高中数学二项式定理全章复习(题型完美版)

第十一讲 二项式定理

课程类型：□复习 □预习 □习题 针对学员基础：□基础 □中等 □优秀

本章主要内容：

1.二项式定理的定义；

2.二项式定理的通项公式；

3.二项式定理的应用.

本章教学目标：

1.能用计数原理证明二项式定理(重点)；

2.能记住二项式定理和二项展开式的通项公式(重点)；

3.能解决与二项式定理有关的简单问题(重点、难点).

【知识与方法】

一．二项式定理的定义

在

个

n n b a b a b a b a )())(()(+⋅⋅⋅++=+中，每个括号都能拿出a 或b ，所以每个括号有2种选择，n 个括号

就是n 2种情况.22-n b a 这一项，表达的意思是_________________________；所以，22-n b a 共有________个.

授课班级

授课日期 学员

月 日 组

杨辉三角历史

北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算。

13世纪中国宋代数学家杨辉在《详解九章算术》里讨论这种形式的数表，并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》，并绘画了“古法七乘方图”。故此，杨辉三角又被称为“贾宪三角”。

元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。 意大利人称之为“塔塔利亚三角形”以纪念在16世纪发现一元三次方程解的塔塔利亚。 在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。

布莱士·帕斯卡的著作Trait é du triangle arithm étique （1655年）介绍了这个三角形。帕斯卡搜集了几个关于它的结果，并以此解决一些概率论上的问题，影响面广泛，Pierre Raymond de Montmort （1708年）和亚伯拉罕·棣·美弗（1730年）都用帕斯卡来称呼这个三角形。

近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinese triangle ）。

课外拓展

(a ＋b )n 的二项展开式本来共有_______项，合并之后共有_______项，其中各项的系数______________叫做二项式系数． 二．二项展开式的通项

(a ＋b )n 的二项展开式的通项公式为__________..

注意：1.r n r C T 与1+的关系，例如第5项，应该是4

n C ；

2.二项式的展开式是按照前项降幂排列，例如10)1(+x 与10)1(x +中的第4项是不同的；

3.a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。各项的次数和等 于n ；

4.注意正确区分二项式系数与项的系数. 三．二项式系数的基本性质

四．展开式的二项式系数和

1.(a ＋b )n 展开式的各二项式系数和：C 0n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝_______.

2.偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝

_______.

五．展开式的系数和

若f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n ，则 f (x )展开式中各项系数之和为_______，奇数项系数之和为a 0＋a 2

＋a 4＋…=

2

)

1()1(-+f f ，偶数项系数之和为a 1＋a 3＋a 5＋…=________________. 【例题与变式】

题型一 通项公式及其应用 类型一 二项式定理的原理应用

【例1】(2015·全国卷Ⅰ)(x 2＋x ＋y )5的展开式中，x 5y 2的系数为（ ）

A ．10

B ．20

C ．30

D ．60

例如：7)(y x +中43y x 表示的就是，有3个括号拿x ，剩下的4个括号拿y ，所以43y x 共有4

437C C ⋅项，即37C 项.

【例2】（2018•滨州二模）52)32(--x x 的展开式中，x 的系数为________. 【变式1】（2018•濮阳一模）82017

)11(++

x x 的展开式中，x 3的系数为________.

【变式2】（2018•龙岩模拟）已知二项式4)21

1(x x

-+

，则展开式的常数项为（ ） A ．-1 B ．1

C ．-47

D ．49

类型二 单括号型

【例4】（2018•内江三模）4)2

(x

x -展开式中的常数项为（ ）

A ．6

B ．-6

C ．24

D ．-24

【例5】设(x －2)n 展开式中，第二项与第四项的系数之比为1

2，则含x 2的项是________．

【例6】（2018•成都模拟）若6

)(x

a x -

的展开式中含

2

3x 项的系数为160，则实数a 的值为（ ）

A ．2

B ．2-

C ．22

D ．22-

【例7】(2017·东北四校联考)若n x

x x )1(6

+的展开式中含有常数项，则正整数n 的最小值等于（ ）

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

【变式3】（2018•河北区二模）二项式6)2

(x

x -的展开式的第二项为（ ）

A ．46x

B ．46x -

C ．412x

D ．412x -

【变式4】（2018•四川模拟）6)1(x

x -

展开式中的常数项为（ ）

A ．-20

B ．-15

C ．15

D ．20

【变式5】(2016·全国卷Ⅰ)(2x ＋x )5的展开式中，x 3的系数是________．(用数字填写答案)

【变式6【变式7_______． 类型三 双括号型

【例8】（2018•肇庆三模）已知5)1)(1(x ax +-的展开式中x 2的系数为5，则a =（ ）

A ．1

B ．2

C ．-1

D ．-2

【例9 ）

A ．5

B ．-10

C ．-32

D ．-42