第1课时 圆周角定理及其推论1 数学北师大版九年级下册教案

第三章圆
4圆周角和圆心角的关系
第1课时圆周角定理及其推论1
教学目标
教学反思
1.理解圆周角的概念，会叙述并证明圆周角定理．
2.理解圆周角与圆心角的关系并能运用圆周角定理及推论解决简单的
几何问题．
教学重难点
重点：理解圆周角与圆心角的关系．
难点：感悟圆周角定理证明过程中的分类、转化的数学思想．
教学过程
知识回顾
很多同学都喜欢看足球比赛，在射门的过程中也有数学问题.
如图，在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B对
球门AC的张角（∠ABC）有关．当球员在B，D，E处射门时，他所处的
位置对球门AC分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC．这三个角的大
小有什么关系？由此来引出本节要研究的课题．
设计意图：通过大家喜欢的足球比赛，充分调动学生的听课热情和积极
性，同时也让学生感受到生活或娱乐中处处都有数学，通过设疑激发学生的
求知欲，培养学习兴趣．
探究新知
一、预习新知
对于前面提出的问题，给学生留出思考的时间，学生思考后并猜想，可
能会有大部分的学生认为在D处进球的可能性大，也有学生认为一样大．教师提出问题：图中的三个角∠ABC，∠ADC，∠AEC，以前见过这种类型的角吗？它们有什么共同特征？
学生先自主思考，然后与同伴交流自己的想法．教师组织学生说出自己的发现，引导学生与圆心角进行对比．
代表总结特征：(1)角的顶点在圆上；(2)角在圆的内部；(3)角的两边都与圆相交．
我们把具有这样特征的角称为圆周角．
圆周角的概念：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点，像这样的角叫做圆周角．
教师强调：理解圆周角的概念的两个特征：
(1)角的顶点在圆上；
(2)角的两边都与圆相交．
巩固练习
判断下列各图形中的角是不是圆周角．
（1）（2）（3）
（4）（5）
答案：只有图（3）中的角是圆周角.
设计意图：让学生学好基础知识、基本概念，识别其内容反映出来的数
学思想和方法，培养学生的基本技能及分析问题和解决问题的能力，使学生
通过自己的观察与探索，发现、理解并掌握圆周角的定义．
二、合作探究
多媒体展示
教学反思
如图，∠AOB=80°．
师：请你画出几个弧AB所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与
同伴交流．
教师要求学生动手操作，教师巡视，发现学生出现的问题，及时纠正，
学生独立完成并与同伴进行交流．
生：使用量角器进行测量可得弧AB所对的圆周角的度数都相等．
师：你能画出多少个这样的圆周角？
生：可以画出无数个相等的圆周角．
师：这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系？你是怎么发现
的？与同伴进行交流．
学生继续进行操作，教师参与其中，学生独立完成并与同伴进行交流，
利用量角器得出弧AB所对的圆周角都等于40°，都等于弧AB所对的圆心
角80°的一半．
如果改变图中的∠AOB的度数，上面的结论还成立吗？
让学生分组探究，分四组练习，得出结论，再结合各组的结论，总结出
圆周角与圆心角之间的关系．
师生共同总结：圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度
数的一半．
归纳：圆周角与圆心的位置关系只有三种：
(1)圆心在圆周角的一边上(如图(1)所示)；
(2)圆心在圆周角的内部(如图(2)所示)；
(3)圆心在圆周角的外部(如图(3)所示)．教学反思
（1）（2）（3）
师：对于上面的结论能不能进行证明呢？
要求学生独立写出已知和求证，并利用图(1)进行证明．
学生代表展示解题过程.
教师引导学生思考下面的问题：
1.证明圆周角定理的主要思路是什么？
2.我们用推理论证的方法得到了第一种情况结论是成立的，对于第二、三种情况都可以转化成圆心在圆周角的一边上的情况去处理．然后让学生独立完成其他两种情况的证明．
想一想
在射门游戏中，当球员在B，D，E处射门时，所形成的三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？
生：它们都是AC
︵
所对的圆周角，根据圆周角定理，它们都等于∠AOC 度数的一半，所以这三个角相等．
师：根据上述探究的结论，以及三个圆周角的共性，你还能得出什么样的结论？
师生共同总结：圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．设计意图：通过测量和推理证明两种方式得出圆周角的判定定理，加深了学生对于圆周角定理的理解，为下面的运用奠定了良好的基础．典型例题
【例】如图，在足球比赛中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置的射门角度的大小有关．如果在一次比赛中，小华和小勇分别处在图中的A，B两点，球门的位置在线段CD，如果球在小华的脚下，此时他应该选择传给小勇还是自己射门较好？(不考虑其他因素)
【问题探索】要使球能射入球门，则所在位置射入球门的张角越大越好，
即比较∠DBC与∠CAD的大小．
【解】如图，过A，C，D三点作圆，此时点B在圆外，连接CB，DB，
CA，DA，设CB交圆于点E，连接DE，则∠CBD<∠CED.
而∠CAD＝∠CED，
所以∠DBC<∠CAD，
所以小华自己射门较好．
教学反思
【总结】(1)解此类题时，构建数学模型，将实际问题转化为数学问题．
(2)当两点到球门的距离相差不大时，在对球门张角较大的点处射门较
好．
课堂练习
1.如图，在⊙O中，OC∥AB，∠A＝20°，则∠1等于()
A.40°
B.45°
C.50°
D.60°
2.如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C, D为半圆上的两点，
∠CAD=25°，则∠COD 的度数为.
3.如图，点B ，C 在⊙O 上，且BO ＝BC ，则圆周角∠BAC ＝.
4.如图，△ABC 的三个顶点都在⊙O 上，直径AD ＝6 cm ，∠DAC ＝
2∠B ，求AC 的长．
参考答案
1.D
2.50°
3.30°
4.解：如图，连接OC .
∵∠AOC ＝2∠B ，∠DAC ＝2∠B ， ∴∠AOC ＝∠DAC ， ∴CO ＝AC . 又∵OA ＝OC ， ∴AO ＝AC ＝OC ， ∴△AOC 是等边三角形， ∴AC ＝AO ＝1
2
AD ＝3 cm.
课堂小结
(学生总结，老师点评) 1.圆周角的定义.
教学反思
2.圆周角定理.
3.圆周角定理的推论1.
板书设计
第三章圆
4圆周角和圆心角的关系
第1课时圆周角定理及其推论1
1.圆周角的定义：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角．
2.圆周角定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．
3.圆周角定理的推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等．。