空间jordan曲线定理
空间曲线、投影的数学描述及相关问题计算、求解思路与方法
空间曲线、投影的数学描述及相关问题计算、求解思路与方法1．空间曲线的一般方程空间曲线总可以看成是某两个曲面的交线．设两曲面的方程为则两个曲面的交线Γ可以用方程组描述为该方程组也称为空间曲线Γ的一般方程．【注1】空间曲线的一般方程不唯一。
可以用任意两个过空间曲线的曲面的方程构成的方程组来描述；并且空间曲线也位于描述空间曲线的一般方程中两个方程的线性组合构成的方程（其中λ,μ为不全为零的实数）描述的曲面图形上。
这样就可以用相对简单的曲面方程来描述曲线。
【注2】空间曲线的一般方程通过方程组变换，或者直接引入相关参数，可以将其转换为参数方程；同样，参数方程也可以通过两两消去参数，获得空间曲线的一般方程描述。
【注3】由于空间曲线的参数方程只包含有一个参数，其描述形式简单，所以解决与空间曲线的相关问题一般都将空间曲线用参数方程来描述。
2．一般方程描述的空间曲线在坐标面上的投影方程设Γ是一条空间曲线，π是一个平面，曲线上每一点在平面上有一个垂足，曲线上的所有点在平面上的垂足所构成的曲线叫做曲线在平面上的投影曲线，简称投影，平面也称为投影面。
过曲线Γ上的每一点，都有平面π的一条垂线，这些垂线构成一个柱面，并且把这样的柱面称为曲线关于平面的投影柱面。
空间曲线在平面上的投影曲线就是投影柱面与平面的交线。
设空间曲线Γ的一般方程为则Γ关于xOy、yOz、zOx坐标面的投影柱面方程可以通过方程组分别消去z、x、y变量得到。
假设方程组消去变量z、x、y后得到的方程分别描述为则以上三个方程分别描述了空间曲线关于坐标面xOy、yOz、zOx 的投影柱面；并且空间曲线在三个坐标面上的投影曲线分别为3．空间曲线的参数方程一般地，空间运动的质点的轨迹对应一条空间曲线。
曲线Γ上动点M的坐标x,y,z可以用一个参数t的函数表示为【注1】空间曲线参数方程参数的意义可以为运动时间，也可以是转动角度、弧度，或者为坐标变量等。
3．一般空间曲线在指定平面上的投影曲线求解思路设空间曲线Γ的一般方程为投影面π的方程为则空间曲线Γ在平面π的投影柱面方程可以通过构建一般曲面方程的方式得到，其步骤如下：(1) 在投影柱面上任取一点M(x,y,z)；(2) 由于投影柱面是由垂直于投影面，并经过空间曲线的直线构成，所以我们设经过点M的，方向向量取为平面法向量(A,B,C)的直线方程为由于该直线必定与曲线Γ相交，所以存在t0，使得满足曲线Γ的方程，即有(3) 利用上述方程组消去参数t0，并化简，假设得到的方程为R(x,y,z)=0，则该方程就为曲线Γ关于平面π的投影柱面方程；而Γ在平面π上的投影曲线方程则可以用投影柱面方程与投影面方程构成的方程组来描述，即4．参数方程描述的空间曲线在坐标面上的投影方程设空间曲线Γ的参数方程为则Γ关于xOy、yOz、zOx坐标面的投影柱面方程分别为x,y、y,z、z,x两个变量所对应的参数表达式描述的空间曲面；而投影曲线则只要令曲线Γ的参数方程的z,x,y分量分别为零即可。
高等数学中的空间曲线与曲面
参数定义：参数是描述曲面上点位 置的变量，通常用两个参数表示。
参数选择：参数的选择对于曲面的 形状和性质有很大影响，不同的参 数选择会导致不同的曲面形状。
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参数方程：参数方程是描述曲面上 的点与参数值之间关系的方程组， 通常由两个参数方程组成。
参数方程的应用：参数方程在几何、 物理、工程等领域都有广泛应用， 是描述复杂曲面形状的重要工具。
的任意曲线。
参数曲线：通 过参数方程定 义的曲线，参 数可以是时间、 角度或其他量。
极坐标曲线： 通过极坐标方 程定义的曲线， 通常用于描述 圆、椭圆等形
状。
曲率：描述曲线在某一点的弯曲程 度
曲线的方向：通过切线方向和法线 方向确定曲线的方向
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挠率：描述曲线在垂直于给定点的 切线方向上的弯曲程度
曲线的弯曲程度和方向在高等数学 中对于研究空间曲线的性质和几何 特性非常重要
定义：曲线的长度 是曲线上的点与原 点之间的距离之和
性质：曲线的长 度与曲线的形状、 大小和方向有关
计算方法：通过微 积分学中的定积分 来计算曲线的长度
应用：在几何学、 物理学和工程学等 领域有广泛的应用
பைடு நூலகம்
切线的定义：切线是与曲线在某一点的法线垂直的直线
性质：测地线是唯一的，而短程线可能有多个。
应用：在几何学、物理学和工程学等领域有广泛应用。
与空间曲线的区别：空间曲线上的测地线和短程线是不同的概念。
空间曲线与曲面在几何学中有着广泛的应用，如描述三维空间中的曲线和曲面。 通过空间曲线与曲面的性质，可以推导出许多重要的几何定理和性质。 空间曲线与曲面在几何学中可以用于解决一些实际问题，如计算物体的表面积和体积等。 空间曲线与曲面在几何学中还可以用于研究一些复杂的几何形状，如分形和混沌等。
§7.4空间曲线及其方程高数
单叶双曲面: x a sec cos y b sec sin 4 4 z c tan 0 2 圆环面: x ( R r cos ) cos y ( R r cos ) sin 0 2 0 2 z r sin 正螺面:
解: 取时间 t 为参数, 当 t = 0 时, 动点从 x 轴上的 一点A(a, 0, 0)出发, 经过 t 时间, 运动到点M(x, y, z ), M 在xoy面上的投影为M(x, y, 0). z 由于点M在圆柱面 x2 + y2 = a2上以 角速度 绕 z 轴旋转, 所以经过时间 t , AOM= t. 从而: x =| OM |cosAOM= a cos t. y =| OM | sinAOM= a sin t. o M 又由于点M同时又以线速度 v 沿平行于 z 轴的正方向上升, 所以 x A y M z=vt t x a cos t 因此, 螺旋线的参 y a sin t 数方程为: z v t
x2 y2 1 z 0
x
2
y
补充: 空间立体或曲面在坐标面上的投影.
空 间 立 体
曲 面
z 4 x 2 y 2 和锥面 例6: 设一个立体由上半球面 z 3( x 2 y 2 ) 所围成, 求该立体在xoy面上的投影.
解: 半球面和锥面的交线为 z 4 x 2 y2 , C : z 3( x 2 y 2 ) , 消去 z 得投影柱面方程: x2 + y2 = 1. 则交线C在xoy面上 的投影曲线方程为: x 2 y 2 1, z 0. 这是xoy面上的一个圆, 所以, 所求立体在xoy面上的投 影(区域)为: x 2 y 2 1.
基于超曲面的多类分类方法
2003年3月系统工程理论与实践第3期 文章编号:100026788(2003)0320092208基于超曲面的多类分类方法何 清1,史忠植1,任力安2(1.中科院计算技术研究所智能信息处理重点实验室,北京100080;2.中国科技大学研究生院计算机学部,北京100039)摘要: 使用支持向量机对非线性可分数据进行分类的基本思想是将样本集映射到一个高维线性空间使其线性可分Λ基于Jo rdan曲线定理,提出了一种通用的基于分类超曲面的分类法,它是通过直接构造分类超曲面,根据样本点关于分类曲面的围绕数的奇偶性进行分类的一种全新分类判断算法,不需作升维变换,不需要考虑使用何种核函数,而直接地解决非线性分类问题Λ对数据分类应用的结果说明,基于分类超曲面的多类分类法可以有效地解决非线性数据的分类问题,并能够提高分类效率和准确度Λ关键词: 支持向量机;分类超曲面;Jo rdan曲线定理中图分类号: T P30126 文献标识码: A T he M u lti2class C lassificati on M ethod Based on H yper Su rfaceH E Q ing1,SH I Zhong2zh i1,R EN L i2an2(1.T he Key L abo rato ry of In telligen t Info rm ati on P rocessing,In stitu te of Compu ting T echno logy,Ch inese A cadem y of Sciences,Beijing100080,Ch ina;2.Graduate Co llege,U n iversity of Science and T echno logy of Ch ina,Beijing100039, Ch ina)Abstract: T he m ain idea of classifying non linear separab le data by u sing SVM ie.Suppo rt V ecto rM ach ine is to m ap the data in to h igher di m en si on linear space in w h ich the data can be separated byhyper p lane.Based on Jo rdan Cu rve T heo rem,a un iversal classificati on m ethod based on hyper su rfaceis pu t fo rw ard in th is paper.T he classificati on hyper su rface is directly m ade to classify huge dataacco rding to w hether the w ind num ber is odd o r even.It is a novel app roach that needn’t m ake m app ingfrom low er di m en si on space to h igher di m en si on space and needn’t con sider kernel functi on too.It candirectly so lve the non linear classify p rob lem.T he experi m en tal repo rts show that the new m ethod canefficien tly and accu rately classify m u lti2class huge data.Key words: suppo rt vecto r m ach ine;separating hyper su rface;Jo rdan cu rve theo rem1 引言机器学习研究获取新知识、新技巧,重组已经出现的知识的计算方法,它是人工智能中的基本问题,甚至有人认为学习的能力是智能的表现Λ模式识别、函数拟合及概率密度估计等都属于基于数据学习的问题,其中分类问题是许多其它问题的基础和核心ΛV ap n ik等人从20世纪60年代开始研究有限样本下的机器学习问题[1-5]Λ到90年代,形成了一个比较完善的理论体系——统计学习理论(Statistical L earn ing T heo ry),也发展了一种新的通用学习算法——支持向量机(Suppo rt V ecto rM ach ine,SVM)Λ特别是SVM对小样本、非线性和高维特征具有很好的性能Λ其基本考虑是通过内积函数定义的非线性映射(核函数)将非线性样本集映射到一个高维线性空间,在计算上,借助二次规划求解支持向量需要反复计算一个m维的内积矩阵(其中m是样本个数),所需要收稿日期:2001212212资助项目:国家自然科学基金(60173017,90104021,60073019);北京市自然科学基金(4011003) 作者简介:何清(1965-),男,河北深泽人,副研究员,博士,研究方向:模糊集理论、人工智能、数据挖掘、机器学习;史忠植(1941-),男,江苏人,研究员,博士生导师,主要研究方向:人工智能、智能软件、神经计算;任力安(1975-);男,陕西西安人,硕士,研究方向:人工智能、模式识别、专家系统的计算开销是相当大的,因而解决海量数据的分析与处理几乎是不可能的Λ1999年,我国学者张铃与张钹教授提出二次规划优化函数的几何方法[6],采用球面投影函数作为非线性映射,完成样本点的分类问题,即将计算分类超平面的问题转换为计算样本点两两之间距离所构成的距离空间上的覆盖问题,这与V ap n ik 的思想在本质上是相同的Λ基于邻域的方法在计算样本之间内积的同时,判断哪些样本可以删除.每删除一个样本就意味着使得内积矩阵降低一维,因此,这个考虑特别适合内积矩阵阶数过大的情形Λ在文献[7]中,张文生、丁辉、王珏对邻域方法作了详尽的数学分析和几何解释,并给出了三种典型的求支持向量的邻域算法Λ另一方面,基于邻域方法的考虑与W idrow 的M adaline 非常类似,即使用多个超平面(邻域)对空间划分,这个方法暗示,无论使用什么样的非线性映射,邻域方法均可以求出一个解Λ不同非线性映射所求出解答的区别仅仅在于,所需要的超平面的个数ΛV ap n ik 对九十年代机器学习的考虑,他认为,这个时期以他为代表的研究只是返回到感知机年代Λ如果考虑这是V ap n ik 为改善“感知机”与“神经网络”所存在的缺陷而作出的努力的话,那么,应该说,这是V ap n ik 对统计机器学习的重要贡献Λ感知机的线性特性,虽然使其不能解决非线性函数的优化问题,但是,其算法却相对简单得多Λ是否可以使用感知机原理解决非线性优化问题呢?在历史上,为解决这个问题,在技术上曾经有过多次尝试,20世纪60年代W idrow 与Hoff [8,9]提出的自适应线性元件神经网络A daline ,以及由多个A daline 组成的M adaline 就是这种尝试之一Λ他们试图使用多个超平面的划分来解决非线性划分问题,这个考虑是重要的,但是,如何求出这些自适应线性元件却是一个一直未解决的问题Λ本文基于Jo rdan 曲线定理,提出了一种通用的基于分类超曲面的分类法,它不需要考虑使用何种核函数,旨在通过区域合并计算获得多个超平面组成的双侧闭曲面作为分类超曲面对空间划分,并根据超曲面关于样本点的围绕数的奇偶进行分类的一种分类算法Λ所获得的分类超曲面在一定意义下可以看作以超平面为自适应线性元件的神经网络Λ这种方法使得基于非凸的超曲面的分类判别变得直接、简便、易行,同时避免使用SVM 方法向高维空间的升维变换Λ实验结果表明,基于分类超曲面的分类法可以有效地解决海量数据的分类问题,特别是多类分类问题,并能够显著提高分类效率和准确度Λ2 基于分类超曲面的分类法实际上,在解决非线性问题时,支持向量机是在向高维空间作升维变换,最终构成分类超平面.如果这时考虑这个过程的逆变换2降维变换,则分类超平面就变形为分类超曲面了,这说明SVM 是间接地去解决非线性问题Λ张铃与张钹教授基于邻域的空间划分方法,在解决非线性问题上具有一定的通用性,他们的方法也是在作升维变换,因此,在低维空间来看,他们工作的本质也是在找分类超曲面Λ是否能找到一种方法,不通过向高维空间作升维变换,而直接地解决非线性分类问题呢?本文提出的基于分类超曲面的分类法则对此作了一种新的尝试Λ2.1 理论基础SVM 直接判别方法基于拓扑学中的Jo rdan 曲线定理[10],定理如下ΛJordan 曲线定理 设X <R 3是闭子集,X 同胚于球面S 2,那么它的余集R 3X 有两个连通分支,一个是有界的,另一个是无界的,X 中任何一点的任何邻域与这两个连通分支均相交ΖJo rdan 曲线定理表明任何由球面经连续变形得到的双侧闭曲面都把三维空间分成两个区域——一个外部和一个内部,这种曲面可用于分类,这就是本文中要研究的分类超曲面Ζ给定一个点,如何判断它在分类曲面的内部还是在外部呢?分类判别定理 设X <R 3是平面的闭子集,X 同胚于球面S 2,那么它的余集R 3 X 有两个连通分支,一个是内部,另一个是外部,任取x ∈R 3 X ,则x ∈X 的内部α]自x 引出的射线与X 的相交数(即X 关于x 的围绕数)为奇数,x ∈X 的外部α]自x 引出的射线与X 的相交数为偶数Ζ上述定理可推广到高维空间Ζ39第3期基于超曲面的多类分类方法图1 分类判别定理示意图定理(高维空间的Jordan曲线定理) 若X<R3 X同胚于球面S m,那么mΦn,否则X=S nΖ若m<n,余集的同调群为H k(S n X)≌Z Z,若m=n-1且k=0Z,若m<n-1且k=00,其余特别地,当m=n-1时,S n X由两个连通分支组成,当m<n-1时,只有一个连通分支Ζ基于拓扑学中的Jo rdan曲线定理,不需要考虑使用何种核函数,通过与球面同胚的双侧闭曲面作为分类超曲面(Sep arating H yp er Su rface)对空间进行划分Λ分类超曲面可以由多个超平面构成,而点属于超曲面内部还是外部取决于该点引出的射线与超曲面相交为奇数还是偶数,该判别方法使得基于非凸的超曲面的分类判别变得直接、简便Λ2.2 基于分类超曲面的构造与分类基本过程根据上述定理我们提出如下基于分类超曲面的分类法,整个过程如下:第1步 设已给的样本点落在一个长方体区域中;第2步 将此区域划分成若干小区域,使每个小区域至多含一个样本点;第3步 根据样本点的类别对每个含样本点的小区域边界进行标定,构成含类别分量的边界向量链表;第4步 合并相邻同类区域边界,获得若干小平面封闭组成的分类超曲面,并以链的形式存储分类超曲面;第5步 输入新样本点,计算该点关于以上分类超曲面的围绕数,根据围绕数判定该样本点所在的类;另一种简便方法是选择适当的由待定点出发的射线,通过射线与分类超曲面的相交数(即分类超曲面关于样本点的围绕数)的奇偶性判断样本点所在的类;若不能判断,就围绕该点做一个小矩形,并对边界进行标定,之后转入第4步Λ3 二维数据分类双螺旋分类问题[3]:两条螺旋线K1和K2(极坐标形式)K1:Θ=ΗK2:Θ=Η+Π, Π2ΦΘΦ8Π(1) 根据上述基本思想,设计出基于分类超曲面的分类法的训练算法及分类算法(二元)如下Ζ1)学习过程图2 实现方案设矩形区域为归一化单元格(如图2),训练样本落入此区域内一单元格内,按照类别(X,O)将此单元格分为两类,分别标注边界;将同类区域边界合并,并以链表形式存放Ζ2)细化方案若单元格内已有一不同类训练样本,则将此单元格细化,并进行归一化操作,继续标注,再合并边界,存放边界链表;循环完成此训练过程Ζ3)分类过程当一待识别的样本(A)进入此区域后,作射线,与存储链表形成的区域多边形各边作相交操作,根据判别点是否在多边形内的规则,即两类49系统工程理论与实践2003年3月边界围绕数的奇偶性,判断出此样本所属类别Ζ如果样本所在小区域已经细化,则将样本坐标单位化,放入细化区域,继续进行上述的分类过程Ζ训练所得分类链表及其对样本点的覆盖情况见图3.图3 二维分类链表及其对样本点的覆盖情况3.2.1 大规模样本实验结果1)二维训练结果见表1. 表1 二维大规模样本训练结果样本点个数训练所需时间分类所需时间3召回率(%)10,800,0001h 34m 57s 2h 17m 35s 100.0022,500,0023h 16m 9s 4h 49m 55s 100.0054,000,0007h 42m 52s11h 47m 7s100.00 3测试样本点集合为训练样本点本身集合.2)二维分类测试结果见表2.表2 二维大规模样本测试结果样本点个数3测试样本点个数分类所需时间3正确率(%)10,800,00022,500,0024h 7m 4s 100.0022,500,00254,000,00011h 25m 3s 100.0054,000,00067,500,00214h 37m 6s100.00 3样本点个数为训练点个数3.2.2 二维小样本训练,大样本分类测试结果(见表3).表3 二维小样本训练,大样本分类测试结果样本点个数3测试样本点个数33分类所需时间正确率(%)5,40254,00241s 99.595,402540,0006m 45s 99.5827,002540,0006m 44s 99.9854,002540,0006m 47s 100.0054,0025,400,0001h 7m 7s100.003样本点个数为训练点个数;33测试样本点由Sp iral 螺线构造的另一样本集合(样本数量为训练样本的10倍以上)Λ表3表明基于分类超曲面的分类法有很好的泛化能力Λ59第3期基于超曲面的多类分类方法4 三维数据分类三维数据分类方法与二维基本相同,不同之处有以下几点:样本空间为归一化立方体;各单元区域表示为以下结构:单元区域区域标号类别标志边界(面)链表训练样本分层链表结构:训练样本同层样本链表层次标志下层样本链表4.1 构造测试数据双螺旋分类问题[3]:两条螺旋线K 1和K 2(极坐标形式)K 1:Θ=ΗK 2:Θ=Η+Π Π2ΦΘΦ8Π(2)在公式(2)的基础上,增加一Z 分量,Z =Θ构造三维训练样本集合及测试样本集合,如图4所示Λ4.2 实验过程实验经过以下几个步骤:1)生成训练样本,导入数据库;2)对训练样本进行训练,记录训练所需时间;保存训练所得分类链表;3)从数据库提取分类链表,对测试样本进行分类,记录测试所需时间,记录分类结果,计算分类正确率Λ测试样本的选取一类为训练样本本身集合,一类为数量多倍于训练样本的另一样本集合Λ图4 三维测试数据4.2.1中小规模样本实验结果1)训练结果(见表4)69系统工程理论与实践2003年3月表4 三维中小规模样本训练结果样本点个数①训练所需时间②分类所需时间③召回率(%)④5,4027s 4s 100.0013,50012s 11s 100.0027,00223s 22s 100.0054,00240s 45s 100.00108,0001m 17s 1m 30s 100.00540,0006m 16s 7m 36s 100.001,350,00215m 41s 19m 21s 100.005,400,0001h 2m 39s1h 17m 53s100.00①样本点为等角速度构造;②时间表示为间隔:h (小时)、m (分钟)、s (秒);③测试样本点集合为训练样本点本身集合;④测试样本点实际类别为构造时所得.2)训练所得分类链表训练所得分类链表的保存和提取均可在几秒内完成,且需要的存储空间极少Λ训练所得分类链表及其对样本点的覆盖情况见图5.3)分类测试结果(见表5)表5 三维中小规模样本测试结果样本点个数①测试样本点个数②分类所需时间正确率(%)5,40213,50012s 99.8713,50027,00223s 99.9527,00254,00245s 99.9954,002108,0001m 30s 100.00108,000540,0007m 30s 100.00540,0001,350,00218m 59s 100.001,350,0025,400,0001h 17m 13s100.00 ①样本点个数为训练点个数;②测试样本点为同公式构造的另一样本集合Λ4.2.2 大规模样本实验结果1)训练结果(见表6)表6 三维大规模样本训练结果样本点个数训练所需时间①分类所需时间召回率(%)10,800,0002h 6m 23s 2h 34m 45s 100.0022,500,0024h 23m 18s5h 22m 26s100.00 ①测试样本点集合为训练样本点本身集合.2)分类测试结果(见表7)表7 三维大规模样本测试结果样本点个数①测试样本点个数分类所需时间正确率(%)5,400,00010,800,0002h 35m 48s 100.0010,800,00022,500,0025h 14m 51s 100.0022,500,00260,000,00014h 25m 8s100.00 ①样本点个数为训练点个数4.2.3 小样本训练,大样本分类测试结果(见表8)79第3期基于超曲面的多类分类方法图5 分类链表及其对样本点的覆盖情况表8 三维小样本训练,大样本分类测试结果样本点个数①测试样本点个数②分类所需时间正确率(%)5,40254,00245s 99.825,402540,0007m 42s 99.8127,002540,0007m 34s 99.9854,002540,0007m 33s 100.0054,0025,400,0001h 15m 59s 100.0054,00222,500,0025h 15m 19s100.00 ①样本点个数为训练点个数;②测试样本点由同公式构造的另一样本集合(样本数量为训练样本的10倍以上)Λ表8表明基于分类超曲面的基于分类超曲面的分类法具有很好的泛化能力Λ4.2.4 多类测试结构(见表9).89系统工程理论与实践2003年3月表9 多类测试结果类数样本点个数①测试样本点个数②分类所需时间正确率(%)6270061620062m 19s 99.76%627006162000023m 99.76%1045010270000039m 45s 99.71%12540123240124m 55s99.72% ①样本点个数为训练点个数;②测试样本点由同公式构造的另一样本集合Λ4.3 算法与实验结果分析根据分类超曲面的思想,我们给出以上算法实现过程.当同类样本点在有限个连通分支分布时,学习算法与分类算法的算法复杂度都是多项式的Λ为保证分类曲面的连续性,在实际学习算法中,链表需同时记录同区域内同类训练样本,但在样本集规模很大的情况下,可对细化的层次进行控制,即在训练过程中将不影响分类曲面生成的样本删除,可保证计算速度Λ此外,在记录分类曲面时,只需存储对分类过程中与样本所引射线正交的边界面,可进一步减少对计算机资源的要求Λ注 上面两节所有数据均在以下测试环境中获得:1)主机 处理器:奔腾III ,733M H z ;内存:256M ;2)操作系统 M icro soft W indow s 2000Server ,Service Pack 2;3)数据库 M icro soft A ccess 2000;4)编译环境 V isual C ++6.0,Service Pack 4.5 结论本文基于分类超曲面,提出了一种通用的基于分类超曲面的分类法用于数据分类,并由此提出了分类超曲面的思想Λ实验证明采用基于分类超曲面的分类方法,在对非线性数据进行分类是完全可行的,而在处理大规模样本数据时,分类速度和正确率都可以得到保证,并且无须考虑矩阵的复杂计算,因而可以大大节省计算资源,大大提高分类效率Λ同时,实验证明基于分类超曲面的分类法处理三维多类数据,可得到较好的效果Λ对于海量数据(107),基于分类超曲面的分类法可得到较高的计算速度,同时对计算机资源要求很低,而传统的SVM 不具备有这种优点Λ另外小样本训练大样本测试结果表明基于分类超曲面的分类法的泛化能力较好Λ应当指出,本文所讨论方法是对直接解决非线性分类问题的一种尝试,此方法的一个前提是同类样本点应具有在有限个连通分支分布的特点,但与连通分支的形状无关Λ实际中处理的数据大多满足这种条件Λ此种方法在处理如此分布的数据集时,有较好的效果Λ并且有望把此算法推广到更高维数据Λ参考文献:[1] V apn ik V N .Suppo rt vecto r m ethod fo r functi on app rox i m ati on ,regressi on esti m 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§2.1-复变函数
定理2：在闭区域D中连续的函数具有两个重要性质： 定理 (1) |f(z)|在 D 中有界，并达到它的上、下界。 (2) |f(z)|在 D 中一致连续，即对于任意正数ε>0，存在与z无关 的正数δ，使 D中任意两点z1,z2，当|z1-z2|<δ，则有：
f ( z1 ) − f ( z2 ) <ε
第二节 解析函数的概念
1、导数的定义 定义1(导数 定义 导数)：设函数w=f(z)在区域D中有定义，且z及z+∆z均 导数 属于D，如果极限： f ( z + ∆z ) − f ( z ) lim ∆z → 0 ∆z 存在，则称此极限为函数f(z)在z点的导数 导数，记为： 导数
df ( z ) or f ' ( z ) dz 并且称函数f(z)在z点可微。
*本定理对于开区域D不一定成立。
1 定义在区域|z|<1内。 1− z 很显然，在区域D内，函数连续，但函数在趋近 z → 1时，显 然函数无界。
例4，设 f ( z ) =
定理3： 定理 ：两个连续函数的和、差、积仍然为连续函数，当分母 不为0时，商也为连续函数；而连续函数的复合函数依然为 连续函数。
显然，函数f(z)在z点可微，且： ' ( z ) = f
∂u ∂v −i ∂x ∂x
例4，证明 f ( z ) =
xy 在原点虽然满足定理一，但不可微。
xy , v( x, y ) = 0
证明：由题意得： ( x, y ) = u
∂u (0, 0) 所以： ∂u (0, 0) = 0, =0 ∂x ∂y ∂v(0, 0) ∂v(0, 0) = 0, =0 ∂x ∂y 考虑极限： ∆x∆y ∆ u + i∆v lim = lim ∆z → 0 ∆ x + i ∆ y ∆z → 0 ∆ x + i ∆ y 若沿两个坐标轴趋近0点，极限值都为0，而若 沿第一象限的对角线走，则：
空间曲线及其方程
思考题解答
2 y 2 x 2 z , 交线方程为 2 2 x z
消去z 得投影柱面
x 2 y 2 1,
x2 y2 1 在 xoy面上的投影为 . z 0
练 习 题
一、填空题： 1 、曲面 x 2 9 y 2 10z 与yoz 平面的交线是_____； 2 、通过曲线2 x 2 y 2 z 2 16 , x 2 z 2 y 2 0 ，且 y 轴的柱面方程是____________； 母线平行于 2 2 3 、曲线 x z 3 yz 2 x 3 z 3 0, y z 1 0 在 xoz 平面上的投影方程是_______________； y 5x 1 4 、方程组 在平面解析几何中表示______； y 2x 3 x2 y2 1 5 、方程组 4 在平面解析几何中表示_______ 9 y 3 ______，在空间解析几何中表示_______________ ；
解
截线方程为
y z x x 2y z 0
2 2
如图,
x 2 5 y 2 4 xy x 0 z 得投影 , （1）消去 z 0 x 2 5 z 2 2 xz 4 x 0 （2）消去y 得投影 , y 0 y z 2y z 0 . （3）消去x 得投影 x 0
1 3 z | x | ; 2, 2 y 0 （3）同理在 yoz 面上的投影也为线段. 1 z 2, x 0 3 | y | . 2
例5
求抛物面 y 2 z 2 x 与平面 x 2 y z 0 的截线在三个坐标面上的投影曲线方程.
2 2 z x y 6 、旋转抛物面 (0 z 4 ) 在 xoy 面的投影为__________， 在 yoz 面的投影为____________， 在zox 面上的投影为__________.
第四节 空间曲线及其方程.
2005.5
湖北经济学院数学教研室
因此螺旋线的参数方程为
x a cost,
y
a
sint
,
z vt.
也可以用其他变量作参数; 例如令
t , 则螺旋线的参数方程可写为
x a cos ,
y
a
sin
,
z b .
记M在xOy面上的投影为M, M的坐标为 x, y,0. 由于动点在圆柱面上以角速度 绕z轴旋转, 所以经过时间t,
AOM t 从而 x OM cos AOM a cos t,
y OM sinAOM a sint.
由于动点同时以线速度v沿平行于z轴的正方向上升, 所以
y
yt ,
(2)
z zt .
当给定t t1时,就得到C上的一个点x1, y1, z1
随着t的变动便可得曲线C上的全部点.
方程组(2)叫做空间曲线的参数方程.
2005.5
湖北经济学院数学教研室
例3 如果空间一点M在圆柱面 x2 y2 a2上以角速度
绕z轴旋转, 同时又以线速度v沿平行于z轴的正方向上升(其
绕z轴旋转, 所得旋转曲面的方程为
x y
t2 t2 cos , t2 t2 sin ,
z t.
t 0 2
（4）
这是因为, 固定一个t, 得上一点M1t , t,t , 点 M1
y
t
,
z 2t
绕z轴旋转所得旋转曲面(图7-48)的方程为
空间曲线的性质与方程
空间曲线的性质与方程在数学中，空间曲线是描述在三维空间中具有一定规律的曲线。
对于空间曲线的研究，我们既关注其性质，也关注能够准确描述曲线的方程。
本文将介绍空间曲线的性质以及常见的方程形式。
一、空间曲线的性质1. 弧长和曲率空间曲线的弧长指的是在曲线上一小段弧的长度。
曲率是描述曲线弯曲程度的量，表示曲线在某一点的弯曲程度。
弧长和曲率是空间曲线的重要性质，能够帮助我们了解曲线的形状特征。
2. 切线和法平面对于曲线上的每一点，都可以找到一个切线，切线的斜率是曲线在该点的导数。
切线能够切割曲线，并且与曲线相切于该点。
同时，通过曲线上的三个不共线点可以确定一个平面，称为法平面，它与曲线在该点相切。
3. 曲率半径曲率半径是曲线在某一点的曲率的倒数，用R表示。
曲率半径越大，曲线越接近直线；曲率半径越小，曲线越弯曲。
4. 对称性空间曲线可以具有各种对称性，如轴对称、中心对称等。
对称性能够帮助我们理解曲线的特殊性质。
5. 参数方程空间曲线可以使用参数方程进行描述，参数方程由参数t表示曲线上的点，通过给定参数的取值范围，我们可以获得曲线上的所有点。
二、空间曲线的方程形式1. 直线方程直线是最简单的空间曲线，可以用点和向量表示。
一般形式的直线方程为ax + by + cz + d = 0，其中a、b、c是直线的方向向量的分量，d是常数。
通过确定直线上的两个点或一个点和一个方向向量，我们可以得到具体的直线方程。
2. 平面方程平面是由三个非共线点或一个点和一个法向量唯一确定的。
一般形式的平面方程为Ax + By + Cz + D = 0，其中A、B、C是平面的法向量的分量，D是常数。
通过给定平面上的三个点或一个点和一个法向量，我们可以得到具体的平面方程。
3. 曲线方程曲线方程是描述空间曲线的方程，常见的曲线方程包括圆的方程、椭圆的方程、抛物线的方程和双曲线的方程等。
这些曲线方程可以通过点和方程的特定形式来给出，例如圆的方程可以用圆心坐标和半径表示。
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空间Jordan曲线定理
引言
空间Jordan曲线定理是拓扑学中的一个重要定理，它描述了三维空间中的Jordan
曲线的性质。
本文将介绍Jordan曲线的定义、性质以及定理的证明过程。
Jordan曲线的定义
在三维欧几里得空间中，我们可以定义Jordan曲线为一条连续的、不自交的曲线。
具体来说，对于一条曲线C，如果它是连续的且不自交的，那么我们称它为Jordan 曲线。
Jordan曲线的性质
Jordan曲线具有以下几个重要性质：
1.有限性：Jordan曲线是有限长的，也就是说它可以用有限个线段来近似表
示。
2.闭合性：Jordan曲线是闭合的，也就是说它的起点和终点是重合的。
3.分离性：Jordan曲线将三维空间分为两个互补的连通域，一个是内部，一
个是外部。
4.不自交性：Jordan曲线不会与自身相交，也就是说它不会有任何交叉点。
空间Jordan曲线定理的表述
空间Jordan曲线定理可以表述为：任何一条Jordan曲线都将三维空间分为两个
互补的连通域，一个是内部，一个是外部。
空间Jordan曲线定理的证明
空间Jordan曲线定理的证明过程相对较复杂，下面将对其进行详细阐述。
步骤1：建立基础
首先，我们需要建立一些基础概念和引理。
引理1：对于一条Jordan曲线C，它将三维空间分为两个互补的连通域，一个是
内部，一个是外部。
引理2：对于一条Jordan曲线C，它的内部和外部是互补的。
这两个引理为我们证明空间Jordan曲线定理提供了基础。
步骤2：证明引理1
引理1的证明可以分为两个部分：连通性和互补性。
连通性：我们可以通过构造一个连续的映射来证明Jordan曲线的连通性。
具体来说，我们可以将Jordan曲线C映射到单位圆上的一条简单闭曲线上，然后再将这
条简单闭曲线映射到三维空间上。
由于单位圆上的简单闭曲线是连通的，所以根据连续映射的性质，我们可以得出Jordan曲线C也是连通的。
互补性：为了证明Jordan曲线C将三维空间分为两个互补的连通域，我们可以利
用Jordan-Brouwer分割定理。
该定理指出，任何一条Jordan曲线都将平面分为两个互补的连通域。
我们可以将这个定理推广到三维空间，即Jordan曲线将三维空
间分为两个互补的连通域。
综上所述，引理1得证。
步骤3：证明引理2
引理2的证明可以通过反证法来进行。
假设Jordan曲线C的内部和外部不是互补的，也就是说存在一点P，既属于内部
又属于外部。
由于Jordan曲线C是连续的，所以我们可以找到一条连续的路径从
内部的一点到达外部的一点，这与引理1的连通性矛盾。
因此，我们可以得出结论：Jordan曲线C的内部和外部是互补的。
综上所述，引理2得证。
步骤4：证明空间Jordan曲线定理
根据引理1和引理2，我们可以得出结论：任何一条Jordan曲线都将三维空间分
为两个互补的连通域，一个是内部，一个是外部。
这就是空间Jordan曲线定理的
证明。
总结
空间Jordan曲线定理是拓扑学中的一个重要定理，它描述了三维空间中的Jordan
曲线的性质。
本文通过引入Jordan曲线的定义和性质，详细阐述了空间Jordan曲线定理的证明过程。
空间Jordan曲线定理的证明过程相对复杂，但通过建立基础
概念和引理，并运用连通性和互补性的证明方法，我们最终得出了结论。
空间Jordan曲线定理的证明对于深入理解三维空间中曲线的性质和拓扑学的研究具有
重要意义。