛定谔方程确定。
按照波函数的演化形式，粒子运动可以分为定态和非定态。
在定态中，粒子的概率密度不随时间变化。
按照定态波函数的空间形式，粒子运动可以分为束缚态和非束缚态。
在束缚态中，粒子的能量取离散值，形成能级，可以很好地说明原子光谱。
散射态是典型的非束缚态，可以用来描述粒子之间的碰撞，解释微观粒子的隧道贯穿现象。
真实的物理空间是三维的，但是当系统具有某些对称性时，可以约化为一维问题，例如中心势场中粒子的径向运动。
近来，实验中也制备出了某些类型的一维量子力学系统。
一维薛定谔方程容易求解，便于初学者理解量子力学的基本概念、熟悉常用方法和领会核心思想。
本章的主要知识点有 1. 微观粒子运动状态的描述 1）波函数波函数(,)r t ψv是描述微观粒子状态的复值函数，波函数需要满足的标准条件为单值性、连续性和有界性。
实际体系波函数满足平方可积条件，即22(,)r t d N τψ=<∞⎰⎰⎰v 。
2）波函数的意义波函数的模方2(,)(,)w r t r t =ψv v （2-1）给出t 时刻粒子出现在位置r v邻域单位体积内的概率，即概率密度。
因此，标准的波函数应该是归一化的，即满足归一化条件2(,)1r t d τψ=⎰⎰⎰v (2-2)未归一化的波函数可以通过乘以一个归一化因子来实现归一化。
量子力学 薛定谔方程的建立和定态问题
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.2、 薛定谔方程的建立
2.3.2、 薛定谔方程的建立 1、自由粒子满足的微分方程: 由自由粒子波函数
i ( p⋅r − Et ) ψ p ( r , t ) = Ae
（1）
将上式两边对时间 t 求一次偏导，得：
∂ψ p
i ( p⋅r − Et ) i i = − EAe = − Eψ p ∂t
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.1、 描写波函数随时间变化的方程应满足条件
经典力学和量子力学关于描述粒子运动状态的差别。 经典力学 质点的状态用 r , p 描述。 量子力学
微观粒子状态用波函数 Ψ (r , t ) 描述。
每个时刻， r , p 均有确定值， 波函数 Ψ 描述的微观粒子不可能同
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.1、 描写波函数随时间变化的方程应满足条件
2.3、 薛定谔方程
在 2.1 节中， 我们讨论了微观粒子在某一时刻 t 的状态， 以及描写这个状态的波函数 Ψ 的性质， 但未涉及当时间改 变时粒子的状态将怎样随着变化的问题。本节中我们来讨 论粒子状态随时间变化所遵从的规律。
。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.3、 薛定谔方程 2.3.3、 关于薛定谔方程的几点说明
2.3.3、 关于薛定谔方程的几点说明 （1）薛定谔方程是建立的，而不是推导出来的，建立的 方式有多种。 （2）薛定谔方程是量子力学最基本的方程，也是量子力 学的一个基本假定。薛定谔方程正确与否靠实验检验。 （3）薛定谔方程描述了粒子运动状态随时间的变化，揭 示了微观世界中物质的运动规律。
第二章 波函数和薛定谔方程 2.4、 粒子流密度和粒子数守恒定律2.4.1、 几率分布变化及连续性方程
《量子力学教程》_课后答案
2 ( x) A sin kx B coskx
④
13
根据波函数的标准条件确定系数 A，B，由连续性条件，得
2 (0) 1 (0)
2 ( a ) 3 ( a)
⑤ ⑥ ⑥
⑤
B0 A sin ka 0
A0 s i n 0 ka ka n
《量子力学教程》 习题解答
1
《量子力学教程》
习题解答说明
• 为了满足量子力学教学和学生自学的需要，完 善精品课程建设，我们编写了周世勋先生编写 的《量子力学教程》的课后习题解答。本解答 共分七章，其中第六章为选学内容。 • 第一章 第二章 第三章 第四章 第五章 第六章 第七章
2
目录
• • • • • • • 第一章 绪论 第二章 波函数和薛定谔方程 第三章 力学量的算符表示 第四章 态和力学量的表象 第五章 微扰理论 第六章 弹性散射 第七章 自旋和全同粒子
(1)
J1与r 同向。表示向外传播的球面波。
i * * J1 ( 1 1 1 1 ) 2m i 1 ikr 1 ikr 1 ikr 1 ikr [ e ( e ) e ( e )]r0 2m r r r r r r i 1 1 1 1 1 1 [ ( 2 ik ) ( 2 ik )]r0 2m r r r r r r k k 2 r0 3 r mr mr
0
2
n ， n 1,2, 。 eB
1 2 1 eBR 1 2 2 n e B n B B 电子的动能为 E v 2 2 2 eB
动能间隔为 E B B 9 10 J 热运动能量（因是平面运动，两个自由度）为 E kT ，所以当 T 4K 时， E 4.52 10 J ；当
2波函数和薛定谔方程
第二章
波函数和薛定谔方程
三、波函数的归一化
由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子 在空间各点出现的概率之和等于1，因而粒子在空间各点 出现的概率只决定于波函数在空间各点的相对强度，而 不决定于强度的绝对大小。换句话说，将波函数乘上一 个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。
(r , t ) 与 C (r , t ) 表示同一个态。
2
概率密度
dW ( x, y, z, t ) 2 ( x, y , z , t ) C ( x, y , z , t ) d
§2.1 波函数的统计解释
第二章
2
波函数和薛定谔方程
C ( x, y, z, t ) d 1
归一化
C
1
( x, y, z , t ) d
§2.1 波函数的统计解释
第二章
波函数和薛定谔方程
自由粒子的波函数
Ae
i ( pr Et )
如果粒子受到随时间或位置变化的力场的作用，它的 动量和能量不再是常量，这时粒子就不能用平面波来描写，
而必须用较复杂的波来描写。一般记为：
(r , t )
描写粒子状态的波函数，它 通常是一个复函数。
c1 1 c2 2 cn n
cn n
n
§2.2 态迭加原理
第二章
波函数和薛定谔方程
二、波函数按平面波展开
以一个确定的动量 p 运动的自由粒子的状态用波函数
p (r , t ) Ae
i ( pr Et )
描写。按照态迭加原理，粒子的状态可表示为
波函数为
i (r , t ) A exp ( p r Et )
波函数及薛定谔方程习题解
即：
| A |2 = 1 ，因此 A = 2 λ 3 = 2λ λ 3 4λ
∫
( x > 0) ( x ≤ 0)
2
∞
0
x n e − ax dx =
n! a n +1
⎧ ⎪2λ λ xe − λ x 归一化的波函数为：ψ ( x) = ⎨ ⎪ ⎩0
（2）粒子坐标的概率分布函数为： w( x ) =| ψ ( x ) | = ⎨ （3）由
⎧4λ 3 x 2 e −2 λ x ⎩ 0
( x > 0) ( x ≤ 0)
d w( x) = 4λ 3 (2 xe−2 λ x − 2λ x 2 e−2 λ x ) = 0 ， dx
有： x1 = 0, x2 = ∞, x3 = 1/ λ ，据题意取 x3 = 1/ λ 。 2 、 一 个 势 能 U ( x) =
解： U ( x )与t 无关，是定态问题。其定态薛定谔方程为
−
a a ≤x≤ 2 2 a | x |> 2
d2 − ψ ( x) + U ( x)ψ ( x) = Eψ ( x) 2 μ dx 2
在各区域的具体形式为 Ⅰ： x < −
2
a 2
−
d2 ψ 1 ( x) + U ( x)ψ 1 ( x) = Eψ 1 ( x) 2 μ dx 2
E
t ) + v( x) exp(−ix) exp(−i E2 t) ；
E
t) ；
E1 E
t ) + u ( x) exp(−i E
t ) + u ( x) exp(i
t) 。
解：判断是否定态可从下面三个方面来进行：1）能量是否为确定值；2）概率是否与时间无 关；3）概率流密度是否与时间无关 先看ψ 1 ( x, t ) = u ( x) exp(ix − i
量子力学中的波函数描述
量子力学中的波函数描述量子力学是一门研究微观世界的物理学科，它描述了微观粒子（如电子和光子）的行为和性质。
在量子力学中，波函数是一种重要的概念，它用来描述粒子的状态和可能的测量结果。
本文将探讨波函数的概念、性质和一些常见的描述方法。
一、波函数的概念和性质波函数（Wave function）是量子力学中对一个量子系统的状态进行数学描述的函数。
它是包含在希尔伯特空间中的一个向量，可以用来预测粒子在不同位置的可能性分布。
根据量子力学的原理，波函数的平方模表示了在相应位置上找到粒子的概率密度。
波函数具有一些重要的性质。
首先，它必须满足归一化条件，即波函数的平方模在整个空间中的积分等于1。
这保证了粒子的概率存在且始终为正。
其次，波函数必须是连续且可微的函数，以满足量子力学的运动方程。
二、波函数的数学表示在量子力学中，常用的表示波函数的方法有薛定谔表示和路径积分表示。
薛定谔表示（Schrodinger representation）是一种常见的描述方法，它以波函数的时间演化为基础，利用薛定谔方程来计算波函数的变化。
薛定谔方程是描述量子力学体系时间演化的基本方程。
它以时间偏导数和位置偏导数为基础，结合哈密顿算符，给出了波函数随时间的变化规律。
通过求解薛定谔方程，可以得到粒子在空间中的波函数分布随时间的演化过程。
另一种常见的描述方法是路径积分表示（Path integral representation）。
路径积分表示以路径积分的概念为基础，它将波函数的时间演化看作是从一个初始位置到末态位置的所有可能路径的叠加。
路径积分表示在量子场论和统计力学中有广泛的应用。
三、波函数的物理意义和应用波函数作为描述量子体系的数学工具，其物理意义和应用十分广泛。
首先，波函数的平方模表示了找到粒子在某个位置的概率密度。
通过波函数，可以预测粒子在空间中的可能位置和概率分布。
其次，波函数可以用来计算并预测粒子的能级和能量谱。
由于波函数包含了粒子的所有信息，通过对波函数的求解，可以得到粒子能级和能量的一些特性。
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第二章波函数和薛定谔方程2.1 波函数的统计解释与态叠加原理1、波函数的统计解释上一章已说到，为了表示粒子的波粒二象性，可以用复数形式的平面波束描写自由粒子。
自由粒子是不受力场作用的，它的能量与动量都是常量。
如果粒子受到随时间及位置等变化的力场的作用，它的能量和动量就不再是常量，或者不再都是常量。
这时，粒子就不能用平面波来描写，设这时描写粒子的波是某一个函数，这个函数就称为波函数。
它描写粒子所处的状态，所以也称为态函数，它通常是一个复数。
究竟怎样理解波函数和它所描写的粒子之间的关系呢？对于这个问题，曾经有过各种不同的看法。
例如，将波看作是由它所描写的粒子构成的，这种看法是不对的。
我们知道，衍射现象是由波的干涉而产生的，如果波果真是由它所描写的粒子构成，则粒子流的衍射现象应当是由于构成波的这些粒子相互作用而形成的。
但事实证明，在粒子流的衍射实验中，照片上所显示出来的衍射图形与入射粒子流的强度无关，如果减少入射粒子流强度，即使粒子是一个一个地被衍射，虽然一开始照片上的点子看起来是毫无规则的，但当足够长的时间后，如果落在照片上的粒子数基本上保持不变，则所得到的衍射图形是相同的。
这说明每一个粒子被衍射的现象与其他粒子无关，衍射图形不是由粒子之间的相互作用而产生的。
除了上面的看法外，还有其他一些企图解释波函数的尝试，但都因与实验事实不符而被否定。
为人们所普遍接受的对波函数的解释，是由玻恩（Born）首先提出的统计解释：波函数在空间某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。
按照这种解释，描写粒子的波及是几率波。
按照波函数的几率解释，很容易理解衍射实验：每一个粒子都具有波性，所以每一个粒子都被衍射。
但如果粒子数很少，则统计性质显示不出来，所以在照片上的点子看起来好象是毫无规则的；如果粒子数目足够大，则在波的强度最大的地方，粒子投射在这里的几率也最大，便出现衍射极大，在波的强度最小的地方，粒子投射在这里的几率也最小，便出现衍射极小。
由于粒子在空间各点出现的几率总和应等于1，所以粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，而不决定于强度的绝对大小。
如果将波函数在空间各点的振幅同时加大一倍，并不影响粒子在空间各点的几率。
换句话说，将波函数乘以一个不为零的常数后，所描写的粒子的状态并不改变。
量子力学中波函数的这种性质是其他波动过程（如声波、光波等）所没有的。
对于声波、光波等，体系的状态随振幅的大小而改变。
如果把各处的振幅同时加大为二倍，那么声与光的强度到处都加大为四倍，这就是另一个状态了。
设(,,,)x y z t ϕ为描写粒子状态的波函数，在空间一点(,,)x y z 和时刻t ，波的强度为2ϕϕϕ=*，其中ϕ*表示ϕ的共轭复数。
以(,,,)dw x y z t 表示在t 时刻体积元dt 内找到粒子几率，则dw 应正比于dc 与2ϕ即22(,,,)(,,,)dw x y z t c x y z t dc ϕ= （2.1-1）其中2c 为比例常数。
定义几率角度为：(,,,)x y z t （2.1-2）将（2.1-1）式对整个空间积分，由于总几率应等于1，则得：21c dc ϕϕ*∞⎰= （2.1-3）如果dc ϕϕ*∞⎰不发散，则从上式求得的C 不为零，这时可以把C 并入到ϕ（(,,,)x y z t ）中去，即：(,,,)(,,,)x y z t c x y z t ϕϕ= （2.1-4）则波函数ϕ与ψ转描写的是同一个状态。
其中ϕ满足：1dc ϕϕ*∞⎰= （2.1-5）所以ϕ称为归一化波函数，C 称为归一化系数。
对于归一化波函数ϕ有：22(,,,)(,,,)(,,,)(,,,)w x y z t x y z t dw x y z t x y z t dcϕϕ⎧=⎪⎨=⎪⎩ （2.1-6） 波函数归一化后也还不是完全确定的。
可以用一个常数i e δ（δ是实常数）去乘波函数，由于1i e δ=，则既不影响空间各点找到粒子的几率，也不影响波函数的归一化。
i e δ称为相因子，归一化波函数可以含有一任意相因子。
必须指出，如果dc ϕϕ*∞⎰发散，则不能用上述方法归一化，描写自由粒子的平面波就是一个例子。
至于这种波函数怎样归一化的问题，将在以后讨论。
用波函数描写粒子的方式与经典力学中用位置（即空间坐标）和动量描写质点状态的方式是完全不同的。
在经典力学中，质点的位置与动量可以同时具有确定值，其他力学量是位置与动量的函数，质点的运动具有确定的轨道。
在量子力学中，由于粒子的波粒二象性，粒子的位置与动量不可能同时具有确定值。
例如平面波p ϕ 描写的自由粒子的动量具有确定值p，但p pϕϕ*等于常数，说明自由粒子在空间各点出现的几率相等，所以位置完全不确定。
又如当粒子通过狭缝时，粒子位置的不确定程度取决于狭缝的大小，当狭缝很小时，不确定程度也很小；但由衍射现象可知，粒子动量的方向是不确定的，而具有各种可能的几率。
在量子力学中，粒子的运动没有确定的轨道，不和几率相联系的经典轨道的概念已不再存在了。
以后将要看到，由波函数可以求出粒子各力学量的现测值的分布几率，所以波函数是对粒子状态统计分布的完全描写。
2、态叠加原理在经典物理学中，波动方程是线性微分方程，所以满足叠加原理：两个可能的波动过程1ϕ和2ϕ线性叠加的结果12a b ϕϕ+也是一个可能的波动过程。
仿此，假设量子力学中的波函数也满足态叠加原理：如果1ϕ和2ϕ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加1122c c ϕϕϕ=+ （12,c c 是复常数） （2.1-7）也是这个体系的一个可能状态。
更一般的情况是：c λλϕϕλ∑=（2.1-8）若λϕ是随入连续变化的，则c d λλλϕϕ=⎰ （2.1-9）（2.1-8）、（2.1-9）两式表明一组呆能态的任意线性叠加也是这个体系的可能态。
值得注意的是，不同体系的态的叠加是没有意义的。
例如，在双狭缝衍射中，如果封闭其中的一个狭缝，则可得到两个单狭缝体系，这两个单狭缝体系以及双狭缝体系都是不同的体系，所以双狭缝衍射中的可能态不能视为两个单狭缝衍射可能态的叠加。
2.2 狄拉克（Dirae ）函数和平面波的归一化1、δ函数的定义在量子力学中，常遇到克罗内克尔（Rronecker ）'nn δ函数和狄拉克'()x x δ-函数，其定义为：''10'nn n n n n n δ⎧⎧=⎪=⎪⎨≠⎨⎪⎩⎪⎩为分主变数（2.2-1）'(')0'(')1x x x x x x x x dx x δδ∞-∞⎧⎧∞=⎪-=⎪⎨≠⎪⎪⎩⎪⎰-=⎨⎪⎪⎪⎩为连续变数 （2.2-2） 顺便指出(')r r δ- 在不同坐标系下的表示式：在直角坐标系下，r的坐标以(,,)x y z 表示，(')(')(')(')r r x x y y z z δδδδ-=---（2.2-3）在柱坐标系下，r的坐樯以(,,)p z ϕ表示，1(')(')(')(')r r z z δδδδδϕϕδδ-=---（2.2-4）在球坐标系下，r的坐标以(,,)r θϕ表示，2(')(')(')(')sin r r r r r δδθθδϕϕδθ----=（2.2-5）2 狄拉克δ函数的性质（1）对任意的连续函数()f x ，下式成立：1()2i xx e d λδλπ∞-∞=⎰ （2.2-6） 11()(cos sin )cos 221sin cos limx x i x d axd x xd x λδλλλλππλλλππ∞∞-∞-∞∞-∞→∞=⎰+=⎰=⎰= （2.2-8）由上式可知，()x δ为偶函数，则()()x x δδ=- （2.2-9）在物理学中，()x δ被视为连续函数的极限，所以有：()0x x δ= （2.2-10）上式两边对x 取微商得：()()d x xx dxδδ=- （2.2-11） （3） 设sin ()xf x x λλ=，则0lim ()1x f x →=，根据（2.2-6）式与（2.2-8）式可得：22sin ()(0)()()()lim xx f x f x x x λλδδδπλ→∞=== （2.2-12）（4）利用（2.2-7）式与（2.2-9）式可证：1()()ax x aδδ=（2.2-13） （5）因()x δ为偶函数且只在0x =处的值不为零，所以有：001(')'()0210xx x dx h x x x δ-∞⎧<⎪⎪⎰===⎨⎪⎪>⎩（2.2-14）H(x)称为亥维赛（heaviside ）单元函数。
显然有：()()dh x x dxδ= （2.2-15） （6）根据（2.2-6）式可得：()()()f x f a x a da δ∞-∞=⎰- （2.2-16） ()()()f a f x x a dx δ∞-∞=⎰- （2.2-17）上两式可视为广义会里叶展开式及展开系数的表示式，这说明任意连续函数都可以对δ函数展开。
作为展开基组的δ函数是完备的。
（7） 设,0a b ε+≠→，则()[()()]()[()()]()[()()]a b b a f x x a x b dx f x x a x b dx f x x a x b dx εεεεδδδ∞++--∞---=--+⎰--⎰⎰()[()()]()[()()]b a a b f a x a a b dx f b b a x b dx εεεεδδ++--=⎰--+--⎰()()()[()()]f a f b f x x a x b dx a b a b a bδδ∞-∞=+=-+----⎰所以得：1[()()][()()]x a x b x a x b a bδδδ--=-+-- （2.2-18） 若b a =-，则得：221()[()()]2x a x a x a aδδδ-=-++ 1[()()]2x a x a xδδ=-++ （2.2-19） 在上式中令a=0，然后再将x 改为x a -得：2()[()]x a x a x aδδ--=- （2.2-20）（8）ln x 的微商ln ln 0ln ln 0i x e x i x x xx ππ⎧=<⎪=⎨>⎪⎩ 所以得：ln 1()d x i x dx xπδ=± 另一方面，在复平面上，x=0是lnx 的奇点，为了绕过奇点，可将ln d xdx用下式代替： 400ln()1limlim d x i dxx i εεεε+→→= 当X 由-∞变到∞时，x i ε-在下半平面内变动，辐角由变到2π（或由-π变到为0），、改变量为π；x i ε+在上半平面内变动，辐角由π变到0，改变量为-π，所以得：011lim()i x x i xεπδε+→=± ，或 0111()lim()x i x i xεδπε+→=±- 者说 （2.2-21） 由()()x x δδ=-可进一步推得：220()lim()x x εεδπε+→=+ （2.2-22）3. 平面波的归一化在量子力学中， 波函数的归一化并不是必须的，所谓归一化也并不要求*dc πϕϕ⎰一定等于1，而只是为了方便而通过某种约定来确定波函数中的常数因子而己，对于平面波，常见的约定有两种：（1）归一化为δ函数先考虑一维情况：£()x j p x Et px Aeϕ-=22xp E μ=£('')'x j p x E t px Aeϕ-=2''2x p E μ=''(')()**x x xjj E E t p p x hhpxp dx A Aeedx ϕϕ---∞∞-∞-∞⎰=⎰(')'*2()jE E t hx x A Aep p πδ-=-*2(')x x A A p p πδ=-上式中用到了（2.2-6）式。