2021中考数学 尖子生培优训练 二次函数的图象及性质(含答案)

2021中考数学 尖子生培优训练 二次函数的图象及性质一、选择题（本大题共10道小题）1. 若二次函数y=ax 2+bx+c (a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x=-1，则使函数值y>0成立的x 的取值范围是 ( ) A .x<-4或x>2 B .-4≤x ≤2 C .x ≤-4或x ≥2D .-4<x<22. 在平面直角坐标系中，抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)经过变换后得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，则这个变换可以是( ) A ．向左平移2个单位长度 B ．向右平移2个单位长度 C ．向左平移8个单位长度D ．向右平移8个单位长度3. (2019•哈尔滨)将抛物线22yx =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，所得到的抛物线为 A ．22(2)3y x =++ B ．22(2)3y x =-+ C ．22(2)3y x =-- D ．22(2)3y x =+-4. 对对对对y 对对2(x 对m )2对对对对对对对对对对()A对对对对对对对对 B对对对对对对对对对对对x 对m C对对对对对0 D对对对对对y 对对对对5. 已知二次函数y ＝x 2－4x ＋2，关于该函数在－1≤x≤3的取值范围内，下列说法正确的是( )A ．有最大值－1，有最小值－2B ．有最大值0，有最小值－1C ．有最大值7，有最小值－1D ．有最大值7，有最小值－26. 对对对对对y 对x 2对mx 对对对对对x 对3对对对对x 对对对x 2对mx 对7对对对()A. x 1对0对x 2对6B. x 1对1对x 2对7C. x 1对1对x 2对对7D. x 1对对1对x 2对77.已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象如图所示，则以下结论同时成立的是( )A.⎩⎨⎧abc>0，b 2－4ac<0B.⎩⎨⎧abc<0，2a ＋b>0C.⎩⎨⎧abc>0，a ＋b ＋c<0D.⎩⎨⎧abc<0，b 2－4ac>08. 二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的部分图象如图所示，顶点为D(－1，2)，与x 轴的一个交点A 在点(－3，0)和(－2，0)之间，有以下结论：对b 2－4ac ＜0；对a ＋b ＋c ＜0；对c －a ＝0；对一元二次方程ax 2＋bx ＋c －2＝0有两个相等的实数根．其中正确的结论有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个9. （2020·常德）二次函数的图象如图所示，下列结论：240b ac ->①；0abc <②；40a b +=③；420a b c -+>④．其中正确结论的个数是（ ）A ．4B ．3C ．2D ．110.对对对对对对2对对对对ABC 对对对对1对对对对A ′B ′C ′对对对对对B ′C ′对BC 对对对对对对对l 对对对对对对对C ′对B 对对对对ABC 对对对对对对对对对A ′B ′C ′对对对对对对对l 对对对对对对ABC 对(对B ′对C 对对)对对对对对A ′B ′C ′对对对对对对x 对对对对对对对对对对对对对对y 对对y 对对x 对对对对对对( )二、填空题（本大题共10道小题）11. 已知A (0，3)，B (2，3)是抛物线y=-x 2+bx+c 上两点，该抛物线的顶点坐标是 .12. (2019•株洲)若二次函数2y ax bx =+的图象开口向下，则__________0(填“=”或“>”或“<”)．13.对对对对对对对对对对y 对对x 2对bx 对c 对对对对对对对x 对1对对对x 对对对对对对对对对对(3对0)对对对对对对对对对对对对对______________对14. 某个函数具有性质：当x>0时，y 随x 的增大而增大，这个函数的表达式可以是________(只要写出一个符合题意的答案即可)．15.对对对(x 对m )(x 对n )对3(m 对n 对对对对对m 对n )对对对对对对对对a 对b (a 对b )对对m 对n 对a 对b 对对对对对对______________对16. 已知抛物线y=ax 2+4ax+4a+1(a ≠0)过点A (m ，3)，B (n ，3)两点，若线段AB 的长不大于4，则代数式a 2+a+1的最小值是 .17. 对对对对对对y 对3x 2对c 对对对对对对y 对4x 对对对对对对对对对对对c 对对对________对18. (2019•襄阳)如图，若被击打的小球飞行高度h (单位：m)与飞行时间t (单位：s)之间具有的关系为2205h t t =-，则小球从飞出到落地所用的时间为__________s ．19.对对对对y 对⎩⎪⎨⎪⎧对x 2对2x 对x >0对对对x 对x ≤0对对对对对对对对对对对对y 对x 对m 对对对对对对对对对对对对对对对m 对对对对对对________对20.对对对对对对对对对对对对对y 对x 2对对对对对对对对A 对对对对(1对1)对对对A 对AA 1对x 对对对对对对对A 1对对对A 1对A 1A 2对OA 对对对对对对A 2对对对A 2对A 2A 3对x 对对对对对对对A 3对对对A 3对A 3A 4对OA 对对对对对对A 4……对对对对对对对对对A 2019对对对对________对三、解答题（本大题共6道小题）21. 对对对对对对对对对y 对x 2对ax 对3对对对对对对P (对2对3)对(1)对a 对对对对对对对对对对对 (2)对Q (m 对n )对对对对对对对对对对对 对对m 对2对对对n 对对对对对对Q 对y 对对对对对对2对对对对对对对对对对n 对对对对对对22. 设x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2ax＋a2＋4a－2＝0的两实数根，当a为何值时，x12＋x22的值最小？最小值是多少？23. 如图，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3,0)，(0,1)．点D是线段BC上的动点（与端点B、C不重合），过点D作直线12y x b=-+交折线OAB于点E．（1）记△ODE的面积为S，求S与b的函数关系式；（2）当点E在线段OA上时，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为四边形O1A1B1C1，试探究四边形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由．24. 对对对对对对y对1 3x2对bx对c对x对对对A(3对0)对B(对1对0)对对对对对B对对对BC对x对对对对对y对对2x对对C.(1)对对对对对对对对对对(2)对对对对对对对对D对对对对对对对对对D对对对对对y对对2x对对(3)对P对对对对对对对对对对对对对对对对对P(对A对对)对对对PBC对对BC对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对P对对对对对对对对对对对对对对对25. (2019·山东滨州)如图①，抛物线211482y x x =-++与y 轴交于点A ，与x 轴交于点,B C ，将直线AB 绕点A 逆时针旋转90°，所得直线与x 轴交于点D ． (1)求直线AD 的函数解析式；(2)如图②，若点P 是直线AD 上方抛物线上的一个动点 ①当点P 到直线AD 的距离最大时，求点P 的坐标和最大距离；②当点P 到直线AD 时，求sin PAD ∠的值．26. (2019·四川资阳)如图，抛物线212yx bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．(1)求抛物线的解析式；(2)点D 为抛物线上位于直线BC 上方的一点，过点D 作DE x ⊥轴交直线BC 于点E ，点P 为对称轴上一动点，当线段DE 的长度最大时，求PD PA +的最小值； (3)设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．2021中考数学 尖子生培优训练 二次函数的图象及性质-答案一、选择题（本大题共10道小题）1. 【答案】D [解析]∵二次函数y=ax 2+bx +c (a<0)的图象经过点(2，0)，且其对称轴为直线x=-1，∴二次函数的图象与x 轴另一个交点为(-4，0)， ∵a<0，∴抛物线开口向下，则使函数值y>0成立的x 的取值范围是-4<x<2.2. 【答案】B[解析] y ＝(x ＋5)(x －3)＝(x ＋1)2－16，顶点坐标是(－1，－16)．y ＝(x ＋3)(x －5)＝(x －1)2－16，顶点坐标是(1，－16)．所以将抛物线y ＝(x ＋5)(x －3)向右平移2个单位长度得到抛物线y ＝(x ＋3)(x －5)，故选B.3. 【答案】B【解析】将抛物线22y x =向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到的抛物线的解析式为()2223y x =-+， 故选B ．4. 【答案】D5. 【答案】D[解析] 对二次函数y ＝x 2－4x ＋2＝(x －2)2－2，对该函数在－1≤x≤3的取值范围内，当x ＝2时，y 有最小值－2；当x ＝－1时，y 有最大值7.故选D.6.【答案】D 对对对对对对对对对y 对x 2对mx 对对对对对x 对对m 2对3对对对m 对对6对对对对x 对对对对x 2对6x 对7对对对对x 1对对1对x 2对7.7. 【答案】C [解析] 由图象可知，当x ＝1时，y ＜0，对a ＋b ＋c ＜0；对二次函数图象与x 轴有两个交点，对b 2－4ac>0；对二次函数图象与y 轴的交点在y 轴负半轴上，对c ＜0；对二次函数图象开口向上，对a ＞0；对对称轴－b2a ＞0，a ＞0，对b ＜0.对abc ＞0.故选C.8. 【答案】B9. 【答案】B 【解析】本题考查了二次函数图像与系数的关系.∵抛物线与x 轴有两个交点，∴方程20ax bx c ++=有两个不相等的实数根， 240b ac ∴->，故①正确，由图象知，抛物线的对称轴为直线2x =，22b a ∴-=，40a b ∴+=，故③正确，由图象知，抛物线开口方向向下，0a ∴<.∵40a b +=，0b ∴>.∵抛物线与y 轴的交点在y 轴的正半轴上，0c ∴>. 0abc ∴<，故②正确，由图象知，当2x =-时，0y <，420a b c ∴-+<，故④错误.综上所述，正确的结论有3个，因此本题选B．10. 【答案】B 【解析】由题意知：在对A ′B ′C ′移动的过程中，阴影部分总为等边三角形．当0＜x ≤1时，边长为x ，此时y ＝12x ×32x ＝34x 2；当1＜x ≤2时，重合部分为边长为1的等边三角形，此时y ＝12×1×32＝34；当2＜x ≤3时，边长为3－x ，此时y ＝12(3－x )×32(3－x )．综上，这个分段函数的图象左边为开口向上的抛物线的一部分，中间为直线的一部分，右边为开口向上抛物线的一部分，且最高点为34.故选B.二、填空题（本大题共10道小题）11. 【答案】(1，4) [解析]∵A (0，3)，B (2，3)是抛物线y=-x 2+bx +c 上两点， ∴代入得解得∴y=-x 2+2x +3=-(x -1)2+4，顶点坐标为(1，4).12. 【答案】<【解析】∵二次函数2y ax bx =+的图象开口向下， ∴0a <． 故答案为：<．13. 【答案】y对对x 2对2x对3[对对] 对对对对y对对x 2对bx对c对对对对对对对x对1对对b2对1对对对b对2.对对对对y对对x 2对2x对c对x对对对对对对对对对对(3对0)对对0对对9对6对c对对对c对3. 对对对对对对对对对对对y对对x 2对2x对3.14. 【答案】答案不唯一，如y ＝x 215.【答案】a 对m 对n 对b对对对对对对对对对对对(x对m)(x对n)对3对对对对对对y对(x对m)(x对n)对y对3对对对对对对对对对对对对对对对对a对m对n对b.16. 【答案】[解析]∵抛物线y=ax 2+4ax +4a +1(a ≠0)过点A (m ，3)，B (n ，3)两点，∴=-=-2.∵线段AB 的长不大于4，∴4a +1≥3，∴a ≥， ∴a 2+a +1的最小值为:2++1=.17.【答案】43对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对y对3x 2对c对y对4x对对对对对对对对y对3x 2对c对4x对对对对3x 2对4x对c对0对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对b 2对4ac对(对4)2对4×3c对0对对对c对43.18. 【答案】4【解析】依题意，令0h =得： ∴20205t t =-， 得：(205)0t t -=， 解得：0t =(舍去)或4t =，∴即小球从飞出到落地所用的时间为4s ， 故答案为：4．19.【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫23对00<m<14[对对]对对y对x对m对y对对x 2对2x对对x对m对对x 2对2x对对对对x 2对x对m对0对对对对对对对对对b 2对4ac对(对1)2对4m>0对对对m<14.对对对y对x对m对对对对对对对对对y对⎩⎪⎨⎪⎧对x 2对2x对x>0对x对x≤0对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对对m>0对 ∴m 的取值范围为0<m<14.故答案为0<m<14.20.【答案】(对1010对10102) [对对]对对A对对对对对对对OA对对对对对y对x.对AA 1对x对对对A 1(对1对1)对对对对A 1A 2对OA对对对对对A 1A 2对对对对对y对x对2对对对对对对对对对对对对A 2对对对对(2对4)对对对对对对A 3(对2对4)对A 4(3对9)对A 5(对3对9)对…对A 2019(对2019对12对10102)对对A 2019(对1010对10102)对三、解答题（本大题共6道小题）21. 【答案】对对(1)对对P(对2对3)对对y对x 2对ax对3对对 对a对2对对y对x 2对2x对3对(x对1)2对2对 对对对对对对对对对(对1对2)对(2)对对m对2对对n对11. 对对Q对y对对对对对对2对 对|m|对2对对对2对m对2对对2≤n对11.22. 【答案】解：依题意得Δ＝(2a)2－4(a2＋4a －2)≥0， ∴a≤12.∵x1＋x2＝－2a ，x1x2＝a2＋4a －2，∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝4a2－2(a2＋4a －2)＝2(a －2)2－4. ∵a≤12，∴当a ＝12时，x12＋x22的值最小，此时x12＋x22＝2×(12－2)2－4＝12，即最小值为12.23. 【答案】(1)①如图2，当E 在OA 上时，由12y x b =-+可知，点E 的坐标为(2b ,0)，OE＝2b ．此时S ＝S △ODE ＝112122OE OC b b ⋅=⨯⨯=．②如图3，当E 在AB 上时，把y ＝1代入12y x b =-+可知，点D 的坐标为(2b －2,1)，CD ＝2b －2，BD ＝5－2b ．把x ＝3代入12y x b =-+可知，点E 的坐标为3(3,)2b -，AE ＝32b -，BE ＝52b -．此时S ＝S 矩形OABC －S △OAE － S △BDE －S △OCD＝1315133()()(52)1(22)22222b b b b -⨯-----⨯⨯-252b b =-+．(2)如图4，因为四边形O 1A 1B 1C 1与矩形OABC 关于直线DE 对称，因此DM ＝DN ，那么重叠部分是邻边相等的平行四边形，即四边形DMEN 是菱形． 作DH ⊥OA ，垂足为H ．由于CD ＝2b －2，OE ＝2b ，所以EH ＝2．设菱形DMEN 的边长为m ．在Rt △DEH 中，DH ＝1，NH ＝2－m ，DN ＝m ，所以12＋(2－m )2＝m 2．解得54m =．所以重叠部分菱形DMEN 的面积为54．图2 图3 图4 考点伸展把本题中的矩形OABC 绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形（如图5），那么这个菱形的最小面积为1，如图6所示；最大面积为53，如图7所示．图5 图6 图724. 【答案】(1)对y 对13x 2对bx 对c 对x 对对对A (3对0)对B (对1对0)对对对 对⎩⎪⎨⎪⎧13×32对3b 对c 对013×对对1对2对b 对c 对0对对对⎩⎪⎨⎪⎧b 对对23c 对对1对 对对对对对对对对对y 对13x 2对23x 对1对 (2)对a 对13对b 对对23对c 对对1对对对对对对对D 对对对对(a b 2-对a b ac 442-)对对x D 对对对232×13对1对y D 对4×13×对对1对对对对23对24×13对对43对 对D (1对对43)对对x 对1对对y 对对2x 对对y 对对2对对对43≠对2对对对对D 对对对对y 对对2x 对对 (3)对对对对对对对对对对对对对对C 对x 对对对对对对对对对对对对对对P 1对P 2对对对BP 1对BP 2.对对对对对BC 对x 对对对对P 1BC 对对P 2BC 对对对对对对对对 对x 对对1对对y 对对2x 对对对 y 对对2×(对1)对2对 对C (对1对2)对对对y 对2对对y 对13x 2对23x 对1对对13x 2对23x 对1对2对 对对x 1对10对1对x 2对对10对1. 对P 1(10对1对2)对P 2(对10对1对2)对25. 【答案】(1)当0x =时,4y =，则点A 的坐标为()0,4，当0y =时，2110482x x =-++，解得，124,8x x =-=，则点B 的坐标为()4,0-，点C 的坐标为()8,0，∴4OA OB ==，∴45OBA OAB ∠=∠=︒，∵将直线AB 绕点A 逆时针旋转90︒得到直线AD ， ∴90BAD ∠=︒，∴45OAD =︒，∴45ODA ∠=︒，∴OA OD =，∴点D 的坐标为()4,0， 设直线AD 的函数解析式为,y kx b =+440b k b =⎧⎨+=⎩，得14k b =-⎧⎨=⎩， 即直线AD 的函数解析式为4y x =-+；(2)作PN x ⊥轴交直线AD 于点N ，如图①所示，设点P 的坐标为211,482t t t ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭，则点N 的坐标为(),4t t -+，∴2211134(4)8282PN t t t t t ⎛⎫=-++--+=-+ ⎪⎝⎭， ∴PN x ⊥轴， ∴PN y ∥轴，∴45OAD PNH ∠=∠=︒，作PH AD ⊥于点H ，则90PHN ∠=︒，∴222136)82PH t t t ⎫==-+==-+⎪⎝⎭，∴当6t =时，PH ，此时点P 的坐标为(56,2)，即当点P 到直线AD 的距离最大时，点P 的坐标是(56,2)，最大距离是4；②当点P 到直线AD 时，如图②所示，则2+=，解得：122,10t t ==， 则1P 的坐标为(92,2)，2P 的坐标为(10,)72-，当1P 的坐标为(92,2)，则12P A ==，∴1sin P AD ∠==； 当2P 的坐标为(10,)72-，则2252P A ==，∴24sin 25102P AD ∠==；由上可得，sin PAD ∠或10． 【名师点睛】本题是一道二次函数的综合性题目，关键在于设P 点的横坐标，最后将其转化成二次函数的最值问题，通过求解二次函数的最值问题来求解最短距离，难度系数较大，是一道特别好的题目，应当熟练的掌握.26. 【答案】(1)将点B 的坐标为(4,)m 代入72y x =-+，71422m =-+=-， ∴B 的坐标为1(4,)2-，将(3,2)A ，1(4,)2B -代入212y x bx c =-++，2213322114422b c b c ⎧-⨯++=⎪⎪⎨⎪-⨯++=-⎪⎩，解得1b =，72c =， ∴抛物线的解析式21722y x x =-++；(2)设217(,)22D m m m ++，则7(,)2E m m -+，22217711()()2(2)222222DE m m m m m π=-++--+=-+=--+，∴当2m =时，DE 有最大值为2，此时7(2,)2D ，作点A 关于对称轴的对称点A '，连接A D '，与对称轴交于点P ．PD PA PD PA A D ''+=+=，此时PD PA +最小， ∵(3,2)A ，∴(1,2)A '-，A D '==，即PD PA +； (3)作AH y ⊥轴于点H ，连接AM 、AQ 、MQ 、HA 、HQ ，∵抛物线的解析式21722y x x =-++，∴(1,4)M ，∵(3,2)A ，∴2AH MH ==，(1,2)H∵45AQM ︒∠=，90AHM ︒∠=，∴12AQM AHM ∠=∠，可知AQM ∆外接圆的圆心为H ，∴2QH HA HM ===，设(0,)Q t ，则2=，2t =+2∴符合题意的点Q 的坐标：1(0,2Q 、2(0,2Q ．【名师点睛】本题考查了二次函数，熟练运用二次函数的图象的性质与一次函数的性质以及圆周角定理是解题的关键．。