九年级数学尖子生培优竞赛专题辅导第三讲韦达定理及其应用(含答案)
新课标九年级数学竞赛培训第03讲：韦达定理
．（4分）（2003•杭州）设x1，x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根， x1+1，x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，则p，q的值分别等于 （ ） A． 1，﹣3 B． 1，3 C．﹣1，﹣3 D．﹣1，3 10．（4分）（2000•河北）在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是 ∠A、∠B、∠C的对边，a、b是关于x的方程x2﹣7x+c+7=0的两根，那 么AB边上的中线长是（ ） A． B． C． 5 D． 2 11．（4分）方程x2+px+1997=0恰有两个正整数根x1、x2，则 的值是（ ） A． 1
（1）若x12+x22=6，求m值； （2）求
的最大值． 20．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC的长为10，且AB、 BC（AB＞BC）的长是关于x的方程x2+2（1﹣m）x+6m=0的两个根． （1）求m的值； （2）若E是AB上的一点，CF⊥DE于F，求BE为何值时，△CEF的面积 是△CED的面积的 ，请说明理由．
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专 计算题． 题： 分 根据根与系数的关系，可以写出两根和与两根积，再由两根是正整数及 析： p+q=28，利用提公因式法因式分解可以确定方程的两个根． 解 解：设x1，x2是方程的两个根，则①x1+x2=﹣p，②x1x2=q， 答： ∵②﹣①得：p+q=28， ∴x1x2﹣x1﹣x2=28， ∴x1x2﹣x1﹣x2+1=28+1， ∴x1（x2﹣1）﹣（x2﹣1）=29， 即（x1﹣1）（x2﹣1）=29， ∵两根均为正整数， ∴x1﹣1=1，x2﹣1=29或x1﹣1=29，x2﹣1=1， ∴方程的两个根是：x1=2，x2=30．或x1=30，x2=2． 故答案为：x1=30，x2=2． 点 本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系写出两 评： 根和与两根积，再由已知条件用十字相乘法因式分解求出方程的两个根． 15．（3分）已知α、β是方程x2﹣x﹣1=0的两个根，则α4+3β的值为 5 ． 考 根与系数的关系；代数式求值． 点： 专 计算题． 题： 分 先由α、β是方程x2﹣x﹣1=0的两个根可知，α2=α+1，α+β=1，然后代入 析： α4+3β求解即可． 解 解：∵α、β是方程x2﹣x﹣1=0的两个根， 答： ∴α2=α+1，α+β=1， ∴β=1﹣α， ∴α4+3β=（α+1）2+3（1﹣α）=α2+2α+1+3﹣3α=α+1+2α+4﹣3α=5．
韦达定理及其应用竞赛题(完整资料).doc
【最新整理，下载后即可编辑】韦达定理及其应用【内容综述】设一元二次方程有二实数根，则，。
这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系，称之为韦达定理。
其逆命题也成立。
韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在初中数学竞赛中有着广泛的应用。
本讲重点介绍它在五个方面的应用。
【要点讲解】1．求代数式的值应用韦达定理及代数式变换，可以求出一元二次方程两根的对称式的值。
★★例1若a，b为实数，且，，求的值。
思路注意a，b为方程的二实根；（隐含）。
解（1）当a=b时，；（2）当时，由已知及根的定义可知，a，b分别是方程的两根，由韦达定理得，ab=1.说明此题易漏解a=b的情况。
根的对称多项式，，等都可以用方程的系数表达出来。
一般地，设，为方程的二根，，则有递推关系。
其中n为自然数。
由此关系可解一批竞赛题。
附加：本题还有一种最基本方法即分别解出a，b值进而求出所求多项式值，但计算量较大。
★★★例2若，且，试求代数式的值。
思路此例可用上例中说明部分的递推式来求解，也可以借助于代数变形来完成。
解：因为，由根的定义知m，n为方程的二不等实根，再由韦达定理，得，∴2．构造一元二次方程如果我们知道问题中某两个字母的和与积，则可以利用韦达定理构造以这两个字母为根的一元二次方程。
★★★★例3设一元二次方程的二实根为和。
（1）试求以和为根的一元二次方程；（2）若以和为根的一元二次方程仍为。
求所有这样的一元二次方程。
解（1）由韦达定理知，。
，。
所以，所求方程为。
（2）由已知条件可得解之可得由②得，分别讨论（p,q）=(0,0)，(1,0)，(1-,0)，(0,1)，(2,1)，(2-,1)或(0, 1-)。
于是，得以下七个方程，，，，，0x2=x21x2=+无实数根，舍去。
-，其中01+x2=+，01其余六个方程均为所求。
3．证明等式或不等式根据韦达定理（或逆定理）及判别式，可以证明某些恒等式或不等式。
初中数学竞赛：韦达定理(附练习题及答案)
初中数学竞赛：韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的。
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等。
韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路。
韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法。
【例题求解】【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 。
思路点拨：所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么ba ab +的值为( ) A 、22123 B 、22125或2 C 、22125 D 、22123或2思路点拨：可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件。
注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式。
【例3】 已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根。
(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x 。
思路点拨：对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手。
【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值。
初中数学竞赛第三讲充满活力的韦达定理(含答案)
第三讲 充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的．韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在：运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．【例题求解】【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．思路点拨 所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么ba ab +的值为( ) A ．22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22123或2 思路点拨 可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件．注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式．【例3】 已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根． (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ． 思路点拨 对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手．【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值．思路点拨 利用根与系数关系把待求式用m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的．注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性．【例5】 已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程047)21(222=+-+-m mx x 的两个根． (1)当m ＝2和m>2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由．(2)若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ ＝1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长．思路点拨 对于(2)，易建立含AC 、BD 及m 的关系式，要求出m 值，还需运用与中点相关知识找寻CD 、AB 的另一隐含关系式．注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．学历训练A 组1．(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 取值范围是 ． (2)已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 ．2．已知α、β是方程的两个实数根，则代数式2223βαββαα+++的值为 ．3．CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 ．4．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，则p 、q 的值分别等于( )A ．1，-3B ．1，3C ．-1，-3D ．-1，35．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( )A ．23B ．25 C ．5 D ．2 6．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p 的值是( ) A ．1 B ．-l C ．21- D ．21 7．若关于x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确?8．已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ．(1) 当k 是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值．B 组9．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 ．10．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 ．11．△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．12．两个质数a 、b 恰好是整系数方程的两个根，则b a a b +的值是( ) A ．9413 B ．1949413 C ．999413 D ．979413 13．设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( )A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=---x m xD ．02412=+--x m x14．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤1B ．m ≥43C ．143≤<m D ．43≤m ≤115．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的长为10，且AB 、BC(AB>BC)的长是关于x 的方程的两个根．(1)求rn 的值；（2）若E 是AB 上的一点，CF ⊥DE 于F ，求BE 为何值时，△CEF 的面积是△CED 的面积的31，请说明理由．16．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程工033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1) 若62221=+x x ，求m 的值．(2)求22212111x mx x mx -+-的最大值．17．如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD ＝m ，BD=n ，AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．18．设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程和012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实数根，并且使方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实数根，试求c b a ++的值．参考答案。
数学培优竞赛新方法(九年级)-第3讲-充满活力的韦达定理
A.不大于 1
B.大于 1
C.小于 1
D.不小于 1
（2011 年《数学周报杯》全国初中数学竞赛题）
7.若 ab 1 ，且有 5a 2 2001a 9 0及9b2 2001b 5 0,则 a 的值为（ ） b
9
A．
5
5
B．
9
C． 2001 5
D ． 2001 9
（全国初中数学联赛题）
1
九年级数学培优竞赛辅导讲座
[充满活力的韦达定理] 学历训练
1．已知方程 x 2 px q 0 的两根均为正整数，且 p q 28 ，那么这个方程两根为
．
（“祖冲之杯”邀请赛）
2．已知整数 p,q 满足 p q 2010, 且关于 x 的一元二次方程 67x 2 px q 0 的两个根均为正整数，
值范围是( )
A． 0 m 1
B． m 3 4
（全国初中数学联赛题）
C． 3 m 1 D． 3 m 1
4
4
思路点拨 设方程的根分别为 1、 x1, x2 ，由三角形三边关系定理、韦达定理建立 m 的不等式组。
例 3.设 x1 、 x2 是方程 2x 2 4mx 2m 2 3m 2 0 的两个实数根，当 m 为何值时， x12 x2 2 有最小值?
九年级数学培优竞赛辅导讲座
第 3 讲 充满活力的韦达定理
知识纵横
一元二次方程的根与系数的关系，通常也称 为韦达定理，这是因为该定理是由 16 世纪法国最杰出 的数学家韦达发现的．
韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值； 运用韦达定理，求代数式的值； 利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征 ； 利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等． 韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路． 韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解 这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．
韦达定理含答案-
第三讲 充满活力的韦达定理一元二次方程的根与系数的关系，通常也称为韦达定理，这是因为该定理是由16世纪法国最杰出的数学家韦达发现的．韦达定理简单的形式中包含了丰富的数学内容，应用广泛，主要体现在： 运用韦达定理，求方程中参数的值；运用韦达定理，求代数式的值；利用韦达定理并结合根的判别式，讨论根的符号特征；利用韦达定理逆定理，构造一元二次方程辅助解题等．韦达定理具有对称性，设而不求、整体代入是利用韦达定理解题的基本思路．韦达定理，充满活力，它与代数、几何中许多知识可有机结合，生成丰富多彩的数学问题，而解这类问题常用到对称分析、构造等数学思想方法．【例题求解】【例1】 已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ．思路点拨 所求代数式为α、β的非对称式，通过根的定义、一元二次方程的变形转化为(例【例2】如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么ba ab +的值为( ) A ．22123 B ．22125或2 C ．22125 D ．22123或2 思路点拨 可将两个等式相减，得到a 、b 的关系，由于两个等式结构相同，可视a 、b 为方程0132=+-m x x 的两实根，这样就为根与系数关系的应用创造了条件． 注：应用韦达定理的代数式的值，一般是关于1x 、2x 的对称式，这类问题可通过变形用1x +2x 、1x 2x 表示求解，而非对称式的求值常用到以下技巧：(1)恰当组合；(2)根据根的定义降次；(3)构造对称式．【例3】 已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根． (2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ． 思路点拨 对于(2)，先判定1x 、2x 的符号特征，并从分类讨论入手．【例4】 设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x + 有最小值?并求出这个最小值．思路点拨 利用根与系数关系把待求式用m 的代数式表示，再从配方法入手，应注意本例是在一定约束条件下(△≥0)进行的．注：应用韦达定理的前提条件是一元二次方程有两个实数根，即应用韦达定理解题时，须满足判别式△≥0这一条件，转化是一种重要的数学思想方法，但要注意转化前后问题的等价性．【例5】 已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程047)21(222=+-+-m mx x 的两个根． (1)当m ＝2和m>2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由．(2)若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ ＝1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长．思路点拨 对于(2)，易建立含AC 、BD 及m 的关系式，要求出m 值，还需运用与中点相关知识找寻CD 、AB 的另一隐含关系式．注：在处理以线段的长为根的一元二次方程问题时，往往通过韦达定理、几何性质将几何问题从“形”向“数”(方程)转化，既要注意通过根的判别式的检验，又要考虑几何量的非负性．学历训练A 组1．(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 取值范围是 ． (2)已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 ．2．已知α、β是方程的两个实数根，则代数式2223βαββαα+++的值为 ．3．CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 ．4．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，则p 、q 的值分别等于( )A ．1，-3B ．1，3C ．-1，-3D ．-1，35．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x 的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( )A ．23B ．25 C ．5 D ．2 6．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p 的值是( ) A ．1 B ．-l C ．21- D ．21 7．若关于x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确?8．已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ．(1) 当k 是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值．B 组9．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 ．10．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 ．11．△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．12．两个质数a 、b 恰好是整系数方程的两个根，则b a a b +的值是( ) A ．9413 B ．1949413 C ．999413 D ．979413 13．设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( )A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=---x m xD ．02412=+--x m x14．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤1B ．m ≥43C ．143≤<mD ．43≤m ≤115．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的长为10，且AB 、BC(AB>BC)的长是关于x 的方程的两个根．(1)求rn 的值；（2）若E 是AB 上的一点，CF ⊥DE 于F ，求BE 为何值时，△CEF 的面积是△CED 的面积的31，请说明理由．16．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程工033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1) 若62221=+x x ，求m 的值．(2)求22212111x mx x mx -+-的最大值．17．如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD ＝m ，BD=n ，AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．18．设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程和012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实数根，并且使方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实数根，试求c b a ++的值．参考答案。
初三数学竞赛专题——韦达定理
初三数学竞赛专题——韦达定理一、选择题1．两个质数a 、b 恰好是整系数方程的两个根，则b a a b +的值是( ) A ．9413B ．1949413C ．999413D ．979413 答案：B2．如果a 、b 都是质数，且0132=+-m a a ，0132=+-m b b ，那么b a a b +的值为( )A ．22123B ．22125或2C ．22125D ．22123或2(2001年TI 杯全国初中数学竞赛试题)答案：B3．设1x 、2x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1x +1、2x +1是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，则p 、q 的值分别等于( )A ．1，-3B ．1，3C ．-1，-3D ．-1，3答案：C 4．如果方程0)2)(1(2=+--m x x x 的三根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( )A ．0≤m ≤1B ．m ≥43C ．143≤<mD ．43≤m ≤1答案：C5．设方程有一个正根1x ，一个负根2x ，则以1x 、2x 为根的一元二次方程为( )A ．0232=---m x xB ．0232=--+m x xC ．02412=---x m xD ．02412=+--x m x答案：C6．方程019972=++px x 恰有两个正整数根1x 、2x ，则)1)(1(21++x x p 的值是( )A ．1B ．-lC ．21-D ．21 答案：C7．在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，a 、b 是关于x的方程0772=++-c x x 的两根，那么AB 边上的中线长是( )A ．23B ．25C ．5D ．2 答案：B二、填空题8．已知α、β是方程012=--x x 的两个根，则βα34+的值为 ． (2003年天津市竞赛题)答案：5．9．(1)已知1x 和2x 为一元二次方程013222=-+-m x x 的两个实根，并1x 和2x 满足不等式142121<-+x x x x ，则实数m 取值范围是 ．(2001年内蒙古中考题)(2)已知关于x 的一元二次方程07)1(82=-+++m x m x 有两个负数根，那么实数m 的取值范围是 ．(2003年四川省中考题)答案：（1）2135-≤<-m ；（2）7>m 10．CD 是Rt △ABC 斜边上的高线，AD 、BD 是方程0462=+-x x 的两根，则△ABC 的面积是 ．(2003年金华市中考题)答案：611．△ABC 的一边长为5，另两边长恰为方程01222=+-m x x 的两根，则m 的取值范围是 ．(2002年四川省竞赛题) 答案：18211≤<m ． 12．已知α、β是方程的两个实数根，则代数式2223βαββαα+++的值为 ．(2002年湖北省黄冈市中考题)答案：一313．已知α、β是方程012=--x x 的两个实数根，则代数式)2(22-+βαα的值为 ． (2001年浙江省绍兴市竞赛题)答案：014．已知方程02=++q px x 的两根均为正整数，且28=+q p ，那么这个方程两根为 ．(“祖冲之杯”邀请赛试题)答案：30，2三、解答题15．已知关于x 的方程01)32(22=++--k x k x ．(1) 当k 是为何值时，此方程有实数根；(2)若此方程的两个实数根1x 、2x 满足：312=+x x ，求k 的值． 答案：（1）125≤k ；（2）0=k ． 16．已知关于x 的方程：04)2(22=---m x m x (1)求证：无论m 取什么实数值，这个方程总有两个相异实根．(2)若这个方程的两个实根1x 、2x 满足212+=x x ，求m 的值及相应的1x 、2x ．(2002年苏州市中考题)答案：（1）△=02)1(22>+-m ；（2）4=m ，51±=x ；0=m ，01=x ，22-=x17．如图，已知在△ABC 中，∠ACB=90°，过C 作CD ⊥AB 于D ，且AD ＝m ，BD=n ，AC 2：BC 2＝2：1；又关于x 的方程012)1(24122=-+--m x n x 两实数根的差的平方小于192，求整数m 、n 的值．答案：1222===n m BD AD BC AC ，即m=2n ①，△=4n 2一m 2—8n 十16>0 ②，把①代人②得，n ≤2．又222119)(<-x x ，得4n 2一m 2—8n+4<0③，把①代人③，得n>21，∴221≤<n ， ∴n=l ，2，从而得m=2或4．18．设m 是不小于1-的实数，使得关于x 的方程工033)2(222=+-+-+m m x m x 有两个不相等的实数根1x 、2x ．(1) 若62221=+x x ，求m 的值．(2)求22212111x mx x mx -+-的最大值．(全国初中数学联赛题) 答案：（1）2175-=m ；（2）原式=25)23(22--m ，当1-=m 时，最大值为10．19．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC 的长为10，且AB 、BC(AB>BC)的长是关于x 的方程的两个根．(1)求rn 的值；(2）若E 是AB 上的一点，CF ⊥DE 于F ，求BE 为何值时，△CEF 的面积是△CED 的面积的31，请说明理由．答案：（1）m=8；（2）BE=2．20．设1x 、2x 是方程02324222=-++-m m mx x 的两个实数根，当m 为何值时，2221x x +有最小值?并求出这个最小值．(第十六届江苏省竞赛题) 答案：当32=m 时，2221x x +有最小值，这个最小值为98 21．已知：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，且AB 、CD 的长是关于x 的方程047)21(222=+-+-m mx x 的两个根． (1)当m ＝2和m>2时，四边形ABCD 分别是哪种四边形?并说明理由．(2)若M 、N 分别是AD 、BC 的中点，线段MN 分别交AC 、BD 于点P ，Q ，PQ ＝1，且AB<CD ，求AB 、CD 的长． (2003年哈尔滨市中考题) 答案：（1）当m=2时，△=0，∴AB ∥CD 且AB=CD ，故四边形ABCD 是平行四边形．当m>2时，△=m 一2>0，又AB+CD ＝2m>0，047)21(2>+-=⋅m CD AB ，∴AB ≠CD ，而AB ∥CD ，故四边形ABCD 是梯形．（2）12121=-=AB DC PQ ，∴2=-AB DC ，∵AB DC BC DC AB DC ⋅-+=-4)()(22 ，∴)2(4)2(2222+--=m m m ，解得3=m ，从而AB=2，CD=4．22．设a 、b 、c 为三个不同的实数，使得方程和012=++ax x 和02=++c bx x 有一个相同的实数根，并且使方程02=++a x x 和02=++b cx x 也有一个相同的实数根，试求c b a ++的值．(2000年俄罗斯数学竞赛题)答案：设01121=++ax x ，0121=++c bx x ，得b a c x --=11，由0222=++a x x ，0222=++b cx x ，得12--=c b a x （c ≠1），故121x x =．另一方面由韦达定理知11x 是第一个方程的根，这就表明2x 是方程012=++ax x 和02=++a x x 的公共根．因此两式相减有0)1)(1(2=--x a ，但当1=a 时，这两个方程无实根，故x 2=l ，从而x 1=l ，于是2-=a ，1-=+c b ，所以3-=++c b a23．关于x 的一元二次方程的两个实数根满足关系式：)1)(1()1()1(212211++=+++x x x x x x ，判断4)(2≤+b a 是否正确? 答案：由条件得14)(2+=+ab b a ，又△=0434)(92≥⨯⨯-+ab b a ，∴ab b a 316)(2≥+，即ab ab 31614≥+，∴4ab ≤3，从而4ab+1≤4．即(a+b)2≤4．。
初中数学韦达定理习题及答案
B､应为a4÷a=a3,故本选项错误;
C､应为a3a2=a5,故本选项错误;
D､(﹣a2)3=﹣a6,正确.
故选D.
点评:本题考查合并同类项,同底数幂的除法,同底数幂的乘法,幂的乘方的性质,熟练掌握运算性质是解题的关键.
2.
考点:多项式乘多项式｡1923992
13.(4分)若a的值使得x2+4x+a=(x+2)2﹣1成立,则a的值为_________ .
答案:
7.
考点:零指数幂;有理数的乘方｡1923992
专题:计算题｡
分析:(1)根据零指数的意义可知x﹣4≠0,即x≠4;
(2)根据乘方运算法则和有理数运算顺序计算即可.
解答:解:(1)根据零指数的意义可知x﹣4≠0,
分析:根据多项式乘多项式法则,先用一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项,再把所得的积相加,计算即可.
解答:解:(x﹣a)(x2+ax+a2),
=x3+ax2+a2x﹣ax2﹣a2x﹣a3,
=x3﹣a3.
故选B.
点评:本题考查了多项式乘多项式法则,合并同类项时要注意项中的指数及字母是否相同.
3.
13.
考点:整式的混合运算｡1923992
分析:运用完全平方公式计算等式右边,再根据常数项相等列出等式,求解即可.
解答:解:∵(x+2)2﹣1=x2+4x+4﹣1,
∴a=4﹣1,
解得a=3.
故本题答案为:3.
点评:本题考查了完全平方公式,熟记公式,根据常数项相等列式是解题的关键.
以上对整式的乘除与因式分解单元测试卷的练习学习,同学们都能很好的掌握了吧,希望同学们都能很好的参考,迎接考试工作｡
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第三讲韦达定理及其应用趣题引路】韦达，1540年出生于法国的波亚图，早年学习法律，但他对数学有浓厚的兴趣：常利用业余时间钻研数学.韦达是第一个有意识地、系统地使用字母的人，他把符号系统引入代数学对数学的发展发挥了巨大的作用，使人类的认识产生了飞跃。
人们为了纪念他在代数学上的功绩，称他为“代生之父”历史上流传着一个有关韦达的趣事：有一次，荷兰派到法国的一位使者告诉法国国王，比利时的数学家罗门提岀了一个45次的方程向各国数学家挑战.国王于是把这个问题交给韦达，韦达当即得岀一正数解，回去后很快又得出了另外的22个正数解（他舍弃了另外的22个负数解）•消息传开，数学界为之震惊.同时，韦达也回敬了罗门一个问题，罗门一时不得其解，冥思苦想了好多天才把它解出来。
韦达研究了方程根与系数的关系，在一元二次方程中就有一个根与系数之间关系的韦达左理，你能利用韦达泄理解决下而的问题吗？已知：①0+2“一1=0,②夕一2沪一1=0日1 一c/HO.求（严a 的值。
解析由①知1 + 2丄一丄=0・a cr即（丄尸+2丄一1 = 0,③a a由②知（护）2一2沪一1=0,④由韦达泄理，得丄+ Z/=2丄，=一1 ,a a...严=［（* +町+ 乡「（2-1 严62为一元二次方程2 -21-1 =0的两根。
点评本题的关键是构造一元二次方程X2-2A-1=0,利用韦达立理求解，难点是将①变形成③，易错点是忽视条件1 一ab2 #0,而把“，一夕看作方程/+加一1 =0的两根来求解.知识延伸】例1已知关于x的二次方程2x2+av-2z/+l= 0的两个实根的平方和为7丄，求“的值. 4解析设方程的两实根为小，也，根据韦达泄理，有一2“ +1于是，Xj24-A22=（X14-X2）2-2.¥I%2=—G?+8a_4) 4依题设，得丄(0+&』一4) = 7丄，解得t/=-ll 或3 •注意到小畑 为方程的两个实数根，则△$()，4 4但 “=一11 时，△= (-11) 2+16X (-11) -8=-63<0： “=3 时，Z\ = 32—4X2X (-6+1) =49 >0,故“=3・点评 韦达左理应用的前提是方程有解，即判别式△=(),本题容易忽视的就是求岀“的值后，没有 考虑“的值满足△$()这一前提条件。
例2已知关于x 的方程疋+2"汰+加+2=0,求：(1)加为何值时，方程的两个根一个大于0,另一 个小于0：(2) 为何值时，方程的两个根都是正数：(3)川为何值时，方程的两个根一个大于1,另一个 小于1即(m - l)(/n +1) > 0(1) m < -2(2)由(1),得m>2或川V —1, /. m<—2.(2) 加应当满足的条件是 △=4亦一4(加+2) > 0v 舛+兀=一2加> 0 舛・ x 2 = ni+ 2 >0(3) 加应当满足的条件是 A=4/??2—4( /n+2) > 0© -1)(兀三 一1)<0加>2或加<一1 加 + 2 —(一2加)+1 < 0m > 2或加<一1 m <一1：• /M V —1.点评 若已知含字母系数的一元二次方程的根的范用，求字母系数的范崗，应根据已知和韦达定理, 灵活地将字母系数应满足的条件一一列出来，然后再求解。
解析(1)据题意知,应当满足条件1 A=4?n 2—4( ?n+2) >J, x =m + 2<0好题妙解】佳题新题品味例 已知AABC 的边长分别为"，k c,且a>b>c 2h=a+c, b 为正整数，若^+Z>2+c 2=84,求b 的 值.解析依题设，有“+c=24①加+，+4=84・(2)②可变为(a+c)2 — 2ac =84 — b?,③ ①代入③，得心苧.④3••“ C 是关于，•的-元二次方程宀纱+苧=。
的两个不相等的正实数根.△ = 4/, -4x M ＞02即16＜沪＜28・ 又〃为正整数，故b=5.点评：韦达九理的逆定理是：如果小M 满足Xl+X2=--. XI -X2=-，那么小X2是一元二次方程 a aX+加+c=0的两个根，此解的独特之处在于利用a+c=2b.将“2+夕+*=84转变为必=, 2从而构造韦达定理所需的条件.中考真题欣赏例1 (河南省)已知关于X 的方程4F+4加+7b=0有两个相等的实数根，N ，w 是关于y 的方程r+(2 一仍+4=0的两个根，求以旗，康为根的一元二次方程.解析V 关于x 的方程4/+4加+7*0有两个相等的实数根，△ = (4b)2—4x4x7b=0,即沪一7方=0.•°.bi=0, £>2=7.当方=0时，关于y 的方程化为^+2y+4=0, 因厶=4一 16= — 12<0,方程无解.当b=l 时，关于y 的方程可化为尸一5y+4=0, 解得 yi=4, y2=l. 则厲+厲=3,駅•厲=2,•:以賦, 康为根的一元二次方程为*一3$+2=0・5於-84~~2点评：本题既考查了判别式，韦达左理的逆左理，又考査了分类讨论的思想，〃=0时得到的方程无解 易忽视，应重视.例2 （四川省）已知m X2是关于X 的一元二次方程”+4（"Ll ）x+m —0的两个非零实数根，问M 与 X2能否同号？若能同号，求出相应的川的取值范圉：若不能同号，请说明理由.解析•••关于X 的一元二次方程/+4（,”一 1）兀+用2=0有两个非零实数根，/. △ = [4 伽一1 ）2—4x4/n 2 = — 32加 +1620,/. 丄・2又小兀2是方程4"+4（加一 l ）x+〃?2=o 的两个实数根，一（加一 1）>01 J A »-nr >0.4•••加< 1且加H0,此时，加W 丄且加H0：2[x + \. <0 f-（/M-l ）<0②若xi<0, X2<0,则有存 v 「即1 ） ，X x 2 >0 一“广 >0而加W 丄时方程才有实数根，2.•・此种情况不可能.综上所述，当加的取值范帀为mW 丄且加H0时，方程的两实根同号.2点评：存在性问题的探索一般是先假设存在，然后据已知和相关知识进行推理，若推理的结论与题设 或概念、定理、事实等相矛盾，则假设不成立，从而不存在，反之则存在.竞赛样题展示例（1998年江苏初中数学竞赛题）求满足如下条件的所有斤值：使关于x 的方程也2+（k+l ）x+伙一1） =0的根都是整数.解析（1）当k=0时，方程为x —l=o,有整数根1：（2）当RH0时，所给方程是一元二次方程，设该方程两整数根为a, X2,则X1+.v 2=-i±l=-i-l £一1 f 1X1X2=—= 1'7由①一②，得 X14-X2—XI • X2=—2,即(.¥1—1)(X2—1) = 3./.xi+x2=—(/H — 1), xi • xi = — nr.4假设M ，X2同号，则有两种可能：①若 Xl>0, X2>0,贝 1」<列+“2[°,即<• x 2 > 0•••“疋为整数，代入①得k= — -或k= 1・7又•・•△=* +1)2—处伙一 1)= 一3疋+6R+1,当=k_t ，R=1 时都大于 0. •••满足条件的斤值为£=0或《=—丄或k=\.7点评:注意到方程二次项系数是参变数k,所以方程可能是一次方程，也可能是二次方程应分别讨论.求 参数时，通常由根与系教的关系列岀关于k 的式子，消去仁然后因式分解及因数分解求出整数根，从而 求参数k.过关检测】A 级1.已知方程"+3兀+加=0的两根之差为5,求加的值.2. 已知m 卫是方程3"—〃圧一2=0的两个根，且丄+丄=3,求彳+ €的值.3・已知方程卫一4入・+2—《2=0,且WHO,不解方程证明：(1)方程有两个不相等的实数根：(2)-个根 大于1，另一根小于1・4. 利用根与系数的关系，求一个一元二次方程，使它的两根分别比方程3/+2A •—3=0的两个根的平方多L戶Ti 或或八一山3或＜ 兀2 - 1 = 3 x 2 - 1 = -3 [x 2 - 1 = 1A'j — 1 =一3 AS 一 1 = 一1［心或＜X 2 = - 2 x 2 = 2 X\=-2 解得 x 2 = 05•关于x的方程X2—3n—1=0①，x2—⑵?+3)x—8/?2 + 2=0(2),若方程①的两根的平方和等于方程②的一个整数根，求川的值.6.若 /+11“+16=0：庆+1"+16=0,求『-石B级1.已知0是方程W-7x+8=0的两根，且不解方程，求二+ 302的值. a2-已知两数之积如'且^+1234567890.+3=0, 3^+1234567890,4-2=0.求*3.已知m疋是方程”2伙一2)x+伙2+3«+5)=0伙为实数)的两实根，求.vf + x；的最小值.4.如果方程仗一1）（/一加+加）=0的三个实根可以作为一个三角形的三条边，求实数加的取值范用.5.若方程（W — 1）（卫一4）=斤有四个非零实根，且它们在数轴上对应的四个点等距排列，求k值.6.已知 g b, c, 〃是四个不同的有理数，且("+c)("+d)= 1, (b+c)(b+J)=l,求(a+c)(b+c)的值.第三讲韦达定理及其应用A 级•1.-42.-12 •/ x!v x2为方程yx2 -mx -2 =0 的两根x a=y ,X| * = -y. -而丄4■丄二3;・；m = -6.X l X2因此订+«/ = («1 +x2)(Xj2 -Xj X2 +x22) =(x t 4-xJt («! -3吟2】=-12.3.(1)叮A = (-4)2-4(2-F) =4^ +8>0,•••方程有两个不相等的实数抿；(2) (x t -1) (x2 - 1) =x t• x2 - (x t +x2) +1 =2-V-4 + l = - fc2 -1 <0,x} -1 ,x2 - 1中必有一个正数■—个负数，即卒*2中必有一个大于1.,另一个小于1.4.9y2 -40y +-40 =0.设方程3/ -3 =0的根为x^xj,所求方程的根为门,/a.而帀+衍=-y,x, - x2 = -1,：• Tl +T2 =(«/ +1) +(*22 +1)=(«| +*2)2 -2x t x2 +2=(-y) -2x( -1) 4-240n.-/2 r(x i2 +i)(h +1)• -r-(«i • «2)2 +(*/ +疔)十i ・=(«f • «2)2 -+«2)： -2衍巧41 =譽•上•礫桶为八令+瞥0, 〔’即9/_40 八40=0. '・.5・0•提示：设方程①的两根为%! 9x2t则力i+«2=4n,塔i * x2 = -3n — 1・•= (*i +*2)2一2吋2 =(4ra)2 -2( -3n - 1) :& . F •= 16n2 +6n+2 ・解方程=4n+2»x2 =l-2n.⑴当16於+6e+2=4“十2时,％二0,衍=-y.把％=0,代龙+2,得知盂2；把円=■代人引=4^2,得旺二•!•不是整数,.•• “二■+舍去3⑵当16n2 +6n 4-2 = 1-2n时丿严心八*•把“-扌代人觀=1 -2n,得± =|•不妲整数,•'•舍去.当"0时，方程①的山=4>0, •••"的值为0.6,0或土孕T(1)当a = 6时 1 -1 =0;":•-宀・... ra * b =出11 /-• •» *-••• 1 • * j -(2)当a#6时心6是方程x2 + llx + 16 =0两实根，从而有( 让'原式=—7==〒(& - Q)=(ab = 16. •…」.J ah 4±-i/(a+A)2-4a/>= 土*/⑵ 一64 = 土卑、1.^-(403 -85/17).由题意知a+0=7,矽=8.于是¥+= (a+p)2 -2^3 =33,(a -/9)2 = (a +j8)2 -4竝= 17,又a >0,故a-B=皿令吒+射宀訐J则^ + fi=~+|+3(a2+严2卑評■十32诃>=琴^3x33 二攀人-B = 2 一令+ 3伊-3a =?-(需巧 +3(/3-a)(/3 +a)= (^-a)[^+3(3 + «)]= ■帀伶 ®7)=-弩互, ①，②两式相加，得A =*(403 -85 /17).2* 设1 234 567 890 = m,则有+ma+3 =0,36?+皿+ 2二0,即2(计 +m ・-i-+3 =0.又dX*, 故a 与+是二次方程2d +皿+3 =0.的两个不等实根，故十’・土弓又4=4(12)2-4W+3R+ 5)=・2814工0,即X 故只有人二-*时严/+#取最小值为45034. —<m^I.由已知«, = 1,设另两根为衍点3且刼W 巧庐2 +巧=2宀•靭=九又衍 >衍一巧即1 > y (%3=Jl*、+衍)2 ・4巧•巧"4 -4叫解得 m>^.又 & = (-2尸 _4mM0"・. mWl.345. 召.设%2=y,原方程变为/ -5y + (4-A;) =0,设此方程有实根a 以。