PQ2图
平面向量中的极化恒等式及有关最值(范围)问题(1)
2(a·b－a·c－b·c＋1)＝48＋2(a＋b)·c＝48＋2|a＋b|cos θ(其中θ为 a＋b
与 c 的夹角)，因为|a－b|＝|a＋b|，所以|a－b|2＝48＋2|a－b|cos θ，则由
cos θ∈[－1，1]，得 48－2|a－b|≤|a－b|2≤48＋2|a－b|，解得 6≤|a－
1x 2
2－1x2＝1.
4
4
(2)如图，由已知|OF|＝1，取 FO 中点 E，连接 PE，由极化恒等式得
O→P·F→P＝|PE|2－1|OF|2＝|PE|2－1，
4
4
∵|PE|2max＝245，∴O→P·F→P的最大值为 6.
答案 (1)1 (2)C
题型二 平面向量中的最值(范围)问题
类型 1 利用函数型
则A→P·B→P的取值范围是________；若向量A→C＝λD→E＋μA→P，则λ＋μ的最
小值为________.
解析 (1)由题意，不妨设 b＝(2，0)，a＝(cos θ，sin θ)(θ∈[0，2π))，
则 a＋b＝(2＋cos θ，sin θ)，a－b＝(cos θ－2，sin θ).
令 y＝|a＋b|＋|a－b|
＝ （2＋cos θ）2＋sin2θ＋ （cos θ－2）2＋sin2θ
＝ 5＋4cos θ＋ 5－4cos θ，
则 y2＝10＋2 25－16cos2θ∈[16，20].
由此可得(|a＋b|＋|a－b|)max＝ 20＝2 5，
(|a＋b|＋|a－b|)min＝ 16＝4，
即|a＋b|＋|a－b|的最小值是 4，最大值是 2 5.
4a2
4a2
θ）2＝1，化简得
b2(1－cos2θ)＝
2024北京首师大附中高三(上)期末数学试题及答案
2024北京首都师大附中高三（上）期末数 学第Ⅰ卷（共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1. 在复平面内，复数()()2i 13i −+的共轭复数．．．．对应的点位于（ ） A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2. 已知集合{}1,0,1,2A =−，集合1,0B y y x x x ⎧⎫==+>⎨⎬⎩⎭，则()A B ⋂=R （ ） A. {}1,0,1−B. {}1,0,1,2−C. {}0,1D. (],1−∞3. 在等比数列{}n a 中，11a =，公比1q ≠.若12345m a a a a a a =，则m= A. 9B. 10C. 11D. 124. 函数()f x 的图象如下图所示，则()f x 的解析式可能为（ ）A.()25e e 2x xx −−+B.25sin 1xx + C.()25e e 2x xx −++D.25cos 1xx + 5. 已知抛物线:C 22y px =（0p >）的焦点为F ，点()02,P y 在抛物线C 上，且34pPF =，则p =（ ） A. 4B. 6C. 8D. 106. 若()62345601234561x a a x a x a x a x a x a x −=++++++，则246a a a ++=（ ） A. 64B. 33C. 32D. 317. 已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b−=>>C 的一条渐近线与圆22(2)(3)1x y −+−=交于A ，B 两点，则||AB =（ ）A.5B.5C.5D.58. 已知平面向量,,a b c 均为非零向量，则“()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅”是“向量,a c 同向”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. 若点N 为点M 在平面α上的正投影，则记()N f M α=.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D −中，记平面11AB C D 为β，平面ABCD 为γ，点P 是棱1CC 上一动点（与C 、1C 不重合）()1Q f f P γβ⎡⎤=⎣⎦，()2Q f f P βγ⎡⎤=⎣⎦.给出下列三个结论：①线段2PQ 长度的取值范围是1,22⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭； ②存在点P 使得1//PQ 平面β； ③存在点P 使得12PQ PQ .其中，所有正确结论的序号是 A. ①②③B. ②③C. ①③D. ①②10. 甲和乙是同班同学，该班级共43名同学．一次两人玩一个游戏，甲先在心里想好该班某一位同学的名字，乙来猜，其中乙可以提问k 个问题，问题必须一次性问完（意思是乙问完所有问题后才能得到每个问题的答案）．对每个问题，甲只能回答“是”或“不是”．若存在一种提问的策略，使得无论一开始甲想的是谁，乙一定能够猜出，则k 的最小值是（ ） A. 5B. 6C. 7D. 8第Ⅱ卷（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 如图是小王同学在篮球赛中得分记录的茎叶图，他在这10场比赛中得分的40%分位数为____________分．12. 函数lg(21)lg y x x =++的零点是______________．13. 已知一扇矩形窗户与地面垂直，高为1.5m ，下边长为1m ，且下边距地面1 m ．若某人观察到窗户在平行光线的照射下，留在地面上的影子恰好为矩形，其面积为1.5 m 2，则窗户与地面影子之间光线所形成的几何体的体积为_______m 3．14. 已知函数()()sin f x x ωϕ=+，如图,A B 是直线12y =与曲线()y f x =的两个交点，若π6AB =，则ω=____________，()πf =____________．15. 已知曲线:44C x x y y −=．①若00(,)P x y 为曲线C 上一点，则0020x y −>； ②曲线C 在()0,1−处的切线斜率为0；③R,20m x y m ∃∈−+=与曲线C 有四个交点；④直线20x y m −+=与曲线C 无公共点当且仅当((),0,m ∈−∞⋃+∞． 其中所有正确结论的序号是_____________．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. 在ABC 中，,,a b c 分别为内角,,A B C 所对的边，且满足π1sin cos 64A A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭． （1）求角A 的大小；（2）试从条件①②③中选出两个作为已知，使得ABC 存在且唯一，并以此为依据求ABC 的面积．（注：只需写出一个选定方案即可）条件①：=c ；条件②：π4B =；条件③：2a =． 17. 为了调查居民对垃圾分类的了解程度，某社区居委会从A 小区与B 小区各随机抽取300名社区居民（分为18-40岁、41岁-70岁及其他人群各100名）参与问卷测试，按测试结果将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60分），并将问卷得分不低于60分绘制频数分布表如下假设用频率估计概率，所有居民的问卷测试结果互不影响．（1）从A 小区随机抽取一名居民参与问卷测试，估计其对垃圾分类比较了解的概率；（2）从A 、B 小区41-70岁人群中各随机抽取一名居民，记其对垃圾分类比较了解的居民人数为随机变量X ，求X 的分布列和数学期望；（3）设事件E 为“从A 小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，设事件F 为“从B 小区的三个年龄组随机抽取两组，且每个年龄组各随机抽取一名居民，则这两名居民均为对垃圾分类比较了解”，试比较事件E 发生的概率()P E 与事件F 发生的概率()P F 的大小，并说明理由．18. 如图，在四棱锥P ABCD −中，,2BC AD AD BC =∥，M 是棱PD 上靠近点P 的三等分点．（1）证明：//PB 平面MAC ；（2）设平面PAB 与平面PCD 的交线为l ，若平面PAD ⊥平面,,ABCD AB AD PA AD ⊥⊥，22PA AD AB ===，求l 与平面MAC 所成角的正弦值．19. 已知函数()1x af x x e=−+（,a R e ∈为自然对数的底数） （1）若曲线()y f x =在点(1,()f x 处的切线平行于x 轴，求a 的值； （2）求函数()f x 的极值；（3）当1a =时，若直线:1l y kx =−与曲线()y f x =没有公共点，求k 的最大值.20. 已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的离心率为,2A B 为椭圆的左、右顶点，C 为椭圆的上顶点，原点O 到直线AC ． （1）求椭圆E 的方程；（2）P 为椭圆上一点，直线AC 与直线PB 交于点Q ，直线PC 与x 轴交于点T ，设直线,PB QT 的斜率分别为12,k k ，已知1212k k λ+=，求λ． 21. 若无穷数列{}n a 的各项均为整数．且对于,,i j i j *∀∈<N ，都存在k j >，使得k j i j i a a a a a =−−，则称数列{}n a 满足性质P ．（1）判断下列数列是否满足性质P ，并说明理由．①n a n =，1n =，2，3，…； ②2n b n =+，1n =，2，3，…．（2）若数列{}n a 满足性质P ，且11a =，求证：集合{}3∣n n a *∈=N 为无限集；（3）若周期数列{}n a 满足性质P ，请写出数列{}n a 的通项公式（不需要证明）．参考答案第Ⅰ卷（共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的．1. 【答案】D【分析】由复数代数形式的乘法运算化简复数z ，进而得到其共轭复数z 所对应的点所在象限． 【详解】令()()2i 13i z =−+， 则()()2i 13i 55i z =−+=+，则()()2i 13i −+的共轭复数为55i z =−， 所以z 对应的点位于第四象限． 故选：D ． 2. 【答案】A【分析】计算集合B ,再计算结果，判断选项.【详解】由0x >，则12y x x =+≥=，当且仅当1x x =，即1x =取等号，则{}2B y y =<R，故(){}1,0,1A B ⋂=−R.故选：A 3. 【答案】C【详解】试题分析：由等比数列的性质可知，答案选C.考点：等比数列的性质 4. 【答案】D【分析】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B 中函数的奇偶性，再判断A 、C 中函数在(0,)+∞上的函数符号排除选项，即得答案.【详解】由图知：函数图象关于y 轴对称，其为偶函数，且(2)(2)0f f −=<，由225sin()5sin ()11x xx x −=−−++且定义域为R ，即B 中函数为奇函数，排除；当0x >时25(e e )02x x x −−>+、25(e e )02x x x −+>+，即A 、C 中(0,)+∞上函数值为正，排除； 故选：D 5. 【答案】C【分析】利用抛物线的定义到焦点的距离等于到准线的距离计算可得.【详解】抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为2p x =−， 因为点()02,P y 在抛物线C 上，且34p PF =， 所以3242p p=+，解得8p =. 故选：C. 6. 【答案】D【分析】给x 分别赋值011−，，，即可得到一系列方程组，通过对方程组的解决，问题即可得到解决. 【详解】因为()62345601234561x a a x a x a x a x a x a x −=++++++， 所以令0x =可得01a =①，令1x =可得01245630a a a a a a a +++++=+②， 令=1x −可得012345662a a a a a a a −+−+=−+③， ②+③可得502462a a a a ++=+①，将①代入④可得52462131a a a ++=−=. 故选：D 7. 【答案】D【分析】根据离心率得出双曲线渐近线方程，再由圆心到直线的距离及圆半径可求弦长.【详解】由e =，则222222215c a b b a a a+==+=，解得2ba=， 所以双曲线的一条渐近线为2y x =，则圆心(2,3)到渐近线的距离5d ==，所以弦长||5AB ===. 故选：D 8. 【答案】B【分析】判断当0b b a c ⋅=⋅=时，()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅，不能得,a c 同向，当,a c 同向时，可得()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅，从而得出答案.【详解】当0b b a c ⋅=⋅=时，()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅，但此时向量,a c 不一定同向；反之，当向量,a c 同向时，()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅成立，所以“()()a b c b c a ⋅⋅=⋅⋅”是“向量,a c 同向”的必要不充分条件. 故选：B 9. 【答案】D【分析】以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz −，设点P 的坐标为()()0,1,01a a <<，求出点1Q 、2Q 的坐标，然后利用向量法来判断出命题①②③的正误.【详解】取1C D 的中点2Q ，过点P 在平面11AB C D 内作1PE C D ⊥，再过点E 在平面11CC D D 内作1EQ CD ⊥，垂足为点1Q .在正方体1111ABCD A B C D −中，AD ⊥平面11CC D D ，PE ⊂平面11CC D D ，PE AD ⊥∴， 又1PE C D ⊥，1AD C D D =，PE ∴⊥平面11AB C D ，即PE β⊥，()f P E β∴=，同理可证1EQ γ⊥，CQ β⊥，则()()1f f P f E Q γβγ⎡⎤==⎣⎦，()()2f f P f C Q βγβ⎡⎤==⎣⎦. 以点D 为坐标原点，DA 、DC 、1DD 所在直线分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz −，设()01CP a a =<<，则()0,1,P a ，()0,1,0C ，110,,22a a E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，110,,02a Q +⎛⎫ ⎪⎝⎭，2110,,22Q ⎛⎫⎪⎝⎭.对于命题①，2PQ =01a <<，则111222a −<−<，则211024a ⎛⎫≤−< ⎪⎝⎭，所以，21,22PQ ⎡⎫=⎪⎢⎪⎣⎭，命题①正确； 对于命题②，2CQ β⊥，则平面β的一个法向量为2110,,22CQ ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，110,,2a PQ a −⎛⎫=− ⎪⎝⎭，令211130424a a a CQ PQ −−⋅=−==，解得()10,13a =∈，所以，存在点P 使得1//PQ 平面β，命题②正确；对于命题③，21120,,22a PQ −⎛⎫=−⎪⎝⎭，令()12211042a a a PQ PQ −−⋅=+=， 整理得24310a a −+=，该方程无解，所以，不存在点P 使得12PQ PQ ，命题③错误.故选：D.【点睛】本题考查立体几何中线面关系、线线关系的判断，同时也涉及了立体几何中的新定义，利用空间向量法来处理是解题的关键，考查推理能力，属于中等题. 10. 【答案】B【分析】将43名学生进行二进制编号，再依次询问6个位置的编号是否是1，从而确定答案. 【详解】因为5623243,26443=<=>， 所以可以将43名学生进行六位二进制编号，第i ()1,2,3,4,5,6i =个问题询问甲所想的同学的编号从左到右的第i 位二进制编号是否是1， 问完6个问题，则甲所想的同学的编号即确定. 故选：B第Ⅱ卷（共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分．11. 【答案】9【分析】利用茎叶图与百分位数的定义即可得解.【详解】根据茎叶图，小王同学在篮球赛中得分记录从小到大排列为：3,5,7,8,10,10,10,11,12,14， 因为1040%4⨯=，所以他在这10场比赛中得分的40%分位数为81092+=. 故答案为：9. 12. 【答案】12【分析】利用对数运算及零点含义可得答案. 【详解】由题意可得函数的定义域为()0,∞+.2lg(21)lg lg(2)y x x x x =++=+，令0y =可得221x x +=，解得12x =或=1x −（舍）， 故答案为：12. 13. 【答案】218【分析】根据题意，所得几何体体积为两个直三棱柱体积之差求解即可. 【详解】因为窗户下边长1m ，所以留在底面上影子矩形的长为1m ， 又影子矩形的面积为1.5 m 2，所以矩形的宽为1.5 m ， 设影子矩形靠近墙的边长到窗户底部墙的距离为x ，则11.52.5x x =+，解得1x =，所以窗户与地面影子之间光线所形成的几何体为两个底面为直角三角形，高为1的直三棱柱体积之差，其中大三棱柱底面直角三角形两直角边为2.5m ，小三棱柱底面直角三角形两直角边长为1m , 所以()2311212.5111m .228V =⨯⨯−⨯⨯= 故答案为：21814. 【答案】 ①. 4± ②. 【分析】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，依题可得，21π6x x −=，结合1sin 2x =的解可得()212π3x x ω−=，从而得到ω的值，再根据2π03f ⎛⎫=⎪⎝⎭以及()00f <，即可得2()sin 4π3f x x ⎛⎫=− ⎪⎝⎭，进而求得()πf ．【详解】设1211,,,22A x B x ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，由π6AB =可得21π6x x −=，由1sin 2x =可知，π2π6x k =+或5π2π6x k =+，Z k ∈，由图可知， 当0ω>时，()215π2ππ663x x ωϕωϕ+−+=−=，即()212π3x x ω−=，4ω∴=； 当0ω<时，()125π2ππ663x x ωϕωϕ+−+=−=，即()122π3x x ω−=，4ω∴=−； 综上：4ω=±；因为同一图象对应的解析式是一样的，所以此时不妨设4ω，则()()sin 4f x x ϕ=+，因为28ππsin 033f ϕ⎛⎫⎛⎫=+=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以8ππ3k ϕ+=，即8ππ3k ϕ=−+，Z k ∈．所以82()sin 4ππsin 4ππ33f x x k x k ⎛⎫⎛⎫=−+=−+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以()2sin 4π3f x x ⎛⎫=−⎪⎝⎭或()2sin 4π3f x x ⎛⎫=−− ⎪⎝⎭，又因为()00f <，所以2()sin 4π3f x x ⎛⎫=−⎪⎝⎭，()2πsin 4ππ32f ⎛⎫∴=−=−⎪⎝⎭．故答案为：4±；. 15. 【答案】①②【分析】分x 、y 的符号情况化简曲线C 的方程，从而可画出曲线C 的图象，结合图象逐一分析即可.【详解】当0x ≥，0y ≥时，曲线C 的方程为 2244x y −=，即2214xy −=，曲线C 是双曲线的一部分；当0x ≥，0y <时，曲线C 的方程为 2244x y +=，即2214xy +=，曲线C 是椭圆的一部分；当0x <，0y ≥时，曲线C 的方程为 2244x y −−=，曲线C 不存在；当0x <，0y <时，曲线C 的方程为 2244x y −+=，即2214xy −=，曲线C 是双曲线的一部分；双曲线2214x y −=和2214y x −=有一条共同的渐近线20x y −=，综上，可作出曲线C 的图象，如图：由图象可知曲线C 的图象上的点都在直线20x y −=的下方， 所以当00(,)P x y 在曲线C 上时，有0020x y −>，故①正确；设过点()0,1−的直线l 的方程是1y kx =−，若直线l 与椭圆2214xy +=相切，则由22114y kx x y =−⎧⎪⎨+=⎪⎩得221408()k x kx −+=， 2640k ∆==，得0k =；若直线l 与双曲线2214x y −=相切，则由22114y kx x y =−⎧⎪⎨−=⎪⎩得22(41)80k x kx −−=，则2410k −≠且2640k ∆==，得0k =，此时直线l 的方程是1y =−，与曲线C 相切，故②正确； 直线20x y m −+=是表示与直线20x y −=平行或重合的直线，由曲线C 的图象可知，直线20x y m −+=与曲线C 不可能有四个交点，故③错误；设直线20x y n −+=与椭圆2214xy +=相切，则由222014x y n x y −+=⎧⎪⎨+=⎪⎩得228440y ny n −+−=， 所以221632(4)0n n ∆=−−=，解得n =±C的图象，取n =−，即直线20x y −−=与曲线C 相切，所以若直线20x y m −+=与曲线C 无公共点，结合曲线C 的图象， 0m ≥或m <−，故④错误.故答案为：①②.【点睛】方法点睛：1.曲线方程中带有绝对值，一般是分绝对值里的式子的符号讨论去绝对值； 2.直线与曲线的交点问题常采用数形结合的方法.三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．16. 【答案】（1）π6（2）答案见解析【分析】（1）利用三角函数恒等变换化简得sin 216πA ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，进而求得解A ； （2）选择①②，ABC 不唯一；选②③，利用正弦定理与三角形面积公式即可得解；选①③，利用余弦定理与三角形面积公式即可得解 【小问1详解】因为π111sin cos ,sin cos sin 64224A A A A A ⎛⎫⎛⎫+=−= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21111cos21sin cos sin ,2244224A A A A A −−=−⨯=，1πcos21,sin 2126A A A ⎛⎫+=+= ⎪⎝⎭， 由于ππ13π0π,2666A A <<<+<， 所以πππ2,626A A +==. 【小问2详解】 若选①②，三个已知条件是ππ,,64A B c ===，没有一个是具体的边长，无法确定ABC ． 若选②③，三个已知条件是ππ,,264A B a ===，由正弦定理得2ππsin sin 64bb =⇒= 此时ABC 存在且唯一，()1sin sin 22224C A B =+=⨯+⨯=，所以11sin 21224ABCSab C +==⨯⨯=+； 若选①③，三个已知条件是π,,26A c a ===， 由余弦定理得2222cos a b c bc A =+−，即224322b b b =+−⨯， 解得2b =（负值舍去），则c = 此时ABC存在且唯一，所以111sin 2222ABC S bc A ==⨯⨯=△ 17. 【答案】（1）1730（2）分布列见解析，期望值()1710E X =； （3）()()PF P E <，理由见解析；【分析】（1）由频数分布表计算出样本中的频率，即可估计出其概率；（2）分别估计出A 、B 小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率，求出随机变量对应取值的概率，即可得出分布列和期望值；（3）分别估计出A 、B 小区三个不同群体对垃圾分类比较了解的概率，根据题意由概率乘法公式分别计算可得()(),P E P F ，即可得出结论. 【小问1详解】 根据频数分布表可知，抽取的A 小区300人样本中，有608030170++=人对垃圾分类比较了解， 所以样本中对垃圾分类比较了解的概率为1701730030P ==； 由样本估计总体的思想，用频率估计概率可知：从A 小区随机抽取一名居民，估计其对垃圾分类比较了解的概率为1730； 【小问2详解】根据频数分布表可知，A 小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率可估计为8041005=；B 小区41-70岁人群中对垃圾分类比较了解的概率可估计为90910010=； 易知随机变量X 的所有可能取值为0,1,2； 易知()49101151050P X ⎛⎫⎛⎫==−−= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ()49491311151051050P X ⎛⎫⎛⎫==−⨯+⨯−= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭；()4918251025P X ==⨯=；所以X 的分布列如下：期望值()01250502510E X =⨯+⨯+⨯= 【小问3详解】()()P F P E <，理由如下：从三个年龄组随机抽取两组共有23C 3=种，每一种组合出现的可能为13； 易知A 小区三个年龄组对垃圾分类比较了解的概率分别为343,,5510， 所以可得()1343343335551051010P E ⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭， 同理()13931912931010102102100P F ⎛⎫=⨯+⨯+⨯= ⎪⎝⎭，显然2930310010010=<； 即()()P F P E <.18. 【答案】（1）证明见解析（2）6【分析】（1）连接BD 交AC 于点O ，连接OM ，由//PB OM 可得//PB 平面MAC ；（2）延长,AB DC ，交于点N ，则直线NP 就是平面PAB 与平面PCD 的交线l ，以点A 为原点建立空间直角坐标系，求出PN 及面MAC 的法向量，求l 与平面MAC 所成角的正弦值． 【小问1详解】连接BD 交AC 于点O ，连接OM ，因为,2BC AD AD BC =∥，所以12OB BC OD AD ==， 又因M 是棱PD 上靠近点P 的三等分点， 所以12OB PM OD MD ==，所以//PB OM ， 又OM ⊂平面,MAC PB ⊄平面MAC ，所以//PB 平面MAC ； 【小问2详解】延长,AB DC ，交于点N ，所以,N P 为平面PAB 与平面PCD 的公共点， 所以直线NP 就是平面PAB 与平面PCD 的交线l ；因为平面PAD ⊥平面,ABCD PA AD ⊥，平面PAD ⋂平面,ABCD AD PA =⊂平面PAD ， 所以PA ⊥平面ABCD ，又AB ⊂平面ABCD ，所以PA AB ⊥， 如图，以点A 因为,2BC AD AD BC =∥， 所以121BN BC BNAN AD BN ===+，所以1BN =， 则()()()()240,0,0,1,1,0,0,,,0,0,2,2,0,033A C M P N ⎛⎫⎪⎝⎭， 则()()241,1,0,0,,,2,0,233AC AM PN ⎛⎫===− ⎪⎝⎭， 设平面MAC 的法向量为(),,n x y z =，则有02433n AC x y n AM y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，可取()2,2,1n =−， 则4cos ,63n PN n PN n PN⋅+===⨯，即l 与平面MAC 所成角的正弦值为619. 【答案】（1）a e =（2）当0a ≤时，函数()f x 无极小值；当0a >，()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ，无极大值（3）k 的最大值为1【分析】（1）求出'()f x ，由导数的几何意义，解方程'(1)0f =即可；（2）解方程'()0f x =，注意分类讨论，以确定'()f x 的符号，从而确定()f x 的单调性，得极大值或极小值（极值点多时，最好列表表示）；（3）题意就是方程(x)kx 1f =−无实数解，即关于x 的方程()11xk x e −=在R 上没有实数解．一般是分类讨论，1k =时，无实数解，1k ≠时，方程变为11x xe k =−，因此可通过求函数()x g x xe =的值域来求得k 的范围．【详解】（1）由()1x a f x x e =−+,得()1xa f x e '=−． 又曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线平行于x 轴, 得()10f '=,即10ae−=,解得a e =． （2）()1x af x e'=−,①当0a ≤时,0fx,()f x 为(),−∞+∞上的增函数,所以函数()f x 无极值．②当0a >时,令()0f x '=,得x e a =,ln x a =．(),ln x a ∈−∞,()0f x '<;()ln ,x a ∈+∞,0f x．所以()f x 在(),ln a −∞上单调递减,在()ln ,a +∞上单调递增,故()f x 在ln x a =处取得极小值,且极小值为()ln ln f a a =,无极大值． 综上,当0a ≤时,函数()f x 无极小值当0a >,()f x 在ln x a =处取得极小值ln a ,无极大值． （3）当1a =时,()11x f x x e=−+令()()()()111xg x f x kx k x e =−−=−+, 则直线l :1y kx =−与曲线()y f x =没有公共点, 等价于方程()0g x =在R 上没有实数解．假设1k >,此时()010g =>,1111101k g k e −⎛⎫=−+< ⎪−⎝⎭, 又函数()g x 的图象连续不断,由零点存在定理,可知()0g x =在R 上至少有一解,与“方程()0g x =在R 上没有实数解”矛盾,故1k ≤． 又1k =时,()10x g x e=>,知方程()0g x =在R 上没有实数解． 所以k 的最大值为1． 解法二:（1）（2）同解法一． （3）当1a =时,()11x f x x e=−+． 直线l :1y kx =−与曲线()y f x =没有公共点, 等价于关于x 的方程111x kx x e−=−+在R 上没有实数解,即关于x 的方程: ()11x k x e−=（*） 在R 上没有实数解． ①当1k =时,方程（*）可化为10x e=,在R 上没有实数解． ②当1k ≠时,方程（*）化为11x k =−． 令()xg x xe =,则有()()1xg x x e '=+． 令()0g x '=,得=1x −,当x 变化时,()g x '的变化情况如下表:当=1x −时,()min 1g x e=−,同时当x 趋于+∞时,()g x 趋于+∞, 从而()g x 的取值范围为1,e ⎡⎫−+∞⎪⎢⎣⎭．所以当11,1k e ⎛⎫∈−∞− ⎪−⎝⎭时,方程（*）无实数解, 解得k 的取值范围是()1,1e −． 综上,得k 的最大值为1．考点：导数的几何意义，极值，导数与单调性、值域，方程根的分布．20. 【答案】（1）2214x y +=（2）2【分析】（1）写出直线AC 的方程，根据原点O 到直线AC 的距离及离心率求得,a b 即可；（2）解法一：设()()000,0,2P x y x ≠，写出,,AC PB PC 方程并联立求得,T Q 坐标，代入斜率公式计算即可；解法二：1:12AC y x =+与()1:2PB y k x =−联立可得Q 坐标，将PB 与椭圆方程联立得P 坐标，写出PC 方程得T 坐标，代入斜率公式计算即可.【小问1详解】 原点O 到直线:1x yAC a b +=−即0bx ay ab −+=的距离d ==又2c e a ==， 222a b c =+，解之得2,1a b ==，所以椭圆E 的方程为2214xy +=．【小问2详解】解法一：设()()000,0,2P x y x ≠，则220014x y +=，直线PB 的斜率0102y k x =−， 因为()()()2,0,2,0,0,1A B C −，所以001:1y PC y x x −=+， 令0y =得001x x y =−，所以00,01x T y⎛⎫ ⎪−⎝⎭，又()001:1,:222y AC y x PB y x x =+=−−，联立可得00000002444,2222x y y Q y x y x ⎛⎫+− ⎪−+−+⎝⎭，直线QT 的斜率()00000222000000000004041222444484221y y y y x k x y x x y x y y y x y −−−+==+−−−+−−−+− ()()()0000022200000000004141184822444484y y y y y y x y y x y y yx y y −−−===−−++−−−−+−，所以()()()()()00000001200000022212122222222y x y y x y y k k x x y x x y +−−−−−−=−⨯=−+−−+− ()22000000000022000000000022242224124442442444y x y x y y x y x y x x y x y y x y x y −++−−++−===−+−−+−+−−+． 综上2λ=．解法二：因为()()()112,0,2,0,0,1,2A B C k −≠所以1:12AC y x =+，与()1:2PB y k x =−联立可得1111424,2121k k Q k k ⎛⎫+ ⎪−−⎝⎭，将()1:2PB y k x =−代入2214x y +=得()222211141161640k x k x k +−+−=，所以2121164241P k x k −=+，则21218241P k x k −=+，2111221182424141P k k y k k k ⎛⎫−−=−= ⎪++⎝⎭， 所以2112211824,4141k k P k k ⎛⎫−− ⎪++⎝⎭， 则直线PC 的斜率为()()()()()1222111112211111214121214144182822212122141PCk k k k k k k k k k k k k −−−+−++−−−====−−+−−+，所以()()1121:1221k PC y x k −+=+−，令0y =得114221k x k −=+，则1142,021k T k ⎛⎫− ⎪+⎝⎭， 所以QT 斜率为()()()()()111121111111140421214242422142212121k k k k k k k k k k k k k −+−==+−++−−−−−+ ()111142111624k k k k +==+，则12122k k −=−． 综上2λ=．【点睛】关键点睛：关系式1212k k λ+=中关键是12,k k 的计算，计算12,k k 必须要有各点的坐标，故要设直线方程联立求交点坐标.21. 【答案】（1）①不满足；②满足 （2）证明见解析； （3）0n a =或3n a =； 【分析】（1）根据题意分析判断；（2）根据题意先证3为数列{}n a 中的项，再利用反证法证明集合{}3∣n n a *∈=N 为无限集；（3）先根据题意证明{}0,2,3n a ∈，再分{}n a 为常数列和非常数列两种情况，分析判断. 【小问1详解】对①，取1i =，对,1j j *∀∈>N ，则11,j i j a a a ===， 可得11j j i i j a a a j a =−−−=−−， 显然不存在,k j k *>∈N ，使得1k a =−， 所以数列{}n a 不满足性质P ；对②，对于,,i j i j *∀∈<N ，则2i b i =+，2j b j =+，故()()()()2222j i i j i j i j i j i j b b b b −−=++−+−+=⋅++()22i j i j =⋅++−+，因为,,1,2i j i j *∈≥≥N ，则()2i j i j *⋅++−∈N ，且()()2123i j i j i j j ⋅++−=++−≥，所以存在()2k i j i j *=⋅++−∈N ，k j >，使得()22j k i ji b b i b j i j b b =⋅++−=−−+，故数列{}n b 满足性质P ； 【小问2详解】若数列{}n a 满足性质P ，且11a =，则有：取111,1,i j j j *==>∈N ，均存在111,k j k *>∈N ，使得111111k j j a a a a a =−−=−， 取2121,,i j j k j *==>∈N ，均存在2212,k j k k *>>∈N ，使得222111k j j a a a a a =−−=−，取121,i k j k k ==>，均存在1211,m k m *>>∈N ，使得112123m k k k k a a a a a =−−=，故数列{}n a 中存在n *∈N ，使得3n a =，即{}3∣n n a *∈=≠∅N ，反证：假设{}3∣n n a *∈=N 为有限集，其元素由小到大依次为()12,,,1l l n n n n >，取1,1l l i j n n ==+>，均存在1,L l L k n k *>+∈N ，使得11111L l l k n n a a a a a ++=−−=−， 取1,1L i j k ==+，均存在111,L L L k k k *++>+∈N ，使得111111L L L k k k a a a a a +++=−−=−， 取1,L L i k j k +==，均存在111,l L l l n k n n *+++>>∈N ，使得1113l L L L L n k k k k a a a a a +++=−−=，即{}13∣l nn n a *+∈∈=N 这与假设相矛盾，故集合{}3∣n n a *∈=N 为无限集.【小问3详解】设周期数列{}n a 的周期为1,T T *≥∈N ，则对n *∀∈N ，均有n n T a a +=，设周期数列{}n a 的最大项为,,1M a M M T *∈≤≤N ，最小项为,,1N a N N T *∈≤≤N ，即对n *∀∈N ，均有N n M a a a ≤≤， 若数列{}n a 满足性质P ：反证：假设4M a ≥时，取,i M j M T ==+，则,k M T k *∃>+∈N ，使得22k M M T M M T M M a a a a a a a ++=−−=−，则()2330k M M M M M a a a a a a −=−=−>，即k M a a >，这对n *∀∈N ，均有N n M a a a ≤≤矛盾，假设不成立；则对n *∀∈N ，均有3n a ≤； 反证：假设2N a ≤−时，取,i N j N T ==+，则,k N T k *∃>+∈N ，使得224k N N T N N T N N a a a a a a a ++=−−=−≥，这与对n *∀∈N ，均有3n a ≤矛盾，假设不成立，即对n *∀∈N ，均有1n a ≥−； 综上所述：对n *∀∈N ，均有13n −≤，反证：假设1为数列{}n a 中的项，由（2）可得：1,3−为数列{}n a 中的项， ∵()13135−⨯−−−=−，即5−为数列{}n a 中的项，这与对n *∀∈N ，均有13n a −≤≤相矛盾，即对n *∀∈N ，均有1n a ≠，同理可证：1n a ≠−， ∵n a ∈Z ，则{}0,2,3n a ∈，当1T =时，即数列{}n a 为常数列时，设n a a =，故对,,i j i j *∀∈<N ，都存在k j >，使得22k i i j j a a a a a a a a =−−=−=，解得0a =或3a =，即0n a =或3n a =符合题意； 当2T ≥时，即数列{}n a 至少有两个不同项，则有：①当0,2为数列{}n a 中的项，则02022⨯−−=−，即2−为数列{}n a 中的项，但{}20,2,3−∉，不成立；②当0,3为数列{}n a 中的项，则03033⨯−−=−，即3−为数列{}n a 中的项，但{}30,2,3−∉，不成立；③当2,3为数列{}n a 中的项，则23231⨯−−=，即1为数列{}n a 中的项，但{}10,2,3∉，不成立； 综上所述：0n a =或3n a =.【点睛】（1）对于证明中出现直接证明不方便时，我们可以利用反证法证明；（2）对于周期数列{}n a 满足性质P ，证明思路：先逐步缩小精确n a 的取值可能，再检验判断.。
(易错题精选)初中数学函数基础知识易错题汇编及解析(1)
（易错题精选）初中数学函数基础知识易错题汇编及解析(1)一、选择题1．如图，点M 为▱ABCD 的边AB 上一动点，过点M 作直线l 垂直于AB ，且直线l 与▱ABCD 的另一边交于点N ．当点M 从A→B 匀速运动时，设点M 的运动时间为t ，△AMN 的面积为S ，能大致反映S 与t 函数关系的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分析：本题需要分两种情况来进行计算得出函数解析式，即当点N 和点D 重合之前以及点M 和点B 重合之前，根据题意得出函数解析式．详解：假设当∠A=45°时，2AB=4，则MN=t ，当0≤t≤2时，AM=MN=t ，则S=212t ，为二次函数；当2≤t≤4时，S=t ，为一次函数，故选C ． 点睛：本题主要考查的就是函数图像的实际应用问题，属于中等难度题型．解答这个问题的关键就是得出函数关系式．2．下列说法：①函数6y x =-x 的取值范围是6x >；②对角线相等的四边形是矩形；③正六边形的中心角为60︒；④对角线互相平分且相等的四边形是菱形；⑤计算92|-的结果为7：⑥相等的圆心角所对的弧相等；1227理数．其中正确的个数有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】【分析】根据正多边形和圆，无理数的定义，二次根式的加减运算，菱形的判定，矩形的判定，函数自变量的取值范围解答即可．【详解】解：①函数6y x =-的自变量x 的取值范围是6x ≥；故错误；②对角线相等且互相平分的四边形是矩形；故错误；③正六边形的中心角为60°；故正确；④对角线互相平分且垂直的四边形是菱形；故错误；⑤计算|9-2|的结果为1；故错误；⑥同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等；故错误；⑦122723333-=-=-是无理数；故正确．故选：B ．【点睛】本题考查了正多边形和圆，无理数的定义，二次根式的加减运算，菱形的判定，矩形的判定，函数自变量的取值范围，熟练掌握各知识点是解题的关键．3．如图，在边长为3的菱形ABCD 中，点P 从A 点出发，沿A→B→C→D 运动，速度为每秒3个单位；点Q 同时从A 点出发，沿A→D 运动，速度为每秒1个单位，则APQ ∆的面积S 关于时间t 的函数图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】根据动点的运动过程分三种情况进行讨论解答即可．【详解】解：根据题意可知：3AP t =，AQ t =，当03t <<时，2133sin sin 22S t t A t A =⋅⋅=⋅ 0sin 1A <<∴此函数图象是开口向上的抛物线；当36t <<时，133sin sin 22S t A t A =⋅⋅=⋅ ∴此时函数图象是过一、三象限的一次函数；当69t <<时，2139(93)sin ()sin 222S t t A t t A =⋅⋅-=-+． ∴此时函数图象是开口向下的抛物线．所以符号题意的图象大致为D ．故选：D ．【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是根据动点运动过程表示出函数解析式．4．函数2x y x =-中自变量x 的取值范围是（ ） A ．x≠2B ．x≥2C ．x≤2D ．x ＞2【答案】A【解析】【分析】根据分式的意义，进行求解即可．【详解】解：根据分式的意义得2-x≠0，解得x≠2故选：A【点睛】本题考查了求自变量的取值范围，函数自变量的范围一般从几个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数．5．若A(﹣3，y 1)、B(0，y 2)、C(2，y 3)为二次函数y ＝（x+1）2+1的图象上的三点，则y 1、y 2、y 3的大小关系是（ ）A ．y 1＜y 2＜y 3B ．y 2＜y 1＜y 3C ．y 3＜y 1＜y 2D ．y 1＜y 3＜y 2【答案】B【解析】【分析】把三个点的坐标代入二次函数解析式分别计算出则y1、y2、y3的值，然后进行大小比较．【详解】解：∵A（﹣3，y1）、B（0，y2）、C（2，y3）为二次函数y＝（x+1）2+1的图象上的三点，∴y1＝（﹣3+1）2+1＝5，y2＝（0+1）2+1＝2，y3＝（2+1）2+1＝10，∴y2＜y1＜y3．故选：B．【点睛】本题考查了比较函数值大小的问题，掌握二次函数的性质、代入法是解题的关键．6．一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完.假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量y（单位：升）与时间x（单位：分钟）之间的部分关系如图象所示，从开始进水到把水放完需要多少分钟．（）A．20 B．24 C．18 D．16【答案】A【解析】【分析】先根据函数图象求出进水管每分钟的进水量和出水管每分钟的出水量，然后再求出关闭进水管后出水管放完水的时间即可解决问题．【详解】解：由函数图象得：进水管每分钟的进水量为：20÷4＝5升，设出水管每分钟的出水量为a升，由函数图象，得：302058a--=，解得：a＝154，∴关闭进水管后出水管放完水的时间为：30÷154＝8分钟，∴从开始进水到把水放完需要12＋8＝20分钟，故选：A ．【点睛】本题考查从函数的图象获取信息和用一元一次方程解决实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，能够通过图象列出算式和方程是解题的关键．7．如图，在矩形ABCD 中，2AB =，3BC =，动点P 沿折线BCD 从点B 开始运动到点D ．设运动的路程为x ，ADP ∆的面积为y ，那么y 与x 之间的函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】【分析】由题意当03x ≤≤时，3y =，当35x <<时，()131535222y x x =⨯⨯-=-+，由此即可判断．【详解】由题意当03x ≤≤时，3y =，当35x <<时，()131535222y x x =⨯⨯-=-+， 故选D ．【点睛】本题考查动点问题的函数图象，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论是扇形思考问题．8．如图，2020D 次哈尔滨至幸福镇的动车需要匀速通过一条隧道（隧道长大于火车长），火车在隧道内的长度与火车进入隧道的时间x 之间的关系用图象描述大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】【分析】 火车通过隧道分为3个过程：逐渐进入隧道，完全进入隧道并在其中行驶，逐渐出隧道【详解】火车在逐渐进入隧道的过程中，火车在隧道内的长度逐渐增加；火车完全进入隧道后，还在隧道内行驶一段时间，因此在隧道内的长度是火车长，且保持一段时间不变；火车在逐渐出隧道的过程中，火车在隧道内的长度逐渐减少；符合上述分析过程的为：A故选：A【点睛】本题考查函数图像在生活中的应用，解题关键是分析事件变化的过程，并能够匹配对应函数图像变化9．如图，在矩形ABCD 中，AB 4=，BC 6=，当直角三角板MPN 的直角顶点P 在BC 边上移动时，直角边MP 始终经过点A ，设直角三角板的另一直角边PN 与CD 相交于点Q.BP x =，CQ y =，那么y 与x 之间的函数图象大致是( )A ．B ．C．D．【答案】D【解析】试题解析：设BP=x，CQ=y，则AP2=42+x2，PQ2=（6-x）2+y2，AQ2=（4-y）2+62；∵△APQ为直角三角形，∴AP2+PQ2=AQ2，即42+x2+（6-x）2+y2=（4-y）2+62，化简得：y=−14x2+32x整理得：y=−14(x−3)2+94根据函数关系式可看出D中的函数图象与之对应．故选D．【点睛】本题考查的是动点变化时，两线段对应的变化关系，重点是找出等量关系，即直角三角形中的勾股定理．10．下列各曲线中，表示y是x的函数的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】【分析】根据函数的意义即可求出答案．【详解】解：根据函数的意义可知：对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，所以B 正确．故选：B．【点睛】此题考查函数图象的概念．解题关键在于要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．函数的意义反映在图象上简单的判断方法是：做垂直x轴的直线在左右平移的过程中与函数图象只会有一个交点．11．如图，点P是▱ABCD边上的一动点，E是AD的中点，点P沿E→D→C→B的路径移动，设P点经过的路径长为x，△BAP的面积是y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是（）A． B．C．D．【答案】D【解析】【分析】根据题意分类讨论，随着点P位置的变化，△BAP的面积的变化趋势．【详解】通过已知条件可知，当点P与点E重合时，△BAP的面积大于0；当点P在AD边上运动时，△BAP的底边AB不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而增大；当P在DC 边上运动时，由同底等高的三角形面积不变，△BAP面积保持不变；当点P带CB边上运动时，△BAP的底边AB不变，则其面积是x的一次函数，面积随x增大而减小；故选D．【点睛】本题以动点问题为背景，考查了分类讨论的数学思想以及函数图象的变化规律．12．如图1所示，A，B两地相距60km，甲、乙分别从A，B两地出发，相向而行，图2中的1l，2l分别表示甲、乙离B地的距离y（km）与甲出发后所用的时间x（h）的函数关系．以下结论正确的是( )A ．甲的速度为20km/hB ．甲和乙同时出发C ．甲出发1.4h 时与乙相遇D ．乙出发3.5h 时到达A 地【答案】C【解析】【分析】根据题意结合图象即可得出甲的速度；根据图象即可得出甲比乙早出发0.5小时；根据两条线段的交点即可得出相遇的时间；根据图形即可得出乙出发3h 时到达A 地．【详解】解：A ．甲的速度为：60÷2=30，故A 错误；B ．根据图象即可得出甲比乙早出发0.5小时，故B 错误；C ．设1l 对应的函数解析式为111y k x b =+，所以：1116020b k b =⎧⎨+=⎩， 解得113060k b =-⎧⎨=⎩ 即1l 对应的函数解析式为13060y x =-+；设2l 对应的函数解析式为222y k x b =+，所以：22220.503.560k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得 222010k b =⎧⎨=-⎩ 即2l 对应的函数解析式为22010y x =-，所以：30602010y x y x =-+⎧⎨=-⎩， 解得 1.418x y =⎧⎨=⎩∴点A 的实际意义是在甲出发1.4小时时，甲乙两车相遇， 故本选项符合题意； D ．根据图形即可得出乙出发3h 时到达A 地，故D 错误．故选：C ．【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用一次函数的性质和数形结合的思想解答．13．甲、乙两同学骑自行车从A 地沿同一条路到B 地，已知乙比甲先出发，他们离出发地的距离S （km ）和骑行时间t （h ）之间的函数关系如图所示，给出下列说法：①他们都骑行了20km ；②乙在途中停留了0.5h ；③甲、乙两人同时到达目的地；④相遇后，甲的速度小于乙的速度．根据图象信息，以上说法正确的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】B【解析】 试题分析：根据图象上特殊点的坐标和实际意义即可作出判断．由图可获取的信息是：他们都骑行了20km ；乙在途中停留了0.5h ；相遇后，甲的速度＞乙的速度，所以甲比乙早0.5小时到达目的地，所以（1）（2）正确．故选B ．考点：本题考查的是学生从图象中读取信息的数形结合能力点评：同学们要注意分析其中的“关键点”，还要善于分析各图象的变化趋势．14．甲乙两同学同时从400m 环形跑道上的同一点出发，同向而行，甲的速度为6/m s ，乙的速度为4/m s ，设经过xs 后，跑道上两人的距离（较短部分）为ym ，则y 与x 0300x ≤≤之间的关系可用图像表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】【分析】根据同向而行，二人的速度差为642/m s -=，二人间的最长距离为200，最短距离为0，从而可以解答本题．【详解】二人速度差为642/m s -=，100秒时，二人相距2×100=200米，200秒时，二人相距2×200=400米，较短部分的长度为0，300秒时，二人相距2×300=600米，即甲超过乙600-400=200米．∴()201004002(100200)2400(200300)x xy x xx x⎧≤≤⎪=-<≤⎨⎪-<≤⎩，函数图象均为线段，只有C选项符合题意．故选：C．【点睛】本题考查了利用函数的图象解决实际问题以及动点问题的函数图象，正确理解函数图象表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．15．“同辞家门赴车站，别时叮咛语千万，学子满载信心去，老父怀抱希望还．”如果用纵轴y表示父亲和学子在行进中离家的距离，横t表示离家的时间，下面与上述诗意大致相吻合的图象是()A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】【分析】首先正确理解小诗的含义，然后再根据时间与离家的距离关系找出函数图象．【详解】解：同辞家门赴车站，父亲和孩子的函数图象在一开始的时候应该一样，别时叮咛语千万，时间在加长，路程不变，学子满载信心去，学子离家越来越远，老父怀抱希望还，父亲回家离家越来越近，故选：B．【点睛】此题主要考查了函数图象，首先应理解函数图象的横轴和纵轴表示的量，再根据实际情况来判断函数图象．16．下列图象中不是表示函数图象的是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】【分析】根据函数的定义可知，满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，据此即可确定函数的个数．【详解】解：A选项：满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故A是函数；B选项：满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故B是函数；C选项：不满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故C不是函数；D选项：满足对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应关系，故D是函数，故选：C．【点睛】主要考查了函数的定义．函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个取值，y都有唯一确定的值与之对应，则y是x的函数，x叫自变量．17．如图1．已知正△ABC中，E，F，G分别是AB，BC，CA上的点，且AE＝BF＝CG，设△EFG的面积为y，AE的长为x，y关于x的函数图象如图2，则△EFG的最小面积为（）A 3B3C．2 D3【答案】A 【解析】【分析】本题根据图2判断△EFG 的面积y 最小时和最大时分别对应的x 值，从而确定AB ，EG 的长度，求出等边三角形EFG 的最小面积．【详解】由图2可知，x ＝2时△EFG 的面积y 最大，此时E 与B 重合，所以AB ＝2，∴等边三角形ABC∴等边三角形ABC由图2可知，x ＝1时△EFG 的面积y 最小，此时AE ＝AG ＝CG ＝CF ＝BG ＝BE ，显然△EGF 是等边三角形且边长为1，所以△EGF 的面积为4， 故选A ．【点睛】本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象等边三角形等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．18．已知：[]x 表示不超过x 的最大整数．例：[]3.93=，[]1.82-=-．记1()44k k f k +⎡⎤⎡⎤=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦（k 是正整数）．例：3133144()f ⎡⎤⎡⎤+=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．则下列结论正确的个数是（ ）（1）()10f =；（2）()()4f k f k +=；（3）()()1f k f k +≥；（4）()0f k =或1．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】C【解析】【分析】根据题中所给的定义，依次作出判断即可．【详解】 解：111(1)00044f +⎡⎤⎡⎤=-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，正确； 41411(4)11()444444k k k k k k f k f k +++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+=-=+-+=-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦，正确； 当k=3时，414(31)11044f +⎡⎤⎡⎤+=-=-=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，而(3)1f =，错误； 当k=3+4n （n 为自然数）时，f （k ）=1，当k 为其它的正整数时，f （k ）=0，正确； 正确的有3个，故选：C ．【点睛】本题考查新定义下的实数运算，函数值．能理解题中新的定义，并根据题中的定义进行计算是解决此题的关键．19．如图1，点F 从菱形ABCD 的项点A 出发，沿A －D －B 以1cm/s 的速度匀速运动到点B ．图2是点F 运动时，△FBC 的面积y (m 2)随时间x (s)变化的关系图象，则a 的值为( )A ．5B ．2C ．52D ．5【答案】C【解析】【分析】 过点D 作DE BC ⊥于点E 由图象可知，点F 由点A 到点D 用时为as ，FBC ∆的面积为2acm ．求出DE=2，再由图像得5BD =BE=1，再在DEC Rt △根据勾股定理构造方程，即可求解．【详解】解：过点D 作DE BC ⊥于点E由图象可知，点F 由点A 到点D 用时为as ，FBC ∆的面积为2acm ．AD BC a ∴== ∴12DE AD a =g 2DE ∴=由图像得，当点F 从D 到B 时，用5s5BD ∴=Rt DBE V 中，2222(5)21BE BD DE --=∵四边形ABCD 是菱形，1EC a ∴=-，DC a =DEC Rt △中，2222(1)a a =+- 解得52a =故选：C ．【点睛】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，要注意函数图象变化与动点位置之间的关系，解答此题关键根据图像关键点确定菱形的相关数据．20．小明从家骑车上学，先匀速上坡到达A 地后再匀速下坡到达学校，所用的时间与路程如图所示，如果返回时，上、下坡速度仍然保持不变，那么他从学校回到家需要的时间是( )A ．9分钟B ．12分钟C ．8分钟D ．10分钟【答案】B【解析】【分析】 先根据图形，得到上坡、下坡的时间和距离，然后分别求出上、下坡的速度，最后计算返回家的时间【详解】根据图形得，从家到学校：上坡距离为1km ，用时5min ，下坡距离为2km ，用时为4min 故上坡速度115V =(km/min)，下坡速度22142V ==(km/min) 从学校返回家的过程中，原来的上下坡刚好颠倒过来，即上坡2km ，下坡1km 故上坡时间12t 15==10(min)，下坡时间21t 12==2(min) ∴总用时为：10+2=12(min)故选：B【点睛】本题考查从函数图象获取信息，解题关键是将函数图像中的数据与生活实际一一对应。
中考数学一元二次方程(大题培优 易错 难题)含答案
一、一元二次方程真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB＝16cm，BC＝6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．(1)若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q 两点之间的距离是多少cm？(2)若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C 同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？(3)若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为12cm2？【答案】（1）PQ=62cm；（2）85s或245s；（3）经过4秒或6秒△PBQ的面积为12cm2．【解析】试题分析：（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．试题解析：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得PE2+EQ2=PQ2，即36+36=PQ2，∴cm；∴经过2s时P、Q两点之间的距离是；（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，∴16-5x=±8，∴x1=85，x2=245；∴经过85s或245sP、Q两点之间的距离是10cm；（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．①当0≤y≤163时，则PB=16-3y，∴12PB•BC=12，即12×（16-3y）×6=12，解得y=4；②当163＜x≤223时，BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则1 2BP•CQ=12（3y-16）×2y=12，解得y1=6，y2=-23（舍去）；③223＜x≤8时，QP=CQ-PQ=22-y，则1 2QP•CB=12（22-y）×6=12，解得y=18（舍去）．综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为 12cm2．考点：一元二次方程的应用．2．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点B（1，0），与y轴交于点C（0，3），其对称轴l为x=﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其顶点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥NA，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形PABC面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）y=﹣（x+1）2+4，顶点坐标为（﹣1，4）；（2）①点P 2﹣1，2）；②P （﹣32，154） 【解析】试题分析：（1）将B 、C 的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为1x =-即可得到抛物线的解析式；（2）①首先求得抛物线与x 轴的交点坐标，然后根据已知条件得到PD=OA ，从而得到方程求得x 的值即可求得点P 的坐标；②ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形，表示出来得到二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点A 和点B （1，0），与y 轴交于点C （0，3），其对称轴l 为1x =-，∴0{312a b c c b a++==-=-，解得：1{23a b c =-=-=，∴二次函数的解析式为223y x x =--+=2(1)4x -++，∴顶点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230y x x =--+=，解得3x =-或1x =，∴点A （﹣3，0），B （1，0），作PD ⊥x 轴于点D ，∵点P 在223y x x =--+上，∴设点P （x ，223x x --+）， ①∵PA ⊥NA ，且PA=NA ，∴△PAD ≌△AND ，∴OA=PD ，即2232y x x =--+=，解得21（舍去）或x=21-，∴点P （21-，2）；②设P(x ，y)，则223y x x =--+，∵ΔOBC ΔAPD ABCP C =PDO S S S S ++四边形梯形 =12OB•OC+12AD•PD+12(PD+OC)•OD=11131+(3)(3)()222x y y x ⨯⨯⨯+++-=333222x y -+ =2333(23)222x x x -+--+=239622x x --+=23375()228x -++， ∴当x=32-时，ABCP S 四边形最大值=758，当x=32-时，223y x x =--+=154，此时P（32-，154）．考点：1．二次函数综合题；2．二次函数的最值；3．最值问题；4．压轴题．3．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.（1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34 ；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．解得k ＜-34； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1，∵=== 32-， 解得：k=-1或k= 13-（舍去），∴k=﹣14．已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=有两个实数根. (1)求k 的取值范围；(2)若方程的两实数根分别为1x ，2x ，且221212615x x x x +=-，求k 的值.【答案】（1）32k ≥（2）4 【解析】试题分析： 根据方程的系数结合根的判别式即可得出230k ∆=-≥ ，解之即可得出结论. 根据韦达定理可得：212121114x x k x x k ，+=+⋅=+ ，结合221212615x x x x +=- 即可得出关于k 的一元二次方程，解之即可得出k 值，再由⑴的结论即可确定k 值.试题解析：因为方程有两个实数根，所以()22114112304k k k ⎛⎫⎡⎤∆=-+-⨯⨯+=-≥ ⎪⎣⎦⎝⎭， 解得32k ≥. 根据韦达定理，()221212111141 1.114k k x x k x x k +-++=-=+⋅==+， 因为221212615x x x x +=-，所以()212128150x x x x +-+=，将上式代入可得 ()2211811504k k ⎛⎫+-++= ⎪⎝⎭，整理得2280k k --= ，解得 1242k k ，==- ，又因为32k ≥，所以4k =.5．已知关于x 的方程mx 2+(3﹣m)x ﹣3=0(m 为实数，m≠0)．(1) 试说明：此方程总有两个实数根．(2) 如果此方程的两个实数根都为正整数，求整数m 的值.【答案】(1)()2243b ac m -=+≥0；(2)m=-1,-3.【解析】分析: （1）先计算判别式得到△=（m -3）2-4m •（-3）=（m +3）2，利用非负数的性质得到△≥0，然后根据判别式的意义即可得到结论；（2）利用公式法可求出x 1=3m，x 2=-1，然后利用整除性即可得到m 的值． 详解: （1）证明：∵m ≠0，∴方程mx 2+（m -3）x -3=0（m ≠0）是关于x 的一元二次方程，∴△=（m -3）2-4m ×（-3）=（m +3）2，∵（m +3）2≥0，即△≥0，∴方程总有两个实数根；（2）解：∵x =()()332m m m --±+ ， ∴x 1=-3m，x 2=1， ∵m 为正整数，且方程的两个根均为整数，∴m =-1或-3．点睛: 本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．也考查了解一元二次方程．6．关于x 的一元二次方程x 2﹣2x ﹣(n ﹣1)＝0有两个不相等的实数根．(1)求n 的取值范围；(2)若n 为取值范围内的最小整数，求此方程的根．【答案】(1)n ＞0；(2)x 1＝0，x 2＝2．【解析】【分析】(1)根据方程有两个不相等的实数根可知240b ac ∆=-> ，即可求出n 的取值范围； （2）根据题意得出n 的值，将其代入方程，即可求得答案.【详解】(1)根据题意知，[]224(2)41(1)0b ac n ∆=-=--⨯⨯-->解之得：0n >；(2)∵0n > 且n 为取值范围内的最小整数，∴1n =，则方程为220x x -=，即(2)0x x -=，解得120,2x x ==．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，明确和掌握一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 的根与24b ac ∆=-的关系（①当>0∆ 时，方程有两个不相等的实数根；②当0∆= 时方程有两个相等的实数根；③当∆<0 时，方程无实数根）是解题关键.7．“分块计数法”：对有规律的图形进行计数时，有些题可以采用“分块计数”的方法． 例如：图1有6个点，图2有12个点，图3有18个点，……，按此规律，求图10、图n 有多少个点？我们将每个图形分成完全相同的6块，每块黑点的个数相同（如图），这样图1中黑点个数是6×1=6个；图2中黑点个数是6×2=12个：图3中黑点个数是6×3=18个；所以容易求出图10、图n中黑点的个数分别是、．请你参考以上“分块计数法”，先将下面的点阵进行分块（画在答题卡上），再完成以下问题：（1）第5个点阵中有个圆圈；第n个点阵中有个圆圈．（2）小圆圈的个数会等于271吗？如果会，请求出是第几个点阵．【答案】60个，6n个；（1）61；3n2﹣3n+1，（2）小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．【解析】分析：根据规律求得图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个；（1）第2个图中2为一块，分为3块，余1，第2个图中3为一块，分为6块，余1；按此规律得：第5个点阵中5为一块，分为12块，余1，得第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，（2）代入271，列方程，方程有解则存在这样的点阵．详解：图10中黑点个数是6×10=60个；图n中黑点个数是6n个，故答案为：60个，6n个；（1）如图所示：第1个点阵中有：1个，第2个点阵中有：2×3+1=7个，第3个点阵中有：3×6+1=17个，第4个点阵中有：4×9+1=37个，第5个点阵中有：5×12+1=60个，…第n个点阵中有：n×3（n﹣1）+1=3n2﹣3n+1，故答案为：60，3n2﹣3n+1；（2）3n2﹣3n+1=271，n2﹣n﹣90=0，（n﹣10）（n+9）=0，n1=10，n2=﹣9（舍），∴小圆圈的个数会等于271，它是第10个点阵．点睛：本题是图形类的规律题，采用“分块计数”的方法解决问题，仔细观察图形，根据图形中圆圈的个数恰当地分块是关键．8．如图，一艘轮船以30km/h的速度沿既定航线由南向北航行，途中接到台风警报，某台风中心正以10km/h的速度由东向西移动，距台风中心200km的圆形区域（包括边界）都属台风影响区，当这艘轮船接到台风警报时，它与台风中心的距离BC=500km，此时台风中心与轮船既定航线的最近距离AB=300km．（1）如果这艘船不改变航向，那么它会不会进入台风影响区？（2）如果你认为这艘轮船会进入台风影响区，那么从接到警报开始，经过多长时间它就会进入台风影响区？（3）假设轮船航向不变，轮船航行速度不变，求受到台风影响的时间为多少小时？【答案】（1）如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）经过1515就会进入台风影响区；（3）15【解析】【分析】（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区．（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可．（3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影响的时间长.【详解】解：（1）如图易知AB′=300﹣10t，AC′=400﹣30t，当B′C′=200时，将受到台风影响，根据勾股定理可得：(300﹣10t )2+(400﹣30t )2=2002，整理得到：t 2﹣30t +210=0，解得t =15±15， 由此可知，如果这艘船不改变航向，那么它会进入台风影响区．（2）由（1）可知经过(15﹣15)h 就会进入台风影响区；（3）由（1）可知受到台风影响的时间为:15+15﹣（15﹣15）=215 h ．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用以及勾股定理等知识，根据题意得出关于x 的等式是解题关键．9．如图，在四边形 ABCD 中， AD //BC ， C 90∠=︒ ， BC 16=， DC 12= ， AD 21= ，动点P 从点D 出发，沿线段 DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒1个单位长的速度向点 B 运动；点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点 P 运动到点 A 时，点Q 随之停止运动，设运动的时间为t 秒）.（1）当 t 2=时，求 BPQ 的面积；（2）若四边形ABQP 为平行四边形，求运动时间 t . （3）当 t 为何值时，以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？【答案】（1）S 84=；（2）t 5= ；（3）7t 2=或163. 【解析】【分析】（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则PM=DC ，当t=2时，算出BQ ，求出面积即可；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =，即212t 16t -=-，解出即可；（3）以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，①PQ BQ =，②BP BQ =，③PB PQ =分别求出t 即可.【详解】解 ：（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则四边形PDCM 为矩形.∴PM DC 12==，∵QB 16t =-，当t=2时，则BQ=14， 则1S QB PM 2=⨯=12×14×12=84； （2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =, 即212t 16t -=-：解得：t 5=∴当t 5=时，四边形ABQP 是平行四边形.（3）由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：①若PQ BQ =，在Rt PMQ 中，222PQ 12t =+，由22PQ BQ =得()2221216t t +=- 解得：7t 2= ； ②若BP BQ =，在Rt PMB 中，()222PB 16212t =-+，由22PB BQ ?=得()()222 1621216t t -+=- ，即2332t 1440t -+=，此时，()232431447040=--⨯⨯=-<△ ,所以此方程无解，所以BP BQ ≠ ；③若PB PQ =，由22PB PQ ?=得()2222 12162t 12t +=-+ ,得 1163t =，216t =（不合题意，舍去）； 综上所述，当7t 2=或163时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形. 【点睛】本题是对四边形即可中动点问题的考查，熟练掌握动点中线段的表示、平行四边形和等腰三角形的性质及判断是解决本题的关键，难度适中.10．重庆市旅游文化商店自制了一款文化衫，每件成本价为20元，每天销售150件： （1）若要每天的利润不低于2250元，则销售单价至少为多少元？（2）为了回馈广大游客，同时也为了提高这种文化衫的认知度，商店决定在“五一”节当天开展促销活动，若销售单价在（1）中的最低销售价的基础上再降低m%，则日销售量可以在150件基础上增加m件，结果当天的销售额达到5670元；要使销售量尽可能大，求出m的值．【答案】（1）销售单价至少为35元；（2）m=16．【解析】试题分析：（1）根据利润的公式列出方程，再求解即可；（2）销售价为原销售价×（1﹣m%），销售量为（150+m），列出方程求解即可．试题解析：（1）设销售单价至少为x元，根据题意列方程得，150（x﹣20）=2250，解得x=35，答：销售单价至少为35元；（2）由题意得：35×（1﹣m%）（150+m）=5670，150+m﹣150×m%﹣m%×m=162，m﹣m2=12，60m﹣3m2=192，m2﹣20m+64=0，m1=4，m2=16，∵要使销售量尽可能大，∴m=16．【考点】一元二次方程的应用；一元一次不等式的应用．。
中考数学直角三角形与勾股定理专题训练(含答案)
中考数学直角三角形与勾股定理专题训练一、选择题1. 如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB=1，EC=2，那么正方形ABCD 的面积为()A.B.3 C.D.52. 如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，△ABC的顶点都在这些小正方形的顶点上，则sin∠BAC的值为()A.B.C.D.3. 如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7米，顶端距离地面2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2米，则小巷的宽度为()A.0.7米B.1.5米C.2.2米D.2.4米4. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上的动点(不含端点，则点D的个数共有()B，C)，若线段AD长为正整数．．．A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个5.小明学了在数轴上画出表示无理数的点的方法后，进行练习：首先画数轴，原点为O，在数轴上找到表示数2的点A，然后过点A作AB⊥OA，使AB=3(如图)．以O为圆心，OB的长为半径作弧，交数轴正半轴于点P，则点P所表示的数介于A．1和2之间B．2和3之间C．3和4之间D．4和5之间6. 如图，在△ABC中，∠B=30°，∠C=45°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE ⊥AB，垂足为E.若DE=1，则BC的长为()A.2+B.+C.2+D.37. 如图，在△ABC中，AB＝AC，BC＝12，E为AC边的中点，线段BE的垂直平分线交边BC于点D.设BD＝x，tan∠ACB＝y，则()A. x－y2＝3B. 2x－y2＝9C. 3x－y2＝15D. 4x－y2＝218. 已知等边三角形的边长为3，点P为等边三角形内任意一点，则点P到三边的距离之和为()A.32B.332C.32D. 不能确定二、填空题9. 如图所示的网格是正方形网格，则∠P AB+∠PBA=°(点A，B，P是网格线交点).10. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，AC＝8.分别以点A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点E，F.过点E，F作直线EF，交AB于点D，连接CD，则CD的长是________．11. 三角板是我们学习数学的好帮手.将一对直角三角板如图放置，点C 在FD 的延长线上，点B 在ED 上，AB ∥CF ，∠F=∠ACB=90°，∠E=45°，∠A=60°，AC=10，则CD 的长度是 .12. 如图，△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，将△ABC 绕点C 逆时针旋转60°得到△DEC ，连接BD ，则BD 2的值是 .13. (2019•通辽)腰长为5，高为4的等腰三角形的底边长为__________．14. 如图，在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°，AB ＝15，AC ＝20，点D 在边AC 上，AD ＝5，DE ⊥BC 于点E ，连接AE ，则△ABE 的面积等于________．15. 在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为________．16. (2019•伊春)一张直角三角形纸片ABC ，90ACB ∠=︒，10AB =，6AC =，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的△是直角三角形时，则CD的长为__________．点E处，当BDE三、解答题17. 如图，已知AC⊥BC，垂足为C，AC=4，BC=3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC，DB.(1)线段DC=;(2)求线段DB的长度.18. 已知:整式A=(n2-1)2+(2n)2，整式B>0.[尝试] 化简整式A.[发现] A=B2，求整式B.[联想] 由上可知，B2=(n2-1)2+(2n)2，当n>1时，n2-1，2n，B为直角三角形的三边长，如图.填写下表中B的值:直角三角形三边n2-1 2n B勾股数组Ⅰ8勾股数组Ⅱ3519. 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AB边上一点，过点C作CF ∥AB交ED的延长线于点F.(1)求证:△BDE≌△CDF;(2)当AD⊥BC，AE=1，CF=2时，求AC的长.20. 在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完．．．．．．．．．．．．．成解答过程．．．．．21.如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10 km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10 km至C港．(1)求A，C两港之间的距离(结果保留到0.1 km，参考数据：2≈1.414，3≈1. 732)；(2)确定C港在A港的什么方向．22. 已知，如图，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点．(1)求证：△ACE≌△BCD；(2)求证：2CD2＝AD2＋DB2.答案一、选择题1. 【答案】B2. 【答案】D[解析]如图，过C作CD⊥AB于D，则∠ADC=90°，∴AC===5.∴sin∠BAC==.故选D.3. 【答案】C[解析]在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A'BD中，∵∠A'DB=90°，A'D=2米，BD2+A'D2=A'B2，∴BD2+22=6.25，∴BD2=2.25，∵BD>0，∴BD=1.5米，∴CD=BC+BD=0.7+1.5=2.2(米).4. 【答案】C【解析】如解图，当AD⊥BC时，∵AB＝AC，∴D为BC的中点，BD＝CD＝12BC＝4，∴AD＝AB2－BD2＝3；又∵AB＝AC＝5，∴在BD和CD之间一定存在AD＝4的两种情况，∴点D的个数共有3个．5. 【答案】C【解析】由作法过程可知，OA=2，AB=3，∵∠OAB=90°，∴OB=22222313+=+=，∴P点所表示的数就是OA AB13，∵91316<<，<<，∴3134即点P所表示的数介于3和4之间，故选C．6. 【答案】A[解析]过点D作DF⊥AC于F，如图所示，∵AD为∠BAC的平分线，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∴DE=DF=1.在Rt△BED中，∠B=30°，∴BD=2DE=2.在Rt△CDF中，∠C=45°，∴△CDF为等腰直角三角形，∴CD=DF=，∴BC=BD+CD=2+.7. 【答案】B【解析】连接DE，过点A作AF⊥BC，垂足为F，过E作EG⊥BC，垂足为G.∵AB＝AC，AF⊥BC，BC＝12，∴BF＝FC＝6，又∵E是AC的中点，EG⊥BC，∴EG∥AF，∴CG＝FG＝12CF＝3，∵在Rt△CEG中，tan C＝EG CG，∴EG＝CG×tan C＝3y；∴DG＝BF＋FG－BD＝6＋3－x＝9－x，∵HD是BE的垂直平分线，∴BD＝DE＝x，∵在Rt△EGD中，由勾股定理得，ED2＝DG2＋EG2，∴x2＝(9－x)2＋(3y)2，化简整理得，2x－y2＝9.8. 【答案】B【解析】如解图，△ABC是等边三角形，AB＝3，点P是三角形内任意一点，过点P分别向三边AB，BC，CA作垂线，垂足依次为D，E，F，过点A作AH⊥BC于点H，则BH＝32，AH＝AB2－BH2＝332.连接P A，PB，PC，则S△P AB＋S△PBC＋S△PCA＝S△ABC，∴12AB·PD＋12BC·PE＋12CA·PF＝12BC·AH，∴PD＋PE＋PF＝AH＝332.二、填空题9. 【答案】45[解析]本题考查三角形的外角，可延长AP交正方形网格于点Q，连接BQ，如图所示，经计算PQ=BQ=，PB=，∴PQ2+BQ2=PB2，即△PBQ为等腰直角三角形，∴∠BPQ=45°，∴∠P AB+∠PBA=∠BPQ=45°，故答案为45.10. 【答案】5【解析】由题意知EF垂直平分AB，∴点D是AB的中点，∵∠ACB＝90°，∴CD为斜边AB的中线，∴CD＝12AB.∵BC＝6，AC＝8，∴AB＝AC2＋BC2＝82＋62＝10，∴CD＝5.11. 【答案】15-5[解析]过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=10，∴∠ABC=30°，BC=10×tan60°=10.∵AB∥CF，∴∠BCM=∠ABC=30°，∴BM=BC×sin30°=10=5，CM=BC×cos30°=15.在△EFD中，∠F=90°，∠E=45°，∴∠EDF=45°，∴MD=BM=5，∴CD=CM-MD=15-5.12. 【答案】8+4[解析]如图，连接AD，设AC与BD交于点O，由题意得CA=CD，∠ACD=60°，∴△ACD为等边三角形，∴AD=CD，∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°.∵∠ABC=90°，AB=BC=2，∴AC=CD=2.∵AB=BC，CD=AD，∴BD垂直平分AC，∴BO=AC=，OD=CD·sin60°=，∴BD=，∴BD 2=()2=8+4.13. 【答案】6或25或45【解析】①如图1，当5AB AC ==，4AD =，则3BD CD ==，∴底边长为6；②如图2，当5AB AC ==，4CD =时，则3AD =，∴2BD =，∴222425BC =+=，∴此时底边长为25；③如图3，当5AB AC ==，4CD =时，则223AD AC CD =-=，∴8BD =，∴45BC = ∴此时底边长为56或54514. 【答案】78 【解析】如解图，过A 作AH ⊥BC ，∵AB ＝15，AC ＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC ＝152＋202＝25，∵AD ＝5，∴DC ＝20－5＝15，∵DE ⊥BC ，∠BAC ＝90°，∴△CDE ∽△CBA ，∴CE CA ＝CD CB ，∴CE ＝1525×20＝12.法一：BC·AH ＝AB·AC ，AH ＝AB·AC BC ＝15×2025＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.法二：DE ＝152－122＝9，由△CDE ∽△CAH 可得，CD CA ＝ED HA ，∴AH ＝9×2015＝12，S △ABE ＝12×12×13＝78.15. 【答案】13 或10 【解析】(1)如解图①所示，当P 点靠近B 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝2，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝13；(2)如解图②所示，当P 点靠近C 点时，∵AC ＝BC ＝3，∴CP ＝1，在Rt △ACP 中，由勾股定理得AP ＝10.综上可得：AP 长为13 或10.16. 【答案】3或247【解析】分两种情况：①若90DEB ∠=︒，则90AED C ∠=︒=∠，CD ED =，连接AD ，则Rt Rt ACD EAD △≌△，∴6AE AC ==，1064BE =-=，设CD DE x ==，则8BD x =-，∵Rt BDE △中，222DE BE BD +=，∴2224(8)x x +=-，解得3x =，∴3CD =；②若90BDE ∠=︒，则90CDE DEF C ∠=∠=∠=︒，CD DE =，∴四边形CDEF 是正方形，∴90AFE EDB ∠=∠=︒，AEF B ∠=∠， ∴AEF EBD △∽△，∴AF EF ED BD=， 设CD x =，则EF DF x ==，6AF x =-，8BD x =-， ∴68x x x x -=-，解得247x =，∴247CD =， 综上所述，CD 的长为3或247，故答案为：3或247．三、解答题17. 【答案】解:(1)4(2)∵AC=AD ，∠CAD=60°，∴△CAD 是等边三角形，∴CD=AC=4，∠ACD=60°.过点D 作DE ⊥BC 于E ，∵AC ⊥BC ，∠ACD=60°，∴∠BCD=30°.在Rt △CDE 中，CD=4，∠BCD=30°，∴DE=CD=2，CE=2，∴BE=，在Rt△DEB中，由勾股定理得DB=.18. 【答案】解:[尝试] A=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2. [发现] ∵A=B2，B>0，∴B==n2+1.[联想] ∵2n=8，∴n=4，∴B=n2+1=42+1=17.∵n2-1=35，∴B=n2+1=37.∴填表如下:直角三角形三n2-1 2n B边勾股数组Ⅰ8 17勾股数组Ⅱ35 3719. 【答案】解:(1)证明:∵CF∥AB，∴∠B=∠FCD，∠BED=∠F.∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴△BDE≌△CDF.(2)∵△BDE≌△CDF，∴BE=CF=2，∴AB=AE+BE=1+2=3.∵AD⊥BC，BD=CD，∴AC=AB=3.20. 【答案】解：如解图，过点A作AD⊥BC，垂足为点D，设BD＝x，则CD＝14－x，根据勾股定理可得：AD2＝AB2－BD2＝AC2－CD2，即152－x2＝132－(14－x)2，解得x＝9.(3分)∴AD2＝152－x2＝152－92＝144.(5分)∵AD>0，∴AD＝12.(8分)∴S△ABC＝12BC·AD＝12×14×12＝84.(10分)21. 【答案】(1)由题意可得，∠PBC=30°，∠MAB=60°，∴∠CBQ=60°，∠BAN=30°，∴∠ABQ=30°，∴∠ABC=90°．∵AB=BC=10，∴22AB BC102．答：A、C两地之间的距离为14.1 km．(2)由(1)知，△ABC为等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，∴∠CAM=15°，∴C港在A港北偏东15°的方向上．22. 【答案】13证明：(1)∵△ACB 和△ECD 都是等腰直角三角形，∴CD ＝CE ，AC ＝BC ，∠ECD ＝∠ACB ＝90°，∴∠ECD －∠ACD ＝∠ACB －∠ACD ，即∠ACE ＝∠BCD ，(1分) 在△ACE 与△BCD 中，⎩⎪⎨⎪⎧EC ＝DC ∠ACE ＝∠BCD AC ＝BC，(3分)∴△ACE ≌△BCD(SAS )．(4分)(2)∵△ACE ≌△BCD ，∴AE ＝BD ，∠EAC ＝∠B ＝45°，(6分)∴∠EAD ＝∠EAC ＋∠CAD ＝90°，在Rt △EAD 中，ED 2＝AD 2＋AE 2，∴ED 2＝AD 2＋BD 2，(8分)又ED 2＝EC 2＋CD 2＝2CD 2，∴2CD 2＝AD 2＋DB 2.(10分)。
潮流计算报告
一、系统结构图：二、网络参数：、支路参数：1网络装机导线的技术参数电压支路容量类型b等级1xr编号（Ω）（Ω） (MW)11）（kV （） 1-2 13.6 125.5 67.8552.24 130.5 1-3 8.321100环 74.993-5128.810.2220网28.36 8.5 105.4 2-351.45 7.579 129.6 1-42.78 13.84 4-5125.31——42——1-22、节点参数：4+2i 0 2辐6+3.2i 3 0射3+1.44i 4 0网4+3.2i 5 02+1.1i6:三、潮流计算流程图四、matlab程序：clear;输入所需的额定电压%请输入'Un:'); Un=input(PQ=[无功有功 %节点电压Un 0 0Un 4 2Un 6 3.2Un 3 1.44Un 4 3.2．Un 2 1.1];FT=[末端%首端 4 33 26 55 22 1];RX=[% R X4 83 64 41 22 4];节点数%NN=size(PQ,1);支路数数NB=size(FT,1); %初始电压相量%V V=PQ(:,1);maxd=1k=1 maxd>0.0001whilek=k+1;每一次迭代各节点的注入有功和无功相同 PQ2=PQ; % PL=0.0;i=1:NB for前推始节点号% kf=FT(i,1);前推终节点号% kt=FT(i,2);A平方计算沿线电流 / x=(PQ2(kf,2)^2+PQ2(kf,3)^2)/V(kf)/V(kf);% /MW 计算线路有功损耗 losss(i,1)=RX(i,1)*x; %/MW 计算线路无功损耗losss(i,2)=RX(i,2)*x; %/MW RX(i,1)*R%计算支路首端有功PQ1(i,1)=PQ2(kf,2)+RX(i,1)*x;/MW RX(i,2)*X%计算沿支路的无功 PQ1(i,2)=PQ2(kf,3)+RX(i,2)*x;PQ2(kt,2)= PQ2(kt,2)+PQ1(i,1); %用PQ1去修正支路末端节点的有功P 单MW位PQ2(kt,3)= PQ2(kt,3)+PQ1(i,2); %用PQ1去修正支路末端节点的有功Q 单Mvar位endangle(1)=0.0; i=NB:-1:1for回代始节点号 kf=FT(i,2); %回代终节点号kt=FT(i,1); % dv1=(PQ1(i,1)*RX(i,1)+PQ1(i,2)*RX(i,2))/V(kf); %计算支路电压损耗的dv1纵分量 dv2=(PQ1(i,1)*RX(i,2)-PQ1(i,2)*RX(i,1))/V(kf); %计算支路电压损耗的dv2横分量/kV计算支路末端电压 V2(kt)=sqrt((V(kf)-dv1)^2+dv2^2); %计算支路% angle(kt)=angle(kf)+atand(dv2/(V(kf)-dv1));end maxd=abs(V2(2)-V(2));V2(1)=V(1); i=3:1:NN for abs(V2(i)-V(i))>maxd;ifmaxd=abs(V2(i)-V(i));end end计算线路总损耗 fullloss(1,1)=0;% fullloss(1,2)=0;finalPQ=max(PQ1); i=1:NB for fullloss(1,1)=fullloss(1,1)+losss(i,1);fullloss(1,2)=fullloss(1,2)+losss(i,2);end)''辐射网迭代次数：disp(k) 辐射网系统电压差精度：'disp('maxd)'disp('辐射网系统末端节点有功和无功：MVA 即支路首端潮流%finalPQ 潮流分布)辐射网系统总功率损耗：''disp(MVA线路总损耗%fullloss)辐射网系统各支路功率损耗：'disp('MVA%各支路损耗losss)辐射网系统各节点电压幅值：'disp('kV%节点电压模计算结果V=V2)辐射网系统各节点电压相角：'disp('节点电压角度计算结果单位度angle %endclc)'disp('辐射网迭代次数：k) 'disp('辐射网系统电压差精度：maxd)'/MVA：disp('辐射网系统末端节点有功和无功MVA 即支路首端潮流%FinPQ=finalPQ(1,1)+finalPQ(1,2)*j潮流分布)：'disp('辐射网系统总功率损耗/MVA MVA%线路总损耗Fulloss=fullloss(1,1)+fullloss(1,2)*j)'辐射网系统各支路功率损耗/MVA：disp('(a=1:5)for MVA各支路损耗LOSS=losss(a,1)+losss(a,2)*j %end)'/KV'辐射网系统各节点电压幅值：disp(kV节点电压模计算结果V=V2 %)'辐射网系统各节点电压相角：disp('节点电压角度计算结果单位度angle %');节点数%input('n=5;');支路数nl=6; %input('');平衡母线节点号isb=1; %input('pr=');误差精度：pr=0.000001; %input('B1=[1,2,13.6+125.5i,0.00006785i,1,0;1,3,8.321+130.5i,0.00005224i,1,0;3,5,10.2+128.8i,0.00007499i,1,0;2,3,8.5+105.4i,0.00002836i,1,0;1,4,7.579+129.6i,0.00005145i,1,0;');%input('由支路参数形成的矩阵4,5,13.84+125.31i,0.0000278i,1,0];B2=[-FinPQ,0,Un,0,0,1;100,0,Un,Un,0,3;0,15+9.4i,Un,0,0,2;0,27+6i,Un,0,0,2;');各节点参数形成的矩阵0,35.5+25.5i,Un,0,0,2]; %input('Y=zeros(n);e=zeros(1,n);f=zeros(1,n);V=zeros(1,n);sida=zeros(1,n);S1=对各矩阵置零%zeros(nl);－－－－－－－修改部分－－－－－－－－－－－－%ym=1;定义视在功率和电压基值%SB=100;UB=Un; 若不是标幺值%if ym~=0定义导纳标幺值 YB=SB./UB./UB; % BB1=B1; BB2=B2;i=1:nl for切换为阻抗标幺值% B1(i,3)=B1(i,3)*YB;切换为导纳标幺值 B1(i,4)=B1(i,4)./YB; %end);B1=' disp('支路矩阵 sparseB1=sparse(B1);B1输出标幺值稀疏矩阵disp(sparseB1) %);'-----------------------------------------------------' disp( i=1:n for切换为视在功率标幺值% B2(i,1)=B2(i,1)./SB;切换为视在功率标幺值% B2(i,2)=B2(i,2)./SB;切换为电压标幺值 B2(i,3)=B2(i,3)./UB; %切换为电压标幺值B2(i,4)=B2(i,4)./UB; %切换为视在功率标幺值B2(i,5)=B2(i,5)./SB; %end);B2=' disp('节点矩阵 sparseB2=sparse(B2);B2输出标幺值稀疏矩阵disp(sparseB2) %end);disp('-----------------------------------------------------'% % %---------------------------------------------------支路数% i=1:nlfor侧左节点处于%1if B1(i,6)==0p=B1(i,1);q=B1(i,2);else使左节点处于低压侧% p=B1(i,2);q=B1(i,1);end求解非对角元导纳 Y(p,q)=Y(p,q)-1./(B1(i,3)*B1(i,5)); %对角元两侧对称Y(q,p)=Y(p,q); %侧KY(q,q)=Y(q,q)+1./(B1(i,3)*B1(i,5)^2)+B1(i,4)./2; %对角元侧%对角元1Y(p,p)=Y(p,p)+1./B1(i,3)+B1(i,4)./2;end求导纳矩阵%); Y=''导纳矩阵disp(sparseY=sparse(Y);输出导纳稀疏矩阵%disp(sparseY));disp('-----------------------------------------------------'%---------------------------------------------------------- %分解出导纳阵的实部和虚部G=real(Y);B=imag(Y);i=1:n for节点初始电压的实部i给定e(i)=real(B2(i,3)); %节点初始电压的虚部if(i)=imag(B2(i,3)); %给定节点电压给定模值V(i)=B2(i,4); %PV end %给定各节点注入功率for i=1:n SG-SL 节点注入功率%i S(i)=B2(i,1)-B2(i,2);节点无功补偿量 B(i,i)=B(i,i)+B2(i,5); %iend%===================================================================定义有功功率和无功功率%P=real(S);Q=imag(S);ICT1=0;IT2=1;N0=2*n;N=N0+1;a=0; %定义迭代次数ICT1和不满足精度要求的IT2节点个数．仍有不满足精度要求的节点 IT2~=0 %while置零IT2=0;a=a+1; %IT2 i=1:n for %非平衡节点ifi~=isbC(i)=0;D(i)=0; j1=1:n forC(i)=C(i)+G(i,j1)*e(j1)-B(i,j1)*f(j1);%Σ(Gij*ej-Bij*fj)D(i)=D(i)+G(i,j1)*f(j1)+B(i,j1)*e(j1);%Σ(Gij*fj+Bij*ej)endP1=C(i)*e(i)+f(i)*D(i);%节点功率P计算eiΣ(Gij*ej-Bij*fj)+fi(Gij*fj+Bij*ej)Σ Q1=C(i)*f(i)-e(i)*D(i);%节点功率Q计算fiΣ(Gij*ej-Bij*fj)-ei(Gij*fj+Bij*ej)ΣP',Q' %求电压模平方 V2=e(i)^2+f(i)^2; % =========Jacobi矩阵元素以下针对非PV节点来求取功率差及%=========节点%非PV if B2(i,6)~=3节点有功功率差 DP=P(i)-P1; % %节点无功功率差DQ=Q(i)-Q1;=================%=============== 以上为除平衡节点外其它节点的功率计算===================矩阵%================= 求取Jacobi j1=1:n for&非对角元非平衡节点 j1~=isb&j1~=i if%X1=-G(i,j1)*e(i)-B(i,j1)*f(i); %X1=N(i,j1)=dDP(i)/de(j1)．X2=B(i,j1)*e(i)-G(i,j1)*f(i); %X2=H(i,j1)=dDP(i)/df(j1)X3=X2; %X2=H(i,j1)=dDP(i)/df(j1)=X3=M(i,j1)=dDQ(i)/de(j1)X4=-X1; %X1=N(i,j1)=dDP(i)/de(j1)=-X4=-L(i,j1)=-dDQ(i)/df(j1)p=2*i-1;q=2*j1-1;Q扩展列△ J(p,q)=X3;J(p,N)=DQ;m=p+1;%P扩展列△ J(m,q)=X1;J(m,N)=DP;q=q+1;%矩阵赋值对%JacobiJ(p,q)=X4;J(m,q)=X2;&对角元elseif j1==i&j1~=isb %非平衡节点X1=-C(i)-G(i,i)*e(i)-B(i,i)*f(i);%X1=N(i,i)=dDP(i)/de(i) X2=-D(i)+B(i,i)*e(i)-G(i,i)*f(i);%X2=H(i,i)=dDP(i)/df(i) X3=D(i)+B(i,i)*e(i)-G(i,i)*f(i); %X3=M(i,i)=dDQ(i)/de(i) X4=-C(i)+G(i,i)*e(i)+B(i,i)*f(i);%X4=L(i,i)=dDQ(i)/df(i)Q扩展列△p=2*i-1;q=2*j1-1;J(p,q)=X3;J(p,N)=DQ;% m=p+1;P%扩展列△J(m,q)=X1;q=q+1;J(p,q)=X4;J(m,N)=DP;矩阵赋值JacobiJ(m,q)=X2; %对endendelse===========矩阵的元素Jacobi节点来求取PV下面是针对%===============节点有功误差 DP=P(i)-P1; % PV节点电压误差DV=V(i)^2-V2; % PV j1=1:n for非对角元%非平衡节点&if j1~=isb&j1~=iX1=-G(i,j1)*e(i)-B(i,j1)*f(i); %X1=N(i,j1)=dDP(i)/de(j1)X2=B(i,j1)*e(i)-G(i,j1)*f(i); %X2=H(i,j1)=dDP(i)/df(j1) X5=0;X6=0; %X5=R(i,j1)=X6=S(i,j1)=0V%p=2*i-1;q=2*j1-1;J(p,q)=X5;J(p,N)=DV;扩展列△ m=p+1;P%扩展列△ J(m,q)=X1;J(m,N)=DP;q=q+1;J(p,q)=X6;矩阵赋值对JacobiJ(m,q)=X2; %对角元%非平衡节点&elseifj1==i&j1~=isbX1=-C(i)-G(i,i)*e(i)-B(i,i)*f(i);%X1=N(i,i)=dDP(i)/de(i) X2=-D(i)+B(i,i)*e(i)-G(i,i)*f(i);%X2=H(i,i)=dDP(i)/df(i)% X5=R(i,i)=-2e(i) X5=-2*e(i); % X6=F(i,i)=-2f(i) X6=-2*f(i);V扩展列△ p=2*i-1;q=2*j1-1;J(p,q)=X5;J(p,N)=DV;%m=p+1;P% J(m,q)=X1;J(m,N)=DP;q=q+1;J(p,q)=X6;扩展列△矩阵赋值%对Jacobi J(m,q)=X2;endendendendend=====================%========= 以上为求雅可比矩阵的各个元素fork=3:N0 % N0=2*n （从第三行开始，第一、二行是平衡节点）Q、△ N=2*n+1扩展列△P k1=k+1;N1=N; % N=N0+1 即Q 、△扩展列△P for k2=k1:N1 %非对角元规格化 J(k,k2)=J(k,k2)./J(k,k); %end对角元规格化 J(k,k)=1; %不是第三行 k~=3 %if%============================================================k4=k-1;行消去k4k3行从第三行开始到当前行前的用for k3=3:k4 % 行后各行下三角元素 k2=k1:N1 for% k3消去运算 J(k3,k2)=J(k3,k2)-J(k3,k)*J(k,k2);%endJ(k3,k)=0;endk==N0 if;breakend%========================================== k3=k1:N0fork2=k1:N1for消去运算% J(k3,k2)=J(k3,k2)-J(k3,k)*J(k,k2);endJ(k3,k)=0;endelsek3=k1:N0fork2=k1:N1 for消去运算J(k3,k2)=J(k3,k2)-J(k3,k)*J(k,k2);%endJ(k3,k)=0;endendend%====上面是用线性变换方式将Jacobi矩阵化成单位矩阵(利用线性代数求解电压实部)=====与虚部 k=3:2:N0-1 for L=(k+1)./2;修改节点电压实部%e(L)=e(L)-J(k,N);k1=k+1;修改节点电压虚部% f(L)=f(L)-J(k1,N);end-----------修改节点电压%------ k=3:N0forDET=abs(J(k,N));电压偏差量是否满足要求 DET>=pr %if1不满足要求的节点数加IT2=IT2+1; %endendICT2(a)=IT2; ICT1=ICT1+1;end睜??屖用高斯消去法解%);''迭代次数disp(disp(ICT1););没有达到精度要求的个数''disp(disp(ICT2););disp('-----------------------------------------------------' k=1:n for计算实际电压大小 V(k)=sqrt(e(k)^2+f(k)^2); %计算实际电压相角% sida(k)=atan(f(k)./e(k))*180./pi;计算实际电压相量% E(k)=e(k)+f(k)*j; end ===========================计算各输出量%===============);：'为(节点号从小到大排列)'disp(各节点的实际电压标幺值E sparseE=sparse(E);disp(sparseE);EE=E*UB;);disp('-----------------------------------------------------');'：)节点号从小到大排列(为EE各节点的实际电压'disp(sparseEE=sparse(EE);disp(sparseEE););disp('-----------------------------------------------------');'节点号从小到大排列)：disp('各节点的电压标幺值幅值V为(sparseV=sparse(V);disp(sparseV););'-----------------------------------------------------'disp(VV=V*UB;);')：VV为(节点号从小到大排列'disp(各节点的电压幅值sparseVV=sparse(VV);disp(sparseVV););disp('-----------------------------------------------------');')(节点号从小到大排列：disp('各节点的电压相角为sparsesida=sparse(sida);disp(sparsesida));'-----------------------------------------------------'disp( p=1:n for C(p)=0; q=1:n for计算电流的共轭C(p)=C(p)+conj(Y(p,q))*conj(E(q));%end计算节点的视在功率% S(p)=E(p)*C(p);end);'：)节点号从小到大排列(为S各节点的功率标幺值'disp(sparseS=sparse(S);disp(sparseS););'-----------------------------------------------------'disp();'节点号从小到大排列)：disp('各节点的功率实际值SS为(SS=S*SB;sparseSS=sparse(SS);disp(sparseSS););'-----------------------------------------------------'disp();：'为(顺序支路参数矩阵顺序一致)SS disp('各条支路的功率损耗S标幺值和实际值HDDS=0;i=1:nl for p=B1(i,1);q=B1(i,2);Si(p,q)=E(p)*(conj(E(p))*conj(B1(i,4)./2)+(E(p)-E(q))*(conj(E(p))-conj(E(q)))*conj(1./(B1(i,3))))+E(q)*(conj(E(q))*conj(B1(i,4)./2));,num2str(Si(p,q))];')=',num2str(p),',',num2str(q), ZF1=['S(' disp(ZF1);SSi计算各条支路的消耗功率实际值 SSi(p,q)=Si(p,q)*SB;%HDDS=HDDS+SSi(p,q);,num2str(SSi(p,q))];')='',''SS(',num2str(p),,num2str(q),ZF=[ disp(ZF);end);环网总网损为；'disp(',num2str(HDDS)];'HDDS='ZH=[环网总网耗%disp(ZH);ZSS=HDDS+Fulloss;);'disp('总网损为：ZSS五、额定电压不同时对系统参数的分析：（1）额定电压为240V：辐射网：环网：（2）额定电压为220V：辐射网：环网：（3）额定电压为200V：辐射网：环网：结果分析：240V时总损耗为0.8856KVA 220V时为0.95KVA 200V时为0.9828KVA电压等级越高，损耗越小。
九年级数学上册几何模型压轴题易错题(Word版含答案)
九年级数学上册几何模型压轴题易错题（Word版含答案）一、初三数学旋转易错题压轴题（难）1.如图，四边形ABCD为正方形，ZiAEF为等腰直角三角形，NAEF=90° ,连接FC, G 为FC的中点，连接GD, ED.（1）如图①，E在AB上，直接写出ED, GD的数量关系.（2）将图①中的AAEF绕点A逆时针旋转，其它条件不变，如图②，（1）中的结论是否成立？说明理由.（3）若AB = 5, AE = 1,将图①中的4AEF绕点A逆时针旋转一周，当E, F, C三点共线【答案】（1）DE=&DG：（2）成立，理由见解析；（3） DE的长为4挺或3挺.【解析】【分析】（1）根据题意结论：DE=V2 DG,如图1中，连接EG,延长EG交BC的延长线于M,连接 DM,证明△CMGgAFEG （AAS）,推出 EF=CM, GM=GE,再证明△DCMg^DAE（SAS）即可解决问题；（2）如图2中，结论成立.连接EG,延长EG到M,使得GM=GE,连接CM, DM,延长 EF交CD于R,其证明方法类似；（3）由题意分两种情形：①如图3-1中，当E, F, C共线时.②如图3-3中，当E, F, C 共线时，分别求解即可.【详解】解：（1）结论：DE= JJDG.理由：如图1中，连接EG,延长EG交BC的延长线于M,连接DM.01,,,四边形ABCD是正方形，/. AD = CD, Z B = Z ADC=Z DAE=Z DCB=Z DCM = 90%Z AEF = Z B=90°,/. EFII CM,・•, Z CMG = Z FEG,,/ Z CGM = Z EGF, GC = GF,:, & CMG合△ FEG (AAS),「・EF=CM, GM = GE,・/ AE = EF,/. AE = CM,/. △ DCM合△ DAE (SAS),・・.DE = DM, Z ADE = Z CDM,・•. Z EDM = Z ADC=90°,・••DGJLEM, DG = GE=GM,△ EGD是等腰直角三角形， DE=&DG.(2)如图2中，结论成立.理由：连接EG,延长EG到M,使得GM = GE,连接CM, DM,延长EF交CD于R.图2•「EG=GM, FG=GC, Z EGF = Z CGM,△ CGM合△ FGE (SAS),/. CM = EF, NCMG=NGEF,・•, CM II ER,/. Z DCM = Z ERC,: Z AER+Z ADR = 180%/. Z EAD+Z ERD=180%: Z ERD+Z ERC = 180°,/. Z DCM = Z EAD,AE = EF,「・ AE = CM,△ DAE合△ DCM (SAS),/. DE = DM, Z ADE = Z CDM,Z EDM = Z ADC=90°,・「EG=GM,J DG = EG = GM,・•. △ EDG是等腰直角三角形,・•・DE= &DG.（3）①如图3-1中，当E, F, C共线时,图3-1在 R3 ADC 中，AC= y/AD2+CD2 = =572，在 R3AEC 中，EC= J AC?二 AE? = J（5五）2_f =7, ：.CF = CE - EF = 6,1・•, CG=-CF = 3,2: Z DGC = 90°,・1• D G = 5/cD2 -CG2 = >/52-32 =4»・•, DE=VJDG=4点.②如图3-3中，当E, F, C共线时，同法可得DE=3a.图3・3综上所述，DE的长为4点或3点.【点睛】本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题.2.探究：如图1和图2,四边形A8C。
苏州市2019年中考数学《三角形中位线》拓展课本例题
精心设计 重在思维 勤于训练——从一道题目的拓展训练说起三角形中位线是初中数学中的重点也是难点之一笔者通过精心的教学设计，为学生编织有效的知识，达到了事半功倍的教学效果.现呈现如下，旨在与大家交流提高.一、例题及跟进训练例题如图1，在ABC V 中，M 是BC 的中点，AB CD =，F 是AD 的中点，MF 的延长线交BA 的延长线于E 点，求证:AE AF =.略解 如图2，连BD ，取BD 中点P ，连PF 、PM ，则有//PF AB ，12PF AB =; //PM CD ，12PM CD =. PFM E ∴∠=∠，PMF MFC ∠=∠. AB CD =Q ，PF PM ∴=.PFM PMF ∴∠=∠,E MFC AFE ∴∠=∠=∠,AE AF ∴=.反思 在本问题的解答过程中，由中点产生联想，构造中位线，将看似本无关联的两条线段联系在一起，是解决问题的关键.为帮助学生熟识此“模式”，笔者安排了以下跟进训练.训练1 如图3，在四边形ABCD 中，AB DC =，E 、F 分别为AD 和BC 的中点，FE 的延长线分别交CD 的延长线和BA 的延长线于点N 、M .求证:BMF CNF ∠=∠.略解 连AC (或BD )并取其中点P ，再连PE 、PF ，如图4.利用例题方法很容易得结论.反思 从学生的反馈来看，学生还处在简单的模仿期，能否创新，并内化为自己的能力还有待检验考核.于是进一步探讨下面的问题:训练2 如图5，在ABC V 中，AC AB >，在它的两边AB ，AC 上分别截取BD CE =，F 、G 分别是BC ，DE 的中点，又AT 是BAC ∠的平分线.求证://FG AT .略解 方法1:如图6，连DC ，并取其中点P ，再连PG 、PF ，延长FG 、BA 交于点M ，FG 交AC 于点N .则易用类似例题方法证得//FG AT .方法2:如图7，连结DF ，并延长到H 点，使FH DF =，连CH 、EH ，则有BDF CHF ≅V V ,得BD CH =，B BCH ∠=∠,CE CH ∴=，.CEH CHE ∴∠=∠.由三角形内角和定理，知CEH CHE BAC ∠+∠=∠,于是由TAC HEC ∠=∠ ,得//FG AT .方法3:如图8，过D 点作AT 的垂线分别交AT 、AC 于M 、P 点，过B 点作AT 的垂线分别交AT 、AC 于N 、Q 点，连MG 、NF .由AT 是BAC ∠的平分线，很容易得:M 、N 分别为DP 、BQ 的中点，BD PQ CE ==,PE CQ ∴=.F 、G 分别是BC 、DE 的中点，//MG AC ∴，12MG PE =, //NF AC ，12NF CQ =, //MG NF ∴，且MG NF =.∴四边形MNFG 为平行四边形，故得结论//FG AT .反思 方法1构造中点在预设之中，延长FG 与BA 交于M 点在生成之外.显然是学生在模仿利用了前面的经验而构造的中点，在矛盾冲突中才尝试构造出延长线.这是学生一个很大的进步和创新.训练2比训练1又进了一个梯度，这能真实的反映学生的点滴收获.方法2比方法1更有创意.事实上，利用F 这个中点构造全等三角形是我们常讲的方法，也是学生能熟练运用的方法.解法3是最能体现命题者意图的方法，其中涉及角平分线，作垂线，等腰三角形“三线合一”性质，是我们解决此类问题的有效思路.二、课内练习1.已知:如图9，在Rt ABC V 中，90ACB ∠=︒，D 为AB 中点，连CD .求证: 12CD AB =.设置这个问题，因为它是一个简单的与中点有关的重要问题，实际上就是后面将要学习的“直角三角形斜边中线等于斜边一半”的问题.学生的表现可谓精彩纷呈:学生1:如图10，延长CD 到E ，使DE CD =，连AE .学生2:如图11，延长AC 到F ，使CF AC =，连BF .学生3:如图12，延长BC 到G ，使CG BC =，连AG ，…2.已知:ACB V 和AED V 都是等腰直角三角形，90AED ACB ∠=∠=︒，M 、N 分别是BD 、CE 的中点.①如图13，若D 点在线段AB 上，判断MN 与CE 之间的关系，并说明理由.学生1:如图14，连EM 并延长到F ，使MF ME =，连FC ，则有EDM FBM ≅V V ，得BF DE AE ==.由EAC FBC ≅V V ，得CF EC =，因MN 是EFC V 的中位线而得MN EC ⊥，且12MN EC =.学生2:如图15，连CM 并延长到G ，使MG CG =，连EG ，类似同学1方法得结论.学生3:如图16，连DN 并延长到H ，使NH DN =，连BH .(实际上在问题解决的过程中，我们发现:H 点在线段AC 上，因此可以优化辅助线作法:连DN 并延长交AC 于H 点，连BH .)学生4:如图17，延长EA 、BN 交于点P ，连DP ，则可证AEC EDP ≅V V ，得EP AC BC ==;再证ENP CNB ≅V 得N 为BP 中点，利用中位线得结论.②如图18，将图13中的AED V 绕A 点逆时针旋转一个锐角，①的结论是否仍然成立?请说明理由.利用前面经验和方法，可以类似解决，不再赘述.三、课后反思1.提倡自主学习，是我们的共识自主学习是提高学习成绩的最佳策略.教师有效的教会学生怎样解题，培养学生基本数学素养和能力是我们的目的.我们教会学生做一千道题，但当一千零一道题出现时，学生可能还是不会，所以教学中要强调教会学生掌握必要的数学思想方法.这是新课标将“三基”扩展到“四基”的初衷，也是我们的共同追求.2.恰当设置问题，是激活学生思维的最好平台实践证明，一题多解，变式训练，都是培养学生数学思维的有效的途径或手段.上述在解决中位线这个比较难的问题时，教师组合了一个问题串，传递的信息有很强的指向性:连线段，取中点，作中位线，改变问题呈现形式，循序渐进，逐层推进，高频率，强刺激，收到了很好的效果.3.解题常用方法须强化和深化解决线段间的数量关系，是我们常见的问题，学生在解决方法中的表现可谓精彩纷呈:用中心对称的性质旋转变换;轴对称变换;旋转变换等等.多种方法的求解，对提高学生解决问题的能力大有裨益，我们要将常用的解题方法进行强化和深化，以形成一种技能，提高学生的素质.2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠C=70°，△AB′C′与△ABC 关于直线 EF 对称，∠CAF=10°，连接 BB′，则∠ABB′的度数是（ ）A.30°B.35°C.40°D.45°2．如图，在平行四边形ABCD 中，E 为CD 上一点，DE ：CE ＝3：4，连接AE 交对角线BD 于点F ，则S △DEF ：S △ADF ：S △ABF 等于（ ）A.3：4：7B.9：16：49C.9：21：49D.3：7：493．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 上一点，沿CE 折叠△CDE ，点D 恰好落在AC 的中点F 处，若CD ，则△ACE 的面积为（ ）A ．1BC ．2D ．4．如果实数a ，b 在数轴上的对应点的位置如图所示，那么下列结论正确的是（ ）A ．a b <B ．a b >-C ．2a >-D ．b a >5．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，斜边AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交BC 于点E ，已知AB=5，AC=3，则△ACE 的周长为（ ）A.5B.6C.7D.86．如图是由5个相同的小正方体组成的几何体，其左视图是（）A．B．C．D．7．六个大小相同的正方体搭成的几何体如图，下列选项中不是其三视图的是（）A. B. C. D.8．对于一次函数y＝2x+4，下列结论中正确的是( )①若两点A(x1，y1)，B(x2，y2)在该函数图象上，且x1＜x2，则y1＜y2．②函数的图象不经过第四象限．③函数的图象与x轴的交点坐标是(0，4)．④函数的图象向下平移4个单位长度得y＝2x的图象．A．1个B．2个C．3个D．4个9．若代数式和的值相等，则x的值为（）A．x＝﹣7 B．x＝7 C．x＝﹣5 D．x＝310．下列命题正确的是（）A．对角线互相垂直平分的四边形是正方形B．两边及其一角相等的两个三角形全等C 3D．数据4，0，4，6，6的方差是4.811．如图1，在矩形ABCD中，AB＜BC，点E为对角线AC上的一个动点，连接BE，DE，过E作EF⊥BC于F．设AE＝x，图1中某条线段的长为y，若表示y与x的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的( )A.线段BEB.线段EFC.线段CED.线段DE12．已知二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②b ＜a+c ；③2a+b ＝0；④a+b ＞m （am+b ）（m≠1的实数）．其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题 13．如图a 是长方形纸带，∠DEF=25°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是____________°．14．如图，AOB ∆为等边三角形，点B 的坐标为()2,0-，过点()2,0C 作直线l 交AO 于D ，交AB 于E ，点E 在反比例函数k y x=的图像上，当ADE ∆和DCO ∆的面积相等时，k 的值是__________．15．如图，在矩形ABCD 中，AD ＝6，AB ＝4，点E 、G 、H 、F 分别在AB 、BC 、CD 、AD 上，且AF ＝CG ＝2，BE ＝DH ＝1，点P 是直线EF 、GH 之间任意一点，连接PE 、PF 、PG 、PH ，则△PEF 和△PGH 的面积和等于________．16．如图所示的网格是正方形网格，△ABC 是_____三角形．（填“锐角”“直角”或“钝角”）17．将矩形纸片ABCD如图那样折叠，使顶点B与顶点D重合，折痕为EF．若∠DFC＝70°，则∠DEF＝_____°．18．如图，在△ABC中，D、E为边AB、AC的中点，已知△ADE的面积为4，那么△ABC的面积是_____．三、解答题19．已知△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，动点P在斜边AB所在的直线上，以PC为直角边作等腰直角三角形PCQ，其中∠PCQ＝90°，探究并解决下列问题：（1）如图①，若点P在线段AB上，且AC＝6，PA＝①线段PB＝，PC＝；②直接写出PA2，PB2，PC2三者之间的数量关系；（2）如图②，若点P在AB的延长线上，在（1）中所猜想的结论仍然成立，请你利用图②给出证明过程；（3）若动点P满足14PAAB，直接写出PCBC的值：．20．给定关于x的二次函数y＝kx2﹣4kx+3（k≠0），（1）当该二次函数与x轴只有一个公共点时，求k的值；（2）当该二次函数与x轴有2个公共点时，设这两个公共点为A、B，已知AB＝2，求k的值；（3）由于k的变化，该二次函数的图象性质也随之变化，但也有不会变化的性质，某数学学习小组在探究时得出以下结论：①与y轴的交点不变；②对称轴不变；③一定经过两个定点；请判断以上结论是否正确，并说明理由．21．如图，轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°的方向上，求C处与灯塔A的距离.22．为了掌握我区中考模拟数学试题的命题质量与难度系数，命题教师选取一个水平相当的初三年级进行调研，将随机抽取的部分学生成绩(得分为整数，满分为130分)分为5组：第一组55∼70；第二组70∼85；第三组85∼100；第四组100∼115；第五组115∼130，统计后得到如图所示的频数分布直方图(每组含最小值不含最大值)和扇形统计图，观察图形的信息，回答下列问题：(1)本次调查共随机抽取了__ _名学生；(2)补全频数分布直方图；(3)将得分转化为等级，规定：得分低于70分评为“D”，70∼100分评为“C”，100∼11评为“B”，115∼130分评为“A”，根据目前的统计，请你估计全区该年级4500名考生中，考试成绩评为“B”级及其以上的学生大约有多少名?23．（1）计算:+--(12sin45（2）化简：22() a b ab baa a--÷-24．为考察甲、乙两种农作物的长势，研究人员分别抽取了6株苗，测得它们的高度（单位：cm）如下：甲：98，102，100，100，101，99；乙：100，103，101，97，100，99．（1）你认为哪种农作物长得高一些？说明理由；（2）你认为哪种农作物长得更整齐一些？说明理由．25．如图，抛物线y＝x2+bx﹣3过点A（1，0），直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为﹣2，点P是线段AD上的动点．（1）b＝，抛物线的顶点坐标为；（2）求直线AD的解析式；（3）过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，连接AQ，DQ，当△ADQ的面积等于△ABD的面积的一半时，求点Q的坐标．【参考答案】***一、选择题二、填空题13．105°14．15．716．锐角17．5518．16三、解答题19．（1）①，PA2+PB2＝PQ2，理由详见解析；（2）成立，理由详见解析；（3【解析】【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质出去AB，根据题意求出PB，作CH⊥AB于H，根据直角三角形的性质求出CH，根据勾股定理求出PC；②证明△ACP≌△BCQ，根据全等三角形的性质得到PA＝BQ，∠CBQ＝∠CAP＝45°，得∠PBQ＝90°，根据勾股定理计算；（2）连接BQ，仿照（1）②的方法证明；（3）分点P在线段AB上、点P在线段AB上两种情况，根据等腰直角三角形的性质、勾股定理计算即可．【详解】解：（1）①∵△ABC是等腰直角三角形，AC＝6，∴AB＝，∴PB＝AB﹣PA＝﹣＝，作CH ⊥AB 于H ，∵CA ＝CB ，CH ⊥AB ，∴AH ＝HB ＝12AB ＝，CH ＝12AB ＝∴PH ＝AH ﹣AP，∴PC故答案为：；2②PA 2+PB 2＝PQ 2，理由如下：如图①，连接QB ，∵∠ACB ＝∠PCQ ＝90°，∴∠ACP ＝∠BCQ ，在△ACP 和△BCQ 中， CA CB ACP BCQ CP CQ =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BCQ ，∴PA ＝BQ ，∠CBQ ＝∠CAP ＝45°，∴∠PBQ ＝90°，∴BQ 2+PB 2＝PQ 2，∴PA 2+PB 2＝PQ 2，故答案为：PA 2+PB 2＝PQ 2；（2）如图②，连接BQ ，∵∠ACB ＝∠PCQ ＝90°，∴∠ACP ＝∠BCQ ，在△ACP 和△BCQ 中， CA CB ACP BCQ CP CQ =⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BCQ ，∴PA ＝BQ ，∠CBQ ＝∠CAP ＝45°，∴∠PBQ ＝90°，∴BQ 2+PB 2＝PQ 2，∴PA 2+PB 2＝PQ 2；（3）当点P 在线段AB 上时，由（1）①得，PC AC ==； 当点P 在线段BA 的延长线上时，设BC ＝2x ，则AB ＝，∵△ABC 是等腰直角三角形，CH ⊥AB ，∴AH ＝CH ＝12ABx ， ∵14PA AB =， ∴AB ＝4PA ，∴PA ＝14AB∴PH ＝PA+AH＝x ， 由勾股定理得，PC2x ，∴224PCBC x ==．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理的应用，掌握相关的性质定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．20．（1）32（2）1（3）①②③ 【解析】【分析】（1）由抛物线与x 轴只有一个交点，可知△=0；（2）由抛物线与x 轴有两个交点且AB=2，可知A 、B 坐标，代入解析式，可得k 值；（3）通过解析式求出对称轴，与y 轴交点，并根据系数的关系得出判断．【详解】（1）∵二次函数y ＝kx 2﹣4kx+3与x 轴只有一个公共点，∴关于x 的方程kx 2﹣4kx+3＝0有两个相等的实数根，∴△＝（﹣4k ）2﹣4×3k＝16k 2﹣12k ＝0，解得：k1＝0，k2＝32，k≠0，∴k＝32；（2）∵AB＝2，抛物线对称轴为x＝2，∴A、B点坐标为（1，0），（3，0），将（1，0）代入解析式，可得k＝1，（3）①∵当x＝0时，y＝3，∴二次函数图象与y轴的交点为（0，3），①正确；②∵抛物线的对称轴为x＝2，∴抛物线的对称轴不变，②正确；③二次函数y＝kx2﹣4kx+3＝k（x2﹣4x）+3，将其看成y关于k的一次函数，令k的系数为0，即x2﹣4x＝0，解得：x1＝0，x2＝4，∴抛物线一定经过两个定点（0，3）和（4，3），③正确．综上可知：正确的结论有①②③．【点睛】本题考查了二次函数的性质，与x、y轴的交点问题，对称轴问题，以及系数与图象的关系问题，是一道很好的综合问题．21．25海里【解析】【分析】根据题中所给信息，求出∠BCA=90°，再求出∠CBA=45°，从而得到△ABC为等腰直角三角形，然后根据等腰三角形的腰长相等即可得出答案．【详解】解：由题意得，∠1=∠2=30°，∵∠ACD=60°，∴∠ACB=90°，∴∠CBA=75°-30°=45°，∴ΔABC为等腰直角三角形，∵BC=50×0.5=25，∴AC=BC=25海里．【点睛】本题考查了等腰直角三角形和方位角，根据方位角求出三角形各角的度数是解题的关键．22．(1) 50；(2)见解析;(3) 1620.【解析】【分析】（1）根据第三组的数据，用人数除以百分数得出结论即可；（2）根据抽取的总人数减去前4组的人数，即可得到第五组的频数，并画图；（3）用样本中考试成绩评为“B”级及其以上的学生数占抽取的总人数的百分比，乘上全区该年级4500名考生数，即可得出结论．【详解】解：（1）20÷40%=50名，故答案为：50；（2）50-4-8-20-14=4，画图如下：(3)(4+14)÷50×4500=1620.答：估计全区该年级4500名考生中，考试成绩评为“B”级及其以上的学生大约有1620名．【点睛】本题主要考查了直方图和扇形图以及用样本估计总体的知识，根据直方图和扇形图中都有的数据求出抽取的学生总数是解决此题的关键．一般来说，用样本去估计总体时，样本越具有代表性、容量越大，这时对总体的估计也就越精确．23．1;(2)1 a b -【解析】【分析】（1）先化简二次根式，计算零指数幂，代入特殊角的三角函数值，然后合并同类二次根式即可；（2）通分计算括号内分式的减法，然后将除法转化为乘法，分子、分母分解因式后约分即可；【详解】(1)解：原式=122+-⨯1；(2)解：原式=222a b a ab b a a--+÷=()2a b a a a b -⋅- =1a b -． 【点睛】本题考查了含特殊角三角函数的实数运算和分式的混合运算，熟记特殊角三角函数值和分式的运算法则是解决此题的关键．24．甲组数据的平均数为100cm ；乙组数据的平均数为100cm ；（2）甲种农作物长得比较整齐．【解析】【分析】（1）根据平均数的计算公式分别把这6株农作物的高度加起来，再除以6即可；（2）先算出甲与乙的方差，再进行比较，方差越小的，农作物长势越整齐，即可得出答案．【详解】（1）甲组数据的平均数＝16×（98+102+100+100+101+99）＝100（cm ）； 乙组数据的平均数＝16×（100+103+101+97+100+99）＝100（cm ）； （2）s 2甲＝16×[（98﹣100）2+（102﹣100）2+…+（99﹣100）2]＝53； s 2乙＝16×[（100﹣100）2+（103﹣100）2+…+（100﹣99）2]＝103． s 2甲＜s 2乙．所以甲种农作物长得比较整齐．【点睛】本题考查了平均数与方差，一般地设n 个数据，x 1，x 2，…x n 的平均数为x ，则方差()()()2222121n S x x x x x x n ⎡⎤=-+-++-⎣⎦，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．25．（1）2 （﹣1，﹣4）；（2）y ＝x ﹣1；（3）Q （0，﹣3）或（﹣1，﹣4）．【解析】【分析】（1）将点A 的坐标代入函数解析式求得b 的值，然后利用配方法将函数解析式转化为顶点式，可以直接求得顶点坐标；（2）结合（1）中抛物线解析式求得点D 的坐标，利用点A 、D 的坐标来求直线AD 解析式；（3）由二次函数图象上点的坐标特征求得点B 的坐标，易得AB ＝4．结合三角形面积公式求得S △ABD ＝6．设P （m ，m ﹣1），Q （m ，m 2+2m ﹣3）．则PQ ＝﹣m 2﹣m+2．利用分割法得到：S △ADQ ＝S △APQ +S △DPQ ＝32PQ ＝32（﹣m 2﹣m+2）．根据已知条件列出方程32（﹣m 2﹣m+2）＝3．通过解方程求得m 的值，即可求得点Q 的坐标． 【详解】解：（1）把A （1，0）代入y ＝x 2+bx ﹣3，得12+b ﹣3＝0．解得b ＝2．故该抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，即y＝（x+1）2﹣4．故顶点坐标是（﹣1，﹣4）．故答案是：2；（﹣1，﹣4）．（2）由（1）知，抛物线解析式为：y＝x2+2x﹣3．当x＝﹣2，则y＝（﹣2）2+2×（﹣2）﹣3＝﹣3，∴点D的坐标是（﹣2，﹣3）．设直线AD的解析式为：y＝kx+t（k≠0）．把A（1，0），D（﹣2，﹣3）分别代入，得23 k tk t+=⎧⎨-+=-⎩．解得k1t1=⎧⎨=-⎩．∴直线AD的解析式为：y＝x﹣1；（3）当y＝0时，x2+2x﹣3＝0，解得x1＝1，x2＝﹣3，∴B（﹣3，0），∴AB＝4．∴S△ABD＝12×4×3＝6．设P（m，m﹣1），Q（m，m2+2m﹣3）．则PQ＝（m﹣1）﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣m+2．∴S△ADQ＝S△APQ+S△DPQ＝12PQ•（1﹣m）+12PQ•（m+2）＝32PQ＝32（﹣m2﹣m+2）．当△ADQ的面积等于△ABD的面积的一半时，32（﹣m2﹣m+2）＝3．解得m1＝0，m2＝﹣1．∴Q（0，﹣3）或（﹣1，﹣4）．【点睛】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2019-2020学年数学中考模拟试卷一、选择题1）A ．4B ．﹣4C ．2D ．±22．下列代数运算正确的是（ ）A ．x 3•x 2＝x 5B ．（x 3）2＝x 5C ．（3x ）2＝3x 2D ．（x ﹣1）2＝x 2﹣1 3．函数y =x 的取值范围是（ ） A ．x≥3 B ．x≤7 C ．3≤x≤7 D ．x≤3或x≥74．在2015-2016CBA 常规赛季中，易建联罚球投篮的命中率大约是82.3%，下列说法错误的是（ ）A ．易建联罚球投篮2次，一定全部命中B ．易建联罚球投篮2次，不一定全部命中C ．易建联罚球投篮1次，命中的可能性较大D ．易建联罚球投篮1次，不命中的可能性较小5．有两个一元二次方程M ：ax 2+bx+c ＝0，N ：cx 2+bx+a ＝0，其中a+c ＝0，下列四个结论中，错误的是（ ）A ．如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根B ．b ＝0时，方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是x ＝1C ．如果5是方程M 的一个根，那么15是方程N 的一个根 D ．ac≠0 6．如果关于x 的不等式组347362x m x x -≤⎧⎪-⎨>-⎪⎩的解集为1x <，且关于x 的分式方程2311mx x x +=--有非负数解，则所有符合条件的整数m 的值之和是（ ）A ．-2B ．-1C ．0D ．27．下列等式，错误的是（ ）A ．（x 2y 3）2＝x 4y 6B ．（﹣xy ）3＝﹣xy 3C ．（3m 2n 2）2＝9m 4n 4D ．（﹣a 2b 3）2＝a 4b 68．下列计算正确的是（ ）A.224·x x x -=B.()224x x -=C.234·x x x =D.()222m n m n -=-9．如图，在Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，5AB =，4BC =，则下列三角函数表示正确的是（ ）A ．3tan 4A =B ．4tan 3B =C ．3sin 5A =D ．3cos 5A = 10．如图，在平面直角坐标系中，已知点(3,6)A -，(9,3)B --，以原点O 为位似中心，相似比为13，把ABO ∆缩小，则点B 的对应点B '的坐标是（ ）A ．(9,1)-或(9,1)-B ．(3,1)--C ．(1,2)-D ．(3,1)--或(3,1)11．半径为r 的圆的内接正六边形边长为( )A ．1r 2BC ．rD ．2r12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，M 、N 分别是AB 、AC 的中点，延长BC 至点D ，使CD ＝13BD ，连接DM 、DN 、MN 、CM ．若AB ＝6，则DN 的值为（ ）A.6B.3C.2D.4 二、填空题13．抛物线的部分图象如图所示,与轴的一个交点坐标为,抛物线的对称轴是直线,下列结论:①;②;③方程有两个不相等的实数根;④抛物线与轴的另一个交点坐标为,其中正确的结论有__________.14．如图，在O 中，»»AB AC =,若40AOB ∠=︒，点D 在O 上，连结CD 、AD ，则ADC ∠=_____︒.15．在创建“平安校园”活动中，郴州市某中学组织学生干部在校门口值日，其中八位同学3月份值日的次数分别是：5，8，7，7，8，6，8，9，则这组数据的众数是_____．16．分解因式：ab 4－4ab 3＋4ab 2＝______________。
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我们由流体力学可以得到下面这个公式
V=Cd (1.1)
其中V时浇口速度
Cd是流量系数，代表有能量损失与无能量损失的速度比值，通常对镁、铝其值约为0.5，对锌其值约为0.6g是重力加速度ρ是金属液密度P是压力
这个式子在压铸上的意思是：若我们想要在浇口处有V的速度，就必须供给压力P.
由于Q=V×Ag…….(1.2)其中Q是流率V是浇口速度Ag是浇口面积
2.硬点
1.X-RAY2.加工后肉眼观察3金相显微镜（30X-50X）4.湿化学分析5破断面检查
1.溶解温度太高形成氧化增加2保温时间太久形成α-AL2O3
3.废料使用量太多4空气中湿气太重5.自动给汤未处理氧化物6柱塞低速度太高
3缩孔
1.X-RAY2.超音波测试3泄漏测试4密度测试5.加工后肉眼观察6.加工表面LPT
2飞溅毛边
1.目视判断；2体积量测；3尺寸量测
1.浇口速度太高；2增压压力太高3循环时间太短4模具温度太高5锁模力不足6模具合模不良
3.充填不完全
1.目视检查2x-ray；3.尺寸测量；4体积测量5.称重
1.模流模式不良；2浇口系统不良；3.逃气设计部良4.浇口速度太低5.料管充填率太低6.柱塞低速度太慢7充填时间太长8高速切换太慢9.射出系统功能不良10模具太冷11.循环时间太长12.，熔汤太冷13.冷却系统设计部良14合金成分部正确
小型简单压铸件
200～300
一般压铸件
300～400
大型复杂压铸件
铸件缺陷分析
种类
缺陷
判断方法
原因
一．尺寸缺陷
1尺寸差异
1.尺寸量测2，称量3.，体积量测
1.收缩率估算错误；2.模穴尺寸不正确；3心稍数目太多；4.飞溅毛边影响分模面尺寸；5局部模具冲
蚀尺寸差异；6.顶出事铸件温度太高而变形；7增压压力太高8循环时间不定9浇口速度太高10模具温度不稳定11锁模时间太短12分模面平整度不良
1.增压压力太低，传送不到；2.柱塞温度太低3.模具浇口处温度太低4浇口位置不良5浇口太薄6合金成份不正确，凝固区间过大7铸件厚度差异过大8局部过热
三、表面缺陷
1.表面起泡
（blister）
1.目视检查；2表面隆起
1.柱塞低速度太高2.浇口速度太低3高速开始设定太早4锁模时间太短5循环时间太短6料管填充率太低7模具温度太高8离型剂使用过多9离型剂种类不正确10逃气不足11.浇口系统形状与位置不良12.熔汤未除气13热处理加热350℃以上
1.浇口速度太高；2增压压力太高；3锁模时间太长；4.模具温度太高；5.离型剂种类不正确6.离型剂量不足；7Fe含量太低；8拔模角太小9模具冲蚀后产生
7粘模
目视检查
1.浇口速度太高，造成冲蚀2.高速阀开始设定太早；3.增压压力太高；4循环时间太短；5模具温度太高；6.模具表面状况不良7浇口位置不良8浇口设计不良9浇口面积太小10熔汤温度太高11合金成分部适当
8.表面污垢
目视检查
1.模具温度太低；2离型剂种类不正确3离型剂使用太多4熔汤温度太低
9模具裂纹
1.目视检查；2表面粗度量测
1.模具预热不正确2.过度喷离型剂3.熔汤直接冲模穴表面；4熔汤温度太高5。熔汤速度太高6循环时间太长7冷却系统太强或不适当冷却
图1.7P-Q2坐标上的压力需求曲线
图
图1.8不同浇口面积对压力需求曲线的影响
2压力供给曲线
由式（1.1）可知，我们要得到V的速度，必须供给P压力，而这个压力来源就是压铸机的储能器。但储能器的压力并非就等于P,它们会有下列关
P1= (1- / )……………………..(1.4)
其中P1是油缸中的有效压力； ：是储能器提供的最大压力；VP:是压射速度，也等于入料桶中的金属液速度; 是空压射速度，代表此压铸机克服内部阻力所表现出来的射出能力。图1.9是一个简化的压铸机射出系统图形。P1、P2、P是压力，A1、A2、A是相对位置的截面积。当柱塞中速度VP=0时，由式（1.4）可知P1=PA而由静平衡可知
又，由于Q=VP×A……………………(1.5)
其中Q是流率
VP是柱塞速度
A是料管截面积（入料桶）
将式（1.5）带入式（1.4），我们可得到
P1=PA(1- )
P= PA(1- )…………………..(1.6)
同压力需求曲线一样，我们把（1.6）画在以P为纵轴，Q2为横轴的坐标平面上，我们可以得到一条直线，如图1.10
我们将(1.2)式带入（1.1）式，然后整理一下，可得到
P=ρQ2/2gAg2Cd2……………(1.3)
对于一个固定的浇口面积，把式（1.3）画在一个以压力P为纵轴，Q为横轴的坐标平面，我们可以得到1.6的图形。
图1.6P-Q坐标上压力需求曲线
为了使用方便，通常把坐标由Q变成Q2，如此压力需求曲线就会变成一条直线，如图1.7所示。而不同的浇口面积，就可以画出不同的直线，如图1.8所示，浇口面积愈大，愈偏向右下方。
2.冷接纹
Coldshut
Coldlaps
Flowmarks
Swirls.misruns
Chills,knitlines;poorfill
peel
1.肉眼2X-RAY3LPT
1.充填时间太长2.模具温度太低3充填模式不对4充填路径太长（filltime×gatevelocity）5.铸件几何形状干扰6柱塞低速速度太慢7浇口速度太低8.循环时间太久9料管充填率太低10柱塞温度太低11浇口位置不良12浇口设计部良13熔汤温度太低14合金成分部正确15高速切换太慢
4．体积差异
1.体积量测；2线性量测；3密度量测4称重
1.模具温度变化。2锁模力不足3分模面受污染4浇口速度太高5增压压力太高6锁模时间太短7循环时间变化
5变形
目视判断；线性量测
1.顶针位置不正确；2离型剂种类错误或使用不足；3.定出时铸件温度太高4.拔模角不适当5循环时间太短6锁模时间太短7熔汤温度太高8.Fe含量太低9浇口速度太高
PQ2图
PQ2图是压铸制程的理论基础，P代表压力，Q代表流率，他说明了压铸在高速射出这个阶段的情形。
在浇口处以高速射出，但汤料是否能以我们所希望的速度射出，则牵涉到要达到此速度所需要的压力及压铸机是否可以提供给足够的压力。PQ2图就是用来预测压铸机可否提供足够的压力，进而预测浇口速度是否可以达到我们要求，
镁合金（冷室机）通常在350～550kg/cm2、
铜合金通常在700～1800kg/cm2、
模具温度
锌合金150～200℃
铝合金180～300℃
镁合金200～250℃
铜合金300～450℃
压铸机的选择
通常以锁模力的大小来选择压铸机
T= 其中T：锁模力（吨）A:成品投影面积（cm2）1.3:是成品投影面积加上流道，溢流井等的全投影面积概算比率。即1.3A是铸件全投影面积，
浇口加大
若希望速度增加，充填时间也变短，就需要把储能器压力加大，使交点位置向右上方移动。
PQ2图是压铸制程的理论基础，由以上举例子。可知PQ2图不久可以帮助我们了解压铸在高速射出时的情形，更可帮助我们预测压铸制程参数变化所产生的影响。
合金溶解温度：
锌合金的溶解温度：420～450℃
铝合金的溶解温度：660～680℃
而这两条线的交点就代表在特定的模具和压铸机设定时，高速射出的状况。而我们也就可以依次点的值，算出浇口速度与充填时间
那么这个交点应该交在哪里？由ADCI的建议，浇口速度应在30m/s～60m/s,我们可用式（1.1）找出相对所需要的压力值。而充填时间应该不长于0.06秒，我们可以用
t=V/Q…………(1.7)
P:是铸造压力（kg/cm2）选铸造压力可参考下表：
铝合金铸造压力
铸造压力（kg/cm2）
铸件品质要求
500～600
只要求外观品质：列如：手工具，马达零件
600～800
要求无沙孔铸件：列如汽车等零件
800～1000
要求无泄漏铸件：列如阀类油压零件
锌合金铸造压力
铸造压力（kg/cm2）
铸件品质要求
100～200
PA=P1A1-P2A2P=(P1A1-P2A2)/A
当P2很小时，p= P1而当VP=VDRA时，P=0，这代表所供给的能量全部变成金属液的动能。
图1.9
所以式（1.4）的意义就是：当柱塞的速度为零时，入料桶中的有效压力最大，而当柱塞有速度时，所供给的能量一部分成为入料桶的有效压力，一部分转变为金属液的动能。而当入料桶内没有阻力时，所有的能量变成动能，这就是空压射。
5缩陷
Sinks，heatsinks，surfacesinks，heatmarks，surfaceshrinkage，shadows
1.目视检查；2抛光后目视3表面隆起量测4x-ray
1.模具温度太高；2.熔汤温度太高3.熔汤合金成分部正确4铸件壁厚变化大
6.顶出刮痕
1.目视检查；2表面粗度测量，3LPT
接下来我们要看的一下当我们变动压铸机的一些设定时，对这线条会有什么影响
(1)当我们把储能器的压力加大时，最大压力会变大，空压射速度也会变大，因此整条线会向上移动。反之，当我们把储能器的压力减小时，整条线会向左下方移动。如图1.11所示。
(2)当我们把料管直径变大时，最大压力会变小，但流率会变大，因此整条线会以逆时针方向变动。当料管直径变小时，其情形相反，整条线会顺时针方向变动。其动态如图1.12所示。
二内部缺陷
1.气孔
1.加工后肉眼观察2.X-RAY;3.加工后LPT;4.热处理；5密度量测
1.溶解不良（含H2太多）2.柱塞低速度太高；3浇口速度太高4充填时间太短，来不及逃气；5高速射出设定太早6增压反应时间太长7增压压力不足8料管填充率太低9料头太薄10模具在浇口处温度太低11.离型剂不适当12.离型剂使用过量13离型剂混合比例不正确14浇口位置不良15浇口与浇道系统设计不良16逃气设计不良