初中数学折叠问题模型
人教课标版 初中数学九年级上册第二十二章 23折叠型问题的探究(共22张PPT)
（4）在折叠问题中，若直接解决较困难时， 可将图形还原，可让问题变得简单明了。有时 还可采用动手操作，通过折叠观察得出问题的 答案。
全等性
轴对称
对称性（折痕）
实 质 折 重过程 折叠问题 重结果 叠
精 髓
利用Rt△
方程思想
【二】利用勾股定理解决问题
如图，沿AE折叠长方形，使D点落在BC边上的F处，已知
AB=8,BC=10.求CE的长.
10
A
D
解∴AA总1：FB、结根==标A8：据D已c折=m知1叠，0c可EmF知，＋，EEF△C==AEDDFCE，=≌8△cmAD，E，
8
10
B 6
8-x
E 8-x x F4C
∴2在、R找t△相A等BF中
练习
1.如图,矩形纸片ABCD中，AB=6cm,AD=8cm，
在BC上找一点F，沿DF折叠矩形ABCD，使C点落在对角 线BD上的点E处，此时折痕DF的长是多少？
A
8
D
6
4x
6
B 8-x
xC
心得：先标等量，把条件集中到一Rt△中， 利用勾股定理得方程。
练习
2.如图，将一长方形纸片ABCD沿对角线AC折叠，点B落在
• 3、Patience is bitter, but its fruit is sweet. (Jean Jacques Rousseau , French thinker)忍耐是痛苦的，但它的果实是甜蜜的。10:516.17.202110:516.17.202110:5110:51:196.17.202110:516.17.2021
七年级数学尖子生培优竞赛专题辅导专题16 折叠问题
专题16 折叠问题专题解读】折叠问题是近几年来中考出现频率较高的一类题型，同学们往往由于对折叠的本质理解不够透彻，因此难以找到解题的方向.折叠是现实生活常见的操作活动，而初中几何学习中，以折叠为活动载体的问题很多，这类问题一般都要经历操作、观察、比较、概括、交流、猜想、推理等过程.研究折叠问题，可以帮助学生提高观察能力、动手能力、想象能力、综合运用知识的能力，发展合情推理和演绎推理能力．思维索引】例1．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础．小明在草稿纸上画了一条数轴进行操作研究：操作一：（1）折叠纸面，使1表示的点与-1表示的点重合，则-2表示的点与表示的点重合；操作二：（2）折叠纸面，使1表示的点与-3表示的点重合，若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠重合，则A、B两点表示的数分别是、；操作三：（3）在数轴上剪下9个单位长度（从-1到8）的一条线段，并把这条线段沿某点折叠，然后在重叠部分某处剪一刀得到三条线段（如图所示），若这三条线段的长度之比为1：1：2，求折痕处对应的点所表示的数？例2．如图，ABCD是一张矩形纸片，AD=BC=1，AB=CD=5．在矩形ABCD的边AB上取一点M，在CD上取一点N，将纸片沿MN折叠，使MB与DN交于点K，得到△MNK．（1）若∠1=70°，求∠MKN的度数．（2）△MNK的面积能否小于12？若能，求出此时∠1的度数；若不能，试说明理由．（3）如何折叠能够使△MNK的面积最大？请你利用备用图探究可能出现的情况，画出相应的图形．素养提升1．如图，把△ABC 沿EF 对折，叠合后的图形如图所示．若∠A =60°，∠1=95°，则∠2的度数为（ ） A ．24° B ．25° C ．30° D ．35°21FE C'B'BA F OD CBA2．如图，将△ABC 沿DE 、EF 翻折，顶点A 、B 均落在点O 处，且EA 与EB 重合于线段EO ，若∠CDO +∠CFO =98°，则∠C 的度数为（ ）A ．40°B ．41°C ．42°D ．43°3．如图，四边形ABCD 中，点M 、N 分别在AB 、BC 上，将△BMN 沿MN 翻折，得△FMN ，若MF /∥AD ，FN //DC ，则∠D 的度数为（ ）A ．115°B ．105°C ．95°D ．85°4．如图，四边形ABCD 纸片中，已知∠A =160°，∠B =30°，∠C =60°，四边形ABCD 纸片分别沿EF ，GH ，OP ，MN 折叠，使A 与A'、B 与B'、C 与C'、D 与D'重合，则∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6+∠7-∠8的值是（ ）A ．600°B ．700°C ．720°D ．800°5．如图1是AD ∥BC 的一张纸条，按图1→图2→图3，把这一纸条先沿EF 折叠并压平，再沿BF 折叠并压平，若图3中∠CFE =18°，则图2中∠AEF 的度数为（ ）A ．108°B ．114°C ．116° D ．120°图 1 图 2 图 3DCBA6．一根长30cm 、宽3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠，为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，MA 的长应为 cm ．BM A7．如图，将四边形纸片ABCD 沿MN 折叠，点A 、D 分别落在点A 1、D 1处，若∠1+∠2=140°，则∠B +∠C = ．21D 11NM D CBA8．如图1，ABCD 是长方形纸带，∠DEF =23°，将纸带沿EF 折叠成图2，再沿BF 折叠成图3，则图3中的∠CFE 的度数是 ．图 a 图 b 图 cCFED CBA9．如图，△ABC 中，∠A =30°，E 是AC 边上的点，先将△ABE 沿着BE 翻折，翻折后△ABE 的AB 边交AC 于点D ，又将△BCD 沿着BD 翻折，C 点恰好落在BE 上，此时∠CDB =82°，则原三角形中的∠B 的度数为 ．ED CBAE DACBA10．如图1，在长方形ABCD 中，E 点在AD 上，并且∠ABE =30°，分别以BE 、CE 为折痕进行折叠并压平，如图2．若图3中∠AED=n °，则∠BCE 的度数为 （用含n 的代数式表示）．11．如图1，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形BCDE内部，我们知道∠A与∠1、∠2之间有一定的数量关系；（1）如图2，BI平分∠ABC，CI平分∠ACB，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A与点I重合，若∠1+∠2=130°，求∠BIC的度数；（2）如图3，在锐角△ABC中，BF⊥AC于点F，CG⊥AB于点G，BF、CG交于点H，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A与点H重合，试探究∠BHC与∠1+∠2的关系，并证明你的结论．12．如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分：将余下部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，剪掉重叠部分；…将余下部分沿∠B n A n C的平分线A n B n+1折叠，点B n与点C重合．无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，我们就称∠BAC是△ABC的好角．小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC是平分线AB1折叠，则等腰三角形的两个点B与点C 重合（因为等腰三角形的两个底角是相等的）；情形二：如图3，沿△ABC的∠BAC的平分线AB1折叠，剪掉重叠部分；将余下的部分沿∠B1A1C的平分线A1B2折叠，此时点B1与点C重合．探究发现（1）△ABC中，∠B=2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？（填“是”“不是”）（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B>∠C）之间的等量关系，写出探究过程．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B>∠C）之间的等量关系是；应用提升（3）在三个角都不相等的三角形中，小丽找到一个三角形，三个角分别为4，16°，160°，发现此三角形的三个角都是好角．你能尝试再构造两组三个角都不相等，并且都是好角的三角形吗？写出具体角度即可．专题16折叠问题．思维索引】例1．(1)2； (2)－5，3 ； (3) 72，198，378； 例2．(1)40°； (2)不能，大于12； (3)略；素养提升】1．B ； 2．B ； 3．C ； 4．A ； 5．B ； 6．10.5； 7．110°； 8．111°； 9．78； 10．30＋2n ； 11．(1)∠BIC ＝122.5°； (2)∠BHC ＝180°－5(∠1＋∠2)； 12．(1)是； (2)∠B ＝3∠C ；∠B ＝n ∠C ；(3)答案不唯一，只需要满足三点：和为180°，各不相等，以及任意两个角之间都存在整数倍关系；。
中考数学复习：专题7-2 中考折叠问题的归类解析
专题02 中考折叠问题的归类解析【专题综述】折叠问题在近年来各地的中考试卷中频频出现，解决这一类问题主要抓住两点：折叠前后重合的角相等，重合的边也相等．【方法解读】一、折叠与平行例1：如图，在四边形ABCD中，∠A＝100°，∠C＝70°.将△BMN沿MN翻折，得△FMN，若MF∥AD，FN∥DC，则∠B＝___．【来源】2013-2014学年江苏省宜兴市和桥学区七年级下学期期中考试数学试卷（带解析）【答案】95°在△BMN中，∠B=180°-（∠BMN+∠BNM）=180°-（50°+35°）=180°-85°=95°．考点：1．平行线的性质；2．三角形内角和定理；3．翻折变换（折叠问题）．【解读】根据两直线平行，同位角相等求出∠BMF，∠BNF，再根据翻折的性质求出∠BMN和∠BNM，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解．【举一反三】如图，将平行四边形ABCD沿对角线BD进行折叠，折叠后点C落在点F处，DF交AB于点E．（1）求证：EDB EBD∠=∠；（2）判断AF与BD是否平行，并说明理由．【来源】2015中考真题分项汇编第1期专题4 图形的变换【答案】【解析】试题解析：（1）由折叠可知：∠CDB =∠EDB∵四边形ABCD是平行四边形∴DC∥AB∴∠CDB =∠EBD∴∠EDB=∠EBD(2) ∵∠EDB=∠EBD∴DE=BE由折叠可知：DC=DF∵四边形ABCD是平行四边形∴DC=AB∴AE=EF∴∠EAF=∠EFA△BED中, ∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°即2∠EDB+∠DEB=180°同理△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°∵∠DEB=∠AEF∴∠EDB= ∠EFA∴AF∥BD考点：折叠变换，平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定，三角形的内角和二、折叠与全等例2：如图，在□ABCD中，点E，F分别在边DC，AB上，DE=BF，把平行四边形沿直线EF折叠，使得点B，C分别落在点B′，C′处，线段EC′与线段AF交于点G，连接DG，B′G。
数学初中折叠问题解题技巧
数学初中折叠问题解题技巧
初中数学中的折叠问题是一种常见的问题类型，涉及到几何和代数等多个方面，具有一定的挑战性和趣味性。
下面是一些折叠问题的解题技巧:
1. 观察折叠过程，提取关键信息。
在折叠问题中，通常会涉及到两个或多个图形的折叠，需要观察折叠过程，并提取关键信息。
例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，关键信息可能是矩形的长和宽，或者是正方形的边长。
2. 利用几何图形的性质，进行推理和计算。
折叠问题通常涉及到几何图形的性质，例如面积、周长、角等。
在解决问题时，需要利用这些性质进行推理和计算。
例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，可以利用矩形的面积和周长推导出正方形的面积和周长，进而计算出折叠后的形状。
3. 利用代数知识，进行化简和求解。
折叠问题还可以利用代数知识进行化简和求解。
例如，在将一个矩形折叠成正方形的过程中，可以利用矩形的面积和周长推导出正方形的面积和周长，并将它们用代数式表示出来。
然后，通过解方程组或代数式的方法求解答案。
4. 寻找规律，构建模型。
有些折叠问题可以通过寻找规律，构建模型来解决。
例如，在将一个正多边形折叠成平面图形的过程中，可以尝试利用正多边形的边数来构建模型。
通过模型，可以更好地理解和解决问题。
折叠问题是初中数学中的一种重要问题类型，需要学生掌握一定
的几何和代数知识，并学会利用这些知识进行推理和计算。
同时，学生还需要具备较强的逻辑思维能力和分析问题的能力，才能有效地解决折叠问题。
2024年中考数学压轴突破【几何中的折叠】题型汇编(解析版)
几何中的折叠问题一、单选题1如图，在菱形ABCD中，AD=5，tan B=2，E是AB上一点，将菱形ABCD沿DE折叠，使B、C的对应点分别是B 、C ，当∠BEB =90°时，则点C 到BC的距离是()A.5+5B.25+2C.6D.35【答案】D【分析】过C作CH⊥AD于H，C 作C F⊥AD于F，HD=5，HC=25，再由折叠证明∠BED=∠B ED=135°，∠EDC=∠EDC =45°，△CHD≌△DFC ，C F= HD=5，【C作CH⊥AD于H，C 作C F⊥AD于F，由已知AD=5，tan B=2，=2，∴CD=5，tan∠CDH=HCHD∴设HD=x，HC=2x，∴在Rt△HDC中HC2+HD2=CD2，2x2+x2=52，解得x=5，∴HD=5，HC=25，由折叠可知∠BED=∠B ED，∠EDC=∠EDC ，CD=C D∵∠BEB =90°，∴∠BED=∠B ED=135°，∵AB∥DC，∴∠EDC=180°-∠BED=45°，∴∠EDC=∠EDC =45°∴∠CDC =90°∵∠CHD =∠C AD =90°，∴∠CDH +C DF =90°，∵∠CDH +∠HCD =90°，∴∠C DF =∠HCD ，∴△CHD ≌△DFC ，∴C F =HD =5，∴点C 到BC 的距离是C F +CH =5+25=35．故选：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定、菱形的性质、图形的折叠以及正切定义的应用，解答关键是根据折叠的条件推出∠BED =∠B ED =135°．2如图，将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，展开后得到折痕l 与BC 交于点P ，且点P 到AB 的距离为3cm ，点Q 为AC 上任意一点，则PQ 的最小值为()A.2cmB.2.5cmC.3cmD.3.5cm【答案】C【分析】由折叠可得：PA 为∠BAC 的角平分线，根据垂线段最短即可解答．【详解】解：∵将△ABC 折叠，使AC 边落在AB 边上，∴PA 为∠BAC 的角平分线，∵点Q 为AC 上任意一点，∴PQ 的最小值等于点P 到AB 的距离3cm ．故选C ．【点睛】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质定理等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解答本题的关键．3如图，在▱ABCD 中，BC =8,AB =AC =45，点E 为BC 边上一点，BE =6，点F 是AB 边上的动点，将△BEF 沿直线EF 折叠得到△GEF ，点B 的对应点为点G ，连接DE ，有下列4个结论：①tan B =2；②DE =10；③当GE ⊥BC 时，EF =32；④若点G 恰好落在线段DE 上时，则AF BF=13．其中正确的是()A.①②③B.②③④C.①③④D.①②④【答案】D【分析】过点A 作AH ⊥BC 于点H ，利用三线和一以及正切的定义，求出tan B ，即可判断①；过点D 作DK ⊥BC 于点K ，利用勾股定理求出DE ，判断②；过点F 作FM ⊥BC 于点M ，证明△EMF 为等腰直角三角形，设EM =FM =x ，三角函数求出BM 的长，利用BE =BM +EM ，求出x 的值，进而求出EF 的长，判断③；证明△AND ∽△CNE ，推出∠ENC =∠ECN ，根据折叠的性质，推出EF ∥CA ，利用平行线分线段成比例，即可得出结论，判断④．【详解】解：①过点A 作AH ⊥BC 于点H ，∵BC =8,AB =AC =45，∴BH =12BC =4，∴AH =AB 2-BH 2=8，∴tan B =AHBH=2；故①正确；②过点D 作DK ⊥BC 于点K ，则：四边形AHKD 为矩形，∴DK =AH =8，HK =AD =BC =8，∵BE =6，∴CE =2，∵CH =12BC =4，∴CK =4，∴EK =CE +CK =6，∴DE =EK 2+DK 2=10；故②正确；③过点F 作FM ⊥BC 于点M ，∵GE ⊥BC ，∴∠BEG =90°，∵翻折，∴∠BEF =∠GEF =45°，∴∠EFM =∠BEF =45°，∴EM =FM ，设EM =FM =x ，∵tan B =FMBM =2，∴BM =12FM =12x ，∴BE =BM +EM =12x +x =6，∴x =4，∴EM =FM =4，∴EF =2EM =42；故③错误；④当点G 恰好落在线段DE 上时，如图：设AC 与DE 交于点N ，∵▱ABCD ，∴AD ∥BC ，∴△AND ∽△CNE ，∴EN DN =CE AD=28=14，∴EN DE =15，∴EN =15DE =2=CE ，∴∠ENC =∠ECN ，∴∠BEN =∠ENC +∠ECN =2∠ECN ，∵翻折，∴∠BEN =2∠BEF ，∴∠BEF =∠ECN ，∴EF ∥AC ，∴AF BF =CE BE=26=13；故④正确，综上：正确的是①②④；故选D ．【点睛】本题考查平行四边形的折叠问题，同时考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度较大，是中考常见的压轴题，熟练掌握相关性质，添加合适的辅助线，构造特殊三角形，是解题的关键．4如图，AB 是⊙O 的直径，点C 是⊙O 上一点，将劣弧BC 沿弦BC 折叠交直径AB 于点D ，连接CD ，若∠ABC =α0°<α<45° ，则下列式子正确的是()A.sin α=BCABB.sin α=CD ABC.cos α=AD BDD.cos α=CD BC【答案】B【分析】连AC ，由AB 是⊙O 的直径，可知∠ACB =90°，由折叠，AC和CD所在的圆为等圆，可推得AC =CD ，再利用正弦定义求解即可．【详解】解：连AC ，∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，由折叠，AC 和CD所在的圆为等圆，又∵∠CBD =∠ABC ，∴AC和CD所对的圆周角相等，∴AC=CD，∴AC =CD ，在Rt △ACB 中，sin α=AC AB =CDAB，故选：B ．【点睛】本题考查圆周角定理和圆心角、弦、弧之间的关系以及正弦、余弦定义，解答关键是通过折叠找到公共的圆周角推出等弦．5如图，在平面直角坐标系中，OA 在x 轴正半轴上，OC 在y 轴正半轴上，以OA ，OC 为边构造矩形OABC ，点B 的坐标为8,6 ，D ，E 分别为OA ，BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠，点B 的对应点F 恰好落在CD 上，则点F 的坐标为()A.3213,3013B.3013,3213C.3013,2013D.2013,3013【答案】A【分析】先求得直线CD 的解析式，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，过点F 作FN ⊥OC 于点N ，设点F m ,-32m +6 ，在Rt △EMF 中，再利用勾股定理得到关于m 的方程，解方程即可．【详解】解：∵点B 的坐标为8,6 ，四边形OABC 是矩形，D ，E 分别为OA ，BC 的中点，∴C 0,6 ，D 4,0 ，E 4,6 ，由折叠的性质可得：EF =BE =4，设直线CD 的解析式为y =kx +b ，则6=b 4k +b =0 ，解得：k =-32b =6，∴直线CD 的解析式为y =-32x +6，过点F 作FM ⊥CE 于点M ，过点F 作FN ⊥OC 于点N ，设点F m,-32m+6，则MF=CN=6--32m+6=32m，EM=4-m，在Rt△EMF中，EM2+MF2=EF2，∴4-m2+32m2=42，解得：m=3213或m=0(不合题意，舍去)，当m=3213时，y=-32×3213+6=3013，∴点F的坐标为3213,30 13，故选：A．【点睛】本题是一次函数与几何综合题，考查了求一次函数解析式，勾股定理，翻折的性质，矩形的性质，中点的性质，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键．6综合与实践课上，李老师让同学们以矩形纸片的折叠为主题开展数学活动．如图，将矩形纸片ABCD对折，折痕为EF，再把点A折叠在折痕EF上，其对应点为A ，折痕为DP，连接A B，若AB=2，BC =3，则tan∠A BF的值为()A.33B.3 C.32D.12【答案】A【分析】先证明EF=AB=CD=2，CF=BF=DE=32，∠DEA=90°，∠A FB=90°，AD=A D=3，可得A E=A D2-DE2=32，AF=2-32=12，再利用正切的定义求解即可.【详解】解：∵矩形纸片ABCD对折，折痕为EF，AB=2，BC=3，∴EF=AB=CD=2，CF=BF=DE=32，∠DEA=90°，∠A FB=90°，由折叠可得：AD=A D=3，∴A E=A D2-DE2=32，∴A F=2-32=12，∴tan ∠A BF =1232=33.故选A【点睛】本题考查的是轴对称的性质,矩形的性质,勾股定理的应用,求解锐角的正切,熟记轴对称的性质是解本题的关键.7如图，矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，P 是边BC 中点，将顶点D 折叠至线段AP 上一点D ，折痕为EF ，此时，点C 折叠至点C ．下列说法中错误的是()A.cos ∠BAP =45B.当AE =53时，D E ⊥AP C.当AE =18-65时，△AD E 是等腰三角形 D.sin ∠DAP =45【答案】C【分析】根据矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质计算判断即可．【详解】∵矩形ABCD 中，AB =2，BC =3，P 是边BC 中点，∴BP =12BC =32，∠B =90°，∴AP =AB 2+BP 2=22+32 2=52，∴cos ∠BAP =AB AP=252=45，故A 正确；∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAP =∠APB ，∴sin ∠DAP =sin ∠APB =cos ∠BAP =45，故D 正确；设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD -DE =3-x ，sin ∠DAP =45，∵D E ⊥AP ，∴sin ∠DAP =D E AE=x 3-x =45，解得x =43，∴AE =AD -DE =3-x =53，故B 正确；当D E =AE 时，∴x =3-x ，解得x =32；此时D ,A 重合，三角形不存在，不符合题意；当D E =AD 时，过点D 作D N ⊥AD 于点N ，则AN =NE ；∵矩形ABCD ，∴AD ∥BC ，∴∠DAP =∠APB ，∴cos ∠DAP =cos ∠APB =3252=35，设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD -DE =3-x ，D E =AD =x ，∴AN AD=AN x =35，解得AN =35x ；∴AE =AD -DE =3-x =2AN =65x ，解得x =1511；∴AE =65×1511=1811；当AE =AD 时，过点D 作D H ⊥AD 于点H ，设DE =D E =x ，根据题意，得AE =AD =AD -DE =3-x ，∴D H =AD sin ∠DAP =453-x ，AH =AD cos ∠DAP =353-x ，∴HE =AE -AH =3-x -353-x =253-x ，根据勾股定理，得HE 2+D H 2=D E 2，∴253-x 2+453-x2=x 2解得x =65-12；∴AE =3-x =15-65；综上所述，AE =15-65或AE =1811，故C 错误，故选C ．【点睛】本题考查了矩形的性质，直角三角形的性质，三角函数，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握三角函数，勾股定理，矩形的性质，折叠的性质是解题的关键．8如图，AB 为半圆O 的直径，点O 为圆心，点C 是弧上的一点，沿CB 为折痕折叠BC交AB 于点M ，连接CM ，若点M 为AB 的黄金分割点(BM >AM )，则sin ∠BCM 的值为()A.5-12B.5+12C.5-14D.12【答案】A【分析】过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M′，连接CM ，BM′，根据折叠的性质可得：∠CMB=∠CM′B，BC⊥MM′，从而可得∠BDM=90°，再根据黄金分割的定义可得BMAB =5-12，然后利用直径所对的圆周角是直角可得∠ACB=90°，从而证明A字模型相似三角形△DBM∽△CBA，进而利用相似三角形的性质可得DMAC=BMAB=5-12，最后根据圆内接四边形对角互补以及平角定义定义可得：∠A=∠AMC，从而可得CA=CM，再在Rt△CDM中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答．【详解】解：过点M作MD⊥CB，垂足为D，延长MD交半⊙O于点M′，连接CM ，BM′，由折叠得：∠CMB=∠CM′B，BC⊥MM′，∴∠BDM=90°，∵点M为AB的黄金分割点(BM>AM)，∴BMAB =5-12，∵AB为半圆O的直径，∴∠ACB=90°，∴∠ACB=∠MDB，∵∠DBM=∠CBA，∴△DBM∽△CBA，∴DMAC =BMAB=5-12，∵四边形ACM′B是半⊙O的内接四边形，∴∠A+∠CM′B=180°，∵∠AMC+∠CMB=180°，∠CMB=∠CM′B，∴∠A=∠AMC，∴CA=CM，在Rt△CDM中，sin∠BCM=DMCM=DMAC=5-12．故选：A．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，黄金分割，解直角三角形，翻折变换(折叠问题)，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．二、填空题9如图，将一张矩形纸片ABCD折叠，折痕为EF，折叠后，EC的对应边EH经过点A，CD的对应边HG交BA的延长线于点P．若PA=PG，AH=BE，CD=3，则BC的长为．【答案】43【分析】本题考查了矩形与折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理．连接PF ，设BC =2x ，AH =BE=a ，证明Rt △PAF ≌Rt △PGF HL ，求得FA =FG =FD =x ，由折叠的性质求得BE =12x ，在Rt △ABE中，利用勾股定理列式计算，即可求解．【详解】解：连接PF ，设BC =2x ，AH =BE =a ，由矩形的性质和折叠的性质知FG =FD ，∠G =∠FAP =90°，AB =CD =3，AD =BC ，∵PA =PG ，PF =PF ，∴Rt △PAF ≌Rt △PGF HL ，∴FA =FG =FD =12AD =12BC =x ，由矩形的性质知：AD ∥BC ∴∠AFE =∠FEC ，折叠的性质知：∠FEA =∠FEC ，∴∠FEA =∠AFE ，∴AE =FA =x ，由折叠的性质知EC =EH =AE +AH =x +a ，∴BC =BE +EC =a +x +a =2x ，∴a =12x ，即BE =12x ，在Rt △ABE 中，AB 2+BE 2=AE 2，即32+12x 2=x 2，解得x =23，∴BC =2x =43，故答案为：4310如图，在矩形ABCD 中，AB =3，AD =6，M 为AD 的中点，N 为BC 边上一动点，把矩形沿MN 折叠，点A ，B 的对应点分别为A ，B ，连接AA '并延长交射线CD 于点P ，交MN 于点O ，当N 恰好运动到BC 的三等分点处时，CP 的长为．【答案】1或5【分析】分两种情况：①当CN =2BN 时．过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形；②当BN =2CN 时，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，根据矩形的性质得GM =AM -AG =1.再由折叠的性质可得∠AOM =90°，然后根据相似三角形的判定与性质可得答案．【详解】解：①当CN =2BN 时．如图1，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，∴NG =AB =3，AG =BN =2．∵M 为AD 的中点，∴AM =3，∴GM =AM -AG =1．由折叠A 与A 对应，∴∠AOM =90°，∵∠MAO +∠APD =90°，∠MAO +∠AMO =90°，∴∠AMO =∠APD ，即∠GMN =∠APD ．又∵∠NGM =∠ADP =90°，∴△ADP ∽△NGM ，∴NG AD=GM DP =12，解得DP =2，∴CP =CD -DP =1．②当BN =2CN 时，如图2，过点N 作NG ⊥AD 于点G ，则四边形ABNG 为矩形，∴NG =AB =3，AG =BN =4．∵M 为AD 的中点，∴AM =3，∴GM =AG -AM =1．由折叠A 与A 对应，∴∠AOM =90°∠MAO +∠AMO =90°，∠MAO +∠APD =90°，∴∠AMO =∠APD ，即∠GMN =∠APD ．又∠ADP =∠NGM =90°，∴△ADP ∽△NGM ，∴NG AD=GM DP =12，解得DP =2，∴CP =CD +DP =5．综上，CP 的长为1或5．故答案为：1或5．【点睛】此题考查的是翻折变换-折叠问题、矩形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键．11如图，DE 平分等边△ABC 的面积，折叠△BDE 得到△FDE ,AC 分别与DF ,EF 相交于G ,H 两点．若DG =m ,EH =n ，用含m ,n 的式子表示GH 的长是．【答案】m 2+n 2【分析】先根据折叠的性质可得S △BDE =S △FDE ，∠F =∠B =60°，从而可得S △FHG =S △ADG +S △CHE ，再根据相似三角形的判定可证△ADG ∽△FHG ,△CHE ∽△FHG ，根据相似三角形的性质可得S △ADG S △FHG =DG GH2=m 2GH 2，S △CHE S △FHG =EH GH 2=n 2GH 2，然后将两个等式相加即可得．【详解】解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠A =∠B =∠C =60°，∵折叠△BDE 得到△FDE ，∴△BDE ≌△FDE ，∴S △BDE =S △FDE ，∠F =∠B =60°=∠A =∠C ，∵DE 平分等边△ABC 的面积，∴S 梯形ACED =S △BDE =S △FDE ，∴S △FHG =S △ADG +S △CHE ，又∵∠AGD =∠FGH ,∠CHE =∠FHG ，∴△ADG ∽△FHG ,△CHE ∽△FHG ，∴S △ADG S △FHG =DG GH 2=m 2GH 2，S △CHE S △FHG =EH GH 2=n 2GH 2，∴S △ADG S △FHG +S △CHE S △FHG =m 2+n 2GH 2=S △ADG +S △CHE S △FHG =1，∴GH 2=m 2+n 2，解得GH =m 2+n 2或GH =-m 2+n 2(不符合题意，舍去)，故答案为：m 2+n 2．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．12在矩形ABCD 中，点E 为AD 边上一点(不与端点重合)，连接BE ，将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，连接并延长EF ，BF 分别交BC ，CD 于G ，H 两点.若BA =6，BC =8，FH =CH ，则AE 的长为．【答案】92【分析】连接GH ，证明Rt △FHG ≅Rt △CHG (HL )，可得FG =CG ，设FG =CG =x ，在Rt △BFG 中，有62+x 2=(8-x )2，可解得CG =FG =74，知BG =254，由矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，得∠AEB =∠FEB ，可得∠FEB =∠EBG ，EG =BG =254，故EF =EG -FG =92，从而得到AE =92．【详解】连接GH ，如图：∵四边形ABCD 是矩形，∴∠A =∠C =90°，∵将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，∴BF =AB =6,AE =EF ,∠BFE =∠A =90°，∴∠GFH =90°=∠C ，∵GH =GH ,FH =CH ，∴Rt △FHG ≅Rt △CHG (HL )，∴FG =CG ，设FG =CG =x ，则BG =BC -CG =8-x在Rt △BFG 中，BF 2+FG 2=BG 2∴62+x 2=(8-x )2，解得：x =74，∴CG =FG =74，∴BG =8-x =25x，∵将矩形ABCD 沿BE 折叠，折叠后点A 与点F 重合，∴∠AEB =∠FEB ，∵AD ⎳BC ，∴∠AEB =∠EBG ，∴∠FEB =∠EBG ，∴EG =BG =254，∴AE =92，故答案为：92．【点睛】本题考查矩形中的翻折变换，涉及三角形全等的判定与性质，勾股定理及应用，掌握相关知识是解题的关键．13如图，在矩形ABCD 中，AD =23，CD =6，E 是AB 的中点，F 是线段BC 上的一点，连接EF ，把△BEF 沿EF 折叠，使点B 落在点G 处，连接DG ，BG 的延长线交线段CD 于点H ．给出下列判断：①∠BAC =30°；②△EBF ∽△BCH ；③当∠EGD =90°时，DG 的长度是23 ④线段DG 长度的最小值是21-3；⑤当点G 落在矩形ABCD 的对角线上，BG 的长度是3或33；其中正确的是．(写出所有正确判断的序号)【答案】①②③【分析】利用正切函数的定义即可判断①正确；利用同角的余角相等推出∠HBC =∠BEF ，可判断②正确；推出点D 、G 、F 三点共线，证明Rt △EAD ≌Rt △EGD HL ，可判断③正确；当点D 、G 、E 三点共线，线段DG 长度的最小值是21-3，由于F 是线段BC 上的一点，不存在D 、G 、E 三点共线，可判断④不正确；证明△BGE 是等边三角形，可判断⑤．【详解】解：连接AC ，∵矩形ABCD 中，AD =23，CD =6，∴tan ∠ACD =AD CD=236=33，∴∠ACD =30°，∴∠BAC =30°，故①正确；由折叠的性质知EF 是BG 的垂直平分线，∴∠HBC +∠BFE =90°=∠BEF +∠BFE ，∴∠HBC =∠BEF ，∴△EBF ∽△BCH ，故②正确；由折叠的性质知∠EGF =∠ABC =90°，∵∠EGD =90°，∴点D 、G 、F 三点共线，连接DE ，在Rt △EAD 和Rt △EGD 中，AE =BE =EG ，DE =DE ，∴Rt △EAD ≌Rt △EGD HL ，∴DG =AD =23，故③正确；∵AE =BE =EG ，∴点A 、G 、B 都在以E 为圆心，3为半径的圆上，DE =23 2+32=21，∴当点D 、G 、E 三点共线，线段DG 长度的最小值是21-3，但F 是线段BC 上的一点，∴D 、G 、E 三点不可能共线，故④不正确；当点G 落在矩形ABCD 的对角线AC 上时，由折叠的性质知BE =EG ，∵E 是AB 的中点，由①知∠BAC =30°，∴BE =EG =EA ，∠BAC =∠EGA =30°，∴∠BEG =∠BAC +∠EGA =60°，∴△BGE 是等边三角形，∴BG 的长度是3；由于F 是线段BC 上的一点，则点G 不会落在矩形ABCD 的对角线BD 上，故⑤不正确；综上，①②③说法正确，故答案为：①②③．【点睛】本题考查了矩形与折叠问题，正切函数，相似三角形的判定，勾股定理等知识，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．14如图，将矩形ABCD沿BE折叠，点A与点A 重合，连接EA 并延长分别交BD、BC于点G、F，且BG=BF．(1)若∠AEB=55°，则∠GBF=；(2)若AB=3，BC=4，则ED=．【答案】40°/40度5-10/-10+5【分析】(1)先证明∠DEF=180°-2×55°=70°，∠BFG=∠DEF=70°，利用BG=BF，可得答案；(2)如图，过F作FQ⊥AD于Q，可得CF=DQ，FQ=CD=3，同理可得：∠BGF=∠BFG，∠DEG=∠BFG，而∠DGE=∠BGF，则∠DEG=∠DGE，设DE=DG=x，而BD=32+42=5，则BG=BF=5-x，CF=4-5-x=1，再求解EF=12+32=10，由折叠可得：A E=AE=4 =x-1，EQ=x-x-1-x，AF=10-4+x，利用cos∠BFA=cos∠FEQ，再建立方程求解即可．【详解】解：(1)∵∠AEB=55°，结合折叠可得：∠AEB=∠A EB=55°，∴∠DEF=180°-2×55°=70°，∵矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠BFG=∠DEF=70°，∵BG=BF，∴∠BGF=∠BFG=70°；∴∠GBF=180°-2×70°=40°；故答案为：40°．(2)如图，过F作FQ⊥AD于Q，∴四边形FCDQ是矩形，则CF=DQ，FQ=CD=3，同理可得：∠BGF=∠BFG，∠DEG=∠BFG，而∠DGE=∠BGF，∴∠DEG=∠DGE，∴设DE=DG=x，∵矩形ABCD，AB=3，BC=4，∴BD=32+42=5，∴BG=BF=5-x，∴CF=4-5-x=x-1，∴EQ=x-x-1=1，∴EF=12+32=10，由折叠可得：A E=AE=4-x，∴AF =10-4+x，∵∠QEF=∠BFA ，∴cos∠BFA =cos∠FEQ，∴EQEF=A FBF，∴110=10-4+x5-x，解得：x=5-10，经检验符合题意；∴DE=5-10．故答案为：5-10．【点睛】本题考查的是轴对称的性质，矩形的性质与判定，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，等腰三角形的判定与性质，熟练的利用以上知识解题是关键．三、解答题15综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展实践活动．(1)操作判断操作一：如图(1)，正方形纸片ABCD，点E是BC边上(点E不与点B，C重合)任意一点，沿AE折叠△ABE到△AFE，如图(2)所示；操作二：将图(2)沿过点F的直线折叠，使点E的对称点G落在AE上，得到折痕MN，点C的对称点记为H，如图(3)所示；操作三：将纸片展平，连接BM，如图(4)所示．根据以上操作，回答下列问题：①B，M，N三点(填“在”或“不在”)一条直线上；②AE和BN的位置关系是，数量关系是；③如图(5)，连接AN，改变点E在BC上的位置，(填“存在”或“不存在”)点E，使AN平分∠DAE．(2)迁移探究苏钰同学将正方形纸片换成矩形纸片ABCD，AB=4，BC=6，按照(1)中的方式操作，得到图(6)或图(7)．请完成下列探究：①当点N在CD上时，如图(6)，BE和CN有何数量关系？并说明理由；②当DN的长为1时，请直接写出BE的长．【答案】(1)①在，②AE⊥BN，相等；③不存在；(2)①BECN =23，理由见解析；②BE=2或165．【分析】(1)①E的对称点为E ，BF⊥EE ，MF⊥EE ，即可判断；②由①AE⊥BN，由同角的余角相等得∠BAE=∠CBN，由AAS可判定△ABE≌△BCN，由全等三角形的性质即可得证；③由AAS可判定△DAN≌△MAN，由全等三角形的性质得AM=AD，等量代换得AB=AM，与AB>AM矛盾，即可得证；(2)①由(1)中的②可判定△ABE∽△BCN，由三角形相似的性质即可求解；②当N在CD上时，△ABE∽△BCN，由三角形相似的性质即可求解；当N在AD上时，同理可判定△ABE∽△NAB，由三角形相似的性质即可求解．【详解】(1)解：①E的对称点为E ，∴BF⊥EE ，MF⊥EE ，∴B、F、M共线，故答案为：在；②由①知：B、F、M共线，N在FM上，∴AE⊥BN，∴∠AMB=90°，∴∠ABM+∠BAE=90°，∵四边形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BCN=90°，AB=BC，∴∠CBN+∠ABM=90°，∴∠BAE=∠CBN，在△ABE和△BCN中，∠BAE=∠CBN ∠ABC=∠BCN AB=BC，∴△ABE≌△BCN(AAS)，∴AE=BN，故答案为：相等；③不存在，理由如下：假如存在，∵AN平分∠DAE，∴∠DAN=∠MAN，∵四边形ABCD是正方形，AM⊥BN，∴∠D=∠AMN=90°，在△DAN和△MAN中，∠D=∠AMN∠DAN=∠MAN AN=ANN∴△DAN≌△MAN(AAS)，∴AM=AD，∵AD=AB，∴AB=AM，∵AB是Rt△ABM的斜边，∴AB>AM，∴AB =AM 与AB >AM 矛盾，故假设不成立，所以答案为：不存在；(2)解：①BE CN=23，理由如下：由(1)中的②得：∠BAE =∠CBN ，∠ABE =∠C =90°，∴△ABE ∽△BCN ，∴BE CN =AB BC=23；②当N 在CD 上时，CN =CD -DN =3，由①知：△ABE ∽△BCN ，∴BE CN =AB BC =23，∴BE =23CN =2，当N 在AD 上时，AN =AD -DN =5，∵∠BAE =∠CBN =∠ANB ，∠ABE =∠BAN =90°，∴△ABE ∽△NAB ，∴BE AB =AB AN ，∴BE 4=45，∴BE =165，综上所述：BE =2或165．【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形相似的判定及性质，掌握相关的判定方法及性质，“十字架”典型问题的解法是解题的关键．16在矩形ABCD 中，AD =2AB =8，点P 是边CD 上的一个动点，将△BPC 沿直线BP 折叠得到△BPC ．(1)如图1，当点P 与点D 重合时，BC ′与AD 交于点E ，求BE 的长度；(2)当点P 为CD 的三等分点时，直线BC ′与直线AD 相交于点E ，求DE 的长度；(3)如图2，取AB 中点F ，连接DF ，若点C ′恰好落在DF 边上时，试判断四边形BFDP 的形状，并说明理由．【答案】(1)BE 的长度为5；(2)DE 的长度为113或83;(3)四边形BFDP 是平行四边形(理由见解析)【分析】本题利用了折叠的知识(折叠后的两个图形全等)以及矩形的性质(矩形的对边相等，对角相等)，以及平行四边形的判定有关知识．(1)利用矩形性质和折叠的性质可推出BE=DE，设BE=x,则DE=x,AE=8-x,利用勾股定理建立方程求解即可得出答案；(2)设DE=m,则AE=m+8，设BE交CD于G，可证得△AEB∽△CBG，得出CGAB =BCAE，即CG4=8m+8，求得CG=32m+8，分两种情况：当PC=13CD=43时，当PC=23CD=83时，分别添加辅助线构造相似三角形，利用相似三角形性质建立方程求解即可得出答案；(3)由中点定义可得AF=BF，过点C 作C M∥AD交AB于点M，过点F作FN⊥BC 于点N，由矩形性质和翻折的性质可得∠C BP=∠CBP=12∠C BC，可证得△FC M∽△FDA，得出FMAF=C MAD，再证得△BFN∽△BC M，进而推出FM=FN，利用角平分线的判定定理可得∠BC F=∠MC F=12∠BC M推出∠BC F=∠C BP，再由平行线的判定定理可得DF∥BP，运用平行四边形的判定定理即可证得四边形BFDP是平行四边形．【点睛】点睛片段【详解】(1)解：∵AD=2AB=8，∴AB=4，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°，AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，由折叠得：∠DBC=∠DBC ，∴∠ADB=∠DBC ，即∠EDB=∠EBD，∴BE=DE，设BE=x，则DE=x，AE=8-x，在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2，∴(8-x)2+42=x2，解得：x=5，∴BE的长度为5；(2)设DE=m，则AE=m+8，设BE交CD于G，∵四边形ABCD是矩形，∴BC=AD=8，CD=AB=4，AD∥BC，∠A=∠BCG=90°，∴∠AEB=∠CBG，∴△AEB∽△CBG，∴CG AB =BCAE，即CG4=8m+8，∴CG=32m+8，当PC=13CD=43时，BP=BC2+PC2=82+432=4373，连接CC ，过点C 作C H⊥CD于点H，如图，∵将△BPC沿直线BP折叠得到△BPC ，∴CC ⊥BP，△BPC ≌△BPC，∴S四边形BCPC =2S△BPC，∴1BP⋅CC =2×1BC⋅PC，即12×4373CC =2×12×8×43，∴CC =163737，∵∠C CH +∠BPC =90°，∠PBC +∠BPC =90°，∴∠C CH =∠PBC ，∵∠CHC =∠BCP =90°，∴△CC H ∽△BPC ，∴C H PC =CH BC =CC BP ，即CH 43=CH 8=1637374373，∴C H =1637，CH =9637，∵∠C HG =∠EDG =90°，∴C H ∥AE ，∴∠GC ′H =∠AEB ，∴△C GH ∽△EBA ，∴GH AB =C H AE ，即GH 4=1637m +8，∴GH =6437(m +8)，∵CH +GH =CG ，∴9637+6437(m +8)=32m +8，解得：m =113，经检验，m =113是该方程的解，∴DE =113；当PC =23CD =83时，BP =BC 2+PC 2=82+83 2=8103，连接CC ，过点C 作C H ⊥CD 交CD 的延长线于点H ，作C G ⊥AD 于点G ，如图，同理可得：CC =8105，同理△CC H ∽△BPC ，∴C H PC =CH BC =CC BP ，即CH 83=CH 8=81058103，∴C H =85，CH =245，∴DH =CH -CD =245-4=45，∵∠HDG =∠H =∠C GD =90°，∴四边形DGC H 是矩形，∴C G =DH =45，DG =C H =85，∵∠C GE =∠A =90°，∠C EG =∠BEA ，∴△C EG ∽△BEA ，∴EG AE =C G AB =454=15，∴AE =5EG ，∵AE +EG =AG =AD -DG =8-85=325，∴5EG +EG =325，∴EG =1615，∴DE =DG +EG =85+1615=83，综上所述，DE 的长度为113或83；(3)四边形BFDP 是平行四边形，理由如下：∵点F 是AB 的中点，∴AF =BF ，过点C 作C M ∥AD 交AB 于点M ，过点F 作FN ⊥BC 于点N ，如图，则∠FC M =∠ADF ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ,AB ∥CD ，∴C M ∥BC ，∴∠BC M =∠C BC ，由翻折得：∠C BP =∠CBP =12∠C BC ，BC =BC =8，∵C M ∥AD ，∴△FC M ∽△FDA ，∴FM AF =C M AD ，∴FM BF =C MBC ，∵∠BNF =∠BMC =90°，∠FBN =∠C BM ，∴△BFN ∼△BC M∴FN BF =C MBC ，∴FM BF =FN BF ，∴FM =FN ，又∵FM ⊥C M ，FN ⊥C B ，∴∠BC F =∠MC F =12∠BC M ，∴∠BC F =∠C BP ，∴DF ∥BP ，∴四边形BFDP 是平行四边形．17矩形ABCD 中，AB =6，AD =8，点E 为对角线AC 上一点，过点E 作EF ⊥AD 于点F ，EG ⊥AC 交边BC 于点G ，将△AEF 沿AC 折叠得△AEH ，连接HG ．(1)如图1，若点H 落在边BC 上，求证：AH =CH ；(2)如图2，若A ，H ，G 三点在同一条直线上，求HG 的长；(3)若△EHG 是以EG 为腰的等腰三角形，求EF 的长．【答案】(1)见解析(2)HG =94(3)EF =103或4【分析】(1)根据矩形的性质和翻折的性质证明∠ACH =∠HAC ，即可解决问题；(2)结合(1)的方法AG =CG ，解Rt △AEG ，Rt △HEG 分别求得EG ,HG ；(3)当△EHG 是以EG 为腰的等腰三角形时，分两种情况：①当EG =EH ，②当EG =HG ，结合(2)的方法，利用全等三角形的判定与性质和相似三角形的判定与性质即可解决问题．【详解】(1)∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ．∴∠DAE =∠ACH .∵△AHE 由△AFE 折叠得到，∴∠HAC =∠DAE ，∴∠HAC =∠ACH ，∴AH =CH ；(2)∵矩形ABCD 中，AB =6,AD =8．∴AC =10.当A ，H ，G 三点在同一条直线上时，∠EHG =90°．同(1)可得AG =CG ．又∵EG ⊥AC ，∴AE =12AC =5．∵∠AEH +∠HEG =90°，∠AEH +∠HAE =90°，∴∠HEG =∠HAC =∠CAD ．∵在Rt △AEG 中，tan ∠EAG =EG AE =34，∴EG =34AE =154．∵在Rt △HEG 中，sin ∠HEG =HG EG =35，∴HG =35EG =94．(3)①若EH =EG ，如图3①设EF =EH =EG =x ，∵EF ⊥AD ，∴EF ∥CD ，∴△AEF ∽△ACD ，∴AE AC =AF AD =EF CD ∴AE 10=AF 8=x 6∴AE =53x ,AF =43x ，∴AH =AF =43x ，∵∠AHE =∠CEG =90°，∠HAE =∠GCE ，EH =EH ，∴△AHE ≌△CGE AAS ，∴AH =CE ，∴43x =10-53x ，∴x =103∴EF =103．②若HG =GE ，如图3②．(图3②)过点G 作GM ⊥HE ，设EF =a ,∵EC =10-53a ，∵∠AHE =∠CEG =90°，∠HAE =∠GCE ，∴△AHE ∽△CGE ，∴EG =34EC =3410-53a =152-54a ，∵∠GME =∠EHA ，∠MGE =90°-∠MEG =∠HAE ，∴△MGE ∽△HEA ，∴ME AH =EG AE ，∵AH AE =AD AC =45，∴AH =45AE ，∴ME =45EG =45152-54a =6-a ，∴HE =2ME =12-2a =EF ，∴12-2a =a ，∴a =4，∴EF =4，综上，EF =103或4．【点睛】本题考查了矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，翻折的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．18综合与实践【问题情境】数学活动课上，老师准备了若干张正方形纸片ABCD，组织同学们进行折纸探究活动．【初步尝试】把正方形对折，折痕为EF，然后展开，沿过点A与点E所在的直线折叠，点B落在点B 处，连接 B C，如图1，请直接写出∠AEB 与∠ECB 的数量关系．【能力提升】把正方形对折，折痕为EF，然后展开，沿过点A与BE上的点G所在的直线折叠，使点B落在EF上的点P处，连接PD，如图2，猜想∠APD的度数，并说明理由．【拓展延伸】在图2的条件下，作点A关于直线CP的对称点A ，连接PA ，BA ，AC，如图3，求∠PA B的度数．【答案】初步尝试：∠AEB =∠ECB ；能力提升：猜想：∠APD=60°，理由见解析；拓展延伸：∠PA B=15°【分析】初步尝试：连接BB ，由折叠的性质可知，BE=CE，BE=BE ，∠AEB=∠AEB ，BB ⊥AE，根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，得出∠BB C=90°，推出AE∥CB ，即可得出答案；能力提升：根据正方形的性质和折叠的性质，易证△AFP≌△DFP SAS，从而证明△APD是等边三角形，即可得到答案；拓展延伸：连接A C、AA ，由(2)得△APD是等边三角形，进而得出∠PDC=30°，再结合等边对等角的性质和三角形内角和定理，求得∠PAC=15°，∠ACP=30°，由对称性质得：AC=A C，∠ACP=∠A CP=30°，证明△AA B≌△CA B SSS，得到∠CA B=30°，再由∠CA P=∠CAP=15°，即可求出∠PA B的度数．【详解】解：初步尝试：∠AEB =∠ECB ，理由如下：如图，连接BB ，由折叠的性质可知，BE=CE，BE=BE ，∠AEB=∠AEB ，BB ⊥AE，∴BE=CE=BE ，∴∠EBB =∠EB B，∠ECB =∠EB C，∵∠EBB +∠EB B+∠EB C+∠ECB =2∠EB B+∠EB C=180°，∴∠BB C=90°，即BB ⊥CB ，∴AE∥CB ，∴∠AEB=∠ECB ，∴∠AEB =∠ECB ；解：能力提升：猜想：∠APD=60°，理由如下：理由：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ADC=90°，由折叠性质可得：AF =DF ，EF ⊥AD ，AB =AP ，在△AFP 和△DFP 中，AF =DF∠AFP =∠DFP =90°FP =FP，∴△AFP ≌△DFP SAS ，∴AP =PD ，∴AP =AD =PD ，∴△APD 是等边三角形，∴∠APD =60°；解：拓展延伸：如图，连接A C 、AA ，由(2)得△APD 是等边三角形，∴∠PAD =∠PDA =∠APD =60°，AP =DP =AD ，∵∠ADC =90°，∴∠PDC =30°，又∵PD =AD =DC ，∴∠DPC =∠DCP =12×180°-30° =75°，∠DAC =∠DCA =45°，∴∠PAC =∠PAD -∠DAC =60°-45°=15°，∠ACP =∠DCP -∠DCA =75°-45°=30°，由对称性质得：AC =A C ，∠ACP =∠A CP =30°，∴∠ACA =60°，∴△ACA 是等边三角形，在△AA B 与△CA B 中，A A =A CA B =A B AB =BC，∴△AA B ≌△CA B SSS ，∴∠AA B =∠CA B =12∠AA C =30°，又∵∠CA P =∠CAP =15°，∴∠PA B =∠CA B -∠CA P =15°．【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题关键．19综合与实践数学活动课上，数学老师以“矩形纸片的折叠”为课题开展数学活动：将矩形纸片ABCD 对折，使得点A ，D 重合，点B ，C 重合，折痕为EF ，展开后沿过点B 的直线再次折叠纸片，点A 的对应点为点N ，折痕为BM ． (1)如图(1)若AB =BC ，则当点N 落在EF 上时，BF 和BN 的数量关系是，∠NBF 的度数为．思考探究：(2)在AB=BC的条件下进一步进行探究，将△BMN沿BN所在的直线折叠，点M的对应点为点M ．当点M 落在CD上时，如图(2)，设BN，BM 分别交EF于点J，K．若DM =4，请求出三角形BJK的面积．开放拓展：(3)如图(3)，在矩形纸片ABCD中，AB=2，AD=4，将纸片沿过点B的直线折叠，折痕为BM，点A的对应点为点N，展开后再将四边形ABNM沿BN所在的直线折叠，点A的对应点为点P，点M的对应点为点M ，连接CP，DP，若PC=PD，请直接写出AM的长．(温馨提示：12+3=2-3，12+1=2-1)【答案】(1)BF=12BN，60°(2)2+2(3)4-23【分析】(1)根据折叠的性质得：AB=BN，BF=CF=12BC，根据直角三角形的性质可得∠BNF=30°，由直角三角形的两锐角互余可得结论；(2)由折叠得：BM=BM ，证明Rt△ABM≌Rt△CBM (HL)，可知AM=CM ，∠ABM=∠CBM ，得△BFJ是等腰直角三角形，再证明四边形ABCD是正方形，分别计算BF=FJ=12BC=2+2，JK=2，由三角形面积公式可得结论；(3)如图(3)，过点P作PG⊥BC于G，PH⊥CD于H，根据等腰三角形的三线合一可得DH=CH=12CD=12AB=1，由折叠的性质和矩形的性质可得PG=CH=1，BN=BP=AB=2，∠NBP=∠ABN，设PL=x，则M L=2x，M P=3x，根据NL=233=NM +M L，列方程可解答．【详解】(1)解：由折叠得：AB=BN，BF=CF，∠BFN=90°，∵AB=BC，∴BF=12BN，∴∠BNF=30°，∴∠NBF=90°-30°=60°，故答案为：BF=12BN，60°；(2)由折叠得：BM=BM ，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=∠C=90°，∵AB=BC，∴Rt△ABM≌Rt△CBM (HL)，∴AM=CM ，∠ABM=∠CBM ，∴∠ABM=∠MBN=∠NBM =∠CBM ，∴∠FBJ=45°，∴△BFJ是等腰直角三角形，∵四边形ABCD是矩形，AB=BC，∴矩形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠D=90°，∴DM=DM =4，∴MM =42，∵AM=MN=M N=CM ，∴CM =22，∴BC =CD =4+22，∴BF =FC =2+2，∵FK ∥CM ，∴BK =KM ，∴FK =12CM =2，∵△BFJ 是等腰直角三角形，∴BF =FJ =12BC =2+2，∴JK =2+2-2=2，∴S △BJK =12⋅JK ⋅BF =12×2×(2+2)=2+2；(3)如图，过点P 作PG ⊥BC 于G ，PH ⊥CD 于H ，∵PC =PD ，∴DH =CH =12CD =12AB =1，∵∠PGC =∠PHC =∠BCH =90°，∵四边形PGCH 是矩形，∴PG =CH =1，由折叠得：BN =BP =AB =2，∠NBP =∠ABN ，Rt △BPG 中，∠PBG =30°，∴∠ABN =∠NBP =90°-30°2=30°，延长NM ，BP 交于L ，Rt △BNL 中，BN =2，∠NBL =30°，∴NL =2×33=233，Rt △M PL 中，∠M LP =90°-30°=60°，∴∠PM L =30°，设PL =x ，则M L =2x ，M P =3x ，∵NL =233=NM +M L ，∴3x +2x =233，∴x =433-2，∴AM =3x =3×433-2 =4-23．【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质，含30°角的直角三角形的性质，矩形的性质和判定，正方形的判定和性质，三角函数等知识，掌握折叠的性质和正确作辅助线是解题的关键，题目具有一定的综合性，比较新颖．20综合与实践综合与实践课上，老师带领同学们以“矩形和平行四边形的折叠”为主题开展数学活动．(1)操作判断如图1，先用对折的方式确定矩形ABCD 的边AB 的中点E ，再沿DE 折叠，点A 落在点F 处，把纸片展平，延长DF ，与BC 交点为G ．。
初中数学：折叠问题
折叠模型 1、全等 1.1 边相等 1. 如图，Rt△ABC中，AB＝9，BC＝6，∠B＝90°，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为 ．
2. 如图，把矩形纸片ABCD折叠，使点B恰好落在CD边的中点E处，折痕为AF，若CD＝6，则AF＝ ． 3. 如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F，若AB=6，BC=4√6，则FD的长为 ．
4. 折叠矩形纸片ABCD时，发现可以进行如下操作：①把△ADE翻折，点A落在DC边上的点F处，折痕为DE，点E在AB边上；②把纸片展开并铺平；③把△CDG翻折，点C落在线段AE上的点H处，折痕为DG，点G在BC边上，若AB＝AD+2，EH＝1，则AD＝ ． 5. 如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝10，E是边AD上的一个动点，将△ABE沿BE进行折叠，点A的对应点为A′．若点A′刚好落在线段CD的垂直平分线上，连接AA′，则DE的长为( )
A．2√3 B．4√3 C．10﹣2√3 D．6﹣4√3
6. 如图，正方形纸片ABCD边长为6，点E，F分别是AB，CD的中点，点G，H分别在AD，AB上，将纸片沿直线GH对折，当顶点A与线段EF的三等分点重合时，AH的长为 ．
7. 如图，将一张矩形纸片ABCD沿着对角线BD向上折叠，顶点C落到点E处，BE交AD于点F．作DG∥BE，交BC于点G，连结FG交BD于点O．
(1) 判断四边形BFDG的形状，并说明理由； (2) 若AB=3，AD=4，求FG的长． 8. 如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，P为AD上一点，将△ABP沿BP翻折至△EBP，PE与CD相交于点O，BE与DC相交于G点，且OE＝OD． (1)求证：AP＝DG； (2)求AP的长度．
9. 如图，矩形ABCD中，BC＝3，且BC＞AB，E为AB边上任意一点(不与A，B重合)，设BE＝t，将△BCE沿CE对折，得到△FCE，延长EF交CD的延长线于点G，则tan∠CGE＝ (用含t的代数式表示)．
完整版初中数学专题折叠问题
专题八折叠问题学习要点与方法点拨：出题位置：选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题折叠问题中，常出现的知识时轴对称。
折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；-----判断线段之间关系等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、轴对称性质折线，是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。
压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。
基本图形：中，将△ABF沿FBE,可得何结论？BE折叠至△在矩形ABCD2）垂直。
结论：（1）全等；（）基本图形练习：（1A上，折痕为AD，展开纸片；再次折叠，使得沿过点如图，将三角形纸片ABCA的直线折叠，使得AC落在AB 是等腰三角形，对吗？则△和D点重合，折痕为EF,展开纸片后得到△AEF,AEF）折叠中角的考法与做法：（2的直线）；再沿过点E1FAABCD 将矩形纸片沿过点B的直线折叠，使得落在BC边上的点处，折痕为BE（图的大小。
再展开纸片，求图（,3）中角a）（图'，折痕为边上的点落在折叠，使点DBEDEG21专题精讲〗讲8第〖九年级．）折叠中边的考法与做法：（3D落在AB边中点E处，如图，将边长为 6cm的正方形ABCD折叠，使点 EBG的周长是多少？交于点G，则△落在折痕为FH，点CQ处，EQ与BC★解题步骤：第一步：将已知条件标在图上第二步：设未知数，将未知数标在图上；第三步：列方程，多数情况可通过勾股定理解决。
模块精讲1.例点处．落在的一条边AD=8，将矩形ABCD折叠，使得顶点BCD边上的P 扬州）已知矩形（2014?ABCDO，连结．、OAAP、OP1（）如图1，已知折痕与边BC交于点PDA；△①求证：OCP∽△的长；：4，求边ABOCP②若△与△PDA的面积比为1 边的中点，求∠OAB的度数；中的点（2）若图1P恰好是CD不重P、AMMOP，（3）如图2，擦去折痕AO、线段，连结BP．动点在线段AP上（点与点在移动MN交PBM、N．试问当点⊥，作于点FMEBP于点E，连结的延长线上，且在线段合），动点NABBN=PM EF过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段的长度．2专题精讲〗讲8第〖九年级．2.例在矩F沿AE折叠后得到△AFE，且点2013?（苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将△ADEk的代数式表示）．．若=，则=用含于点形ABCD内部．将AF延长交边BCG三CA、B、BC=12cm，点E、F、G分别从，（例3、2013?苏州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm的运动G的运动速度为3cm/s，点E点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点的运动速度为1cm/s，点F关于直线重合）时，三个点随之停止运动．在运动过程中，△EBF（即点F到达点CF与点C速度为1.5cm/s，当点s）．、FG运动的时间为t（单位：EF的对称图形是△EB′F．设点E、为正方形；s时，四边形EBFB′（1）当t=为顶点的三角形相似，求t的值；FF为顶点的三角形与以点，C，GB2（）若以点E、、的值；若不存在，请说明理由．OB′与点重合？若存在，求出tt（3）是否存在实数，使得点3专题精讲〗讲8第〖九年级．CD分别与AB，上的点如图，已知矩形纸片ABCD，AD=2，AB=4．将纸片折叠，使顶点A与边CDE 重合，折痕FG例4、 O．交于点交于点G，F，AE与FG F四点围成的四边形是菱形；（1）如图1，求证：A，G，E，的中点；，当△AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC（2）如图2 （3）如图2，在（2）的条件下，求折痕FG的长．F对称，点E与点EE⊥AD，点，点F分别在射线AD，射线BC上．若点与点B关于ACABAD 例5、已知∥BC，G关于BD对称，AC与BD相交于点，则（）22BC=5CF ． B ．A1+tan∠ADB=6 AGB= D．4cos∠∠．∠CAEB+22°=DEF4专题精讲〗讲8第〖九年级．课堂练习、1，展开后再折叠一次，2CD重合，折痕为EF．如图对折，使2、（2014连云港）如图1，将正方形纸片ABCDAB与．ANE=_________EM交AB于N，则tan∠B使点C 与点E重合，折痕为GH，点的对应点为点M，4 图图3处，折痕B，折叠该纸片，使点A落在点，∠3、（2014?徐州）如图3，在等腰三角形纸片ABC 中，AB=ACA=50°．_________°为DE，则∠CBE=、处，若A沿△ABCDE折叠，使点A落在边BC上的点F，4、（2014?扬州）如图4△ABC的中位线DE=5cm，把2 ABC，则△的面积为_________cm．F两点间的距离是8cm上的一动点，，BC=m，P为线段BC，，在梯形5、（2013?扬州）如图1ABCD中，AB∥CD，∠B=90°AB=2，CD=1 ，CE=y．CD，过P作PE⊥PA交所在直线于E．设BP=xPAB且和、C不重合，连接x的函数关系式；（1）求y与EBC上运动时，点总在线段CD上，求m的取值范围；P（2）若点在线段长．BPPEG沿m=4）如图2，若，将△PECPE翻折至△位置，∠BAG=90°，求3（5专题精讲〗讲8第〖九年级．课后巩固习题重合，展开后折痕D△ABC折叠，使点A与点平分∠1、（2014?淮安）如图，在三角形纸片ABC 中，ADBAC，将是菱形．、DF．求证：四边形AEDF、分别交AB、AC于点EF，连接DEBC出发沿从点B，且AB=10，BC=6，CD=2．点E中，2、（2013?宿迁）如图，在梯形ABCDAB ∥DC，∠B=90°AD分别交△GEF，直线FG、EGEF交边方向运动，过点E作EF∥ADAB于点F．将△BEF沿所在的直线折叠得到ABCD的重叠部分的面积为y．GEF过点，当EGD时，点E即停止运动．设BE=x，△与梯形、于点MN 是等腰三角形；△AMF1（）证明x的值；）当2EG过点D时（如图（3）），求（的函数，并求y表示成xy的最大值．）将（36专题精讲〗讲8第〖九年级．C'DG,E,F,分别是落在C'处,BC交AD于点C,AB=6,BC=8,3、如图,在矩形ABCD中把△BCD沿着对角线BD折叠,使点. 重合,点D'恰好与点AD'于点H,把△FDE沿着EF折叠,使点D落在处EFBD和上的点,线段交ADC'DG ≌△）求证:三角形ABG（1 ∠ABG的值；（2）求tan ）求EF的长。
七年级折叠问题知识点总结
七年级折叠问题知识点总结折叠问题是初中数学中一个相对难度不高但却高频出现的考点，对于七年级学生来说，掌握折叠问题的知识点是非常重要的。
下面将就这一考点进行全面总结。
一、定义折叠问题是指在一个平面图形上通过把它按照一定的方式、方向折叠，最终使得不同的部分重叠在一起或被盖住，要求求出被盖住部分的面积或者所剩下的形状等问题。
其涉及的图形种类繁多，但基本操作类似，具有很高的抽象性和富有思维性，是一种综合运用几何知识的问题。
二、关键思维折叠问题的解题关键在于灵活运用图形之间的等价性质，相关的思维方法主要包括以下几点：1. 分析图形的对称性：折叠通常涉及到“翻折”、“对称”等概念，因此，我们在解题中首先需要分析图形的对称性质，找出各对称轴，这样才能找到正确的折叠方式，避免漏解或者重解。
2. 利用图形不变性：在进行折叠的过程中，需要注意图形的一些不变性质，如面积、周长、角度、比例等，这些特征是可以被运用的，例如，在解决一道求面积的问题时，可能只需找到一个图形特征，便能够得出答案。
3. 选择适当的剖法：在有些情况下，通过简单的折叠很难求解，因此需要选择适当的剖法，如通过切割、旋转、投影等方法，将图形分割成子图形或更容易操作的形状，这样可以更方便地分析和计算。
三、常见的折叠问题1. 棱镜类问题棱镜折叠问题是指给定一个长方形，将其沿着边界折叠成一个四面体，求四面体的表面积或者体积等问题。
这种情况下需要考虑对称和镜像点等概念，利用图形不变性求解。
2. 圆柱类问题圆柱折叠问题是指给定一个长方形或者正方形，将其围绕着一定的轴旋转，并折叠起来，求形成的圆柱的表面积或者体积等问题。
这种情况下需要运用如旋转、映射等数学方法，求解时同样需要考虑对称、面积不变等特征。
3. 复杂图形问题复杂图形折叠问题是指给定一个复杂的图形（如饼干、卡片、飞机等），将其沿着特定的折叠线折叠后，求被覆盖部分的面积，或者被剖开后所得到的不同的图形等问题。
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初中数学折叠问题模型
（实用版）
目录
1.初中数学折叠问题的概念和背景
2.折叠问题的基本模型
3.折叠问题的解题方法
4.折叠问题在初中数学中的应用
5.总结
正文
一、初中数学折叠问题的概念和背景
初中数学折叠问题是指，将一个平面图形通过折叠，使得它与另一个平面图形重合，从而形成一个立体图形。
这种问题在初中数学中非常常见，它有助于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
二、折叠问题的基本模型
折叠问题的基本模型包括以下几个方面：
1.折叠线：折叠线是指将平面图形折叠成立体图形的那条线。
在折叠过程中，折叠线两侧的部分会互相重合。
2.折叠角：折叠角是指折叠线上的两个相邻角度，它们在折叠过程中会互相重合。
3.折叠距离：折叠距离是指折叠线上某个点到另一个点的距离。
在折叠过程中，折叠距离保持不变。
三、折叠问题的解题方法
解决折叠问题，通常需要以下几个步骤：
1.观察题目，理解题意，找到折叠线、折叠角和折叠距离。
2.根据题目要求，找到需要折叠的图形，并画出折叠线。
3.利用折叠线的性质，找到折叠线上的相应角度和距离。
4.利用数学知识，列方程求解，找到折叠线上的未知量。
5.将求得的未知量代入方程，求解得到最终答案。
四、折叠问题在初中数学中的应用
折叠问题在初中数学中有广泛的应用，它可以帮助学生理解几何图形的性质，培养空间想象能力和逻辑思维能力。
同时，折叠问题还可以与其他数学知识点相结合，如与勾股定理、相似三角形等知识点相结合，提高学生的综合运用能力。
五、总结
折叠问题是初中数学中的一个重要知识点，它有助于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
在解决折叠问题时，需要找到折叠线、折叠角和折叠距离，利用数学知识列方程求解。